《广猛说题系列之胡不归与阿氏圆两类系数不为1的最值小例》(下集)

“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。

两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。

不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。

11。

“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子胡不归，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。

然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。

早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。

（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。

为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。

但是，他忽略了在驿道上（V1）行走要比在砂土地带（V2）行走快的这一因素。

如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。

解题步骤：①将所求线段和改写为“BD＋12V V AD”的形式（0＜12V V ＜1）；②在AD 的一侧，BD 的异侧，构造一个角度α； ③过B 作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值． 课堂巩固1、如图，△ABC 中，BC=2,∠ABC=30°，则2AC+AB 的最小值为 。

2、如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM+21BM 的最小值为 。

3、如图，等腰△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为AO ，点D 为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD-DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD= 时，运动时间最短为 秒。

阿氏圆入门专题引入 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,☉C 半径为2,P 为圆上一动点,连接AP ,BP ,则AP+12BP 的最小值为 .阿氏圆入门破题口诀•一算破心线（其长度=半径的平方÷权心线•二定破题点（在圆心至权心线的连线或延长线上截取破心线的长度，得破题点）。

•三连破非线（破题点到非加权点的连线）•四求破非线。

（破非线与圆的交点即为动点位置）说明：确定PA+1/2PB的最短距离。

“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

2020年中考数学总复习最值系列：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．2M【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．M将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．M【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．。

最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．2M【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．M将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．M【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【2019长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______． ABCDE【分析】本题关键在于处理“”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2，sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH ． HEDCB AABCDEH问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：EDCB则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α5HEDC BAEDCB【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB 的最小值等于________． ABCDP【分析】考虑如何构造”，已知∠A =60°，且sin60°，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H点，即可得PH ，将问题转化为：求PB +PH 最小值． M HPDCBA当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．ABCDPH M【2014成都中考】如图，已知抛物线()()248ky x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？，直线解析式为y x =，D 点坐标为(-，故抛物线解析式为)()24y x x =+-，化简为：2y x 该题的第二小问．点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即求12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值．接下来问题便是如何构造2DF，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =2DF． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．【2018重庆中考】抛物线2y x=x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当12PE EC+的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）【分析】根据抛物线解析式得A()-、B)、C(，直线AC的解析式为：y=+AC与x轴夹角为30°．根据题意考虑，P在何处时，PE+2EC取到最大值．过点E作EH⊥y轴交y轴于H点，则∠CEH=30°，故CH=2EC，问题转化为PE+CH何时取到最小值．考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设2,P m⎛-⎝，则E m⎛⎝，H⎛⎝，2PE=，CH=，22=PE CH m+=+sin ABE∠=当P点坐标为(-时，取到最小值，故确定P、C、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。

“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

“PA+k·PB”型的最值问题（胡不归+阿氏圆）【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

当k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k 取任意不为1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2 类研究。

即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。

其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P 在直线上运动——“胡不归”问题如图1-1-1 所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作 PQ⊥BN 垂足为 Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3思考：当k 值大于1 时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！2PCOPC O【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危 的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原 理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽 然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小 伙子失声痛哭。

“PA+k•PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k-PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；［模型初探］（-）点P在直线上运动►“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知SIB/MBN=k,点F为角NMBN其中一边刷上的一个动点，点A在射线EM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k•FB”的值最小附，P点的位置如何确定？分析:本题的关键在于如何确定“k・PB”的大小,过点P作PQ_LBN垂足为Q,则k•PB 二PB•gin/MBX二PQ,二本题求“PA+k・P¥'的最小值转化为求“PA+PQ"的最小值（如图1-1-2）.即A、F、Q三点共线时最小（如图本题得解口【数学故事】从前，&一个小伙子在外地学徒「巧他来悉在冢的老父亲病危的消息后.便立即是程赶路.由于思多心切，他又考虑.了四点之间线段最坦的屏理,所以逸择「全是沙砾姓帝的直线路校q如图所不3而忽祝了赵析筵虽然蹄程多但速度快的实际情况.当他气喘回吁地赶到彖时，老人倒叫叫了气，小伙子失声描矍。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老A弥留之际小新念叨者"制不如？相不打？何以归:这个占•者的传混,引起『人们的思索.小伙子能否提前到宗？倘若可以，他应该选抒一条k睇的路线呢？这就是风靠干讦创的“制不出问详解；如图，作AN_L于BC垂足为N,丁四边形ABCD是菱形且/瓯=60°..：/DEC=30口，即8】“面子磊2:.AM+-BM=AM+MC,即AM+-BM的最小值为AN.2Z在RTZ\ABN中，AN=AB.sinNABUs曰=3忑\工蚓十次的最小值为内瓦2【变式训练】►（胡不归问题）1.如图,等腰△ABC中，旭二AC=3,BC=2f EC边上的高为AO,点D为射线AO上一点,一动点P,从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD卜.运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时,运动时间最短为秒.答案：；石，土£43工如图，在菱形ABCD中，AB=6,旦/ABC=150",点P是对角线观上的一个动点.则PA+FB+PD的最小值为.答案：6下(216-56.52)-4-216［模型初探］（二）点P在圆上运动►“阿氏圆”问题如图所示00的半径为叫点A、B都在外，P为上的动点।已知r-k•0B.连接PMPB,则当w PA+k•PB M己值最小时,P点的位置如何确图2-1-1图2-1-2【模型类比】①.胡不归”构造某角正弦值等于小于I系数起点构造所需角（k=Kn/CAE）过终点作所构角边的垂线利用垂线段最短解决问题2,（阿氏圆问题）如图，点A、B在Q0上，且0A二0B=6,且OA-OB.点C是0A 的中点，点D在05匕且OEM,动点P在它0匕则"C+P口的最小值为.分析；如何将2PC转化为其他线段呢？不难发现本题出现了中点，即2倍关系/r-\就出现「0套用.•阿氏圆”模型:构造共边共角相似半径的平方二原有线段工构造线段心0.738^73.8% 变式思考，（1）本题如要求“FC +^PD ”的最小值你会求吗?⑵本题如要求'（PC +|PD-的最小值你会求吗?答案:(1)二/(2)B^LQ 1.（2Q16•徐州）如图，在平面直角坐标系中,二次函数尸打一+bx+c 的图像经过 点#（-b0）,B （0,Y ）、C S0）,其中对称轴与范轴交于点D.若尹为¥轴上的一个动点，连接FD,则工号十期的最小值为9工（20L1.成都）如图，已知抛物线，=半/+工脂-4）与又轴从左至右依次交于点A,B,与y 轴交于点C,经过点B 的直线y —冬+苧与抛物线的另一个交点为以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D【中考真题】 *（胡不归问设F 为线段即上一点［不含端点），连接此 ・动点M 从点儿出发，沿线段AF 后停止,当点F 的坐标为时，点U 在整个运动过村中用时最少?【中考真题】>（阿氏•圆问题）（2017•甘肃兰州》如图，抛物线下=炉」去上上与宜线斯交于/电4,且Q4两点，直线此交通与点C点茎是直线里上的动点，过点EI车班Ur轴交女'于点F,交抛物线于点U⑴求抛物线-I区+e的表达式②）连接G』，EO,当四边形皿阳是平行四边形时，求点G的坐标:⑶①轴上存左一点H,连接&/,5当点E运动到什么位置时,以为顶点的四边形是矩.形？求出此时点瓦且的坐“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k•PB”（k/1的常数）型的最值问题。

胡不归最值在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，2驿道2M即求BC +kAC 的最小值． 【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段 法则：首先判断是否为胡不归问题，①系数不为 1 的线段的和②动点在直线上运动。

第一步：整理系数，使得系数小于 1；（大于 1 时提取系数） 第二步：确定两定点，一动点，转化系数不为 1 的线段；第三步：过要转化线段的固定顶点作角，使得这个角的正弦值为系数第四步：从另一个定点出发向构造的角的一边作垂线段，垂线段的值即为最小值。

《广猛说题系列之胡不归与阿氏圆两类系数不为1的最值小例》（下集）《上集》讲的是一种特殊的系数不为1的最值问题，名叫“胡不归”，同学们你们记住了吗？会解决这个模型了吗？下面再提供一个表面上与其很类似的问题，但本质不同，称之为“阿波罗尼斯圆”模型，简称“阿氏圆”问题！（“阿氏圆”问题）问题2:如图2,已知点B （8, 0） , C （0, 6）,半径为3的。

0上有一动点P,求PB+1/2*PC 的最小值.“美丽的图形会说话”（朋友语）！先呈上解决此题的终极图形，如图行参悟，然后再2-1 ,同学们可对照此图先自听我娓娓道来!简析：此题依然是一个“两定一动型”最值问题，且动点P被“绑在” 了半径为3的。

0上运动，动点P的本质特征也就是。

0 的本质特征，即到原点O的距离始终为3,解题的关键肯定也要抓住这个本质特征；此题让人望而却步的，还是在不为1这个系数上，即“ 1/2 ”，如何处理“1/2 ”成为了解题的难点;回顾上面的“胡不归”模型，里面也有不为1的系数，我们利用“构造三角函数”的联想机制，成功将系数转化为1 ;其间之所以能“构造三角函数”，是因为动点从一个定点出发先沿着一条定直线运动，构造的关键也是抓住这条定直线及其上的这一个定点，即过定直线上的定点向这条定直线的某一侧（视具体情况而定）作一个锐角，使其正弦值等于要处理的系数，从而将系数顺利转化为1;那么本题可不可以同样处理呢？显然不行，动点P在一个圆上运动，该怎么构造三角函数啊！看来此路不通，那就再作其他联想吧！想啊……想啊……，想到目标是要处理“1/2*PC无关，那就先擦去PB,减少题目中的干扰线条，如图2-2所示，将目光就聚焦在一点，即PC上；我们要处理的系数是而此处恰有丝=1，这难道仅仅是一个巧合嘛？还是说 2 OC 2是必然呢！？ 第二步（联想比例，构造相似），"数学人最神奇之处，就在于其丰盲的联想"（本人妾语）！联想到“空=1”及要处理的“Ipc”，可以巧妙地构造出大冢耳熟能详的 OC 2 2w 母子型相似”墓本图形，如图）3所示，在℃上取一点使” 二!.即OM=L5.此 OP 2时易知△QMPsZiOPC,且相似比为经二11则由*相似三角形的对应边成比例“知 OP 2—从而有A/P = lpc,成功将系数化为了 1,即将%C 转化为了 MP,则第一步（连接半径，突出本质）： 刚刚说过，动点 特征是其到原点O 的距离始终为定值3 ,转化“ 如图2-2 ,连接半径OP,发现题目的特殊性，即 题型都具备这样的特殊性，同学们要多尝试、多联想；P 被“绑在” 了半径为 3的。