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( x30 )2
A(x) e 20 ,
( x60 )2
B(x) e 20
x=linspace(0, 100, 601); y=exp(-((x-30)/20).^2); z=exp(-((x-60)/20).^2); y2=min(y,z); plot(x,y,x,z),hold on,fill([x,100,0],[y2,0,0],‘r')
一般形式： A {(u, A(u)) | u U}
∑形式（限于论域是有限或可数的情况）：
A A(ui ) i ui 向量形式： A ( A(u1), A(u2 ), , A(un ))
积分形式(限于U不可数）： A A(u) uU u
注：以上记号仅限于符号，没有求和、积分的意思。
定义1.2.1 设A是论域U到[0，1]的一个映射，即 A：U→[0，1]
x A(x) 称A是U上的模糊集，而函数 A() 称为模糊集A的隶 属函数，A(x) 称为 x 对模糊集A的隶属度。
普通集U的所有子集构成的集合称为U的幂集(power set)，记 为 P (U). 注意到：每一个U的子集对应一个特征函数，即
但U中有的子集并非如此：考虑年龄集U=[0,100]，A=“年 老”，A也是一个年龄集，u = 20 ∉ A，40 呢？…查德给出了 “年老” 集隶属函数（membership function）刻画:
A(u)
(1
(
u
0 50
5
)
2
)1
0 u 50 50 u 100
( x50 )2
A(x) e 20 ,
Ac
(x)
1
(
e
x 50 20
)2
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
A(x)
Ac (x)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
例1 设 U=｛u1, u2, u3, u4, u5｝
A 0.2 0.7 1 0.5 u1 u2 u3 u5
模糊数学的产生与发展
美国控制论专家L. A. Zadeh 在20世纪50年代到60年代 在最优性检验、决策、控制及有关的领域做出了出色的工 作，在长期的研究中他认识到经典数学的局限性，于1965 年在杂志Information and Control 上发表著名的论文Fuzzy Sets，标志着模糊数学的诞生。
A( x)
ek ( x4)2
0
| x 4 | | x 4 |
1
0.9
0.8
x=linspace(0, 8, 600);
0.7
y=(x<=6 & x>2).*exp(-(x-4).^2); 0.6
0.5
plot(x,y)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
( x50 )2
A(x) e 10 ,
( x50 )2
B(x) e 20
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
10
20
B(x)
A(x)
30
40
50
60
70
80
90
100
A(x) B(x)
定义2 设A，B∈F （U）,分别称运算A∪B、A∩B为A 与B的并集、交集。称AC为A的补集或余集。 它们的隶属函数分别为
8
§1.3 F集的运算
两个模糊集之间的运算，就是逐点对隶属函数作相应的运算。 定义1 设A，B∈F (U)，若 ∀u∈U，B(u)≤A(u) 则称A包含B，记为B⊆A。
例： A 0.2 0.8 1 0.8 0.2 2 345 6
B 0.2 0.7 0.9 0.8 0.1 23456
B(x) e 20
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
A(x)
10
20
30
40
B(x)
50
60
70
80
90
100
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
( x30 )2
A(x) e 20 ,
( x60 )2
B(x) e 20
x=linspace(0, 100, 601); y=exp(-((x-30)/20).^2); z=exp(-((x-60)/20).^2); y1=max(y,z); plot(x,y,x,z),hold on,fill([x,100,0],[y1,0,0],'y')
B(x) e 20
x=linspace(0, 100, 601); y=exp(-((x-30)/20).^2); z=exp(-((x-60)/20).^2); plot(x,y,x,z)
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
( x30 )2
A(x) e 20 ,
( x60 )2
例4 设论域为实数域R，A表示 “靠近4的数集”，则 A∈F （R）。它的隶属函数是
A( x)
ek ( x4)2
0
| x 4 | | x 4 |
A(u)
其中参数δ>0，
κ>0。见右图
1
0 4 -δ
4
u 4 +δ
例4 设论域为实数域R，A表示 “靠近4的数集”，则 A∈F （R）。它的隶属函数是
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
( x30 )2
A(x) e 20 ,
( x60 )2
B(x) e 20
1
Байду номын сангаас
0.9
0.8
0.7 A(x)
0.6 0.5
B(x)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
A(x) B(x)
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
B 0.5 0.3 0.1 0.7 u1 u2 u4 u5
则按以上运算定义可得：
0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
AB
u1
u2
u3
u4
u5
0.5 0.7 1 0.1 0.7 u1 u2 u3 u4 u5
国内杂志 “模糊系统与数学”。
1.2 F集的基本概念
给定一个集合U，子集A⊂U，U中元素u与A的关系
u U, 或 u A, 或 u A.
这种隶属关系可用一个函数表示
U
1 u A CA(u) ˆ A(u) 0 u A
A
u
此函数称为集合A的特征函数(characteristic function )，它 刻画了U中元素是否属于A，元素u与A的关系绝对是“非 此即彼”。
例3 设U= ｛1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ｝，A表示 “ 靠近4 ” 的数 集，则A∈F （U），各数属于A的程度 A (ui) 如下表：
u 1 2345 6 A(u) 0 0.2 0.8 1 0.8 0.2
则A可表示为：
（1）一般式： A {(1,0),(2,0.2),(3,0.8),(4,1),(5,0.8),(6,0.2)}
(A B)(u) A(u) B(u) max(A(u), B(u)) (A B)(u) A(u) B(u) min(A(u), B(u)) Ac (u) 1 A(u)
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
( x30 )2
A(x) e 20 ,
( x60 )2
50年来模糊数学发展很快，其应用几乎覆盖了国民经 济各 个领域，如农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、 军事、社会治安等。
[1] Zadeh LA, Fuzzy sets, Information and Control , l8 (1965) 338–353.
刘应明院士是模糊数学界代表性人物。 国外杂志“Fuzzy Sets and Systems”，
或舍弃隶属度为0的项，记为
A {(2,0.2),(3,0.8),(4,1),(5,0.8),(6,0.2)}
∑形式：
A 0 0.2 0.8 1 0.8 0.2 12 345 6
0.2 0.8 1 0.8 0.2 2 345 6
向量形式：A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
P （U）=｛A| A⊆U｝={ A | A: U→{0, 1} }
1 x A A ˆ A(x) 0 x A
论域U上所有模糊集的全体记为 F（U）。
注意到：每一个U的模糊子集对应一个隶属函数，即
显然有
F（U）={A｜A: Ｕ→[0,1]} P (U) ⊆ F (U)
Ｆ集合的表示方法：
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
( x50 )2
A(x) e 10 ,
( x50 )2
B(x) e 20
x=linspace(0, 100, 601); y=(x<=100 & x>0).*exp(-((x-50)/10).^2); plot(x,y) z=(x<=100 & x>0).*exp(-((x-50)/20).^2); plot(x,y,x,z)
