高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限

第一章 函数与极限§1. 2 数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子:{1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ , 1+n n ⋅ ⋅ ⋅; {2n }: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n , ⋅ ⋅ ⋅;{n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ;{n n n 1)1(--+}: 2, 21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ . 它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+. 数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数:x n =f (n ),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义：对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11lim =+∞→n n n ,021lim =∞→n n , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n}, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.数列极限的几何解释: 例题:例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n 1, 即ε1>n . 证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -1|=ε<=--+-n n n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 例2. 证明0)1()1(lim2=+-∞→n n n . 分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n . 对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn . 证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n , 所以0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 例3. 设|q |<1, 证明等比数列1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使|x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。

第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。

§1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a∈M.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如A={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x 的全体所组成, 则M可表示为A={a1, a2, ⋅⋅⋅, a n},M={x | x具有性质P }.例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}. N +={1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}.R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集.Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集.Z ={⋅⋅⋅, -n, ⋅⋅⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.},|{互质与且q p q Z p qp +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A, 则必有x ∈B, 则称A 是B 的子集, 记为A ⊂B(读作A 包含于B)或B ⊃A .如果集合A 与集合B 互为子集, A ⊂B 且B ⊂A, 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B.若A ⊂B 且A ≠B, 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠⊂B . 例如, N ≠⊂Z ≠⊂Q ≠⊂R .不含任何元素的集合称为空集, 记作∅. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ⋃B, 即 A ⋃B ={x|x ∈A 或x ∈B}.设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ⋂B, 即A⋂B={x|x∈A且x∈B}.设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即A\B={x|x∈A且x∉B}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作A C.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合, 则(1)交换律A⋃B=B⋃A, A⋂B=B⋂A;(2)结合律(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C), (A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C);(3)分配律(A⋃B)⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C), (A⋂B)⋃C=(A⋃C)⋂(B⋃C);(4)对偶律(A⋃B)C=A C⋂B C, (A⋂B)C=A C⋃B C.(A⋃B)C=A C⋂B C的证明:x∈(A⋃B)C⇔x∉A⋃B⇔x∉A且x∉B⇔x∈A C且x∈B C ⇔x∈A C⋂B C, 所以(A⋃B)C=A C⋂B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A⨯B, 即A⨯B={(x, y)|x∈A且y∈B}.例如, R⨯R={(x, y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点的集合, R⨯R常记作R2.3. 区间和邻域有限区间:设a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|a<x<b}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤x<b }、(a, b] = {x | a<x≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a 称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x < b } , (-∞, +∞)={x | | x | < +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).设δ是一正数, 则称开区间(a-δ, a+δ)为点a的δ邻域, 记作U(a, δ), 即U(a, δ)={x | a-δ< x < a+δ}={x | | x-a|<δ}.其中点a称为邻域的中心, δ称为邻域的半径.去心邻域οU(a, δ):οU(a, δ)={x |0<| x-a |<δ}二、映射1. 映射的概念定义设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作f : X→Y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作D f, 即D f=X ;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为R, 或f(X), 即fR f=f(X)={f(x)|x∈X}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域D f=X; 集合Y, 即值域的范围: R f ⊂Y; 对应法则f, 使对每个x∈X, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈X, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈R f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R f是Y的一个子集, 即R f⊂Y, 不一定R f=Y .例1设f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域D f=R, 值域R f={y|y ≥0}, 它是R 的一个真子集. 对于R f 中的元素y, 除y =0外, 它的原像不是唯一的. 如y =4的原像就有x =2和x =-2两个.例2设X ={(x, y)|x 2+y 2=1}, Y ={(x, 0)||x|≤1}, f : X →Y, 对每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y 与之对应. 显然f 是一个映射, f 的定义域D f =X, 值域R f =Y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1, 1]上.(3) f :]2 ,2[ππ-→[-1, 1], 对每个x ∈]2,2[ππ-, f(x)=sin x . f 是一个映射, 定义域D f =]2,2[ππ-, 值域R f =[-1, 1]. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若R f =Y, 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f 为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f 是X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个y ∈R f , 有唯一的x ∈X, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从R f 到X 的新映射g, 即g : R f →X,对每个y ∈R f , 规定g(y)=x, 这x 满足f(x)=y. 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域1-f D =R f , 值域1-f R =X . 按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : X→Y 1, f : Y 2→Z,其中Y 1⊂Y 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个x∈X映射成f[g(x)]∈Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f 构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: X →Z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈X .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R g必须包含在f的定义域内, R g⊂D f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : R→[-1, 1], 对每个x∈R, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], 2f-u=.1)(u则映射g和f构成复映射f o g: R→[0, 1], 对每个x∈R, 有[()](2x)()sin|(sin|cos1)-f==ο.g==xxffxxg三、函数1. 函数概念定义设数集D⊂R, 则称映射f : D →R为定义在D上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈D,其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f=D.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), x∈D”或“y=f(x), x∈D”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “ϕ”等. 此时函数就记作y=ϕ (x), y=F(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412y的定义域.=x--x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 -4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为D={x | | x |≥2}, 或D=(-∞, 2]⋃[2,+∞]).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x ∈D, 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x ∈D, 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x ∈[-r, r]，由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0一个值; 当x 取(-r, r)内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y ≥0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≥0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y ≤0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≤0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集{P(x, y)|y =f(x), x ∈D}称为函数y =f(x), x ∈D 的图形. 图中的R f 表示函数y =f(x)的值域.函数的例子:例. 函数⎩⎨⎧<-≥==0 0||x x x x x y .称为绝对值函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =[0, +∞).例. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn x x x x y .称为符号函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f ={-1, 0, 1}.例 设x 为任上实数. 不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[ x ]. 函数y = [ x ]称为取整函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z . 0]75[=, 1]2[=, [π]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。

《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出版社第一周学习任务第一章第1 节习题1－14(3)(6) (8),5(3),9(2),15(4),17函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立第2 节习题1－21(2) (5) (8)数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)第3 节习题1－32,4函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）第4 节习题1－44,6无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系第5 节习题1－51(5)(11)(13),3,5 极限的运算法则(6 个定理以及一些推论)第6 节习题1－61(2)(6),2(1)(4),4(1)(3)函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）利用函数极限求数列极限第7 节习题1－71,2,3(1),4(3)(4)无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小）及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法第8 节习题1－83(4),4,5函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）判断函数的连续性和间断点的类型第9 节习题1－93(4)(6)(7),4(4) (6),6连续函数的、和、差、积、商的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性第10 节习题1－101,3有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)总复习题一总复习题一3(2),9(2)(4)(6),10,13总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第二周学习任务在进行第二周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第一周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库第二章第1 节习题2－12,6,7,8,13,16(2),17导数的定义、几何意义、物理意义单侧与双侧可导的关系可导与连续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程第2 节习题2－22(9),3(2),4,7(8),8(5),11(6)(9)导数的四则运算公式（和、差、积、商）反函数的求导公式复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式分段函数的求导第3 节习题2－31(3), 3(2),4(1),8,10(2),高阶导数n 阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）第4 节习题2－41(1),2,3(4),4(1),5(2),10隐函数的求导方法，对数求导法由参数方程确定的函数的求导方法第5 节习题2－52,6函数微分的定义，几何意义基本初等函数的微分公式微分运算法则，微分形式不变性一元函数微分在函数近似计算中的应用总复习题二总复习题二1,3,6(1),7,11,13,14总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第三周学习任务在进行第三周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第二周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第三章第1 节习题3－16,8,11(1),12,15费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数第2 节习题3－21(10)(13)(15),4 洛必达法则及其应用第3 节习题3－35,7,10(2) (3)泰勒中值定理麦克劳林展开式第4 节习题3－43(6) ,5(4),6,9(5) ,10(3),12函数的单调区间，极值点函数的凹凸区间，拐点第5 节习题3—51(8),4(3),10,11函数极值的存在性：一个必要条件，两个充分条件最大值最小值问题函数类的最值问题和应用类的最值问题第6 节习题3－61,4利用导数作函数图形（一般出选择题）：函数f (x)的间断点、f '(x)和f ''(x)的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内f '(x)和f ''(x)的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点第四周学习任务在进行第四周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第三周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库第三章第7 节习题3－75弧微分曲率的定义，曲率的计算公式,曲率圆、曲率半径总复习题三总复习题三1,2(2),6,7,9,10(4),11(3),12,17总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第四章第1 节习题4－11(1),2(1)(6)(8)(13)(17)(19)(21)(25),5原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）基本的积分公式原函数的存在性、几何意义和力学意义第2 节习题4－22(1)(3)(6)(9)(13)(15)(16)(17)(19)(21)(30)(32)(34)(36) (37)第一类换元积分法（凑微分法）第二类换元积分法第3 节习题4－32,5,6,9,14,17,18,19,22,24 分部积分法第4 节习题4－42,4,8,20,23 有理函数积分法，可化为有理函数的积分总复习题四总复习题四1,2,5,9,10,12,14,16,21,23,33,35,38 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第五周学习任务在进行第五周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第四周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第五章第1 节习题5—12(1),3(2)(3),11,12(2),13(5)定积分的定义与性质(7 个性质)函数可积的两个充分条件第2 节习题5—25(2),6(5)(8)(11)(12),9(2),10,12,13积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式第3 节习题5—31(2)(4)(6)(10)(12)(19)(21)(24)(26) ,5,6,7(11)定积分的换元法定积分的分部积分法第4 节习题5—41(4)(8)(10),2无穷限的反常积分无界函数的反常积分总复习题五总复习题五1(1) (2) (4) ,3(2),4(2),10(7) (9)(10),11,12,13,14总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第六章第1 节————元素法第2 节习题6—21(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1)(3) ,16,19,21求平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）旋转体的体积及侧面积平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长第3 节习题6—35,11 用定积分求功、水压力、引力总复习题六总复习题六2,3,5 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第六周学习任务在进行第六周学习任务前，先拿出两天的时间对前五周学习的内容进行简单的复习.首先用一天的时间总结归纳第五周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库；其次用一天对前五周的知识点、难题及错题进行复习章学习内容习题章节练习题目备注第七章第1 节习题7—11(1)(4) ,2(2)(4),4(2),5(2)微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解第2 节习题7—21(1)(3)(4)(7),2(3),4,6可分离变量的微分方程的概念及其解法第3 节习题7—31(1)(4),2(1),3一阶齐次微分方程的形式及其解法可化为齐次的方程第4 节习题7—41(2)(3)(7)(10),2(1)(4),3,4,7(3),8(5)一阶线性微分方程的形式和解法伯努利方程的形式和解法第5 节习题7—51(1)(4)(7),2(2),3用降阶法解下列微分方程：y(n) = f ( x)，y'' = f ( x, y')和y'' = f ( y, y')第6 节习题7—61(1)(3)(6),4(2),n 阶线性微分方程的形式线性微分方程的解的结构：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质第7 节习题7—71(1)(4)(5),2(2)(3),特征方程特征方程的根与微分方程通解中的对应项微分方程的通解第8 节习题7—81(1)(3)(7)(9),2(2),6二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积第9 节习题7—96 欧拉方程的形式和通解总复习题七总复习题七1(1)(2)(3)(4), 2,3(1)(2)(7),4(4) ,7总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第七周学习任务在进行第七周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第六周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库第八章第1 节习题8—113,15向量概念和线性运算，空间直角坐标系利用坐标作向量的线性运算向量的模、方向角、投影第2 节习题8—23,7,9(1)(2)(3),10向量积、数量积、混合积的概念、性质、运算律、物理意义两向量平行、垂直的充要条件第3 节习题8—32,7,10(1)(4),11(3)曲面方程的概念旋转曲面的概念，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程柱面的概念及二次曲面的概念与常用二次曲面（锥面、椭球面、双曲面、抛物面）的方程及其图形第4 节习题8—4 3,5(1),8 空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程第5 节习题8—5 1,3,5,9平面的点法式方程、一般方程两平面的夹角，两平面垂直、平行或重合的充要条件第6 节习题8—6 1 ,3,4,5,8,14空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程两直线的夹角，两直线垂直、平行或重合的充要条件直线与平面的夹角，直线与平面垂直、平行的充要条件平面束总复习题八总复习题八1(1)(2)(3)(4),7,10,12,13,14(1)(2),15,17,20 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第九章第1 节习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(4),7(1),8 二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理第2 节习题9—2 1(4)(5)(6),4,6(2),8,9(2) 偏导数的概念，高阶偏导数的求解第3 节习题9—3 1(1) (4),2,3,5 全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件第4 节习题9—4 2,4,6,8(1),10,12(1)多元复合函数求导法则（共3 个定理）全导数全微分形式不变性第5 节习题9—5 1,4,6,8,10(1)一个方程的情形（定理1，定理2）方程组的情形（定理3）第八周学习任务在进行第八周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第七周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第九章第6 节习题9—6 3,6,8空间曲线的切线与法平面，曲线在一点处的切向量曲面的切平面与法线，曲面在一点处的法向量第7 节习题9—7 2,5,8方向导数的概念，方向余弦方向导数与可微的关系梯度的概念与计算公式第8 节习题9—8 1,2,6,9,11多元函数极值、极值点的概念多元函数极值的必要条件、充分条件条件极值，拉格朗日乘数法第9 节习题9—9 二元函数的二阶泰勒公式总复习题九总复习题九1,2,5,6(2) ,8,9,11,15,18总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第十章第1 节习题10—1 2,4(1)(2)(3),5(1)(4)二重积分的定义、几何意义二重积分的性质（6 个）二重积分的中值定理第2 节习题10—21(1)(4),2(1)(3),4(1)(3),6(1)(2)(6),11(1)(3),12(1)(3),13(1 )(3),14(1) (3)利用直角坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分第九周学习任务在进行第九周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第八周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库天数学习内容习题章节练习题目大纲知识点第十章第3 节习题10-31(2),4,5,6,7,9(1)(2), 10(1)(2),11(1)(2)(3)(4),12(1)(3)三重积分的定义和性质、利用直角坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分、利用球面坐标计算三重积分第4 节习题10—4 1,2,3,4(1),5,7,(1)(3) ,14 曲面的面积、质心、转动惯量、引力总复习题十总复习题十1(1),2(1)(3),3(1),6,8(1),10,11,12 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第十一章第1 节习题11—1 1,3(1)(3)(5)(7) 对弧长的曲线积分的概念、性质、计算方法第2 节习题11—2 1,3(1)(3)(5)(7),4(1) (3),7(1)(2)对坐标的曲线积分的概念、性质、计算方法两类曲线积分之间的联系第3 节习题11—31(1)(2),2(1),3,4(1)(2),5(1)(3), 6(1)(3)格林公式利用格林公式计算曲线积分平面上曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积第4 节习题11—4 4(1)(2),5(1) (2),6 (1) (3) 对面积的曲面积分的概念、性质、计算方法第5 节习题11—5 3(1)(3) (4),4(1)对坐标的曲面积分的概念、性质、计算方法两类曲面积分之间的联系第十周学习任务在进行第十周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第九周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第十一章第6 节习题11—61(1)(3),2(1),3(1)高斯公式利用高斯公式计算曲面积分散度的概念与计算第7 节习题11—72(1)(2),3(1)斯托克斯公式利用斯托克斯公式计算曲线积分旋度的概念与计算总复习题十一总复习题十一1,2,3(1)(3),3(6),4(1)(3),5,7 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第十二章第1 节习题12—12(3)(4),3(1)(2)4(1)(2)(5)常数项级数的概念收敛级数的基本性质等比级数（几何级数）敛散性的判别级数收敛的必要条件第2 节习题12—21(1)(4)(5),2(1)(4),3(1)(3),4(1) (3)(5),5(2)(3)(5正项级数及其审敛法（正项级数收敛的充要条件，比较审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法）p 级数敛散性的判别交错级数及其审敛法（莱布尼茨定理）绝对收敛与条件收敛第3 节习题12—31(1)(2)(3) (6),2(1) (2)函数项级数的概念幂级数及其收敛性（阿贝尔定理及其推论，幂级数的收敛半径）幂级数的运算（幂级数的和函数的性质）第4 节习题12—42(1)(2)(4) ,4,5,6泰勒级数、麦克劳林级数把函数展开成幂级数的步骤e x、sin x 、cos x、ln(1+ x)、(1 x)α + 的麦克劳林展开式用间接法把函数展开成幂级数第十一周学习任务在进行第十一周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第十周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第十二章第7 节习题12—71(1)(2),2(1)(3),6三角级数三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数（收敛定理，狄利克雷充分条件）正弦级数和余弦级数第8 节习题12—81(1),2(1) 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数总复习题十二总复习题十二1,2(1)(5),4,5(1),5(2),6(1),7(1)(4),8(1)(3),9(1),10(1),11 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法备注以上第十二章的内容用两天的时间完成，用两天的时间将高等数学的上册做系统的复习，用两天的时间将高等数学的下册做系统的复习。

高等数学（上）定义、定理及一些重要结论归纳（按照同济第六版上册第一章到第六章，不含第七章微分方程，定理证明从略）第一章函数与极限（1）（数列极限的定义）{}{}{}lim ,()n n n n n n n x a N n N x a a x x a x a x a n εε→∞>−<=→→∞设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或（2）（数列极限的唯一性）{}n x 如果数列收敛，那么它的极限唯一.（3）（收敛数列的有界性）{}{}n n x x 如果数列收敛，那么数列一定有界。

（4）（收敛数列的保号性）n lim ,0(0),0,,0(0).n n n x a a a N n N x x →∞=><>>><如果且或那么存在正整数当时都有或（5）（收敛数列保号性的推论）{}00lim ,0(0).n n n n n x x x x a a a →∞≥≤=≥≤如果数列从某项起有（或）,且那么或（6）（收敛数列与其子数列间的关系）{},.n x a a 如果数列收敛于那么它的任一子数列也收敛，且极限也是（7）（自变量趋于有限值时函数极限的定义）0000(),0,0()(),()lim ()()()x x f x x A x x x f x f x A A f x x x f x A f x Ax x εδδε→><−<−<→=→→设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（8）（函数极限存在的条件）000()()().f x x x f x f x −+→=函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即（9）（自变量趋于无穷大时函数极限的定义）().,,()(),()lim ()()().x f x x A X x x X f x f x A A f x x f x A f x Ax εε→∞>−<→∞=→→∞设函数当大于某一正数时有定义如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（10）（函数极限的唯一性）lim ().x x f x →如果存在，那么这极限唯一（11）（函数极限的局部有界性）0lim (),00,0().x x f x A M x x f x M δδ→=>><−<<如果那么存在常数和使得当时，有（12）（函数极限的局部保号性1）0lim (),0(0)00()0(()0).x x f x A A A x x f x f x δδ→=><><−<><如果且或，那么存在常数，使得当时，有或（13）（函数极限局部的保号性2）000lim ()(0),().2x x f x A A x U x x U x Af x →=≠∈>��如果那么就存在着的某一去心邻域()，当()时，就有（14）（函数极限局部保号性的推论）0()0(()0),lim (),0(0).x x x f x f x f x A A A →≥≤=≥≤如果在的某一去心邻域内或而且那么或（15）（函数极限与数列极限的关系）{}{}000lim (),(),(),()lim ()lim ().n n x x n n n x x f x x f x x x x n N f x f x f x →+→∞→≠∈=如果极限存在为函数的定义域内任一收敛于的数列且满足：那么相应的函数值数列必收敛，且（16*）（Heine 归并定理）{}000lim (),()(),lim ().n n n x x n n f x x x x n x x n N f x →+→∞→→∞≠∈极限存在的充分必要条件是：对任何数列满足且有存在（17）（无穷小的定义）0()()lim ()0,()().x x x f x f x f x x x x →→∞=→→∞如果函数的极限那么称函数为当或时的无穷小（18）（无穷小与函数极限的关系）0()()lim ()(),.x x x x x x f x A f x A αα→→∞→→∞==+在自变量的同一变化过程或中，函数的充分必要条件是其中是无穷小（19）（无穷大的定义）000()0(),0(0),0()(),()().f x x x M X x x x X f x M f x x x x δδ∀>∃>∃><−<>>→→∞设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）.如果对于不论它有多大或使得当或时，总有成立则称函数为当或是的无穷大（20）（无穷大与无穷小之间的关系）1,(),;()()1()0,.()f x f x f x f x f x ≠在自变量的同一变化过程中如果为无穷大则为无穷小反之，如果为无穷小，且则为无穷大�以下为一些极限运算法则的相关定理（21）.有限个无穷小的和也是无穷小（22）.有界函数与无穷小的乘积是无穷小（23）.常数与无穷小的乘积是无穷小（24）.有限个无穷小的乘积也是无穷小（25）（函数极限运算法则）[]lim (),lim (),(1)lim ()()lim ()lim ();(2)lim[()()]lim ()lim ();lim ()()(3)0,lim .()lim ()x x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x f x g x A B f x g x f x g x A B f x f x A B g x g x B→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==±=±=±⋅=⋅=⋅≠==如果那么若有则（26）（数列极限运算法则）{}{}n .lim ,lim ,1lim();(2)lim ;(3)0(),0,lim.n n n n n n n n n n n n n x y A B x y A B x y A B x Ay n N B y B→∞→∞→∞→∞+→∞==±=±⋅=⋅≠∈≠=设有数列和如果那么（）当且时（27）[]lim (),,lim ()lim ().x x x f x c cf x c f x →∞→∞→∞=如果存在而为常数则（28）[]lim (),lim ()lim ().nnx x x f x n N f x f x +→∞→∞→∞⎡⎤∈=⎣⎦如果存在,而则（29）()(),lim (),lim (),.x x x x x a x b a b ϕψϕψ→∞→∞≥==≥如果而那么（30）（复合函数的极限运算法则）000000[()]()()[()]lim (),lim (),0,(,),(),lim [()]lim ().x x u u x x u u y f g x u g x y f u f g x x g x u f u A x U x g x u f g x f u A δδ→→→→=====∃>∈≠==�设函数是由函数与函数复合而成,在点的某一去心邻域内有定义，若且当时有则（31）（数列极限的夹逼准则极限存在准则I ）{}{}{}{}001,,2lim ,lim ,lim .n n n n n n n n n n n n n x y z n N n n y x z y a z a x x a →∞→∞→∞∃∈>≤≤===如果数列、及满足下列条件：（）当时，有（）那么数列的极限存在，且（32）（函数极限的夹逼准则极限存在准则I ’）0()()()()1(,)()()()()(2)lim (),lim ,lim ()lim ().x x x x x x x x x x U x r x M g x f x h x g x A A f x f x A →→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞∈>≤≤===�如果（）当或时，那么存在，且（33）（数列极限存在准则极限存在准则II ）.单调有界数列必有极限（34）（函数极限存在准则极限存在准则II II’’）00000()()().(,,,)f x x f x x f x x x x x x x −−+→→→−∞→+∞设函数在点的某个左邻域内单调且有界，则在的左极限必定存在类似（35）（柯西极限存在准则）{}00,,.n n m x N N N m N n N x x εε+∀>∃∈>>>−<数列收敛的充分必要条件是：对于,且使得当时，就有（36）（两个无穷小之间的比较）0:lim 0,lim ,lim 0,;(4)lim 0,0,.(5)lim 1,x x x k x x c c k k αβαββαβοααββααββααββααββααβα→∞→∞→∞→∞→∞≠==∞=≠=≠>=∼已知和是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且(1)如果就说是比高阶的无穷小，记作=();(2)如果就说是比低阶的无穷小.(3)如果就说与是同阶无穷小如果就说是关于的阶无穷小如果就说与是等价无穷小,记作.（37）().βαβαοα=+与是等价无穷小的充分必要条件是（38）（等价无穷小替换定理）''',',limlim lim .''x x x βββααββααα→∞→∞→∞=∼∼设且存在，则（39）（函数连续性的定义1）[]00000()lim lim ()()0,().x x y f x x y f x x f x y f x x ∆→∆→=∆=+∆−==设函数在点的某一邻域内有定义，如果那么就称函数在点连续（40）（函数连续性的定义2）000()lim ()(),().x x y f x x f x f x f x x →==设函数在点的某一邻域内有定义,如果那么就称函数在点连续（41）（连续函数的和、差、积、商的连续性）000()(),(()0).ff xg x x f g f g g x gx ±⋅≠设函数和在点连续则它们的和(差)、积及商当时都在点连续（42）（反函数的连续性）{}1()()(),().x y x y f x I x f y I y y f x x I −====∈如果函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数也在对应的区间上单调增加或单调减少且连续（43）（复合函数的连续性1）[][]00000()()(),().lim (),(),lim ()lim ()().f g x x x x u u y f g x u g x y f u U x D g x u y f u u u f g x f u f u →→→===⊂=====��设函数由函数与函数复合而成若而函数在连续则（44）（复合函数的连续性2）[][][][]000000000()()(),().(),(),(),(),lim ()lim ()()().f g x x u u y f g x u g x y f u U x D u g x x x g x u y f u u u y f g x x x f g x f u f u f g x →→===⊂==========�设函数是由函数与函数复合而成若函数在连续且而函数在连续则复合函数在也连续即（45）（初等函数的连续性）..基本初等函数在它们的定义域内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的（46）（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值和最小值.（47）（零点定理）[]()(),,()()0,,()0.f x a b f a f b a b f ξξ⋅<=设函数在闭区间上连续且那么在开区间内至少有一点，使得（48）（介值定理）()[,],()(),(,),(,)().f x a b f a A f b B C A B a b f C ξξ==∀∈∃∈=设函数在闭区间上连续且在这区间的端点取不同的函数值及那么对于使得（49）（介值定理的推论）.M m 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值（50）（一致连续性的定义）121212().0,0,,,,()().().f x I x I x I x x f x f x f x I εδδε∀>∃>∀∈∀∈−<−<设函数在区间上有定义如果对于使得对于和当时就有那么就称函数在区间上是一致连续的（51）（一致连续性定理）()[,],.f x a b 如果函数在闭区间上连续那么它在该区间上一致连续第二章导数与微分（1）（导数的定义）000000000000000()(),()();lim(),(),(),()()()lim lim lim x x x x x y f x x x x x x x yy f x x f x xy f x x y f x x f x f x x f x f yf x x x ∆→∆→∆→→=∆+∆∆∆=+∆−∆′==+∆−∆′===∆∆设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量点仍在该邻域内时相应的函数取得增量如果存在，则称函数在点处可导并称这个极限为函数在点处的导数记为即0000()(),,().x x x x x x x f x dyy x x dxdf x dx===−′−也可记作或（2）（函数可导的充分必要条件）000000()()()()()().f x x f x f x f x f x f x −+−+′′′′′==函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等，即（3）（可导与连续的关系）(),.y f x x =如果函数在点处可导则函数在该点必连续（4）（函数的和、差、积、商的求导法则）[]2()(),(1)()()()()(2)[()()]()()()()()()()()()(3)(()0).()()u u x v v x x x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x u x v x u x v x v x v x v x ==′′′±=±′′′=+′′′⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦如果函数及都在点具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点具有导数且（5）（反函数的求导法则）{}11()()0,()11(),,().()y x y x f y I f y y f x dy I x x f y y I f x dx f y dxdy−−′=≠=′⎡⎤==∈==⎣⎦′如果函数在区间内单调、可导且则它的反函数在区间内也可导且或（6）（复合函数的求导法则）[](),()(),(),()().u g x x y f u u g x y f g x x dy dy dy du f u g x dx dx du dx====′′=⋅=⋅如果在点可导而在点可导则复合函数在点可导且其导数为或（7）（微分的定义）000000(),,()()(),,()(),,.y f x x x x y f x x f x y A x x A x y f x x A x y f x x x dy dy A x ο=+∆∆=+∆−∆=∆+∆∆=∆=∆=∆设函数在某区间内有定义及在这区间内如果增量可表示为其中是不依赖于的常数那么称函数在点是可微的,而叫做函数在点相应于自变量增量的微分记作即（8）（可微与可导的关系）0000()(),(),(),().f x x f x x f x x dy f x dx dy f x dx ′′==函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导且当在点可微时其微分一定是即函数微分的表达式（9）（函数和、差、积、商的微分法则）()()2()(),(1)(2)(3)(0).u u x v v x x x d u v du dv d uv vdu udv u vdu udvd v v v ==±=±=+−⎛⎞=≠⎜⎟⎝⎠如果函数及都在点可微,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点可微且（10）（复合函数的微分法则）[]()()()()(),().x u y f u u g x x f g x dy y dx f u g x dx dy f u du dy y du ==′′′′′====设函数及都在点处可导,则复合函数的微分为也可以写成或第三章微分中值定理与导数的应用（1）（费马引理）0000000()(),,(),()()(()()),()0.f x x U x x x U x f x f x f x f x f x ∀∈′≤≥=设函数在点的某邻域内有定义并在处可导如果对有或那么（2）（罗尔定理）[]()()(),(2),;(3),()().,()()0.f x a b a b f a f b a b a b f ξξξ=′<<=如果函数满足：(1)在闭区间上连续;在开区间上可导在区间端点处的函数值相等即那么在内至少有一点，使得（3）（拉格朗日中值定理）[]()()()(1),;(2),;,(),()()()().f x a b a b a b a b f b f a f b a ξξξ′<<−=−如果函数满足：在闭区间上连续在开区间上可导那么在内至少有一点使等式成立（4）()0,().f x I f x I 如果函数在区间上的导数恒为那么在区间上是一个常数（5）（柯西中值定理）[]()()()()()(1),;(2),;(3),,()0;()()(),,.()()()f x F x a b a b x a b F x f b f a f a b F b F a F ξξξ′∀∈≠′−=′−如果函数及满足：在闭区间上连续在开区间上可导对那么在内至少有一点使等式成立（6）（洛必达法则）000000()()()()()0()()()(1)lim ()0lim ()0,lim ()lim ()lim()0;0(2)(),()(),()0;()(3)lim ,()limx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x g x f x g x g x f x g x U x x X g x f x g x f →→→→→→∞→∞→∞→∞→∞→→∞→→∞===∞=∞∞∞′>≠′∞′�且或者且，即极限为未定式或在某去心邻域或时可导且存在或为则0()()()lim .()()x x x x f x g x g x →→∞′=′（7）（泰勒中值定理泰勒公式）()()()()0()20000000(1)10(1)0(),(1),,,()()()()()()()()(),2!!()()()().(1)!,,(),()n n n n n n n n f x x a b n a b f x f x f x f x f x x x x x x x R x n f R x x x a b n x a b f x M R x x x ξξο++++∀∈′′′=+−+−++−+=−<<+∈≤=−⋯如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数则对x 恒有其中称为拉格朗日型余项.如果当时则有.n⎡⎤⎣⎦，称为佩亚诺型余项（8）（麦克劳林公式）()20(0)(0)0,()(0)(0)(),2!!n nn f f x f x f f x x x R x n ′′′==+++++⋯在泰勒公式中，当时称为麦克劳林公式.（9）（函数单调性的判定定理）[]()()[]()[](),,,.(1),()0,(),.(2),()0,(),.y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b =′>=′<=设函数在上连续在内可导如果在内那么函数在上单调增加如果在内那么函数在上单调减少将闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）,结论也同样成立.（10）（曲线凹凸性的定义）1212121212(),,()(),()()();22()()(2),()()().22f x I I x x x x f x f x f f x I x x f x f x f f x I ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠++⎛⎞>⎜⎟⎝⎠设在区间上连续对上任意两点(1)如果恒有那么称在上的图形是向上凹的或凹弧如果恒有那么称在上的图形是向上凸的或凸弧（11）（曲线凹凸性的判定定理）[]()()[]()[](),,,,(1),()0,(),;(2),()0,(),f x a b a b a b f x f x a b a b f x f x a b ′′>′′<设在上连续在内具有一阶和二阶导数那么若在内则在上的图形是凹的若在内则在上的图形是凸的.（12）（函数极值的定义）000000()(),(),()()(()()),()()f x x U x U x x f x f x f x f x f x f x <>�设函数在点的某邻域内有定义如果对于去心邻域内的任意一点有或那么就称是函数的一个极大值（或极小值）.（13）（可导函数取得极值的必要条件）000(),,()0.f x x x f x ′=设函数在处可导且在处取得极值那么（14）（判定极值的第一充分条件）()()()()()()000000000000000(),,.(1),,()0,,,()0,();(2),,()0,,,()0,();(3),,(),().f x x x U x x x x f x x x x f x f x x x x x f x x x x f x f x x x U x f x f x x δδδδδδ′′∈−>∈+<′′∈−<∈+>′∈��设函数在处连续且在的某去心邻域内可导若时而时则在处取得极大值若时而时则在处取得极小值若时的符号保持不变则在处没有极值（15）（判定极值的第二充分条件）0000000()()0,()0,(1)()0,();(2)()0,()f x x f x f x f x f x x f x f x x ′′′=≠′′<′′>设函数在处具有二阶导数且那么当时函数在处取得极大值当时函数在处取得极小值.（16）（区间内单一极值时最值的判定）000000()(,),()(),()();(2)()()().f x x x f x f x f x f x f x f x f x 函数在一个区间有限或无限开或闭内可导且只有一个驻点并且这个驻点是函数的极值点,那么(1)当是极大值时就是在该区间上的最大值当是极小值时,就是在该区间上的最小值第四章~第六章一元函数积分学（1）（原函数的定义）,()(),,()()()(),()()(()).I F x f x x I F x f x dF x f x dx F x f x f x dx I ′∀∈==如果在区间上可导函数的导函数为即对都有或那么函数就称为或在区间上的原函数（2）（原函数存在定理）(),(),()()..f x I I F x x I F x f x ∀∈′=如果函数在区间上连续那么在区间上存在可导函数使对都有即连续函数一定有原函数（3）（原函数之间的关系）{}()().()()(),()()(),(),().f x I f x F x x f x x F x C C f x F x C C ΦΦ−=+−∞<<+∞如果在区间上有一个原函数,那么就有无限多个原函数假设和均为的原函数则为某个常数且的全体原函数所组成的集合就是函数族（4）（不定积分的定义）,()()(()),().,(),(),.I f x f x f x dx I f x dx f x f x dx x ∫∫在区间上函数的带有任意常数项的原函数称为或在区间上的不定积分记作其中记号称为积分号称为被积函数称为被积表达式称为积分变量（5）（不定积分的性质1）[]()(),()()()().f xg x f x g x dx f x dx g x dx ±=±∫∫∫设函数及的原函数存在则（6）（不定积分的性质2）(),()().f x k kf x dx k f x dx =∫∫设函数的原函数存在为非零常数,则（7）（不定积分的凑微分法第一类换元法）[]()(),(),()()()u x f u u x f x x dx f u du ϕϕϕϕ==⎡⎤′=⎣⎦∫∫设具有原函数可导则有换元公式（8）（不定积分的代入法第二类换元法）[]11()(),()0.[()](),()()(),()().t x x t x f x x f x dx f t t dt x x t ψψψψψψψψψ−−=′′=≠⎡⎤′==⎣⎦∫∫设是单调的、可导的函数并且又设具有原函数则有换元公式其中是的反函数（9）（不定积分的分部积分法）()(),.u u x v v x udv uv vdu ===−∫∫设函数及具有连续导数那么（10）（定积分的定义）[][][][][][]{}[][][]012101121112111(),,,,,,,,,,,max ,,,,,,()0,n n n n i i i n i i i ni i i i i i f x a b a b a x x x x x b a b n x x x x x x x x x x x x x x a b f x x x λξξλξ−−−−−==<<<<<=∆=−=∆∆∆∈∆→∈∑⋯⋯⋯设函数在有界闭区间上有定义，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为记,令若无论区间怎么分划,在时总存在与选取无关的确定的[][][]01(),(),(),()lim (),(),(),,,,,nbi i ai I f x a b I f x a b f x dx I f x f x f x dx x a b a b λξ→===∆∑∫极限,则称函数在上是可积的,这个极限称为函数在区间上的定积分简称积分记作其中叫做被积函数叫做被积表达式叫做积分变量叫做积分下限叫做积分上限叫做积分区间.（11）（函数可积的条件1）[][](),,(),.f x a b f x a b 设在区间上连续则在上可积（12）（函数可积的条件2）[][](),,,(),.f x a b f x a b 设在区间上有界且只有有限个间断点则在上可积（13）（定积分的性质1）[]()()()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx±=±∫∫∫（14）（定积分的性质2）()()()bbaa kf x dx k f x dx k =∫∫是常数（15）（定积分的性质3）,()()()bcbaaca cb f x dx f x dx f x dx<<=+∫∫∫设则（16）（定积分的性质4）[],()1,1.b baaa b f x dx dx b a ≡==−∫∫如果在区间上则（17）（定积分的性质5）[],,()0(()0),()0(()0).b baaa b f x f x f x dx f x dx a b ≥≤≥≤<∫∫如果在区间上或则或 ()（18）（定积分性质5的推论1）[],,()(),()()().b baaa b f x g x f x dx g x dx a b ≤≤<∫∫如果在区间上则 （19）（定积分性质5的推论2）()()bbaaf x dx f x dx a b ≤<∫∫ ().（20）（定积分的性质6）[](),,()()())baM m f x a b m b a f x dx M b a a b −≤≤−<∫设及分别是函数在区间上的最大值和最小值则(（21）（定积分中值定理积分中值公式）[][](),,,()()().baf x a b a b f x dx f b a ξξ=−∫如果函数在积分区间上连续则在上至少存在一个点,使得成立（22）（积分上限函数的可导性）[][](),,()(),,()()()xaxa f x ab x f t dt a b d x f t dt f x a x b dxΦ=′Φ==≤≤∫∫如果函数在区间上连续则积分上限的函数在上可导并且它的导数 ().（23）[][](),,()()(),.xaf x a b x f t dt f x a b Φ=∫如果函数在区间上连续则函数就是在上的一个原函数（24）（牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式微积分基本公式）()()[,],()()().baF x f x a b f x dx F b F a =−∫如果函数是连续函数在区间上的一个原函数则（25）（定积分的换元法）[][][]()()()(1)(),();(2)(),(,)()()().bay f x x t t x t a b t f x dx f t t dt βαϕαβϕϕαϕβϕαββαϕϕ==≤≤===′=∫∫假设函数在函数的值域上连续(),函数满足条件：在或上具有连续导数，则有（26）[][]0(1)(),,()2().(2)(),,()0.aaaaaf x a a f x dx f x dx f x a a f x dx −−−=−=∫∫∫若在上连续且为偶函数则若在上连续且为奇函数则（27）[]2200()0,1,(1)(sin )(cos );(2)(sin )(sin ).2f x f x dx f x dx xf x dx f x dx πππππ==∫∫∫∫若在上连续则（28）(),,(1)()();(2)()()().a T Taa nTTaf x T f x dx f x dx f x dx n f x dx n N ++==∈∫∫∫∫设是连续的周期函数周期为则（29）（定积分的分部积分法）[][],()(),.bbba aaa b u x v x udv uv vdu =−∫∫设在区间上函数和可导则（30）（无穷限的反常积分的定义）[)[)[)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,(),(),()tat taaat aaf x a t a f x dx f x a f x dx f x dx f x dx f x dx f x a f x dx f x →+∞+∞+∞→+∞+∞+∞+∞>+∞=+∞∫∫∫∫∫∫(1)设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则函数在无穷区间上的反常积分没有意义习惯上称为反常积分(](],().(2)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,().(aabtt bbbtt b bdx f x dxf x b t b f x dx f x b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞+∞→−∞−∞−∞→−∞−∞−∞−∞<−∞=∫∫∫∫∫∫∫∫发散这时记号不再表示数值设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散()()03)(),,()(),(),(),()()()lim ()lim (),();t tt t f x f x dx f x dx f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞−∞+∞−∞+∞+∞−∞−∞→+∞→−∞+∞−∞−∞+∞−∞+∞=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分和都收敛则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作即这时也称反常积分收敛否则就称反常积分().f x dx +∞−∞∫发散（31）（瑕点的定义）()()().f x a a f x 如果函数在点的任一邻域内都无界,那么点称为函数的瑕点也称为无界间断点（32）（无界函数的反常积分的定义）(](][)(),,(),lim (),(),,(),()lim ().().,().(2)(),,()btt ab b baatt ab baaf x a b a f x t a f x dx f x a b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b b f x ++→→>=∫∫∫∫∫∫(1)设函数在上连续点为的瑕点.取如果极限存在则称此极限为函数在上的反常积分仍然记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散设函数在上连续点为的瑕点.取[],lim (),()lim ().().(3)(),(),().()()()()()lim ()l tat bbt baaat bc abbcbtcaacat ct b f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b c a c b c f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx −−−→→→<=<<=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫如果极限存在则定义否则,就称反常积分发散设函数在上除点外连续点为的瑕点如果两个反常积分与都收敛，则定义im ().().btt cbaf x dx f x dx +→∫∫否则,就称反常积分发散（33）（无穷限反常积分的审敛法1）[)[)(),,()0.()(),()xaaf x a f x F x f t dt a f x dx +∞+∞≥=+∞∫∫设函数在区间上连续且若函数在上有上界,则反常积分都收敛.（34）（无穷限反常积分的审敛法2比较审敛原理）[)()(),.0()()(),(),()0()()(),(),().aaaaf xg x a f x g x a x g x dxf x dxg x f x a x g x dx f x dx +∞+∞+∞+∞+∞≤≤≤<+∞≤≤≤<+∞∫∫∫∫(1)设函数和在区间上连续如果并且收敛则也收敛;(2)如果并且发散则也发散（35）（无穷限反常积分的审敛法3比较审敛法1）[)(),(0),()0.(1)01,()(),();0,()(),().p a a f x a a f x MM p f x a x f x dx xNN f x a x f x dx x+∞+∞+∞>≥>>≤≤<+∞>≥≤<+∞∫∫设函数在区间上连续且如果存在常数及使得则反常积分收敛(2)如果存在常数使得则反常积分发散（36）（无穷限反常积分的审敛法4极限审敛法1）[)(),,()0.1,lim (),()(2)lim ()0(lim ()),().p a x ax x f x a f x p x f x f x dx xf x d xf x f x dx +∞→+∞+∞→+∞→+∞+∞≥>=>=+∞∫∫设函数在区间上连续且(1)如果存在常数使得存在则反常积分收敛;如果或则反常积分发散（37）（无穷限反常积分的审敛法5）[)(),.(),().().aaaf x a f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞+∞∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分收敛则反常积分也收敛即绝对收敛的反常积分必定收敛（38）（无界函数的反常积分的审敛法1比较审敛法2）(](),,()0().(1)01,()(),();()(2)0()(),().b q a b a f x a b f x x a f x MM q f x a x b f x dx x a NN f x a x b f x dx x a≥=>>≤<≤−>≥<≤−∫∫设函数在区间上连续且，为的瑕点如果存在常数及使得则反常积分收敛如果存在常数，使得则反常积分发散（39）（无界函数的反常积分的审敛法2极限审敛法2）(](),,()0,().(1)01,lim ()()();(2)lim ()()0(lim ()()),().bq a x abax ax af x a b f x x a f x q x a f x f x dx x a f x d x a f x f x dx +++→→→≥=<<−−=>−=+∞∫∫设函数在区间上连续且为的瑕点如果存在常数使得存在,则反常积分收敛如果或则反常积分发散（40）（Γ函数的相关性质）21101220(1):()(0).0.(2)(1)()(0).,(1)!(3)0,().(4)()(1)(01).sin (5)(),,()2x s x s xs u s e x dx s e x dx s s s s s n N n n s s s s s ss e x dx x u s eu ππ+∞+∞−−−−+++∞−−−ΓΓ=>>Γ+=Γ>∈Γ+=→Γ→+∞ΓΓ−=<<Γ==Γ=∫∫∫函数定义 反常积分对任意都收敛递推公式: 当时当时余元公式：在中作代换有2100.11121,()(1).222s u tdu t t s t s e u du t +∞−+∞−++−===Γ>−∫∫再令或即有 （41）.光滑曲线弧是可求长的。

《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出书社第一周学习任务第一章第1 节习题1－14(3)(6) (8),5(3),9(2),15(4),17函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的成立第2 节习题1－21(2) (5) (8)数列极限的定义数列极限的性质(独一性、有界性、保号性)第3 节习题1－32,4函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的根本性质〔独一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等〕第4 节习题1－44,6无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系第5 节习题1－51(5)(11)(13),3,5 极限的运算法那么(6 个定理以及一些推论)第6 节习题1－61(2)(6),2(1)(4),4(1)(3)函数极限存在的两个准那么〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕两个重要极限〔注意极限成立的条件，熟悉等价表达式〕操纵函数极限求数列极限第7 节习题1－71,2,3(1),4(3)(4)无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小〕及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法第8 节习题1－83(4),4,5函数的持续性，函数的间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕判断函数的持续性和间断点的类型第9 节习题1－93(4)(6)(7),4(4) (6),6持续函数的、和、差、积、商的持续性反函数与复合函数的持续性初等函数的持续性第10 节习题1－101,3有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在长短常重要的一种方法)总复习题一总复习题一3(2),9(2)(4)(6),10,13总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第二周学习任务在进行第二周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第一周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第二章第1 节习题2－12,6,7,8,13,16(2),17导数的定义、几何意义、物理意义单侧与双侧可导的关系可导与持续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，操纵导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程第2 节习题2－22(9),3(2),4,7(8),8(5),11(6)(9)导数的四那么运算公式〔和、差、积、商〕反函数的求导公式复合函数的求导法那么根本初等函数的导数公式分段函数的求导第3 节习题2－31(3), 3(2),4(1),8,10(2),高阶导数n 阶导数的求法〔归纳法，莱布尼兹公式〕第4 节习题2－41(1),2,3(4),4(1),5(2),10隐函数的求导方法，对数求导法由参数方程确定的函数的求导方法第5 节习题2－52,6函数微分的定义，几何意义根本初等函数的微分公式微分运算法那么，微分形式不变性一元函数微分在函数近似计算中的应用总复习题二总复习题二1,3,6(1),7,11,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第三周学习任务在进行第三周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第二周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第三章第1 节习题3－16,8,11(1),12,15费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数第2 节习题3－21(10)(13)(15),4 洛必达法那么及其应用第3 节习题3－35,7,10(2) (3)泰勒中值定理麦克劳林展开式第4 节习题3－43(6) ,5(4),6,9(5) ,10(3),12函数的单调区间，极值点函数的凹凸区间，拐点第5 节习题3—51(8),4(3),10,11函数极值的存在性：一个必要条件，两个充实条件最大值最小值问题函数类的最值问题和应用类的最值问题第6 节习题3－61,4操纵导数作函数图形〔一般出选择题〕：函数f (x)的间断点、f '(x)和f ''(x)的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内f '(x)和f ''(x)的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点第四周学习任务在进行第四周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第三周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第三章第7 节习题3－75弧微分曲率的定义，曲率的计算公式,曲率圆、曲率半径总复习题三总复习题三1,2(2),6,7,9,10(4),11(3),12,17总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第四章第1 节习题4－11(1),2(1)(6)(8)(13)(17)(19)(21)(25),5原函数和不定积分的概念与根本性质〔之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系〕根本的积分公式原函数的存在性、几何意义和力学意义第2 节习题4－22(1)(3)(6)(9)(13)(15)(16)(17)(19)(21)(30)(32)(34)(36) (37)第一类换元积分法〔凑微分法〕第二类换元积分法第3 节习题4－32,5,6,9,14,17,18,19,22,24 分部积分法第4 节习题4－42,4,8,20,23 有理函数积分法，可化为有理函数的积分总复习题四总复习题四1,2,5,9,10,12,14,16,21,23,33,35,38 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第五周学习任务在进行第五周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第四周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第五章第1 节习题5—12(1),3(2)(3),11,12(2),13(5)定积分的定义与性质(7 个性质)函数可积的两个充实条件第2 节习题5—25(2),6(5)(8)(11)(12),9(2),10,12,13积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式第3 节习题5—31(2)(4)(6)(10)(12)(19)(21)(24)(26) ,5,6,7(11)定积分的换元法定积分的分部积分法第4 节习题5—41(4)(8)(10),2无穷限的反常积分无界函数的反常积分总复习题五总复习题五1(1) (2) (4) ,3(2),4(2),10(7) (9)(10),11,12,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六章第1 节————元素法第2 节习题6—21(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1)(3) ,16,19,21求平面图形的面积〔直角坐标情形、极坐标情形〕旋转体的体积及侧面积平行截面面积为的立体的体积、平面曲线的弧长第3 节习题6—35,11 用定积分求功、水压力、引力总复习题六总复习题六2,3,5 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六周学习任务在进行第六周学习任务前，先拿出两天的时间对前五周学习的内容进行简单的复习.首先用一天的时间总结归纳第五周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库；其次用一天对前五周的常识点、难题及错题进行复习章学习内容习题章节操练标题问题备注第七章第1 节习题7—11(1)(4) ,2(2)(4),4(2),5(2)微分方程的根本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解第2 节习题7—21(1)(3)(4)(7),2(3),4,6可别离变量的微分方程的概念及其解法第3 节习题7—31(1)(4),2(1),3一阶齐次微分方程的形式及其解法可化为齐次的方程第4 节习题7—41(2)(3)(7)(10),2(1)(4),3,4,7(3),8(5)一阶线性微分方程的形式和解法伯努利方程的形式和解法第5 节习题7—51(1)(4)(7),2(2),3用降阶法解以下微分方程：y(n) = f ( x)，y'' = f ( x,y')和y'' = f ( y, y')第6 节习题7—61(1)(3)(6),4(2),n 阶线性微分方程的形式线性微分方程的解的布局：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质第7 节习题7—71(1)(4)(5),2(2)(3),特征方程特征方程的根与微分方程通解中的对应项微分方程的通解第8 节习题7—81(1)(3)(7)(9),2(2),6二阶常系数非齐次线性微分方程，此中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积第9 节习题7—96 欧拉方程的形式和通解总复习题七总复习题七1(1)(2)(3)(4), 2,3(1)(2)(7),4(4) ,7总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第七周学习任务在进行第七周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第六周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第八章第1 节习题8—113,15向量概念和线性运算，空间直角坐标系操纵坐标作向量的线性运算向量的模、标的目的角、投影第2 节习题8—23,7,9(1)(2)(3),10向量积、数量积、混合积的概念、性质、运算律、物理意义两向量平行、垂直的充要条件第3 节习题8—32,7,10(1)(4),11(3)曲面方程的概念旋转曲面的概念，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程柱面的概念及二次曲面的概念与常用二次曲面〔锥面、椭球面、双曲面、抛物面〕的方程及其图形第4 节习题8—4 3,5(1),8 空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程第5 节习题8—5 1,3,5,9平面的点法度方程、一般方程两平面的夹角，两平面垂直、平行或重合的充要条件第6 节习题8—6 1 ,3,4,5,8,14空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程两直线的夹角，两直线垂直、平行或重合的充要条件直线与平面的夹角，直线与平面垂直、平行的充要条件平面束总复习题八总复习题八1(1)(2)(3)(4),7,10,12,13,14(1)(2),15,17,20 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第九章第1 节习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(4),7(1),8 二元函数的极限、持续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理第2 节习题9—2 1(4)(5)(6),4,6(2),8,9(2) 偏导数的概念，高阶偏导数的求解第3 节习题9—3 1(1) (4),2,3,5 全微分的定义，可微分的必要条件和充实条件第4 节习题9—4 2,4,6,8(1),10,12(1)多元复合函数求导法那么〔共3 个定理〕全导数全微分形式不变性第5 节习题9—5 1,4,6,8,10(1)一个方程的情形〔定理1，定理2〕方程组的情形〔定理3〕第八周学习任务在进行第八周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第七周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第九章第6 节习题9—6 3,6,8空间曲线的切线与法平面，曲线在一点处的切向量曲面的切平面与法线，曲面在一点处的法向量第7 节习题9—7 2,5,8标的目的导数的概念，标的目的余弦标的目的导数与可微的关系梯度的概念与计算公式第8 节习题9—8 1,2,6,9,11多元函数极值、极值点的概念多元函数极值的必要条件、充实条件条件极值，拉格朗日乘数法第9 节习题9—9 二元函数的二阶泰勒公式总复习题九总复习题九1,2,5,6(2) ,8,9,11,15,18 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十章第1 节习题10—1 2,4(1)(2)(3),5(1)(4)二重积分的定义、几何意义二重积分的性质〔6 个〕二重积分的中值定理第2 节习题10—21(1)(4),2(1)(3),4(1)(3),6(1)(2)(6),11(1)(3),12(1)(3),13(1 )(3),14(1) (3)操纵直角坐标计算二重积分操纵极坐标计算二重积分第九周学习任务在进行第九周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第八周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库天数学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十章第3 节习题10-31(2),4,5,6,7,9(1)(2), 10(1)(2),11(1)(2)(3)(4),12(1)(3)三重积分的定义和性质、操纵直角坐标计算三重积分、操纵柱面坐标计算三重积分、操纵球面坐标计算三重积分第4 节习题10—4 1,2,3,4(1),5,7,(1)(3) ,14 曲面的面积、质心、动弹惯量、引力总复习题十总复习题十1(1),2(1)(3),3(1),6,8(1),10,11,12 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十一章第1 节习题11—1 1,3(1)(3)(5)(7) 对弧长的曲线积分的概念、性质、计算方法第2 节习题11—2 1,3(1)(3)(5)(7),4(1) (3),7(1)(2)对坐标的曲线积分的概念、性质、计算方法两类曲线积分之间的联系第3 节习题11—31(1)(2),2(1),3,4(1)(2),5(1)(3), 6(1)(3)格林公式操纵格林公式计算曲线积分平面上曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积第4 节习题11—4 4(1)(2),5(1) (2),6 (1) (3) 对面积的曲面积分的概念、性质、计算方法第5 节习题11—5 3(1)(3) (4),4(1)对坐标的曲面积分的概念、性质、计算方法两类曲面积分之间的联系第十周学习任务在进行第十周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第九周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十一章第6 节习题11—61(1)(3),2(1),3(1)高斯公式操纵高斯公式计算曲面积分散度的概念与计算第7 节习题11—72(1)(2),3(1)斯托克斯公式操纵斯托克斯公式计算曲线积分旋度的概念与计算总复习题十一总复习题十一1,2,3(1)(3),3(6),4(1)(3),5,7 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十二章第1 节习题12—12(3)(4),3(1)(2)4(1)(2)(5)常数项级数的概念收敛级数的根本性质等比级数〔几何级数〕敛散性的判别级数收敛的必要条件第2 节习题12—21(1)(4)(5),2(1)(4),3(1)(3),4(1) (3)(5),5(2)(3)(5正项级数及其审敛法〔正项级数收敛的充要条件，比拟审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法〕p 级数敛散性的判别交错级数及其审敛法〔莱布尼茨定理〕绝对收敛与条件收敛第3 节习题12—31(1)(2)(3) (6),2(1) (2)函数项级数的概念幂级数及其收敛性〔阿贝尔定理及其推论，幂级数的收敛半径〕幂级数的运算〔幂级数的和函数的性质〕第4 节习题12—42(1)(2)(4) ,4,5,6泰勒级数、麦克劳林级数把函数展开成幂级数的步调e x、sin x 、cos x、ln(1+ x)、(1 x)α + 的麦克劳林展开式用间接法把函数展开成幂级数第十一周学习任务在进行第十一周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第十周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十二章第7 节习题12—71(1)(2),2(1)(3),6三角级数三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数〔收敛定理，狄利克雷充实条件〕正弦级数和余弦级数第8 节习题12—81(1),2(1) 周期为2l的周期函数的傅里叶级数总复习题十二总复习题十二1,2(1)(5),4,5(1),5(2),6(1),7(1)(4),8(1)(3),9(1),10(1),11 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法备注以上第十二章的内容用两天的时间完成，用两天的时间将高等数学的上册做系统的复习，用两天的时间将高等数学的下册做系统的复习。