3.3 勾股定理的简单应用

一、单选题1. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米2. 如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用()A．L1B．L2C．L3D．L43. 一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角3m，如果梯子的顶端沿墙下滑1m，那么梯脚移动的距离是（）A．0.5m B．0.8m C．1m D．1.2m4. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD 的长为()A．4 B．5 C．6 D．85. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．则这根芦苇长为（）A．12尺B．13尺C．6尺D．7尺二、填空题6. 如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．7. 一个直角三角形的三边长为三个连续的整数，则这个直角三角形的斜边长为___________.8. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是______尺．三、解答题9. 本题分为A，B两题，可以自由选择一题，你选择题A：如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为多少米？B：如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．10. 某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长．11. 如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向800 千米的B处，以50千米/时的速度向北偏西60的 BF方向移动，距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域．（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？。

利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt△BCD 的斜边，BD 是Rt△BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt△ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt△BCD 中，CD=3，BC=41， BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？2分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt△SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。

3.3勾股定理的简单应用【学习目标】：1.能运用勾股定理及其勾股定理逆定理解决实际问题。

2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），体会勾股定理的文化价值，增强应用意识。

【重点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

【难点】在运用勾股定理解决问题的过程中，感受数学的“转化”思想：把解斜三角形问题转化为解直角三角形。

【教学过程】一、知识回味：1.一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方为 ________ .2.一个三角形三边分别是6cm、8cm、IOenb这个三角形的面积为_______ cm2二、生活中的数学：问题1：已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长.若AB=300m,BF=400m,贝UAF=m；问题2：看着冉冉升起的五星红旗,你们是否想过旗杆到底有多高呢？儿位同学想利用学过的数学知识来计算学校旗杆的高度。

方案1：旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度计算出来吗？方案2：若同学们将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，同学们将绳子末端拉到距旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度是多少？问题3：王老先生有两块地，通过测量数据如图，你能帮忙求出面积吗？三、总结提升四、古题赏析《九章算术》中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，巩固练习：1、轮船在大海中航行，它从点A 出发，向正北方向航行20km,遇到冰山后，又折向正东方向航行15km,则此时轮船距点A 的距离为km.2、有两棵树，一棵高IOnb 另一棵高4m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，间小鸟至少飞行m.3、如图，圆柱体的高为6,底面圆周长是8,如果用一根细线从点力开始经过圆柱侧面缠绕一圈到达点8.那么所用细线最短需要cm ；4、如图，在BC 中，JB=15,JD=12,BD=9,∕C=13,求448C 的周长和面积.堪作如而而一儿肖瑞」文鹏殿强升八Z此得以液竹高而-T.H:八侏即折片之工变之地¾⅛退而也变可划上初今商，一曩去水门乘角龙郭渡之栋第^信¾∙m5、如图,今年的台风灾害中,一棵高16米大树折断,树的顶端落在离树杆底部8米处,你能知道这棵树剩下的高度吗？6、“引葭赴岸”是《九章算术》中一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭.长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？7、一张长方形纸片宽AB=8cm,长BC=IOcm.现将纸片折叠,使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）,求EC的长.。

3.3勾股定理的简单应用教学设计教学目标：1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．2．构造直角三角形将实际问题转化为数学问题．教学重点：能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．教学难点：正确找出或构造出满足题意的直角三角形，将实际问题转化为解方程． 教学过程：一、知识回顾：前面我们已经学习了勾股定理及其逆定理，请同学们回忆一下勾股定理的内容是怎样的？1．勾股定理：直角三角形两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方．勾股定理主要用于求线段的长度．2．逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2 ，那么这个三角形是直角△．逆定理主要用于判断一个三角形是否为直角三角形．练一练：1．若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）A. 5 B . 7 C . 5或7 D . 5或72．以下列各组线段a 、b 、c 为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A. a =1.5，b =2，c =3B. a =5，b =12，c =13C. a =6，b =8，c =10D. a =8，b =15，c =17二、例题解析：例1 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.，如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否向右也滑动1 m?分析 先作一个说明，在数学问题中，一般默认地面上的建筑物、旗杆、路灯杆、地面上长的植物都是和地面垂直的。

题目中告诉我们梯子的顶端下滑1m 就是告诉我们什么？要判断梯子底端是否向右也滑动1 m 就是要求哪条线段的长度？如何求？例2 九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？分析：在本题中，已知什么？要求什么？能不能直接用勾股定理求出AO ？不能，那请同A B A ′ B ′ 810 C A B3 O学们考虑一下，你有没有办法求出AO ？用列方程来求解。

3.3“勾股定理的简单应用”教学设计学习目标：1．能运用勾股定理及逆定理解决实际问题．2．运用方程思想及正确解出此类方程．3．运用勾股定理解释生活中的实际问题学习重点：能运用勾股定理及逆定理解决实际问题学习难点：在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，根据实际情形准确构造出直角三角形．教学方法：合作，探究，讨论教具准备：多媒体课件 教学过程： 问题探究1．小明国庆去镇江经过润扬大桥，从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形．问：已知桥面以上索塔AC 的高，计算AB 的条件够不够？如果缺缺什么？(1)若已知索塔AC=4, ,则BC=3,拉索AB =(2))若已知索塔AC=6,拉索AB=10,则BC=(3)若已知BC=5,拉索AB=13,则AC=设计意图：让学生通过实际问题回顾勾股定理的应用条件，而通过后面的练习让学生进一步明白怎么利用勾股定理解决已知直角三角形两边求第三边的问题。

问题探究2：下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段， 给一把卷尺你能想办法通过测量求出旗杆的高度吗?请你与同伴交流设计方案?设计意图：通过合作探究让学生明白本题是把实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形，从而利用勾股定理解决问题。

本题已知直角三角形的一边和另外两边的和，引导学生通过设未知数，根据勾股定理这个等量关系列出方程，渗透方程思想，进而求出未知线段的长度。

AB C小明通过测量发现旗杆上的绳子比旗杆多2米，当他们把绳子的下端拉开6米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度计算出来吗？问题引申：《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设计意图：让学生巩固根据勾股定理这个等量关系列出方程，渗透方程思想，进而求出未知线段的长度的方法，同时感悟数学的古典美，提高对语言文字的理解和处理能力，锻炼数学的计算能力，培养学生爱国主义情操问题探究3：.某工厂制作了一个直角三角形零件，经检测的三边分别为4m,5m,6m,.请问:这个零件是否合格?设计意图是让学生直接运用逆定理判断三角形是否是直角三角形，掌握定理基本运用，复习巩固勾股定理逆定理，不断感受数形结合的思想。

课时9:3.3勾股定理的简单应用教学目标：1．能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决简单的实际问题；2．在运用勾股定理及其勾股定理的逆定理解决实际问题的过程中，感悟数学的“转化”思想，体会勾股定理的文化价值，增强应用意识；教材分析重点：运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决简单的问题。

难点：将实际问题转化为直角三角形的数学模型。

课型方法新授课电教手段实物投影前置作业：问题1、如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 m．问题2、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________米，却踩伤了花草。

问题3、小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是__________米.教学过程：一、展示交流：二、合作探究：例1、<九章算术》中,有折竹问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高几何？题意是：有一根竹子，原高一丈【一丈=十尺】，中部有一处折断，竹梢触地面离竹根三尺。

问折断处离地面多高？A例2、如图，在△ABC中，AB=26，BC=20，BC边的中线AD=24，求AC.C三．质疑反馈：1、如图，起重机吊运物体，已知BC=6m,AC=10m,则AB的长为____________ m.2、如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要____________米。

3、计算四边形ABCD的面积。

4、一个三角形三边长的比为3:4:5,它的周长是60cm,求这个三角形的面积。

5、已知等腰三角形底边上的高为4，周长为16，求这个三角形面积。

6、如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是多少？7、如图，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由。

苏科版数学八年级上册3.3《勾股定理的简单应用》说课稿一. 教材分析《勾股定理的简单应用》这一节是人教版数学八年级上册第3章第3节的内容。

本节主要让学生了解勾股定理的应用，学会运用勾股定理解决实际问题。

通过本节的学习，学生能进一步理解勾股定理的意义，提高解决几何问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了勾股定理的定义和证明，能理解直角三角形的性质。

但部分学生在解决实际问题时，可能无法将所学知识与实际问题相结合。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生将理论知识应用于实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能熟练运用勾股定理解决直角三角形的相关问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：运用勾股定理解决直角三角形的相关问题。

2.教学难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，运用勾股定理进行求解。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔、教学卡片等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入本节内容。

2.知识讲解：讲解勾股定理的简单应用，引导学生学会将实际问题转化为直角三角形问题。

3.案例分析：分析几个典型的例题，让学生掌握勾股定理在实际问题中的应用。

4.课堂练习：让学生独立解决一些实际问题，巩固所学知识。

5.小组讨论：学生分组讨论，分享解题心得，互相学习。

6.总结提升：对本节内容进行总结，强调勾股定理在实际问题中的应用。

7.布置作业：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计如下：1.勾股定理的简单应用2.实际问题→ 直角三角形问题3.典型例题分析4.课堂练习5.小组讨论6.总结提升八. 说教学评价通过课堂表现、作业完成情况、课后访谈等方式对学生进行评价。

勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”．勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．例1 在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．2．已知：长方形ABCD ，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD 的面积为S ，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．3．若线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ）_B_AA ．1：2：4B ．1：3：5C ．3：4：7D ．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？练习21．如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m 的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m ，当梯子的顶部A 向下滑0.4m 到A′时，梯子的底部向外移动多少米？2-43．如图2-5，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C 点与A 点重合，•则折叠后痕迹EF 的长为（ ）A ．3.74B ．3.75C ．3.76D ．3.77例3 试判断，三边长分别为2n 2+2n ，2n+1，2n 2+2n+1（n 为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析 先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．2-2练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形2．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF•与EF的位置关系，并说明理由．3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6.5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE ≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．练习41．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②2-7∴c2=a2+b2．③∴△ABC为直角三角形．④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；（2）本题的正确结论是________．2．如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．例5 如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt △ADC的直角边．∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程．解：作AE⊥BC于E．∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=12BC=12×32=16．在Rt△AEC中，AE2=AC2-CE2=202-162=144，∴AE=12．设DE=x，则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2，2-10在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202．∴144+x2=（16+x）2-202解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7．练习51．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．2-122．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？2-14参考答案练习11．24（提示：利用勾股定理即可求出） 2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A 、B 为对称点（如图） ∵S=AB×BC，AB=2， ∴BC=AD=2S ． 根据对称性得DF=12AB=1． 由于∠D=90°，据勾股定理得：=12 （2）以A 、D 为对称点（如图） ∴BF=12BC=4S． 由∠B=90°，据勾股定理得：=3．D 练习2 1．214（提示：利用Rt△ABE 的勾股定理即可求出） 2．0.8m 3．B 练习3 1．B2．AF⊥EF（提示：连结AE ，设正方形的边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4a，在Rt△ADF 中，由勾股定理得： AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（2a ）2=54a 2． 同理：在Rt△ECF 中，EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516a 2，在Rt△ABE 中，BE=34a ，则AE 2=a 2+916a 2=2516a 2．∵54a 2+516a 2=2516a 2， ∴AF 2+EF 2=AE 2． ∴∠AFE=90°． ∴AF⊥EF．3．A （点拨：利用勾股定理的逆定理来判定） 练习41．（1）③、④（2）△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2， ∴∠C=90°．将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，C 的对称点为E （如图） ∴CD=DE， AC=AE=5． 则△ACD≌△AED． 又BE=AB-AE=8．设CD 为x ，则x 2+82=（12-x ）2．解之得x=103． ∴AD 2=52+（103）2．． 3．过点C 作CE⊥CP，并截CE=CP=2，连结PE ，BE ．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°， ∴∠ACB -∠PCB=∠PCE -∠PCB． 即∠ACP=∠BCE． ∴△PCA≌△ECB（SAS ）． ∴BE=AP=3． 在Rt△PCE 中， PE 2=PC 2+CE 2=8． 又∵BP 2=1，BE 2=9， ∴BE 2=BP 2+PE 2．∴△PBE是直角三角形，其中∠BPE=90°在Rt△PCE中，PC=CE，∴∠CPE=∠CEP=45°．∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．练习5 Array 1．连结AM．∵M为CB的中点，∴CM=MB．又∵AC2=AM2-CM2，BD2=BM2-MD2，∴AC2+BD2=AM2-MD2．又∵AD2=AM2-DM2，∴AD2=AC2+BD2．2．36（提示：连结BD，利用勾股定理及逆定理即可求出）．3．5cm（提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面，连结AC（如图），此时线段AC的长度即为最短距离．（cm）．。

3.3勾股定理的简单应用教学目标：1，能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化成解直角三角形问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学应用的价值教学重难点：能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题【教学过程】情景创设：提出问题：如果知道桥面以上的索塔AB的高，怎样计算拉索AC、AD、AE、AF、AG的长？得到引入与复习.二．例题分析例1：《引葭赴岸》“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为一尺。

如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B’.问水深和芦苇长各为多少？ab d 例2：如图，AD 是△ABC 的中线，AD=24，AB=26，BC=20，求AC三．展示交流1、 教材P 661、如图,太阳能热水器的支架AB 长为90cm,与AB 垂直的BC 长120cm.太阳能真空管AC 有多长?2.要登上9m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子固定在一个高1m 的固定架上，并且底端离建筑物6m ，梯子至多需要多长？3、如图是一个育苗棚，棚宽a=6m ， 棚高b=2.5m ，棚长d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_________m 2．四．提炼总结我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a 2+b 2=c 2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．当堂反馈：1.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km ，乙往南走了6km ，这时甲、乙两人相距__________km ．2．如图，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）．（A ）20cm （B ）10cm（C ）14cm （D ）无法确定4.一张长方形纸片宽AB=8cm ，长BC=10cm.现将纸片折叠，使顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE)，求EC 的长．这节课你学到了什么？作业：课课练60-62 教学反思：一个教师写一辈子教案，不一定能够成为名师，但是如果坚持不懈的写三年教学反思，一定会成为名师。