难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)

难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一 沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，…，则点P 2017的坐标是________．◆类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( )A ．10个B ．20个C ．40个D ．80个第3题图 第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)◆类型三图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。

平面直角坐标系中点的变化规律嗨，大家好！今天我们来聊聊平面直角坐标系中点的变化规律。

这个话题可大可小，但它却是我们生活中无处不在的一个概念。

无论是在地图上找方向，还是在设计软件里画图，甚至是在我们的身体上，都有着点的存在。

那么，这些点到底有什么变化规律呢？别着急，我们一步一步来分析。

我们来看看点的基本概念。

在平面直角坐标系中，一个点是由两个数表示的，这两个数分别叫做点的横坐标和纵坐标。

比如说，我们可以用(3, 4)来表示一个点，这里的3就是横坐标，4就是纵坐标。

那么，点的变化规律其实就是横坐标和纵坐标的变化规律。

接下来，我们来看看横坐标和纵坐标的变化规律。

其实，横坐标和纵坐标的变化规律是相互独立的。

也就是说，一个点的横坐标变了，它的纵坐标不一定变；同样，一个点的纵坐标变了，它的横坐标也不一定变。

这就好像我们小时候学的数学题一样，有时候我们需要先求解一个方程，然后再代入另一个方程求解。

但是有时候我们也可以先求解另一个方程，然后再代入第一个方程求解。

横坐标和纵坐标的变化规律是相互独立的。

那么，横坐标和纵坐标的变化规律又是什么呢？其实，横坐标和纵坐标的变化规律可以分为很多种情况。

比如说，有时候它们会同时增加或减少相同的数值；有时候它们会同时增加或减少相反的数值；有时候它们会按照一定的比例增加或减少数值等等。

这里我们就不一一列举了，因为这些变化规律都是相互独立的。

那么，点的变化规律又是什么呢？其实，点的变化规律就是横坐标和纵坐标的变化规律的综合体现。

也就是说，一个点的最终位置是由它的横坐标和纵坐标共同决定的。

比如说，如果我们把一个点的横坐标增加2,纵坐标减少3,那么它的最终位置就会变成(5,1)。

这个过程就像是我们在玩游戏的时候，通过不断地升级和改变装备来提高自己的实力一样。

我们来说说点的应用场景。

其实，点的应用场景是非常广泛的。

比如说，在地图上找到正确的方向就需要用到点的概念；在设计软件里画图也需要用到点的概念；甚至在我们的身体上也有无数个点存在。

专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有() A．10个B．20个C．40个D．80个第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2︵，P2P3︵，P3P4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为()A．(－6，24) B．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)◆类型三图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。

难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律—— 掌握不同 律，以不 万◆型一 沿坐 方向运 的点的坐 律探究1．如 ， 点 P 在平面直角坐 系中按 中箭 所示方向运 ，第1 次从原点运到点 (1， 1)，第 2 次接着运 到点 (2， 0)，第 3 次接着运 到点 (3， 2)⋯⋯ 按 的运 律， 第 2016 次运 后， 点 P 的坐 是 ________．2．(2017 阿· 州中考 )如 ，在平面直角坐 系中，一 点从原点O 出 ，沿着箭所示方向，每次移 1 个 位，依次得到点 P 1(0， 1)， P 2(1， 1)， P 3(1，0) ，P 4(1，－ 1)，P 5(2，－ 1)， P 6(2，0)， ⋯ ， 点 P 2017 的坐 是 ________．◆型二 原点呈 “回 ” 字形运 的点的坐 律探究3．在平面直角坐 系中，横坐 、 坐 都 整数的点称 整点．如 ，由里向外数第 2 个正方形开始，分 是由第 1 个正方形各 点的横坐 和 坐 都乘 2， 3，⋯ 得到的， 你 察 形，猜想由里向外第10 个正方形四条 上的整点个数共有()A ． 10 个 C ． 40 个B ．20 D ．80个个第 3 第 44．(2017 温·州中考 )我 把 1， 1， 2，3， 5， 8，13， 21，⋯ 数称 斐波那契数列，︵ ︵ ︵了 一步研究，依次以 列数 半径作 P1P2 P2P3 P3P4， ⋯得到斐波那契螺旋90° 弧 ，，，然后 次 接 P 1P 2， P 2P 3， P 3P 4， ⋯得到螺旋折 (如 )，已知点 P 1 (0， 1)，P 2(－ 1， 0)， P 3 (0，－ 1)， 折 上的点P 9 的坐 ()A ． (－ 6， 24)B ． (－6， 25)C． (－ 5， 24) D ． (－ 5， 25)◆ 型三形化中的点的坐探究5．(2017 河·南模 )如，点A(2， 0)， B(0， 2)，将扇形AOB 沿 x 正方向做无滑的，在程中点O 的点依次点O1，点 O2，点 O3⋯， O10的坐是 ()A． (16＋ 4π， 0)B． (14＋ 4π， 2)C． (14＋ 3π，2)D． (12＋ 3π， 0)6．如，在直角坐系中，第一次将三角形OAB 成三角形OA1B1，第二次将三角形 OA1B1成三角形 OA2B2，第三次将三角形OA2B2成三角形OA3B3.已知 A(1， 3)，A1 (2， 3)，A2(4， 3)， A3(8， 3)， B(2， 0)， B1(4， 0)， B2(8 ，0)， B3(16， 0)．(1)察每次后的三角形有何化，找出律，按此律再将三角形OA3B3成三角形 OA4B4， A4的坐是 __________， B4的坐是 __________ ；(2)若按 (1) 中找到的律将三角形 OAB 行了 n 次，得到三角形OA n B n，比每次中三角形点坐有何化，找出律，推点A n的坐是 __________，点 B n的坐是 __________．参考答案与解析1．(2016 ， 0)解析：合象可知，当运次数偶数次，横坐与运次数相等．∵2016 偶数，∴运2016 次后，点P 点运到x 上，且P 的坐是 (2016， 0)．2．(672， 1)解析：由已知得P7(2， 1)， P13(4， 1)，所以2017 ÷6＝ 336⋯⋯ 1，所以 P2017(336 ×2， 1)，即 P2017(672， 1)．P6n＋1(2n， 1)．因3．C解析：每个正方形四个点一定整点，由里向外第n 个正方形每条上除点外的整点个数如下表所示：由里向外第n 个正方形每条上除点外的整点个数1234⋯0123⋯可，第 n 个正方形每条上除点外有(n－ 1)个整点，四条上除点外有4(n－ 1)个整点，加上 4 个点，共有 4(n－ 1)＋4＝ 4n(个 )整点．当 n＝ 10 ，4n＝ 4×10＝ 40，即由里向外第 10 个正方形的四条上共有40 个整点．故 C.4．B 解析：由意， P5在 P2的正上方，推出P9在 P6的正上方，且到 P6的距离21＋ 5＝26，所以 P9的坐 (－ 6，25)，故 B.5．C6．(1)(16 ， 3) (32， 0) (2)(2n，3)(2n＋1， 0)解析： (1)∵ A1(2， 3)， A2 (4，3) ，A3(8， 3)，∴ A4的横坐 24＝ 16，坐 3.故点A4的坐 (16， 3)．又∵ B1(4， 0)，B2(8， 0)， B3(16， 0)，∴ B4的横坐 25＝32，坐0.故点 B4的坐 (32， 0)． (2)由 A123(2， 3)， A (4，3) ，A (8， 3)，可以它各点坐的关系横坐是2n，坐都是 3.故点 A n的坐 (2n， 0)．由 B1 (4，0) ，B2(8， 0)，B3(16， 0)，可以它各点坐的关系横坐是2n＋1，坐都是 0.故点 B n的坐(2n＋1， 0)．。

平面直角坐标系变化规律一、平面直角坐标系中的平移变化规律1. 点的平移- 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x + a,y)（或(x - a,y)）；- 将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y + b)（或(x,y - b)）。

- 例如：点A(2,3)向右平移3个单位长度，得到点A'(2 + 3,3)=(5,3)；点A(2,3)向下平移2个单位长度，得到点A''(2,3 - 2)=(2,1)。

2. 图形的平移- 图形的平移实际上就是图形上各个点的平移。

例如，三角形ABC三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)，将三角形ABC向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，则A点变为A'(x_1 + a,y_1 + b)，B点变为B'(x_2+a,y_2 + b)，C点变为C'(x_3 + a,y_3 + b)，新的三角形A'B'C'就是原三角形ABC平移后的图形。

二、平面直角坐标系中的对称变化规律1. 关于x轴对称- 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。

- 例如：点P(3,4)关于x轴对称的点P'(3,-4)。

- 对于图形来说，图形关于x轴对称，就是图形上所有点关于x轴对称后得到的新图形。

如三角形ABC关于x轴对称，A(x_1,y_1)变为A''(x_1,-y_1)，B(x_2,y_2)变为B''(x_2,-y_2)，C(x_3,y_3)变为C''(x_3,-y_3)，新的三角形A''B''C''就是三角形ABC关于x轴对称后的图形。

2. 关于y轴对称- 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( - x,y)。

专题4.2 平面直角坐标系中坐标规律的探究（5大类型）【题型1 根据规律正确找到周期】【题型2 规律型中点的坐标以及矩形的性质】【题型3 根据点坐标特征规律】【题型4 点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系】【题型5 根据横纵坐标特征找出规律】【题型1 根据规律正确找到周期】1.（2023春•徐闻县期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）A．（2023，1）B．（2023，0）C．（2022，0）D．（2023，2）【答案】D【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次从原点运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），第6次接着运动到点（6，0），……第4n次接着运动到点（4n，0），第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），∵2023÷4＝505……3，∴第2023次接着运动到点（2023，2），故选：D．【点评】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．2．（2023•滨江区校级开学）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2023的坐标是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：每6个点一个循环，它的纵坐标规律为：，0，，0，﹣，0，∵2023÷6＝337......1，∴点P2023的纵坐标为，点P的横坐标规律为：，1，，2，，3，......，，∴点P2023的横坐标为，∴点P2023的坐标（，），故选：D．【点评】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．3．（2023春•花垣县期中）如图，在直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2，…第n次移动到点A n，则点A2023的坐标是（ ）A．（1011，0）B．（1012，1）C．（1012，0）D．（1011，1）【答案】A【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），……，∵2023÷4＝505……3，∴点A2023的坐标为（505×2+1，0），∴A2023（1011，0），故选：A．【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标以及平面直角坐标系中点的坐标特征，仔细观察图形得到点的变换规律，是解答本题的关键．4．（2023春•魏县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…按这样的运动规律，动点P 第2023次运动到点（ ）A．（2022，﹣2）B．（2022，1）C．（2023，1）D．（2023，﹣2）【答案】A【解答】解：因为四个点为一个周期，又∵2023÷4＝505……3，∴点P第2023次运动到点（2022．﹣2），故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，找到坐标的变化规律是解题的关键．5．（2023春•路桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1O2O3，…组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点O，第一步，棋子从点O跳到点A1（1，1）；第二步，从点A1跳到点A2（2，0）；第三步，从点A2跳到点A3（3，﹣1）；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点A2023时的坐标为（ ）A．（2022，0）B．（2023，1）C．（2023，0）D．（2023，﹣1）【答案】D【解答】解：观察图形可知：A1（1，1），A2（2，0），A3（3，﹣1），A （4，0），∴A2023的横坐标为2023，∵2023÷4＝505•••3，∴A2023的纵坐标为﹣1，∴A2023的坐标为（2023，﹣1），故选：D．【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是观察各点坐标，找出规律．【题型2 规律型中点的坐标以及矩形的性质】6．（2023春•西充县校级期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点坐标为（1，﹣1），B 点坐标为（﹣1，﹣1），C点坐标为（﹣1，3），当蚂蚁爬了2017个单位时，它所处位置的坐标为（ ）A．（1，1）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）【答案】D【解答】解：∵A点坐标为（1，﹣1），B点坐标为（﹣1，﹣1），C点坐标为（﹣1，3），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝3﹣（﹣1）＝4，∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2（AB+BC）＝12．∵2017＝168×12+1，∴当蚂蚁爬了2017个单位时，它所处位置在点A左边一个单位长度处，即（0，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及矩形的性质，根据蚂蚁的运动规律找出蚂蚁每运动12个单位长度是一圈．7．（2023春•康巴什期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A ﹣…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）A．（1，﹣2）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（﹣1，﹣2）【答案】B【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，2022÷10＝202……2，∴细线另一端在绕四边形第203圈的第2个单位长度的位置，即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．故选：B．【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2022个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．8．（2023春•平山县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）【答案】A【解答】解：∵A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，1），C点坐标为（﹣1，﹣2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝2﹣（﹣1）＝3，∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2（AB+BC）＝10．2023÷10＝202…3，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置，即细线另一端所在位置的点的坐标是（﹣1，0）．故选：A．【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2023个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．9．（2023春•汤阴县期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），一只电子蚂蚁从点A出发按A→B→C→D→A→…的规律每秒1个单位长度爬行，则2023秒时蚂蚁所在的位置是（ ）A．（1，0）B．（1，﹣2）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣2）【答案】B【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴C＝2（AB+AD）＝10．长方形ABCD∵2023＝202×10+3，∴当运动2023秒时，点P在点B下面1个单位长度处，∴此时点P的坐标为（1，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据点P的运动规律找出当运动2023秒时点P在点B下面1个单位长度处是解题的关键．10．（2023春•宜州区期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（4，0），F（﹣4，0）同时出发，沿长方形BCDE 的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以4个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2023次相遇地点的坐标是（ ）A．（4，0）B．（﹣4，0）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣2，2）【答案】D【解答】解：由题意知：长方形的边长为8和4，①第一次相遇物体甲与物体乙运动的时间为（2+4+4+2）÷（4+2）＝2（秒），∴第一次相遇地点的坐标是（﹣2，2）；②第二次相遇物体甲与物体乙运动的时间为（8×2+4×2）÷（4+2）＝4（秒），∴第二次相遇地点的坐标是（4，0）；③第三次相遇地点的坐标是（﹣2，﹣2）；④第四次相遇地点的坐标是（﹣2，2）；……则每相遇三次，为一个循环，∵2023÷3＝674……1，故两个物体运动后的第2023次相遇地点的坐标为：（﹣2，2），故选：D．【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，是规律型题目，理解题意找准规律是解答本题的关键．【题型3 根据点坐标特征规律】11．（2023•九龙坡区校级开学）如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…则点A2025的坐标为（ ）A．（506，506）B．（﹣506，﹣506）C．（507，﹣506）D．（﹣507，506）【答案】C【解答】解：由图得，点A的坐标有4种情况，依次在四个象限，2025÷4＝506……1，∴点A2025在第四象限，纵坐标为﹣506，横坐标为506+1＝507，∴A2025的坐标是（507，﹣506）．故选：C．【点评】本题考查规律型﹣点的坐标，解题的关键是相交探究规律，寻找规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．（2023春•迪庆州期末）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…，表示，则顶点A2023的坐标为（ ）A．（505，505）B．（﹣506，506）C．（﹣505，﹣505）D．（506，506）【答案】D【解答】解：由图形可知：A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2），A9（﹣3，﹣3），A10（﹣3，3），A11（3，3），A12（3，﹣3），..．由各点坐标可知，每4个点一循环，横纵坐标绝对值相同，坐标的绝对值等于循环的次数，坐标正负按照﹣﹣，﹣+，++，+﹣依次循环，∵2023÷4＝505•••3，∴A2023（506，506），故选：D．【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是通过已知点的坐标，找出规律．13．（2023春•邯山区校级期中）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点A n （506，﹣505），则n的值是（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023【答案】C【解答】解：根据A6（2，﹣1）在第四象限，且A10（3，﹣2），A14（4，﹣3），10＝（3﹣2）×4+6，14＝（4﹣2）×4+6，∴n＝（506﹣2）×4+6＝2016+6＝2022，故选：C．【点评】本题考查了坐标特点，数字变化的规律，正确探索变化的规律是解题的关键．14．（2023春•长垣市期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，第1个正方形A1A2A3A4的边上有4个格点（小方格的顶点），第2个正方形A5A6A7A8的边上有8个格点，第3个正方形A9A10A11A12的边上有12个格点…，若第m个正方形有36个格点，则第m个正方形的一个顶点A4m的坐标为（ ）﹣3A．（7，0）B．（﹣7，0）C．（9，0）D．（﹣9，0）【答案】C【解答】解：由第1个正方形的边上有4个格点，第2个正方形的边上有8个格点，第3个正方形的边上有12个格点...，得第m个正方形的边上有4m个格点，若第m个正方形有36个格点，得4m＝36，∴m＝9，应为A33，∴顶点A4m﹣3由图得A33在第9个正方形的第1个点，∴A33坐标为（9，0），故选：C．【点评】本题考查了点的坐标的规律的探究，观察图形并得出点的坐标的特点是解题关键．15．（2023春•凉山州期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有（ ）个．A．88B．84C．80D．76【答案】C【解答】解：观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，每个正方形四条边上的整点的个数分别为：8个，即8＝1×8，16个，即16＝2×8，24个，即24＝3×8，…所以正方形A10B10C10D10四条边上的整点的总个数有：10×8＝80个．故选：C．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是通过找每个正方形边上的整点个数的规律，得出一般结论．16．（2023春•鄂伦春自治旗期末）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中A1（1，1），A2（﹣1，1），A3（﹣1，﹣1），A4（1，﹣1），A5（2，2），A6（﹣2，2），A7（﹣2，﹣2），A8（2，﹣2），A9（3，3），A10（﹣3，3），……，按此规律接下去，则A2018的坐标为（ ）A．（﹣505，﹣505）B．（505，﹣505）C．（﹣505，505）D．（505，505）【答案】C【解答】解：∵2018÷4＝504……2，∴顶点A2018是第505个正方形的顶点，且在第二象限，横坐标是﹣505，纵坐标是505，∴A2018（﹣505，505）．故选：C．【点评】本题主要考查对正方形的性质，坐标与图形性质，能根据已知找出规律是解题的关键．17．（2023春•海珠区期末）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m 到达点A1；再向正北方向走4m到达点A2；再向正东方向走6m到达点A3；再向正南方向走8m到达点A4：再向正西方向走10m到达点A5…，按如此规律走下去，当机器人走到点A2023时，点A2023的坐标为（ ）A．（2024，2024）B．（2024，2022）C．（2023，2023）D．（2023，﹣2023）【答案】A【解答】解：由图可得，点A的位置有4种可能的位置，除第1点外分别是在4个象限内，∵2023÷4＝505…3，余数是3，∴A2023在第一象限，∵A3（4，4），A7（8，8）…∴A2023（2024，2024）．故选：A．【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的规律的探究，找到点的变化的循环节是解题的关键．【题型4 点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系】18．（2022秋•锦州期末）如图，一个质点在平面直角坐标系中的第一象限及x 轴，y轴的正半轴上运动．在第一秒钟，质点从原点（0，0）运动到（0，1），再继续按图中箭头所示的方向（与x，y轴平行）运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…，且每秒移动一个单位长度，那么第2023秒时质点所在位置的坐标为（ ）A．（44，1）B．（1，44）C．（45，0）D．（0，45）【答案】B【解答】解：由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为（x，y），到达（1，0）时用了3秒，到达（2，0）时用了4秒，从（2，0）到（0，2））有四个单位长度，则到达（0，2）时用了4+4＝8秒，到（0，3）时用了9秒；从（0，3）到（3，0）有六个单位长度，则到（3，0）时用9+6＝15秒；依此类推到（4，0）用16秒，到（0，4）用16+8＝24秒，到（0，5）用25秒，到（6，0）用36秒，到（6，6）时用36+6＝42秒……可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为x2秒；在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为y2秒，∵45×45＝2025，2025→（0，45），2024→（0，44），2023→（1，44），∴第2023秒时这个点所在位置的坐标为（1，44）．故选：B．【点评】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．19．（2023春•南丹县期末）一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动：（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，且每秒移动一个单位，那么第48秒时，这个点所在位置的坐标是（ ）A．（7，0）B．（6，0）C．（6，6）D．（0，6）【答案】D【解答】解：根据坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9……，∴3秒时到了（1，0）；8秒时到了（0，2）；15秒时到了（3，0）；24秒时到了（0，4）；35秒时到了（5，0）；48秒时到了（0，6）；∴第48秒时，这个点所在位置的坐标是（0，6），故选：D．20．（2023春•路桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示的方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到（1，1），第3秒运动到（0，1），第4秒运动到点（0，2），…则第2023秒点P所在位置的坐标是（ ）A．（44，1）B．（1，44）C．（44，0）D．（0，44）【答案】A【解答】解：根据题意列出P的坐标寻找规律．P1（1，0）；P8（2，0）；P9（3，0）；P24（4，0）；P48（6，0）；坐标为（2n，0）．即P2n（2n+2）P2024（44，0）．∴P2023坐标为P2024（44，0）退回一个单位（44，1）．故选：A．【点评】考查平面直角坐标系中点的坐标变化，分析点P运动路线规律，找到点P在x轴上的交点坐标规律为解题关键，难点在于拆分2024＝44×46．到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．【点评】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．21．（2023春•防城港期末）如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点（0，0）运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→⋯，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ）A．（5，0）B．（0，5）C．（6，0）D．（0，6）【答案】A【解答】解：3秒时到了（1，0）；8秒时到了（0，2）；15秒时到了（3，0）；24秒到了（0，4）；35秒到达（5，0）．故选：A．【点评】本题主要考查了点的坐标探索规律题，解决问题的关键找到各点相对应的规律．【点评】本题考查了平面直角坐标系内点的位置的确定，学生的阅读理解能力，解决本题的关键是读懂题意，并总结出一定的规律，难度较大．22．（2023春•阳信县期中）如图所示，在平面直角坐标系中1，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）根据这个规律，第2023个点的坐标为（ ）A．（46，4）B．（46，3）C．（45，3）D．（45，2）【答案】D【解答】解：根据图形，以最外边的图形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2023点是（45，2）．故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．23．（2023春•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→⋅⋅⋅根据这个规律，第2023个点的坐标为（ ）A．（45，1）B．（45，2）C．（45，3）D．（45，4）【答案】B【解答】解：由图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看作按照运动方向到达x轴，当正方形最右下角点的横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，∵452＝2025，∴第2025个点在x轴上坐标为（45，0），则第2023个点在（45，2）．故选：B．【点评】本题为平面直角坐标系下的点坐标规律探究题，解答时除了注意点坐标的变化外，还要注意点的运动方向．24．（2023春•红安县期末）如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→）（0，1）→（0，2）→……，且每秒移动一个单位，那么第2018秒时，点所在位置的坐标是（ ）A．（6，44）B．（38，44）C．（44，38）D．（44，6）【答案】D【解答】解：观察可以发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方，此时时间为奇数时点在x轴上，时间为偶数时，点在y轴上．∵2018＝452﹣7＝2025﹣7，∴第2025秒时，动点在（45，0）在此处向下一秒，在向右6秒得的第2018秒的位置．此时点坐标为（44，6）．故选：D．【点评】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了动点位置变化时对其坐标与运动时间之间的规律探究，解答关键是数形结合．25．（2023春•潮阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2021个点的坐标为（ ）A．（45，9）B．（45，4）C．（45，21）D．（45，0）【答案】B【解答】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，∴横坐标以n结束的有n2个点，第2025个点是（45，0），∴2021个点的坐标是（45，4）；故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．26．（2023春•江岸区期中）在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐标依次为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据规律，第2023个整数点坐标为（ ）A．（45，2）B．（45，42）C．（45，0）D．（45，10）【答案】A【解答】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，如：第12个点的坐标为（1，0），第32个点的坐标为（3，0），第52个点的坐标为（5，0），……当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），当正方形最右下角点横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，∵452＝2025，45为奇数，∴第2025个点的坐标为（45，0），∴退2个点，得到第2023个点是（45，2）．故选：A．【点评】本题考查规律型：点的坐标，根据图形得出每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，是解题的关键．【题型5 根据横纵坐标特征找出规律】27．（2023春•平潭县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）A．（﹣26，50）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（25，50）【答案】C【解答】解：经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：P n 的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故选：C．【点评】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．28．（2023春•南皮县月考）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A 第一次向左跳动至A1（﹣1，1），第二次向右跳动至A2（2，1），第三次向左跳动至A3（﹣2，2），第四次向右跳动至A4（3，2）…依照此规律跳动下去，A2024的坐标为（ ）A．（1013，1012）B．（1012，1011）C．（2023，2024）D．（2024，2023）【答案】A【解答】解：由A1（﹣1，1），A2（2，1），A3（﹣2，2），A4（3，2），A5（﹣3，3），A6（4，3）……的坐标不难发现，A n（n为正奇数）的纵坐标是（n+1）的一半，且横坐标是纵坐标大的相反数，所以A2023的纵坐标为：＝1012，横坐标为：﹣1012．因此：A2023（﹣1012，1012）．所以A2024（1013，1012）．故选：A．【点评】本题考查平面直角坐标系中点的运动规律，发现点A n和A n+1（n为奇数）的纵坐标相同的解题的关键．。

平面直角坐标系中点的变化规律在数学的世界里，有一块神奇的领域，就是平面直角坐标系。

你有没有想过，我们生活中很多事物，其实都可以用这种坐标系来描述？比如地图、运动场、甚至是你桌上的那块巧克力。

今天，我们就来聊聊这个话题，看看点在平面直角坐标系里是怎么变化的，别急，我们一步步来，确保你跟得上。

1. 坐标系的基础知识1.1 坐标系的构建首先，平面直角坐标系就是我们平常看到的那个“十字”图。

横轴叫X轴，竖轴叫Y 轴。

这个十字形状把平面分成了四个象限，我们用它来标记点的位置。

想象一下，X轴就像是平地上的长道路，Y轴是垂直的直梯。

点的位置，就是在这两条路的交叉点上。

1.2 坐标的表示每个点都有两个坐标值，X和Y，像“(3, 4)”这样。

X表示点在横轴上的位置，Y表示在竖轴上的位置。

比如，点(3, 4)就像是说：从原点出发，先走3步到右边，再走4步到上面，找到了这个点。

2. 点的变化规律2.1 平移说到点的变化，我们得从最简单的平移开始。

平移就是把一个点从一个地方搬到另一个地方，但不改变它的形状和方向。

举个例子，如果点(2, 3)向右移动2个单位，它就变成了(4, 3)。

就像你从家里搬到隔壁的房间，位置变了，但你的样子还是那个样子。

2.2 缩放接下来是缩放。

缩放就像是用放大镜看一个点，让它变得大一点或者小一点。

比如，点(1, 2)经过缩放，变成了(2, 4)。

也就是说，坐标都乘以了一个倍数。

这就像是把一张照片放大，里面的细节看起来都变得更加清楚了。

2.3 旋转最后，我们来看看旋转。

旋转就是把点绕着原点转动。

比如，点(1, 0)绕原点逆时针旋转90度，就会变成(0, 1)。

这个过程就像你在转动一个旋转木马，点的位置随着旋转而改变，但它本身的“本质”没变。

3. 点的组合与变换3.1 点的相对位置有时候，我们需要考虑多个点之间的相对位置。

例如，点A(1, 2)和点B(4, 6)之间的距离。

我们可以用勾股定理来计算它们之间的距离，这就像是用尺子量两点之间的直线距离。

难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一 沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，…，则点P 2017的坐标是________．◆类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( )A ．10个B ．20个C ．40个D ．80个第3题图 第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)◆类型三图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。

平面直角坐标系中点的变化规律1. 引言在数学的世界里，坐标系就像一张大地图，帮我们搞清楚每一个点的位置。

今天，我们来聊聊平面直角坐标系中的点是怎么变化的，听起来可能有点抽象，但其实很有趣。

2. 基本概念2.1 坐标系的构成平面直角坐标系就是我们常说的“X轴”和“Y轴”组成的坐标系统。

X轴横着，Y轴竖着，两者交汇的地方就是原点（0,0）。

点的位置就靠它的坐标（X, Y）来决定。

2.2 点的移动说到点的移动，就是在这个坐标系里，点的位置怎么随着某些因素发生变化。

比如，如果点的X坐标增加了，那点就往右移动；Y坐标增加了，点就往上移动。

简单来说，就是看着点在“X”方向和“Y”方向上的变化。

3. 点的变化规律3.1 按X轴方向的变化当我们谈到点在X轴方向的变化时，想象一下你在坐标系上滑动小点。

比如，点从（2, 3）移动到（5, 3），你会发现它只是在水平线上移动，没有垂直的变化。

这种变化就是X坐标变化了，而Y坐标保持不变。

3.2 按Y轴方向的变化而点在Y轴方向的变化，情况就不同了。

比如，点从（2, 3）移动到（2, 6），你会看到它只是沿着竖直方向移动。

这个时候，X坐标保持不变，而Y坐标增加了。

4. 综合变化4.1 同时改变X和Y有时候，点的变化是同时发生在X和Y两个方向上的。

例如，点从（1, 1）变到（4, 5），你可以看到，它在X方向上移动了3单位，在Y方向上移动了4单位。

这种情况可以用坐标的变化量来描述，也就是（41, 51）。

4.2 变化规律的实际应用这些点的变化规律不仅仅是在课堂上有用，它们在实际生活中也有很大的作用。

例如，你在设计图纸时，需要根据坐标系来确定每个点的位置；或者在地图上找到某个位置，也离不开这些坐标的变化规律。

5. 总结了解平面直角坐标系中的点如何变化，就像是掌握了如何在地图上找到自己的位置。

它不仅让我们理解坐标的基本操作，还能帮助我们在实际生活中解决问题。

只要把握了点在X轴和Y轴上的变化规律，我们就能更加得心应手地应对各种数学和实际问题。

八年级上册数学《第5章平面直角坐标系》专题训练平面直角坐标系中点的规律探究一、选择题(共10题)1．（2023秋•茂南区期中）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点（1，0），第2次运动到点（1，1），第3次运动到点（2，1）……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是（）A．（1011，1010）B．（1011，1011）C．（1012，1011）D．（1012，1012）2．（2023•南乐县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到87秒时，点P的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（2，1）D．（1，2）3．（2022秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，A1（1，﹣2），A2（2，0），A3（3，2），A4（4，0），…根据这个规律，点A2023的坐标是（）A．（2022，0）B．（2023，0）C．（2023，2）D．（2023，﹣2）4．（2023春•平潭县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（﹣26，50）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（25，50）5．（2023春•龙凤区期中）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D （3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒瓢虫在（）处．A．（﹣1，1）B．（1，1）C．（2，1）D．（3，1）6．（2022春•启东市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（1，1）．若记点A坐标为（a1，a2），则一个点从点A出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8）…，每个点的横纵坐标都是整数，按此规律一直运动下去，则a2020+a2021+a2022的值为（）A．2021B．2022C．1011D．10127．（2022•浉河区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（）A．（﹣1012，−20232）B．（﹣1011，20232）C．（﹣1011，−20232）D．（﹣1012，−20212）8．（2022春•冷水滩区校级期中）如图，已知A1（1，2）A2（2，2）A3（3，0）A4（4，﹣2）A5（5，﹣2）A6（6，0）……，按这样的规律，则点A2021的坐标为（）A．（2021，2）B．（2020，2）C．（2021，﹣2）D．2020，﹣2）9．（2023•莱阳市二模）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧P 1P 2̂，P 2P 3̂，P 3P 4̂⋯，得到一组螺旋线，连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，⋯，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点P 1，P 2，P 3的坐标分别为（﹣1，0），（0，1），（1，0），则点P 7的坐标为（ ）A ．（6，1）B ．（8，0）C ．（8，2）D ．（9，﹣2）10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据 这个规律探索可得，第100个点的坐标（ ）A ．（ 14，0 ）B ．（ 14，﹣1）C ．（ 14，1 ）D ．（ 14，2 ）二、填空题（共10题）11．（2022春•东洲区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是．A．（2022，0）B．（﹣2022，0）C．（﹣2022，1）D．（﹣2022，2）12．（2022秋•肃州区校级期末）如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…则点A2022的坐标是．13．（2021秋•同安区期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1）…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为．14．（2023秋•德州期中）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2023的坐标为．15．（2023春•金乡县期中）如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是．16．（2022•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，点P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2022的坐标为．17．（2022秋•杏花岭区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P1（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，⋯，A n，若点A1的坐标为（3，1），则点A2022的坐标为．18．（2023秋•沈河区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，若已知点A（3，0），B（0，4），则点A2023的坐标为．19．（2022春•五华区校级期中）如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC 沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A2022处，则A2022的坐标为．20．（2023•潍坊开学）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C，D四点的坐标分别是A（1，3），B（1，1），C（3，1），D（3，3）、动点P从点A出发，在正方形边上按照A→B→C→D→A→…的方向不断移动，已知P的移动速度为每秒1个单位长度，则第2023秒点P的坐标是．三、解答题（共12题）21．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系中，一个动点A从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4，A6，A12，A14．（2）按此规律移动，n为正整数，则点A4n的坐标为，点A4n+2的坐标为．（3）动点A从点A2022到点A2023的移动方向是．（填“向上”、“向右”或“向下”）22．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…（1）填写下列各点的坐标：P9（、），P12（、），P15（、）（2）写出点P3n的坐标（n是正整数）；（3）点P60的坐标是（、）；（4）指出动点从点P210到点P211的移动方向．23．（2023春•凤台县期末）在直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设P n（x n，y n），n＝1，2，3，…．（1）依次写出x1、x2、x3、x4、x5、x6的值；（2）计算x1+x2+…+x8的值；（3）计算x1+x2+…+x2003+x2004的值．23．（2022秋•长丰县期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示．（1）请直接写出A5、A6、A7、A8的坐标；（2）根据规律，求出A2022的坐标．24．一个质点在第一象限及x轴、y轴移动，在第一秒时，它从原点移动到（0，1），然后按着下列左图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动1个单位．（1）该质点移动到（1，1）的时间为秒，移动到（2，2）的时间为秒，移动到（3，3）的时间为秒，…，移动到（n，n）的时间为秒．（2）该质点移动到（7，4）的时间为秒．25．（2022•马鞍山一模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．（1）A3的坐标为，A n的坐标为用含n的代数式表示；（2）若护栏长为2020，则需要小正方形个，大正方形个．26．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3，已知A（1，5），A1（2，5），A2（4，5），A3（8，5）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．（1）观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律．按此规律将△OA3B3变成△OA4B4，则A4的坐标是，B4的坐标是．（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OA n B n，比较每次变换中三角形顶点的坐标有何变化，找出规律，推测A n的坐标是，B n的坐标是．27．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1（1，0），A2（5，0），…A n，图形与y轴正半轴的交点依次记作B1（0，2），B2（0，6），…B n，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1（﹣3，0），C2（﹣7，0），…∁n，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1（0，﹣4），D2（0，﹣8），…D n，发现其中包含了一定的数学规律．请根据你发现的规律完成下列题目：（1）请分别写出下列点的坐标：A3，B3，C3，D3；（2）请分别写出下列点的坐标：A n，B n，∁n，D n；（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．28．（2022春•自贡期末）综合与实践问题背景：（1）已知A （1，2），B （3，2），C （1，﹣1），D （﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB 和CD 中点P 1、P 2，然后写出它们的坐标，则P 1 ，P 2 ． 探究发现：（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则线段的中点坐标为 ．拓展应用：（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E （﹣1，2），F （3，1），G （1，4），第四个点H （x ，y ）与点E 、点F 、点G 中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H 的坐标．29．平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （﹣x ，y ʹ），给出如下定义：yʹ={y ，x ≥0−y ，x ＜0称点Q 为点P 的“友好点”．例如：点（1，2）的“友好点”为点（﹣1，2），点（﹣1，2）的“友好点”为点（1，﹣2）．根据定义，解答下列问题：（1）点（2，3）的“友好点”为点 ．（2）点P 1的“友好点”为点P 2，点P 2的“友好点”为点P 3，点P 3的“友好点”为点P 4，…，以此类推，若点P 2020的坐标为（m ，n ），m ＞0，求点P 1的坐标（用含m ，n 的式子表示）．（3）若点N （n ，3）是M 的“友好点”，M （x ，y ）的横纵坐标满足y ＝﹣x +4，求点M 的坐标．30．（2022春•岚山区期末）已知整点（横纵坐标都是整数）P0在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．例如在图1中，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B，也可以到达点C．设P0做一次跳马运动到点P1，做第二次跳马运动到点P2，做第三次跳马运动到点P3，…，如此依次进行．（1）若P0（1，0），则P1可能是下列的点．D（﹣1，2）；E（﹣2，0）；F（0，2）．（2）已知点P0（4，2），P2（1，3），则点P1的所有可能坐标为；（3）若P0（0，0），则P12、P13可能与P0重合的是．（4）如图2，点P0（1，0）沿x轴正方向向右上方做跳马运动，若P跳到Q1位置，称为做一次“正横跳马”；若P跳到Q2位置，称为做一次“正竖跳马”．当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点P n（14，11），求a+b的值．32．（2023•定远县校级三模）如图（1），是边长为1的正方形OBB1C，以对角线OB1为一边作第2个正方形OB1B2C1，再以对角线OB2为一边作第3个正方形OB2B3C2，…依次下去，则：（1）第2个正方形的边长＝，第10个正方形的边长＝，第n 个正方形的边长为．（2）如图（2）所示，若以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，则点B3的坐标是，点B5的坐标是，点B2014的坐标是．。

平面直角坐标系中点的变化规律哎呀，说起这个平面直角坐标系里的点，真是让人又爱又恨呢！想象一下，我们就像是在画布上跳舞的舞者，而点就是那些跳跃的小星星。

它们有的高高在上，有的低入尘埃，但无论如何变换，都离不开那个神秘的中心点。

让我们来谈谈这些点的移动。

就像你小时候玩过的积木一样，当风吹过，那些积木就会随着风的方向改变位置。

在平面直角坐标系里，点们也是这么回事，只不过这次是靠鼠标和键盘来指挥它们罢了。

想象一下，当你按下鼠标左键不放，然后向右拖动，那些点就像被施了魔法一样，开始向右边移动。

而当你松开鼠标右键时，它们又会突然跳回原来的位置，仿佛是在玩捉迷藏。

再来说说这些点的变换规则。

就像是一场没有硝烟的战争，每个点都有自己的小算盘和计划。

有时候，它们会像小鸟一样飞来飞去，一会儿向左，一会儿向右；有时候，它们又会像蜗牛一样慢悠悠地向前爬；还有的时候，它们会突然加速，像是在参加马拉松比赛。

这些变化虽然让人眼花缭乱，但它们背后却隐藏着一些有趣的数学规律。

比如，有些时候，你会发现这些点会围绕着一个中心点旋转；而有些时候，它们则会沿着一条直线前进。

这些规律就像是一张张神秘的地图，引导着我们去探索这个充满未知的世界。

当然啦，这些点的变化也给我们带来了很多乐趣。

比如说，当我们在玩游戏时，那些点会随着游戏的进行而不断变化，给我们带来了无尽的惊喜和刺激。

再比如说，当我们在画画时，那些点会随着我们的笔触而不断移动，让我们的作品更加生动有趣。

这些乐趣就像是生活中的调味品，让我们的生活充满了色彩和活力。

总的来说，平面直角坐标系里的点就像是一群调皮捣蛋的小精灵，它们在我们的生活中扮演着重要的角色。

无论是在工作还是在娱乐中，我们都需要学会与这些小精灵相处，掌握它们的规律，才能更好地在这个世界中游刃有余。

所以，让我们一起拿起手中的画笔或者鼠标，去探索这个充满奥秘的平面直角坐标系吧！。