第二章 数列 极 限§1 数列极限概念若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N + , 则称f : N + → R 或 f (n), n ∈N +为数列 .因正整数集N + 的元素可按由小到大的顺序排列, 故数列 f ( n ) 也可写 作a 1 ,a 2,,a n ,,或简单地记为{ a n } , 其中 a n 称为该数列的通项 .关于数列极限, 先举一个我国古代有关数列的例子 .例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“:一尺之棰, 日取其半,万世不竭”,其含义是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程 可以无限制地进行下去.把每天截下部分的长度列出如下( 单位为尺) :第一天截下1,第二天截下1, , 第 n 天截 下1, 这样就得到一个2222n数列1 1112 ,22, , 2n , 或 2n .不难看出 , 数列 1 2n的通项 1随着 n 的无限增大而无限地接近于 0 .一般地 2 n说,对于数列{a n },若当n 无限增大时a n 能无限地接近某一个常数a,则称此数列 为收敛数列,常数a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列.收敛数列的特性是“随着n 的无限增大, a n 无限地接近某一常数a ”.这就 是说,当n 充分大时,数列的通项a n 与常数a 之差的绝对值可以任意小.下面 我们给出收敛数列及其极限的精确定义.定义1设{ a n } 为数列, a 为定数 .若对任给的正数ε, 总存在正整数 N , 使 得当 n >N 时有a n - a <ε,则称数列{ a n } 收敛于 a , 定数 a 称为数列{ a n } 的极限, 并记作α α 24第二章 数 列 极限lim n →∞a n = a , 或 a n → a( n → ∞) ,读作“当n 趋于无穷大时, a n 的极限等于a 或a n 趋于a ”.若数列{ a n } 没有极限, 则称{ a n } 不收敛, 或称{ a n } 为发散数列 .定义1 常称为数列极限的ε-Ν定义 .下面举例说明如何根据ε- Ν定义 来验证数列极限 .例 2 证明lim 1= 0 , 这里α为正数 .n → ∞n 证 由于1 1n α- 0 = nα, 1 故对任给的ε>0 , 只要取 N = 1 εα+ 1 , 则当 n >N 时, 便有 1 1α< α<ε即 n N 1 α- 0<ε. n 这就证明了 lim 1= 0 .n → ∞ n 例 3 证明分析 由于3 n2lim n →∞3 n 2n 2 - 39= 3 .9n 2- 3- 3 = n 2- 3 ≤ ( n ≥3). (1)n因此, 对任给的ε>0 , 只要9<ε, 便有n 3 n 2n 2 - 3- 3 <ε, (2)即当 n >9时, ( 2) 式成立 .又由于( 1) 式是在 n ≥3 的条件下成立的, 故应取εN = max 3 ,9 ε. (3)证 任给 ε>0 , 取 N = max 3 , 9ε.据分析, 当 n >N 时有(2 ) 式成立 .于是本题得证 .注本例在求N 的过程中,(1)式中运用了适当放大的方法,这样求N 就 比较方便.但应注意这种放大必须“适当”,以根据给定的ε能确定出N .又(3)式①记号lim 是拉丁文limes(极限)一词的前三个字母.由于n 限于取正整数,所以在表示数列极限的记号中把n →+∞简单地写作n →∞.①nn§1 数列极限概念 25给出的 N 不一定是正整数 .一般地, 在定义1 中 N 不一定限于正整数, 而只要 它是正数即可 .例 4 证明lim n →∞q = 0 , 这里 | q | < 1 .证 若 q = 0 , 则结果是显 然的 .现设 0 < | q | < 1 .记 h = 1| q |- 1 , 则 h > 0 .我们有q n - 0 = q n = 1 ,(1 + h ) n并由 (1 + h) n≥1 + nh 得到q n≤ 1 1 + nh <1 nh. (4)对任给的ε>0 , 只要取 N = 1, 则当 n >N 时, 由( 4) 式得|q n- 0 |<ε.这εh就证明了lim q n →∞= 0.当 q = 1时, 就是前面例1 的结果 .2注 本例还可利用对数函数 y = lg x 的严格增性来证明( 见第一章§4 例6 的注及(2 ) 式) , 简述如下:对任给的ε>0 ( 不妨设ε<1 ) , 为使| q n -0 | =| q | n<ε, 只要n lg q <lg ε 即 n >lg εlg q( 这里也假定 0 < | q | <1) .于是, 只要取 N = lg ε即可 .lg | q | n例 5 证明lim n →∞a = 1 , 其中 a > 0 .1 证 当 a = 1 时 , 结论显然成立 .现设 a > 1 .记 α= a n- 1 , 则 α> 0 .由1a = ( 1 + α) n≥ 1 + n α = 1 + n( a n - 1 )得1 a n - 1 ≤ a - 1 n .(5) 1 1任给ε>0 , 由( 5) 式可见, 当 n >a - 1= N 时, 就有 a n - 1 <ε, 即|a n -1 |ε n<ε.所以lim n →∞a = 1 .对于 0 <a < 1 的情形 , 其证明留给读者.关于数列极限的ε- N 定义, 通过以上几个例子, 读者已有了初步的认识 . 对此还应着重注意下面几点:1.ε的任意性 定义1 中正数ε的作用在于衡量数列通项a n 与定数 a 的 接近程度, ε愈小, 表示接近得愈好; 而正数ε可以任意地小, 说明 a n 与 a 可以20 26第二章 数 列 极限接近到任何程度 .然而, 尽管ε有其任意性, 但一经给出, 就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出N .又ε既是任意小的正数,那么ε,3ε或ε2等等同样也是2ε 2 任意小的正数, 因此定义1 中不等式|a n - a | <ε中的ε可用2, 3ε或ε等来代 替 .同时, 正由于ε是任意小正数, 我们可限定ε小于一个确定的正数( 如在例4 的注给出的证明方法中限定ε< 1 ).另外, 定义1 中的|a n - a |<ε也可改写成 | a n - a | ≤ε.2. N 的相应性 一般说 , N 随ε的变小而变大 , 由此常把 N 写作N(ε) , 来 强调 N 是依赖于ε的; 但这并不意味着 N 是由ε所唯一确定的, 因为对给定的 ε, 比如当 N = 100 时能使得当 n >N 时有 | a n - a | <ε, 则 N = 101 或更大时 此 不等式自然也成立 .这里重要的是 N 的存在性, 而不在于它的值的大小 .另外, 定义 1 中的 n >N 也可改写成 n ≥N .3.从几何意义上看“, 当n >N 时有|a n - a |<ε”意味着:所有下标大于N的项 a n 都落在邻域 U( a;ε) 内; 而在 U ( a;ε) 之外, 数列{ a n } 中的项至多只有 N 个( 有限个).反之, 任给ε>0 , 若在 U ( a;ε) 之外数列{ a n } 中的项只有有限 个, 设这有限个项的最大下标为 N , 则当 n >N 时有 a n ∈U ( a;ε) , 即当 n >N 时有| a n - a |<ε.由此, 我们可写出数列极限的一种等价定义如下:定义1′ 任给ε> 0 , 若在 U( a;ε) 之外数列{ a n } 中的项至多只有有限个, 则称数列{ a n } 收敛于极限 a .由定义1′可知,若存在某ε0 >0,使得数列{a n }中有无穷多个项落在U (a; ε0 )之外,则{a n }一定不以a 为极限.例6 证明{ n 2} 和{ (-1) n} 都是发散数列 .证对任何a ∈R ,取ε0 =1,则数列{n }中所有满足n >a +1的项(有无穷多个) 显然都落在 U ( a;ε) 之外, 故{ n 2 散数列 .} 不以任何数 a 为极限, 即{ n 2} 为发 至于数列{ ( - 1) n } , 当 a = 1 时取ε= 1 , 则在 U( a;ε) 之外有{ (-1 ) n} 中1n的所有奇数项;当a ≠1 时取ε0 =2 |a -1|,则在U (a;ε0 )之外有{( - 1) }中 的所有偶数项 .所以{ (- 1 ) n } 不以任何数 a 为极限, 即{ (- 1 ) n} 为发散数列 .例 7 设lim n →∞x n = lim n →∞y n =a , 作数列{ z n } 如下:证明limn →∞z n = a.{ z n } : x 1 , y 1 , x 2 ,y 2 , , x n ,y n , .证 因 lim n →∞x n = lim n →∞y n = a , 故对任给的 ε>0 , 数列{x n } 和{ y n } 中落在U( a;ε) 之外的项都至多只有有限个 .所以数列{ z n } 中落在 U ( a;ε) 之外的项2 §1 数列极限概念 27也至多只有有限个.故由定义1′,证得lim n →∞z n = a .例8设{a n }为给定的数列,{b n }为对{a n }增加、减少或改变有限项之后得 到的数列.证明:数列{b n }与{a n }同时为收敛或发散,且在收敛时两者的极限相 等.证 设{ a n } 为收敛数列, 且lim n →∞a n = a .按定义1′,对任给的ε>0,数列{a n }中落在 U( a;ε) 之外的项至多只有有限个 .而数列{ b n } 是对{ a n } 增加、减少或改 变有限项之后得到的, 故从某一项开始, { b n } 中的每一项都是{ a n } 中确定的一 项, 所以{ b n } 中落在 U( a;ε) 之外的项也至多只有有限个 .这就证得lim n →∞b n = a .现设{a n }发散.倘若{b n }收敛,则因{a n }可看成是对{b n }增加、减少或改变 有限项之后得到的数列,故由刚才所证,{a n }收敛,矛盾.所以当{a n }发散时 { b n } 也发散.在所有收敛数列中, 有一类重要的数列, 称为无穷小数列, 其定义如下: 定义 2 若lim n →∞a n = 0 , 则称{ a n } 为无穷小数列 .前面例1、2、4 中的数列都是无穷小数列 .由无穷小数列的定义, 读者不难证 明如下命题:定理2.1 数列{ a n } 收敛于 a 的充要条件是: { a n - a} 为无穷小数列 .习 题1. 设 a n =1 + ( - 1)nn, n = 1 ,2, , a = 0.( 1) 对下列 ε分别求出极限定义中相应的N :ε1 = 0 .1,ε2 = 0.01, ε3 = 0.001;( 2) 对ε1 ,ε2 ,ε3 可找到相应的 N , 这是否证明了 a n 趋于 0 ? 应该怎样做才对; ( 3)对给定的 ε是否只能找到一个N ?2. 按ε- N 定义证明:( 1) lim n = 1 ; ( 2) lim 3 n + n = 3;n →∞n +1 n → ∞ 2 n 2 -1 2( 3) lim n ! =0; (4)limsin π=0;n → ∞n nn →∞ n ( 5) lim nn →∞a n= 0 ( a > 1) .3. 根据例 2 , 例 4 和例 5 的结果求出下列极限, 并指出哪些是无穷小数列:( 1) lim 1 ; (2 ) lim n 3 ; (3 ) lim 1;n →∞ n n →∞ n → ∞ n 3 ( 4) lim 1 ; ( 5) lim 1; ( 6) lim n 10 ;n →∞3n n →∞ 2nn → ∞n n28第二章 数 列 极限( 7) lim 1.n → ∞24. 证明: 若 lim a n = a , 则对任一正整数 k , 有 lim a n + k = a .n →∞5.试用定义1′证明:n →∞( 1)数列{ 1} 不以1 为极限; ( 2) 数列{ n ( - 1 ) n } 发散 . n6. 证明定理 2.1 , 并应用它证明数列 1 + ( - 1 ) n的极限是 1 .7. 证明: 若 lim a n = a , 则 lim | a n | = | a | .当且仅当 a 为何值时反之也成立 ?n →∞n →∞8. 按ε- N 定义证明: ( 1) lim (n +1-n ) = 0 ; (2) lim1 +2 +3++ n=0;n → ∞ ( 3) lim a n = 1 ,其中 n → ∞n →∞ n 3n - 1a n =n , n 为偶数, n 2+ nn, n 为奇数.§2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质:定理2.2 ( 唯一性) 若数列{ a n } 收敛, 则它只有一个极限 .证 设 a 是{ a n } 的一个极限 .我们证明: 对任何数 b ≠a , b 不是{ a n } 的极1限.事实上,若取ε0 = 2|b - a |,则按定义1′,在U(a;ε0)之外至多只有{a n }中有限个项,从而在U(b;ε0 )内至多只有{a n }中有限个项,所以b 不是{a n }的极 限 .这就证明了收敛数列只能有一个极限.一个收敛数列一般含有无穷多个数,而它的极限只是一个数.我们单凭这一 个数就能精确地估计出几乎全体项的大小 .以下收敛数列的一些性质, 大都基于 这一事实.定理2.3 ( 有界性) 若数列{ a n } 收敛, 则{ a n } 为有界数列, 即存在正数 M , 使得对一切正整数 n 有证 设lim n →∞a n ≤ M .a n = a .取 ε= 1 , 存在正数 N , 对一切 n >N 有a n - a <1 即 a - 1 <a n < a + 1.记M = max {a 1 , a 2 ,, a N , a - 1, a+1},§2 收敛数列的性质 29则对一切正整数 n 都有 | a n | ≤ M .注 有界性只是数列收敛的必要条件, 而非充分条件 .例如数列{ ( - 1) n} 有 界, 但它并不收敛( 见§1 例6).定理2 .4 ( 保号性) 若lim n →∞a n = a >0(或<0),则对任何a ′∈(0, a)(或a ′∈(a,0)),存在正数N,使得当n >N 时有a n >a ′(或a n <a ′) .证设a >0 .取ε= a - a ′(>0),则存在正数N,使得当n >N 时有a n >a-ε= a ′,这就证得结果.对于a <0的情形,也可类似地证明.注 在应用保号性时 , 经常取 a ′= a.2定理2.5 ( 保不等式性) 设{ a n } 与{ b n } 均为收敛数列 .若存在正数 N 0 , 使 得当 N >N 0 时有 a n ≤b n , 则lim n → ∞a n ≤lim n →∞b n .证 设 lim n →∞a n = a , limb n = b .任给 ε>0 , 分别存在正数 N 1 与 N 2 , 使得当nn →∞>N 1 时有当 n >N 2 时有a - ε <a n ,(1)b n < b +ε.(2)取 N = max { N 0 ,N 1 ,N 2 } , 则当 n >N 时, 按假设及不等式( 1) 和(2 ) 有a - ε < a n ≤b n < b + ε,由此得到 a <b + 2ε.由ε的任意性推得a ≤b( 参见第一章§1 例2) , 即lim n →∞a n ≤lim n →∞b n .请读者自行思考: 如果把定理2.5 中的条件 a n ≤b n 换成严格不等式 a n <b n , 那么能否把结论换成lim n →∞a n < limb n ?n →∞例 1 设 a n ≥0( n = 1 ,2,).证明:若lim n →∞a n = a , 则limn →∞证 由定理 2.5 可得 a ≥0 .a n = a. (3)若 a = 0 , 则由lim n →∞a n = 0 , 任给ε> 0 , 存在正数 N , 使得当 n >N 时有 a n <ε2,从而a n <ε即| a n - 0|<ε,故有limn →∞a n = 0 .若 a > 0 ,则有a n -a =a n -a ≤a n + a.a 任给ε>0 , 由lim n →∞a n = a , 存在正数 N , 使得当 n >N 时有a n - a < a ε,30 第二章数列极限从而| a n - a|<ε.(3)式得证.定理2 .6 ( 迫敛性) 设收敛数列{ a n } , { b n } 都以 a 为极限, 数列{ c n } 满足: 存在正数N0 , 当n >N0 时有则数列{ c n } 收敛, 且lim c n = a .n →∞a n ≤ c n ≤b n, (4)证任给ε>0 , 由limn →∞an= limn →∞bn= a , 分别存在正数N1 与N2 , 使得当n >N1 时有当n >N 2 时有a - ε<a n, (5)b n < a +ε. (6) 取N = max{ N0 ,N1 ,N2 } , 则当n >N 时, 不等式( 4) 、(5) 、(6) 同时成立, 即有a - ε< a n ≤ c n ≤b n < a + ε.从而有| c n - a | <ε, 这就证得所要的结果.定理2.6 不仅给出了判定数列收敛的一种方法, 而且也提供了一个求极限的工具.n例2 求数列{ n} 的极限.n解记a n = n = 1 + h n , 这里h n > 0 ( n >1) ,则有n n( n - 1) 2n = ( 1 + h n) >2h n .由上式得0 <h n < 2n - 1( n > 1) , 从而有1 ≤ a n = 1 + h n ≤1+2n - 1. (7)数列1+ 2 是收敛于1 的, 因对任给的ε> 0 , 取N = 1 +2ε2, 则当n >N时有1+ 2n - 1-1 <ε.于是,不等式(7)的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性证得limn →∞nn = 1 .在求数列极限时, 常需要使用极限的四则运算法则.定理2 .7 ( 四则运算法则) 若{ a n } 与{ b n } 为收敛数列, 则{ a n +b n } , { a n - b n } , { a n·b n } 也都是收敛数列, 且有lim ( a n ± b n ) = lim a n ± lim b n ,n →∞n →∞n →∞lim ( a n · b n ) = lim a n · lim b n .n →∞特别当b n 为常数c 时有n →∞n →∞n n n n·b + b n §2 收敛数列的性质 31lim ( a n + c) = lim a n + c, lim ca n = c lim a n .n →∞n →∞a n n →∞n →∞若再假设 b n ≠0 及lim n →∞b n ≠0 , 则na n 也是收敛数列, 且有limn → ∞b n= lim n →∞ a n lim n →∞b n .证 由于 a - b = a + ( - 1) b 及 a nb n=a n 1 n, 因此我们只须证明关于和、 积与倒数运算的结论即可 .设lim n →∞a n = a , lim n →∞b n = b , 则对任给的 ε> 0 , 分别存在正数 N 1 与 N 2 , 使得a n - a<ε, 当n> N 1,b n - b<ε, 当n>N 2 .取 N = max { N 1 , N 2 } , 则当 n >N 时上述两不等式同时成立 , 从而有1. | ( a n + b n ) - ( a + b) | ≤ | a n - a | + | b n - b | < 2εª lim ( a n + b n ) = a + b .n →∞2. | a n b n - ab | = | ( a n - a) b n + a( b n - b) | ≤ | a n - a | | b n | + | a | | b n - b | .( 8)由收敛数列的有界性定理, 存在正数 M , 对一切 n 有| b n | <M .于是, 当 n >N 时由(8 ) 式可得a nb n - ab < (M+a )ε.由ε的任意性, 这就证得lim n →∞a nb n =ab .3. 由于lim n →∞b n =b ≠0 , 根据收敛数列的保号性, 存在正数 N 3 , 使得当 n >N 3 时有 | b n | >12|b |.取N ′=max { N 2 , N 3},则当n >N ′时有1 - 1 n= b n b < b b 2 < 2ε b2 .由ε的任意性, 这就证得lim 1 = 1.例 3 求 n → ∞b nm b m - 1lim n →∞ a m n b k n + a m - 1 nk - 1 k - 1 + + a 1 n + a 0 , + + b 1 n + b 0其中 m ≤ k , a m ≠0, b k ≠0.解 以 n - k同乘分子分母后 ,所求极限式化为a m n m - k + a m - 1 n m - 1 - k ++ a 1 n 1 - k + a 0 n- klimn →∞b k + b k - 1 n- α+ + b 1 n 1 - k+ b 0 n- k.由§1 例2 知, 当α> 0 时有lim nn → ∞= 0.于是, 当 m =k 时, 上式除了分子分母b k- 1m - kn 1 32第二章 数 列 极限的第一项分别为 a m 与 b k 外, 其余各项的极限皆为 0 , 故此时所求的极限等于 a m b m;当 m <k 时 ,由于 n →0(n →∞),故此时所求的极限等于0.综上所述,得到m m -1a m a m n+ a m -1 n + + a 1 n + a 0 , k= m, limn →∞b k n + b k - 1 nnk - 1++ b 1 n + b n=b m 0,k> m.例 4 求lima, 其中 a ≠ -1. n → ∞ a n+ 1解 若 a = 1 , 则显然有lim a = 1;若| a |< 1 , 则由lim n →∞n → ∞ a n+1 2a n = 0 得n若| a | > 1 , 则lim n →∞ a a n + 1n = lim n →∞ n na (lim a+ 1 ) = 0;n →∞lima= lim 1= 1 = 1 .n → ∞ a n + 1 n →∞ 1 + a 1 +0 例 5 求lim n →∞n(n +1- n ).解 n( n +1-n)=n =1,由 1 + 1→1 ( n →∞ ) 及例1 得nn +1+n 1 + 1 + 1nlim n → ∞n( n +1 -n ) = lim n →∞11n+ 1 1 2. 最后, 我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理. 定义1 设{a n }为数列,{n k }为正整数集N + 的无限子集,且n 1 <n 2 <<n k <,则数列a n ,a n 12,, a n ,k称为数列{ a n } 的一个子列, 简记为{ a n k } .注1 由定义1可见, { a n } 的子列{ a n k } 的各项都选自{ a n } , 且保持这些项在 { a n } 中的先后次序 .{ a n k } 中的第 k 项是{ a n } 中的第 n k 项, 故总有 n k ≥k .实际 上{ n k } 本身也是正整数列{ n}的子列 .例如, 子列{ a 2 k } 由数列{ a n } 的所有偶数项所组成, 而子列{ a 2 k - 1 } 则由{ a n }n 1 +k=π n → ∞ 4 n 3 + 2 n + 3 , ( 2)lim n →∞ §2 收敛数列的性质 33的所有奇数项所组成 .又{ a n } 本身也是{ a n } 的一个子列, 此时 n k =k ,k = 1 , 2 , .注2 数列{ a n } 本身以及{ a n } 去掉有限项后得到的子列, 称为{ a n } 的平凡 子列; 不是平凡子列的子列, 称为{ a n } 的非平凡子列 .例如{ a 2 k } 和{ a 2 k - 1 } 都是{a n }的非平凡子列.由上节例8可知:数列{a n }与它的任一平凡子列同为收敛 或发散,且在收敛时有相同的极限.定理2.8 数列{ a n } 收敛的充要条件是: { a n } 的任何非平凡子列都收敛 . 证 必要性 设 lim n →∞a n = a , { a n k} 是{ a n } 的任一子列 .任给ε>0 , 存在正数N , 使得当 k >N 时有| a k - a | <ε.由于 n k ≥ k, 故当 k >N 时更有 n k >N , 从 而也有|a n - a |<ε,这就证明了{a n }收敛(且与{a n }有相同的极限).kk充分性 考虑{ a n } 的非平凡子列{ a 2 k } , { a 2 k - 1 } 与{ a 3 k }.按假设, 它们都收 敛 .由于{ a 6 k } 既是{ a 2 k } , 又是{ a 3 k } 的子列, 故由刚才证明的必要性,lim a 2 k = lim a 6 k = lim a 3k .(9) k → ∞k → ∞k → ∞又{ a 6 k - 3 } 既是{ a 2 k - 1 } 又是{ a 3 k } 的子列, 同样可得(9)式与(10)式给出lim k →∞a 2 k - 1 = lim k → ∞a 3k .(10)lim k → ∞a 2 k = lim k → ∞a 2 k - 1 .所以由上节例7 可知{ a n } 收敛 .由定理2.8的证明可见,若数列{a n }的任何非平凡子列都收敛,则所有这些 子列与{ a n }必收敛于同一个极限.于是,若数列{a n }有一个子列发散,或有两个 子列收敛而极限不相等,则数列{a n }一定发散.例如数列{(-1)n },其偶数项组 成的子列{( -1)2n}收敛于1,而奇数项组成的子列{(-1)2k - 1}收敛于-1,从而{(-1)n}发散.再如数列sin n π 2 ,它的奇数项组成的子列 sin 2 k -1 即为2{ ( - 1) k - 1} , 由于这个子列发散 , 故数列 sin n π 2发散 .由此可见, 定理2.8 是判断数列发散的有力工具 .习 题1. 求下列极限:32(1) lim n + 3 n +1n →∞ 1 + 2 nn 2 ; nn (3) lim (-2) +3 2n → ∞ ( - 2 ) n + 1 + 3 n +1 ; ( 4)lim ( n + n - n) ;n (5) lim ( 1+ n → ∞n2+ + n 10) ;a 2 mb 1 34第二章 数 列 极限111(6) lim 2 +22++ 2n. n →∞1 11 3 +32 + + 3n2. 设 lim a n = a , lim b n = b , 且 a <b .证明 :存在正数 N , 使得当 n >N 时有 a n <b n .n →∞n →∞3. 设{ a n } 为无穷小数列, { b n } 为有界数列, 证明: { a n b n }为无穷小数列 .4. 求下列极限:(1) lim 1 + 1 ++1 ;n →∞ 1·2 42·3 8n n( n + 1 )(2) lim ( 2 n → ∞2 222 ) ;(3) lim 1 + 3 + +2 n - 1 n →∞ 2 22 n2n; (4) lim n → ∞(5) lim 1 - 1;n1 + 1 + + 1 ; n →∞ n2( n + 1) 2 ( 2 n) 2 (6) lim n → ∞ 1 n 2 + 1 + 1 n 2 + 2 + + 1 .n 2+ n 5.设{ a n }与{ b n } 中一个是收敛数列, 另一个是发散数列 .证明{ a n ± b n } 是发散数列 .又a n问{ a n b n }和 ( b n ≠0 )是否必为发散数列?n6. 证明以下数列发散:(1) ( - 1 ) n nn + 1 ; ( 2) { n ( - 1 ) } ; (3)cos n π . 47.判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例) : (1)若{a 2k - 1}和{a 2k }都收敛,则{a n }收敛;(2) 若{ a 3 k - 2 } , { a 3 k - 1 } 和{ a 3 k } 都收敛, 且有相同极限, 则{ a n } 收敛 . 8. 求下列极限: (1) lim 1 32 n - 1n → ∞ 2 4n 2n ;∑ p !(2) lim p =1;n →∞ n!(3) lim [ ( n + 1)α - n α ] , 0 <α< 1;n → ∞(4) lim (1+α)(1+α2)(1+α2n → ∞n ) , |α| < 1.9. 设 a 1 ,a 2 , ,a m 为m 个正数,证明: nlimnn → ∞10. 设 lim a n = a .证明:n →∞+ a n+ + a n= max {a 1 , a 2 ,, a m }.(1) lim n → ∞[ na n ]n= a;n(2) 若 a > 0 , a n > 0 , 则 lim n → ∞a n = 1 .nα α α §3 数列极限存在的条件 35§3 数列极限存在的条件在研究比较复杂的数列极限问题时,通常先考察该数列是否有极限(极限的 存在性问题);若有极限,再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题).这是极限 理论的两个基本问题.在实际应用中,解决了数列{a n }极限的存在性问题之后, 即使极限值的计算较为困难,但由于当n 充分大时,a n 能充分接近其极限a,故 可用 a n 作为 a 的近似值 .本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否存在极限, 当然不可能将每个实数依定义一一验证, 根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断 .首先讨论单调数列, 其定义与单调函数相仿 .若数列{ a n } 的各项满足关系 式a n ≤ a n+1( a n ≥ a n + 1 ),1则称{a n }为递增(递减)数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.如n 为n递减数列, n n + 1 与{n 2}为递增数列,而 ( -1)n则不是单调数列 .定理2.9 ( 单调有界定理) 在实数系中, 有界的单调数列必有极限 .证 不妨设{a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{a n }有上确界,记 a =sup {a n }.下面证明a 就是{a n }的极限.事实上,任给ε>0,按上确界的定 义,存在数列{a n }中某一项a N ,使得a -ε<a N .又由{a n }的递增性,当n ≥N 时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面, 由于 a 是{ a n } 的一个上界, 故对一切 a n 都有 a n ≤a <a + ε.所以当 n ≥N 时有这就证得lim n →∞下确界 .例 1 设a - ε < a n < a + ε,a n = a .同理可证有下界的递减数列必有极限, 且其极限即为它的 a n = 1 + 12 + 1 3++ 1, n = 1 ,2, ,n其中实数α≥2 .证明数列{ a n } 收敛 .证 显然{ a n } 是递增的, 下证{ a n } 有上界 .事实上,a n ≤ 1 + 1 + 1 + + 1 ≤ 1 + 1+ 1+ +122 32 n 21·2 2·3 ( n - 1) n36第二章 数 列 极限=1+1 - 12+ 1 2 - 13 ++1 n - 1 - 1 n= 2 - 1 n<2 , n = 1 , 2,.于是由单调有界定理, { a n } 收敛 .例 2 证明数列收敛,并求其极限.2, 2+ 2, , 2+ 2++ 2,n 个根号证 记a n = 2+ 2+ + 2,易见数列{a n }是递增的.现用数学归纳法 来证明{a n }有上界.显然 a 1 = 2 < 2 .假设 a n < 2 , 则 有 a n +1 = 2 + a n <2 + 2 = 2 , 从而对一切n 有a n <2,即{a n }有上界.由单调有界定理, 数列{ a n } 有极限, 记为 a .由于2a n + 1 = 2 + a n ,对上式两边取极限得 a 2= 2 + a ,即有( a + 1) ( a - 2) = 0 , 解得 a = - 1 或 a = 2 . 由数列极限的保不等式性 , a = - 1 是不可能的, 故有limn →∞2+ 2+ + 2 = 2 .例3 设S 为有界数集.证明:若sup S = a ú S,则存在严格递增数列{x n }ÌS , 使得lim n →∞x n = a .证因 a 是 S 的上确界 , 故对任给的 ε>0 , 存在 x ∈ S , 使得 x >a - ε .又 因a ú S , 故 x <a ,从而有a -ε<x < a.现取ε1 =1,则存在x 1∈S,使得a - ε1 <x 1 <a . 再取ε2 =min 1 2, a - x 1> 0 , 则存在 x 2 ∈S , 使得a - ε2 <x 2 <a,且有x 2 >a -ε2 ≥a - (a - x 1 )= x 1 .一般地,按上述步骤得到x n - 1 ∈S 之后,取εn =min x n ∈S , 使得1 n, a - x n -1 ,则存在a - εn <x n <a,n§3 数列极限存在的条件 37且有x n >a -εn ≥a - (a - x n - 1 )= x n - 1 .上述过程无限地进行下去, 得到数列{ x n } Ì S , 它是严格递增数列, 且满足a - εn < x n <a <a+εn ª x n - a <εn ≤ 1n, n = 1 , 2, .这就证明了lim n →∞x n = a .n例 4 证明lim n →∞ 1 + 1 n存在 .证① 先建立一个不等式 .设 b >a > 0 , 对任一正整数 n 有bn +1- an + 1< ( n + 1) b n( b-a),整理后得不等式 an + 1>b n[ ( n + 1 )a -nb].(1)以 a = 1+1, b = 1 + 1代入(1 ) 式 .由于 n +1 n( n + 1 )a - nb = ( n +1) 1+ 1n +1故有- n 1 + 1n= 1 ,这就证明了 1 + 1 n1+ 1 n为递增数列 .n +1> 1+1.n再以 a = 1 , b = 1 + 1代入(1 ) 式, 得2 n( n + 1 )a - nb = ( n + 1) - n 1 + 12 n 故有12, 1>1 + 11 ª 1 + 12 n<4 .2n2 2nn上式对一切正整数 n 都成立 , 即对一切偶数 n 有 1 +1n n< 4 .联系到该数列的n 单调性,可知对一切正整数n 都有 1 + 1 n < 4 ,即数列 1 + 1n 有上界 .于是由单调有界定理推知数列 1 + 1 nn是收敛的 .通常用拉丁字母e 代表该数列的极限, 即nlimn →∞1 + 1 n= e ,它是一个无理数( 待证) , 其前十三位数字是e ≈ 2 .718 281 828 459 .①这里的证法引自Amer.Math.Monthly,1974,Vol.81,No.9,1011～1012.= n38第二章 数 列 极限以e 为底的对数称为自然对数, 通常记ln x = log e x .单调有界定理只是数列收敛的充分条件 .下面给出在实数系中数列收敛的 充分必要条件 .定理2.10 ( 柯西( Cauchy) 收敛准则)数列{ a n } 收敛的充要条件是: 对任给 的 ε>0 , 存在正整数 N, 使得当 n , m >N 时有a n - a m<ε.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题, 它的证明将在第七 章给出 .柯西收敛准则的条件称为柯西条件,它反映这样的事实:收敛数列各项的值 愈到后面,彼此愈是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给 定的任意小正数.或者形象地说,收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.另 外,柯西收敛准则把ε-N 定义中a n 与a 的关系换成了a n 与a m 的关系,其好 处在于无需借助数列以外的数a,只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收) 敛(发)散性. 例5 证明:任一无限十进小数α=0.b 1 b 2b n的n 位不足近似(n =1, 2, )所组成的数列b 1 b 1 b 2 b 1 b 2b n10 , 10 +102, , 10 + 102 ++ 10n , (2) 满足柯西条件(从而必收敛),其中 b k 为0,1,2,, 9 中的一个数, k = 1 , 2,.b 1 b 2 b n证 记 a n = 10 + 102 + + 10n .不妨设 n >m ,则有 a n - a m= b m + 1 10m + 1b m + 2 + 10 m +2 + + b n 10 n 9 10m +11+ 1 10+ + 110 n - m - 1 1 10m1 - 1 10 n- m < 1 1 10m < m .对任给的 ε> 0 , 取 N = 1, 则对一切 n >m >N 有εa n - a m <ε. 这就证明了数列(2 ) 满足柯西条件 .习题1. 利用limn → ∞1 + 1 nn= e 求下列极限:≤ =§3 数列极限存在的条件39(1) limn → ∞1 - 1nn; (2 )lim n →∞n1 + 1 nn + 1;n(3) lim n → ∞(5) lim n → ∞ 1 + 1 n + 1 1 n2. ; (4 )lim n →∞ 1+ 1;2 n2. 试问下面的解题方法是否正确:求lim 2 n.n → ∞解 设 a n = 2 及lim n →∞a n = a .由于 a n = 2 a n - 1 , 两边取极限 ( n →∞) 得 a = 2 a , 所以 a = 0 .3. 证明下列数列极限存在并求其值:(1) 设 a 1 = 2 , a n +1 = 2 a n , n = 1 ,2, ;(2) 设a 1 =c ( c >0) , a n +1 = c + a n , n = 1 ,2,;cn(3) a n =n ! ( c >0) , n = 1 ,2, .nn4.利用 1 + 1 n 为递增数列的结论,证明 1 + 1n + 1为递增数列 .5. 应用柯西收敛准则, 证明以下数列{ a n } 收敛:(1) a n =sin12+ sin2 22 + + sin n 2 n ;(2) a n = 1 + 1 + 1+ + 1 .22 32 n 26. 证明: 若单调数列{ a n }含有一个收敛子列, 则{ a n } 收敛 .a n7. 证明: 若 a n > 0 , 且lim n →∞ a n + 1= l > 1 , 则 lim a n = 0 .n →∞ 8. 证明: 若{ a n } 为递增(递减)有界数列, 则lim a n = sup { a n } ( inf { a n } ).n → ∞又问逆命题成立否?9. 利用不等式 n + 1b n+ 1 - a n+ 1 > ( n + 1 ) a n ( b - a) , b > a >0 n证明:1 + 1n为递减数列,并由此推出 1 + 1nn为有界数列 .10.证明:e- 1 + 1n<3 nn + 1n +1n提示:利用上题可知e<1+1 ;又易证 1+1<3 + 1+ 1 . nnn n a 1 + b 111. 给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 >b 1 ) , 作出其等差中项 a 2 = a 1 b 1 , 一般地令2与等比中项b 2 =a n+ 1 =a n +b n2, b n+1 = a n b n , n = 1 ,2, .证明: lim a n 与 lim b n 皆存在且相等 .n →∞n →∞n1 + nα nn n40第二章 数 列 极限12. 设{ a n } 为有界数列, 记珔a n = s up {a n ,a n +1 ,}, a n = inf {a n ,a n +1 ,} .证明: (1) 对任何正整数n,珔a n ≥a n ;(2){珔a n }为递减有界数列,{a n }为递增有界数列,且对任何正整数 n, m 有珔a n ≥a m ; (3) 设珔a 和a 分别是{珔a n }和{a n }的极限,则珔a ≥a; (4) {a n }收敛的充要条件是珔a = a.总 练 习题1. 求下列数列的极限:nn 5(1) limn → ∞n 3+ 3 n; (2) lim ; n →∞ e n(3) lim ( n + 2 -2 n +1+ n). n → ∞2. 证明:(1) lim n 2 q n = 0 ( | q | < 1) ; (2 ) lim lg n= 0 (α≥1) ;n →∞ n →∞n(3) lim 1= 0. n →∞ n!3. 设 lim a n = a , 证明:n →∞(1) limn → ∞a 1 +a 2 ++a nn = a ( 又问由此等式能否反过来推出 lim a n = a) ;n →∞n(2) 若 a n > 0 ( n = 1 ,2, ) , 则limn →∞4. 应用上题的结论证明下列各题:1 + 1 +1++ 1a 1 a 2 a n = a.(1) lim2 3 n= 0 ; (2 ) lim a = 1 ( a > 0 ) ;n →∞nnn → ∞1(3) limn → ∞n =1; (4 )lim n →∞ n = 0; n !(5) limn=e ;(6 ) lim1 +2 + 3++ n=1;n → ∞(7) 若lim n → ∞ n! b n +1 b n= a ( b n > 0 ) , 则lim n →∞a nn →∞ nb n = a;(8) 若 lim ( a n - a n - 1 ) = d ,则lim = d.n → ∞ n →∞ n5. 证明: 若{ a n } 为递增数列, { b n }为递减数列, 且lim ( a n - b n ) = 0 ,n → ∞则 lim a n 与 lim b n 都存在且相等.n →∞n →∞6. 设数列{ a n }满足: 存在正数 M , 对一切 n 有A n =a 2 - a 1+a 3 - a 2++a n - a n-1≤ M .证明:数列{ a n } 与{ A n }都收敛 .nn总 练习题417. 设 a > 0 , σ>0 , a 1 =12 a +σa, a n + 1=1 σ2a n +a, n = 1 ,2,.证明:数列{ a n } 收敛, 且其极限为 σ.8. 设 a 1 >b 1 > 0 , 记a n - 1 +b n-1 2 a n - 1 b n -1a n = 2, b n = a n - 1 + b n -1, n = 2 ,3,.证明:数列{a n }与{ b n }的极限都存在且等于 a 1 b 1 .9. 按柯西收敛准则叙述数列{ a n } 发散的充要条件, 并用它证明下列数列{ a n } 是发散的:(1) a n = ( - 1) nn ; (2 ) a n = sin 10.设 lim a n = a , lim b n = b.记n π 1 2 ; (3 ) a n = 1 +2 1 + + n. n →∞n →∞S n = max { a n , b n } , T n = min { a n , b n } , n = 1 ,2,.证明: (1 ) lim n →∞S n = max { a , b} ; ( 2) lim n → ∞T n = min { a , b} .提示 : 参考第一章总练习题1 . ●。
