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04
分布函数与概率密度函数的求解方法
离散型随机变量的求解方法
定义法
根据随机变量的定义，利用公式计算离散型随机变量的概率，从而得到其分布函 数和概率密度函数。
表格法
将随机变量取值的所有可能结果列成一个表格，计算每个可能结果的概率，从而 得到其分布函数和概率密度函数。
连续型随机变量的求解方法
公式法
连续型随机变量的关系
• 连续型随机变量的分布函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率。例如，正态分布的 分布函数可以表示为
• f(x) = 1/√(2πσ^2) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)), x∈R • 其中，μ是均值，σ是标准差。 • 连续型随机变量的概率密度函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率密度。例如，正
分布函数与概率密度函数的 求法
xx年xx月xx日
contents
目录
• 分布函数的定义与性质 • 概率密度函数的定义与性质 • 分布函数与概率密度函数的关系 • 分布函数与概率密度函数的求解方法 • 分布函数与概率密度函数的应用
01
分布函数的定义与性质
分布函数的定义
离散型随机变量的分布函数
对于离散型随机变量X，其分布函数F(x)定义为事件{X≤x}的概率，即F(x)=P(X≤x)。
分布函数与概率密度函数在统计分析中的应用
参数估计
假设检验
方差分析
相关分析
回归分析
利用样本数据估计未知 参数，包括点估计和区 间估计。
利用样本数据对未知参 数进行假设检验，包括 参数检验和非参数检验 。
分析多个因素对观测值 的影响，判断各因素对 观测值的影响是否显著 。
研究两个或多个变量之 间的相关关系，包括线 性相关和非线性相关。

《概率密度函数》课件

《概率密度函数》课件
概率密度函数的积分为1的性质是概 率论中的基本定理之一。这意味着概 率密度函数在整个定义域上的取值之 和为1，即所有可能事件发生的概率 之和为1。
期望和方差
总结词
概率密度函数的期望值和方差描述了随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是概率密度函数在定义域上的积分，表示随机变量的平均值或中心趋势。方差则描述了随机变 量取值离散程度的大小，即各个取值与期望值的偏离程度。期望值和方差是概率密度函数的重要特征 ，用于描述随机变量的统计特性。
二项分布
01
二项分布适用于描述伯努利试 验中成功的次数，例如抛硬币 的结果、遗传学中的基因型等 。
02
二项分布的概率密度函数是 f(k)=C(n, k)p^k(1-p)^(n-k) ，其中n是试验次数，k是成功 的次数，p是每次试验成功的 概率。
03
二项分布在统计学、生物学和 经济学等领域有广泛应用，例 如在可靠性工程、市场调查等 领域。
02
常见概率密度函数
正态分布
正态分布是一种常见的概率密 度函数，其概率密度曲线呈钟 形，对称轴为均值所在直线。
正态分布具有两个参数，即 均值和标准差，它们决定了
分布的形状和范围。
在自然界和社会现象中，许多 随机变量的概率分布都服从正 态分布，例如人类的身高、考
试分数等。
指数分布
01
指数分布适用于描述独立随机事件的时间间隔，例如电子元件 的寿命、排队等待时间等。
概率密度函数是微积分中连续函数概念在概率论中的推广。在微积分中，连续函 数可以用其导数描述其变化率；而在概率论中，概率密度函数描述了随机变量取 值在某个区间的概率与该区间长度的关系。
概率密度函数的积分（即概率质量函数）与微积分中的定积分有相似的性质和计 算方法。

2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt

2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解

概率密度函数

概率密度函数
而概率 P {Y ≥3 } = ∑k3=03 [C30k pk ( 1 – p)30 – k ]
根据指数分布的分布函数，这个人每次等车 时间超过 10 分钟的概率是： p = P { X ＞10 } = 1 – F (10) = 1 – [ 1 – e – 10 / 5 ] = e – 2 ; 每个月等车超过10 分钟的次数 Y ~ B(30,e – 2) ； 他至少有三天坐出租车上班的概率就是： P {Y ≥3 } = ∑k3=03 [C30k pk ( 1 – p)30 – k ] = 1 – ∑k=02 [C30k pk ( 1 – p)30 – k ]
假定通过考试的成绩至少要为 d 分 ，即必须有
P { X ≥ d } ≤ 0.05 P { X ≤ d } ≥ 0.95 。
根据定理 2.4.1， X – 60 ——— ~ N (0,1) 10
因此
d – 60 0.95 ≤P { X ≤ d } = (——— ) 10
查正态分布表，有，
(1.64) = 0.9495 ， (1.65) = 0.9505 ；
1 2
p ( x)
o

x
说明对于同样长度的区间，当参数 越大时，X 落在这个区间里的概率将越小，而当参数 越小时，X 落在这个区间里的概率将越大。
4. 标准正态分布 X ~ N ( 0 ,1 ) 参数 = 0 ， = 1 的正态分布 (1) 标准正态分布的密度函数
( x)
1 2
e
x2 2
, x
(2) 标准正态分布的分布函数
( x)


x
1 2
e
t2 2
dt , x

概率密度函数 ppt课件

概率密度函数 ppt课件
概率密度函数
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
b
P{axb}a f(x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
x
分布函数 F(x) f (t)dt
P {x1Xx2}xx 12 f(x)dx
(1 x 5)
0 其它
所求概率为 P { 1 } 1f(x)d x f(x)d x2
1
3
指数分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
ex
f(x)
x0(0为 常 数 ）
0 x0
则称X服从参数为 的指数分布.
X～ E()
分布函数
0
x0
F(x)1ex x0
f(x)和F(x)可用图形表示
f (x)
均匀分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1 f (x) b a
a xb
0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
分布函数
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
b x
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可
能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内
。 P(X a) 1 (a )
例 设X~N（1，4），求 P(0<X<1.6)
解
1, 2
P(0X1.6) (1.61)(01)
2
2
(0.3)(0.5)
(0.3)1 (0.5)

概率密度函数

概率密度函数

普通正态分布与标准正态分布
1 ( z) e 2
z2 2
,
z
Φ(Z)
φ(Z)
Z
( x )2 2 2
X
Z
Z
f ( x)
1 2
e
,
x
标准正态分布的累积概率函数
P ( a Z b)

b
1 2
a
1 2 z e 2 dz
N (, )
2
标准正态分布
• 标准正态离差
Z
X

z2 2
1 ( z) e 2
,
z
• 标准正态分布：N(0,1)
• 此概率密度函数实质上就是正态分布的概 率密度函数中μ=0，σ=1的情形。从几何 意义上说，此变换实质上是作了一个坐标 轴的平移和尺度变换，使正态分布具有平 均数为μ=0，标准差σ=1。这种变换称为 标准化正态变换。因此将这种具有平均数 为μ=0，标准差σ=1的正态分布称为标准 正态分布，记为N（0，1）。
第四军医大学卫生统计学教研室
2018年9月19日
Z值分布曲线下面积与概率
偏度系数和峰度系数
• 正态分布的特征，归纳起来有两点： 一是对称性（symmetry）
若分布不对称就是偏态，长尾拖向右侧 （变量值较大的一侧）叫做正偏态,或右偏 态；长尾拖向左侧（变量值较小的一侧）叫 做负偏态，或左偏态。
二是正态峰(mesokurtosis)
例4.7 某地调查正常成年男子144人，其红细胞数 近似服从正态分布，获得均数 x 55.381012 / L ， 12 标准差 s 0.44 10 / L ，试估计该地成年男 子红细胞数的95% 参考值范围。

3概率密度函数的估计79页PPT

3概率密度函数的估计79页PPT
➢样本集可按类别分开，不同类别的密度函数的参 数分别用各类的样本集来训练。
➢概率密度函数的形式已知，参数未知，为了描述
概率密度函数p(x|ωi)与参数θ的依赖关系，用
p(x|ωi,θ)表示。
独立地按概率密度p(x|θ)抽取样本集
K={x1, x2 ,…, xN}，用K估计未知参数θ
第三章 概率密度密度的估计
第三章 概率密度密度的估计
14
最大似然估计示意图
最大似 然估计
p(K|θ)
ln p(K|θ)
第三章 概率密度密度的估计
15
计算方法
最大似 然估计
最大似然估计量使似然函数梯度为0 ：
N
θ H (θ )|ˆM L θlnp (x k|θ )|ˆM L 0 k 1
T
θ 1
...
s
第三章 概率密度密度的估计
argmax p(K | ) p( )
p(K)
argmax p(K | ) p( )
第三章 概率密度密度的估计
17
贝叶斯决策问题与贝叶斯估计问题
贝叶斯 估计
贝叶斯决策问题: 样本x 决策ai 真实状态wj 状态空间A是离散空间 先验概率P(wj)
贝叶斯参数估计问题： 样本集K={xi} 估计量^s 真实参数s 参数空间S是连续空间 参数的先验分布p(s)
第三章 概率密度函数的估计
请各位思考的问题
+ 1、我们可以构造一个比贝叶斯规则更好的 分类器吗？
+ 2、利用贝叶斯法则构造分类器何要估计密度以及如何估计密度?
Table of Contents
第三章 概率密度密度的估计
4
3.1 引言
分类器
x1

第3章 概率密度函数的估计 ppt课件

第3章 概率密度函数的估计 ppt课件

问题假定：
①待估参数θ是确定的未知量 ②按类别把样本分成C类X1,X2,X3,… XM,
其中第i类的样本共N个,Xi = (X1,X2,… XN)T , 并且是独立从总体中抽取的
③ Xi中的样本不包含θj(i≠j)的信息，所以可 根据以上假以定对，每我一们类下样边就本可独以立只进利行用处第i理类。学习样本 来估计第 i④类的第概i类率的密度条，件其概它率类的的函概率数密形度式由已其知它类
实验室的研究生录取分数
不同实验室有个期望录取分数线 受到往年录取成绩的影响
假设只有两个真实取值:分数高vs分数低 某实验室去年都是”分数低”
同学A估计该实验室今年为"分数高“ 同学B估计该实验室今年为"分数低"
哪一个更接近于最大似然估计方法?
PPT课件
28
贝叶斯估计
问题假定：
2
需要研究的问题
研究如何用已知训练样本的信息去估计
P(ωi),P(x|ωi)
学习
分类器设计的步骤:
第一步: 利用样本集估计概率密度函数
训练
第二步: 利用概率密度函数进行分类决策
分类
PPT课件
3
贝叶斯决策理论设计分类器步骤
PPT课件
4
概率密度函数估计中的三个问题
如何利用样本估计概率密度函数 估计量的性质如何 利用样本集估计错误率的方法
时θ的条件期望，即

p( | x)d
PPT课件
35
贝叶斯估计
步骤
① 确定θ的先验分布p(θ),。
② 率用 密样 度本分布x=p(x(x1,| xθ2),，…它. x是N)Tθ求的出函样数本。的联合概

概率密度函数PPT课件

概率密度函数PPT课件

即
pY
y


2
y1
e2
y 1
0
y 1
16
例7 设随机变量 X ~ N ， 2 ，Y eX，试求随机变量
Y 的密度函数 pY y．
解: 由题设，知 X 的密度函数为
p x
1
e

x 2
2 2
2
x
当X为离散型随机变量时，Y g X , 也是离散型
随机变量。并且在 X 的分布列已知的情况下，求Y的
分布列是容易的。
X 1 0 1 2 3 例1 已知X的分布列为
pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求 Y1 X 1 Y2 2X Y3 X 2 的分布列。 解 由Y的分布列可列出
对于任意 x 恒有 g(x) 0 或恒有 g(x) 0 则
Y gX 是一个连续型随机变量，其反函数为
X hY . Y 的概率密度为
[h( y)] hy, y
pY ( y)
0,
其它
其中， min g(x), max g(x),
y
/
2
)
d
(e y dy
/
2
)
,

0,
0 ey/2 1 其它
得
pY
(
y)


1 2
e

y
/
2
,
y0
0,
其它
即Y服从参数为1/2的指数分布.
20
作业 P142 21 22 24 26
21
2019/11/30
.
22
0,
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P（a X b） (b) (a) P（X b） (b) P（X a） 1 (a)
查表 x 0时，(x)的值可以查表
x 0时, (x) 1 (x)
例
X ~ N（0，1）
P（1 X 2） (2) (1) 0.9772 0.8413 0.1359
P（X 1） (1) 1 (1) 1 0.8413 0.1587
概率密度函数
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
b
P{a x b} a f (x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概
率密度函数,简称概率密度或密度函数.
x
分布函数 F (x) f (t)dt
.精品课件.
1
P{x1 X x2}
X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间
上的定积分
.精品课件.
5
已知密度函数求概率
例 随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
a
cos
x
x
2
0
其它
解 利用密度函数的性质求出 a
f (x)dx 1
求 P(0 X )
4
1
f (x)dx
2
a
cos
xdx
1
2
a 2
P(0 X )
导数关系
若f (x)在x处连续，则F(x) f (x)
.精品课件.
4
连续型随机变量的分布函数的性质
连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0
P(X=a)=0
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
b
a f (x)dx
e x
f (x)
x0
( 0为常数）
0 x 0
则称X服从参数为 的指数分布.
X ～ E()
分布函数
0
x0
F
(
x)
1
e
x
x0
.精品课件.
14
f(x)和F(x)可用图形表示
f (x)
f (x)
1
O
x
O
.精品课件.
x
15
正态分布
若连续型随机变量X的概率密度为
f (x)
1
2
(
x
)2
2
e 2
(1)求 P(1 X 1) （2） 求 X 的分布函数
.精品课件.
10
均匀分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(
x)
b
a
a xb
0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
分布函数
0,
xa
F ( x)
xa ba
,
a xb
1, .精品课件.
b x
11
相同，不同
图形相似，位置平移
１
1 21 1 22
2
1 0.75
不同，相同
2 1.25 越小，图形越陡；
越大，图形越平缓
.精品课件.
18
正态分布的分布函数
x
F(x)
1
( x )2
e 2 2 dx
2
F(x) 1
1 2
.精品课件.
x
19
标准正态分布
定义 X ~ N（0，1）分布称为标准正态分布
x2 f (x)dx
x1
x1
x2
.精品课件.
2
概率密度函数的性质 (1)非负性
f (x) 0, x (, )
(2)规范性
f (x)
f (x)dx 1
.精品课件. P{ x } 1 3
密度函数和分布函数的关系 积分关系
x
F(x) f (x)dx
x
F(x) P{X x} f (x)dx
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可
能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内
的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖
于子区间的长度而与子区间的位置无关。
（
0
a
c
）
db
x
d
P{c X d} c f (x)dx
d1
d c
c
dx ba
ba
.精品课件.
。 P(a X b) (b ) ( a )
。 P( X b) (b )
。 P(X a) 1 ( a )
.精品课件.
24
例 设X~N（1，4），求 P(0<X<1.6)
解
1, 2
P(0 X 1.6) (1.6 1) (0 1)
2
2
(0.3) (0.5)
, ( 0)为常数
则称X服从参数为 , 2 正态分布，记为
X ~ N(, 2)
.精品课件.
16
正态分布的密度函数的性质与图形
1y
2
中间高 两边低
对称性 单调性 拐点
-
+
x
关于 x = 对称 （- ，）升，（，+ ）降
(
1 ,.精品课件.
1
e 2 );
2
f最大（）
1
17
2
μ，σ对密度曲线的影响
4
1
cos
xdx
2
4 02
4
.精品课件.
6
例 设随机变量X具有概率密度 求：（1）常数a；（2）
解 （3）X的分布函数 F(x)
（1）由概率密度的性质可知
所以 a＝1/2
.精品课件.
7
.精品课件.
8
已知分布函数求密度函数
例 随机变量 X 的分布函数为
0 x0
F
(
x)
x
2
0 x 1
1 x 1
y (x)
密度函数
(x)
Hale Waihona Puke 1x2e 2 偶函数
2
分布函数
x
(x)
1
x2
e 2 dx
2
.精品课件.
0 1
20
标准正态分布的概率计算
分布函数
(x) P{X x}
x
1
x2
e 2 dx
2
y (x)
(x) 1(x)
-x
X
(0) 0.5
.精品课件.
21
标准正态分布的概率计算
公式
12
例 设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x2 2 x 1 0
有实根的概率。
解 方程有实数根
4 2 4 0
即 1
1
而 的密度函数为 f (x) 6
(1 x 5)
0 其它
所求概率为 P{ 1}
1
f (x)dx
f (x)dx 2
1
3
.精品课件.
13
指数分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
解
(1)求 P(0.3 X 0.7)
（2)X 的密度函数
(1) P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
（2）密度函数为
f
(
x)
F
(x)
2x 0 x 1 0 otherwise
.精品课件.
9
Ex:已知连续型随机变量X的概率密度为
f (x) Ae x
P（ X 1） (1) (1.)精品课件2.(1) 1 0.6826
22
一般正态分布的标准化
定理
如果
X
~ N (, 2 ),
则
F
(
x)
x
概率计算
若 X ~ N(, 2)
P(a X b) (b ) (a )
.精品课件.
查标准正态 分布表
23
一般正态分布的区间概率
若 X ~ N (, 2 ) (x)为标准正态分布函数