深圳中考专项练习-胡不归和阿氏圆教案

2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。

（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。

(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。

3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

阿氏圆专题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=25OB ，连接 PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25PB=PC 。

故本题求“PA+25PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。

【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM△△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④= EABC DP例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，△C 的半径为10,点B 在△C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5. 变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，△AB＝BD＝4，BD是切线，△△ABD＝90°，△BAD＝△D＝45°，△AB是直径，△△APB＝90°，△△P AB＝△PBA＝45°，△P A＝PB，PO△AB，△AC＝PO＝2，AC△PO，△四边形AOPC是平行四边形，△OA＝OP，△AOP＝90°，△四边形AOPC是正方形，△PM＝PC，△PC+PD＝PM+PD＝DM，△DM△CO，△此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，△B的半径为2，P是△B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：△如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．△PB2＝4，BE•BC＝4，△PB2＝BE•BC，△＝，△△PBE＝△CBE，△△PBE△△CBE，△＝＝，△PD+PC＝PD+PE，△PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，△PD+PC的最小值为5．△连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF △BC 于F ．△PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，△BP 2＝BE •BD ，△＝，△△PBE ＝△PBD ，△△PBE △△DBP ， △＝＝，△PE ＝PD ，△PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），△PE +PC ≥EC ，在Rt△EFC 中，EF ＝，FC ＝，△EC ＝，△PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152．AB CDPABCDP MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，△B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．△＝＝，＝＝，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF△BC于F．△＝＝2，＝＝2，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，△DCF＝60°，CD＝4，△DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴=，∵=，∴=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM△AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y ＝0，则ax 2+（a +3）x +3＝0， △（x +1）（ax +3）＝0，△x ＝﹣1或﹣，△抛物线y ＝ax 2+（a +3）x +3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0）， △﹣＝4，△a ＝﹣．△A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则，解得，△直线AB 解析式为y ＝﹣x +3．（2）如图1中，△PM △AB ，PE △OA ，△△PMN ＝△AEN ，△△PNM ＝△ANE ，△△PNM △△ANE ，△＝，△NE △OB ，△＝，△AN ＝（4﹣m ），△抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，△PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，△＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ． △OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， △OE ′2＝OM ′•OB ， △＝，△△BOE ′＝△M ′OE ′，△△M ′OE ′△△E ′OB ， △＝＝，△M ′E ′＝BE ′，△AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：3. 如图，等边⊙ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：2.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A，()0,2B，()4,0C，()3,2D，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC+的最小值是多少？[答案]6. 如图，Rt△ABC，△ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC△△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，△四边形CDEF是正方形，△CF＝CD，△DCF＝△ACB＝90°，△△ACF＝△DCB，△AC＝CB，△△FCA△△DCB（SAS）．（2）解：△如图2中，当点D，E在AB边上时，△AC＝BC＝2，△ACB＝90°，△AB＝2，△CD△AB，△AD＝BD＝，△BD+AD＝+1．△如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，△BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．△CD＝，CM＝1，CA＝2，△CD2＝CM•CA，△＝，△△DCM＝△ACD，△△DCM△△ACD，△＝＝，△DM＝AD，△BD+AD＝BD+DM，△当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；△AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，△AE＝AD，△AB＝AC，△A＝△A，AD＝AE，△△BAD△△CAE（SAS），△BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．△P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，△P A2＝AE•AD，△＝，△△P AE＝△DAP，△△P AE△△DAP，△＝＝，△PE＝PD，△PC+PD＝PC+PE，△PC+PE≥EC，△PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝6，DE＝，△EC＝＝，△PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．△MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，△MA2＝AE•AE，△＝，△△MAE＝△DAM，△△MAE△△DAM，△＝＝＝，△ME＝MD，△MC+MD＝MC+ME，△MC+ME≥EC，△MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，△EC＝＝2，△MC+MD的最小值为2．。

“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。

2020年深圳中考数学压轴题专题总结----胡不归问题为了方便同学们掌握，以下为简化版胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

例题精讲例1、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan ∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，∴OC=4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，解方程组得或，则E 点坐标为（﹣，），∴AQ=，∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间==（s ），即蚂蚁从A 到E 的最短时间为s ．故答案为．例2、如图，已知抛物线)4)(2(8-+=x x k y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止。

a=45时， BC 2 AC BC CD BD ；a=30时， BC 1AC BC CD BD22两定一动求最值，最终用垂线段最短来求解阿氏圆-两点之间线段最短构造S ΓMC Sd BpC »51^..∙.CΛΓ=J x炉枝・孔"・与WlU 交点HP 刃点" “亠 fP CJ ΛfPMff9 ・■■• • CRCPRP做中字宁中做• ：/>” -J 4~Z ><"点P 刃99匕—必点•詩BP. ・，p*t^⅛Ci ∣lli⅜ BJ«2B>« 2R3Λ0≡K第S 步.【焜示】9522tχ »3«>.斗歩： 笫3F二做中学穿中做•・.PM BP构UrM Szf 次" 9il»Znr rc在BC 上职点3. 快得∙^∙—L rnr J.∙. HM Ii⅛tt<5f ・ ⅛M M 3⅛Z∙J ΨΛA∕∙・PM 」2.:ΛM+ £ PO-Af^PM^JS必诗u.尸.M 三点火SeN 玄小.颠Λff ・ HyNr 中./刀■ W • an■ r∙zr匕在 Q»f Z m■小佢Q C梅系澈不为（的绒段的站个蠟点分别 T例心匕Hlil；接・连接C". CB,il ≡HiMΛtfc[ftc∕>. C"长皮8 辻卸这两务找段长度的比：：C .r>~ . Cr 1座CIr上収点Λ*∙ KfW VP 一2桥耒数不为f的电耳曲跆个* 口分别∖UIQ"4H述牍・嗖按〃化HC I il ΛM I WΛ(⅛WΛ∕F・"ciC∕θ½EP/〒it Mix∣*∣*ten κj(r r∣比十T .年CtRJ AΛYK-換第MJBO如四，在RuMC中，NA5 ・9(f^ ,AC-BC- 2 9以於2为顶点的正方用9DEF(C. D、E. F四个頂点按逆时针方向拮列》可以绕点C 自由恰动，且CD■返•连接—IiD.在证方形CDEF施籽过和中∙Bl)D2∕JK]:^j∩ΛCDM ^ΛCΛD Bl*.Λ2*≡^r r∙7∙r74rΓ'fe<*Λ¾Λ4^;的UBlr) H⅜ 个Ml 点分JMWiR∙DCWIFM： .JrlrCiW C2>. 汁Je川两条GW<∕>ιscfv sCD 2itJtlXRMβBWβ:/V的血K■厶T ；CM J2&d卜圾攻H.位够7齐■：..ev h»>r∕Mr.^MI<∙ ΛWΛΛ∕>.,CD CM DM√5・— ------- ----- ■ ——■・■eι CJ>yj.t∕>.W- — ^z>S∙ f “― 职W、z>. Λ/ Xtyy僅"・【盘WJlW?、5】・.，做中T r G做R厠劝XoyΛ" SM <Λ 1 /»第■步•g步■ 弟*步=宋••海5C兰珈=Z>桁系＜&不％MM J侦Bt旳网TaX点分別耳剧心LfH ⅛fR ,崔渍6"r?Z>；卄XHlFr 条tfcWl<Λ<. O∕>UΛ*it ∙F⅛∙*⅛Λe⅛wLκ^αft9 比ON J"≡"≡ββCP 2在QMfl9莊匸:级上lRΛCΛr・使御.-.OV釜J^*⅛U.VJ ,⅛Mc ⅛f/Λttp 为点"・CA-IOPOF 1「—■ ■”■ IIt 一■—OM R^f 2..Λ-<y*∙√∙z/ mru 135当■、几M三舄其曲MB小.金上AM「存.<≡><∙丹尸Λτ>fr2 ・AnFGX•上旳动点・x⅛ A ∕≠MC上∙CH-I .经Att .3、"&■ Λff-.m 2D匕的娠小俏[ _________________________________ S SfiB示】:B. O. M三τ≡HαtHgfi⅛<M .【窓兀认1上乐7】<fc∕A7∙ □JU∕V G" 圧为C的IF力用"5 内/W A^Λ⅛• /忖-・？• ∙W∕y IZ、的最小伯・I ISzRlD O n：1 ⅛{⅛*"T∙rςr ,⅛^滋貫口乎手匚门伪CQ 2 CΛf Z>M C∙l ~ √ " O 一 "QCQ 2€：H 47> >Γ- [ 17> CZ S Z?Z S€./> Hn> Hn 2ΠE。

婆罗摩笈多、胡不归、阿氏圆——中考几何穿云箭4大专题
婆罗摩笈多、胡不归、阿氏圆，这些名词对于一般的学生确实比较陌生，但是你要问一下学霸，保证给你说得一套一套的。

今天介绍几个比较综合难度较大的几何模型专题：
①平分面积：通过面积之间的等量代换，解决直线平分图形面积的问题。

②胡不归：通过作辅助线构造直角三角形，根据直角三角形中的边角关系转化线段，运用垂线的性质解决线段和的最小值问题。

③阿氏圆：构造共边共角型（母子型）相似模型，运用相似三角形的判定与性质将线段进行转化，根据“两点之间，线段最短”及勾股定理解决两线段和或差的最值问题。

④婆罗摩及多：（以印度数学家命名的）通常运用全等（相似）三角形的判定与性质，已知中点证垂直或已知垂直证中点。

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【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题09阿氏圆问题模型建立：已知平面上两点A 、B ,则所有符合＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 模型解读：如图1所示,⊙O 的半径为 r ,点 A 、B 都在⊙O 外,P 为⊙O 上的动点, 已知 r ＝k ·OB ．连接 P A 、PB ,则当“P A ＋k ·PB ”的值最小时,P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接）,即连接OP 、OB ； 2：计算连接线段OP 、OB 长度； 3：计算两线段长度的比值OPOB =k ；4：在OB 上截取一点C ,使得OCOP =OPOB 构建母子型相似：5：连接AC ,与圆0交点为P ,即AC 线段长为P A ＋K *PB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小,（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ,则可说明△BPO 与△PCO 相似,即 k ·PB ＝PC ．∴本题求“P A ＋k ·PB ”的最小值转化为求“P A ＋PC ”的最小值,即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3）,时AC 线段长即所求最小值．【例1】（2021·全国·九年级专题练习）如图1,在RT△ABC中,∠ACB＝90°,CB＝4,CA＝6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点,连接AP,BP,求：BP,①AP+12②2AP+BP,AP+BP,③13④AP+3BP的最小值．【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1,抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(−1,0),抛物线的对称轴是直线x=3．2(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点,是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在,求出点P的坐标若不存在,请说明理由；(3)如图2,过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F,以点C为圆心,2为半径作⊙C,点Q为⊙C上的一个动点,BQ+FQ的最小值．求√24【例3】（2019秋•山西期末）阅读以下材料,并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B,则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1,在平面直角坐标系中,在x轴,y轴上分别有点C（m,0）,D（0,n）,点P是平面内一动点,且OP ＝r,设＝k,求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1,在OD上取点M,使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M,使得OM：OP＝OP：OD＝k,又∵∠POD＝∠MOP,∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝4,BC＝3,D为△ABC内一动点,满足CD＝2,利用（1）中的结论,请直接写出AD+BD的最小值．【例4】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△OAB的顶点O,A,B均在格点上,点E在OA上,且点E 也在格点上．（I）的值为；（Ⅱ）是以点O为圆心,2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A,E'B,当E'A+E'B的值最小时,请用无刻度的直尺画出点E′,并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）．一．填空题（共13小题）1．（2022•南召县开学）如图,在△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC＝4,点E、F分别是边AB、AC的中点,点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点,则的最小值为．2．（2021秋•龙凤区期末）如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝9,BC＝4,以点C为圆心,3为半径做⊙C,分别交AC,BC于D,E两点,点P是⊙C上一个动点,则P A+PB的最小值为．3．（2022春•长顺县月考）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,D、E分别是边BC、AC上的两个动点,且DE＝4,P是DE的中点,连接P A,PB,则P A+PB的最小值为．4．（2021秋•梁溪区校级期中）如图,⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N,⊙O半径为3,点A （0,1）,点B（2,0）,点P在弧MN上移动,连接P A,PB,则3P A+PB的最小值为．5．（2021•碑林区校级模拟）如图,在△ABC中,BC＝6,∠BAC＝60°,则2AB+AC的最大值为．6．（2020•武汉模拟）【新知探究】新定义：平面内两定点A,B,所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆,我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图,在△ABC中,CB＝4,AB＝2AC,则△ABC面积的最大值为．7．（2020秋•天宁区校级月考）如图,已知菱形ABCD的边长为8,∠B＝60°,圆B的半径为4,点P是圆B上的一个动点,则PD﹣PC的最大值为．8．（2020•溧阳市一模）如图,在⊙O中,点A、点B在⊙O上,∠AOB＝90°,OA＝6,点C在OA上,且OC＝2AC,点D是OB的中点,点M是劣弧AB上的动点,则CM+2DM的最小值为．9．如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC的中点,以B为圆心,BE为半径作⊙B,点P是⊙B上一动点,连接PD、PC,则PD+PC的最小值为．10．如图,扇形AOB中,∠AOB＝90°,OA＝6,C是OA的中点,D是OB上一点,OD＝5,P是上一动点,则PC+ PD的最小值为．11．如图所示的平面直角坐标系中,A（0,4）,B（4,0）,P是第一象限内一动点,OP＝2,连接AP、BP,则BP+的最小值是．12．如图所示,∠ACB＝60°,半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点,过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边,垂足为M、N,则PM+2PN的取值范围为．13．如图,边长为4的正方形,内切圆记为圆O,P为圆O上一动点,则P A+PB的最小值为．二．解答题14．（2022•从化区一模）已知,AB是⊙O的直径,AB＝,AC＝BC．（1）求弦BC的长；（2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A,B重合）,以CD为边,作正方形CDEF,如图1所示,若M是DF的中点,N是BC的中点,求证：线段MN的长为定值；（3）如图2,点P是动点,且AP＝2,连接CP,PB,一动点Q从点C出发,以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P,再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B,到达点B后停止运动,求点Q的运动时间t 的最小值．15．（2021•渝中区校级自主招生）如图,在△ABC与△DEF中,∠ACB＝∠EDF＝90°,BC＝AC,ED＝FD,点D 在AB上．（1）如图1,若点F在AC的延长线上,连接AE,探究线段AF、AE、AD之间的数量关系,并证明你的结论；（2）如图2,若点D与点A重合,且AC＝3,DE＝4,将△DEF绕点D旋转,连接BF,点G为BF的中点,连接CG,在旋转的过程中,求CG+BG的最小值；（3）如图3,若点D为AB的中点,连接BF、CE交于点M,CE交AB于点N,且BC：DE：ME＝7：9：10,请直接写出的值．16．（2021•九龙坡区校级模拟）在△ABC中,∠CAB＝90°,AC＝AB．若点D为AC上一点,连接BD,将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE,连接CE,交AB于点F．（1）如图1,若∠ABE＝75°,BD＝4,求AC的长；（2）如图2,点G为BC的中点,连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°,猜想线段DC与线段HG的数量关系,并写出证明过程；（3）如图3,若AB＝4,D为AC的中点,将△ABD绕点B旋转得△A′BD′,连接A′C、A′D,当A′D+ A′C最小时,求S△A′BC．17．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图1,在四边形ABCD中,AC交BD于点E,△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点,AD＝4,CD＝5,求△BCE的面积；（2）如图2,若BC＝CD,点F为CD的中点,求证：AB＝2AF；（3）如图3,若AB∥CD,∠BAD＝90°,点P为四边形ABCD内一点,且∠APD＝90°,连接BP,取BP的中点Q,连接CQ．当AB＝6,AD＝4,tan∠ABC＝2时,求CQ+BQ的最小值．18．（2021·全国·九年级专题练习）如图,Rt△ABC,∠ACB＝90°,AC＝BC＝2,以C为顶点的正方形CDEF （C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动,且CD＝√2,连接AF,BD（1）求证：△BDC≌△AFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时,直接写出BD＋√22AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中,BD＋√22AD的最小值．19．（2022·四川·,在Rt△ABC中,∠C=90∘,CB=4,CA=6,⊙C的半径为2,P为圆上一动点,连接AP、BP,求AP+12BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题,下面给出一种解题思路：如图①,连接CP,在CB上取一点D,使CD=1,则CDCP =CPCB=12．又∠PCD=∠BCP,所以△PCD∽△BCP．所以PDBP=CDCP=12．所以PD=12PB,所以AP+12BP=AP+PD．请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+12BP的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下,求13AP+BP的最小值；（3）拓展延伸：如图②,已知在扇形COD中,∠COD=90∘,OC=6,OA=3,OB=5,P是CD⌢上一点,求2PA+ PB的最小值．20．（2019·山东·中考真题）如图1,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y＝x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+12PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由．21．（2018·广西柳州·中考真题）如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(√3,0),B两点（点B在点A的左侧）,与y轴交于点C,且OB=3OA=√3OC,∠OAC的平分线AD交y轴于点D,过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E,点P是x轴下方抛物线上的一个动点,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m,当FH=HP时,求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时,以点H为圆心,12HC为半径作⊙H,点Q为⊙H上的一个动点,求14AQ+EQ的最小值．【例1】（2021·全国·九年级专题练习）如图1,在RT△ABC中,∠ACB＝90°,CB＝4,CA＝6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点,连接AP,BP,求：①AP+12BP,②2AP+BP,③13AP+BP,④AP+3BP的最小值．【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1,抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(−1,0),抛物线的对称轴是直线x=3．2(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点,是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在,求出点P的坐标若不存在,请说明理由；(3)如图2,过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F,以点C为圆心,2为半径作⊙C,点Q为⊙C上的一个动点,BQ+FQ的最小值．求√24【例3】（2019秋•山西期末）阅读以下材料,并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B,则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1,在平面直角坐标系中,在x轴,y轴上分别有点C（m,0）,D（0,n）,点P是平面内一动点,且OP ＝r,设＝k,求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1,在OD上取点M,使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M,使得OM：OP＝OP：OD＝k,又∵∠POD＝∠MOP,∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝4,BC＝3,D为△ABC内一动点,满足CD＝2,利用（1）中的结论,请直接写出AD+BD的最小值．【分析】（1）在OD上取点M,使得OM：OP＝OP：OD＝k,利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．（2）利用（1）中结论计算即可．【解答】解（1）在OD上取点M,使得OM：OP＝OP：OD＝k,又∵∠POD＝∠MOP,∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k,∴MP＝kPD,∴PC+kPD＝PC+MP,当PC+kPD取最小值时,PC+MP有最小值,即C,P,M三点共线时有最小值,利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4,＝,在CB上取一点M,使得CM＝CD＝,∴的最小值为．【例4】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△OAB的顶点O,A,B均在格点上,点E在OA上,且点E 也在格点上．（I）的值为；（Ⅱ）是以点O为圆心,2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A,E'B,当E'A+E'B的值最小时,请用无刻度的直尺画出点E′,并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）通过取格点K、T,使得OH：OD＝2：3,构造相似三角形将E′B转化为E′H．【分析】（1）求出OE,OB即可解决问题．（2）构造相似三角形把E′B转化为E′H,利用两点之间线段最短即可解决问题．【解答】解：（1）由题意OE＝2,OB＝3,∴＝,故答案为：．（2）如图,取格点K,T,连接KT交OB于H,连接AH交于E′,连接BE′,点E′即为所求．故答案为：通过取格点K、T,使得OH：OD＝2：3,构造相似三角形将E′B转化为E′H,利用两点之间线段最短即可解决问题．一．填空题（共13小题）1．（2022•南召县开学）如图,在△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC＝4,点E、F分别是边AB、AC的中点,点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点,则的最小值为．【分析】在AB上截取AQ＝1,连接AP,PQ,CQ,证明△APQ∽△ABP,可得PQ＝PB,则PB+PC＝PC+PQ,当C、Q、P三点共线时,PC+PQ的值最小,求出CQ即为所求．【解析】如图,在AB上截取AQ＝1,连接AP,PQ,CQ,∵点E、F分别是边AB、AC的中点,点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点,∴,∵AP＝2,AQ＝1,∴,∵∠P AQ＝∠BAP,∴△APQ∽△ABP,∴PQ＝PB,∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ,在Rt△ACQ中,AC＝4,AQ＝1,∴QB＝＝＝．,∴PB+PC的最小值．,故答案为：．2．（2021秋•龙凤区期末）如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝9,BC＝4,以点C为圆心,3为半径做⊙C,分别交AC,BC于D,E两点,点P是⊙C上一个动点,则P A+PB的最小值为．【分析】在AC上截取CQ＝1,连接CP,PQ,BQ,证明△ACP∽△PCQ,可得PQ＝AP,当B、Q、P三点共线时, P A+PB的值最小,求出BQ即为所求．【解析】在AC上截取CQ＝1,连接CP,PQ,BQ,∵AC＝9,CP＝3,∴＝,∵CP＝3,CQ＝1,∴＝,∴△ACP∽△PCQ,∴PQ＝AP,∴P A+PB＝PQ+PB≥BQ,∴当B、Q、P三点共线时,P A+PB的值最小,在Rt△BCQ中,BC＝4,CQ＝1,∴QB＝,∴P A+PB的最小值,故答案为：．3．（2022春•长顺县月考）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,D、E分别是边BC、AC上的两个动点,且DE＝4,P是DE的中点,连接P A,PB,则P A+PB的最小值为．【分析】如图,在CB上取一点F,使得CF＝,连接PF,AF．利用相似三角形的性质证明PF＝PB,根据PF+P A ≥AF,利用勾股定理求出AF即可解决问题．【解析】如图,在CB上取一点F,使得CF＝,连接PF,AF．∵∠DCE＝90°,DE＝4,DP＝PE,∴PC＝DE＝2,∵＝,＝,∴＝,∵∠PCF＝∠BCP,∴△PCF∽△BCP,∴＝＝,∴PF＝PB,∴P A+PB＝P A+PF,∵P A+PF≥AF,AF＝＝＝,∴P A+PB≥,∴P A+PB的最小值为,故答案为．4．（2021秋•梁溪区校级期中）如图,⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N,⊙O半径为3,点A （0,1）,点B（2,0）,点P在弧MN上移动,连接P A,PB,则3P A+PB的最小值为．【分析】在y轴上取点H（0,9）,连接BH,通过证明△AOP∽△POH,可证HP＝3AP,则3P A+PB＝PH+PB,当点P在BH上时,3P A+PB有最小值为HB的长,即可求解．【解析】如图,在y轴上取点H（0,9）,连接BH,∵点A（0,1）,点B（2,0）,点H（0,9）,∴AO＝1,OB＝2,OH＝9,∵,∠AOP＝∠POH,∴△AOP∽△POH,∴,∴HP＝3AP,∴3P A+PB＝PH+PB,∴当点P在BH上时,3P A+PB有最小值为HB的长,∴BH＝＝＝,故答案为：．5．（2021•碑林区校级模拟）如图,在△ABC中,BC＝6,∠BAC＝60°,则2AB+AC的最大值为4．【分析】由2AB+AC＝2（AB+）得,再将AB+AE转化成一条线段BP,可证出∠P是定角,从而点P在△PBC的外接圆上运动,当BP为直径时,BP最大解决问题．【解析】∵2AB+AC＝2（AB+）,∴求2AB+AC的最大值就是求2（AB+）的最大值,过C作CE⊥AB于E,延长EA到P,使得AP＝AE,∵∠BAC＝60°,∴EA＝,∴AB+＝AB+AP,∵EC＝,PE＝2AE,由勾股定理得：PC＝,∴sin P＝,∴∠P为定值,∵BC＝6是定值,∴点P在△CBP的外接圆上,∵AB+AP＝BP,∴当BP为直径时,AB+AP最大,即BP',∴sin P'＝sin P＝,解得BP'＝2,∴AB+AP＝2,∴2AB+AC＝2（AB+AP）＝4,故答案为：4．6．（2020•武汉模拟）【新知探究】新定义：平面内两定点A,B,所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆,我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图,在△ABC中,CB＝4,AB＝2AC,则△ABC面积的最大值为．【分析】以A为顶点,AC为边,在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC,AP与BC的延长线交于点P,证明△APC∽△BP A,由相似三角形的性质可得BP＝2AP,CP＝AP,从而求出AP、BP和CP,即可求出点A的运动轨迹,再找出距离BC最远的A点的位置即可求解．【解析】以A为顶点,AC为边,在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC,AP与BC的延长线交于点P,∵∠CAP＝∠ABC,∠BP A＝∠APC,AB＝2AC,∴△APC∽△BP A,,∴BP＝2AP,CP＝AP,∵BP﹣CP＝BC＝4,∴2AP﹣AP＝4,解得：AP＝,∴BP＝,CP＝,即点P为定点,∴点A的轨迹为以点P为圆心,为半径的圆上,如图,过点P作BC的垂线,交圆P与点A1,此时点A1到BC 的距离最大,即△ABC的面积最大,S△ABC＝BC•A1P＝×4×＝．故答案为：．7．（2020秋•天宁区校级月考）如图,已知菱形ABCD的边长为8,∠B＝60°,圆B的半径为4,点P是圆B上的一个动点,则PD﹣PC的最大值为2．【分析】连接PB,在BC上取一点G,使得BG＝2,连接PG,DG,过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．利用相似三角形的性质证明PG＝PC,再根据PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG,求出DG,可得结论．【解析】连接PB,在BC上取一点G,使得BG＝2,连接PG,DG,过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵PB＝4,BG＝2,BC＝8,∴PB2＝BG•BC,∴＝,∵∠PBG＝∠CBP,∴△PBG∽△CBP,∴＝＝,∴PG＝PC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AB＝CD＝BC＝8,∴∠DCH＝∠ABC＝60°,在Rt△CDH中,CH＝CD•cos60°＝4,DH＝CD•sin60°＝4,∴GH＝CG+CH＝6+4＝10,∴DG＝＝＝2,∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG,∴PD﹣PC≤2,∴PD﹣PC的最大值为2．8．（2020•溧阳市一模）如图,在⊙O中,点A、点B在⊙O上,∠AOB＝90°,OA＝6,点C在OA上,且OC＝2AC,点D是OB的中点,点M是劣弧AB上的动点,则CM+2DM的最小值为．【分析】延长OB到T,使得BT＝OB,连接MT,CT．利用相似三角形的性质证明MT＝2DM,求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最小值．求出CT即可判断．【解析】延长OB到T,使得BT＝OB,连接MT,CT．∵OM＝6,OD＝DB＝3,OT＝12,∴OM2＝OD•OT,∴＝,∵∠MOD＝∠TOM,∴△MOD∽△TOM,∴＝＝,∴MT＝2DM,∵CM+2DM＝CM+MT≥CT,又∵在Rt△OCT中,∠COT＝90°,OC＝4,OT＝12,∴CT＝＝＝4,∴CM+2DM≥4,∴CM+2DM的最小值为4,∴答案为4．9．如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC的中点,以B为圆心,BE为半径作⊙B,点P是⊙B上一动点,连接PD、PC,则PD+PC的最小值为5．【分析】如图,在BC上取一点T,使得BT＝1,连接PB,PT,DT．证明△PBT∽△CBP,推出＝＝,推出PT＝PC,由PD+PC＝PD+PT≥DT＝5,由此可得结论．【解析】如图,在BC上取一点T,使得BT＝1,连接PB,PT,DT．∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCT＝90°,∵CD＝4,CT＝3,∴DT＝＝＝5,∵PB＝2,BT＝1,BC＝4,∴PB2＝BT•BC,∴＝,∵∠PBT＝∠PBC,∴△PBT∽△CBP,∴＝＝,∴PT＝PC,∵PD+PC＝PD+PT≥DT＝5,∴PD+PC的最小值为5,故答案为：5．10．如图,扇形AOB中,∠AOB＝90°,OA＝6,C是OA的中点,D是OB上一点,OD＝5,P是上一动点,则PC+ PD的最小值为．【分析】如图,延长OA使AE＝OB,连接EC,EP,OP,证明△OPE∽△OCP推出＝＝,推出EP＝2PC,推出PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE）,推出当点E,点P,点D三点共线时,PC+PD的值最小．【解析】如图,延长OA使AE＝OB,连接EC,EP,OP,∵AO＝OB＝6,C分别是OA的中点,∴OE＝12,OP＝6,OC＝AC＝3,∴＝＝,且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝,∴EP＝2PC,∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE）,∴当点E,点P,点D三点共线时,PC+PD的值最小,∵DE＝＝＝13,∴PD+PE≥DE＝13,∴PD+PE的最小值为13,∴PC+PD的值最小值为．故答案为：．11．如图所示的平面直角坐标系中,A（0,4）,B（4,0）,P是第一象限内一动点,OP＝2,连接AP、BP,则BP+的最小值是．【分析】如图,取点T（0,1）,连接PT,BT．利用相似三角形的性质证明PT＝PB,推出PB+P A＝PB+PT≥BT,求出BT,可得结论．【解析】如图,取点T（0,1）,连接PT,BT．∵T（0,1）,A（0,4）,B（4,0）,∴OT＝1,OA＝4,OB＝4,∵OP＝2,∴OP2＝OT•OA,∴＝,∵∠POT＝∠AOP,∴△POT∽△AOP,∴＝＝,∴PT＝P A,∴PB+P A＝PB+PT,∵BT＝＝,∴PB+PT≥,∴BP+AP≥∴BP+PB的最小值为．故答案为：．12．如图所示,∠ACB＝60°,半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点,过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边,垂足为M、N,则PM+2PN的取值范围为6﹣2≤PM+2PN≤6+2．【分析】PM+2PN＝2（PM+PN）,作MH⊥PN,HP＝PM,确定HN的最大值和最小值．【解答】解：作MH⊥NP于H,作MF⊥BC于F,∵PM⊥AC,PN⊥CB,∴∠PMC＝∠PNC＝90°,∴∠MPN＝360°﹣∠PMC﹣∠PNC﹣∠C＝120°,∴∠MPH＝180°﹣∠MPN＝60°,∴HP＝PM•cos∠MPH＝PM•cos60°＝PM,∴PN+PM＝PN+HP＝NH,∵MF＝NH,∴当MP与⊙O相切时,MF取得最大和最小,如图1,连接OP,OG,可得：四边形OPMG是正方形,∴MG＝OP＝2,在Rt△COG中,CG＝OG•tan60°＝2,∴CM＝CG+GM＝2+2,在Rt△CMF中,MF＝CM•cos C＝（2+2）×＝3+,∴HN＝MF＝3+,PM+2PN＝2（）＝2HN＝6+2,如图2,由上知：CG＝2,MG＝2,∴CM＝2﹣2,∴HM＝（2﹣2）×＝3﹣,∴PM+2PN＝2（）＝2HN＝6﹣2,∴6﹣2≤PM+2PN≤6+2．13．如图,边长为4的正方形,内切圆记为圆O,P为圆O上一动点,则P A+PB的最小值为2．【分析】P A+PB＝（P A+PB）,利用相似三角形构造PB．【解答】解：设⊙O半径为r,OP＝r＝BC＝2,OB＝r＝2,取OB的中点I,连接PI,∴OI＝IB＝,∵,,∴,∠O是公共角,∴△BOP∽△POI,∴,∴PI＝PB,∴AP+PB＝AP+PI,∴当A、P、I在一条直线上时,AP+PB最小,作IE⊥AB于E,∵∠ABO＝45°,∴IE＝BE＝BI＝1,∴AE＝AB﹣BE＝3,∴AI＝＝,∴AP+PB最小值＝AI＝,∵P A+PB＝（P A+PB）,∴P A+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．二．解答题14．（2022•从化区一模）已知,AB是⊙O的直径,AB＝,AC＝BC．（1）求弦BC的长；（2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A,B重合）,以CD为边,作正方形CDEF,如图1所示,若M是DF的中点,N是BC的中点,求证：线段MN的长为定值；（3）如图2,点P是动点,且AP＝2,连接CP,PB,一动点Q从点C出发,以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P,再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B,到达点B后停止运动,求点Q的运动时间t 的最小值．【分析】（1）AB是⊙O的直径,AC＝BC可得到△ABC是等腰直角三角形,从而得道答案；（2）连接AD、CM、DB、FB,ACD≌△BCF,∠CBF＝∠CAD,证明D、B、F共线,再证明△CMB 是直角三角形,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得证；（3）“阿氏圆”的应用问题,以A为圆心,AP为半径作圆,在AC上取点M,使AM＝1,连接PM,过M作MH⊥AB于H,连接BM交⊙A于P',先证明PM＝,+BP最小,即是PM+BP最小,此时P、B、M共线,再计算BM的长度即可．【解析】（1）∵AB是⊙O的直径,∴∠ABC＝90°,∵AC＝BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∠CAB＝45°,∵AB＝4,∴BC＝AB•sin45°＝4；（2）连接AD、CM、DB、FB,如图：∵△ABC是等腰直角三角形,四边形CDEF是正方形,∴CD＝CF,∠DCF＝∠ACB＝90°,∴∠ACD＝90﹣∠DCB＝∠BCF,又AC＝BC,∴△ACD≌△BCF（SAS）,∴∠CBF＝∠CAD,∴∠CBF+∠ABC+∠ABD＝∠CAD+∠ABC+∠ABD＝∠DAB+∠CAB++∠ABC+∠ABD＝∠DAB+45°+45°+∠ABD,而AB是⊙O的直径,∴∠ADB＝90°,∴∠DAB+∠ABD＝90°,∴∠CBF+∠ABC+∠ABD＝180°,∴D、B、F共线,∵四边形CDEF是正方形,∴△DCF是等腰直角三角形,∵M是DF的中点,∴CM⊥DF,即△CMB是直角三角形,∵N是BC的中点,∴MN＝BC＝2,即MN为定值；（3）以A为圆心,AP为半径作圆,在AC上取点M,使AM＝1,连接PM,过M作MH⊥AB于H,连接BM交⊙A于P',如图：一动点Q从点C出发,以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P,再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B,∴Q运动时间t＝+BP,∵AM＝1,AP＝2,AC＝BC＝4,∴＝＝,又∠MAP＝∠P AC,∴△MAP∽△P AC,∴＝＝,∴PM＝,∴+BP最小,即是PM+BP最小,此时P、B、M共线,即P与P'重合,t＝+BP最小值即是BM的长度,在Rt△AMH中,∠MAH＝45°,AM＝1,∴AH＝MH＝,∵AB＝4,∴BH＝AB﹣AH＝,Rt△BMH中,BM＝＝5,∴点Q的运动时间t的最小值为5．15．（2021•渝中区校级自主招生）如图,在△ABC与△DEF中,∠ACB＝∠EDF＝90°,BC＝AC,ED＝FD,点D 在AB上．（1）如图1,若点F在AC的延长线上,连接AE,探究线段AF、AE、AD之间的数量关系,并证明你的结论；（2）如图2,若点D与点A重合,且AC＝3,DE＝4,将△DEF绕点D旋转,连接BF,点G为BF的中点,连接CG,在旋转的过程中,求CG+BG的最小值；（3）如图3,若点D为AB的中点,连接BF、CE交于点M,CE交AB于点N,且BC：DE：ME＝7：9：10,请直接写出的值．【分析】（1）过F作FH⊥AB于H,过E作EG⊥AB于G,结合K字型全等,等腰直角三角形,四点共圆即可得到答案；（2）第二问考察隐圆问题与阿氏圆,取AB的中点O,连接OG,在OB上取OH＝,连接GH,构建相似,转化线段即可得到答案；（3）过点C作BF平行线,点F作BC平行线交于点G；过点G作GH⊥BF于点H,过点K作KI⊥FG,证明△BDF≌△CDE,设BC＝7t,则DE＝9t,ME＝10t,结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算．【解析】（1）线段AF、AE、AD之间的数量关系：,证明如下：过F作FH⊥AB于H,过E作EG⊥AB于G,如图：∵FH⊥AB,EG⊥AB,∠EDF＝90°,∴∠FHD＝∠DGE＝90°,∠FDH＝90°﹣∠EDG＝∠DEG,且DF＝DE,∴△FHD≌△DGE（AAS）,∴FH＝DG＝AD+AG,∵∠ACB＝∠EDF＝90°,BC＝AC,ED＝FD,∴∠F AB＝∠FED＝45°,∴点F、D、A、E四点共圆,∴∠F AE＝∠FDE＝90°,∠EAG＝∠DFE＝45°,∵FH⊥AB,EG⊥AB,∠BAC＝45°,∴△F AH和△EAG为等腰直角三角形,∴AF＝FH,AE＝AG,∴AF＝（AD+AG）＝AD+AG＝AD+AE；（2）取AB的中点O,连接OG,在OB上取OH＝,连接GH,如图：∵G为BF的中点,O为AB中点,∴OG是△ABF的中位线,∴OG＝AF＝DF＝DE＝2,∵AC＝3,∴AB＝AC＝6,OB＝AB＝3,∴＝,而＝＝,∴＝,又∠HOG＝∠GOB,∴△HOG∽△GOB,∴＝＝,∴HG＝BG,∴,要使CG+BG的最小,需CG+HG最小,∴当H、G、C三点共线时,CG+BG的最小,CG+BG的最小值是CH,如图：∵OC＝AB＝3,OH＝,∴CH＝＝,∴CG+BG的最小值是CH＝×＝．（3）过点C作BF平行线,点F作BC平行线交于点G；过点G作GH⊥BF于点H,过点K作KI⊥FG；如图：∵∠BDC＝∠FDE＝90°,∴∠BDC+∠CDF＝∠FDE+∠CDF,即∠BDF＝∠CDE,且CD＝BD,DE＝DF,∴△BDF≌△CDE（SAS）,∴BF＝CE,∠DEC＝∠DFB,∵∠DEC+∠DPE＝90°,∠DPE＝∠MPF,∴∠DFB+∠MPF＝90°,∴∠FME＝90°由BC：DE：ME＝7：9：10,设BC＝7t,则DE＝9t,ME＝10t；∴EF＝DE＝9t,∵CG∥BF,FG∥BC,∴四边形BFGC为平行四边形,∴CE＝BF＝CG,∠ECG＝∠FME＝90°,∴△ECG为等腰直角三角形,∴∠CGE＝45°＝∠GKH,∴△GKH为等腰直角三角形,∴＝,＝＝,＝,∴,∴△CDE∽△GFE,∴∠DCE＝∠FGE,∴；Rt△MFE中,MF＝＝t,∴FK＝MK﹣MF＝ME﹣MF＝10t﹣t,FG＝BC＝7t,设∠GFH＝α,∠KGI＝∠NCD＝β,∴＝,Rt△FKI中,sinα＝,∴,∵GH＝,∴KI＝FK•＝,∴sinβ＝＝＝＝＝,∴．16．（2021•九龙坡区校级模拟）在△ABC中,∠CAB＝90°,AC＝AB．若点D为AC上一点,连接BD,将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE,,交AB于点F．（1）如图1,若∠ABE＝75°,BD＝4,求AC的长；（2）如图2,点G为BC的中点,连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°,猜想线段DC与线段HG的数量关系,并写出证明过程；（3）如图3,若AB＝4,D为AC的中点,将△ABD绕点B旋转得△A′BD′,连接A′C、A′D,当A′D+ A′C最小时,求S△A′BC．【分析】（1）通过作辅助线,构造直角三角形,借助解直角三角形求得线段的长度；（2）通过作辅助线,构造全等三角形,设AC＝a,利用中位线定理,解直角三角形,用a的代数式表示CD和HG,即可得CD与HG的数量关系；（3）构造阿氏圆模型,利用两点之间线段最短,确定A'（4）的位置,继而求得相关三角形的面积．【解析】（1）过D作DG⊥BC,垂足是G,如图1：∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE,∴∠EBD＝90°,∵∠ABE＝75°,∴∠ABD＝15°,∵∠ABC＝45°,∴∠DBC＝30°,∴在直角△BDG中有DG＝＝2,＝,∵∠ACB＝45°,∴在直角△DCG中,CG＝DG＝2,∴BC＝BG+CG＝,∴AC＝BC＝；（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG＝,证明：延长CA,过E作EN垂直于CA的延长线,垂足是N,连接BN,ED,过G作GM⊥AB于M,如图：∴∠END＝90°,由旋转可知∠EBD＝90°,∴∠EDB＝45°∴∠END＝∠EBD＝90°,∴E,B,D,N四点共圆,∴∠BNE＝∠EDB＝45°,∠NEB+∠BDN＝180°∵∠BDC+∠BDN＝180°,∠BCD＝45°,∴∠BEN＝∠BDC,∴∠BNE＝45°＝∠BCD,在△BEN和△BDC中,,∴△BEN≌△BDC（AAS）,∴BN＝BC,∵∠BAC＝90°,在等腰△BNC中,由三线合一可知BA是CN的中线,∵∠BAC＝∠END＝90°,∴EN∥AB,∵A是CN的中点,∴F是EC的中点,∵G是BC的中点,∴FG是△BEC的中位线,∴FG∥BE,FG＝BE,∵BE⊥BD,∴FG⊥BD,∵∠ABD＝30°,∴∠BFG＝60°,∵∠ABC＝45°,∴∠BGF＝75°,设AC＝a,则AB＝a,在Rt△ABD中,AD＝,BD＝BE＝,∴FG＝BE,∴FG＝,∵GM⊥AB,∴△BGM是等腰三角形,∴MG＝MB＝,在Rt△MFG中,∠MFG＝60°,∴MF＝MG,∴MF＝,∴BF＝BM+MF＝,在Rt△BFH中,∠BFG＝60°,∴FH＝＝a,∴HG＝FG﹣FH＝﹣a＝,又∵CD＝＝,∴＝,∴HG＝；（3）设AB＝a,则BC＝,取BC的中点N,连接A′D,A′C,A′N,连接DN,如图3,由旋转可知A′B＝AB＝a,∵＝＝,＝＝,∴,又∠A'BN＝∠CBA',∴△A′BN∽△CBA′,∴＝,∴A'N＝A'C,根据旋转和两点之间线段最短可知,最小,即是A'D+A'N最小,此时D、A'、N共线,即A'在线段DN上,设此时A'落在A''处,过A''作A''F⊥AB于F,连接AA'',如图4,∵D,N分别是AC,BC的中点,∴DN是△ABC的中位线,∴DN∥AB,∵AB⊥AC,∴DN⊥AC,∵∠A＝∠A''F A＝∠A''DA＝90°,∴四边形A''F AD是矩形,∴AF＝A''D,A''F＝AD＝2,∵又A''B＝AB＝4,设AF＝x,在直角三角形A''FB中,A''B2＝A''F2+BF2,∴42＝22+（4﹣x）2,解得x＝．∴此时S△A''BC＝S△ABC﹣S△AA''B﹣S△A''AC＝AB•AC﹣AB•A''F﹣AC•A''D＝×4×4﹣×4×2﹣×4×（4﹣2）＝4﹣4．17．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图1,在四边形ABCD中,AC交BD于点E,△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点,AD＝4,CD＝5,求△BCE的面积；（2）如图2,若BC＝CD,点F为CD的中点,求证：AB＝2AF；（3）如图3,若AB∥CD,∠BAD＝90°,点P为四边形ABCD内一点,且∠APD＝90°,连接BP,取BP的中点Q,连接CQ．当AB＝6,AD＝4,tan∠ABC＝2时,求CQ+BQ的最小值．【分析】（1）如图1中,过点C作CH⊥BD于H,设EH＝x．利用勾股定理构建方程求出x,即可解决问题．（2）如图2中,延长AF到G,使得AF＝FG,连接DG,CG,延长GC交BD于T,过点C作CH⊥BD于H．想办法证明△AEB≌△ADG（SAS）,可得结论．（3）如图3中,取AD的中点O,连接OP,OB,OC,取OB的中点J,连接QJ,CJ,过点C作CF⊥AB于F,在JB上取一点T,使得JT＝,连接QT,TC．想办法证明△QJT∽△BJQ,推出＝＝＝,推出QT＝BQ,推出CQ+BQ＝CQ+QT≥CT,求出CT,可得结论．【解答】（1）解：如图1中,过点C作CH⊥BD于H,设EH＝x．。