概率及概率密度分布函数-PPT

因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
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12
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
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1
2
e dt x
(t )2 2 2
28
标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
200 ppt课件
850
18
2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些 关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个．
ppt课件
10
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。

x
x
2020年5月28日星期四
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第三章 连续型随机变量及其分布
4) 对任意x(,), F(x)是右连续的.
2020年5月28日星期四
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3.1 分布函数与 概率密度函数
例： 设随机变量X在区间[0,1]上取值，这是一个 连续随机变量。当0≤x≤1时，概率P {0≤X≤ x} 与x2成正比。试求X的分布函数F(x)。
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例： 设随机变量X在区间[0,1]上取值，这是一个 连续随机变量。当0≤a≤1时，概率P {0≤x≤ a } 与a2成正比。试求X的分布函数F(x)。
0, x 0;
F (x)
x
2
,0
x
1;
1, x 1.
F '(x)
f
(x)
2x,0 x 1;
0, 其他
x
F (x) f (t)dx
0,
F
(
x)
1
4 3
, ,
4 1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
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引例：
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
X -1
pk
1 4
23
11 24
30 P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1)
f (x)
x2 x1

04
分布函数与概率密度函数的求解方法
离散型随机变量的求解方法
定义法
根据随机变量的定义，利用公式计算离散型随机变量的概率，从而得到其分布函 数和概率密度函数。
表格法
将随机变量取值的所有可能结果列成一个表格，计算每个可能结果的概率，从而 得到其分布函数和概率密度函数。
连续型随机变量的求解方法
公式法
连续型随机变量的关系
• 连续型随机变量的分布函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率。例如，正态分布的 分布函数可以表示为
• f(x) = 1/√(2πσ^2) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)), x∈R • 其中，μ是均值，σ是标准差。 • 连续型随机变量的概率密度函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率密度。例如，正
分布函数与概率密度函数的 求法
xx年xx月xx日
contents
目录
• 分布函数的定义与性质 • 概率密度函数的定义与性质 • 分布函数与概率密度函数的关系 • 分布函数与概率密度函数的求解方法 • 分布函数与概率密度函数的应用
01
分布函数的定义与性质
分布函数的定义
离散型随机变量的分布函数
对于离散型随机变量X，其分布函数F(x)定义为事件{X≤x}的概率，即F(x)=P(X≤x)。
分布函数与概率密度函数在统计分析中的应用
参数估计
假设检验
方差分析
相关分析
回归分析
利用样本数据估计未知 参数，包括点估计和区 间估计。
利用样本数据对未知参 数进行假设检验，包括 参数检验和非参数检验 。
分析多个因素对观测值 的影响，判断各因素对 观测值的影响是否显著 。
研究两个或多个变量之 间的相关关系，包括线 性相关和非线性相关。

0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
P( X 30) P(30 X 30)
(30 20) ( 30 20)
40
40
(0.25) (1.25)
(0.25) [1 (1.25)]
0.5987 (1 0.8944) 0.4931.
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 ,
1
则当 很小时，
1.5
曲线的形状与一尖塔相似；
3
当 值增大时，
7.5
O
x
曲线将趋于平坦.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的分布函数为
F(x) 1
P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
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所以，在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过

0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.

2013-3-13
山东工商学院计算机学院

2013-3-13 山东工商学院计算机学院 25


【4-9】 利用函数binopdf()产生二项分布的概率密度函数，并进行显示 >> x=0:10; >> y=binopdf(x,10,0.5); >> plot(x,y,'r*')
2013-3-13
山东工商学院计算机学院
26
0.25
【例4-4】 利用函数poisscdf()产生泊松分布的概率密
度函数，并进行显示
>> x=1:50; >> y=poisscdf(x,25); >> figure; >> plot(x,y,'r+'); >> title('泊松分布');
2013-3-13
山东工商学院计算机学院
13
泊松分布 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
参数为lambda的泊松分布的概率密度函数值poisspdfxlambdapoisspdf参数为mkn的超几何分布的概率密度函数值hygepdfxmknhygepdf参数为p的几何分布的概率密度函数值geopdfxpgeopdf参数为np的二项分布的概率密度函数值binopdfxnpbinopdf参数为ab的韦伯分布概率密度函数值weibpdfxabweibpdf参数为b的瑞利分布概率密度函数值raylpdfxbraylpdf参数为ndelta的非中心卡方分布概率密度函数值ncx2pdfxndeltancx2pdf参数为ndelta的非中心t分布概率密度函数值nctpdfxndeltanctpdf参数为n1n2delta的非中心f分布概率密度函数值ncfpdfxn1n2deltancfpdf参数为rp的负二项式分布概率密度函数值nbinpdfxrpnbinpdf参数为musigma的对数正态分布概率密度函数值lognpdfxmusigmalognpdf分布概率密度函数值betapdfxabbetapdf分布概率密度函数值gampdfxabgampdf第一自由度为n1第二自由度为n2的f分布概率密度函数值fpdfxn1n2fpdf自由度为n的t分布概率密度函数值tpdfxntpdf自由度为n的卡方分布概率密度函数值chi2pdfxnchi2pdf参数为musigma的正态分布概率密度函数值normpdfxmusigmanormpdf参数为lambda的指数分布概率密度函数值exppdfxlambdaexppdf均匀分布离散概率密度函数值unidpdfxnunidpdfab上均匀分布连续概率密度在xx处的函数值unifpdfxabunifpdf注释调用形式函数名参数为ab的参数为ab的参数为lambda的泊松分布的累积分布函数值fxpxxpoisscdfxlambdapoisscdf参数为mkn的超几何分布的累积分布函数值hygecdfxmknhygecdf参数为p的几何分布的累积分布函数值fxpxxgeocdfxpgeocdf参数为np的二项分布的累积分布函数值fxpxxbinocdfxnpbinocdf参数为ab的韦伯分布累积分布函数值fxpxxweibcdfxabweibcdf参数为b的瑞利分布累积分布函数值fxpxxraylcdfxbraylcdf参数为ndelta的非中心卡方分布累积分布函数值ncx2cdf

第三章 随机变量及其分布
一、随机变量的独立性
§4随机变量的独立性
设 (X， Y )是二维随机变量，其联合分布函数为 F (x， y) ，又随机变量X 的分布函数为FX (x)， 随机变量Y 的分布函数为FY ( y)．
如果对于任意的x， y，有
F (x， y) FX (x) FY (y)
则称 X， Y 是相互独立的随机变量．
第三章 随机变量及其分布
一 、离散型随机变量的条件分布律
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：
P{ X xi } pi• pi j , i 1,2, j 1
1 2
- 2)
(y
- 2 )2
2 2
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第三章 随机变量及其分布
又随机变量Y 的边缘密度函数为
§3条件分布
fY (y)
1
- ( y-2 )2
e 2
2 2
2 2
(- < y < )
因此，对任意的 y，fY ( y) 0，
( ) ( ) f X Y
xy
f (x， y) fY (y)
所以，当0 < y < 1时， 0,
其它.
fY (y) f (x，
-
y)dx
y 1 dx - ln(1 -
0 1- x
y
y).
所以，随机变量 Y 的密度函数为
1
fY
(y)
ln(1 -
0,
y),

2、若一批玉米种子发芽率为0.9，发芽后能 出土的概率为0.8，求这批种子的出苗率?
三、概率分布
若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的全 部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知 道随机试验的概率分布(probability distribution)。
为了深入研究随机试验 ，先引入随机变量(random variable)的概念。
二项分布的累计函数:
i
F(x) P(x) x0
x ~ B(n, p)
性质
n
由于(p+q)n=1，所以 P( x) 1 x0
二项分布的数学期望 E(x)=np
方差 D(x)=npq
标准差 npq
例如：某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即 p=0.4，现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次 抽样10头为一组治疗。试问如新药无疗效，则在10头 中死3头、2头、1头以及全部愈好的概率为多少？
对立事件
必有一件发生，但 A+B=U; A•B=V;B=Ā;
不同时发生，也不 P(A+B)=1; P(A•B)=0;
能同时不发生
P(B)=P(Ā)=1-P(A)
互不相关; 独立事件 多个彼此独立事件 P(A•B)=P(A)•P(B);
1、有一批种子，其中二级占5%,一级占 10%，其余为三级，问三级种子占多少？
时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。
lim n
P |
1 n
Xi
|
1
意义：当n很大时，独立同分布的随机变量的平均值
依概率收敛于它的数学期望 。
切比雪夫大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立，每个Xk的方差存在，且一
致有界， 即存在常数c，使得

概率密度函数
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
b
P{axb}a f(x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
x
分布函数 F(x) f (t)dt
P {x1Xx2}xx 12 f(x)dx
(1 x 5)
0 其它
所求概率为 P { 1 } 1f(x)d x f(x)d x2
1
3
指数分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
ex
f(x)
x0(0为 常 数 ）
0 x0
则称X服从参数为 的指数分布.
X～ E()
分布函数
0
x0
F(x)1ex x0
f(x)和F(x)可用图形表示
f (x)
均匀分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1 f (x) b a
a xb
0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
分布函数
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
b x
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可
能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内
。 P(X a) 1 (a )
例 设X~N（1，4），求 P(0<X<1.6)
解
1, 2
P(0X1.6) (1.61)(01)
2
2
(0.3)(0.5)
(0.3)1 (0.5)

注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13


事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定

例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖

24
例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求 解1：
号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．
----------与k无关
可设想将n个球进行编号： 其中
18
性质：
19
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
20
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
31
三、全概率公式与Bayes公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。
32
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称：
试验序号
n =5
n =50
n =500
nH
fn(H)
nH
fn(H)
nH
fn(H)
12345678910
2315124233
0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6
22252125242118242731
0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62

Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
例1、设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
(1) P( X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解: (1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
求导得到 Y 的概率密度
fY ( y)
1
1 y
y 2e 2,
2π0,y 0; y Nhomakorabea.所得的分布称为自由度为1的 2分布.
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
小结
1.正态分布N ( , 2 )的概率密度：
f (x)
1
2 π
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N (0 ,1)的概率密度与分布函数：
2
e t2 2dt
所以,
D(X ) 2 , (X ) .
x t
2π ,
§4、2 正态分布得数字特征
正态分布的参数 是该分布的数学期望,另一个 参数 是该分布的标准差.
正态分布得概率密度完全由数学期望和方差决定、
§4、2 正态分布得数字特征
定理2、设随机变量 X 服从正态分布，则k 阶中心矩
则 X 的数学期望为 _____ , 方差为 ______.
解: X 的概率密度可以写为
f (x)
1 2π
1
exp[
(x 2(
1)2 1 )2
]
2
2
由此可知, X ~ N (1 , 1) . 于就是有E,( X ) 1 , D( X ) 1.