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高数上第一章§1.2.2数列极限的性质

高数上第一章§1.2.2数列极限的性质

（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ， 证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ， 当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛 的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调数列。 调减少）的数列统称为单调数列 调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理） 定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。 单调增加（减少）有上（ 界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ， 从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1

高数课件-极限的存在准则

高数课件-极限的存在准则

注意：上面极限中的 e 在当时只是极限值的记号，而现在
已经成为重要的数值。
以 e 为底的对数称为自然对数.记作 ln x ，即 ln x loge x . 函数 y ln x 与函数 y ex 互为反函数.
e 为无理数，其值为 e=2.718281828459045…。
在第
13
章中将有
e
n0
证 ①由 xn1 xn
2 xn
2 xn1
xn xn1
，
2 xn 2 xn1
知 xn1 xn 与 xn xn1 同号，以此类推， xn1 xn 与
x2 x1 2 2 2 0 同号， {xn} 单调增加。
22-22
续证 ② x1 2 2, x2 2 x1 2 2 2, ， 一般地， xn 2 xn1 2 2 2 ，
由第一重要极限的推广形式得 lim x0
2 1 x
2
1 cos
故 lim x0
x2
x
1 2
(lim x0
sin x 2 )2
x
1 2
12
1. 2
2
22-12
例 2.5.5
求
lim
x x0
sin
x x
sin x0
x0
.
解
lim sin x sin
x0
lim
2 sin
x x0 2
cos
x x0 2
1 n!
1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
.
22-24
证明思路:
⑴先利用均值不等式证明数列{(1 1)n} 单增且有上界；然 n
后由单调有界准则知数列{(1 1)n} 收敛，即极限lim(1 1)n

《高数》数列极限课件PPT

《高数》数列极限课件PPT

定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。

《数列极限》课件

《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛

《高数》数列极限》课件

《高数》数列极限》课件

详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。

高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt

高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt

2024/9/27
17
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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高数数列极限

高数数列极限

1 x 2 n ]n
1 ≤ [3( 3 x )n ]n
=
1 3n
⋅ 3x
由 lim
n→ ∞
1 3n
1 及夹逼定理知， = 1 及夹逼定理知， 当 ≤ x < 3 时, 3 f ( x ) = lim [1 + ( 3 x )n +
n→ ∞ 1 x 2 n ]n
= 3 x.
1 3n
1 n 当 0 ≤ x < 时, 1 ≤ [1 + ( 3 x ) + 3 由 lim
例2 解
求极限 lim (cos
n→ ∞
π
n
)n
(1∞ )
lim cos n→ ∞ n
π
n
π = lim 1 + (cos − 1) n→ ∞ n
n
= lim 1 + (cos − 1) cos n→ ∞ n
π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
π
n
n(cos −1
≤
有下界； 由数学归纳法可知 { x n } 有下界； 并且 x n+1
xn ;
此时， 单减有下界； 此时，{xn}单减有下界； 单减有下界
由单调有界准则可知： 由单调有界准则可知：
n→ ∞
lim xn 存在.
设 lim xn = a , 则 a = 6 + a , 解得 a = 3 或 a = −2(舍去),
π
π
例4 解
求函数 f ( x ) = lim [1 + ( 3 x ) n +
n→ ∞
1 x 2 n ]n
( x ≥ 0)

102高数数列的极限

102高数数列的极限
4. 如何判断数列1, -1, 1, -1, , (-1)n1, 是发散的？
答：奇数项构成的子数列的极限为1，偶数项构成
的子数列的极限为-1，极限不同，故该数列发散。
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铃
内容小结
1. 数列极限的 “ e – N ” 定义及应用.
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限.
分析:
|xn-1|= |
n(-1)n-1 n
-1|=
1 n
.
对对于于ee>>00,,要要使使|x|nx-n-11||ee,,
只只要要11ee
nn
,
,
即即nne1e1
. .
N
=
1
e
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铃
lim
n
xn
=a
e
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|e
.
例例22. 证明 lim (-1)n = 0 . n (n1)2
有|xn-a|e
.
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铃
例如, 1 , 2 , 3 , , n ,
2 3 4 n1
xn
=
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
= n (-1)n-1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn = 2n (n ) 发
xn = (-1)n1 趋势不定 散
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一、数列极限的定义
❖引例 如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.

1.2数列的极限及运算-同济大学高数(第七版)上册

1.2数列的极限及运算-同济大学高数(第七版)上册

0 ; 当a
0时，xn
a 2
0.
推论
若数列{xn}从某项起有xn
（ 0 或xn
0），且 lim n
xn
a
,
那么a （ 0 或a 0）. (用反证法证明)
第18页，共24页。
子数列的概念
定义 在数列{xn}: x1 , x2 , , xn , 中，任意抽取无限多项,并保持它们在 原数列中的先后次序,这样得到的一个数列成为原数列的子数列 .
n
xn
yn
0
.
第17页，共24页。
定理3 （保号性）
若 lim n
xn
a
, 且a
0(或a
0)，那么存在正
整数N，当n N 时，都有xn （0 或xn 0）.
证
lim n
xn
a
0, N
N ,当n
N时，有 xn
-a
.
取
a 2
，有
xn
a
a ，从而a 2
a 2
xn
a
a 2
,
当a
0时，xn
a 2
数列是整标函数: xn f (n) , n 1,2,,可表示为 {xn}：x1 , x2 , , xn , ；其中，为数列的通项 .
例如： 2,4,8,,2n ,;通项为2n ;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,; 通项为
1 2n
在几何上： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次 取x1，x2，x3，… xn，…
x3 o x1 x2 x4 xn x
第4页，共24页。
问题：当n无限增大时，对应的f(n)能否无限接近于某个确定的数值？

大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利

大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利

两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计 学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问 题，例如求不定积分和定积分；第二个重 要极限则常用于解决一些概率论和统计学 问题，例如计算概率和期望值等。两个重 要极限都是微积分和概率论中非常重要的 概念，对于理解这些学科的基本原理和解 决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重 要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中 ，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的 关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础， 确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息 ，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设 本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时 间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意 两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂 的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套， 即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。

高数课件-数列的极限

高数课件-数列的极限
大於1的ε上述項數指標N仍合乎定義要求。
2.1.3 數列極限的性質
2021-10-3
定理2.1.1（唯一性） 如果數列收斂，則其極 限必惟一。
證
设
lim
n
xn
a,
又
lim
n
xn
b,
由定義,
0,正整数N1, N2.使得当n
N
时恒有n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2 ,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
定义 2.1.3 从数列{xn} 中任选出无限多项，并按下
标从小到大排成一列，记作
xk1 , xk2 , , xkn , ,
称此数列{xkn } 为数列{xn} 的一个子数列，其中 xkn 为 数列{xn} 的第 kn 项，为数列{xkn } 的第 n 项。 特别地，分别称数列{x2n1} 和数列{x2n} 为数列{xn}
xn b xn a 2. 上式仅当a b时才能成立., 故收斂數列極限唯一.
21-1
2021-10-3
定理2.1.2（有界性） 如果數列收斂，則必有界.
即存在正数 M，使得对于一切 n=1,2,…，恒有|xn|≤M.
證
设
lim
n
xn
a,
由定義,
取 1,
则N ,使得当n N时恒有 xn a 1,
則不要求它們一定成立
數列極限的幾何意義
0,N , 使得 N 項以後的所有項
xN 1 , xN 2 , xN 3 ,
a ε 都落在 點的 鄰域
(a ,a )内
因而在這個鄰域之外至多能有數列中的有限個點

高数极限运算法则课件

高数极限运算法则课件

极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。

高数第1章第2节——数列的极限

高数第1章第2节——数列的极限

n
n
例4 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, qn 0 qn , nln q ln ,
n ln , ln q
取N [llnnq ] 1
0 1
,
2
1
则当n N时, n N 1 [ ln ] 1 ln ,
数列中的第n项an称为一般项或通项.
在几何上,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取 x1 , x2 ,L , xn ,L .
x3 x1 x2 x4 xn
例1:写出下列数列的通项
i) 2,4,8, ,2n , , xn 2n ;
ii)
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
,
,
由1 1 , n 100
只要 n 100,
给定 1 , 1000
要
an
1
1, 1000
只要 n 1000,
给定
1, 10000
要
an
1
1 10000
,
只要 n 10000,
给定 0,
要
an
1
成立，
只要 n
N
1
.
定义1.2.1 若存在常数A，使对任意的 0，
总存在自然数N 0，当n N时，恒有
1 1
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1
由夹逼定理得
1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
例7 设a 0,证明 lim n a 1. n

高数 数列的极限

高数 数列的极限
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2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取
1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f (n).
数列的极限
( 1) 观察数列 {1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
播放
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n
正
比较可知
又
xn xn1 ( n 1, 2 , )
xn (1 1 ) n 1 1 n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
又
1 )n xn (1 n
11
11
3 1 2
n 1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 . 记此极限为 e , 即
n
lim (1 1 ) n e n
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为 0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q 1 ln , 则当 n > N 时, 就有 因此 , 取 N ln q

高数讲义系列之二

高数讲义系列之二

高数讲义系列之二高数讲义系列之二第二章极限与连续2．1数列的极限1、数列：按照某一规律排列的无穷多个数，叫无穷数列，记为｛a n｝=a1,a2,a3…a n…,其中每一个数叫做数列的项，第n项a n叫数列的通项。

2、观察一组数列，当项数n无限增大时，a n是否无限趋近于一个常数①0，1/2，1/22…1/2n-1… 该数列数值越来越趋近于0，极限等于0②1,-1/2,1/3,-1/4…(-1)n+11/n…该数列数值越来越趋近于0，极限等于0③1,1/2,2/3,3/4…n/n+1…该数列数值越来越趋近于1，极限等于1④1,-1,1,-1…(-1)n+1…该数列数值越来越趋近的数不唯一，极限不存在⑤1,3,5,7…2n-1…该数列数值越来越趋近无穷大，极限不存在（或∞）3、数列极限的定义：对于数列｛a n｝，当项数n趋近无穷大时（n→∞），若通项a n无限接近于一个确定的常数A（a n→A），则A是｛a n｝的极限。

记为：lim a n = A 含义是：n→∞，a n→A注意：①极限是一个常数，极限是A，并不表示取到了A，而是无限趋近于A。

②极限不存在有两种情况：1）无穷大2）不唯一③常数的极限在任何情况下都等于常数本身。

④若极限存在，则数列收敛，若极限不存在，则数列发散。

4、几个常用极限①n→∞, q n→0 (|q|<1)，即-1与1之间的数乘无穷大次方趋近于0②n→∞,a开n次方→1 （a>0），即大于0的数开无穷次方趋近于1③n→∞，a→a，即常数的极限在任何情况下都等于常数本身。

作业：习题2-1（P21）：1、22．2 数项级数的基本概念1、数项级数的定义：给定一个数列：｛u n｝=u1,u2,u3…u n…,将所有项相加：∑u n= u1+u2+u3+…+u n+…形成的式子叫数项无穷级数，简称级数，u n是一般项或通项。

2、级数与数列的区别与联系：①数列关注的是某一项的值，级数关注的是所有项的和。

《高数数列极限》PPT课件

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如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1. 不等式 xna 刻 画了xn 和a 的“无限接近”，
2. 必须是可以任意小的，不能只是局限于某些个别的；
2. N与 有关， 通常随着 的不同而变化； 3. 但对于固定的， N又是不唯一的！
n 3. nN 刻画了变标 的变n 化程度， 与 N 无关！ 10
12
上下
例2.
xn (n(11)n)2 , 证明 n l i m xn0.
证:
xn0
(1)n (n1)2
0
(n
1 1)2
1 n 1
0(设 1),
欲使
xn0,只要
1
n1
,
即
1
n
1.
取 故
Nn l i[ 1m xn1 ],n l 那 当i m 么(n ( 1 n1 ) n )2N 0 时,
就有
上下
➢几何解释:
a 2 a x 2 x1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所 有 x n 都 的 ( 落 a 点 ,a 在 )内 ,
只有 (至 有多 限 N 个 )落 只 个 在 有 . 其外
➢.符号定义: ln i m xn a
0 , N 0 , 当 n N 时 , 有 x n a .
取 N m N 1 ,N a 2 ,及x b2a
则n 当 N时有 b 2axnab 2a
xn
ab 2
b 2axnbb 2a
xn
ab 2
矛盾. 故收敛数列极限唯一.
15
上下
二、收敛数列的性质
2.有界性 【定理2】 收敛的数列必定有界.
只 要 n 1 0 0 0 0 时 ,有xn1100 100;

高数数列的极限ppt课件

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{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
6
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
28
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 . 19
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
20
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
21
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
11
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
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1 22
1
1
23 2n
此是公比为 q 1 2
共去棰长
sn
1 2
的等比数列
1 22
1 2n
1 2
1 2n
(1Hale Waihona Puke 101 2
n
)
1
1
n
1
n
1
2
2
Sn
a1 a1q a1q2 L
a1qn
a1(1 qn ) 1 q
13
等比数列的前n 项和的公式
设等比数列
a1 , a1q, a1q2 , L , a1qn1,L
数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
An S
19
引例
观察下列数列的变化趋势 n
1.
xn
1n1
1 n
xn 0
2.
xn
2n 1 n1
n
2 (1)n n
xn 2
3. xn 2n
4. xn 1n1
xn
xn
1 1
在－1 与 1 之间跳动
观察可见：xn 的变化趋势只有两种：不是无限地接近
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产
生的。变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是
经常遇到，这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对 稳定的状态。也就是说它在变化的过程中无限的接近 于某一确定的常数。
2
一、数列
1、割圆术：
“割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可 割，则与圆周合体而无 所失矣”
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
1
极限概念前言 极限概念是高等数学中最基本的概念，这个概念 贯串着整个数学分析，并在数学的其它领域中起重要 作用。因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表 达。微分、积分都可用极限运算来描述。掌握极限的 概念和运算很重要。
——刘徽
11
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
12
引例2： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰，第一次去其一半，第二次再去所余
之半，如此分割下去问： 共去棒长多少？
解：
01 1 1
1
84 2
把所去之半排列起来：
1 2
则称数列 xn 没有极限。
21
例如： lim 1 n1 0
n n
lim
2n 1n1
lim[ 2
1 n1
]2
n
n
n
n
而
xn 2n
xn 1n1 无极限
我们称有极限的数列为收敛数列，
无极限的数列为发散数列。
22
例如,
1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn
n n 1
1
(n )
——刘徽
8
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
9
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
10
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
例如：数列
1 n
,
1 n1 ,
2n 1 n
n
都是有界的， 而数列 1 n 2n 是无界的。
17
( 2） 单调性
若 xn 的项 xn 随着项数 n 的增大而增大，即满足
x1 x2 x3 xn
则称此数列是单调增加的；反之若
x1 x2 x3 xn
则称此数列是单调减少的。
例如:
n n 1
是单调增加数列;
1
n
是单调减少数列
单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列。
其特点是 数列的点作定向移动，单增向右，
单减向左。
18
二、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
等比数列的前n 项之和，
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1 (1)
上式两边同时乘以q 有：
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn (2)
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q)Sn a1 a1qn
当 q 1 时
Sn
a1(1 qn ) 1 q
14
1、数列的定义 定义1 按照一定的法则，依次排列的一列无穷多个数：
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列，其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn
称为数列的一般项（或通项），下标 n (n 1,2, )
称为数列的项数。
数列简记为 xn 或 x n (n 1,2, )
15
数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴
上依次取 x1, x2, x3, xn
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
由此，得到数列极限的初步定义如下：
20
定义2
若当 n 时，一般项 xn 无限地接近于某个
确定的常数 A , 则称 A 为数列 xn 的极限，记作
lim xn A
n
或
xn A (n )
（读作 n 趋向无穷大时，xn 趋向于 A ）.
若当 n 时， xn 不接近于任何确定常数A ,
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
——刘徽 正六边形的面积 A 1
正十二边形的面积 A 2
正 6 2 n1 边形的面积 A n
A1, A2 , A3, , An , S
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R
3
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
4
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
5
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
6
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
x3 x1 x4 x2
xn x
数列是整标函数 xn f n n 1,2,
如 xn 2n f (x) 2x , x N
16
2、 数列的性质
设已知数列 xn
（1） 有界性
若存在 M >0 , 对于一切 n 都有 xn M 则称数列
xn 是有界的；否则，若不存在这样的正数 M，则称
xn 是无界的。