动态几何之胡不归阿氏圆,旋转相似问题

“胡不归”问题属于经典的几何动点最值问题，一直都是中考的热门考点。

该题型因为会涉及到
几何图形、动点问题、最值问题、三角函数等知识点，对于辅助线的构造、求解的计算要求都比较高 ，属于比较难的一类题型。

如果没有进行系统性的学习，考场上遇到该题型往往会容易抓瞎。

在近几年的中考试卷中，天津、四川、江苏、湖北、湖南、山东、贵州、新疆等地，都有该题型的出现。

该题型既有选择题、填空题，比较主流的是和二次函数结合在一起，考察代几综合的内容，综合性非常强。

该题型的特征其实比较明显，当遇到求线段之和的最小值时，而且含有系数时，往往就有可能是胡不归问题。

形如求“ PA + kPB ”这样的式子的最小值，其中 A、B 两点为定值， P 为动点。

当动点 P
在直线上运动时，就是我们今天要说的“胡不归”问题；当动点 P
在圆上运动时，就是另外一个最值问题：阿氏圆问题。

王旭老师总结了“胡不归”问题的背景、模型、解决方案、知识要点，以及近几年中考试卷中出现的“胡不归”真题。

胡不归和阿氏圆数学模型
胡不归和阿氏圆数学模型是由胡不归与阿氏共同提出的一个数学
模型。

该模型用于描述和分析物体在胡不归的假设条件下的运动轨迹。

其中，胡不归的假设条件是指物体在运动过程中受到的外部力可以忽
略不计，即在理想的情况下进行研究。

而阿氏圆则是由阿氏提出的一
个圆形轨迹模型，用于描述物体在惯性系下的运动轨迹。

在该模型中，胡不归和阿氏假设物体在运动过程中不受外力作用，因此物体会沿着一个圆形轨迹进行运动。

这个圆形轨迹被称为阿氏圆。

胡不归和阿氏通过对物体运动的分析和计算，得出了一些关于运动轨
迹的重要结论。

根据该模型，物体在阿氏圆上的运动满足某些特点。

首先，在给
定的时间段内，物体在阿氏圆上的运动速度是恒定的。

其次，在同一
圆上不同位置的物体所处的时间间隔是相等的。

最后，在阿氏圆上的
任意两点之间，物体所经过的弧长与圆心之间的夹角成正比。

胡不归和阿氏圆数学模型在物体运动的研究和应用中具有重要的
意义。

通过这个模型，我们可以更加深入地理解物体在惯性系下的运
动特点。

同时，该模型也能够为我们提供一种计算物体运动轨迹和速
度的方法，从而对各种相关问题进行分析和解决。

总的来说，胡不归和阿氏圆数学模型为我们提供了一种简单而有
效的描述物体运动的工具，为物理学和工程学的发展做出了重要贡献。

胡不归-阿氏圆问题已知定点A 、B ，要求找一点P ，使aPA+PB 值最小(a 为大于0且不为1的常数)；点P 在直线上运动型称为“胡不归”问题，点P 在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.垂线段最短；构造出新的线段，使其等于aPA ；构造方法：1.作∠α，使sin α=a ；一般a=21、22和23时，作相应30°、45°和60°角，构造出特殊直角三角形；2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将aPA 转化；注意：一般系数a 满足0＜a ＜1时直接构造；a ＞1时需要先提取系数，如PA+2PB=2（21PA+PB ），PA+2PB=2（22PA+PB ）.一．胡不归问题1.构造含特殊角的直角三角形，将“aPA ”转化已知：如图，A 为直线l 上一点，B 为直线外一点；要求：在直线l 上找一点P ，使得21PA+PB 最小.【分析】利用sin30°=21构造出PH=21PA ，当B 、P 和H 共线时，PH+PB 取得最小值BH ，又当BH ⊥AH 时，BH 取得最小值【解答】过点A 作射线AM ，使∠A=30°（B 、M 位于l 异侧），过点B 作BH ⊥AM 于H ，交直线l 于点P ， 则点P 即为所求，此时21PA+PB 最小，最小值即为 线段BH 的长.问题概述方法原理解题思路【小结】1.构造方法可总结为：一作角，二作垂线；2.系数a 为22、23时，作45°和60°角.典型例题1-1（1）如图1，直线y=x-3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上一动点，连接PB ，当P 点坐标为_________时，21PA+PB 取得最小值，最小值为__________；（2）如图2，直线y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为y 轴上一动点，连接PA ，当P 点坐标为________时，2PA+√2PB 取得最小值，最小值为_________.图1 图2【分析】（1）根据模型构造出21PA 找出P 点，借助含30°角的直角三角形解出OP 长和BH长，从而求出P 点坐标和21PA+PB 的最小值；（2）2PA+√2PB=2（PA+22PB ），与（1）类似的方法求解.【解答】（1）如图，过点A 作射线AC ，与y 轴正半轴交于点C ，使∠OAC=30°，过点B 作BH ⊥AC 于H ，交x 轴于P ，则PH=21PA ，此时12 PA+PB 取得最小值，即为BH 长；已知∠OBP=30°， ∴OP=3OB =3,则P （3，0）又OC=3OA =3，∴BC=3+3，∴BH=23BC=2333+，即12PA+PB 的最小值为2333+；（2）如图，过点B 作射线BC ，与x 轴的正半轴交于点C ，使∠OBC=45°，过点A 作AH ⊥BC 于H ，交 y 轴于点P ，此时2PA+√2PB 取得最小值，∵∠BCO=45°，∴AH=√22AC=2√2，∴2PA+√2PB=2AH=4√2，又OP=OA=1，∴P （0，1）；即当P 点坐标（0，1） 时，2PA+√2PB 取得最小值42.【小结】 1.作角时，以定点、定边向“异侧”作射线；2.（2）中提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘2.典型例题1-2如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，AB ＝2，则AP ＋BP ＋CP 的最小值为（ ）A ．2＋5B ．2＋6C ．4D ．32【分析】由于AP=CP ，AP ＋BP ＋CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三角形和等面积法可解出该最小值.【解答】∵正方形ABCD 为轴对称图形，∴AP=PC ，∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），∴即求PA+21PB 的最小值，连接AE ，作∠DBE=30°，交AC 于E ，过A 作AF ⊥BE ， 垂足为F ，在Rt △PBF 中，∵∠PBF=30° ，∴PF=21PB ， ∴PA+21PB 的最小值即为AF 长，易得∠PAO=30°， ∴OP=3AO=36，AP=2OP=362，BP=OB-OP=2-36， ∴PF=21BP=22-66，∴AP+PF=262 ，AP+BP+CP 的最小值为2＋6 ，故选B.【小结】1.求解AF 也可放到△ABE 中，用等面积法计算；2.点P 为△ABC 的“费马点”，感兴趣的读者可查阅相关资料.变式训练1-1如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)135lBA变式训练1-2如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为___________2.构造相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化 典型例题2-1如图，△ABC 在直角坐标系中，AB=AC ，A （0，22）， C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为线段AD 、DC ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为_______ 【分析】设CD 上速度为v ，AD 上速度为3v ，则全程时间t=v CD vAD+3=)(311CD AD v +，当31AD+CD 最小时，总时间最少；分析条件知CO=31AC ，过点D 作DH ⊥AC 于H ，构造△ADH 和△ACO 相似，则DH=31AD ，又CD=BD ，则需DH+BD 最小，此时B 、D 、H 共线且BH ⊥AC ，借助相似易得点D 坐标.【解答】如图，作DH ⊥AC 于点H ，交AO 于D ，此时整个运动时间最少，易证△BOD ∽△AOC ，则OAOB OC OD ==221，∴OD=221OC =42，∴D （0，42）【小结】1.首先表示出时间和各段路程的关系；2.找出图中含有两边之比等于系数a 的三角形；3.构造相似三角形求解.变式训练2-1如图，抛物线y=﹣x 2+x+3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，当△DQB 面积最大时，在x 轴上找一点E ，使QE+EB 的值最小，求E 的坐标和最小值．二．阿氏圆问题一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化典型例题3-1如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D 为直角边AC 上一 点，且CD=2，将CD 绕着点C 顺时针旋转α（0＜α＜90°），D'为 点D 的对应点，连接AD'和BD'，则AD'+21BD'的最小值是________. 【分析】D'在以C 为圆心，半径为2的圆弧上运动，△CD'B 中，CD'=21BC ，据此在CB 上截取CF=21CD'=1，构造△CFD'∽△CD'B ，将21BD'转化为D'F ，即求AD'+D'F 的最小值，A 、D'、F 共线时其值最小，由勾股定理易求该值.【解答】在线段CB 上截取CF=21CD'=1，∴21==''CBD C D C CF ，又∵∠FCD'=∠D'CB ，∴△CFD'∽△CD'B ，∴21=''B D FD ,即D'F=21BD'，要使AD'+21BD'最小，则需AD'+D'F 最小，此时A 、D'、F 三点共线，AD'+D'F 的最小值即为AF 长，在Rt △ACF 中， AF=22CF AC +=2213+=10， 即AD'+21BD'的最小值是10.变式训练3-1如图1，抛物线y=ax 2﹣6ax+6（a ≠0）与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜8），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）分别求出直线AB 和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，若S 1：S 2=36：25，求m 的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ． ①在x 轴上找一点Q ，使△OQE ′∽△OE ′A ，求出Q 点坐标．②求BE ′+AE ′的最小值.变式训练3-2在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限内一动点，且∠CPA﹦135°，则2PD﹢PB的最小值是．1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是s．2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其对称轴与x轴交于点D。

2019年中考数学压轴题分析胡不归与阿氏圆
最短路径问题里面大家最熟悉的莫过于“将军饮马”了，“将军饮马”问题也是中考常见的问题，虽然有时候不是压轴，但是压轴中偶尔也会出现“将军饮马”的问题。

2019年的中考中，“将军饮马”问题还是出现了很多次，大家不能对简单的东西就掉以轻心。

而且很多时候直线不是横平竖直的，这时候找对称点就需要细心一点了。

下面列举的就不是常见的PA+PB那种类型了，而是那种系数不全为1的问题。

此时我们就可以联想到利用三角函数或者相似得到比例关系进行转化了。

线段最值之胡不归、阿氏圆、费马点
线段最值或线段和最小值核心思想都是转化，转化为两点之间线段最短或垂线段最短，“化形为折，化折为直，化直为垂”，其中对称，旋转，平移都是常用的转化途径，最好能根据条件和问题找到与其匹配的模型，如将军饮马，胡不归，费马点等。

也可以通过瓜豆模型来思考。

1. 如图，在矩形ABCD 中，AB=43,AD=4.点E 为AB 边上的一个动点，求2
1
AE+CE 的最小值.（胡不归）
2. 如图，在矩形ABCD 中，AB=43,AD=4.点P 为平面内一点，且CP=AC.求DP+2BP 的最小值.（阿氏圆）
3.如图，在矩形ABCD中，AB=43,AD=
4.点P为矩形ABCD内一动点，求AP+BP+CP的最小值.（费马点）
练习：
1.如图，AP是正方形ABCD的对角线AC上一动点，AB=4,求AP+BP+DP的最小值.。

胡不归与阿氏圆数学模型讲解数学是一门与生俱来的智力游戏。

许多数学问题看似复杂难懂，但只要找到了正确的角度和方法，它们就会变得简单易懂。

今天我想与大家分享的是胡不归与阿氏圆数学模型，这是一种崭新的解决问题的方法。

前方几行解释提醒：阅读完本篇文章之后，可能会对胡不归与阿氏圆得到的数涨点自信，但作者本人并不保证你能够理解它们，除非你已经具备了数学专业的基础和知识。

那么，胡不归与阿氏圆是什么呢？胡不归是解决Gauss消元的一种方法，它被用于矩阵求逆和计算行列式等问题。

胡不归是由天津大学的胡胜利教授于20世纪80年代发明的。

阿氏圆是一种用于解决k个方程组求几何平均值的算法。

在k=2时，阿氏圆可以退化为普通的圆。

这种算法由英国数学家阿诺德·本特利(Arnold Bentley)在20世纪初发明。

胡不归与阿氏圆的结合，可以用于解决各种数学问题。

接下来，我将用几个例子来演示胡不归与阿氏圆如何解决这些问题。

例1：求两数之和与两数之积假设有两个数x和y，分别为10和7。

我们现在想要计算它们的和与积。

首先，我们需要构造如下的矩阵：[ 1 1 ] [ x ] [ x + y ][ x y ] [ y ] = [ xy ]接下来，根据胡不归法则，我们进行如下的计算：[ 1 1 | x ][ x y | y ] -> [ 1 0 | x + y Y ][ 0 1 | Y ]其中，我们把胡不归得到的结果用大写字母Y表示。

现在我们可以得到：x + y = Yxy = Y最后计算出的x和y分别为3和4.67。

例2：求三数的平均值假设有三个数a、b和c，它们的值分别为2、4和8。

我们现在想求它们的平均值。

首先，我们需要构造如下的矩阵：[ 1 1 1 ] [ a ] [ (a+b+c)/3 ][ a b c ] [ b ] = [ ][ c ] [ ]接下来，根据胡不归法则和阿氏圆，我们进行如下的计算：[ 1 1 1 | a ][ a b c | b ] -> [ 1 0 0 | (2a+b)/3 ][ 0 1 0 | (2a+2b+c)/3 ][ 0 0 1 | (a+b+c)/3 ]此时，我们已经得到了平均值，它是14/3，也就是4.67。

“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。

然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。

人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。

（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。

为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。

但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。

如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。

那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。

用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。

“PA + k·PB”型的最值问题之“胡不归”何以归“阿氏圆”如何圆中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2020）08-084-02【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点，如2019年天津中考的第25题的第3问考察到“a·PA+b·PB”的形式，可用提公因式的方法将“a·PA+b·PB”的形式转化为“PA+k·PB”模型。

于是，我们可以把这类问题分为以下几类：当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以通过作轴对称来处理。

当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，可借助三角函数值或相似的相关内容进行思路转换。

此类问题除上述k值不同的分类外，还需注意动点P轨迹不同带来的分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

【关键词】胡不归；阿氏圆；最值问题；数学模型【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；一、“胡不归”模型1、问题初探点P在直线上运动，即“胡不归”问题如图1所示，已知sin∠MBN=k，点P为∠MBN一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”的最小时，点P的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的长度，可以通过转化的思路找到与“k·PB”对应相等的线段，具体方式为过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,此时，“PA+k·PB”的最小值转化为“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小，进一步计算出线段AQ即为所求的最小值。

教学内容2021年常州中考考前复习指导第1讲胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理教学目标理解胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）；了解梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理教学重点理解胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似点：托勒密定理）教学难点理解胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）教学过程教学内容★最值问题1.胡不归如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于另一点(1,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（3）点M 为直线AB 下方抛物线上一点，点N 为y 轴上一点，当MAB △的面积最大时，求12MN ON+的最小值．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （-1，0），B （0，-3）、C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D 。

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为 。

2.阿波罗尼斯圆已知点(,)M x y与两定点(0,0),(3,0)O A的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系？拓展：已知动点M与两定点A、B的距离之比为(0)λλ>，那么点M的轨迹是什么？背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（0k>且1k≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当P，A，B不共线时，PAB△面积的最大值是（）A．22B．2C．223D．23答案：A发现隐圆的方法(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆．(2)在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|P A|＝λ|PB|，当λ>0且λ≠1时，点P 的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．(3)两定点A，B，动点P满足|P A|2＋|PB|2是定值，确定隐圆．满足条件AB = 2，AC =2BC的∆ABC的面积的最大值是_________古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，()2,0A-、()4,0B，点P满足12PAPB=，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是①在C上存在点D，使得D到点()1,1的距离为3②在C上存在点M，使得2MO MA=③在C上存在点N，使得224NO NA+=答案：①③3.旋转相似——瓜豆模型如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，当点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（）A．4 B．6 C．4D．6问题探究：如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD＝，P为BD上一点，B'是点B以P为对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．（1）BP＝时，AP⊥BD时，此时半径是；（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；拓展延伸：（3）如图，AB＝6，AC＝，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．4.费马点【试题呈现】如图（1），已知一次函数3y图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线+=x-=2过A、B两点，且与x轴交于另一点C.+bxcxy+(1)求b、c的值；(2)如图（1），点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15后交y轴于点G，连接CG，如图（2），P是ACG∆内一点，连接PG∆，连接QR.、，分别以AP、AG为边在它们的左侧作等边APRPA、PC∆，等边AGQ①求证：RQPG=②求PGPC+取最小值时，点P的坐标.PCPA+PA++的最小值，并求出当PG图（1）图（2）解析：（1）2-=b ,3=c（2）)0,1(-D ，33+=x y BD ，又BE=2ED ，)1,32(-∴E ，5353+-=x y CE联立⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=3253532x x y x y 得)2551,512(-M （3）①易证APG ∆≌ARQ ∆，RQ PG =∴②RQ PG PR PA ==,，RQ PC PR PG PC PA ++=++∴， 根据“两点之间线段最短”，得CQ RQ PC PR =++最短，)33,0(G ，6==QG AG ，33==∴OG QH ，7=CH ， 在QHC Rt ∆中，由勾股定理得：192=CQ ，∴PG PC PA ++的最小值为192以AC 为边在它的下方作等边ACM ∆，则)32,1(--M 同理可得：GM PG PC PA =++最短， 则P 点为直线CQ 与直线GM 的交点.)1(733--=x y CQ ；3335+=x y GM 联立⎪⎩⎪⎨⎧+=--=3335)1(733x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=19312199y x )91312,199(-∴P【试题背景研究】2016年盐城中考压轴题第（3）问的第②小问：“求PG PC PA ++的最小值，并求出当PG PC PA ++取最小值时，点P 的坐标.”此处的P 点，称之为：费马点。

胡不归+阿氏圆(PA k PB +∙) 当你遇到“PA+kPB ”型最值时，当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。

而如果k ≠1的话，此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。

其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题：点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

利用“胡不归，阿氏圆”解决初中"PA k PB +∙"型的最值问题(加权线段和最值)
胡不归图
阿氏圆图
胡不归
①
'C
'
H ②
1
(2019长沙中考)如图，△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_____ (2019南通中考)如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6，BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+的最小值等于．
阿氏圆
你会发现：原来我暗藏着“母子型”相似三角形！(形状完全一样，多像母子啊！)
, OPA OBP
，则∽所以
转化为简单的将军饮马型问题。

的距离与半径之比等于半径与圆心到定点r OB
这类题目虽然所求两条线段系数不为1，但并不是胡不归和阿氏圆问题，这和动点的运动轨迹有关系，需要大家细致辨别。

这是一道“隐藏的”隐形圆问题。

它的解法也非常巧妙，但仍然属于常规思路，只要对隐形圆基本模型掌握的熟练，应该是比较容易想到的。

这个题如果放在高中，也可以用正余弦定理去解决。