九年级数学胡不归与阿氏圆

题型全解11 线段和差最值中的“胡不归”问题和“阿氏圆”【知识梳理】 1.“胡不归问题”（1）题型特点：出现“PA ±kPB ”形式的线段和差最值题型，且动点在直线上运动。

（2）解题思路：紧盯“k ”的数学特点，利用特殊角的边角关系、或构造“共角模型”的相似三角形，寻找到一条与“kPB ”相似的线段，把“PA ±kPB ”结构转化成“将军饮马问题”的“PA+CD ”结构，利用“将军饮马问题”的“化曲为直”的思路解题。

2.阿氏圆（1）题型特点：出现“PA ±kPB ”形式的线段和差最值题型，且动点运动轨迹为圆形（或圆弧形）。

阿氏圆，全称为阿波罗尼期圆，是古希腊名叫阿波罗尼斯的数学家发现的。

他发现：已知平面上两定点A 、B ，则所以满足“PA PB=k(k ≠1)”的点P 的轨迹是一个圆，取名为阿波罗尼期圆，简称为阿氏圆。

当k =1时，PA =PB ，则点P 到线段两端的距离相等，它的轨迹是线段AB 的垂直平分线。

当k ≠1时，点P 运动轨迹如图所求，易知图中隐藏着“共角型”相似三角形，若OA OP=OP OB=K ，△OPA ∽△OBP ，则有PA PB=OA OP=K ，即PA =k ∙PB 。

（2）解题思路：当遇到“PA +kPB ”型最值时，解题关键是能否把“kPB ”转化成某条线段，这样就转化成了典型的“将军饮马问题”，而把“kPB ”转化成某条线段，最关键是能够构造出点A ：只要使被构造的点A 与圆心O 的距离与半径之比等于半径与圆心到定点B 的距离之比即可，即OA:r =r:OB =k【典型例题】1.如图，Rt △ABC 中，，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=√3，P 是边AC 上的一个动点，则12PA +PB 的最小值为________.A BCP MB`PC BA解析：利用30°角把12PA 转化成某一条线段，这样就把12PA +PB 转化成两条线段和差的最小值，典型的“将军饮马问题”.过P 作PM ⊥AB 于点M ，则PM=12PA ，则求12PA +PB 的最小值，即是求PM+PB 的最小值，属“一定两动”情形。

经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归” 一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。

三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。

“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。

然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。

人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。

（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。

为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。

但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。

如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。

那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。

用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。

胡不归和阿氏圆数学模型
胡不归和阿氏圆数学模型是由胡不归与阿氏共同提出的一个数学
模型。

该模型用于描述和分析物体在胡不归的假设条件下的运动轨迹。

其中，胡不归的假设条件是指物体在运动过程中受到的外部力可以忽
略不计，即在理想的情况下进行研究。

而阿氏圆则是由阿氏提出的一
个圆形轨迹模型，用于描述物体在惯性系下的运动轨迹。

在该模型中，胡不归和阿氏假设物体在运动过程中不受外力作用，因此物体会沿着一个圆形轨迹进行运动。

这个圆形轨迹被称为阿氏圆。

胡不归和阿氏通过对物体运动的分析和计算，得出了一些关于运动轨
迹的重要结论。

根据该模型，物体在阿氏圆上的运动满足某些特点。

首先，在给
定的时间段内，物体在阿氏圆上的运动速度是恒定的。

其次，在同一
圆上不同位置的物体所处的时间间隔是相等的。

最后，在阿氏圆上的
任意两点之间，物体所经过的弧长与圆心之间的夹角成正比。

胡不归和阿氏圆数学模型在物体运动的研究和应用中具有重要的
意义。

通过这个模型，我们可以更加深入地理解物体在惯性系下的运
动特点。

同时，该模型也能够为我们提供一种计算物体运动轨迹和速
度的方法，从而对各种相关问题进行分析和解决。

总的来说，胡不归和阿氏圆数学模型为我们提供了一种简单而有
效的描述物体运动的工具，为物理学和工程学的发展做出了重要贡献。

胡不归-阿氏圆问题已知定点A 、B ，要求找一点P ，使aPA+PB 值最小(a 为大于0且不为1的常数)；点P 在直线上运动型称为“胡不归”问题，点P 在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.垂线段最短；构造出新的线段，使其等于aPA ；构造方法：1.作∠α，使sin α=a ；一般a=21、22和23时，作相应30°、45°和60°角，构造出特殊直角三角形；2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将aPA 转化；注意：一般系数a 满足0＜a ＜1时直接构造；a ＞1时需要先提取系数，如PA+2PB=2（21PA+PB ），PA+2PB=2（22PA+PB ）.一．胡不归问题1.构造含特殊角的直角三角形，将“aPA ”转化已知：如图，A 为直线l 上一点，B 为直线外一点；要求：在直线l 上找一点P ，使得21PA+PB 最小.【分析】利用sin30°=21构造出PH=21PA ，当B 、P 和H 共线时，PH+PB 取得最小值BH ，又当BH ⊥AH 时，BH 取得最小值【解答】过点A 作射线AM ，使∠A=30°（B 、M 位于l 异侧），过点B 作BH ⊥AM 于H ，交直线l 于点P ， 则点P 即为所求，此时21PA+PB 最小，最小值即为 线段BH 的长.问题概述方法原理解题思路【小结】1.构造方法可总结为：一作角，二作垂线；2.系数a 为22、23时，作45°和60°角.典型例题1-1（1）如图1，直线y=x-3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上一动点，连接PB ，当P 点坐标为_________时，21PA+PB 取得最小值，最小值为__________；（2）如图2，直线y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为y 轴上一动点，连接PA ，当P 点坐标为________时，2PA+√2PB 取得最小值，最小值为_________.图1 图2【分析】（1）根据模型构造出21PA 找出P 点，借助含30°角的直角三角形解出OP 长和BH长，从而求出P 点坐标和21PA+PB 的最小值；（2）2PA+√2PB=2（PA+22PB ），与（1）类似的方法求解.【解答】（1）如图，过点A 作射线AC ，与y 轴正半轴交于点C ，使∠OAC=30°，过点B 作BH ⊥AC 于H ，交x 轴于P ，则PH=21PA ，此时12 PA+PB 取得最小值，即为BH 长；已知∠OBP=30°， ∴OP=3OB =3,则P （3，0）又OC=3OA =3，∴BC=3+3，∴BH=23BC=2333+，即12PA+PB 的最小值为2333+；（2）如图，过点B 作射线BC ，与x 轴的正半轴交于点C ，使∠OBC=45°，过点A 作AH ⊥BC 于H ，交 y 轴于点P ，此时2PA+√2PB 取得最小值，∵∠BCO=45°，∴AH=√22AC=2√2，∴2PA+√2PB=2AH=4√2，又OP=OA=1，∴P （0，1）；即当P 点坐标（0，1） 时，2PA+√2PB 取得最小值42.【小结】 1.作角时，以定点、定边向“异侧”作射线；2.（2）中提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘2.典型例题1-2如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，AB ＝2，则AP ＋BP ＋CP 的最小值为（ ）A ．2＋5B ．2＋6C ．4D ．32【分析】由于AP=CP ，AP ＋BP ＋CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三角形和等面积法可解出该最小值.【解答】∵正方形ABCD 为轴对称图形，∴AP=PC ，∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），∴即求PA+21PB 的最小值，连接AE ，作∠DBE=30°，交AC 于E ，过A 作AF ⊥BE ， 垂足为F ，在Rt △PBF 中，∵∠PBF=30° ，∴PF=21PB ， ∴PA+21PB 的最小值即为AF 长，易得∠PAO=30°， ∴OP=3AO=36，AP=2OP=362，BP=OB-OP=2-36， ∴PF=21BP=22-66，∴AP+PF=262 ，AP+BP+CP 的最小值为2＋6 ，故选B.【小结】1.求解AF 也可放到△ABE 中，用等面积法计算；2.点P 为△ABC 的“费马点”，感兴趣的读者可查阅相关资料.变式训练1-1如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)135lBA变式训练1-2如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为___________2.构造相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化 典型例题2-1如图，△ABC 在直角坐标系中，AB=AC ，A （0，22）， C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为线段AD 、DC ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为_______ 【分析】设CD 上速度为v ，AD 上速度为3v ，则全程时间t=v CD vAD+3=)(311CD AD v +，当31AD+CD 最小时，总时间最少；分析条件知CO=31AC ，过点D 作DH ⊥AC 于H ，构造△ADH 和△ACO 相似，则DH=31AD ，又CD=BD ，则需DH+BD 最小，此时B 、D 、H 共线且BH ⊥AC ，借助相似易得点D 坐标.【解答】如图，作DH ⊥AC 于点H ，交AO 于D ，此时整个运动时间最少，易证△BOD ∽△AOC ，则OAOB OC OD ==221，∴OD=221OC =42，∴D （0，42）【小结】1.首先表示出时间和各段路程的关系；2.找出图中含有两边之比等于系数a 的三角形；3.构造相似三角形求解.变式训练2-1如图，抛物线y=﹣x 2+x+3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，当△DQB 面积最大时，在x 轴上找一点E ，使QE+EB 的值最小，求E 的坐标和最小值．二．阿氏圆问题一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化典型例题3-1如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D 为直角边AC 上一 点，且CD=2，将CD 绕着点C 顺时针旋转α（0＜α＜90°），D'为 点D 的对应点，连接AD'和BD'，则AD'+21BD'的最小值是________. 【分析】D'在以C 为圆心，半径为2的圆弧上运动，△CD'B 中，CD'=21BC ，据此在CB 上截取CF=21CD'=1，构造△CFD'∽△CD'B ，将21BD'转化为D'F ，即求AD'+D'F 的最小值，A 、D'、F 共线时其值最小，由勾股定理易求该值.【解答】在线段CB 上截取CF=21CD'=1，∴21==''CBD C D C CF ，又∵∠FCD'=∠D'CB ，∴△CFD'∽△CD'B ，∴21=''B D FD ,即D'F=21BD'，要使AD'+21BD'最小，则需AD'+D'F 最小，此时A 、D'、F 三点共线，AD'+D'F 的最小值即为AF 长，在Rt △ACF 中， AF=22CF AC +=2213+=10， 即AD'+21BD'的最小值是10.变式训练3-1如图1，抛物线y=ax 2﹣6ax+6（a ≠0）与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜8），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）分别求出直线AB 和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，若S 1：S 2=36：25，求m 的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ． ①在x 轴上找一点Q ，使△OQE ′∽△OE ′A ，求出Q 点坐标．②求BE ′+AE ′的最小值.变式训练3-2在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限内一动点，且∠CPA﹦135°，则2PD﹢PB的最小值是．1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是s．2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其对称轴与x轴交于点D。

（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。

(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。

3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

初中数学最值系列之胡不归问题最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中，往往都是求某个线段的最值，或者形如PA+PB的最值。

除此之外，我们还可能会遇上形如“PA+kPB”的式子的最值问题，这类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆。

本文将简单介绍“胡不归”模型。

故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。

根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途。

当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭。

邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACBC的值最小。

问题分析】将BC+kAC的最小值问题转化为求BC+CH的最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小。

模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型。

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段。

2019长沙中考】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+5BD的最小值是_______。

分析】本题关键在于处理“sin∠ABE/BD”，考虑tanA=2，△ABE 三边之比为1:2:5，即BBC问题可以转化为求CD+DH的最小值，当C、D、H三点共线时，CD+DH的值最小，此时CD+DH=CH=BE=45.解决这个问题的关键在于构造垂线DH，根据角度的三角函数值可以得到sinα=3/5，因此可以自行构造角α，如图所示。

如果稍作改变，将图形改造为EDBC，则需要自己构造角α，这一步是解决“胡不归”问题的关键。

胡不归与阿氏圆数学模型讲解数学是一门与生俱来的智力游戏。

许多数学问题看似复杂难懂，但只要找到了正确的角度和方法，它们就会变得简单易懂。

今天我想与大家分享的是胡不归与阿氏圆数学模型，这是一种崭新的解决问题的方法。

前方几行解释提醒：阅读完本篇文章之后，可能会对胡不归与阿氏圆得到的数涨点自信，但作者本人并不保证你能够理解它们，除非你已经具备了数学专业的基础和知识。

那么，胡不归与阿氏圆是什么呢？胡不归是解决Gauss消元的一种方法，它被用于矩阵求逆和计算行列式等问题。

胡不归是由天津大学的胡胜利教授于20世纪80年代发明的。

阿氏圆是一种用于解决k个方程组求几何平均值的算法。

在k=2时，阿氏圆可以退化为普通的圆。

这种算法由英国数学家阿诺德·本特利(Arnold Bentley)在20世纪初发明。

胡不归与阿氏圆的结合，可以用于解决各种数学问题。

接下来，我将用几个例子来演示胡不归与阿氏圆如何解决这些问题。

例1：求两数之和与两数之积假设有两个数x和y，分别为10和7。

我们现在想要计算它们的和与积。

首先，我们需要构造如下的矩阵：[ 1 1 ] [ x ] [ x + y ][ x y ] [ y ] = [ xy ]接下来，根据胡不归法则，我们进行如下的计算：[ 1 1 | x ][ x y | y ] -> [ 1 0 | x + y Y ][ 0 1 | Y ]其中，我们把胡不归得到的结果用大写字母Y表示。

现在我们可以得到：x + y = Yxy = Y最后计算出的x和y分别为3和4.67。

例2：求三数的平均值假设有三个数a、b和c，它们的值分别为2、4和8。

我们现在想求它们的平均值。

首先，我们需要构造如下的矩阵：[ 1 1 1 ] [ a ] [ (a+b+c)/3 ][ a b c ] [ b ] = [ ][ c ] [ ]接下来，根据胡不归法则和阿氏圆，我们进行如下的计算：[ 1 1 1 | a ][ a b c | b ] -> [ 1 0 0 | (2a+b)/3 ][ 0 1 0 | (2a+2b+c)/3 ][ 0 0 1 | (a+b+c)/3 ]此时，我们已经得到了平均值，它是14/3，也就是4.67。

胡不归+阿氏圆(PA k PB +∙) 当你遇到“PA+kPB ”型最值时，当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。

而如果k ≠1的话，此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。

其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题：点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

利用“胡不归，阿氏圆”解决初中"PA k PB +∙"型的最值问题(加权线段和最值)
胡不归图
阿氏圆图
胡不归
①
'C
'
H ②
1
(2019长沙中考)如图，△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_____ (2019南通中考)如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6，BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+的最小值等于．
阿氏圆
你会发现：原来我暗藏着“母子型”相似三角形！(形状完全一样，多像母子啊！)
, OPA OBP
，则∽所以
转化为简单的将军饮马型问题。

的距离与半径之比等于半径与圆心到定点r OB
这类题目虽然所求两条线段系数不为1，但并不是胡不归和阿氏圆问题，这和动点的运动轨迹有关系，需要大家细致辨别。

这是一道“隐藏的”隐形圆问题。

它的解法也非常巧妙，但仍然属于常规思路，只要对隐形圆基本模型掌握的熟练，应该是比较容易想到的。

这个题如果放在高中，也可以用正余弦定理去解决。

阿氏圆与胡不归双线段最值模型一、学习目标1、掌握阿氏圆知识点是构造母子型相似2、2、理解胡不归双线段模型与最值问题的解决策略二、知识梳理 1、阿氏圆“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PAB ∽△CAP 推出 PA 2= PC PB •，即：半径的平方=原有线段⨯ 构造线段。

2、胡不归胡不归模型问题解题步骤如下； 1、将所求线段和改写为“PA+a b PB ”的形式（a b <1），若ab>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。

2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=ab3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题三、模型展示1、如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是△BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=．证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD△△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分△BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作△APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB ==，故M 点为定点，即△APB 的角平分线交AB 于定点；作△APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即△APB 外角平分线交直线AB 于定点；FEDCBAABCDE又△MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．2、如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．2M在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．四、例题精讲例1、如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且3OB OA ==，OAC ∠的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作H ，点Q 为H上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．例2、1、在平面直角坐标系中，将二次函数()20y axa =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值．五、课堂检测2、如图1所示，△O 的半径为 r,点 A 、B 都在△O 外，P 为△O 上的动点， 已知 r=k·OB.连接 PA 、PB ，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？1:连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ；2：计算连接线段OP 、OB 长度； 3：计算两线段长度的比值k =OBOP； 4：在OB 上截取一点C ，使得OBOPOP OC =构建母子型相似: 5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为PA+K*PB 的最小值。