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目录
序言 F集合 F模式识别 F聚类 F评判 F数
模糊数学是研究什么的？
模糊现象：“亦此亦彼”的不分明现象
模糊数学——研究和揭示模糊现 象的定量处理方法。
1.1引言
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律
性靠经典数学去刻画；
此即彼”。
但U中有的子集并非如此：考虑年龄集U=[0,100]，A=“年
老”，A也是一个年龄集，u = 20 ∉ A，40 呢？…查德给出了 “年老” 集隶属函数（membership function）刻画:
0 0 u 50 u 50 2 1 A(u) (1 ( ) ) 50 u 100 5
2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;
3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等 等。
此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。
模糊数学的产生与发展
美国控制论专家L. A. Zadeh 在20世纪50年代到60年代 在最优性检验、决策、控制及有关的领域做出了出色的工 作，在长期的研究中他认识到经典数学的局限性，于1965 年在杂志Information and Control 上发表著名的论文Fuzzy Sets，标志着模糊数学的诞生。 50年来模糊数学发展很快，其应用几乎覆盖了国民经 济各 个领域，如农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、 军事、社会治安等。 [1] Zadeh LA, Fuzzy sets, Information and Control , l8 (1965) 338–353.
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
A( x) e
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
(
x 30 2 ) 20
,
B( x ) e
(
x 60 2 ) 20
A( x)
B( x)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
plot(x,y,x,z)
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
A( x) e
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
(
x 50 2 ) 10
,
B( x ) e
(
x 50 2 ) 20
B( x)
A( x)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A( x) B( x)
定义2 设A，B∈F （U）,分别称运算A∪B、A∩B为A 与B的并集、交集。称AC为A的补集或余集。 它们的隶属函数分别为
( A B)(u) A(u) B(u) max( A(u), B(u)) ( A B)(u) A(u) B(u) min( A(u), B(u))
F（U）={A｜A: Ｕ→[0,1]}
显然有 P (U) ⊆ F (U)
Ｆ集合的表示方法：
一般形式： A {(u, A(u)) | u U } ∑形式（限于论域是有限或可数的情况）：
A(ui ) A ui i
向量形式： A ( A(u1 ), A(u2 ),, A(un )) 积分形式(限于U不可数）：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
§1.3 F集的运算
两个模糊集之间的运算，就是逐点对隶属函数作相应的运算。 定义1 设A，B∈F (U)，若 ∀u∈U，B(u)≤A(u) 则称A包含B，记为B⊆A。
0.2 0.8 1 0.8 0.2 例： A 2 3 4 5 6 0.2 0.7 0.9 0.8 0.1 B 2 3 4 5 6
模糊数学原理及应用
参考书：1.《模糊理论及应用》
刘普寅, 吴孟达 编,国防科技大学出版社
2. 《应用模糊数学》
韩立岩,汪培庄 著,首都经济贸易大学出版社 3. 《模糊数学原理及应用》杨纶标 高英仪编著 华南理工大学出版社（第三版）2002 4. 《不确定多属性决策方法及应用》徐泽水编著，清 华大学出版社。
0.5 0.7 1 0.1 0.7 u1 u2 u3 u4 u5
0.2 0.7 1 0.5 A u1 u2 u3 u5
普通集U的所有子集构成的集合称为U的幂集(power set)，记
为 P (U). 注意到：每一个U的子集对应一个特征函数，即
P （U）=｛A| A⊆U｝={ A | A: U→{0, 1} }
1 x A A A( x) ˆ 0 x A
论域U上所有模糊集的全体记为 F（U）。 注意到：每一个U的模糊子集对应一个隶属函数，即
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
A( x) e
(
x 30 2 ) 20
,
B( x ) e
(
x 60 2 ) 20
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
30
40
50
60
70
80
90
100
A( x) B( x)
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
A( x) e
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
(
x 30 2 ) 20
,
B( x ) e
(
x 60 2 ) 20
A( x)
B( x)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
A( x) B( x)
国内杂志 “模糊系统与数学”。
1.2 F集的基本概念
给定一个集合U，子集A⊂U，U中元素u与A的关系
u U , 或 u A, 或 u A.
这种隶属关系可用一个函数表示
U
A
u
1 u A C A (u ) A(u ) ˆ 0 u A
此函数称为集合A的特征函数(characteristic function )，它 刻画了U中元素是否属于A，元素u与A的关系绝对是“非
Ac (u) 1 A(u)
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
A( x) e
(
x 30 2 ) 20
,
B( x ) e
(
x 60 2 ) 20
x=linspace(0, 100, 601);
y=exp(-((x-30)/20).^2);
z=exp(-((x-60)/20).^2); plot(x,y,x,z)
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
A( x) e
(
x 50 2 ) 20
,
Ac ( x) 1 e
(
x 50 2 ) 20
x=linspace(0, 100, 601); y=exp(-((x-30)/20).^2); z=1-exp(-((x-30)/20).^2);
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
A( x) e
(
x 30 2 ) 20
,
B( x ) e
(
x 60 2 ) 20
x=linspace(0, 100, 601); y=exp(-((x-30)/20).^2);
z=exp(-((x-60)/20).^2);
y2=min(y,z); plot(x,y,x,z),hold on,fill([x,100,0],[y2,0,0],„r')
plot(x,y,x,z)
例2. 设U=R (实数域），正态型隶属函数：
A( x) e
(
x 50 2 ) 20
,
Ac ( x) 1 e
(
x 50 2 ) 20
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
A( x)
Ac ( x)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1
0 50
U 100
再如，B= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶 属 于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：
1 0 u 25 u 25 2 1 B(u ) (1 ( ) ) 25 u 100 5
1 B(u)
0 25 50 U
一般地，为研究某事物的规律性，总是先给定义目标集，如研
例4 设论域为实数域R，A表示 “靠近4的数集”， 则 A∈F （R）。它的隶属函数是
e A( x ) 0
k ( x 4) 2
| x 4 | | x 4 |
A(u)
其中参数δ>0， κ>0。见右图
1
u 0 4 -δ 4 4 +δ
例4 设论域为实数域R，A表示 “靠近4的数集”， 则 A∈F （R）。它的隶属函数是
A( x) e
(
x 30 2 ) 20
,
B( x ) e
(
x 60 2 ) 20
x=linspace(0, 100, 601); y=exp(-((x-30)/20).^2);
z=exp(-((x-60)/20).^2);
y1=max(y,z); plot(x,y,x,z),hold on,fill([x,100,0],[y1,0,0],'y')
