安徽省马鞍山市高一第二学期学业水平测试数学试题
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一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数1,0(),0x x m f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩,若方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解,则m 的取值范围是()A .(1,)+∞B .(0,1)(1,)⋃+∞C .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知()2,1a =,()1,1b =-,则a 在b 方向上的投影为( )A .2- B .2C .5-D 3.已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,2,3U M N ===则U C M N ⋂= ( )A .{}2B .{}3C .{}2,3,4D .{}0,1,2,3,44.下列命题中错误..的是( ) A .若,a b b c >>,则a c >B .若0a b >>,则ln ln b a <C .若a b >,则22a b >D .若a b >, 则22ac bc >5.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A .若//m α,//m β,则//αβB .若m α⊥,m n ⊥,则n α⊥C .若m α⊥,//m n ,则n α⊥D .若αβ⊥,mα⊥,则//m β 6.在△ABC 中,AC =BC =1,∠B =45°,则∠A =( ) A .30° B .60° C .30°或150° D .60°或120°7.以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是( )A .(x -1)2+(y -2)2=10B .(x -1)2+(y -2)2=100C .(x -1)2+(y -2)2=5D .(x -1)2+(y -2)2=258.圆222220x y x y +++-=与圆2246120x y x y +-++=的位置关系为( )A .相交B .相离C .相切D .内含9.已知公式为正数的等比数列{}n a 满足:11a =,22844a a a ⋅=,则前5项和5S =( )A .31B .21C .15D .1110.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数,将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π,且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .2- B.CD .2 11.设b ,c 表示两条直线,α,β表示两个平面,则下列命题正确的是( )A .若b α⊂,//c α,则//c bB .若b α⊂,//b c ,则//c αC .若c α⊂,αβ⊥,则c β⊥D .若c α⊂,c β⊥,则αβ⊥12.设C ∆AB 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2a =,c =,cos 2A =,且b c <,则b =( )AB .2 C.D .3 二、填空题:本题共4小题13.在高一某班的元旦文艺晚会中,有这么一个游戏:一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片,每张卡片上写有一个成语,它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河,从盒内随机抽取2张卡片,若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖,则该游戏的中奖率为________.14.1232e 2(){log (1)2x x f x x x ,,-<=-≥,则f (f (2))的值为____________. 15.若点()1,a 到直线10x y -+=的距离是2,则实数a =______. 16.已知ABC 中内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,6A π=,712B π=,2a =,则c 为_____. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
安徽省马鞍山市第二中学2022-2023学年高一下学期期中素
质测试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
(1)求球A的体积;
养更名贵的鱼类供游客观赏:方案二如图②,使得△DEF 为正三角形,设2S 为图②中
△DEF 的面积,求2S 的最小值;方案三如图③,使得DE 平行于AB ,且EF 垂直于
DE ,设3S 为图③中△DEF 的面积,求3S 的取值范围.
的形状.
【详解】2cos c a B =Q ,根据正弦定理可知sin 2sin cos C A B =,
Q A B C p ++=,()
sin sin C A B \=+,
()sin 2sin cos A B A B \+=,即()sin cos cos sin sin 0A B A B A B -=-=,
所以A B =,即ABC V 是等腰三角形.故选:B 5.D
【分析】延拓过点,,P Q R 三点的平面,再根据平面与平面的判定定理,即可容易判断选择.【详解】由题意可知经过P 、Q 、R 三点的平面即为平面PSRHNQ ,如下图所示:
对,B C 选项:可知N 在经过P 、Q 、R 三点的平面上,所以B 、C 错误;对A :MC 1与QN 是相交直线,所以A 不正确;对D :因为11A C //RH ,,1BC //QN , 1111,AC BC C Ç=又容易知,RH QN 也相交,。
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列各命题中,假命题的是( )A .“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B .一度的角是周角的1360,一弧度的角是周角的12π C .根据弧度的定义,180一定等于π弧度D .不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关 2.函数sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示,则y 的表达式为( )A .102sin 116x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B .2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C .2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D .102sin 116x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭3.若直线220++=ax y 与直线320x y --=平行,则a 的值为 A .3-B .23C .6-D .32-4.已知正项数列{}n a ,若点()4log n na ,在函数()3f x x =-的图像上,则()2357log a a a =( ) A .12B .13C .14D .165.若圆22:4C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为1,1:420l x y -+=,则l 与1l 间的距离为( )A .1B .2C 2D .36.圆22(2)(1)1x y -+-=上的一点到直线:10l x y -+=的最大距离为( ) A 21B .22-C 2D 217.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则函数()y f x =的表A .()2sin 12f xx π⎛⎫=+⎪⎝⎭B .()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C .()22sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D .()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .90°9.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()2*212,21,n n a a S n n N+==++∈若对任意的*n N ∈,123111120nn a n a n a n a λ++++-≥++++恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A .1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .7,12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C .1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地.”请问第三天走了( ) A .60里B .48里C .36里D .24里11.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入,若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( )(参考数据:lg1.120.05=,lg1.30.11=,lg 20.30=) A .2018年B .2019年C .2020年D .2021年12.素数指整数在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数。
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设{}n a 是等比数列,有下列四个命题:①{}2n a 是等比数列; ②{}1n n a a +是等比数列; ③{}1n n a a ++是等比数列; ④{}lg n a 是等差数列. 其中正确命题的个数是( ) A .1B .2C .3D .42.函数()323x f x x =+-的零点所在的区间是( ). A .(2,1)--B .(1,0)-C .(0,1)D .(1,2)3.已知n S .为等比数列{}n a 的前n 项和,若22a =,516a =,则6S =( ) A .31B .32C .63D .644.已知圆锥的表面积为29cm π,且它的侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为 A .322cm B .32cm C .3cm D .23cm ()5.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是 A .B .C .D .6.经过原点且倾斜角为60︒的直线被圆C:2230x y y a +-+=截得的弦长是13C 在x 轴下方部分与x 轴围成的图形的面积等于( )A .833π-B .16433π-C .8233π- D .16233π-7.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边,若sin cos sin CA B<,则ABC ∆的形状为( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .等边三角形8.为了得到函数1sin(2)23y x π=-的图象,只需将函数sin cos y x x =的图象() A .向左平移3π个单位 B .向右平移3π个单位 C .向左平移6π个单位 D .向右平移6π个单位 9.已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=,3BC =,1AC BD ⋅=-,则CD 的长为( )10.在ABC 中,若sin sin sin 34A B Ck ==,则下列结论错误的是( ) A .当5k =时,ABC 是直角三角形 B .当3k =时,ABC 是锐角三角形 C .当2k =时,ABC 是钝角三角形D .当1k =时,ABC 是钝角三角形11.经过点()2,1A -,和直线1x y +=相切,且圆心在直线2y x =-上的圆方程为( ) A .()()22122x y +++= B .()()22122x y -+=+ C .()()22122x y ++-=D .()()22122x y -+-=12.若点(m ,n )在反比例函数y =1x的图象上,其中m <0,则m+3n 的最大值等于( ) A .23B .2C .﹣23D .﹣2二、填空题:本题共4小题13.读程序,完成下列题目:程序如图:(1)若执行程序时,没有执行语句1y x =+,则输入的x 的范围是_______; (2)若执行结果3y =,输入的x 的值可能是___. 14.已知函数(),()f x g x 分别由下表给出:x1 2 3 ()f x2 1 1 x1 2 3 ()g x321则当[()]2f g x =时,x =_____________. 15.若cos m πθ⎛⎫-=⎪,则3cos πθ⎛⎫+= ⎪______(用m 表示).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设函数21(0)()lg (0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程2()()20f x af x -+=恰有6个不同的实数解,则实数a 的取值范围为( )A .()2,22 B .()22,3 C .()3,4 D .()22,42.已知数列的前4项为:l ,,,,则数列的通项公式可能为( )A .B .C .D .3.下列命题中正确的是( ) A .相等的角终边必相同B .终边相同的角必相等C .终边落在第一象限的角必是锐角D .不相等的角其终边必不相同4.若0a b >>,则下列结论成立的是( ) A .22a b < B .1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .a bb a+的最小值为2 D .2a b b a+> 5.已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示,则 ( )A .1,6πωϕ== B .1,6πωϕ==-C .2,6πωϕ==D .2,6πωϕ==-6.若函数110,1 ()=lg ,1x x f x x x -⎧≤⎨>⎩,则()()10f f =( )A .9B .1C .110D .07.若关于x 的不等式()22log 230ax x -+>的解集为R ,则a 的取值范围是( )A .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D .1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭8.方程3sin cos 0x x +=的解集是( ) A .{|,}x x k k Z π=∈ B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈9.已知0a >,若关于x 的不等式22(1)()x ax ->的解集中的整数恰有3个,则实数a 的取值范围是() A .43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .43,32⎛⎤⎥⎝⎦C .4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭10.已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-,集合{0,1,2,3,4}B =,则A B =( )A .{1,0}-B .{0,1}C .{2,1,0,1}--D .{0,1,2}11.已知向量12e e ,满足121210e e e e ==⋅=,.O 为坐标原点,()1222OQ e e =+.曲线{}12|cos sin 002C P OP r e r e r θθθπ==+>≤<,,,区域{}12P PQ Ω=≤≤.若C Ω是两段分离的曲线,则( ) A .35r <<B .35r <≤C .35r ≤<D .35r ≤≤12.设0,0a b >>,且4a b +=,则a bab+的最小值为 ( ) A .8B .4C .2D .1二、填空题:本题共4小题13.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的一个周期的图象,则f(1)=__________.14.直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN 所成的角的余弦值为 .15.如图,在边长为a 的菱形ABCD 中,60BAD ∠=,E 为BC 中点,则AE BD ⋅=______.16.已知角α的终边经过点(),1P x ,若5sin α,则x =______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如果角θ的终边经过点3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,那么tan θ的值是( )A .12B .3-C .3D .3-2.已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,若3818a a =-,则10S 等于( ) A .81B .90C .99D .1803.函数5()3cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是( )A .,012π⎛⎫⎪⎝⎭B .,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C .,03π⎛⎫⎪⎝⎭D .5,06π⎛⎫⎪⎝⎭4.平面α平面β,直线a α⊂,b β⊂ ,那么直线a 与直线b 的位置关系一定是( )A .平行B .异面C .垂直D .不相交5.设在ABC ∆中,角,A B C ,所对的边分别为,a b c ,, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 ( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定6.16tan3π的值为( ) A .3-B .3 C .3 D .3-7.在ABC ∆中,3AB =,1AC =,30B ∠=,则A ∠=( ) A .60B .30或90C .60或120D .908.直线310x y -+=的倾斜角为 A .23π B .56π C .3π D .6π 9.如图为A 、B 两名运动员五次比赛成绩的茎叶图,则他们的平均成绩x 和方差2s 的关系是( )A .AB x x <,22<A B s s B .A B x x >,22<A B s s C .A B x x <,22>A B s sD .A B x x >,22>A B s s10.若数列{a n }前8项的值各异,且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立,则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 ( )A .{a 2k+1}B .{a 3k+1}C .{a 4k+1}D .{a 6k+1}11.函数sin()(0y A x ωϕω=+>,||2ϕπ<,)x R ∈的部分图象如图所示,则函数表达式为( )A .4sin()84y x ππ=-+ B .4sin()84y x ππ=-C .4sin()84y x ππ=--D .4sin()84y x ππ=+ 12.在ABC ∆中,角,B C 所对的边分边为,b c ,已知40,20,60b c C ===︒,则此三角形的解的情况是( ) A .有一解B .有两解C .无解D .有解但解的个数不确定二、填空题:本题共4小题 13.当01x ≤≤时,不等式sin2xkx π≥成立,则实数k 的取值范围是______________.14.已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为10π0,PA ⊥面0,4,30ABC PA BAC =∠=,则该三棱锥体积的最大值为____。
2023-2024学年安徽省马鞍山市高一下册开学考试数学试题一、单选题1.下列各角中,与26︒角终边相同的角为()A .206︒B .334-︒C .116︒D .154-︒【正确答案】B【分析】确定与26︒角终边相同的角为36026k θ=︒⋅+︒,Z k ∈,再依次判断每个选项即可.【详解】与26︒角终边相同的角为36026k θ=︒⋅+︒,Z k ∈,对选项A :取36026206k θ=︒⋅+︒=︒,不是整数解,排除;对选项B :取36026334k θ=︒⋅+︒=-︒,1k =-,正确;对选项C :取36026116k θ=︒⋅+︒=︒,不是整数解,排除;对选项D :取36026154k θ=︒⋅+︒=-︒,不是整数解,排除;故选:B2.已知集合{}2A x x =≥,{}N B x x =∈,则()A B =R I ð()A .{}0,1,2B .{}0,1C .{}1,2D .{}1【正确答案】B【分析】根据补集、交集的定义计算可得.【详解】解:因为{}2A x x =≥,所以{}|2=<A x x R ð,又{}N B x x =∈,所以(){}0,1A B =R ðI .故选:B 3.若4sin 5α=,α是第二象限的角,则tan α的值等于()A .43B .34C .43-D .34-【正确答案】C【分析】先求得cos α,然后求得tan α.【详解】由于4sin 5α=,α是第二象限的角,所以3cos 5α==-,所以sin tan s 43co ααα==-.故选:C4.已知21log 2a =,212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,122c =,则a ,b ,c 的大小关系是()A .b c a <<B .<<b a c C . a c b <<D . a b c<<【正确答案】C根据对数函数与指数函数的性质,分别判断a ,b ,c 的范围,即可得出结果.【详解】因为221log log 102a =<=,221242b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,12124c <==,所以 a c b <<.故选:C.5.函数2ln ||()1x x f x x =+的图象大致为A.B.C .D.【正确答案】A【分析】可采用排除法,根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除.【详解】因为()()f x f x -=-,所以()f x 的图象关于原点对称,故排除C D ,;当1x =时,()0f x =,当01x <<时,ln ln 0x x =<,所以()0f x <,排除B .故选A.本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像,属于基础题.6.已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立,则a 的取值范围为()A .(),2-∞-B .13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .(],2-∞D .13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】由单调性定义可知()f x 在R 上单调递减,由分段函数每一段上的单调性和分段处的函数值大小关系可构造不等式组求得结果.【详解】 对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立,()f x \在R 上单调递减,()22011222a a -<⎧⎪∴⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩,解得:138a ≤,即实数a 的取值范围为13,8⎛⎤-∞ ⎝⎦.故选:B.7.神舟十四号载人飞船搭载3名宇航员进入太空,在中国空间站完成了为期六个月的太空驻留任务,期间进行了很多空间实验,目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限,要通过回收水的方法制造可用水.回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水,循环使用净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为()(参考数据lg 20.3010=)A .10B .11C .13D .14【正确答案】D【分析】设过滤的次数为n ,原来水中杂质为1,得到不等式(120%)5%n -<,解出即可.【详解】设过滤的次数为n ,原来水中杂质为1,则(120%)5%n -<,即10.820n<,所以1lg 0.8lg 20n<,所以lg 0.8lg 20n <-,所以lg 20lg 201lg 213.4lg 0.813lg 213lg 2n -+>==≈--,因为n *∈N ,所以n 的最小值为14,则至少要过滤14次.故选:D.8.已知函数2y x bx c =-++只有一个零点,不等式20x bx c m -++->的解集为()00,2x x +,则m 的值为()A .4-B .3-C .2-D .1-【正确答案】D【分析】根据函数有一个零点可得240b c ∆=+=,再将不等式的解集转化为方程20x bx c m --+=的两根,最后利用韦达定理和两根的大小关系即可求解.【详解】函数2y x bx c =-++只有一个零点,则240b c ∆=+=,不等式20x bx c m -++->的解集为()00,2x x +,即20x bx c m --+<的解集为()00,2x x +.设方程20x bx c m --+=的两根为12,x x ,则1212,x x b x x c m +=⋅=-+,且212x x -=,∴()()2221211244x x x x x x -=+-=,则24()4b c m --+=,整理得2444b c m +-=,∴1m =-.故选.D 二、多选题9.下列命题为真命题的是()A .0x ∃<,使得0x >B .0x ∀≥,都有x x=C .已知集合{}2A x x k ==,{}3B y y k ==,则对于k *∀∈N ,都有A B ⋂=∅D .x ∃∈R ,使得方程2250x x ++=成立.【正确答案】AB【分析】根据全称和特称量词的含义,结合去绝对值的方法、交集的定义和一元二次方程根的个数的判断,依次确定各个选项的正误即可.【详解】对于A ,当0x <时,0x x =->,A 正确;对于B ,当0x ≥时,x x =,B 正确;对于C ,当k *∈N 时,{}6A B x x k ⋂==,C 错误;对于D ,420160∆=-=-< ,x ∴∀∈R ,方程2250x x ++=都不成立,D 错误.故选:AB.10.下列说法正确的是()A .若22ac bc >,则a b>B .若a b >,c d >,则a c b d ->-C .若0b a >>,0c >,则b c ba c a+>+D .若0a b >>,则11a b b a+>+【正确答案】AD【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.【详解】对于A ,∵22ac bc >,∴0c ≠,∴20c >,∴210c >,∴222211ac bc c c ⨯>⨯,∴a b >,故选项A 正确;对于B ,当2a =,1b =,0c =,2d =-时,有a b >,c d >,但此时2a c -=,3b d -=,a c b d -<-,故选项B 错误;对于C ,当1a =,2b =,1c =时,有0b a >>,0c >,但此时32b c a c +=+,2b a =,b c ba c a+<+,故选项C 错误;对于D ,∵0a b >>,∴0ab >,∴10ab>,∴11a b ab ab ⨯>⨯,∴11b a>,由不等式的同向可加性,由a b >和11b a >可得11a b b a+>+,故选项D 正确.故选:AD.11.已知,αβ是第一象限角,且sin sin αβ>,则下列关系正确的是()A .αβ>B .22tan tan αβ>C .22cos cos αβ<D .22sin sin 1αβ+>【正确答案】BC【分析】由题意可知,利用特殊值可以排除AD 选项,再根据同角三角函数的基本关系判断BC 即可.【详解】,αβ是第一象限角,且sin sin αβ>,当π13π,46αβ==时,π13ππ1sin sin sin sin sin 42662αβ==>===此时αβ<,所以A 错误;易知,sin sin 0αβ>>,所以22sin sin αβ>,又因为22sin cos 1αα+=,即221cos 1cos αβ->-,所以22cos cos αβ<,即C 正确;又因为220cos cos αβ<<,所以2211cos cos αβ>,因此222211sin sin cos cos αβαβ>,即22tan tan αβ>,故B 正确;取ππ,46αβ==,则22113sin sin 1244αβ+=+=<,所以D 不成立.故选:BC.12.已知函数()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩,则下列结论正确的是()A .函数()y f x x =-有两个零点B .若函数()y f x t =-有四个零点,则[]1,2t ∈C .若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1234,,,x x x x ,则12342x x x x +++=D .若关于x 的方程()()230f x f x α-+=有8个不等实根,则92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【正确答案】CD【分析】A 选项,画出()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象,在同一坐标系内作出y x =的图象,可看出两函数图象有3个交点,A 错误;B 选项,数形结合得到()1,2t ∈,B 错误;C 选项,可看出四个实根有两个根关于=1x -对称,另外两个根关于2x =对称,从而得到12342x x x x +++=,C 正确;D 选项,令()f x t =,则230t t α-+=要有2个不相等的实数根12,t t ,()12,1,2t t ∈,得到两根之和,两根之积,化简得到221222239324t t t tt α⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭,结合()21,2t ∈,求出92,4α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,结合940α∆=->,求出92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【详解】A 选项,当2x ≥时,()2e xf x -=单调递增,当02x <<时,()2e xf x -=单调递减,画出()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象,可以看出2e x y -=关于2x =对称,当2x =时,2e x y -=取得最小值为1,在同一坐标系内作出y x =的图象,可看出两函数图象有3个交点,所以函数()y f x x =-有3个零点,A 错误;数形结合可得:函数()y f x t =-有四个零点,则()1,2t ∈,B 错误;由上图可知:若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<其中12,x x 关于=1x -对称,34,x x 关于2x =对称,则12342,4x x x x +=-+=,所以12342x x x x +++=,C 正确;D 选项,令()f x t =,则230t t α-+=要有2个不相等的实数根12,t t ,()12,1,2t t ∈,且123t t +=,12t t α=,221222239324t t t t t α⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭,因为()21,2t ∈,所以223992,244t α⎛⎫⎛⎤=--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,由940α∆=->,解得:94α<,综上:92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若关于x 的方程()()230f x f x α-+=有8个不等实根,则92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,D 正确.三、填空题13.已知幂函数()y f x =的图象经过点(2,4),则(2)f -=___________.【正确答案】4【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式,然后计算函数值.【详解】设()af x x =,则24a =,2a =,即2()f x x =,所以(2)4f -=.故414.设命题:ln(1)0p x -<,命题:2q a x a ≤≤+,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】[]0,1【分析】解不等式ln(1)0x -<得到12x <<,根据充分不必要条件得到1a ≤且22a +≥,解得答案.【详解】命题:ln(1)0p x -<,故011x <-<,解得12x <<;命题:2q a x a ≤≤+p 是q 的充分不必要条件,则1a ≤且22a +≥,解得01a ≤≤.故[]0,115.设实数x 满足1x >-,函数4231y x x =+++的最小值为__________.【正确答案】1【分析】利用拼凑法结合基本不等式即可求解.【详解】由题意1x >-,所以10x +>,故()()444232313311214111y x x x x x x =++=++-+=++-≥=+++,当且仅当()4311x x +=+,即10x =->时等号成立,所以函数4231y x x =+++的最小值为1.故答案为.1-四、双空题16.设函数()y f x =的定义域为R ,且满足(1)(3),(4)(4)0f x f x f x f x +=-++-=,当2(]0,x ∈时,2()2f x x x =-.则(3)f =___________;当(5,7)x ∈时,()f x 的取值范围为___________.【正确答案】1-[0,1)【分析】由题意可得(3)(1)f f =,求出(1)f 可得(3)f 的值,由已知条件可得()f x 的图象关于直线2x =对称,()f x 的周期为8,所以()(4)f x f x =--,则当57x <<时,143x <-<,作出函数在(0,8]的图象,结合图象可求出结果【详解】令0x =,则(3)(1)f f =,因为当2(]0,x ∈时,2()2f x x x =-,所以2(1)1211f =-⨯=-,所以(3)1f =-,因为(1)(3)f x f x +=-,所以()f x 的图象关于直线2x =对称,所以(4)()f x f x -=,因为(4)(4)0f x f x ++-=,所以(4)(4)()f x f x f x +=--=-,所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=,所以()f x 的周期为8,所以(4)()f x f x -=-,即()(4)f x f x =--当57x <<时,143x <-<,由函数图象可知当143x <-<时,1(4)0f x -<-≤,所以0(4)1f x ≤--<,即0()1f x ≤<,所以当(5,7)x ∈时,()f x 的取值范围为[0,1),故1-,[0,1)五、解答题17.设集合{1|24A x y x x=+-,集合{}()121R B x m x m m =+≤≤-∈.(1)当3m =时,求A B ⋃;(2)若R B A =∅I ð,求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){|25}x x -≤≤;(2)52m <.【分析】(1)由根式、分式性质求定义域得集合A ,根据已知及集合并运算求A B ⋃即可;(2)求R A ð,根据交集结果,讨论B =∅、B ≠∅求参数m 的范围.【详解】(1)对于集合A :2040x x +≥⎧⎨->⎩,得24x -≤<,故{|24}A x x =-≤<;当3m =时{|45}B x x =≤≤,所以{|25}A B x x ⋃=-≤≤.(2)由R {|2A x x =<-ð或4}x ≥,而R B A =∅I ð,当B =∅时,211m m -<+,即2m <满足题设;当B ≠∅时,12214211m m m m +≥-⎧⎪-<⎨⎪-≥+⎩,可得522m ≤<;综上,52m <.18.计算下列各式的值:(1)()11230.0272-+(2)22ln 2225lg 5lg 2lg 2lg 25log 5log 4e ++⋅+⨯+.【正确答案】(1)25π3-(2)4【分析】(1)将根式化为分数指数幂,利用分数指数幂及根式运算法则进行计算;(2)利用对数运算性质计算出答案.【详解】(1)原式=()1311332631025π4224π1π1033--⎡⎤⎛⎫+-+⨯=+-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦;(2)原式()()()22225lg 5lg 22lg 2·lg 5log 5log 22lg 2lg 534=+++⨯+=++=.19.已知22ππα-<<,且满足______.请从以下三个条件中选择一个条件补充在前面的横线中,①sin 10α=-;②cos sin 5αα+=;③1tan 3α=-,然后作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(1)求cos sin αα-的值;(2)角β与角α均以x 轴的非负半轴为始边,若角β的终边与角α的终边关于x 轴对称,求sin cos sin cos ββββ+-的值.【正确答案】(1)条件选择见解析,5;(2)2-.【分析】(1)选①,利用同角正余弦平方和为1求出cos α计算作答;选②,利用cos sin αα±与sin cos αα的关系计算作答;选③,由正切求出正余弦值即可作答.(2)求出角β与角α的关系式,再利用诱导公式结合(1)的结论计算作答.【详解】(1)选①,因为22ππα-<<,sin 10α=-,则cos 10α==,所以cos sin 5αα-=.选②,由cos sin αα+=212cos sin 5αα+=,解得32cos sin 05αα=-<,因为22ππα-<<,则cos 0α>,必有sin 0α<,所以cos sin 5αα-=.选③,因为22ππα-<<,1tan 03α=-<,则02πα-<<,cos 0α>,sin 0α<,由sin 1cos 3αα=-及22cos sin 1αα+=,解得sin α=cos 10α=,所以cos sin αα-=(2)由(1)知,sin 10α=-,cos α=因为角β与角α均以x 轴的非负半轴为始边,若角β的终边与角α的终边关于x 轴对称,则有2,Z k k βαπ+=∈,即2,Z k k βπα=-∈,sin sin ,cos cos βαβα=-=,所以sin cos sin cos cos sin 52sin cos sin cos cos sin ββααααββαααα+-+-==-==----+.20.已知函数21()x f x ax b+=+是奇函数,且()12f =.(1)求a ,b 的值;(2)证明函数()f x 在(),1-∞-上是增函数.【正确答案】(1)1a =,0b =(2)证明见解析【分析】(1)由奇函数的性质可知()()f x f x -=-,可求出b 的值,再利用()12f =可求出a 的值.(2)利用定义法证明函数()f x 的单调性即可.【详解】(1)∵函数21()x f x ax b+=+是奇函数,∴()()f x f x -=-,∴2211x x ax b ax b++=--++,∴ax b ax b -+=--,∴0b =,又∵()12f =,∴22a b=+,∴1a =.(2)由(1)得211()x f x x x x+==+,任取1x ,()2,1x ∈-∞-,且12x x <,∴()()()()()121221121212121212111x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫--=+-+=-+= ⎪⎝⎭,∵121x x <<-,∴120x x -<,121x x >,1210x x ->,∴()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,∴函数()f x 在(),1-∞-上是增函数.21.某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动,已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3x -与1t +成反比例,当年促销费用0=t 万元时,年销量是1万件.已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用,若将每件产品售价定为:其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的商品正好能销完.(1)求x 关于t 的函数;(2)将下一年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数;(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时,年利润最大?(注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)【正确答案】(1)23(0)1x t t =-≥+(2)298352(1)t t y t -++=≥+(t 0)(3)当促销费投入7万元时,企业年利润最大【分析】(1)利用待定系数法求解即可.(2)利用销售收入减去成本即得利润.(3)利用基本不等式处理该最值问题.【详解】(1)由题意:3x -与1t +成反比例,所以设3(0)1k x k t -=≠+,将t =0,x =1代入,得k =2,所以23(0)1x t t =-≥+.(2)当年生产x (万件)时,年生产成本为:232332(3)31x t +=-++,当销售x (万件)时,年销售收入为:21150%32(3)312t t ⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦+,由题意,生产x 万件产品正好销完,且年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,所以212150%32(3)332(3)3121y t t t t ⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦+即.298352(1)t t y t -++=≥+(t 0)(3)由(2)有:229835(21)100(1)64=2(1)2(1)t t t t t y t t -++++-++=-++13250()21t t +=-++因为0t ≥,所以13221t t ++≥+13221t t +=+,即7t =时,等号成立.所以,13250()504221t y t +=-+≤-=+,即max =42y .所以当促销费投入7万元时,企业年利润最大.22.已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)设()()()2log 20x g x a a a =⋅+≠,若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点,求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1k =-(2)2,1)【分析】(1)根据偶函数的定义及性质直接化简求值;(2)由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点,可得1222x x xa a ⋅+=+有两个实数根,再利用换元法转化为二次方程有两个根,利用判别式求参数范围.【详解】(1)解:函数的定义域为R ,因为函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.所以()()f x f x -=,即22log (41)log (41)-+-=++x x kx kx ,所以22224142log (41)log (41)log log 4241x x x x x x kx x --+=+-+===-+,所以1k =-;(2)解:因为函数()f x 与()g x 图象有2个公共点,所以()()()()22241log 2log 41log 2x x x x g x a a f x x ⎛⎫+=⋅+==+-= ⎪⎝⎭,即4112222x x x x x a a +⋅+==+,20x a a ⋅+>,设20x t =>,则1at a t t+=+,即()2110a t at -+-=,又2x t =在R 上单调递增,所以方程2(1)10a t at -+-=有两个不等的正根;所以210Δ4(1)(1)001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪⎨->-⎪⎪->⎪-⎩,解得21a <<,所以a的取值范围为2,1).。
安徽省马鞍山市2019-2020学年高一下期末学业质量监测数学试题一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()2x f x =,则()2f -=( ) A .-4B .14C .14-D .4 【答案】A【解析】【分析】由奇函数的性质可得: ()()f x f x -=-即可求出()2f -【详解】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数,所以()()()()22f x f x f f -=-⇒-=-又因为当0x >时,()2x f x =,所以()2224f ==,所以()()224f f -=-=-,选A. 【点睛】本题主要考查了函数的性质中的奇偶性。
其中奇函数主要有以下几点性质:1、图形关于原点对称。
2、在定义域上满足()()f x f x -=-。
3、若定义域包含0,一定有()00f =。
2.一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是( )A .0.3B .0.55C .0.7D .0.75【答案】D【解析】【分析】由题意可知摸出黑球的概率,再根据摸出黑球,摸出红球为互斥事件,根据互斥事件的和即可求解.【详解】因为从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,所以摸出黑球的概率是1(0.450.25)0.3-+=,因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件,所以摸出黑球或红球的概率0.30.450.75P =+=,故选D.【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件,其概率公式()()()P AUB P A P B =+,属于中档题. 3.已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ,且()10.5P X >=,()20.3P X >=,则()0P X <=( ) A .0.2 B .0.3 C .0.7 D .0.8【解析】随机变量X 服从正态分布(),4N a ,所以曲线关于x a =对称,且()0.5P X a >=,由()10.5P X >=,可知1a =,所以()()020.3P X P X <=>=,故选B.4.四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是正方形,且2PA AB ==,则直线PB 与平面PAC 所成角为( )A .6πB .4πC .3πD .2π 【答案】A【解析】【分析】连接AC 交BD 于点O ,连接OP ,证明BO ⊥平面PAC ,进而可得到BPO ∠即是直线PB 与平面PAC 所成角,根据题中数据即可求出结果.【详解】连接AC 交BD 于点O ,因为PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是正方形,所以BD AC ⊥,BD PA ⊥,因此BD ⊥平面PAC ;故BO ⊥平面PAC ;连接OP ,则BPO ∠即是直线PB 与平面PAC 所成角,又因2PA AB ==,所以22PB =,2BO =. 所以1sin 2BO BPO PB ∠==,所以 6BPO π∠=. 故选A本题主要考查线面角的求法,在几何体中作出线面角,即可求解,属于常考题型.5.在中,已知,,则角的取值范围为( )A .B .C .D .【答案】D【解析】【分析】 由,根据正弦定理可得:,由角范围可得的范围,结合三角形的性质以及正弦函数的图像即可得到角的取值范围【详解】 由于在中,有,根据正弦定理可得, 由于,即,则,即 由于在三角形中,,由正弦函数的图像可得:;故答案选D【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用,以及三角函数图像的应用,属于中档题.6.已知扇形AOB 的圆心角3AOB π∠=,弧长为2π,则该扇形的面积为( ) A .6πB .12πC .6D .12 【答案】A【解析】【分析】可先由弧长计算出半径,再计算面积.【详解】设扇形半径为R ,则23R ππ=,6R =,12662S =⨯π⨯=π. 故选:A . 【点睛】本题考查扇形面积公式,考查扇形弧长公式,掌握扇形的弧长和面积公式是解题基础.7.如图,已知平行四边形ABCD ,BE EC =,则( )A .12AE AB AD =+B .12AE AB AD =-C .12AE AB AD =+ D .12AE AB AD =-+ 【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的加法运算,即可得到本题答案.【详解】由题,得12=+=+AE AB BE AB AD . 故选:A【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算,属基础题.8.在ABC 中,若21b c +=,30B =,45C =,则( ) A .1b =,2c =B .2b =1c =C .22b =,212c =+ D .21b ,22c = 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理列出关系式,把sin B 与sin C 代入得出b 与c 的关系式,再与已知等式联立求出即可.【详解】∵在ABC ∆中,21b c +=,30B =,45C =, ∴由正弦定理得:sin sin b c B C=,即22b c =,联立解得:1,b c ==故选:A.【点睛】 本题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键,属于基础题.9.设数列{}n a 满足110a =,且()*13n n a a n n N +-=-∈,则数列1n a 中的最大项为( ) A .17 B .855 C .18 D .19 【答案】A【解析】【分析】利用累加法求得{}n a 的通项公式,再根据1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性求得最大项.【详解】因为13n n a a n +-=-故()()()11221452n n n n a a a a a a n n ----+-++-=-+-++- 故()()()()211212172622n n n a a n n n --=--+=-+ 则()21117262n a n n =-+,其最大项是{}n a 的最小项的倒数, 又21755228n a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当且仅当3n =或4n =时,n a 取得最小值7. 故1n a 得最大项为17. 故选:A.【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式,以及数列的单调性,属综合基础题.10.将函数()cos f x x x =-的图象向左平移56π个单位得到函数()y g x =的图象,则7()12g π的值为( )A .BC .D【答案】A【解析】()cos 2sin()6f x x x x π=-=-,向左平移56π个单位得到函数()y g x ==22sin()3x π+,故7722sin()12123g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭11.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且c =2sin tan A C a c=,若sin()sin 2sin 2A B C B -+=,则a b +=( )A .2B .3C .4D .【答案】B【解析】【分析】 利用正弦定理化简2sin tan A C a c=,由此求得cos ,sin C C 的值.利用三角形内角和定理和两角和与差的正弦公式化简sin()sin 2sin 2A B C B -+=,由此求得,a b 的值,进而求得+a b 的值.【详解】利用正弦定理化简2sin tan A C a c =得1cos 02C =>,所以C 为锐角,且sin C ==由于()sin sin C A B =+,所以由sin()sin 2sin 2A B C B -+=得sin()sin()2sin 2A B A B B -++=,化简得sin cos 2sin cos A B B B =.若cos 0B =,则90B =,故2222,1,1,3b a b c a a b ==-==+=.若cos 0B ≠,则sin 2sin A B =,由余弦定理得222422cos 3c b b b b C =+-⋅⋅=,解得1,22,3b a b a b ===+=.综上所述,3a b +=,故选B.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查三角形内角和定理,考查两角和与差的正弦公式,属于中档题.12.在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( )A .6πB .3πC .23πD .56π 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理边化角,结合和差公式以及诱导公式,即可得到本题答案.【详解】因为cos cos 2cos ,sin 0a B b A c C C +=≠,所以sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=,sin()2sin cos A B C C +=,sin 2sin cos C C C =,1cos 2C =, 0C π<<,3C π∴=.故选:B.【点睛】 本题主要考查利用正弦定理边角转化求角,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题13.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若1345a a a a =+++…,则q =__________________.【解析】【分析】由1345a a a a =+++…可知1q <,算出345a a a +++…用1a 表示的极限,再利用性质计算得出q 即可.【详解】 显然公比不为1,所以公比为q 的等比数列{}n a 求和公式1(1)1-=-n n a q S q, 且1345a a a a =+++…,故01q <<.此时1(1)1-=-n n a q S q当n →∞时,求和极限为11a q -,所以3345...1a a a a q +++=-,故2311345...=11a a q a a a a q q=+++=--,所以2211101a q a q q q =⇒+-=-,故12q -±=,又01q <<,故q =.. 【点睛】 本题主要考查等比数列求和公式1(1)1-=-n n a q S q,当01q <<时1lim 1n n a S q →∞=-. 14.设数列{}n a 是等差数列,12324a a a ++=-,1926a =,则此数列{}n a 前20项和等于______.【答案】180【解析】【分析】根据条件解得公差与首项,再代入等差数列求和公式得结果【详解】因为12324a a a ++=-,1926a =,所以1113324,182610,2a d a d a d +=-+=∴=-=,20120(10)201921802S ∴=⨯-+⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式,考查基本分析求解能力,属基础题15.函数f(x)=sin 22x 的最小正周期是__________. 【答案】 2π.【解析】【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形,然后求解其最小正周期即可.【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式、三角函数的最小正周期公式,属于基础题.16.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中,任取两张,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为________. 【答案】25【解析】【分析】基本事件总数n 2510C ==,利用列举法求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有4种情况,由此能求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率.【详解】从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中,任取两张,基本事件总数n 2510C ==,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4种情况,∴这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为p 42105==. 故答案为25. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高二下学业水平模拟数学试题一、选择题A=()1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,5},则∁UA.{2,4} B.{1,3,5} C.{1,2,3,4,5} D.∅【答案】A【解析】解:∵全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,5}A={2,4}∴∁U故选A【点评】本题考查集合运算,当集合是用列举法表示的且元素个数比较少时,可数一下元素,用观察法做题.属简单题2.计算:cos210°=()A. B. C. D.【答案】B【解析】解:co s210°=cos(180°+30°)=﹣cos30°=﹣.故选B【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,其中灵活变换角度,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.3.函数y=lg(x﹣1)的定义域是()A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.[1,+∞) D.(1,+∞)【答案】D【解析】解:要使函数f(x)=lg(x﹣1)有意义,则x﹣1>0,即x>1,所以函数f(x)=lg(x﹣1)的定义域为(1,+∞).故选D.【点评】本题的考点是函数定义域的求法,要求熟练掌握几种常见函数的定义域,属于基础题.4.已知平面向量=(1,2),=(﹣3,x),若∥,则x等于()A.2 B.﹣3 C.6 D.﹣6【答案】D【解析】解:∵平面向量=(1,2),=(﹣3,x),若∥,∴2×(﹣3)﹣x=0,解得x=﹣6.故选:D.【点评】本题考查向量平行的充要条件,属基础题.5.如图所示的算法流程图中(注:“x=x+2”也可写成“x:=x+2”,均表示赋值语句),若输入的x值为﹣3,则输出的y值是()A. B. C.2 D.8【答案】C【解析】解:执行程序框图,有x=﹣3不满足条件x≥0,x=﹣1不满足条件x≥0,x=1满足条件x≥0,y=2输出y的值为2.故选:C.【点评】本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.6.已知等比数列{an }的公比是2,a3=1,则a5的值是()A. B. C.4 D.16【答案】C【解析】解:∵等比数列{an }的公比是2,a3=1,∴a5=a3q2=1×4=4故选:C.【点评】本题考查等比数列的通项,考查基本量的运算,是一个基础题,这种题目是数列中经常要用到的一种运算.7.已知直线l1:x+y=0,l2:2x+2y+3=0,则直线l1与l2的位置关系是()A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直【答案】B【解析】解:由直线l1:x+y=0,l2:2x+2y+3=0,可得斜率都等于﹣1,截距不相等.∴l1∥l2.故选:B.【点评】本题考查了斜率存在的两条直线平行的充要条件、斜截式,属于基础题.8.函数y=sin(2x﹣)的最小正周期是()A. B. C.π D.2π【解析】解:函数y=sin(2x﹣)的最小正周期是=π,故选:C.【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的周期性,利用了函数y=Asin (ωx+φ)的周期为,属于基础题.9.不等式3x+2y﹣6≤0表示的区域是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解:可判原点适合不等式3x+2y﹣6≤0,故不等式3x+2y﹣6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y﹣6=0的左下方,故选:D.【点评】本题考查不等式表示平面区域,属基础题.10.某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,先采用分层抽取容量为45人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()A.15、5、25 B.15、15、15 C.10、5、30 D.15、10、20【答案】D【解析】解:根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为=,则在高一年级抽取的人数是300×=15人,高二年级抽取的人数是200×=10人,高三年级抽取的人数是400×=20人,故选D.【点评】本题的考点是分层抽样方法,根据样本结构和总体结构保持一致,求出抽样比,再求出在各层中抽取的个体数目.11.如图是一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的中位数为()A.10 B.11 C.12 D.1【答案】C【解析】解:由茎叶图得该运动员在这五场比赛中得分从低到高为:9,10,12,17,22,位于中间的分数是12,∴该运动员在这五场比赛中得分的中位数为12.【点评】本题考查中位数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意中位数的定义和茎叶图的性质的合理运用.12.在△ABC中,若(a+c)(a﹣c)=b(b+c),则∠A=()A.90° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】解:由(a+c)(a﹣c)=b(b+c)变形得:a2﹣c2=b2+bc,即a2=c2+b2+bc根据余弦定理得cosA===﹣,因为A为三角形的内角,所以∠A=120°.故选C【点评】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理的结构特点是解本题的关键.13.函数f(x)=lgx﹣x零点的个数为()A.无穷多 B.3 C.1 D.0【答案】D【解析】解:f′(x)=﹣1=,可知当x=1时,函数f(x)取得最大值,f(1)=﹣1.因此函数f(x)无零点.故选:D.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值判断出零点个数,考查了推理能力与计算能力,属于坐中档题.14.已知x+y=3,则Z=2x+2y的最小值是()A.8 B.6 C. D.【答案】D【解析】解:∵x+y=3,∴Z=2x+2y≥2=2=4当且仅当2x=2y即x=y=时取等号,故选:D【点评】本题考查基本不等式,属基础题.15.已知向量与的夹角为120°,||=3,|+|=,则||=()A.1 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】解:根据条件,=;∴解得,或﹣1(舍去).故选:C.【点评】考查数量积的运算及其计算公式,解一元二次方程,知道.16.从3件正品,2件次品中随机抽取出两件,则恰好是1件正品,1件次品的概率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从5件物品中取两件,共有C52=10种结果,满足条件的事件是取出的两件中恰有一件次品,共有C31C21=6种结果,根据古典概型概率公式得到P==,故选:A.【点评】本题主要考查古典概型,解决古典概型问题时最有效的工具是列举,大纲中要求能通过列举解决古典概型问题,也有一些题目需要借助于排列组合来计数.17.直线x﹣y+3=0被圆(x+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】解:连接OB,过O作OD⊥AB,根据垂径定理得:D为AB的中点,根据(x+2)2+(y﹣2)2=2得到圆心坐标为(﹣2,2),半径为.圆心O到直线AB的距离OD==,而半径OB=,则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==,所以AB=2BD=故选D.【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题,以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形.灵活运用垂径定理解决数学问题.18.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A. B. C. D.【答案】C【解析】解:由题意可得若•==+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.•=﹣•(﹣)====(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.由①②求得λ+μ=,故答案为:.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.二、填空题19.数列{an } 满足a1=1,an+1=2an+3(n∈N),则a4= .【答案】29【解析】解:∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3),∴数列{an+3}是等比数列,公比为2,首项为4,∴an +3=4×2n﹣1,即an=2n+1﹣3,∴﹣3=29.故答案为:29.【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.不等式x2﹣2x<0的解集为.【答案】{x|0<x<2}【解析】解:不等式x2﹣2x<0可化为x(x﹣2)<0,解得:0<x<2;∴不等式的解集为{x|0<x<2}.故答案为:{x|0<x<2}.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,解题时应按照解不等式的一般步骤进行解答即可,是基础题.21.如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在(2,10)内的频率约为.【答案】0.4【解析】解:观察直方图易得数据落在(2,10)内的频率为数据落在(2,6)与(6,10)频率之和.根据频率=组距×矩形的高可得,样本数据落在(2,10)内的频率约为0.02×4+0.08×4=0.4.故答案为:0.4【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,同时考查频率、组距、矩形的高之间的关系.22.已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.【答案】(0,1)∪(1,4)【解析】解:y===函数y=kx﹣2的图象恒过点(0,﹣2)在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值范围是(0,1)∪(1,4)故答案为:(0,1)∪(1,4)【点评】本题主要考查了根的存在性及根的个数判断,同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想,属于基础题.三、解答题23.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面CB1D1;(Ⅱ)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.【答案】见解析【解析】解:(Ⅰ)证明:连接BD.在正方体AC1中,对角线BD∥B1D1.又因为E、F为棱AD、AB的中点,所以EF∥BD.所以EF∥B1D1.又B1D1⊂平面CB1D1,EF⊄平面CB1D1,所以EF∥平面CB1D1.(Ⅱ)因为在正方体AC1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1.又因为在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,所以B1D1⊥平面CAA1C1.又因为B1D1⊂平面CB1D1,所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1.【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理.考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力.24.已知向量=(2cos x,sin x),=(cos x,﹣2cos x).(1)设函数f求f(x)的解析式(2)求f(x)的单调递增区间.【答案】(1)(2)【解析】解:(1)由题意得,向量=(2cos x,sin x),=(cos x,﹣2cosx),∴f(x)==2cos2x﹣2sinxcosx=1+cos2x﹣sin2x=,则f(x)=;(2)由得,,∴f(x)的单调增区间是.【点评】本题考查了向量的数量积运算,二倍角余弦公式及变形,两角和的余弦公式,以及余弦函数的单调性,考查整体思想,化简、变形能力.25.已知数列{an }的前n项和Sn=﹣n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,求an;(2)求数列bn =an+2n的前n项和Tn.【答案】(1)﹣n+(2)2n+1﹣n2+4n﹣2【解析】解:(1)当n=k时Sn=﹣n2+kn取得最大值,此时8=﹣k2+k2,即k2=16,又∵k∈N+,∴k=4,∴Sn=﹣n2+4n,当n≥2时,an =Sn﹣Sn﹣1=(﹣n2+4n)﹣[﹣n(﹣1)2+4(n﹣1)] =﹣n+,又∵a1=S1=﹣+4=满足上式,∴an=﹣n+;(2)由(1)可知bn =an+2n=﹣n++2n,∴Tn=n﹣+=n﹣n2﹣n+2n+1﹣2=2n+1﹣n2+4n﹣2.【点评】本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,考查分组法求数列的和,注意解题方法的积累,属于中档题.。
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是 A.y =B .2(1)y x =-C .2x y -=D .0.5log (1)y x =+2.已知锐角α满足sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α=() A. B .12-C .12D3.若双曲线的中心为原点,(02)F -,是双曲线的焦点,过F 的直线l 与双曲线相交于M ,N 两点,且MN 的中点为(31)P ,,则双曲线的方程为( ) A .2213x y -=B .2213x y -=C .2213y x -=D .2213y x -=4.已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=,则有A .()f x 的图像关于直线π2x =对称 B .()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C .()f x 的最小正周期为π2D .()f x 在区间()0,π内单调递减5.若{}n a 是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是( ) A .{}2naB .1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C .{}3n aD .{}n a6.直线30()x m m R +=∈的倾斜角为( ) A .30B .60︒C .120︒D .150︒7.三角形的三条边长是连续的三个自然数,且最大角是最小角的2倍,则该三角形的最大边长为( ) A .4B .5C .6D .78.设()f x ,()g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,()f x =,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中0k >.若在区间(]0,9上,函数()()()h x f x g x =-有8个不同的零点,则k 的取值范围是( )A.13⎛ ⎝⎭B.13⎡⎢⎣⎭C .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9.下列各命题中,假命题的是( )A .“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B .一度的角是周角的1360,一弧度的角是周角的12π C .根据弧度的定义,180一定等于π弧度D .不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关10.已知变量x 与y 负相关,且由观测数据算得样本平均数2 2.5x y ==,,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A .0.4.7ˆ1yx =+ B .2 1.2ˆ-yx = C .-37.5ˆyx =+ D .-2 6.5ˆyx =+ 11.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin :sin :sin 3:7:8A B C =,则ABC ∆的形状是 A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定12.已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数,那么区间I 可以是( ) A .0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B .,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C .3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题:本题共4小题13.等差数列{}n a 中,32a =,71a =,设n S 为数列{}n a 的前n 项和,则9S =_________.14.把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数,得到如图乙所示的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列{}n a ,若2019n a =,则n =________________.15.已知数列{}n a 从第2项起每项都是它前面各项的和,且11a =,则{}n a 的通项公式是__________. 16.函数()arccos sin y x =,2,33x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的值域是_____. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
安徽省马鞍山市高一第二学期学业水平测试
数学试题
第I 卷(选择题,共36分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 1.已知数列{}n a 中,12211,1,,n n n a a a a a ++===+,则5a =( )
A.0
B.3
C.5
D.8 2.已知0,0,4,a b ab >>=且则23a b +的最小值值为( )
A. 5
B. 10
C.
D. 3.已知,,a b c R ∈,且,0a b ab >≠,则下列不等式一定成立的是( )
A. 33a b >
B. 22ac bc >
C. 11
a b
< D. 22a b >
4.设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若222a b c bc --=,则A 等于( )
A. 150︒
B. 120︒
C. 60︒
D. 30︒ 5
1 )
A .1
B .-1
C .-1或1
D .12
6.设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若8,60,75a B C ===o o ,则b 等于( )
A.
B. C
.
D.
7.不等式2
230x x +->的解集为( )
A. {}31x x x <->或
B. {}
31x x -<<
C. {}
31x x x <->或
D. {}
13x x -<<
8.已知等差数列{}n a 的公差为2,若134,,a a a 成等比数列,则1a 等于( )
A. 4-
B. 6-
C. 8-
D. 10- 9.在ABC ∆
中,若3,4,BC AC AB ===ABC ∆的面积等于( ) A .4- B .6- C .8- D . 10- 10.在等差数列{}n a 中, 145450,0,0a a a a a >+><,则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 的值为( ) A .4 B .5 C .7
D . 8
11.设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若12cos ,sin sin 2
a B c A B ==o
,则ABC ∆为( )
A. 等边三角形
B. 等腰直角三角形
C. 锐角非等边三角形
D. 钝角三角形
12.各项均为正数的等比数列{}n a 中,若3117
2a a
a +≤,则下列结论中正确的是( )
A. 数列{}n a 是常数列
B. 数列{}n a 是递减数列
C. 数列{}n a 是递数列增
D. 数列{}n a 是摆动数列或常数列
第II 卷(非选择题,共64分)
二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分.请在答题卡上答题. 13.数列{}n a 前n 项和2()n S n n N *=∈,则8a = . 14.等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若354,0,a a ==则n S 的最大值是 15.若不等式2
0x ax b -+>的解集为{}
23x x x <>或,则a b += .
16.如图,在离地面高200m 的热气球M 上,观察到山顶C 处的仰角为15°,山脚A 处的俯角为45°,
已知60,BAC ∠=o 则山的高度BC 为 m .
17.若0,0,2,a b a b >>+=则下列不等式恒成立的是(写出所有正确命题的编号) .
223311
1;2;3;2ab a b a b a b
≤+≥+≥+≥①③④⑤
13. 14. 15. 16.
三、解答题:本大题共5个小题,满分44分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分8分)
在等比数列{}n a 中,0,n a >且243,27,a a ==,求公比q 及前6项的和. 19.(本小题满分8分)
在ABC ∆中,a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边,已知1
2,sin 2
a b C ===.求c .
20.(本小题满分8分)已知函数2
()1,
f x ax ax a R
=+-∈
其中.
(Ⅰ)当2
a=时,解不等式()0
f x<;
(Ⅱ)若不等式()0
f x<的解集为R,求实数a的取值范围.21.(本小题满分10分)ABC
∆中,a b c
、、分别为角A B C
、、所对的边.
(Ⅰ)若,,
a b c成等差数列,求sin sin
sin()
A C
A C
+
+
的值;
(Ⅱ)若,,
a b c成等比数列,求角B的取值范围.
22.(本小题满分10分)若数列{}n a 满足2
111
,2
n n
n a a a a +=+=且. (Ⅰ)求2a ,3a 的值;
(Ⅱ)求证: 1
111
1n n n a a a +=-
+ (Ⅲ)记[]x 表示不超过x 的最大整数,如[3.6]3,[ 3.6]4=-=-等.设1
1n n
b a =+,数列{}n b 的前n 项和为n T .求2015[]T .
马鞍山市2014―2015学年度第二学期高一学业水平测试数学必修5参考解答
一、选择题
二、填空题
13. 15;14. 20;15. 11;16. 300;17.①③⑤ 三、解答题
18.解:q=3………………………………………………3分
前6项的和为364……………8分 19.解:c=
20.解:1)(4分)不等式()0f x <的解集为 1122x x ⎧+-+⎪-<<⎨⎪⎪⎩⎭
2)(4分)实数a 的取值范围是{}
40a x -<≤ 21(Ⅰ)
sin sin sin()
A C
A C ++=2…………5分
(Ⅱ) 角B 的取值范围是(0,]3
π
……10分
22.解:(Ⅰ)若23321
,416
a a =
=
……3分 (Ⅱ)证明:2
111111(1)1n n n
n n n n n a a a a a a a a ++=+∴
==-++Q 即1
111
1n n n a a a +=-
+……6分 (Ⅲ)由(Ⅱ)及1
1n n b a =
+知 {}123n 122334111
22
12015112016
42016420162016
1111111111
=++b =))))11=2-=022*******
(1)22022[]1
161622n n n n n n n n n n n n T b b b a a a a a a a a a a a T a a a a a a a a a a a T a a ++++++-+-+-++-=-
∴=-=+>∴=
+>∴>>∴<<∴<-<∴=L L Q Q ((((又又由得数列是递增数列
……………………10分。