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经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归” 一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。
三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归”一。
“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。
当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚去世，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？XXX不归？XXX不归？何以归”。
这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“XXX不归问题”。
二。
“胡不归”模型建立XXX所示，已知sin∠MBN=k，点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”最小时，P点的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ，“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小。
三。
“胡不归”模型破解策略胡不归”问题可以构造某角正弦值等于系数k（k小于1）的起点，构造所需角（k=sin∠CAE），过终点作所构角边的垂线，利用垂线段最短的原理解决。
四。
“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为2.变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？当k值大于1时，则提取k，构造某角正弦值等于系数。
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=4时，运动时间最短为2秒。
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
11。
（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。
(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。
3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
线段最值之胡不归、阿氏圆、费马点
线段最值或线段和最小值核心思想都是转化，转化为两点之间线段最短或垂线段最短，“化形为折，化折为直，化直为垂”，其中对称，旋转，平移都是常用的转化途径，最好能根据条件和问题找到与其匹配的模型，如将军饮马，胡不归，费马点等。
也可以通过瓜豆模型来思考。
1. 如图，在矩形ABCD 中，AB=43,AD=4.点E 为AB 边上的一个动点，求2
1
AE+CE 的最小值.（胡不归）
2. 如图，在矩形ABCD 中，AB=43,AD=4.点P 为平面内一点，且CP=AC.求DP+2BP 的最小值.（阿氏圆）
3.如图，在矩形ABCD中，AB=43,AD=
4.点P为矩形ABCD内一动点，求AP+BP+CP的最小值.（费马点）
练习：
1.如图，AP是正方形ABCD的对角线AC上一动点，AB=4,求AP+BP+DP的最小值.。
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
P中考模拟压轴题（2）集合 3.胡不归模型姓名学习评价1. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠BAC=30°，AD ⊥BC ，点 P 在线段 AD 上，则PA+PB+PC 的最小值为.AABDC（第 1 题图）（第 2 题图）C（第 3 题图）2. 如图，在△ABC 中，AB=AC=10，tan A=2，BE ⊥AC 于点 E ，D 是线段 BE 上的一个动点，则CD +BD 的最小值为 ．513. 如图，在△ABC 中，AB=4，AC=6，∠A=30°，点 D 为 AC 边上一动点，则最小值为．4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=6，且∠ABC=60°， 点 M 是对角线 BD 上任意一点，则2AM + BM 的最 小值为．AD + DB 的2（第 4 题图）5 DB5.如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点B，A、B 的直线距离是13 千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80 千米/小时，而在草地上的最快速度是40 千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B. (消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)6.如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB=50 km，B、C 间的距离为100 km，从A 到C 必须先坐船到BC 上的某一点D，航速为25 km/h，再乘汽车到C，车速为50 km/h，由A 到C 所用的时间t 最少h.（第5 题图）（第6 题图）7.如图，AB 为半圆O 的直径，AB=4，点P 为半圆O 圆弧上的一动点，点Q 为线段AB 上一点，且∠PQA=60°，则PQ+AQ 的最大值为．（第7 题图）（第8 题图）8.如图，在△ACE 中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O 经过点C，且⊙O 的直径AB 在线段AE 上，1设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD，当⊙O 的直径AB 为．CD OD 的最小值为6 时，则23 9. 如图，二次函数 y = 415 x 2- 815x - 4 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边），3与 y 轴交于点 C ，其对称轴与 x 轴交于点 D ，若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD ，则 5的最小值为．10. 如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB=4，则 AP+BP+CP 的最小值为．（第 10 题图）PC+PD11. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象经过点 A(−1,0)，B(0, - )，C(2,0)，其对称轴与 x 轴交于点 D（1） 求二次函数的表达式及其顶点坐标；1（2） 若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD ，求 2PB+PD 的最小值为.yx集合 4.阿氏圆模型姓名学习评价1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点 D 是△ABC 内一动点，满足 CD=2，2则AD + BD 的最小值为.3BDCA（第 1 题图）（第 2 题图）2. 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC 的度数为 60°，⊙A 与 BC 相切于点 E ，在⊙A 上任取一点 P ，则PB+PD 的最小值为 .23. 在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则 2PD+PC 的最小值是.（第 3 题图）3PBCC P ODGPC4. 如图，在正方形 ABCD 中，G 是正方形内一点，AD=4，P 是 BC 中点，且 BG=BP ，则 DG +的最小值为.1 CG2ADADB（第 4 题图）（第 5 题图）5. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B=60°，⊙B 的半径为 2，点 P 为⊙B 上的一动点，则1PD + PC 的最小值为.216. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，⊙B 的半径为 2，点 P 为⊙B 上的一动点，则 PD + PC21的最小值为 ； P D - PC 的最大值为. 2DC（第 6 题图）AB（第 7 题图）APB7. 如图，点 A 、B 在⊙O 上，OA=OB=12，且 OA ⊥OB .点 C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且1OD=10.动点 P 在⊙O 上，则PC+ PD 的最小值为.2⌒8. 如图，已知⊙O 的半径是 1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为AB上一动点，则PC + PD2的最小值为.DA O（第 8 题图）B（第 9 题图）9. 如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点 B 为圆心作⊙B 于 AC 相切，P 为⊙B 上任意一点，则PA +PC 的最小值为 .210. 如图，已知扇形 COD ，∠COD=90°，OC=6， ⌒OA=3，OB=5，点 P 是CD 上任意一点，则2PA + PB 的最小值为.（第 10 题图）2 2 CP11. 如图1，抛物线y =ax2 + (a + 3)x + 3 (a≠0)与x 轴交于点A(4,0)，与y 轴交于点B，在x 轴上有一动点E(m,0)(0<m<4)，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P 作PM⊥AB 于点M.（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若C1 =6，求m 的值；C25（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，2连接E′A、E′B，求E′A+3E′B 的最小值.。
2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。
(为突出问题，刚去了两个小问)【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下半移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA＝1经过点A的一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+3PA的最小值5阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB＝k(k≠1)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆下面给出证明法一:首先了解两个定理(1)角平分线定理:如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角半分线，则ABAC =DBDC证明：S△ABDS△ACD =BDCD，S△ABDS△ACD=AB×DEAC×DF=ABAC，即ABAC=DBDC(2)外角半分线定理:如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB AC =DBDC证明:在BA延长线上取点E使得AE＝AC，连接BD，则△ACD≅△AED(SAS)，CD=DE且AD平分∠BDE，则DBDE =ABAE，即ABAC=DBDC.接下来开始阿氏圆证明步骤:如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MAMB =PAPB=k，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NANB =PAPB=k，故N点为定点，即∠APB外角半分线交直线AB于定点；又∠MPN＝90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆。
法二:建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m，0)，则B(m，0)，设P(x，y)，PA ＝kPB，即:解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质:（1）PAPB =MAMB=NANB=k应用:根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O(2)△OBP∽△OPA，即OBOP =OPOA，变形为OP2＝OA∙OB.应用:根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置(3)OPOA =OBOP=PAPB=k应用:已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值练习1:已知A 、B 求圆轨迹已知在坐标系中，点A(-1，0)，点B(3，0)，P 是平面中一点且PA:PB=3:1，求P 点轨迹圆圆心位置【分析】既然已经了解的“阿氏圆”的相关内容，不妨直接用上结论. 取M(2，0)满足MA:MB ＝3:1，取N(5，0)满足NA:NB ＝3:1， P 点轨迹即是以MN 为直径，MN 中点O 为圆心的圆.练习2:已知圆轨迹反求点A 或B已知在坐标系中，点A(-1，0)，P 是以点A （72，0）为圆心，32长为半径的圆。
平面中求一点B 使得PA:PB=3:1，求B 点坐标.【分析】像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与A 点，求另外一点B. 思路1:构造相似三角形。
考虑OP 2＝OA ∙OB ，将OP ＝32、OA ＝92代入可得:OB ＝12，故B 点坐标为(3，0)思路2:根据“阿氏圆”中的特殊位置当P 点运动到M 点位置时，有MA:MB ＝3:1，考虑到A(-1，0)、M(2，0)，可得MB ＝1， 考虑到A 、M 、B 共线且B 点在M 点右侧， 可得B 点坐标为(3，0).补充:这里的圆O 与点A 及PA:PB 的比值都是配套存在的，思路2虽有投机取巧之嫌，却是根据“阿氏圆”定义求出的B 点，还好用。
那么这个玩意和最值有什么关系呢?比如可以将练习2稍加修改，即可变成最值问题:练习2(改):已知在坐标系中，点A(1，0)，P 是以点（72，0）为圆心，32长为半径的圆，Q(2，2)，求PQ+13PA 的最小值.【分析】问题中的PQ 暂时不用管，先处理好13PA ，考感到P 点轨是个圆，且要构造13PA ，大胆猜测:平面中存在一点B 使得P 在圆上任意位置，均满足：PA PB=13，即有PB=13PA.其实就是逆用“阿氏圆”，这样的题目一般就是给出圆与A 点位置，求另一点B 的位置可转化13PA.点B 求法如上练习2，剩下的求量小值就很简单了练习3:关于系数如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆，分別交 AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA+PB 的最小值为【分析】确定了问题关键是构造“12PA ＂，已知了P 点所在的，已知了A 点，即在平面中找一点M 使得“PM ＝12PA ”思路1:构造相似三角形点M 与A 、C 共线，且M 点必满足:CP 2＝CM ∙CA ，代入CP 、CA ，即可得:22＝4∙CM ，得:CM=1，即可确定M 点位置，12PA+PB ＝PM+PB 问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可【问题剖析】（1）这里为什么是12PA?答:因为圆C 半径为2，CA ＝4，比值是1:2，△CMP 与△CPA 的相似比为1:2所以构造的是12PA ，也只能构造12PA （2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少? 答:根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23.【练习1】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案【练习2】、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则PD −12PC 的最大值为【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC ＝2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M ，使得此时PM ＝1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM ＝12PC ，从而将同题转化为求PD −PM连接PD ，对于△PDM ， PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD −PM ＝DM 为最大值【2019山东日照第22题】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝−5x+5与x轴、y轴分別交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、MC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+1PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.2。
