高三数学 2.2.1综合法与分析法学案 人教A版选修2-2

2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
一、教学目标
1.理解综合法和分析法的概念。

2.掌握综合法和分析法的基本原理。

3.能够应用综合法和分析法解决实际问题。

4.培养学生系统思维的能力。

二、教学内容
1.综合法的概念和基本原理。

2.分析法的概念和基本原理。

3.综合法和分析法的应用。

三、教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过提问和讲解，引导学生了解问题解决的两种方法：综合法和分析法，并介绍本节课的教学目标和重点。

2. 讲解（25分钟）
2.1 综合法的概念和基本原理
1.综合法是从整体综合出发，从多个方面考虑，综合分析问题的方法。

2.综合法的基本原理是整体观念、多元观念和系统观念。

2.2 分析法的概念和基本原理
1.分析法是从局部出发，从单个方面考虑，分析问题的方法。

2.分析法的基本原理是简化化、抽象化和精确化。

3. 练习（25分钟）
1.给学生提供综合法和分析法的例子，让学生分别应用综合法和分析法解决问题。

2.针对不同的问题，让学生思考采用哪种方法更适合。

4. 总结（5分钟）
让学生回顾本节课的重点内容，并讲解综合法和分析法的区别和联系。

四、教学反思
本节课通过提供练习例子的方式，让学生更深入地理解了综合法和分析法的概念和应用方法。

同时，通过问题讨论的方式，培养了学生系统思维的能力。

2.2.1《综合法和分析法》导学案制作王维审核高二数学组 2016-03-30【学习目标】1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；2、了解综合法、分析法的思考过程、特点；3、能运用综合法与分析法解决有关数学问题．【学习重点】利用综合法与分析法证明问题的思路与方法【学习难点】运用综合法与分析法证明有关数学问题【预习导航】1. 若实数a，b 满足 a＋b＝4，证明：2a＋2b≥8.2. 求证：72223+<+.【问题探究】探究活动一：何谓综合法?例1 已知0,>ba，且1=+ba，求证：411≥+ba.探究活动二：什么是分析法？例2 已知非零向量⊥，求证：2≤.探究活动三：如何运用综合法和分析法证明有关数学问题？【课堂巩固练习】1、用分析法证明：欲使①A＞B，只需② C<D，这里②是①的( ) A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2、下面叙述正确的是( )A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的3、已知Rdcba∈，，，，求证：)()()(22222dcbabdac++≤+．【总结概括】本节课的收获：【课后作业】必做题：教材第91页习题2.2第2,3题选做题：同步练习册课后作业提升习题。

2.2.1 综合法和分析法学习目标：1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 学习过程：教材新知：知识点一：综合法提出问题：阅读下列证明过程，回答问题．求证：π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期． 证明：因为f (x ＋π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝f (x )，所以由周期函数的定义可知，π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期． 问题1：本题的条件和结论各是什么？问题2：本题的证明顺序是什么？导入新知1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示 P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)化解疑难综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.知识点二：分析法提出问题阅读下列证明过程，回答问题．求证：6＋7≥22＋ 5.证明：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2≥(22＋5)2，即证242≥240，该式显然成立，因此原不等式成立．问题1：本题证明从哪里开始？问题2：证明思路是什么？导入新知1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件化解疑难分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.例题讲解：题型一：综合法的应用例1：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.类题通法综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．活学活用：已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：4a ＋1b≥9.题型二：分析法的应用例2：设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．类题通法分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．活学活用：在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B ＞1.题型三：综合法和分析法的综合应用例3：已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.类题通法综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题． 活学活用：设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.例4：已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.课堂检测：1．“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中，至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( )A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)23．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c＞0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．4．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立． 5．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋b a≥ a ＋b .(要求用两种方法证明)——★ 参 考 答 案 ★——教材新知：知识点一：综合法问题1：条件：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；结论：π是f (x )的一个周期． 问题2：从已知利用诱导公式到待证结论．知识点二：分析法问题1：从结论开始．问题2：寻求每一步成立的充分条件．例题讲解：例1：证明：∵a ，b ，c 是正数，∴b 2＋c 2≥2bc ，∴a (b 2＋c 2)≥2abc .①同理，b (c 2＋a 2)≥2abc ，②c (a 2＋b 2)≥2abc .③∵a ，b ，c 不全相等，∴b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，a 2＋b 2≥2ab 三式中不能同时取到“＝”，∴①②③式相加得a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc .活学活用：证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝4(a ＋b )a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋a b ＋1＝5＋4b a ＋a b≥5＋2 4b a ×a b＝5＋4＝9. 当且仅当4b a ＝a b，即a ＝2b 时“＝”成立. 例2：证明：当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．活学活用：证明：要证tan A tan B ＞1，只需证sin A sin B cos A cos B ＞1. ∵A ，B 均为锐角，∴cos A ＞0，cos B ＞0.即证sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，只需证cos(A ＋B )＜0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°＜A ＋B ＜180°，∴cos(A ＋B )＜0，因此tan A tan B ＞1.例3：证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立，∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2.两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.活学活用：证明：法一：(分析法)要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．又因a ＋b ＞0，故只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立，即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二：(综合法)a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab .∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.例4：证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8.因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2.因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0， 所以2a ＋1·2b ＋1≤(2a ＋1)＋(2b ＋1)2＝2(a ＋b ＋1)2＝2， 即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．课堂检测：1．[解析]由于a ，b ，c 不全相等中含有a ≠b ≠c 这种情况，所以③错误，①②都正确．[答案]C2．[解析]要证 3－5＜ 6－8成立，只需证 3＋8＜6＋5成立， 只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案]C3．[解析]本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．[答案]综合法4．[解析]用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案]a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥05．证明：法一：(综合法)因为a ＞0，b ＞0， 所以a b ＋b a －a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b－1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a ≥a ＋b . 法二：(分析法)要证a b ＋b a ≥a ＋b ， 只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。

§2.2.1 综合法和分析法学习目标：1、了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；2、理解综合法和分析的思考过程、特点，会用这两种方法证明数学问题。

一、主要知识：1、综合法： 。

2、分析法： 。

二、典例分析：〖例1〗：（1）设,,a b c 为不全相等的正数，且1abc =。

求证：111a b c++>。

（2）已知a b c >>，求证：114a b b c a c +≥---。

〖例2〗：设,,,a b x y R ∈，且22221,1a b x y +=+=，求证：1ax by +≤。

〖例3〗：已知,,a b c 是不全相等的正数，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++。

三、课后作业：1、函数()()ln 12x x f x e =+-（ ） A 、是偶函数 B 、是奇函数 C 、既是偶函数又是奇函数 D 、既不是奇函数也不是偶函数2、在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到A ∠为钝角的结论，对三边,,a b c 应满足的条件，判断正确的是（ ）A 、222a b c <+B 、222a b c =+C 、222a b c >+D 、222a b c ≤+ 3、设,a b R ∈，且,2a b a b ≠+=，则必有（ ） A 、2212a b ab +<< B 、2212a b ab +<< C 、2212a b ab +<< D 、2212a b +< 4、已知52x ≥，则()24524x x f x x -+=-有（ ） A 、最大值54 B 、最小值54C 、最大值1D 、最小值15、设01x <<，则11,1a b x c x==+=-中最大的一个是（ ） A 、a B 、b C 、c D 、不能确定6、若,,a b c R ∈，且1ab bc ca ++=，则下列不等式成立的是（ ）A 、2222a b c ++≥B 、()22a b c ++≥C 、111a b c++≥ D 、()13abc a b c ++≤7、a b c ==的大小关系是 。

2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.[知识链接]1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2.必修5中基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？ 答 要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.[预习导引]1.综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.要点一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形.证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形. 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ). 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立. 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式得证. 规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”.跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明 要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC ).由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc ). 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立. ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立. 规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1.已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A.x <x ＋y 2<y <2xy B.2xy <x <x ＋y 2<y C.x <x ＋y 2<2xy <y D.x <2xy <x ＋y 2<y [答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38， ∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D. 2.欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A.(2－3)2<(6－7)2 B.(2－6)2<(3－7)2 C.(2＋7)2<(3＋6)2 D.(2－3－6)2<(－7)2[答案] C[解析] 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3.求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明 因为1log b a ＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α). 证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立， ∴结论得证.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合；没有综合也没有分析.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。

2．2.1 综合法和分析法学习目标1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.梳理(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学________、________、________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的________成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示________、已有的________、________、________等，Q 表示所要________________)知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．梳理 (1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的______________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(__________、________、________、________等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 (1)已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. (2)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列． 求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论： ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.命题角度2用综合法证明等式例2求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．反思与感悟证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．(2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2在△ABC中，ACAB＝cos Bcos C，证明：B＝C.类型二分析法例3(1)已知a>0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2；(2)已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角．反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3(1)求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)；(2)在锐角△ABC中，求证：tan A tan B>1.1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x (x<0)，则a与b的大小关系为() A．a>b B．a＝bC．a<b D．无法确定2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是()A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同3．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)24.3－2________2－1.(填“>”或“<”)5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．[答案]精析问题导学 知识点一思考 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)定义 公理 定理 推理论证 结论(2)已知条件 定义 公理 定理 证明的结论 知识点二思考 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)结论 充分条件 已知条件 定理 定义 公理 题型探究例1 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc) ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2 ＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .跟踪训练1 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3.例2 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin [(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin [(α＋β)－α]＝sin β， 所以原等式成立．跟踪训练2 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C . 例3 证明 (1)要证 a 2＋1a2－ 2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a)＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(2)要证B 为锐角，根据余弦定理， 只需证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >0，即证a 2＋c 2－b 2>0. 由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2， 要证a 2＋c 2－b 2>0， 只需证2ac －b 2>0.∵a ，b ，c 的倒数成等差数列， ∴1a ＋1c ＝2b ，即2ac ＝b (a ＋c )． 要证2ac －b 2>0， 只需证b (a ＋c )－b 2>0， 即b (a ＋c －b )>0，上述不等式显然成立，∴B 为锐角． 跟踪训练3 证明 (1)方法一 要证 a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2 <(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a<2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1 >a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.(2)要证tan A tan B >1，只需证sin A sin B cos A cos B>1， ∵A 、B 均为锐角，∴cos A >0，cos B >0. 即证sin A sin B >cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B <0，只需证cos(A ＋B )<0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°<A ＋B <180°，∴cos(A ＋B )<0，因此tan A tan B >1. 当堂训练1．A 2.A 3.C 4.<5．证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y) ＝(2＋y x )(2＋x y) ＝4＋2(y x ＋x y)＋1≥5＋4＝9＝右边， 原不等式得证．方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立， ∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，只需证明(1＋1x)(1＋11－x)≥9，即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，即证2＋x－x2≥9x－9x2，即证4x2－4x＋1≥0，即证(2x－1)2≥0，此式显然成立．∴原不等式成立．。

第二章第2节直接证明与间接证明一、综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。

二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。

3．综合法是从推导到的方法。

而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。

综合法是由导，分析法是执索。

三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+，求证：例2．已知a,b∈R+，求证：例3.已知a,b,c ∈R ，求证（I ）课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,22．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ） A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。