五次最小支集样条小波插值探究

万方数据　万方数据　万方数据第１２期付永清等：基于小波三次样条插值的柔顺机构拓扑图提取９（５）利用非线性逆变换得到相应的拓扑结果．（６）对算法在各尺度上的处理结果计算体积误差比，确定小波分解的尺度．３算例为了表明算法的可行性，利用一个柔顺的力转换机构进行计算机仿真实验．图２（ａ）所示为该机构的设计域的对称半边，材料的杨氏模量为１，泊松比为０．３，输入载荷Ｆｉ。

为１０Ｎ，体积约束比为０．２，优化过程中要求输出位移Ｕ。

最大为目标函数．由于对称性，设计域的一半离散为６０×４０的四边形单元，拓扑优化方法采用相对密度法，惩罚因子设为２，拓扑优化结果如图２（ｂ）所示．可见优化结果中存在材料高低密度分布呈周期性交替的棋盘格现象．为了消除棋盘格，提取出设计好的机构，首先需要分析拓扑优化结果的特点．为此，利用Ｈａａｒ小波在两个尺度上对其进行分解，再分别对各尺度上的近似系数和细节系数进行重构．所得的拓扑图如图３所示．其中，Ａ１为由尺度．７＝１上的近似系数重构的拓扑图，Ｈ１、Ｖ１、Ｄ１为由尺度．７＝１上的水平、垂直和对角细节系数重构的拓扑图；Ａ２为由尺度．？＝２上的近似系数重构的拓扑图，Ｈ２、Ｖ２、Ｄ２为由尺度Ｊ＝２上的水平、垂直和对角细节系数重构的拓扑图．可见棋盘格主要存在于由各尺度上的细节系数重构的拓扑图Ｈ１、Ｖ１、Ｄｌ和Ｈ２、Ｖ２、Ｄ２中，而由近似系数重构的拓扑图Ａ１和Ａ２中则无明显的棋盘格现象．因此，为了改善由于细节系数的计人所带来的棋盘格现象，考虑采用本文算法进行处理，即分别对各尺度上的近似系数进行三次样条插值及小波重构，再对重构结果进行非线性逆变换，所得拓扑图如图４所示．比较图４与图２（ｂ）可知，尺度，＝ｌ及．ｊ＝２上的（ａ）机构的设计域图２机构的设计域及拓扑优化结果Ｆｉｇ．２Ｄｅｓｉｇｎｄｏｍａｉｎｏｆａｃｏｍｐｌｉａｎｔｍｅｃｈａｎｉｓｍａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｏｆｔｈｅｔｏｐｏｌｏｇｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ拓扑图中的棋盘格现象都较原拓扑优化结果有了较好的改进．再根据公式（１８）计算得尺度Ｊ＝２及ｉ＝１上的近似系数插值后的体积误差比分别为０．０９２１和０．００２１．可见，尺度，＝１上的拓扑结果具有更小的体积误差比，而且，随着分解尺度的增加，体积误差比呈增大的趋势．综上，尺度。

应用三次样条插值和连续‘Mexh’小波变换对重叠峰的分离研究薛泽春;梁铭利;李连之;张宪玺;李大成【摘要】对于分析化学中的重叠信号,是化学计量学的研究重点之一.本文应用模拟信号,应用三次样条函数进行插值以增加数据密度,然后由连续‘mexh'小波变换分析重叠信号.结果显示通过‘mexh,小波变换能分离重叠的信号,峰位值不变.对实验信号进行分析,获得理想结果,可为分析化学中重叠的色谱、光谱信号分析提供方法.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(027)001【总页数】5页(P50-54)【关键词】连续小波变换;墨西哥帽小波;模拟信号【作者】薛泽春;梁铭利;李连之;张宪玺;李大成【作者单位】聊城大学化学化工学院;山东省化学储能与新型电池技术重点实验室,山东聊城252059;聊城大学化学化工学院;山东省化学储能与新型电池技术重点实验室,山东聊城252059;聊城大学化学化工学院;山东省化学储能与新型电池技术重点实验室,山东聊城252059;聊城大学化学化工学院;山东省化学储能与新型电池技术重点实验室,山东聊城252059;聊城大学化学化工学院;山东省化学储能与新型电池技术重点实验室,山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O651在样品分析特别是复杂样品分析过程中，由于样品组分复杂，相互影响，使得色谱信号或光谱信号严重重叠，降低定性定量分析的可靠性，因此分离重叠信号在分析化学中是非常重要的研究方向之一[1－3］，对于色谱信号可以改进实验条件以改善分离效果，例如改变流动相的配比，提高仪器配置，对于光谱信号可以通过选择合适的波长，改进仪器的检测灵敏性，以及对样品进行前处理[4］，去除干扰组分等，这样处理会增加实验的复杂性，浪费大量的时间和财力.化学计量学是计算机、统计学应用于化学，通过化学计量学也可以比较好的对化学信号进行分析.小波变换是在傅里叶变换的基础上近几年发展起来的一种信号处理方法，同时保留了信号时频信息，被称为数学的显微镜[5，6］.信号分析过程中，由于数据密度较小，数据处理过程中，会出现信号干扰，应用插值技术增加数据密度，可以将信号较好的分离，本文应用连续‘mexh’小波变换以及三次样条插值，较好的将重叠信号分离.1 基本原理小波是满足条件的函数，这样的函数称为一个母小波函数.它具有一定的振荡性，是时间频率均具有局域性的函数.母小波函数φ（t）通过平移和伸缩产生的一个函数集合[7－9］，即a用于控制伸缩，称为尺度参数，b用于控制平移位置，称为平移参数，φa，b （t）称为小波函数.小波变换为某信号f （t）∈R在小波域的投影，通常定义为f （t）和φa，b（t）的内积，即小波变换由于a，b可变具有时频局部化特征，对非平稳信号显示出独特的分析能力.在小波分析中，随着尺度因子a的增大，小波φa，b（t）的窗口逐渐加宽，在时轴上考虑范围大，而在频域上相当于用低频小波作概貌分析，对于较高频率的噪声信号的滤波能力也随之增强[10］.在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低.由小波变换在时－频域有着多种优良特性，尤其是具有分频特性可以将信号逐层分解下去，最终提取出有用信息.连续小波变换可以在较大的伸缩尺度上观察信号的变化趋势，是信号在小波基上的投影，变换系数是小波函数与信号相似性程度表示，系数大说明信号与小波函数相似程度大，选择小波系数可以重现原信号.在低尺度下，含有较多的噪声信号，大尺度下基本上是要研究的信号.通过小波系数，就可以识别信号.对信号进行插值，有多种方法，比如最邻近插值、线性插值、三次样条函数插值等.通过插值，可以根据原有数据的基础上，求出未知点的值；本文目的在于通过插值，增加数据密度，因为小波变换是利用小波基函数对信号求卷积，就可在小波变换过程中降低相邻数据的影响.2 实验过程2.1 模拟信号处理图1 模拟重叠信号图2 模拟信号连续小波变换系数图图3 连续小波变换后提取的一尺度的小波系数图4 插值后的模拟重叠信号化学信号一般是高斯型或洛伦兹型信号，在分析化学中经常出现重叠的信号，通过matlab模拟高斯型重叠信号从图1可以看出，信号峰严重重叠，不能进行定性或定量分析.2.2 模拟信号的连续‘mexh’变换小波变换具有时频同事分辨的特征，墨西哥帽小波是高斯函数的二阶导数，因其具有和分析信号相似的特征，所以将其作为小波函数，对模拟信号进行连续小波变换结果如图2所示。

紧支撑样条小波插值及其应用高忠社;何万生;谢保利【摘要】基于紧支撑样条小波函数插值与定积分的思想，给出了由紧支撑样条小波插值函数构造数值积分公式的方法。

并将该方法应用于二次、三次、四次和五次紧支撑样条小波函数，得到了相应的数值积分公式。

最后，通过数值例子验证，发现该方法得到的数值积分公式是准确的，且具有较高精度。

%Based on the supported spline wavelet interpolation and definite integral idea, the method of con-structing the supported spline wavelets numerical integration formula is given. And with this method, the numerical integration formulas are got for the quadratic, cubic, quartic and quintic supported spline wavelets. Finally, it is proved through an example that the obtained formulas are correct and has a higher accuracy.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2013(000)006【总页数】10页(P591-600)【关键词】紧支撑样条小波函数;插值函数;数值积分【作者】高忠社;何万生;谢保利【作者单位】天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水 741000;天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水 741000;天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741000【正文语种】中文【中图分类】O24.82小波函数在众多科学领域得到了广泛的应用,如数值分析、信号处理、图像处理、微分方程数值解、量子力学、地质勘查、计算机视觉、机械故障诊断等,小波函数在数值分析中的应用是一个重要分支.通常大多数小波函数不能写出具体的解析表达式,而1992年文献[1]构造的紧支撑样条小波函数具有解析表达式,且该小波函数具有很多良好的性质,并被广泛的应用于众多科学领域.紧支撑样条小波是以B-样条函数作为尺度函数构造的.它具有很好的性质,如:有解析表达式、对称性、单正交性和消失矩等良好的性质[1-4].文献[4-5,7]讨论了紧支撑样条小波函数的性质,及插值函数,并证明了该插值函数具有唯一性,文献[8-9]讨论了三次紧支撑样条小波函数的插值并得到相应的数值积分公式,文献[10]给出了二次紧支撑样条小波函数插值及数值积分公式.在这里将主要讨论紧支撑样条小波函数的插值问题,并讨论紧支撑样条小波函数在数值积分方面的应用问题,给出了由紧支撑样条小波插值函数构造数值积分公式的方法,该方法为紧支撑样条小波函数在数值分析中的应用有一定作用,而得到的数值积分公式有一定的实用价值.紧支撑样条小波函数ψm(x)是由m阶m-1次B-样条函数Nm(x)作为尺度函数,构造的m阶m-1次紧支撑样条小波函数ψm(x),ψm(x)函数具有解析表达式:3.1 三阶二次紧支撑样条小波插值3.2 四阶三次紧支撑样条小波插值对于四阶三次紧支撑样条小波函数ψ4(x)使用上面类似的方法,构造插值函数,建立数值积分公式,即有[8]3.3 五阶四次紧支撑样条小波插值3.4 六阶五次紧支撑样条小波插值当m=6时,ψ6(x)为六阶五次紧支撑样条小波函数,以五次B-样条N6(x)作为尺度函数构造的,其表达式为:由于N6(x)是5次B-样条函数,ψ6(x)是五次分段多项式,而ψ6(x)的分段区间长度是N6(x)的一半,并且supp ψ6(x)=[0,11].尺度函数N6(x)和小波函数ψ6(x)的图像如图7,图8.同样的方法,可以得到更高次的紧支撑样条小波函数的积分插值公式.只不过是次数越高,求解的方程组的阶数的要求会越来越高,求解工作量也会越来越大.但是,得到公式的误差阶也会越来越高.根据定理2.2可知,由此可知,数值积分的误差阶将会是计算以N=40利用上面得到的公式进行计算,结果见表1:文中由m阶m-1次紧支撑样条小波函数得到的数值积分公式,当函数f(x)的次数是不超过m-1的多项式时,该数值积分公式是精确的,对于一般的函数,误差阶可达到O(hm),但不足之处是,要求具有边界导数条件,并且数值积分公式中的系数是通过求解线性代数方程组得到的,由于紧支撑样条小波函数具有紧支集,故方程组的系数矩阵是带状稀疏的,使得计算变得相对容易;在误差方面,对于文中得到的数值积分公式,与常规的复化梯形公式和复化的辛普森公式相比较,发现文中得到的数值积分公式具有较高的精度.同时,通过数值例子说明得到的数值积分公式是正确有效的,且在数值积分中有一定的实用价值.【相关文献】[1]Chui Charles K,Wang Jianzhong.On compactly supported spline wavelets and a duality principle[J].Trans. Amer.Math.Soc.,1992,330(2):903-915.[2]Daubechies I.Orthogonal bases of compactly supported wavelets[J].Comm.PureAppl.Math.,1988,41(7): 909-996.[3]Mallat S.Multiresolution approximations and wavelet orthonormal basesof[J].Trans.Amer.Math.Soc,1989, 315:69-87.[4]DanaˇCern´a,V´aclav Finˇek.Cubic spline wavelets with complementary boundary conditions[J].Applied Mathematics and Computation,2012,219(4):1853-1865[5]金坚明.小波分析[M].兰州:兰州大学出版社,1993.[6]孙家昶.样条函数与计算几何[M].北京:科学出版社,1982.[7]金坚明,徐应祥,薛鹏翔.最小支集样条小波有限元[J].计算数学,2006,28(1):89-112.[8]高忠社.数值积分的紧支撑样条小波方法[J].徐州师范大学:自然科学版,2006,23(2):22-25.[9]杨渭清.多尺度紧支撑向量值正交小波的构造[J].纯粹数学与应用数学,2009,25(2):315-320.[10]徐应祥.一类二次最小支集样条小波插值及其应用[J].合肥工业大学:自然科学版,2008,31(2):291-295[11]王刚,吕军,袁丽霞.一类四元数小波包的构造[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(5):570-576.[12]何永滔.紧支撑正交的二维小波[J].纯粹数学与应用数学,2012,28(1):8-16.。

五次样条函数
五次样条插值是一种数学方法，用于通过给定的数据点集来构造一个平滑的插值函数。

假设我们有一组数据点( (x_i, y_i) )（其中( i = 0, 1, 2, ..., n )）。

五次样条插值的目标是找到一个多项式( S(x) ) ，它在每个子区间([x_i, x_{i+1})) 上是一个五次多项式，并且满足以下条件：
( S(x_i) = y_i ) （在数据点上取值等于给定值）
( S'(x_i) = 0 ) （在数据点处的一阶导数为0，保证连续性）
( S''(x_i) = 0 ) （在数据点处的二阶导数为0，保证二阶导数连续）( S'''(x_i) = 0 ) （在数据点处的三阶导数为0，保证三阶导数连续）( S''''(x_i) = 0 ) （在数据点处的四阶导数为0，保证四阶导数连续）
这样，我们就可以保证( S(x) ) 在整个定义域上是连续的，并且在每个子区间上都是五次多项式。

五次样条插值的优点是它能够提供非常平滑的插值曲线，而且它只需要知道数据点的位置和值，不需要知道它们之间的关系或分布。