《数学建模》第一章 建立数学模型

《数学建模（公选）》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：12130541课程英文名称: Mathematical Modelling课程面向专业：理工类专业课程类型：选修课先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计学分：2.5总学时：48 (其中理论学时：48 ；实验学时：0)二、课程性质与目的本课程主要介绍用数学知识解决实际问题的手段——建立数学模型。

通过教学,使学生掌握数学模型的基本知识；培养学生认识问题，用数学模型和计算机分析解决实际问题的初步能力；增强学生学习数学的兴趣和自学的能力，了解数学的一些应用分支的理论，会建立相应的简单模型，并能对模型进行分析。

三、课程教学内容与要求第一章建立数学模型1、教学内容与要求主要内容：学习数学建模课程的意义；数学模型的定义及分类；建立数学模型的方法及步骤；数学建模示例。

基本要求：了解数学模型的意义及分类，理解建立数学模型的方法及步骤。

2、教学重点：数学建模的基本方法和步骤。

3、教学难点：数学建模初步能力的培养。

第二章初等模型1、教学内容与要求主要内容：比例方法建模；类比方法建模；定性分析方法建模；量纲分析方法建模；初等模型举例。

基本要求：掌握比例方法，类比方法，定性分析方法及量纲分析方法建模的基本特点。

能运用所学知识建立数学模型，并对模型进行综合分析。

2、教学重点：比例方法建模，类比方法建模。

3、教学难点：量纲分析法建模第三章简单的优化模型1、教学内容与要求主要内容：存贮模型；生猪的出售时机；森林救火；冰山运输；量纲分析法基本要求：理解优化模型的一般意义，能运用高等数学的知识解决简单的优化模型。

掌握较简单的优化模型的建立和解法。

2、教学重点：比例方法建模，类比方法建模3、教学难点：量纲分析法建模第四章数学规划模型1、教学内容与要求主要内容：奶制品的生产与销售；自来水输送与货机装运；汽车生产与原油采购；接力队的选拔与选课策略；饮料厂的生产与检修；钢管和易拉罐下料基本要求：理解线性规划、整数规划模型和非线性规划模型的基本特点，能熟练利用数学软件进行数学规划模型的求解与灵敏度分析。

《数学建模》课程教学大纲课程编号：20811012总学时数：32（理论 32）总学分数：2课程性质：专业基础和专业课程适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：课程的性质和任务：数学建模是数学与应用数学专业、信息与计算数学专业的一门必修课程，是大学数学课程的重要组成部分，它是在数学分析、高等代数、概率论与数理统计等课程基础上开设的重要教学环节，它将数学知识、实际问题与计算机应用有机地结合起来，旨在培养学生运用所学知识解决实际问题的意识和创新思维，激发学生学习数学的兴趣，了解数学广泛的应用领域，提高学生的综合素质和分析问题、解决问题的能力。

课程的基本要求：1、在大学数学基础课的教学内容基础上进一步突出培养学生解决实际问题的能力；2、学会运用数学知识建立实际问题的数学模型并求解，对较复杂的问题能够使用数学软件或编程求解；二、基本内容和要求：（一）建立数学模型内容：（1）初等建模示例：椅子能在不平地面上放稳吗，预报人口增长等；（2）有关数学建模的基本知识。

目的和要求：理解数学模型的意义、内容和方法，掌握建立数学模型的一般步骤。

（二）初等模型内容：（1）建模示例：公平席位分配，双层玻璃窗的功效等；（2）讨论与交流：录音机计数器，商品的包装。

目的和要求：由建模实例进一步了解和熟悉建模的方法和步骤，了解对实际问题的分析、抽象过程，基本掌握用初等方法建立数学模型。

（三）简单的优化模型内容：（1）建模示例：存储模型，森林救火，最优价格等；（2）讨论与交流：冰山运输目的和要求：基本掌握建立静态优化模型的一般方法，会利用微分法解决优化问题。

（四）数学规划模型内容：（1）建模示例：奶制品的生产与销售，汽车生产与原油采购，钢管和易拉罐下料等；（2）讨论与交流：自来水的输送，接力队员的选拔目的和要求:理解规划优化模型的思想与意义，掌握建立规划模型的一般方法，能够利用优化软件求解规划模型的解。

（五）微分方程模型内容：（1）建模示例：传染病模型，战争模型，药物在体内的分布和排除，人口的预测和控制等；（2）讨论与交流：烟雾的扩散和消失目的和要求:基本掌握用微分方程建立动态模型，并能够利用稳定性理论对问题的解进行讨论。

《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。

数学建模课教案数学建模的基本步骤与方法一、教学内容本节课我们将学习《数学建模》的第一章“数学建模的基本步骤与方法”。

具体内容包括数学模型的构建、数学模型的求解、数学模型的检验和优化等。

二、教学目标1. 理解数学建模的基本概念，掌握数学建模的基本步骤。

2. 学会运用数学方法解决实际问题，培养解决问题的能力。

3. 培养学生的团队协作能力和创新精神。

三、教学难点与重点教学难点：数学模型的构建和求解。

教学重点：数学建模的基本步骤及方法。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：数学建模教材、计算器、草稿纸。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中的数学问题，激发学生的兴趣，引入数学建模的概念。

2. 理论讲解（15分钟）讲解数学建模的基本步骤：问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验和优化。

3. 例题讲解（20分钟）以一个简单的实际问题为例，带领学生逐步完成数学建模的过程。

4. 随堂练习（15分钟）学生分组讨论，针对给定的问题，完成数学建模的练习。

5. 小组展示与讨论（15分钟）6. 知识巩固（10分钟）六、板书设计1. 数学建模的基本步骤1.1 问题分析1.2 模型假设1.3 模型建立1.4 模型求解1.5 模型检验和优化2. 例题及解答七、作业设计1.1 问题：某城市现有两个供水厂，如何合理调配水源，使得居民用水成本最低？1.2 作业要求：列出模型的假设、建立模型、求解模型并检验。

2. 答案：见附件。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学建模的基本步骤和方法掌握程度如何？哪些环节需要加强？2. 拓展延伸：引导学生关注社会热点问题，尝试用数学建模的方法解决实际问题。

重点和难点解析1. 实践情景引入2. 例题讲解3. 教学难点：数学模型的构建和求解4. 作业设计一、实践情景引入情景：某城市准备举办一场盛大的音乐会，门票分为三个档次：VIP、一等座和二等座。

数学建模第三版习题答案数学建模是一门应用数学的学科，通过建立数学模型来解决实际问题。

《数学建模第三版》是一本经典的教材，其中的习题对于学生来说是非常重要的练习材料。

在这篇文章中，我将为大家提供《数学建模第三版》习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用数学建模的知识。

第一章：数学建模的基础知识1. 数学建模的定义：数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来解决问题的过程。

2. 数学建模的基本步骤：问题的分析与理解、建立数学模型、求解数学模型、模型的验证与应用。

3. 数学建模的分类：确定性建模和随机建模。

4. 数学建模的特点：抽象性、理想化、简化性和应用性。

第二章：线性规划模型1. 线性规划模型的基本形式：目标函数和约束条件都是线性的。

2. 线性规划模型的求解方法：图形法、单纯形法和对偶理论。

3. 线性规划模型的应用：生产计划、资源分配、运输问题等。

第三章：整数规划模型1. 整数规划模型的基本形式：目标函数是线性的，约束条件中包含整数变量。

2. 整数规划模型的求解方法：分枝定界法、割平面法、动态规划法等。

3. 整数规划模型的应用：项目选择、装配线平衡问题、旅行商问题等。

第四章：动态规划模型1. 动态规划模型的基本思想：将一个大问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解整个问题的最优解。

2. 动态规划模型的求解方法：递推法、备忘录法和自底向上法。

3. 动态规划模型的应用：背包问题、最短路径问题、最长公共子序列问题等。

第五章：非线性规划模型1. 非线性规划模型的基本形式：目标函数和约束条件中包含非线性函数。

2. 非线性规划模型的求解方法：牛顿法、拟牛顿法、全局优化法等。

3. 非线性规划模型的应用：经济增长模型、生态系统模型、医学诊断模型等。

第六章：图论模型1. 图论模型的基本概念：顶点、边、路径、回路等。

2. 图论模型的求解方法：深度优先搜索、广度优先搜索、最短路径算法等。

《数学建模（一）》课程教学大纲【课程基本情况】一、课程代码：000373二、课程类别及性质：公共选修课三、课程学时学分：54学时（教学：24 实践：30）2学分四、教学对象：12、13级学生五、课程教材：《数学模型》、姜启源谢金星叶俊等、高等教育出版社六、开设系（部）：信科系七、先修课：高等数学、线性代数【教学目的】通过本课程的学习，使学生能够较好地理解数学模型、数学建模的含义，了解数学建模的重要性。

通过示例的学习使同学们基本掌握建立数学模型的方法和步骤，并能通过数学方法、数学软件求解模型，而且能够对模型的精准性进行分析。

通过学习，培养了同学们的把实际问题表述成数学问题的能力，从而提高了他们的抽象思维能力。

并且通过MATLAB、LINGO 数学软件的应用，提高了他们的计算机应用水平。

【教学内容、基本要求及学时分配】第一章建立数学模型教学时数：2学时第一节从现实对象到数学模型基本要求：掌握数学模型、数学建模的含义。

第二节数学建模的重要意义基本要求：了解数学建模的重要性。

第三节数学建模的示例（不讲授）基本要求：掌握三个示例的建模过程；重点：模型的建立、模型的求解。

第四节数学建模的基本方法和步骤基本要求：掌握数学建模的基本方法和步骤；重点：建模的基本方法和步骤。

第五节数学模型的特点和分类基本要求：了解数学模型的特点和分类。

第六节数学建模能力的培养（不讲授）基本要求：了解建立数学模型所需要的能力。

第二章初等模型教学时数：4学时第一节公平的席位分配基本要求：掌握公平席位的建模方法；重点：建立数量指标。

第二节录像机计数器的用途基本要求：掌握录像机计数器的建模方法；重点：模型的假设及模型的构成。

难点：建立模型的过程。

第三节双层玻璃的功效基本要求：掌握双层玻璃的功效的建模方法及模型应用；重点：模型的构成。

第四节汽车刹车距离基本要求：掌握t秒准则的建立方法；重点：模型建立的过程。

第五节划艇比赛的成绩（不讲授）第六节动物的身长和体重（不讲授）第七节实物交换（不讲授）第八节核军备竞赛（不讲授）第九节扬帆远航（不讲授）第十节量纲分析与无量纲化（不讲授）第三章简单的优化模型教学时数：4学时第一节存贮模型基本要求:掌握存贮模型在两种情况下的建模方法；重点：模型假设。

1数学建模概述⏹ 数学模型 ⏹ 数学建模过程 ⏹ 数学建模示例⏹ 建立数学模型的方法和步骤 ⏹数学模型的分类1数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。

直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。

物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。

思维模型，符号模型，数学模型 数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。

它是模型的一种。

2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。

3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。

数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。

总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。

古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。

文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。

微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。

费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。

牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得221r m m G F =ma F =⎩⎨⎧=⋅-=⋅+75050)(75030)(y x y x 小时）（千米小时）（千米/5/20==y x答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米小时。

数学建模练习与思考题第⼀部分练习与思考题第1章建⽴数学模型1.1 在稳定的椅⼦问题中，如设椅⼦的四脚连线呈长⽅形，结论如何？（稳定的椅⼦问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商⼈们安全过河问题中，若商⼈和随从各四⼈，怎样才能安全过河呢？⼀般地，有n 名商⼈带n 名随从过河，船每次能渡k ⼈过河，试讨论商⼈们能安全过河时，n 与k 应满⾜什么关系。

（商⼈们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 ⼈、狗、鸡、⽶均要过河，船需要⼈划，另外⾄多还能载⼀物，⽽当⼈不在时，狗要吃鸡，鸡要吃⽶。

问⼈、狗、鸡、⽶怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船⾄多载两⼈，条件是任⼀⼥⼦不能在其丈夫不在的情况下与其他的男⼦在⼀起。

问怎样过河？1.5 如果银⾏存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银⾏存⼊多少元？⽽到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的Logistic 模型为2610251251N N dt dN ?-=，如果不考虑该市的流动⼈⼝的影响以及⾮正常死亡。

设该市1990年⼈⼝总数为8000000⼈，试求该市在未来的⼈⼝总数。

当∞→t 时发⽣什么情况。

1.7 假设⼈⼝增长服从这样规律：时刻t 的⼈⼝为)(t x ，最⼤允许⼈⼝为m x ，t 到t t ?+时间内⼈⼝数量与)(t x x m -成正⽐。

试建⽴模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进⾏⽐较。

1.8 ⼀昼夜有多少时刻互换长短针后仍表⽰⼀个时间？如何求出这些时间？1.9 你在⼗层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下⼏个楼层？1.10 居民的⽤⽔来⾃⼀个由远处⽔库供⽔的⽔塔，⽔库的⽔来⾃降⾬和流⼊的河流。

⽔库的⽔可以通过河床的渗透和⽔⾯的蒸发流失。

如果要你建⽴⼀个数学模型来预测任何时刻⽔塔的⽔位，你需要哪些信息？第2章初等模型2.1 学校共1000名学⽣，235⼈住在A 宿舍，333⼈住在B 宿舍，432⼈住在C 宿舍。

《数学模型》课程教学大纲一、《数学模型》课程说明（一）课程编号：07251105（二）英文名称：Mathmatic Modeling（三）开课对象：数学与应用数学专业（四）课程的性质：数学建模是为数学与应用数学专业开设的一门学科基础课，其先修课程有数学分析、高等代数、概率论与数理统计、数学实验等。

它是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。

（五）教学目的：数学建模是继本科生学习数学分析、高等代数、概率论与数理统计之后进一步提高运用数学知识解决实际问题，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。

通过具体实例引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型。

学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态．通过数学模型有关的概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导计算和简化分析能力、熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。

（六）教学要求和方法1.教学要求本课程主要介绍在数学应用中已经比较完善的数学模型，包括初等模型、简单优化模型、线性规划模型、离散模型、离散模型、微分方程模型、差分方程、概率统计模型等内容。

要求学生了解数学建摸的基本概念及基本方法，学会将学过的数学方法和知识同周围的现实世界联系起来，甚至和真正的实际问题联系起来。

不仅应使学生知道数学有用、怎么用，更要使学生体会到在真正的应用中还需要继续学习。

2.教学方法本课程将课堂讲授与上机实习结合起来，以课堂讲授为主。

课堂讲授旨在教学生如何建立模型，讲授中穿插各类数模实例，与现实中的各类实际问题相结合，启发学生自主思考和研究问题，找寻解决问题的数学模型和实际方法。

除此外，还会讲解数学建模论文的书写方法，以论文的形式完成建模和研究工作。

上机旨在教学生如何求解模型，以学生自主学习为主，结合课堂学习内容完成课堂布置的作业，利用数学软件求解模型结果。

《数学建模》公共选修课程教学大纲Mathematics Modeling课程代码： 课程归属：科学类开课校区：大学城开课学期：下学期容纳学生数：160 不适用专业：数学、文科类总学时数：24 总学分数：1.5编写年月：2006年6月修订年月：2007年7月执笔：陈学松一、课程的目的数学建模课是培养学生在实际问题中的数学应用意识、训练学生把科技、社会等领域中的实际问题按照既定的目标归结为数学形式，以便于用数学方法求解得出更深刻的规律和属性，提高学生数学建模素质的一门数学应用类课程。

通过本课程的学习，使学生较为系统的获得利用数学工具建立数学模型的基本知识、基本技能与常用技巧，培养学生的抽象概括问题的能力，用数学方法和思想进行综合应用与分析问题的能力，并着力导引实践—理论—实践的认识过程，培养学生辩证唯物主义的世界观。

二、课程教学内容及学时分配第一章建立数学模型（2学时）1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模示例：如何预报人口的增长1.3数学建模的基本方法和步骤1.4数学建模方法的特点和分类1.5数学建模能力的培养第二章初等数学模型（2学时）2.2录像机计数器；2.4汽车刹车距离2.6核军备竞赛；2.10量纲分析与无量纲化第三章简单优化模型（4学时）3.3森林救火；3.4最优价格3.6消费者的选择；3.7冰山运输第五章微分方程模型（4学时）5.1传染病模型；5.2经济增长模型5.6人口预测；5.7烟雾的扩散与消失第六章稳定性模型（2学时）6.1捕鱼业的持续收获；6.2军备竞赛6.3种群的相互竞争；6.6稳定性理论第七章差分方程模型（2学时）7.1市场经济中的蛛网模型；7.2减肥计划7.3差分形式的阻滞增长模型；7.5差分方程简介第八章离散模型（2学时）8.1层次分析模型；8.2循环比赛的名次8.3社会经济系统的冲量过程；8.4效益的合理配第九章概率模型（2学时）9.1传送系统的效率；9.2报童的诀窍9.3随机存储策略；9.6航空公司的预定票策略第十章统计回归模型（2学时）10.1牙膏的销售量；10.2软件开发人员的薪金10.3 酶促反应；10.5教学评估三、课程教学的基本要求本课程是一门理论与实践联系的很密切的专业基础课程，操作性较强。