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侧视图正视图俯视图浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题-数学（文）高二数学〔文〕试卷一、 选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1、“2x >且2y >”是“4x y +>”的 〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件2.椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么 〔 〕 A.1C 与2C 顶点相同 B.1C 与2C 长轴长相同C.1C 与2C 短轴长相同D.1C 与2C 焦距相等3、某简单几何体的三视图如下图，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，那么那个几何体的体积为 ( ) A 、43B 、83C 、4D 、8A 、命题“假设21x =，那么1=x ”的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠”B 、命题“假设x y =，那么sin sin x y =”的逆否命题为真命题C 、命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈均有210x x ++<”D 、“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件5.空间三条直线.l m n 、、假设l 与m 异面，且l 与n 异面，那么〔〕A 、m 与n 异面B.m 与n 相交C 、m 与n 平行D.m 与n 异面、相交、平行均有可能6、过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，那么ABP ∆的外接圆方程是〔〕A 、22(4)(2)1x y -+-=B 、22(2)4x y +-=C 、22(2)(1)5x y +++=D 、22(2)(1)5x y -+-=7、直三棱柱111ABC A B C -(三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫做直三棱柱)中，假设90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，那么异面直线1BA 与1AC 所成的角等于〔〕A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8.双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为()A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9、如图有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心、那么以下结论不．正确的选项是() A 、a 1＋c 1>a 2＋c 2B 、a 1－c 1＝a 2－c 2C 、a 1c 2<a 2c 1D 、a 1c 2>a 2c 110、点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，假设ABE ∆是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是()A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,1+D.(2,1【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分、11、向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，假设a ⊥b ，那么=x ______. 12、假设直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，那么实数m ＝________.13、从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体〔或平面图形〕的4个顶点，这些几何体〔或平面图形〕是___________〔写出所有正确的结论的编号〕 ①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面基本上等边三角形的四面体14、动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点____、 15、设k 为正实数，假设满足条件)()(y k y k x x -≤-的点(,)x y 都被单位圆覆盖，那么k的最大值为__________、 16、设,A B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上。
高二年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共6小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共28分.11、2π；85π+ 12、2；()()41222=-+-y x13、179 14、[]0,4 16三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本题满分14分）解：（Ⅰ）1C (0,0), 2C(4,4),121C C R ==+∴1R = ………………………………………………………………………5分 （Ⅱ） 1C (0,0),2C (4,4)121P C C C ∴为直线与圆的交点（第一象限）∴221y x x y =⎧⎨+=⎩得P ⎝⎭……………………………………………………7分当直线斜率存在时，设直线l 的斜率为k∴:)0l kx y k --=1C l 圆心到直线的距离d ==………………………10分 ∴0k =，此时直线方程为22=y …………………………………………………12分当直线斜率不存在时，直线方程为2x =也满足条件……………………………14分18．(本题满分14分）解：（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于点O1CC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD1CC BD ∴⊥又AC BD ⊥ ,AC 与BD 交于点OBD ∴⊥平面1ACC ………………………………3分而1AC ⊂平面1ACC ,1AC BD ∴⊥……………4分同理可证11AC A B ⊥ ,1A B 与BD 交于点B ……6分1AC ∴⊥平面1A BD ………………………………7分（Ⅱ）1AA //1CC ，故直线1CC 与平面1A BD 所成角即为直线1AA 与平面1A BD 所成角 …………9分 由（1）知 1AC ⊥平面1A BD ，设1AC 与平面1A BD 的交点为H易知，点H 在直线1AO 上∴直线1AA 在平面1A BD 上的射影即为直线1AO …………………………………10分 故1AAO ∠即为直线1AA 与平面1A BD 所成角………………………………………11分 设正方体棱长为1则在1Rt AAO 中，111,AA AO AO === ………………………………13分1sin AAO ∴∠=…………………………………………………………………14分（其它解法酌情给分）19．(本题满分14分）解：（Ⅰ）当2n =时，21223S a a a =+=+，即13a = …………………………2分 2n ≥时，21n n S a n =+-，211(1)1n n S a n --=+--，两式相减得：121n n n a a a n -=-+-，即121n a n -=- ……………………………5分 综上：数列{}n a 的通项公式21n a n =+ ……………………………………………7分（Ⅱ）1(21)3n n b n -=+⋅ ，12n T b b =++……n b即012335373n T =⋅+⋅+⋅+……21(21)3(21)3n n n n --+-⋅++⋅ ………………………8分 3n T = 123353⋅+⋅+……21(23)3(21)3(21)3n n n n n n --+-⋅+-⋅++⋅ ………10分 两式相减得：12232(33n T -=+++……13)n -+(21)3n n -+⋅ ………………………12分 化简得：3n n T n =⋅ ………………………………………………………………………14分20．(本题满分15分）解：（Ⅰ）证明： 111A B C ABC - 是三棱台，∴ 11//A B AB , AB ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C∴//AB 平面111A B C ………………………………………………3分l 是平面1ABC 与平面111A B C 的交线，∴//AB l …………5分l ⊄ 平面11A B BA ，∴//l 平面11A B BA ………………………7分（Ⅱ）三棱台111A B C ABC -中，平面ABC //平面111A B C平面1ABC 和平面111A B C 所成锐二面角即为平面1ABC 和平面ABC 所成的锐二面角………………………………………………………………………………………………10分 易知11AC BC =，且AC BC =，取AB 中点O ，连结CO ，1C O 则CO AB ⊥，1C O AB ⊥1C OC ∠就是平面1ABC 和平面ABC 所成的锐二面角的平面角………………………12分可以求得1C O =，CO =32且1CC =4 …………………………………………14分在1C OC ∆中，由余弦定理可知1cos C OC ∠=………………………………15分 （其它解法酌情给分）21．(本题满分15分） （Ⅰ）23423212,3,4,,32a a ab b ===== ………………………………3分 （全对得3分，有错误得1—2分）（Ⅱ）设(),n n n P x y , ()2,n n Q y ,则()111,n n n P x y --- ,()112,n n Q y --2n n y x ∴=-+ ，112n n y x --∴=-+直线n OP 的斜率为1,na 故n n n x a y =，111n n n x a y ---=，12n n y a -=， 1111122n n n n n n n n n n x x y y a a y y y y -------∴-=-=-……………4分 1122n n n n a a y y +-=-=-，即112n n n a a a -+=+ …………5分 {}n a ∴为等差数列，结合（1）易得n a n =，…………6分 而1111221n n n n n n n n x b y a n b x y a n ---+-====-+ ()2n ≥ 累乘得：21n b n =+ ………………………………………8分 （直接给出正确答案每一个通项公式各给1分） （Ⅲ）111111112342223422n n n n T a a a a n n n n =++++=++++++++++++ 倒序相加得：111111112()()()()22232142222T n n n n n n n n =+++++++++++++++…………………………………………………………………………………………12分 ∴ 111111112()()()()22232142222T n n n n n n n n =+++++++++++++++44444(1)3434343434n n n n n n +≥++++=+++++……………………………14分 （114,0,a ba b a b>+≥≥+可由均值不等式当，当且仅当""a b =时取=） ∴2234n T n +>+……………………………………………………………………15分。
2019-2020学年学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS2．若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直3．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β4．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．无法确定5．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5 D．27．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化8．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3 B．4 C．5 D．69．已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a 10．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．12．二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB 与平面β所成的角的余弦值是．13．正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为．14．若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是；（2）|A1P|的最小值为．17．若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a ＞1），则t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD 中点．（1）设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．21．对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC 上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS．故选：B．2．若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直解：对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；对于D，如图所示，直线PA与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是PA在α内的射影，在α内作直线l⊥OA，则l⊥PA，这样的直线l有无数条，∴D正确．故选：D．3．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β解：A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；B．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β，正确；C．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊂β，或n∥β，或n与β相交，因此不正确．故选：B．4．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．无法确定解：∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′﹣BCC′B′＝．∵．∵V四棱锥A′﹣BCC′B′+V三棱锥A′﹣ABC＝V三棱柱ABC﹣A′B′C′．∴．∴V三棱柱ABC﹣A′B′C′＝6．故选：B．5．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．解：四面体ABCD放到长方体中，AB＝CD＝2，其余AC＝BC＝AD＝DB＝4设长方体的边长分别为a，b，c．则，解得a2+b2+c2＝18，四面体外接球半径：2R＝3．R＝．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5 D．2解：由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为3，P是所在棱的3等分点，PB＝＝，PA＝＝，PC＝＝，所以最长棱长为PB，．故选：B．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化解：如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，∴MN∥CB1，∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90°，∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D∥B1C，∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，即异面直线A1D与D1M所成的角为90°，故选：C．8．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，连接QR并延长，分别交AA1，AB的延长线与E，F，连接PE交A1D1于G，连接PF交BC于H，连接PH，QH，GR，则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，故选：C．9．已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a解：因为＜1.5＜，所以＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜，∴a＞，0＜b＜；∴b＜a；找中间量sin1.5sin1.5，由y＝sin1.5x是R上的减函数，sin1.5＞cos1.5，可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y＝x sin1.5是（0，+∞）上的增函数，sin1.5＞cos1.5，可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c＜d，只有A答案合适．故选：A．10．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）解：A＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，△＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得，，又，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是4和5，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为a．解：棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，取BD中点G，连结BE，CE，EG，FG，则EG∥AB，且EG＝FG＝＝，∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角），BE＝CE＝＝，EF＝＝，cos∠EFG＝＝＝，∴∠EFG＝，∴异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．故答案为：，．12．二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠ADC＝60°又∵AB与l所成角为45°，∴∠ABD＝45°连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝AD sin60°＝x，Rt△ABD中，AB＝＝2，BC＝＝，∴Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝．故答案为：．13．正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为2；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为﹣2 ．解：底面等边三角形的面积S＝＝，所以V＝，设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，BM＝，OE＝r，OA＝1﹣r，侧面斜边的高AB＝由△AOE ∽△ABM，得相似得，得，，所以．故答案为：﹣2．14．若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝ 1 ，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为（﹣2，5）．解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，，∴a＝1．∴∵，∴f（x）为减函数，且为奇函数∵f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0，∴f（1﹣x2）＜﹣f（3x+9）＝f（﹣3x﹣9），∴1﹣x2＞﹣3x﹣9，∴﹣2＜x＜5．故不等式的解集为（﹣2，5）．故答案为：1，（﹣2，5）．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，过点P作PN⊥平面ABCD，交AC1于M，垂足为N，则PN为MB1+MN的最小值．∵AB＝2，BC＝AA1＝，∴AC1＝＝2，AP＝AB1＝＝，∵sin∠C1AC＝＝＝，∴∠C1AC＝30°，∴∠PAN＝2∠C1AC＝60°，∴PN＝AP•sin∠PAN＝＝．∴MB1+MN的最小值为．故答案为：．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是平行；（2）|A1P|的最小值为．解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），E（0，1，），B（1，1，0），∵P，Q均在平面A1B1C1D1内，∴设P（a，b，1），Q（m，n，1），则＝（﹣1，1，﹣），＝（a﹣1，b﹣1，1），＝（m﹣1，n﹣1，1），∵BP⊥A1E，BQ⊥A1E．∴，解得，∴PQ∥BD，即PQ与BD的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）当|A1P|取最小值时，P在平面A1B1C1D1内，设P（a，b，1），由（1）得b＝a+，∴|A1P|＝＝＝＝，∴当a＝，即P（，，1）时，|A1P|的最小值为．故答案为：．17．若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．解：原不等式等价于：或即①或②，注意到x＝1时，②成立，此时≤t≤；当x∈Z，x≥2时，①成立，在①中，1+≤t≤x﹣，又g（x）＝x﹣﹣为单调递增函数，所以，要使对x∈Z，x≥2成立，只需x＝2时成立，又x＝2时，≤t≤，所以要使不等式对任意的正整数x恒成立，则t的取值范围是：≤t≤，故答案为：≤t≤．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．【解答】解（1）由•＝，得ab cos C＝．又因为cos C＝，所以ab＝＝．又C为△ABC的内角，所以sin C＝．所以△ABC的面积S＝ab sin C＝3．（2）因为∥，所以2sin cos＝cos B，即sin B＝cos B．因为cos B≠0，所以tan B＝．因为B为三角形的内角，0＜B＜π，所以B＝．由正弦定理＝，所以a＝，c＝，所以a+c＝，又A+C＝，所以a+c＝＝4（cos C+）＝4sin（C+），又0，所以＜C+，所以∈（2，4]．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD 中点．（1）设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB．【解答】（1）解：分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB，R∈CD⊂平面PCD，所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．（2）证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝AD，又AO＝AD，所以BC∥AO，且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB，则OC∥平面PAB；又OE为△PAD的中位线，则OE∥AP，所以OE∥平面PAB，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB∥平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ∥平面PAB．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．解：（1）当n≥2时，2S n﹣1﹣（n﹣1）a n﹣1＝3（n﹣1），又2S n﹣na n＝3n，相减可得（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝3，当n≥3时，（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1＝3，所以（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1，可得2a n﹣1＝a n﹣2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1﹣a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；（2）b n＝＝＝＝＝（﹣），T n＝（﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），要使T n成立，即（﹣）＞，解得n＞，所以最小正整数n的值为8．21．对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．解：（1），则x2＝m2﹣n2不可能恒成立，所以f（x）＝x不是““（m，n）型函数”；（2）①由题意，g（x+1）g（1﹣x）＝4，取x＝1，则g（2）g（0）＝4，又g（0）＝1，所以g（2）＝4．②方法一：∵（x+1）g（1﹣x）＝4，所以g（x）g（2﹣x）＝4．当x∈[0，1]时，2﹣x ∈[1，2]时，g（2﹣x）＝＝＝．（a）当0＜a＜1时，0＜，则g（x）在[0，1]内先减后增，且g（，即1+a﹣a2≤g（x）≤2，则当x∈[1，2]时，2≤g（x）．所以当x∈[0，2]时，1+a﹣，由题意，，解得0≤a≤4，所以0＜a＜1．（b）当1≤a＜2时，，则g（x）在][0，1]内先减后增，且g（）≤g（x）≤g（0），即1+a﹣≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．要满足题意，则应满足，且解得0≤a≤33，所以1≤a＜2．（c）当a≥2时，≥1，则g（x）在[0，1]内递减，且g（1）≤g（x）≤g（0），即2≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．此时，g（x）min＝，g（x）min＝1+a．要满足条件，则应，解得a≤3，所以2≤a≤3．综上所述，0＜a≤3．方法二：当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，所以当x∈[1，2]时，1≤g（x）≤4；当x∈[0，1]时，2﹣x∈[1，2]时，所以g（2﹣x）∈[1，4]，而g（x）g（2﹣x）＝4，所以1，即1≤g（x）≤4，所以问题转化为当x∈[0，1]时，1≤g（x）≤4即可．当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），．（1）当0＜＜1，即0＜a＜2时，，解得0≤a≤3，所以0＜a＜2；（2）当，即a≥2时，只要解得a≤3，所以2＜a≤3；综上所述，0＜a≤3．22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC 上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．解：（1）证明：∵AM⊥BD，BD⊥AC′，AM∩AC′＝A，∴BD⊥平面AMC′，∵BD⊂平面ABD，∴平面△AMC′⊥平面ABD．（2）解：如图，在△C′AM所在平面内，过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．又QC′是由QC翻折得到，∴∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD＞∠C′CQ，∴∠C′DB＞α．（3）解：如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′﹣AD﹣B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2，MD＝4﹣2，CD＝4﹣4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2﹣DM2＝36﹣16．。
1.直线10x y 的倾斜角是（）A.34B.23C.4 D.4【答案】A【解析】∵直线方程为10x y ，∴化成斜截式得1y x ，直线的斜率为1k ，设直线的倾斜角为，则tan 1，∵(0,)，∴34，即直线10xy 的倾斜角是34.2.如果直线210ax y 与直线20x y 互相垂直，则实数a （）A.1B.2C.23D.13【答案】B 【解析】直线210ax y 的斜率12a k ，直线20x y 的斜率为21k ，因为两直线垂直，所以121k k ，即()(1)12a ，解得2a.3.设x ，y 满足约束条件233023303x y x y y，则2zx y 的最小值是（）A.1B.9C.15D.9【答案】C【解析】由题意约束条件作出可行域如图所示，当目标函数2z x y 过(6,3)点时取得最小值，最小值为2(6)315z .4.圆222210xyx y 上的点到直线2x y 的距离的最大值是（）A.222B.12 C.122 D.2【解析】圆222210xyx y 即22(1)(1)1x y ，表示以点(1,1)C 为圆心，以1为半径的圆，由于圆心到直线2xy的距离2211221(1)d，故圆上的点到直线的距离的最大值是12r d .5.已知(4,0)A ，(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A.25 B.33 C.6 D.210【答案】D 【解析】如图：作点P 关于AB 的对称点1P ，作点1P 关于OB 的对称点2P ，设两次反射的入射点分别为C ，D ，则1P ，C ，D 三点共线，2P ，D ，P 三点共线，则光线所经过的路程即为2P P .40:4404AB l yxx，:0OB l x，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则1PP AB ，1PP 中点在AB 上，所以11110(1)1202422y x y x ，解得1124y x .同理，关于y 轴对称，所以24x ，22y ，所以222(42)(20)210P P.6.在长方体1111ABCDA BC D 中，2ABBC，11AA ，则1AC 与平面1111A B C D 所成角的正弦值为（）A.223B.23C.24D.13【答案】D 【解析】连接1AC ，在长方体1111ABCD A BC D 中，1A A平面1111A B C D ，则11AC A 为1AC 与平面1111A B C D 所成角.在11AC A 中，11122111sin3122AA AC A AC .7.如图，长方体1111ABCDA BC D 中，12AA AB ，1AD，E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（）A.155B.22C.105D.【答案】D【解析】如图，连接EG ，1B F ，CF ，因为E ，G 均为中点，所以11//A B EG ，11A B EG ，故四边形11A EGB 为平行四边形，11//A E B G ，所以求1A E 与GF 的夹角即为求1B G 与GF的夹角，即1B GF .因为112BFAB，根据勾股定理，2CF ，因为1112CGCC ，所以根据勾股定理，223FGCFCG，2211112B G B C C G ，22115B FBFBB ，因为22211B FB GFG 满足勾股定理，所以1B G FG ，所以1cos 0B GF.8.已知集合{(,)|(1)(1)}A x y x x y y r ，集合222{(,)|}B x y x yr ，若AB ，则实数r 可以取的一个值是（）A.21 B.3 C.2 D.212【答案】A【解析】(1)(1)x x y y r 可化为22111()()222xyr，由题意，集合A 表示的圆面所对应的圆内含或内切于集合B 表示的圆面所对应的圆，则22111(0)(0)222rr，解得12r .9.已知圆22:(2)(3)4M x y ，过x 轴上的点0(,0)P x 存在圆M 的割线PAB ，使得PAAB ，则0x 的取值范围是（）A.[33,33] B.[32,32]C.[233,233] D.[232,232]【答案】C 【解析】max 4AB ，故max6PM，即220(2)(03)6x ，解得233233x .10.在棱长为1的正方体1111ABCDA BC D 中，E 为线段1BC 的中点，F 是棱11CD 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PEPF 的最小值为（）A.526B.122C.62D.322【答案】A【解析】注意到虽然点P 、F 都是动点，但它们都在面11BC D 上，将该平面提取出来，如图，取11Rt BC D ，作点E 关于直线1BD 的对称点E ，作11E GC D ，点G 在直线11C D 上.则PEPFPEPFE G ，连接EE （与1BD 垂直），作E HBC ，点H 在直线1BC 上，则2cos 2sin sin 3EHEE E EH EB B B，12252236E GC EEH.二、填空题11.直线310x y 关于直线0x y 对称的直线方程是 .【答案】310xy 【解析】将xy ，yx 代入直线310xy得310x y .12.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是83，则a .。
1.直线10x y ++=的倾斜角是（ ） A.34π B.23π C.4π D.4π- 【答案】A【解析】∵直线方程为10x y ++=，∴化成斜截式得1y x =--，直线的斜率为1k =-，设直线的倾斜角为α，则tan 1α=-，∵(0,)απ∈，∴34πα=，即直线10x y ++=的倾斜角是34πα=. 2.如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，则实数a =（ ） A.1 B.2- C.23- D.13- 【答案】B【解析】直线210ax y ++=的斜率12ak =-，直线20x y +-=的斜率为21k =-，因为两直线垂直，所以121k k ⋅=-，即()(1)12a -⋅-=-，解得2a =-.3.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A.1B.9C.15-D.9- 【答案】C【解析】由题意约束条件作出可行域如图所示，当目标函数2z x y =+过(6,3)--点时取得最小值，最小值为2(6)315z =⨯--=-.4.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值是（ ）A.22+11+2【解析】圆222210x y x y +--+=即22(1)(1)1x y -+-=，表示以点(1,1)C 为圆心，以1为半径的圆，由于圆心到直线2x y -=的距离d ==，故圆上的点到直线的距离的最大值是1r d +=5.已知(4,0)A ，(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A.6D. 【答案】D 【解析】如图：作点P 关于AB 的对称点1P ，作点1P 关于OB 的对称点2P ，设两次反射的入射点分别为C ，D ，则1P ，C ，D 三点共线，2P ，D ，P 三点共线，则光线所经过的路程即为2P P .40:4404AB l y x x -=+=-+-，:0OB l x =，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则1PP AB ⊥，1PP 中点在AB 上，所以11110(1)1202422y x y x -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪=-+⎪⎩，解得1124y x =⎧⎨=⎩.同理，关于y 轴对称，所以24x =-，22y =，所以2P P ==6.在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，11AA =，则1AC 与平面1111A B C D所成角的正弦值为（ ）A.3 B.23C.4D.13【答案】D【解析】连接1AC ，在长方体1111ABCD A BC D -中，1A A ⊥平面1111A B C D ，则11AC A ∠为1AC 与平面1111A B C D 所成角.在11AC A ∆中，11111sin 3AA AC A AC ∠===.7.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AB ==，1AD =，E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（ ）A.5B.2C.5D.0 【答案】D【解析】如图，连接EG ，1B F ，CF ，因为E ，G 均为中点，所以11//A B EG ，11A B EG =，故四边形11A EGB 为平行四边形，11//A E B G ，所以求1A E 与GF 的夹角即为求1B G 与GF 的夹角，即1B GF ∠.因为112BF AB ==，根据勾股定理，CF =1112CG CC ==，所以根据勾股定理，FG ==，1B G ==，1B F ==22211B F B G FG =+满足勾股定理，所以1B G FG ⊥，所以1cos 0B GF ∠=.8.已知集合{(,)|(1)(1)}A x y x x y y r =-+-≤，集合222{(,)|}B x y x y r =+≤，若A B ⊆，则实数r 可以取的一个值是（ ）12 D.12+ 【答案】A【解析】(1)(1)x x y y r -+-=可化为22111()()222x y r -+-=+，由题意，集合A 表示的圆面所对应的圆内含或内切于集合B 表示的圆面所对应的圆，则r ≤1r ≥9.已知圆22:(2)(3)4M x y -+-=，过x 轴上的点0(,0)P x 存在圆M 的割线PAB ，使得PA AB =，则0x 的取值范围是（ ）A.[-B.[-C.[2-+D.[2-+ 【答案】C【解析】max 4AB =，故max6PM=6≤，解得022x -≤+.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A.6 B.12+2 D.2【答案】A【解析】注意到虽然点P 、F 都是动点，但它们都在面11BC D 上，将该平面提取出来，如图，取11Rt BC D ∆，作点E 关于直线1BD 的对称点E '，作11E G C D '⊥，点G 在直线11C D 上.则PE PF PE PF E G ''+=+≥，连接EE '（与1BD 垂直），作E H BC '⊥，点H 在直线1BC 上，则cos 2sin sin 3EH EE E EH EB B B ''=⋅∠=⋅⋅∠⋅∠=，1E G C E EH '=+=+=.二、填空题11.直线310x y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程是 . 【答案】310x y -+= 【解析】将x y =-，y x =-代入直线310x y -==得310x y -+=.12.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是a = .【答案】【解析】由题意知三棱柱的底面是一个正三角形，一条边上的高是a ，得到三棱柱的底面边，∴底面面积是212a ⨯=，三棱柱的高是2，∴三棱柱的体积是223a ⨯=a =13.已知(,)P x y 满足0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，则点(,)Q x y y +构成的图形的面积为 .【答案】2【解析】设点(,)Q u v ，则x y u +=，y v =，则点(,)Q u v 满足0102u v u ≤+≤⎧⎨≤≤⎩，在uOv 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，可知它是一个平行四边形，边长为1，高为2，故其面积为212⨯=.14.有且只有一对实数(,)x y 同时满足：20x y m +-=与223(0)x y y +=≥，则实数m 的取值范围是 .【答案】[{15}- 【解析】根据题意画出图形,如图所示:当直线2y x m =-+与半圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,即35=,解得15m =或15m =- (舍去), 当直线过(3,0)-时,把此点代入直线方程求得23m =-,当直线过时,把此点代入直线方程求得m =观察图象可知满足题意的实数m 的取值范围是[{15}-.15.异面直线a ，b 成60︒角，直线a c ⊥，则直线b ，c 所成角的范围是 . 【答案】[,]62ππ 【解析】由题意可作出大致图象，如下：直线a c ⊥，则把c 放在α上，只需要a α⊥即可，a ，b 成60︒角，那么可将b 平移到b '与a 相交，相当于是圆锥的母线，所以b 与c 所成角即为b '与面α上任意一条直线所成角，所以最小值为30︒，最大值为90︒，即取值范围是[,]62ππ. 16.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=，则点A 的坐标为 . 【答案】(3,6)A【解析】根据题干，可作出大致图象，如下：∵AB 为直径，且0AB CD ⋅=，则AB CD ⊥，且ABD ∆为等腰直角三角形，又(5,0)B ，可求出BD ==，OD ==，从而AO OD AD =+==(,2)(0)A x x x >，则222(2)x x +=，解得3x =，所以(3,6)A .17.在平面直角坐标系xOy 中，点(3,0)A ，直线:24l y x =+，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围 是 .【答案】98419[2][,]555+---【解析】设(,)M x y ，由2MA MO =22(1)4x y ++=，故点M 的轨迹是圆心为(1,0)-，半径为2的圆；设圆C 的圆心(,24)C a a +，则两圆外切时22(1)(24)9a a +++=，即251880a a ++=，解得95a -=； 两圆内切时22(1)(24)1a a +++=，即2518160a a ++=，解得2a =-或85-，所以得a 的取值范围是98419[2][,]555+---. 三、解答题18.已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:120l mx y m -+-= （1）求证：不论m 取何实数，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）设直线l 与圆C 交于点A ，B，当AB =时，求直线l 的方程. 【答案】（1）略；（2）10x y --=，30x y +-=【解析】直线(2)10m x y --+=经过定点(2,1)，222(11)5+-<，∴定点在圆内，故无论m 取实数，直线l 与圆C 总有两个不同的交点. （1）由圆心(0,1)到直线120mx y m -+-=的距离d ==，而圆的弦长AB ===，解得1m =±，故所求的直线方程为10x y --=和30x y +-=.19.已知菱形ABCD 的边长为2，120ABC ∠=︒，四边形BDEF 是矩形，且BF ⊥平面ABCD，BF =（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）设EF 中点为G ，求证AG ⊥平面CEF .【答案】（1）略；（2）略【解析】（1）证明：//BC AD ，//BF DE ⇒平面//BCF 平面//ADE CF ⇒平面ADE . （2）证明：因为EF 中点为G ，则由AF AE AG EF =⇒⊥，且计算可得：AG CG ==又AC =222AG CG AC AG CG +=⇒⊥，又EF CG G =，所以AG ⊥平面CEF.20.已知：以点2(,)(,0)C t t R t t∈≠为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．（1）求证：OAB ∆的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程. 【答案】（1）略；（2）22(2)(1)5x y -+-= 【解析】（1）∵圆C 过原点O ，∴2224OC t t =+. 设圆C 的方程是222224()()x t y t t t -+-=+，0x =，得10y =，24y t=；令0y =，得10x =，22x t = ∴1142422OAB S OA OB t t∆=⨯=⨯⨯=，即：OAB ∆的面积为定值. （2）∵OM ON =，CM CN =，∴OC 垂直平分线段MN . ∵2MN k =-，∴12OC k =，∴直线OC 的方程是12y x =.∴212t t =，解得2t =或2t =-，当2t =时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC =此时C 到直线24y x =-+的距离d =<C 与直线24y x =-+相交于两点当2t =-时，圆心C 的坐标为(2,1)--，OC = 此时C 到直线24y x =-+的距离d =>圆C 与直线24y x =-+不相交，∴2t =-不符合题意舍去.∴圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=.21.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11AC ，1BB 的中点，且AB BC ==，AC =1AA =（1）证明：AC FG ⊥；（2）证明：直线FG 与平面BCD 相交；（3）求直线BD 与平面1BEC 所成角的正弦值.【答案】（1）略；（2）略；（3）14【解析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，∵1CC ⊥平面ABC ，∴四边形11A ACC 为矩形. 又E ，F 分别为AC ，11AC 的中点，∴AC EF ⊥∵AB BC =.∴AC BE ⊥，∴AC ⊥平面BEF .又G 是1BB 中点，1//BB EF ，∴G 在平面BEF 内，∴AC FG ⊥.（2）设EF CD M =，则4FM =2BG =，所以，四边形BGFM 是梯形，所以，直线FG 与直线MB 相交，又MB ⊂平面BCD ，可得FG 与平面BCD 相交.（3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连BO ，易证BE ⊥平面11ACC A ，∴DO BE ⊥，∴DO ⊥平面1BEC ，从而DBO ∠就是直线BD 与平面1BEC 所成角的平面角，计算得，2BD =，sin 414DO DO DBO BD =⇒∠==.。
杭州学军中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数()()+1=f x cosx sinx 的导数是（ ）． A. 2+cos x sinx B. 2cos x sinx - C. 2cos x cosx + D. 2cos x cosx -【答案】B 【解析】 【分析】由乘法求导法则求出函数的导数，再进行化简即可. 【详解】由()()+1=f x cosx sinx 可得：22()sin (sin 1)cos cos cos sin sin cos 2sin f x x x x x x x x x x '=-++⋅=--=-故答案选B【点睛】本题考查乘积的导数法则，熟练掌握乘积的导数法则和导数公式是解决本题的关键，属于基础题.2.若函数()321f x x x mx +++=是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）．A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，只需y′=3x 2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥13． 故选：C ．3.用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++()*n N ∈，则从k 到1k +时,左边所要添加的项是（ ）．A. 121k + B.112224k k -++C. 121k -+D. 112122k k -++ 【答案】D 【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k 时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k 时，等式的左边为111111...234212k k-+-++--，当n=k+1 时，等式的左边为11111111...234212212(1)k k k k -+-++-+--++，故从“n=k 到n=k+1”，左边所要添加的项是112122k k -++，故选D. 点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．4.自二面角内一点分别向两个平面引垂线，它们所成的角与二面角的大小关系是（ ）． A. 相等 B. 互补 C. 无关 D. 相等或互补 【答案】C 【解析】解：利用二面角的定义，可知二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角相等或者互补，选C5.如图：抛物线24y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，135OFA ∠=︒，则tan ACB ∠等于（ ）．A.3B.2D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线焦点F 和准线方程l ，从而得到C 点坐标，由135OFA ∠=︒，可得直线AB 的方程，由AB 的方程与抛物线的方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A 与点B 的坐标，然后利用向量来求解.【详解】由抛物线24y x =可得：焦点F 坐标（1，0），准线方程l 为：1x =-；∴C 点坐标为（-1，0）；又弦AB 过F ，135OFA ∠=︒；∴直线AB 的斜率为1，方程为1y x =-，又点A 与点B抛物线上∴两方程联立214y x y x =-⎧⎨=⎩，得到2610x x -+=，解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，2232x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩故点(32A ++，点(32B --；∴(4CA →=++，(4CB →=-- ∴1cos 3CA CB ACB CA CB→→→→⋅∠==⋅，由于(0,)ACB π∠∈，故sin 3ACB ∠==； sintan cos ACBACB ACB∠∴∠==∠ ；故答案选D【点睛】本题考查抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查求根公式，最后利用向量的数量积求角的三角函数值是关键，属于中档题.6.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有（ ）条A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】B 【解析】试题分析：过1A F 上的点作与平面ABCD 的平行平面，分别与线段1D E 与1C F 相交与,M N ，由面面平行的性质可得，MN 平行平面ABCD ，而这样的平面可以做无数个，故与平面ABCD 平行的直线MN 有无数条．考点：线面平行的判断．7.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，沿对角线BD 将ABD △折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C AB D --的平面角的大小为θ，则sin θ的值等（ ）．A.34D.45【答案】A 【解析】 【分析】根据题意证明CD ⊥平面ABC 以及AB ⊥平面ACD 即可说明CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，解CAD ∆即可得到答案.【详解】由A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上点O 处，故AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ；∴AO CD ⊥，在矩形ABCD 中，CD BC ⊥，且AO 交BC 于点O ，CD \^平面ABC ，又AB Ì平面ABC ，故CD AB ⊥，又在矩形ABCD 中，DA AB ⊥，且CD 交DA 于D ，故AB ⊥平面ACD ； 又AC ⊂平面ACD ，故AB AC ⊥， 由于CD AB ⊥，AB AC ⊥，平面CAB 平面DAB AB =，AD ⊂平面ABD ，AC ⊂平面ACB ；∴CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，即=CAD θÐ，在CAD ∆中，由CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，可知CD AC ⊥， 又矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，故3C D A B ==，4AD BC ==，故3s i n 4CD AD θ== 故答案选A【点睛】本题考查二面角的平面角及求法，线面垂直的证明以及性质，其中求出二面角的平面角是解题关键，属于中档题.8.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（）．A. 25个B. 26个C. 36个D. 37个【答案】C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。
浙江省杭州学军中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.2． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．3． 两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65 4． 在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +5． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n αγ=，则//αβC ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥6． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 8． 在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 9． 二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．10．已知直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=11．复平面内表示复数的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限12．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单 位：小时）间的关系为0ektP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.14．当0,1x ∈（）时，函数()e 1xf x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 16．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。
浙江省杭州市八校联盟2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：记直线的倾斜角为，∴，故选B.考点：直线的倾斜角.2.若关于的不等式的解集为，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集可知方程的两根为，利用根与系数的关系即可求解.【详解】因为不等式的解集为，所以方程的两根为，所以，即，故选A.【点睛】本题主要考查了不等式的解集与对应方程的根的关系，属于中档题.3.若三点共线，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三点共线可知，列方程求解即可.【详解】因为三点共线，所以，即，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了三点共线问题，属于中档题.4.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：取的中点，则由三角形的中位线的性质可得平行且等于的一半，故或其补角即为异面直线与所成的角．设正方体的棱长为1，则，，故为等边三角形，故∠EGH=60°。
考点：空间几何体中异面直线的所成角．【思路点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想．取的中点，由三角形的中位线的性质可得或其补角即为异面直线与所成的角．判断为等边三角形，从而求得异面直线与所成的角的大小．5.在中，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：直接利用余弦定理求解即可．详解：：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：D．点睛：对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.6.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件采用排除法即可选出答案.【详解】对于A,当时显然无意义，故不成立，错误；对于B, 时不成立，故错误；对于C,时显然不成立，故错误；因此选D.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，注意使用排除法，属于中档题.7.已知等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列通项公式可求出公比，代入计算即可求解.【详解】由得：，所以，，故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，前n项和，属于中档题.8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知该几何体为正方体上有半个四棱锥的组合体，利用体积公式即可求解. 【详解】由三视图可知该几何体为正方体上有半个四棱锥的组合体,所以.故选C.【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱、棱锥的体积公式，属于中档题.9.已知三内角所对边分别为，若成等差数列,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据成等差数列，可知,利用正弦定理可知,化简即可证明. 【详解】因为成等差数列所以，由正弦定理知因为，所以,故选A.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变化，等差数列，属于中档题.10.如图,四棱锥的底面是平行四边形,、分别为线段、上一点，若,且平面，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】取PC的中点E,连接AE,EN,AC交BD于O,连接MO，可证明,从而可得平面平面，进而证出，从而可知,即可求解.【详解】取PC的中点E,连接AE,EN,AC交BD于O,连接MO，因为，PC的中点E所以,又O是的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为平面PBC交平面，平面，且交线分别是，所以，所以故选D.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共30分。
侧视图正视图俯视图浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题--数学文高二数学〔文〕试卷一、 选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1、“2x >且2y >”是“4x y +>”的 〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么 〔 〕 A.1C 与2C 顶点相同 B.1C 与2C 长轴长相同C.1C 与2C 短轴长相同D.1C 与2C 焦距相等 3、某简单几何体的三视图如下图，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，那么那个几何体的体积为 ( ) A 、43B 、83C 、4D 、8A 、命题“假设21x =，那么1=x ”的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠”B 、命题“假设x y =，那么sin sin x y =”的逆否命题为真命题C 、命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈均有210x x ++<”D 、“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件5.空间三条直线.l m n 、、假设l 与m 异面，且l 与n 异面，那么〔〕A 、m 与n 异面B.m 与n 相交C 、m 与n 平行D.m 与n 异面、相交、平行均有可能6、过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，那么ABP ∆的外接圆方程是〔〕A 、22(4)(2)1x y -+-=B 、22(2)4x y +-=C 、22(2)(1)5x y +++=D 、22(2)(1)5x y -+-=7、直三棱柱111ABC A B C -(三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫做直三棱柱)中，假设90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，那么异面直线1BA 与1AC 所成的角等于〔〕A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8.双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为()A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9、如图有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心、那么以下结论不．正确的选项是() A 、a 1＋c 1>a 2＋c 2B 、a 1－c 1＝a 2－c 2C 、a 1c 2<a 2c 1D 、a 1c 2>a 2c 110、点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，假设ABE ∆是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是()A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,1+D.(2,1【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分、11、向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，假设a ⊥b ，那么=x ______. 12、假设直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，那么实数m ＝________.13、从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体〔或平面图形〕的4个顶点，这些几何体〔或平面图形〕是___________〔写出所有正确的结论的编号〕 ①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面基本上等边三角形的四面体14、动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点____、 15、设k 为正实数，假设满足条件)()(y k y k x x -≤-的点(,)x y 都被单位圆覆盖，那么k的最大值为__________、16、设,A B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上。
