山西省长治市宏志中学2020_2021学年高二数学上学期模拟试题理

山西省长治市宏志中学2020-2021学年
高二上学期模拟数学（理）试卷
第I 卷（选择题)
一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知椭圆，则椭圆C 的焦距为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ． 2．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为
1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么的值等于（ ）
A ．7
B ．
C ．-7
D ．24
25
3.双曲线2
21
4x y -=-的渐近线方程是（ ）
A ．20x y ±=
B ．20x y ±=
C ．40x y ±=
D ．40x y ±=
4．设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知各项不为0的等差数列
{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )
A ．1
B ．8
C ．4
D ．2 1342
2=+y x 3)
4tan(πθ+
714221<⋅<y x。

山西省长治市城区职业中学2020-2021学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面α∥平面β，它们之间的距离为，直线，则在β内与直线相距为的直线有 ( )A．1条 B．2条 C．无数条 D．不存在参考答案：B2. 设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2 B．e C．D．ln2参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，解导数方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B3. “”是“，使得是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B4. 下列等于1的积分是（）A．B．C．D．参考答案：C5. 在下列关于点P，直线、与平面、的命题中,正确的是（）A. 若,，则∥B. 若，，，且，则C. 若且,，则D. 若、是异面直线，, ∥, , ∥,则∥.参考答案：D6. 若二面角α﹣L﹣β的大小为，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（）A．B．2 C．2D．2参考答案：A【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设过P，C，D的平面与l交于Q点，可以证出l⊥面PCQD于Q，∠DQC是二面角α﹣l﹣β的平面角，PQ是P到l的距离．且PQ是△PDC的外接圆的直径，在△PCD中利用余弦定理求出CD，最后根据正弦定理可求出PQ，从而求出点P到直线l的距离．【解答】解：设过P，C，D的平面与l交于Q点．由于PC⊥平面α，l?平面M，则PC⊥l，同理，有PD⊥l，∵PC∩PD=P，∴l⊥面PCQD于Q．又 DQ，CQ，PQ?平面PCQD∴DQ⊥l，CQ⊥l．∴∠DQC是二面角α﹣l﹣β的平面角．∴∠DQC=60°且PQ⊥l，所以PQ是P到l的距离．在平面图形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°∴P、C、Q、D四点共圆，也为△PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径．在△PCD中，∵PC=1，PD=2，∠CPD=180°﹣60°=120°，由余弦定理得 CD2=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，CD=在△PDC 中，根据正弦定理=2R=PQ，代入数据得出PQ=．∴点P到直线l的距离为故选：A．7. 椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若，则（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D略8. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A．4种B．10种C．18种D．20种参考答案：B略9. 若命题p：?x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．?x∈R，2x2﹣1＜0 B．?x∈R，2x2﹣1≤0C．?x∈R，2x2﹣1≤0D．?x∈R，2x2﹣1＞0参考答案：C【考点】命题的否定．【专题】计算题．【分析】根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定；【解答】解：命题p：?x∈R，2x2﹣1＞0，则其否命题为：?x∈R，2x2﹣1≤0，故选C；【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；10. 在极坐标系中的点化为直角坐标是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据，，可将点化为直角坐标．【详解】由题意得：，则，点化为直角坐标是：本题正确选项：【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于．参考答案：9【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值．【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b∵在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故答案为：912. 如图是y=f（x）的导数的图象，则正确的判断是（1）f（x）在（﹣3，1）上是增函数（2）x=﹣1是f（x）的极小值点（3）f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数（4）x=2是f（x）的极小值点以上正确的序号为．参考答案：（2）（3）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】由导数的符号与函数的单调性的关系，导数图象在横轴上方的区间，函数是增函数，反之在下方的区间，函数是减函数，由此在结合极值点的定义，对四个命题逐一进行判断，得出正确命题．【解答】解：（1）f（x）在（﹣3，1）上是增函数，不是真命题，在这个区间上导数图象在x 轴下方，应是减函数；（2）x=﹣1是f（x）的极小值点，此命题正确，由导数图象知，此点左侧函数减，右侧函数增，由极小值定义知，是正确命题；（3）f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数是正确命题，由导数图象知在（2，4）上导数值为负，在（﹣1，2）上导数值为正，故正确；（4）x=2是f（x）的极小值点，此命题不正确，由导数图象知，此点左侧导数值为正，右侧为负，应是极小值．综上正确的序号为（2）（3）故答案为（2）（3）13. 已知A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，λ），若，则λ的值为．参考答案：﹣14【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用?即可求出．【解答】解：∵，=（﹣1，6，λ﹣3），．∴=﹣2×（﹣1）﹣6×6﹣2（λ﹣3）=0，解得λ=﹣14．故答案为﹣14．14. 设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k= ．参考答案：4【考点】平面的法向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵α∥β，∴∥，∴存在实数λ使得．∴，解得k=4．故答案为：4．15. 已知函数在(－∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是________.参考答案：函数在上单调递增，又函数的对称轴；解得；16. 在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若的面积S=2，则此三角形的外接圆直径是________。

山西省长治市第二中学2020-2021学年上学期期末考试高二数学（理）试题【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．命题“若2x >，则1x > ”的逆否命题是( ) A ．若2x <，则1x < B ．若2x ≤，则1x ≤ C ．若1x ≤，则2x ≤D ．若1x <，则2x <2．抛物线28x y =的准线方程是( ) A ．2x =B ．2y =C ．2x =-D ．2y =-3．已知空间向量()0,1,1a =，()1,0,1b =-，则a 与b 的夹角为( ) A ．3πB ．4π C ．6π D ．2π 4．曲线()2512x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点分别是（ ）A ．210,,,052⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,,052⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()0,4,8,0-D ．()50,,8,09⎛⎫ ⎪⎝⎭5．焦点在x 轴上，且渐近线方程为2y x =±的双曲线的方程是 ( )A ．2214x y -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．2214y x -= 6．已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7． 已知命题()22:,log 231p x R x x ∀∈++>，命题00:,sin 1q x R x ∃∈>，则下列命题中为真命题的是( ) A.p q ⌝∧⌝B.p q ∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ∧8．已知命题:1p a x a ≤≤+，命题2:40q x x -<，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ( ) A ．(],0[3)-∞+∞，B ．[]0,3C ．()(),03-∞+∞， D ．()0,39．已知倾斜角为60的直线l 通过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线交于,A B 两点，则弦AB =( ) A ．8B ．163C ．16D ．8310．已知直线1y x =-+与椭圆()2222:10x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中点在直线20x y -=上，则此椭圆的离心率为( )AB ．12C ．2D ．211．已知[]2:1,2,0p x x a ∀∈-≥， :,q x R ∃∈使得2220x ax a ++-=，那么命题“p q ∧”为真命题的充要条件是( )A ．2a ≤-或1a =B ．2a ≤-或12a ≤≤C ．1a ≥D ．21a -≤≤12．已知抛物线()2:80C y ax a =>的焦点F 与双曲线()22:102x y D a a a-=>+的焦点重合，过点F 的直线与抛物线C 交于点,A B ，则2AF BF +的最小值为 ( )A ．3+B ．6+C ．7D ．10第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021高二数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．492．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为n3．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．5124．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$$$中的2b =-$，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．166．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72B ．4C ．92D ．57．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．118．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7109．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 10．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，811．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <12．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题13．有一批产品，其中有2件次品和4件正品，从中任取2件，至少有1件次品的概率为______．14．已知一组数据：87,,90,89,93x 的平均数为90，则该组数据的方差为______． 15．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．16．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得101ii x =∑＝80， 101ii y =∑＝20， 110i i i x y =∑＝184， 1210i ix =∑＝720.则家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程为__________．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中， 1221ni i i n i i x y nxy b x nx==-=-∑∑，a ＝y －b x ，其中x ， y 为样本平均值．线性回归方程也可写为ˆy＝ˆb x ＋ˆa . 17．某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________．18．在—次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：由表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为0.6ˆˆyx a =+，若年龄x 的值为50，则y 的估计值为 ．19．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________20．已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y 的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________．三、解答题21．某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据： 单价x （元）66.2 6.4 6.6 6.8 7 销量y （万件） 807473706558数据显示单价x 与对应的销量y 满足线性相关关系．（1）求销量y （件）关于单价x （元）的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使加工后收益P 最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）．参考公式：ˆb=()121()()ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑=1221ni i i n i i x y nxy x nx==--∑∑，ˆˆay bx =- 22．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：关注 不关注 合计 A 城高中家长2050B 城高中家长20合计100（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++）.23．为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表：表2：女生上网时间与频数分布表：（1）若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取两人，求至少有一人上网时间超过60分钟的概率.表3：附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++，()20P K k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82824．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52 销量为y （万份）7.57.16.05.64.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．25．2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表；求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．26．某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元，现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下：测试指标[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)甲515353573乙3720402010根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率．（1）求出乙生产三等品的概率；（2）求出甲生产一件产品，盈利不小于30元的概率；（3）若甲、乙一天生产产品分别为40件和30件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .2．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.3．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->， 以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.4．D解析：D【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+$$$上且2b =-$，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b=+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 由题意可得：14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152⎛≥⨯+ ⎝92=， 当且仅当24,33a b ==时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92. 故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．C解析：C循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=； 第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==L ， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i=-，③应填入：2i i =. 故选：B .本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人； 令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.11．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”. 故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．12．B解析：B 【解析】 【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB PC +u u u r u u u r =PD u u u r，∵20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r ， ∴2PD PA =-u u u r u u u r，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．∴S △PBC =12S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为：P=PBC ABC S S V V =12． 故选B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．二、填空题13．【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事件全都是次品的概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】记事件至少有件次品则其对立事件为全都是次品由古典概型的概率公式解析：56. 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求出事件“至少有1件次品”的对立事件“全都是次品”的概率，再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】记事件:A 至少有1件次品，则其对立事件为:A 全都是次品，由古典概型的概率公式可得()222416C P A C ==，()()151166P A P A ∴=-=-=.因此，至少有1件次品的概率为56，故答案为56. 【点睛】本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中涉及“至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.14．【解析】该组数据的方差为 解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴=该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-=15．【解析】16．y ＝03x －04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为解析：y ＝0.3x －0.4【解析】由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑， 又222172010880nii xnx =-=-⨯=∑，1184108224ni i i x y nxy =-=-⨯⨯=∑，由此得240.3ˆˆˆ,20.380.480bay bx ===-=-⨯=-，故所求回归方程为ˆy 0.30.4x =-，故答案为ˆy0.30.4x =-. 17．【解析】这20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有537730488027257683458925共8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填 解析：25【解析】这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为82205=,故填25.18．【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得将代入解得所以线性回归方程为再将代入得故答案为考点：回归分析及线性回归方程 解析：32【解析】 【分析】 【详解】试题分析： 由题意可得30,20x y ==将()30,20代入0.6ˆˆyx a =+解得ˆ2a =，所以线性回归方程为0.62ˆyx =+，再将50x =代入0.62ˆy x =+得ˆ32y =，故答案为32. 考点： 回归分析及线性回归方程.19．20【解析】试题分析：根据频率分布直方图得视力在09以上的频率为（100+075+025）×02=04∴该班学生中能报A 专业的人数为50×04=20考点：频率分布直方图解析：20 【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，∴该班学生中能报A 专业的人数为50×0.4=20. 考点：频率分布直方图.20．-029【解析】所以残差是解析：-0.29【解析】0.8516082.71ˆ53.29y=⨯-= ,所以残差是5353.290.29.-=- 三、解答题21．（1）ˆ20200yx =-+；（2）6.5元. 【解析】 【分析】（1）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程；（2）由题意写出收益函数P 的解析式，求出P 取最大值时对应的x 值即可． 【详解】解：（1）由题意得，x =16×（6+6.2+6.4+6.6+6.8+7）=6.5， y =16×（80+74+73+70+65+58）=70； 则()61()5 1.20.30 1.5614iii x x y y =--=------=-∑，621()0.250.090.010.010.090.250.7ii x x =-=+++++=∑；所以142007ˆ.b-==- ，() 7020 6.5200ˆˆa y bx =-=--⨯= 所以所求回归直线方程为20200ˆy x =-+． （2）由题意可得，()()()3202ˆ003P yx x x =-=-+-， 整理得P =-20（x -6.5）2+245， 当x =6.5时，P 取得最大值为245；所以要使收益达到最大，应将价格定位6.5元． 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是基础题． 22．（1）详见解析；（2）有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关；（3）0.6. 【解析】 【分析】（1）根据相关数据完成.（2）根据2K 的观测值的计算公式求解，再对应2K 下结论.，（3）关注的人共有50人，根据分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人，算出从5人抽取两的方法数，,A B 两城市各取一人的方法数，再代入古典概型的概率公式求解. 【详解】 （1）（2）由题意，得K 的观测值为()()()()()()22100203030304 3.84150505050n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关. （3）关注的人共有50人，按照分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人.从5人抽取两人有2510C =种不同的方法，,A B 两城市各取一人有1123236C C =⨯=种不同的方法，故所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率为11322560.610C C C ==. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）225；（2）见解析，否；（3）710【解析】 【分析】（1）直接根据比例关系计算得到答案.（2）完善列联表，计算22002.198 2.70691K =≈<，得到答案. （3）5人中上网时间少于60分钟的有3人，记为,,A B C ，上网时间不少于60分钟的有2人，记为,D E ，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【详解】（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数x ，依据题意有30750100x =，解得：225x =. 所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人. （2）根据题目所给数据得到如下列联表：其中()2220060304070200 2.198 2.7061001001307091K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.（3）因为上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3:2， 所以5人中上网时间少于60分钟的有3人，记为,,A B C ，上网时间不少于60分钟的有2人，记为,D E ，从中任取两人的所有基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ，共10种，其中“至少有一人上网时间超过60分钟”包含了7种，∴710P =. 【点睛】本题考查了独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 24．（1）0.275;（2）（ⅰ）0.1b =;（ⅱ）99万元 【解析】试题分析：（1）根据平均值为0.275各组的组中值与面积的乘积之和，计算得；（2）（ⅰ）先求得38x =； 6.2y =，由10y bx =-，得1038 6.2b -=．解得0.1b =；（ⅱ）易得这款保险产品的保费收入为()()()()220100.13600.140f x x x x =+-=--⇒当40x =，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元⇒预计这款保险产品的最大利润为3600.27599⨯=万元．试题解析：（1）收益率的平均值为0.050.10.150.20.250.25⨯+⨯+⨯0.350.30.450.10.050.050.275+⨯+⨯+⨯=．（2）（ⅰ）25303845521903855x ++++===； 7.57.1 6.0 5.6 4.831 6.255y ++++===由10y bx =-，得1038 6.2b -=．解得0.1b =．（ⅱ）设每份保单的保费为()20x +元，则销量为100.1y x =-． 则这款保险产品的保费收入为()()()20100.1f x x x =+-万元． 于是，()()2220080.13600.140f x x x x =+-=--．所以，当40x =，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元． 预计这款保险产品的最大利润为3600.27599⨯=万元． 25．（1）87.25；（2）3，2，；（3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能写出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率. 【详解】这100人的平均得分为：.第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，故共有60人， 用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2， 记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为甲、乙、甲、丙、甲、丁、甲、戊、甲、己、 乙、丙、乙、丁、乙、戊、乙、己 、丙、丁、丙、戊、丙、己、 丁、戊、丁、己 、戊、己共15种情况， 其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况， 故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率，属于中档题.26．（1）110；（2）45；（3）1920元．【解析】【分析】（1）求出乙生产三等品的件数，根据古典概型的概率公式进行求解即可；（2）由条件求出甲在一天中测试指标不小于80的件数，根据古典概型概率公式，即可求出；（3）根据条件求出甲、乙一天中生产一等品、二等品、三等品的产品件数，即可得出结论.【详解】（1）依题意，乙生产三等品，即为测试指标小于80，所求概率为：1371 372040201010P+==+++++．（2）依题意，甲生产一件产品，盈利不小于30元，即为测试指标不小于80，23535734 5153535735P+++==+++++．（3）甲一天生产40件产品，其中三等品的件数为40 (515)8100+⨯=件．二等品的件数为40 (3535)28100+⨯=件．一等品的件数为40(73)41100+⨯=件．乙一天生产30件产品，其中：三等品的件数为30 (37)3100+⨯=件，二等品的件数为30 (2040)18100+⨯=件，三等品的件数为30 (2010)9100+⨯=件．则(83)(10)(2828)30(94)501920+⨯-++⨯++⨯=元．∴估计甲、乙两人一天共为企业创收1920元．【点睛】本题考查求古典概型概率以及简单应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.。

2020-2021学年山西省长治二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）圆（x+2）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+y2＝9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．外离2．（5分）已知椭圆+＝1上点P到某一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．3B．5C．7D．93．（5分）若抛物线y2＝2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x4．（5分）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1）（）A．B．﹣C．﹣D．5．（5分）方程（2x+3y﹣1）＝0所表示的曲线是（）A．一条直线和一条射线B．两条射线C．两条线段D．两条直线6．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．7．（5分）已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x﹣3y+16＝0为d2，则d1+d2的最小值为（）A．3B．4C．D．8．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若P为C 左支上的一点1|＝|F1F2|，且F1到直线PF2的距离为，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．10．（5分）过抛物线C：y2＝6x的焦点F的直线与抛物线C交于点A，B，与抛物线C的准线交于点D，若|AF|：|BF|：|BD|＝7：2：m（）A．B．C．D．11．（5分）直线经过椭圆的左焦点F，B两点，若M为线段AB中点，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线C：（a，b＞0）的离心率为，O为坐标原点，N，且△OMN为直角三角形，若，则C的方程为（）A．B．C．D．＝1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y＝x2的准线方程是．14．（5分）若直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0垂直，则a ＝．15．（5分）已知F1，F2为双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为．16．（5分）如图，△BCE中，BC＝BE，且∠CAE＝60°，△ABC的内切圆与边AC相切于D，E为焦点且过点A的椭圆的离心率为e1，以C，E为焦点且过点A的双曲线的离心率为e2，则e1+e2的值为．三、解答题：本大题共70分17．（10分）曲线C的方程为：．（1）当m为何值时，曲线C表示双曲线？（2）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？18．（12分）已知直线2x﹣y﹣1＝0与直线x﹣2y+1＝0交于点P．（1）求过点P且平行于直线3x+4y﹣15＝0的直线l1的方程；（2）在（1）的条件下，若直线l1与圆x2+y2＝2交于A、B两点，求直线与圆截得的弦长|AB|．19．（12分）在圆x2+y2＝4上任取一点P，过P作x轴的垂线段PD，D为垂足．（1）当点P在圆上运动时，求线段PD中点Q的轨迹方程；（2）直线与Q的轨迹交于A，B两点，20．（12分）已知点在抛物线y2＝2px（p＞0）上．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点F的直线交抛物线于A，B两点，，设EA斜率为k1，EB斜率为k2，判断是否为定值？如果是，求出这个定值，请说明理由．21．（12分）已知椭圆经过点，且椭圆的一个焦点为．（1）求椭圆E的方程；（2）若以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点B，C落在椭圆E上，求证：直线BC过定点22．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2+4y2＝1，抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F是C的一个顶点．直线与抛物线在第一象限交于点P，B，记AB的中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于M．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线l与y轴交于点G，求S△PFG与S△PDM比值的最大值．2020-2021学年山西省长治二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）圆（x+2）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+y2＝9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．外离【分析】根据题意，求出两个圆的圆心和半径，进而求出圆心距，分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆（x+2）2+y5＝4，其圆心为（﹣2，半径r＝2，圆（x﹣2）2+y7＝9，其圆心（2，半径R＝4，两圆的圆心距d＝4，有3﹣3＜d＜3+2，故选：B．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．2．（5分）已知椭圆+＝1上点P到某一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．3B．5C．7D．9【分析】由题意知a＝6，b＝4，c＝2，再结合椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝12，从而解得．【解答】解：∵椭圆的方程为+＝4，∴a＝6，b＝4，设焦点为F1，F2，不妨设|PF4|＝3，∵|PF1|+|PF2|＝2a＝12，∴|PF2|＝12﹣|PF7|＝9，故选：D．【点评】本题考查了椭圆的定义的应用及椭圆的标准方程的应用，属于中档题．3．（5分）若抛物线y2＝2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x【分析】由已知条件，利用抛物线的性质得到，求出p的值，由此能求出抛物线的标准方程．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞6）上一点P（2，y0）到其准线的距离为7，∴，解得p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝5x．故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握抛物线的性质．4．（5分）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1）（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】利用中点坐标公式可得P，Q，再利用斜率的计算公式即可得出，【解答】解：设P（x，1），y）．∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣7），∴，解得x＝﹣5．∴P（﹣5，5），∴直线l的斜率＝＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了中点坐标公式、斜率的计算公式，属于基础题．5．（5分）方程（2x+3y﹣1）＝0所表示的曲线是（）A．一条直线和一条射线B．两条射线C．两条线段D．两条直线【分析】由已知的方程得到2x+3y﹣1＝0或＝0．然后在满足根式有意义的前提下化简＝0．从而得到方程（2x+3y﹣1）＝0表示的曲线．【解答】解：由（2x+3y﹣6）＝0，得8x+3y﹣1＝8或＝0．即8x+3y﹣1＝7（x≥3）为一条射线，或x＝3为一条直线．∴方程（2x+3y﹣1）＝0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选：A．【点评】本题考查了曲线与方程，关键是对含有根式方程的化简，是中档题．6．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则点P 到x轴的距离为（）A．B．C．D．【分析】由椭圆的方程求出c的值，设出点P的坐标，再利用椭圆中焦点三角形的面积公式即可求解．【解答】解：由椭圆的方程可得：a＝10，b＝8，所以|F1F4|＝2c＝12，在椭圆中，由焦点三角形的面积公式可得三角形PF1F2的面积为b，设点P的坐标为（x，y），则三角形F4PF2的面积还可以表示为S＝＝，所以|y|＝，即点P到x轴的距离为，故选：C．【点评】本题考查了椭圆的性质以及焦点三角形的面积问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．7．（5分）已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x﹣3y+16＝0为d2，则d1+d2的最小值为（）A．3B．4C．D．【分析】利用抛物线的定义，将d1+d2的取值转化为点到直线的距离即可求解．【解答】解：因为抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，所以过焦点F作直线4x﹣3y+16＝3的垂线，则F到直线的距离为d1+d2的最小值，如图所示：所以故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义的应用，涉及到点到直线的距离公式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．8．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x＝1上，可设圆心P（1，p）|p|＝，得p＝圆心坐标为P（5，），所以圆心到原点的距离|OP|＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．9．（5分）设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若P为C 左支上的一点1|＝|F1F2|，且F1到直线PF2的距离为，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的定义以及已知条件，结合勾股定理转化求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：|PF1|＝|F1F2|＝2c．|PF2|﹣|PF4|＝2a，∴|PF2|＝8a+2c，由（2c）6＝（a+c）2+（a）4，得3c2﹣4ac﹣8a2＝（c﹣3a）（3c+4a）＝2，所以＝22+b6＝4a2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为：．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．10．（5分）过抛物线C：y2＝6x的焦点F的直线与抛物线C交于点A，B，与抛物线C的准线交于点D，若|AF|：|BF|：|BD|＝7：2：m（）A．B．C．D．【分析】由抛物线定义，相似三角形对应线段成比例，可以直接求出．【解答】解：如图所示：分别过A，B点作准线的垂线，N，再过点B作BE⊥AM，由抛物线的定义可得：|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，设|AF|＝7a，|BF|＝2a，显然BN∥AM，BE∥MN，则sin∠ABE＝，所以sin，解得m＝，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的定义以及三角形的关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．11．（5分）直线经过椭圆的左焦点F，B两点，若M为线段AB中点，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得﹣c+＝0，解得c＝①，由∠MFO＝∠MOF，推出k OM＝﹣k AB＝﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则+＝1，+＝1，两式相减得，k OM•k AB＝﹣＝﹣②，a2＝b2+c2③，由①②③解得a2，b2，进而可得椭圆的方程．【解答】解：因为直线经过椭圆，0），所以﹣c+＝7，①因为∠MFO＝∠MOF，所以k OM＝﹣k AB＝﹣，设A（x1，y1），B（x7，y2），M（x0，y5），所以+＝1，+，两式相减得，+＝2，所以+•＝0，所以+•＝0，所以+•＝8，所以+k OM•k AB＝0，所以k OM•k AB＝﹣＝﹣，所以＝，②又因为a2＝b4+c2，③解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为+y2＝4．故选：C．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知双曲线C：（a，b＞0）的离心率为，O为坐标原点，N，且△OMN为直角三角形，若，则C的方程为（）A．B．C．D．＝1【分析】由双曲线的离心率可得渐近线的倾斜角，如图所示，由双曲线的渐近线的对称性可得∠MON＝60°＝2∠MOF，进而可得MF，ON与OM的关系，再由三角形OMN 的面积可得OM的值，进而求出MF的值，再由焦点到渐近线的距离可得MF，求出a，b的值，进而求出双曲线的方程．【解答】解：由双曲线的离心率e＝＝，可得＝，设∠OMN＝90°，所以MF＝，ON＝2OM，因为S△OMN＝sin60°＝2＝3，即OM＝，所以MF＝＝1，而焦点F（c，4）到渐近线bx﹣ay＝0的距离d＝MF＝，所以b＝1，a＝，所以双曲线的方程为：﹣y2＝4，故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质及直角三角形的面积公式，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y＝x2的准线方程是4y+1＝0．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p＝1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2＝y，焦点在y轴上；所以：2p＝3，即p＝，所以：＝，∴准线方程y＝﹣＝﹣．故答案为：3y+1＝0．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．14．（5分）若直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0垂直，则a＝．【分析】当a＝1时，经检验，两直线不垂直；当a≠1时，由斜率之积等于﹣1可得＝﹣1，解得a值．【解答】解：当a＝1时，直线l1：x+4y+6＝0，直线l4：x+a2﹣1＝4，显然两直线不垂直．当a≠1时，由斜率之积等于﹣1可得，解得a＝故答案为【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，要注意斜率不存在时的情况，这是解题的易错点．15．（5分）已知F1，F2为双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为．【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵MF1与x轴垂直，sin∠MF2F2＝，∴设MF8＝m，则MF2＝3m，由双曲线的定义得4m﹣m＝2a，即2m＝7a，在直角三角形MF2F1中，8m2﹣m2＝3c2，即8m7＝4c2，即2a2＝4c2，即2a2＝c2，则a＝c，则e＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定4义是解决本题的关键．16．（5分）如图，△BCE中，BC＝BE，且∠CAE＝60°，△ABC的内切圆与边AC相切于D，E为焦点且过点A的椭圆的离心率为e1，以C，E为焦点且过点A的双曲线的离心率为e2，则e1+e2的值为．【分析】设M，G分别是BC，BE与圆的切点．设AG＝AD＝1，由AD：AC＝1：6，可得AC＝6由圆的切线的性质可求得AE＝4，则以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1＝；以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2＝，从而可得答案．【解答】解：如图，设M，BE与圆的切点．由圆的切线的性质可得BM＝BG，AG＝AD，又因为BC＝BE，所以BC﹣BM＝BE﹣BG，设AG＝AD＝1，由AD：AC＝1：2，则CD＝CM＝GE＝5，AE＝GE﹣AG＝4，在△ABE中，CE8＝AC2+AE2﹣3CA•EA cos60°＝28，即CE＝2所以以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e4＝＝＝；以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2＝＝，所以e1+e2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的简单性质，属于中档题．三、解答题：本大题共70分17．（10分）曲线C的方程为：．（1）当m为何值时，曲线C表示双曲线？（2）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？【分析】（1）由题意可得，（5﹣m）（m﹣2）＜0，求解一元二次不等式得答案；（2）由题意可得，5﹣m＞m﹣2＞0，求解不等式组得答案．【解答】解：（1）由表示双曲线，得（8﹣m）（m﹣2）＜0，解得m＜3或m＞5，∴当m＜2或m＞3时，曲线C表示双曲线；（2）若表示焦点在x轴上的椭圆，则4﹣m＞m﹣2＞0，解得：，∴当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆．【点评】本题是圆锥曲线综合题，考查椭圆与双曲线的方程，是基础题．18．（12分）已知直线2x﹣y﹣1＝0与直线x﹣2y+1＝0交于点P．（1）求过点P且平行于直线3x+4y﹣15＝0的直线l1的方程；（2）在（1）的条件下，若直线l1与圆x2+y2＝2交于A、B两点，求直线与圆截得的弦长|AB|．【分析】（1）根据题意，设直线l1的方程为3x+4y+m＝0，联立两个直线的方程，解可得P的坐标，将P的坐标代入直线方程，解可得m的值，即可得直线l1的方程，（2）根据题意，分析圆心的坐标和半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设直线l1的方程为3x+3y+m＝0，直线2x﹣y﹣7＝0与直线x﹣2y+5＝0交于点P，则，解可得，1）；点P在l1上，则有2+4﹣m＝0；故直线l4的方程为3x+4y﹣2＝0；（2）圆x2+y6＝2的圆心为（0，6），则圆心O（0，7）到直线l1：3x+5y﹣7＝0的距离，所以．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及直线平行的判断，属于综合题．19．（12分）在圆x2+y2＝4上任取一点P，过P作x轴的垂线段PD，D为垂足．（1）当点P在圆上运动时，求线段PD中点Q的轨迹方程；（2）直线与Q的轨迹交于A，B两点，【分析】（1）设点Q的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），根据题意可得P，Q坐标关系式，由点P在圆上，推出点Q坐标满足的关系式，即可得出答案．（2）联立直线与椭圆的方程，得到关于x的一元二次方，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，再由弦长公式可得|AB|长度，由点到直线的距离公式可得点M到直线的距离d，再计算S＝•|AB|•d即可得出答案．△MAB【解答】解：（1）设点Q的坐标为（x，y）0，y0），则，因为点P（x6，y0）在圆x2+y6＝4上，所以上，把代入2+4y8＝4，即，所以为Q的轨迹方程．（2）联立，化简得，设A（x1，y5），B（x2，y2），则x6+x2＝，x1x2＝．所以|AB|＝＝＝，点M到直线的距离为，所以．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．20．（12分）已知点在抛物线y2＝2px（p＞0）上．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点F的直线交抛物线于A，B两点，，设EA斜率为k1，EB斜率为k2，判断是否为定值？如果是，求出这个定值，请说明理由．【分析】（1）点的坐标代入抛物线方程求解p，然后推出抛物线方程．（2）是定值为0，证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率的倒数求和，化简转化即可得到结果．【解答】（1）解：由题，即p＝52＝2x．（2）解：是定值为0设A（x1，y7），B（x2，y2），直线l的方程为，由，得y2﹣2my﹣1＝5，所以y1+y2＝5m，y1y2＝﹣4，因为，，，所以＝，得证．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（12分）已知椭圆经过点，且椭圆的一个焦点为．（1）求椭圆E的方程；（2）若以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点B，C落在椭圆E上，求证：直线BC过定点【分析】（1）由题可知，解得a2＝4，b2＝2，进而可得椭圆E的方程．（2）设BC所在直线l方程为x＝ty+m，联立直线BC与椭圆的方程得关于y的一元二次方程，可由△＞0，推出m2＜2t2+4，设B（x1，y1），C（x2，y2），由韦达定理可得y1y2，y1+y2，由，推出3m2﹣8m+4＝0，解得m，进而可得直线BC经过的定点．【解答】解：（1）由题可知，，解得a2＝4，b5＝2，所以椭圆E的方程为．（2）证明：由题知斜边BC不可能和x轴平行，所以设BC所在直线l方程为x＝ty+m，与方程联立消去x整理得（t8+2）y2+7tmy+m2﹣4＝2，△＝4t2m4﹣4（m2﹣5）（t2+2）＞5，即m2＜2t2+4，设B（x1，y3），C（x2，y2），则有，由题可知，即，化简得3m2﹣8m+4＝0，所以m＝2（舍）或，可得BC所在直线l的方程为，所以直线BC恒过定点．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2+4y2＝1，抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F是C的一个顶点．直线与抛物线在第一象限交于点P，B，记AB的中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于M．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线l与y轴交于点G，求S△PFG与S△PDM比值的最大值．【分析】（1）求出椭圆C的上顶点F，然后求解抛物线E的方程．（2）直线与x2＝2y联立，可得x2﹣2kx+k2＝0，解得x＝k，，求出G的坐标，然后求解三角形的面积，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出D，联立直线与椭圆方程，可得（1+4k2）x2﹣4k3x+k4﹣1＝0，利用韦达定理，以及三角形的面积，转化求解面积的比值，推出最大值即可．【解答】解：（1）由题意椭圆C：x2+4y7＝1，即，上顶点为：（0，），抛物线E的焦点F与椭圆C的上顶点重合，即F，故抛物线E的方程为x2＝2y．（2）直线与x2＝5y联立，可得x2﹣2kx+k7＝0，解得x＝k，令x＝0，则，故，．（k＞7）设A（x1，y1），B（x8，y2），则，联立，可得（1+2k2）x2﹣5k3x+k4﹣2＝0，所以，可得，则直线，令x＝k，，则，令2+2k2＝t（t≥5），则＝，当t＝2，即时，取得最大值．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．第21页（共21页）。

2020-2021高二数学上期中模拟试卷及答案(3)一、选择题1．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +2．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．453．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4554．用秦九韶算法求多项式()54227532f x x x x x x =+++++在2x =的值时，令05v a =，105v v x =+，…，542v v x =+，则3v 的值为（ ）A ．83B ．82C ．166D ．1675．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 6．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A．2018B．2019C．12D．27．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）A．35B．13C．415D．158．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A．6B．10C．8D．49．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③10．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )A ．7B ．4C ．5D ．1111．下列说法正确的是（ ）A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r = 12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题13．已知一组数据：87,,90,89,93x 的平均数为90，则该组数据的方差为______． 14．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________．15．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．16．已知01a ≤≤，11b -≤≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______．17．已知多项式32256f x x x x =--+（），用秦九韶算法，当10x =时多项式的值为__________．18．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．19．某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为________．（结果用分数表示）20．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y x =上的概率为________．三、解答题21．中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占13，他们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的22⨯列联表：物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计对此事关注 对此事不关注 合计②是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：22．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：（1）画出散点图；（2）如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？23．光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？24．如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码17~分别表示对应年份20122018~.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r （0.75r >线性相关较强）加以说明；（2）建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量. （参考数据）719.32i i y ==∑，()()712.89i i i t ty y =--≈∑()7210.55i i y y =-≈∑，()7212 2.646i i t t =-≈⨯∑，()72128i i t t=-≈∑，2.890.992 2.6460.55≈⨯⨯，2.890.10328≈.（参考公式）相关系数()()()()12211niii nniii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑，在回归方程$$y bta =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.25．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表： 年份x2014 2015 2016 2017 2018 储蓄存款y （千亿元）567810为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令2013,t x =-5=-z y ），得到下表： 时间t 1 2 3 4 5 储蓄存款z1235（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 26．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．（I ）求线性回归方程；（参考数据：411120i ii x y==∑，421440i i x ==∑）（II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．2．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．3．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组，所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用秦九韶算法，求解即可.【详解】利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：()((((75)3)1)1)2f x x x x x =+++++按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当2x =时的值：07v =172519v =⨯+= 2192341v =⨯+= 3412183v =⨯+=故选：A 【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．7．C解析：C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==；故12415p p p =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.8．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.11．B解析：B 【解析】 【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题13．【解析】该组数据的方差为 解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴=该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-=14．【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数再求出点数之积为奇数的基本事件的总数再利用古典概型的概率公式求解【详解】由题得总的基本事件个数为两次点数之积为奇数的基本事件的个数为由古典概型的概率公式得故答解析：14【解析】 【分析】先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】由题得总的基本事件个数为66=36⨯，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为33=9⨯，由古典概型的概率公式得91364P ==. 故答案为：14【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52解析：52 【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．16．【解析】【分析】有实根则由根的判别式大于零可得之间的关系利用面积型概率求解【详解】关于x 的方程有实根则故答案为【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目根据题意求出判别式大于零的情况满足条件然后结合图 解析：14【解析】 【分析】有实根则由根的判别式大于零，可得a 、b 之间的关系，利用面积型概率求解 【详解】11a -≤≤Q ，11b -≤≤，224u S ∴=⨯=，Q 关于x 的方程220x ax b ++=有实根2240a b ∴->，()()220a b a b +->121112q S ∴=⨯⨯⨯=则14p =故答案为14【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目，根据题意求出判别式大于零的情况满足条件，然后结合图像求出面积即可得到结果，较为基础17．【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可详解：由题意可得：当时故答案为点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：756【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式，然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可. 详解：由题意可得：()()322256256f x x x x x x x =--+=--+()256x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，当10x =时，()()10102105106756f =-⨯-⨯+=⎡⎤⎣⎦. 故答案为 756．点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.19．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发所以基本事件总数包括的时间长度为15由于出发前要停靠3分钟所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间 解析：215【解析】由题意知，这是一个几何概型，因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发，所以基本事件总数包括的时间长度为15，由于出发前要停靠3分钟，所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为15132-= ，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为215P =。

2020-2021学年山西省长治市职中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值（）A．－8 B．－1 C． 1 D． 8参考答案：D2. 设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β参考答案：C略3. 已知奇函数是定义在R上的减函数，且，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.【详解】，即：又是定义在上的减函数又为奇函数，即：本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.4. 等差数列{a n}的公差是2，若成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A. B.C. D.参考答案：A试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．5. 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3参考答案：A6. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（）A． B． C．或D．参考答案：B略7. 设，则的展开式中的常数项为（）A. 20B. －20C. －15D. 15参考答案：B【分析】利用定积分的知识求解出，从而可列出展开式的通项，由求得，代入通项公式求得常数项.【详解】展开式通项公式为：令，解得：，即常数项为：本题正确选项：B【点睛】本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式的形式.8. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是A．或 B．C．或 D．或参考答案：D略9. 已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A．2 B．C．﹣1 D． +1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：﹣1=．故选：C．10. 已知向量，，且，则x的值为（）A．－14 B．10 C．12 D．14参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线的点到坐标原点的距离的最小值为参考答案：12. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是________．参考答案：13. 已知函数f （x ）=x 3﹣3x+1，则= ．参考答案：﹣【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：∵f（x）=x 3﹣3x+1， ∴f′（x ）=3x 2﹣3 ∴f′（）=3×﹣3=﹣，故答案为：14. 若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m 的最小值为 ．参考答案：1【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围． 【解答】解：“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1， 实数m 的最小值为：1． 故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．15. 已知是纯虚数，是实数，则参考答案：略16. 若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________。

2020-2021学年山西省长治市第二中学校高二上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．如图所示的组合体，其结构特征是（）A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体【答案】D【解析】由已知图形，结合棱柱定义，即可得出结论.【详解】根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体.故选:D.【点睛】本题考查几何体的识别，掌握定义是解题的关键，属于基础题.2．给出下列四个说法，其中正确的是（）A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内；B．三条平行直线共面；C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；D．空间三点确定一个平面.【答案】C【解析】用立体几何中的公理及公理的推论对每个选项进行判别，可得到答案.【详解】对A：根据立体几何公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.显然，A中的直线AB在平面α内，故A不正确；对B：三条平行直线，可以共面，也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面，故B不正确；对C：根据立体几何公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.显然，如果两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点，故C正确；对D：根据立体几何公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.显然，任意三点，不一定确定一个平面.故D不正确；综上所述，只有C正确.故答案为：C.【点睛】本题考查立体几何中点、线、面位置关系中的三个公理，属于基础题.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．272B．92C．212D．292【答案】B【解析】根据三视图特征，在棱长为3的正方体中截取出符合题意的立体图形，该几何体为三棱锥A BCD-，求出三棱锥的体积即可.【详解】根据三视图特征，在棱长为3的正方体中截取出符合题意的立体图形，该几何体为三棱锥A BCD-，所以11193333322 A BCD BCDV S AC-=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的体积，解题关键是根据三视图画出立体图形，考查学生的空间想象能力与分析解决问题的能力，属于基础题.4．设α、β、γ是三个不同平面，l 是一条直线，下列各组条件中可以推出//αβ的有（ ）①l α⊥，l β⊥ ②//l α，l β// ③//αγ，//βγ ④αγβγ⊥⊥， A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】A【解析】根据线面垂直的性质，面面平行的判断定理及性质，以及空间中平面间的位置关系，即可得出结论. 【详解】①垂直于同一条直线的两个平面平行；因为l α⊥，l β⊥，所以//αβ；故①正确； ②因为//l α，l β//，所以α与β可能平行或相交；故②错；③平行于同一个平面的两个平面平行；因为//αγ，//βγ，所以//αβ；故③正确； ④因为αγβγ⊥⊥，，则α与β可能平行或相交；故④错； 故选：A. 【点睛】本题主要考查判断面面平行，熟记面面平行的判定定理及性质，以及线面垂直的性质即可，属于常考题型.5．直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直C ．在平面α内D ．无法确定【答案】D【解析】作出正方体1111ABCD A B C D -，以平面ABCD 为平面α，对直线l 分别为AB 、1AA 、11A B 、1AB 进行分类讨论，可得出结论.【详解】 如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，以平面ABCD 为平面α. ①以直线AB 为直线l ，则l AD ⊥，l BC ⊥，此时l α⊂；②以直线11A B 为直线l ，//l AB ，AB AD ⊥，则l AD ⊥，同理可得l BC ⊥，此时//l α； ③以直线1AA 为直线l ，则l AD ⊥，l BC ⊥，此时l α⊥； ④以直线1AB 为直线l ，AD ⊥平面11AA B B ，l ⊂平面11AA B B ，则l AD ⊥，同理可得l BC ⊥，此时直线l 与平面α斜交. 因此，直线l 与平面α的位置关系不确定. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与平面位置关系的判断，属于基础题.6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ．22+B ．122C ．222+ D ．12【答案】A【解析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，根据梯形面积公式即可求解. 【详解】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(121)2222S =++⨯=+. 故选：A. 【点睛】本题考查斜二测直观图的特点，属于基础题.7．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,AD C D 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（ ）A ．直线1,EF OD 是异面直线，且1EF OD =B ．直线11,OD B B 是异面直线且11OD B B ≠C ．直线1,EF OD 是相交直线，且1EF OD = D ．直线11,OD B B 是相交直线且11OD B B =【答案】C【解析】根据题意画出图像，再判断EF 和1OD 的位置关系和长度，1OD 和1B B 的位置关系和长度即可得到答案. 【详解】根据题意画出图像如图所示，由图像易知，1OD 和1B B 在矩形11BB D D 上，1OD 和1B B 是相交直线，且11OD B B ≠，故选项B 、D 错误；O 为正方形ABCD 的中心，E 为AD 的中点，所以//OE CD ，且12OE CD =， 又点F 为11C D 的中点，所以1//D F CD ，且112D F CD =， 所以1//OE D F ，且1OE D F =，四边形1OED F 是平行四边形， 则EF 和1OD 是1OED F 的两条对角线， 所以EF 和1OD 是相交直线，且1EF OD =； 故选项A 错误，C 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查空间两直线的位置关系，考查学生数形结合的能力，属于基础题. 8．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案． 【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下： 观察可知截面不可能出现直角三角形. 故选：C【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．9．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法不一定正确的是（ ） A ．圆锥的高为1B ．三角形PAB 为等边三角形C ．三角形PAB 面积的最大值为2D ．直线PA 与圆锥底面所成角的大小为6π 【答案】B【解析】直接利用勾股定理的应用求出圆锥的高，进一步判定三角形的形状和直线与平面的夹角． 【详解】解：圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3， 如图所示：所以圆锥的高为()22231h =-=．故选项A 一定正确；由于A 和B 为底面圆周上两个动点，由于满足P A ＝PB ，所以△P AB 为等腰三角形，故选项B 不一定正确．由于122sin 2PABSAPB =⨯⨯⨯∠， 当sin 1APB ∠=时，即22AB =（因为直径长为23，22AB =必能取到）时，三角形P AB 面积的最大值为2．故选项C 一定正确；直线P A 与圆锥底面所成角为直线P A 和AO 所成的角，即∠P AO ， 在△APO 中，1sin 2PO PAO AP ∠==， 所以6PAO π∠=，故选项D 一定正确．故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：圆锥的性质的应用，直线与平面所成角的求解，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．()6223++ B ．()6225++C ．10D ．12【答案】B【解析】作出多面体的直观图，将各面的面积相加可得出该多面积的表面积. 【详解】由三视图得知该几何体的直观图如下图所示：由直观图可知，底面ABCD 是边长为2的正方形，其面积为224=；侧面PCD 是等腰三角形，且底边长2CD =，底边上的高为2，其面积为12222⨯⨯=， 且22125PC PD ==+=；侧面PAD 是直角三角形，且PDA ∠为直角，5PD =，2AD =，其面积为12552⨯⨯=，PBC PAD ∆≅∆，PBC ∆的面积为5； 侧面积PAB 为等腰三角形，底边长2AB =，223PA PB PD AD ==+=，底边上的高为22222AD h PA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，其面积为1222222⨯⨯=. 因此，该几何体的表面积为()4255226225++++=++，故选B.【点睛】本题考查几何体的三视图以及几何体表面积的计算，再利用三视图求几何体的表面积时，要将几何体的直观图还原，并判断出各个面的形状，结合图中数据进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A ．线段BM 的长度是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．存在某个位置，使MB 平面A 1DE 【答案】C【解析】取CD 中点N ，连接MN ，BN ，利用线面平行的判定定理和性质定理可以证明MB 平面A 1DE 恒成立，从而判定D 正确；利用三角形MNB 中的边角定值分析可得BM 是定值，从而判定A 、B 正确；根据排除法，或者利用面面垂直的判定定理与性质，证明OC 与DE 不垂直.从而判定C 不正确.【详解】解：取CD 中点N ，连接MN ，BN ，则MN DA 1，BN DE ，所以平面MBN 平面A 1DE ，所以MB 平面A 1DE ，故D 正确； 由∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值， 由余弦定理可得2222?·MB MN NB MN NB cos MNB =+-∠， 所以MB 是定值，故A 正确；因为B 是定点，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，故B 正确； 连接AN,EN,设AN,DE 交点为F ,连接1A F ，易知ADNE 为正方形，,BD AN ∴⊥ 又在折叠过程中1A F DE ⊥始终不变，∴直线DE ⊥平面1A AN ,∴平面1A AN ⊥平面ABCD ,根据面面垂直的性质定理可得A 1在平面ABCD 中的射影O 在线段AN 上， A 1C 在平面ABCD 中的射影为OC ，由于CFD ∠是直角，所以OC 与DE 不垂直，∴DE ⊥A 1C 不可能，可得C 不正确.故选：C.【点睛】本题考查线面、面面垂直、平行关系的判定与应用，属中高档题，难度较大.12．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2.E ，F 分别是侧面11ACC A 和侧面11ABB A 上的动点，满足二面角1A EF A --为直二面角.若点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，则点P 的轨迹的面积是 （ ）A ．3πB ．23π C ．43π D ．83π 【答案】B【解析】根据已知条件得P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面，再根据球的面积公式求解即可. 【详解】解：∵ 二面角1A EF A --为直二面角 ∴ 平面AEF ⊥平面1EFA ，又∵ 点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，AP ⊂平面AEF ，平面AEF平面1EFA EF =∴ AP ⊥平面1EFA ，连接1A P ，∴ AP ⊥1A P ，∴ P 在以1AA 为直径的球上，且P 在三棱柱111ABC A B C -内部， ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面， 又∵ 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球面，占球面的16， ∴ 点P 的轨迹的面积是12463S ππ=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查立体几何面面垂直的性质定理，考查空间想象能力，是中档题.二、填空题13．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为______. 【答案】3π 【解析】由已知正四棱锥的底面边长为2，可以求出底面正方形对角线的一半，再利用高为3，从而可以求出它的侧棱与底面所成角. 【详解】如图正四棱锥P ABCD -中，2AB =，3PO =PO ⊥底面ABCD ，所以2AC =，1AO =，PAO ∠即为侧棱PA 与底面ABCD 所成角， 在APO △中，3tan 1PO PAO AO ∠==， 所以3PAO π∠=.故答案为：3π【点睛】本题主要考查了求线面角，以及正四棱锥的性质，属于中档题. 14．如图所示，在圆锥SO 中，AB CD ，为底面圆的两条直径，ABCD O =，且AB CD ⊥,2SO OB ==，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为__________.2【解析】由于SA 与PD 是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线SA 与PD 所成角，由此连接OP 再利用中位线的性质得到异面直线SA 与PD 所成角为OPD ∠ ,并求出其正切值．【详解】连接PO ，则PO SA ，OPD ∴∠即为异面直线SA 与PD 所成的角，又SO CD ⊥，AB CD ⊥，SOAB O =，CD 平面SAB ，CD OP ∴⊥，即DO OP ⊥，OPD ∴为直角三角形， tan 22OD OPD OP ∴∠===【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线．15．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝60°，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为_______． 【答案】163π 【解析】画出几何体的图像，通过底面外心的且垂直于底面的垂线以及AB 的垂直平分线，确定球心的位置，计算出球的半径，由此求得球的表面积. 【详解】画出几何体的图像如下图所示，由于,60BC CD BCD =∠=，所以三角形BCD 为等边三角形，设其外心为1O ,则球心是过1O 且垂直于底面BCD 的直线与线段AB 的垂直平分线的交点处，如图所示.其中1131,132O B OO AB ===，故外接球的半径22223413R OB ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭，外接球的表面积为216π4π3R =.【点睛】本小题主要考查三棱锥的外接球表面积，考查了外接球如何确定球心的知识，考查了等边三角形的几何性质.要找到一个几何体外接球的球心，先在一个面上找到这个面的外心，球心就在这个外心的正上方，再结合另一个面的外心或者中垂线，由此确定外接球球心所在的位置.属于中档题.16．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B 是母线SA 上一点，且10AB =公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路.这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______________公里.【答案】18【解析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ，记点P 为A B '上任意一点，联结PS ，402102A A A SA SA A SA A SA ππ''''=∠⋅∴∠=⋅∴∠=，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，2222403050A B SA SB ''=+=+， 上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的HB ，由Rt Rt SA B H SB '△∽△，得22301850SB HB A B ==='. 故答案为：18 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图、解三角形，考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.三、解答题17．（1）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为4π，求球的表面积（2）正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高【答案】（1）S 20π=球（2）侧棱长933；斜高2213【解析】（1）截面圆的半径r =2，球半径R =22125+=，得到球表面积. （2）如图所示：计算433OA =，11233O A =，233OE =，1133O E =，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】（1）截面圆的半径r =2，球半径R =22125+=，2S 4R 20ππ==球 （2）正三棱台111-ABC A B C 中，高13OO =，底面边长为112A B =，4AB =， 故3433OA AB ==，11113233O A A B ==， 侧棱长1AA =22429333333+-=（）， 又23OE =，113O E =，斜高1EE =222323321333+-=（）.【点睛】本题考查了球的表面积，三棱台的相关计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 18．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，1AC CC =，D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且//BC 平面1A DE .（1）证明：DE //11B C ； （2）求证：11AC A B ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用线面平行的性质定理可得//BC DE ，从而得到11//B C DE . （2）连接1A C ，可证1AC ⊥平面1A BC ，从而得到11AC A B ⊥. 【详解】（1）因为//BC 平面1A DE ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面1A DE DE =，所以//BC DE .又在直棱柱111ABC A B C -中，有11//BC B C ，所以11//B C DE .(2)连接1A C ，因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，所以1BC CC ⊥.又因为BC AC ⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1ACCC C =，所以BC ⊥平面11ACC A .又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥. 在直棱柱111ABC A B C -中，有四边形11AAC C 为平行四边形. 又因为1AC CC =，所以四边形11AAC C 为菱形，所以11AC AC ⊥. 又1BCAC C =,BC ⊂平面1A BC ,1AC ⊂平面1A BC ， 所以1AC ⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，所以11AC A B ⊥. 【点睛】线线平行的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如三角形的中位线、梯形的中位线等；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）线面垂直的性质定理（同垂直一个平面的两条直线平行）.而线线垂直的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如勾股定理等；（2）异面直线所成的角为2π；（3）线面垂直的性质定理； 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ； （2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【详解】（1）因为E 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以//EO PC 又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以//EO 平面PCD 同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O =所以，平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥ 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又PA AC A =所以BD ⊥平面PAC又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ．20．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点.（1）求证：BD ∥平面1EFC ；（2）若13AA AB =，求直线11A C 与平面1EFC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（226【解析】(1)由点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点，则EF ∥BD ，可得证.(2) 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,用向量法求出平面1EFC 的一个法向量，然后即可求线面角. 【详解】证明：（1）∵点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点，∴EF ∥BD . 又EF ⊂平面1,EFC BD ⊄平面1EFC ，BD ∴∥平面1EFC .（2）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系则1111(0,,0),(,1,0),22A F E C1111(,,0),(222FE EC ==-设平面1EFC 的一个法向量为(,,)n x y z = 由10,0n FE n EC ⋅=⋅=可得110221302x y y x x x z ⎧+=⎪=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-+=⎪⎩ 令1z =(23,n ∴=-11(1,1,0)AC =- 111112cos ,65AC n A F n AC n⋅∴==⋅ ∴直线1A F 与平面1EFC 所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平面的证明和线面角的求解，属于中档题.21．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为2的菱形，0=60ABC ∠，E 为AB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，PC 与平面PAD 所成角的正弦值为4.（1）在棱PD 上求一点F ，使//AF 平面PEC ； （2）求二面角D PE A --的余弦值. 【答案】（1）F 为PD 中点；（243131【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，设()0,1,P m ，求出平面PAD 的法向量，由PC 与平面PAD 所成角的正弦值为64m 得值，设PF PD λ=，利用=AF AP PF +可得AF 的坐标，求出平面PEC 的法向量m ，利用0m AF ⋅=，即可求出λ得值，可得F 为PD 中点；（2）分别求出平面PEA 的法向量与平面PED 的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）以BD 为x 轴，CA 为y 轴，AC 与BD 的交点为O ，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系.其中：()0,1,0A ，()3,0,0B -，()0,1,0C -，)3,0,0D，()0,1,P m ，31,02E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,PC m =--.设平面PAD 的法向量(),,n x y z =，()0,0,AP m =，()3,1,0AD =-.所以030mz x y =⎧⎪-=，所以()3,3,0n =所以266cos ,412PC n m -==+⨯2m =，故()0,1,2P 设PF PD λ=，()=0,0,2AP ，()3,1,2PD =--，则()==3,,22AF AP PF λλλ+--.设平面PEC 的法向量为(),,m x y z =，31=,222EP ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,2PC =--所以31202220x y zy z⎧++=⎪⎪--=⎩，故()3,1,1m=--.m AF⋅=，所以322=0λλλ-++-，因此1=2λ，所以F为PD中点. （2）平面PEA的法向量()1=3,3,0n-，平面PED的法向量()2=3,9,3n-，124cos,31311293n n==-⨯由二面角D PE A--为锐二面角，因此，二面角D PE A--的余弦值为43131.【点睛】本题主要考查了利用空间向量补全线面平行的条件，以及求二面角，涉及线面角，线面垂直的性质，属于中档题.22．如图，为正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F-，底面边长AB a，高1AA h=.（1）若a h=，求异面直线1BD和1CF所成角的余弦值；（2）计算四面体11BCD F的体积（用a、h来表示）；（3）若正六棱柱底面边长a和高h满足：23h a k=（k为定值），则当底面边长a和高h 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？ 【答案】（1）5；（2）2312a h ；（3）4k h =，3a k =.【解析】（1）建立分别以FB 、FE 、1FF 为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BD 和1CF 所成角的余弦值；（2）利用空间向量法计算出点1D 到平面1BF C 的距离d ，并计算出1BFC △的面积，利用锥体的体积公式可求得四面体11BCD F 的体积；（3）计算出正六棱柱的表面积与体积之比的表达式，结合条件23h a k +=可得出21416V k kh S k ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，利用二次函数的基本性质可求得V S 的最大值及其对应的h 与k 的比值，即可得解.【详解】（1）如图，建立分别以FB 、FE 、1FF 为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系，则点()3,0,0Ba 、)3,,0Ca a 、133,2a a D a ⎫⎪⎪⎝⎭、()10,0,F a ，133,2a a BD a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()13,,CF a a a =--，2222113322a a BD CF a a ⋅=-+=，222133222a a BD a a ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15CF a =，所以，2111111cos ,102BD CF BD CFa BD CF ⋅<>===⋅， 所以，异面直线1BD 和1CF （2）易知点),0,0B、),,0Ca 、13,2a D h⎫⎪⎪⎝⎭、()10,0,F h ，()0,,0C a B =，()1,0,BF h =-，1,,22a CD h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BF C 法向量为(),,nx y z =，由100n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00ay hz =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令x h =，则z =，0y =，(),0,3n h a∴=， 所以1D 到平面1BF C的距离102ah h n CD d n-⨯+⨯+⋅===又2214FC a h ，BC a =，2213BF a h ，22211BCBF F C ∴+=，则111122BF C S BC BF =⋅=△ 111211133212D BF C BF C V S d h -=⨯=⨯=△；（3）由题知，正六棱柱的表面积221626sin 606332Shaa ha a ，正六棱柱的体积221336sin 6022V a ha h ， 2222332633423423h V a h ah Sha a ha a h a， 又2h k =，2222122416V hk h h h k kh S kk k -⎛⎫∴==-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4k h =时，V S 有最大值，也即S V 取得最小值，此时4k h =，6a k =. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成的角、三棱锥的体积，同时也考查了柱体体积与表面积比值的最值的求解，考查了二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.。