数学建模第一讲

第一章引言众所周知，21世纪是知识经济的时代，所谓知识经济是以现代科学技术为核心，建立在知识和信息的生产、存储、使用和消费之上的经济；是以智力资源为第一生产力要素的经济；是以高科技产业为支柱产业的经济。

知识创新和技术创新是知识经济的基本要求和内在动力，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要。

创新人才主要是指具有较强的创新精神、创新意识和创新能力，并能够将创新能力转化为创造性成果的高素质人才。

培养创新人才，大学教育是关键，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养中都起着重要的奠基作用。

正如著名的数学家王梓坤院士所说：“今天的数学兼有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的技术。

”数学作为一门技术，现已经成为一门能够普遍实施的技术，也是未来所需要的高素质创新人才必须要具有的一门技术。

随着知识经济发展的需要，创新人才的供需矛盾日趋突现，这也是全社会急呼教学改革的根本所在。

因此，现代大学数学教育的思想核心就是在保证打捞学生基础的同时，力求培养学生的创新意识与创新能力、应用意识与应用能力。

也就是大学数学教育应是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教育理念之下的教学体系。

数学建模活动是实现这一改革目标的有效途径，也正是数学建模活动为大学的数学教学改革打开了一个突破口，近几年的实践证明，这一改革方向是正确的，成效是显著的。

1.1 数学建模的作用和地位我们培养人才的目的主要是为了服务于社会、应用于社会，促进社会的进步和发展。

而社会实际中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们培养的人才应有较高的数学素质。

即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量的数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学的思维方法以及相关的知识去解决，从而为社会服务。

基于此，我们认为定量分析和数学建模等数学素质是知识经济时代人才素质的一个重要方面，是培养创新能力的一个重要方法和途径。

一个大学生如果具有坚实的数学基础(素质),那么将来他(她)无论从事什么样的工作, 成功的机会都大.数学建模是用数学来解决各种实际问题的桥梁, 因此了解、掌握数学建模的思想和方法也是具有良好的数学基础(素质)的重要组成部分.“硬能力”很重要！“一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.”—“正在丢失的硬实力”, 鲁鸣, 《青年文摘》2011年第5期其实金融、法律等专业也需要许多数学!(全文见“参考文章”)什么是数学建模?数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、解释验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.↑→→→→→→→→↓↑↓↑↓↓↑↓←←←←←通不过↓↓通过定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程简言之:合理假设、数学问题、解释验证.数学问题 = 建立数学模型 + 求解数学模型合理假设、建立数学模型、求解数学模型、解释验证.记住这些, 将会受益即使对于那些自己几乎不做建模的学生, 他们也将面对其他人的模型.(Even students who will do little modeling on their own will be confronted by the models of others.)数学上, 希格斯玻色子(的存在性)是描述称为希格斯场的一种力场的方程组的一个推论. ……物理学家Brian Greene说: “这是能对现实世界的各种事情作出预测的数学方法的伟大胜利.”“40多年来, 这个希格斯玻色子一直是我们的方程中假设的数学符号.”(Essay: Nature's secrets foretold Higgs discovery celebrates math's power to make predictions about the real world, By Tom Siegfried, Science News, July 4th, 2012.)植根于核科学的数学模型也在环境科学家的工具箱中找到了一席之地. 依赖于数值方法的最早的全球气候模型与核武器设计者研发的模型十分相似, 后者是为了分析核爆炸产生的冲击波必须求解的流体动力学方程.(Nuclear Weapons' Surprising Contribution to Climate Science, ScienceDaily (July 13, 2012))贷款问题 — 离散模型某人想贷款200,000, 20年用来买房. 如果按当时的年利率6.39%, 20年后一次还清的话, 银行 将按月利率0.5325%的复利计算, 要还240200000(10.005325)723,410+= 太多了, 怕还不起, 所以决定每个月还一点钱.假设: 月等额还款，20年还请.提示:贷款模型是按月利率，按月计算的.用符号表示，设一开始的贷款金额记为0(200,000)A =，贷款年数记为(240)N =月， 年利率记为R = 0.0639，月利率记为r = R/12 = 0.005325数学模型的建立：确定变量以及变量之间的关系, 即数学模型的建立：这个月(记为第n 个月)尚欠银行的款数记为n A , 上个月(记为第n - 1个月)结余欠款记为1n A -加上利息记为1(1)n A r -+，减去这个月的还款x , 还欠1(1)n A r x -+-.所以,这个月的欠款等于上个月欠款加上利息, 再减去这个月的(等额)还款; 一开始的借(欠)款已知; 20年必须还清. 用数学语言表示, 即:1(1) 1,2,3,..., ; 0-=+-=⎧⎨=⎩已知n n N N A A r x n N A A240240, 0N A ==表示20年 = 240个月还清贷款.求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式.数学模型的求解:[][]1021020(1)(1) (1)(1) (1)1(1)A A r x A A r xA r x r x A r x r =+-=+-=+-+-=+-++[]{}3220320(1) (1)1(1)(1) (1)1(1)(1)A A r xA r x r r xA r x r r =+-=+-+++-⎡⎤=+-++++⎣⎦容易观察出规律, 并用数学归纳法证明, 对于任何n 有210(1)1(1)(1)...(1)n n n A A r x r r r -⎡⎤=+-+++++++⎣⎦由等比级数部分和的求和公式(1r y +=)211(1)(1...), 1,1n n y y y y yn y --=-++++≥>于是有00(1)1(1)1(1)(1)(1)1n nn nn r r A A r x A r x r r +-+-=+-=+-+-由于0N A =, 所以0(1)(1)1N NA r r x r +=+-解释验证:利用数学软件, 例如, Mathematica ，Matlab ，可以用不同的数据代入此公式得到结果和银行的结果相比较相关问题 在公式0(1)(1)1N NA r r x r +=+-4个变量中任何一个都可以作为因变量，其他3个作为自变量，这样就又有了另外3个数学模型.0(1)[(1)1]kkk x A A r r r =+-+-0(1)(1)1n nA r r x r +=+-0ln[]ln(1)x x A r n r -=+或0log[]log(1)x x A rn r -=+0[(1)1](1)nn x r A r r +-=+练习请严格按照“合理假设、数学模型的建立、数学模型的求解、解释验证”的步骤来回答下列问题.某人想贷款买房, 他估计在10年里每月的还款能力x = 3000元没有问题, 已知贷款年利率R = 6%(月利率r = 0.5%), 贷款年数为N = 10年. 1. 建立他应该借多少钱的数学模型.2. 请从你所建立的数学模型估算一下他应该借(贷款)多少钱?(提示:120(1.005) 1.8194 ).作业花旗银行的一则低息现金贷款广告：借50,000元, 分36期(月) 还清, 每月还1,637元. 问：该银行的贷款月利率为多少？再论贷款问题 — 连续模型(微分方程)模型, 连续模型和离散模型的关系预习：设()s t 为随时间变化的距离函数，在时间间隔 ,t t t +∆[]上的平均速度为()()()s t t s t v t t+∆-=∆若当0,0t t ∆≠∆→时平均速度的极限0,0()()lim t t s t t s t t ∆≠∆→+∆-∆存在，则称其为t 时刻的瞬时速度，记为d ()()()d s t v t s t t'==，即0,0()()()()lim t t s t t s t v t s t t ∆≠∆→+∆-'==∆()v t 也称为函数()s t 的导数(或微商).函数乘积的求导法则: 设(),()f x g x 都可导, 即(),()f x g x ''存在, 则(()())()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅定积分, 微积分基本定理:()()()()bx b x aaf x dx f x f b f a =='==-⎰我们还是以贷款问题为例. 借期(单位时间)一期不一定非要一个月, 信用卡的计息就是按天算的. 所以考虑连续模型是有道理的.假设一开始0t =的贷款(或借款)本金总额记为0A , 单位时间(一期)的利率记为r%, 只不过这时假设时间是连续的, 也就是说, 要把 n 个单位时间后所欠金额记为n A 改为0t >时刻所欠金额()A t . 任何时刻都可以计算所欠银行的金额.我们来建立模型, 先不考虑等额还款. 在时间区间 [,]t t t +∆上, t t +∆时刻所欠金额为()A t t +∆, t 时刻所欠金额为()A t , 因此在区间 [,]t t t +∆里所欠金额的增加为 ()rA t t ∆, 应该有()()()A t t A t rA t t +∆-=∆或()()()A t t A t rA t t+∆-=∆如果[,]t t t +∆的长度t ∆越来越小, 并趋于零时, 即0t ∆→时, 就得到下列连续模型(微分方程模型)()() t>0(0)dA t rA t dtA A ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 它的解为0()rtA t A e =如果设单位时间的长度为1, t 等于k 个单位时间,即 t k =, 从而有000002()()()(1)!!rk r knnk k n n A k A e A e r r A A r n n ∞∞======++∑∑如果 r 比较小, 则可以认为有一次近似式0()(1)kA k A r =+或由带Lagrange 余项的泰勒(Taylor)公式,20000()()()()()()2!f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-其中ξ在0x 和x 之间.若00, , rrde x x r e dr=→=,则有 212!rr ee r ξ=++如果 r 比较小, 则可以认为有一次近似式 0()(1)kA k A r =+现在再来考虑等额还款, 即单位时间里还固定的金额 x , 于是模型变成()()()A t t A t rA t t x t +∆-=∆-∆令 0t ∆→, 就得到()() 0(0)⎧=->⎪⎨⎪=⎩dA t rA t x t dtA A 由()()dA t rA t xdt-=- 两边乘 rte-,()()rt rt rtdA t e re A t xe dt----=- 即()(())()rtrtrt rtdA t d e A t ere A t xe dt dt-----==-从 0 到 t 积分就得到()(0)(1)rtrtx e A t A e r---=-000()(1)(1)()rtrt rtrtrt rt x A t A e e er x A e e rx xA e r r-=+-=+-=-+当 t k = 时, 再利用 rke的一次近似(1)rkke r ≈+就得到00()()(1) (1)((1)1)kk kx x A k A r r rx A r r r=-++=+-+-若, ()0t N A N ==，则连续模型中相应的公式分别为000(1)()r Nr Nr N x x x A ee A e r r r =+-=-+0 (1)r Nr NA re x e =-0log[]x x A rN r-=, 0 ()1r Nr Nx e A e =-为求()0A N =的r , 需要求解下面的代数方程式00r Nr NA rexex -+=若0200000,0.005325,240A r N ===,则离散模型算出的还款为1478.22x =; 而连续模型算出的还款为 1476.28c x x =<。

第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。

其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。

特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。

对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。

而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。

为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。

这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。

随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。

这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。

一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。

即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。

数学建模第一讲——什么是数学模型一、什么是“模型”？1．汽车模型、轮船模型、飞机模型2．数学老师上课时使用的圆柱、圆锥；地理老师使用的地球模型（地球仪）3．购买房屋时，所展示的房屋模型这些模型，都是反映在人们脑中的具体模型、实物模型，那么，对于一个抽象概念“数学模型”，大家又是怎样理解的呢？二、什么是数学模型？数学模型应该说是每个人都十分熟悉的，早在同学们学习初等代数的时候，也就是在初中的学习过程中已经用建立数学模型的方法来解决问题了。

比如，你一定接触过这样的问题：“航行问题”例：甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30个小时，从乙到甲逆水航行需50个小时，问船速、水速各为多少？利用初中所学的建立方程的知识，用x、y分别表示船速、水速(x+y)·30=750(x-y)·50=750可求出方程的解x=20公里\小时，y=5公里\小时这就是一个很简单的数学模型，就是二元一次方程组。

当然，真正解决实际问题的数学模型通常要复杂得多，还要考虑很多问题。

在这个“航行问题”中，要考虑航道的状况，不同时刻、不同区域的船速、水速的变化，风向对船速的影响，船的载重对船速的影响等等。

但是，数学模型的基本思想内容已经包含在这个简单的问题之中了。

那就是通过数学的方法对一些实际问题作出解答，并应用于实践。

三、数学模型的基本内容：1、根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设。

（设航行中船速和水速是常数；忽略了天气、航道等干扰因素）2、用字母表示待求的未知量。

（用x,y代表了船速和水速）3、利用相应的物理或其它规律，列出数学式子。

（利用匀速运动的距离等于速度乘以时间。

列出二元一次方程组）4、求出数学上的解答。

（解方程组）5、用这个答案解释原问题。

（船速为20公里每小时，水速为5公里每小时）6、最后还要用实际现象来验证上述结果。

四、数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。