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上海市七宝中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题

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上海市七宝中学【最新】高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．方程cosx =sin π6的解集为________.2．设{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28a a +=_____． 3．求值：2sin arccos 3⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_____．4．函数()arccos sin y x =，2,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的值域是_____．5．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =-，()*1102n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为_____．6．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．7．若()2sin 1f x x =-在区间[],a b （,a b ∈R 且a b <）上至少含有30个零点，则b a -的最小值为_____．8．设数列{}n a 的通项公式为 ,1?31,32n n n n a n ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()12lim n n a a a →∞+++=_____．9．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，12,21,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数，则9S =_____.10．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 11．ABC 中，222sin A sin B sin C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______． 12．关于x 的方程()224 arctan cos 0x x a π-+⋅=只有一个实数根，则实数a =_____．13．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知()()3222014220132sin3a a π-+-=，()()3201320132015220132cos6a a π-+-=，则2014S =_____．14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n nT +=；④若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上）二、单选题15．已知{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且lim 2nn na b →∞=，12n n S a a a =++⋯+，则22lim nn nS nb →∞的值为（ ） A ．2B ．-1C ．1D ．不存在16．设{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列21{}n a -是（ ） A ．公比为12的等比数列 B．公比为2的等比数列 C．公比为2或-D或-的等比数列 17．函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 18．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题：（1）若数列{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列； （2）数列{}n S 是递增数列的充要条件是数列{}n a 的各项均为正数；（3）若{}n a 是等差数列(0)d ≠，则120k S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=的充要条件是120k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=； （4）若{}n a 是等比数列且2k ≥，则120k S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=的充要条件是10k k a a ++=； 其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三、解答题19．已知函数()()222f x x n x n =+--的图象与x 轴正半轴的交点为0(),n A a ，1,2,3,n =⋯．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令13(1)2n n aan n b λ-=+-⋅⋅（n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有1n n b b +>？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 20．已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =++-，x ∈R . （1）求函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是,,a b c ，若()2f A =，4Cπ，2c =，求ABC △的面积ABCS的值.21．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0>ω； （1）令1ω=，判定函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性，并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =图像向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，对任意a R ∈，求()y g x =在区间],10[a a π+上零点个数的所有可能值；22．已知数列{}n a 满足：11a =，10.52,n n n a n a a n n ++⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数，22n n b a =-.（1）求2a 、3a 、4a ；（2）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项公式； （3）求和242n n T a a a =++⋯+.23．已知{}n a ，{}n b 为两非零有理数列（即对任意的*i ∈N ，i a ，i b 均为有理数），{}n d为一个无理数列（即对任意的*i ∈N ，i d 为无理数）．（1）已知2n n b a =-，并且2210()()n n n n n n a b d a d d +-+=对任意的*n ∈N 恒成立，试求{}n d 的通项公式；（2）若3{}n d 为有理数列，试证明：对任意的*n ∈N ，2211()()n n n n n n a b d a d d +-+=恒成立的充要条件为66111n nn n n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩；（3）已知24sin 20252πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，n d =n b ．参考答案1．{x|x =2kπ±π3,k ∈Z}【分析】由诱导公式可得cosx =sin π6=cos π3=cos(−π3)，由余弦函数的周期性可得：x =2kπ±π3,k ∈Z .【详解】因为方程cosx =sin π6，由诱导公式得sin π6=cos π3=cos(−π3)， 所以x =2kπ±π3,k ∈Z ， 故答案为{x|x =2kπ±π3,k ∈Z}． 【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题． 2．23π 【解析】 【分析】根据等差数列的性质：在等差数列中若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+即可 【详解】15953a a a a π++==53a π∴=285223a a a π∴+==故答案为：23π 【点睛】本题主要考查的等差数列的性质：若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+，这一性质是常考的知识点，属于基础题。

3【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系：22sin cos 1a a +=，以及反三角函数即可解决。

【详解】由题意2sin arccos 3⎡⎤⎛⎫-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，同角角三角函数基本关系主要有:22sin cos 1a a +=,sin tan cos aa a=.属于基础题。

4．50,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】首先根据x 的范围求出sin x 的范围，从而求出值域。

【详解】当233x ππ-<<时，sin 1x <≤， 由于反余弦函数是定义域[-1,1]上的减函数，且5arccos ,arccos1026π⎛-== ⎝⎭所以值域为50,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 故答案为：50,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了复合函数值域的求法：首先求出内函数的值域再求外函数的值域。

属于基础题。

5．21,123,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯≥⎩【解析】 【分析】已知n S 求n a ，通常分11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解即可。

【详解】2n ≥时，111122n n n n n a S S a a -+=-=-，化为：13n n a a +=． 1n =时，12112a a -==，解得22a =-．不满足上式．∴数列{}n a 在2n ≥时成等比数列．∴2n ≥时，223n n a -=-⨯．∴21,123,2n n s n a n --=⎧=⎨-⨯≥⎩． 故答案为： 21,123,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯≥⎩．【点睛】本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。

6．2k . 【分析】分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果. 【详解】当n k =时，左边11112321k =++++-…， 当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，观察可知，增加的项数是1121(21)222k k k k k ++---=-=，故答案是2k . 【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果. 7．863π 【解析】 【分析】首先求出()f x 在[]0,π上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时a b 、的值即可 【详解】根据()2sin 10f x x =-=，即1sin 2x =，故26x k ππ=+，或526x k ππ=+， ∵()2sin 1f x x =-在区间[],a b （,a b R ∈且a b <）上至少含有30个零点， ∴不妨假设6a π=（此时，0k =），则此时b 的最小值为5286ππ+，（此时，14k =）， ∴b a -的最小值为58628663ππππ+-=， 故答案为：863π 【点睛】本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。

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上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷

上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷

高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为 ．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是 ．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是 ．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2n }的前n 项和为 ．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝ ．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为 ．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列． （2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ， 由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分） （Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1． 综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2）， 由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则 所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列， 所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。

上海市七宝中学高一数学理期末试题含解析

上海市七宝中学高一数学理期末试题含解析

上海市七宝中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f （11）的值等于（）A．2 B．2+C．2+2D．﹣2﹣2参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象，求出函数的解析式，结合函数周期性的性质进行转化求解即可．【解答】解：由图象知A=2，T=4×2=8，即=8，则ω=，即f（x）=2sin（x+φ），由五点对应法得×2+φ=，即φ=0，则f（x）=2sin（x），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）=f（1）+f（2）+f（3），∵f（1）=2sin=2×=，f（2）=2sin（×2）=2sin=2，f（3）=2sin（×3）=2×=，∴f（1）+f（2）+f（3）=2+2，即f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）=2+2，故选：C．2. 设函数，集合，设，则（）A． B． C． D．参考答案：D略3. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x), 当x∈(0,2)时，f(x)=2x2,则f(7)等于（）A．-2 B．2 C．-98 D．98参考答案：A略4. 函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】两个被开方数都需大于等于0；列出不等式组，求出定义域．【解答】解：要使函数有意义，需，解得，故选B．5. 已知是函数的一个零点.若，则 ( ) A．B．C．D．参考答案：B6. 已知a=0.23.5，b=0.24.1，c=e1.1，d=log0.23，则这四个数的大小关系是（）A．a＜b＜c＜d B．a＞b＞c＞d C．d＜b＜a＜c D．b＞a＞c＞d参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵y=0.2x是减函数，3.5＜4.1，a=0.23.5，b=0.24.1，∴1=0.20＞a＞b＞0，c=e1.1＞e0=1，d=log0.23＜log0.21=0，∴d＜b＜a＜c．故选：C．7. 三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7 B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76 D．log0.76＜0.76＜60.7参考答案：D【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞1∴log0.76＜0.76＜60.7故选D8. 若，，则 ( )A． B．0 C．1 D ．2参考答案：A略9. 的展开式中的系数是A．B．C．D．参考答案：D略10. 已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】原问题等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，等价于函数y=f （x ）与y=m 的图象有三个不同的交点， 作出函数f （x ）的图象如图：由二次函数的知识可知，当x=时，抛物线取最低点为， 函数y=m 的图象为水平的直线，由图象可知当m∈（，0）时，两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点， 故选C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算下列几个式子，结果为的序号是 ．①tan25°+tan35°tan25°tan35°，②，③2（sin35°cos25°+sin55°cos65°），④．参考答案：①②③【考点】两角和与差的正切函数．【分析】先令tan60°=tan （25°+35°）利用正切的两角和公式化简整理求得tan25°+tan35°=（1﹣tan25°tan35°），整理后求得tan25°+tan35°+tan25°tan35°=；②中利用正切的两角和公式求得原式等于tan60°，结果为；③中利用诱导公式把sin55°转化才cos35°，cos65°转化为sin25°，进而利用正弦的两角和公式整理求得结果为，④中利用正切的二倍角公式求得原式等于，推断出④不符合题意．【解答】解：∵tan60°=tan （25°+35°）==∴tan25°+tan35°=（1﹣tan25°tan35°） ∴tan25°+tan35°tan25°tan35°=，①符合═tan （45°+15°）=tan60°=，②符合2（sin35°cos25°+sin55°cos65°）=2（sin35°cos25°+cos35°sin25°）=2sin60°=，③符合=tan=，④不符合故答案为：①②③12. 设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案：【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】通过讨论m=0成立，m≠0时，结合二次函数的性质求出m 的范围即可． 【解答】解：m=0时f （x ）=﹣1＜0成立，或 m≠0时，结合题意得：，解得：﹣4＜m≤0，因此实数m 的取值范围（﹣4，0]．13. 定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是π，且当x∈（0，）时，f （x ）=sinx ，则= ．参考答案：【分析】由题意利用函数的周期性偶函数，转化为f （），即可求出它的值．【解答】解：定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且当x∈（0，）时，f （x ）=sinx ，所以=f （﹣）=f （）=sin=．故答案为：．14. 函数的极大值为_________。

2024届上海市七宝高中数学高一下期末学业质量监测试题含解析

2024届上海市七宝高中数学高一下期末学业质量监测试题含解析

2024届上海市七宝高中数学高一下期末学业质量监测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线30x y a -+=平分圆22240x y x y ++-=的周长，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．3D ．52．若110b a<<，则下列不等式不成立．．．的是( ) A ．11a b a >- B ．a b <C ．a b >D ．22a b >3．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11b a> B ．22a b >C ．a b ac bc >D ．33a b >4．已知ABC ∆中，2a =，3b =，60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．45C ．135或45D ．905．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =3cos a B ．则B =A ．B ．4π C ． D ．7．已知,αβ∈R ，两条不同直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-18．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥-B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥9．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则311b b +=（ ） A ．3B ．6C ．7D ．810．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

高一第二学期数学期末考试试卷

高一第二学期数学期末考试试卷

七宝中学高一第二学期数学期末考试试卷一、填空题（每小题3分，满分30分）1. 函数cos y x ω=（其中0ω>）的最小正周期是3，则ω= .32π 2. 数列{}n a 中，11111,1()n na n N a a *+=-=∈，则4a = . 413. 求值：2sin[arccos()]3-= .35 4.已知等比数列{}n a 满足292,9a a ==，则56a a = .18 5. sin cos y x x =+的值域为_______________.[]2,2-6. 等比数列{}n a 中，332a =，前三项之和392S =，则公比q= . q=1或21-7. 已知函数-1()arcsin(2),()23f x x f ππ=+=则 . 41- 8. 函数1arccos y x =-的反函数为 .()[]cos 1,1,1y x x π=-∈- 9．已知函数()cos (0),()f x x x y f x ωωω+>= 的图像与直线2y = 的两个相邻交点的距离等于π ，则()y f x =的单调递增区间是_____________________.,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦10.设等差数列{}n a 满足：公差*d N ∈，*n a N ∈，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若513a =，则d 的所有可能取值之和为_________________. 364二、选择题（每小题4分，满分16分）11. 函数sin ,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是 （ C ）12．等差数列{}n a 的前n 项和为1415,0,0n S S S ><，则该数列中正数项共有（ A ）项. A ．7 B ．8 C ．14 D ．1513． 对于共有2n 项的数列{}k a ，122213221n n n n n a a a a a a a a --++=+=+==+ 是{}n a 为等差数列的 （ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 14. 对于()cos f x x x =，以下5个结论中不正确．．．的个数有 （ B ） ①函数()y f x =的图像是中心对称图形；②任取x R ∈，()f x x ≤恒成立； ③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，任取两相邻交点的距离相等； ④函数()y f x =与y x =的任意相邻交点间的距离相等； ⑤当1k >时，()f x kx =仅有一个公共点.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三、解答题（共5题，满分54分）15．（6分）解方程：2tan 10x +=． 解：1arctan ,2x k k Z π=-∈16． (10分) 已知等比数列{}()n a n N *∈满足12a =，454a =，等差数列{}n b ()n N *∈满足11b a =，32b a =．求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：等比数列{}()n a n N *∈，12a =，54314==q a a 则3=q .等差数列{}n b ()n N *∈，6,22311====a b a b ，则2213=-=b b d ()n n b n 2122=-+=，()()2212n nS n n n =+=+17．（6+6=12分）在数列{}n a 中，若32n n S a =+， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于任意n N ∈*，n S a ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 解：()1因为 n n a S 23+=，1123+++=n n a S ，+∈N n .()n n n a a a -=++112，n n a a 21=+,+∈N n .又1123a a +=，所以31-=a .所以数列{}n a 是以31-=a 为首项，公比为2的等比数列. 所以123-⋅-=n n a ，+∈N n .()2()21213---=nn S ()n 213-=a ≤，因为n S 单调递减，所以()32131-=-⨯=≤S S n ， 所以()max n S a ≥=1S =3-， 即3-≥a .18. （12分）已知数列{}n b ，若存在正整数T ，对一切*n ∈N 都有n T n b b +=，则称数列{}n b 为周期数列，T 是它的一个周期．例如：数列a ，b ，c ，a ，b ，c ，… 可看作周期为3的数列…若12,,12a b c ===-，且它有一个形如sin()n b A n ωϕ=+B +的通项公式，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，0A >，0ω>，||2ϕπ<，求该数列的一个通项公式n b ．解：由题意，0ω>，应有23ωπ=，得23ωπ=，于是2sin()3n b A n B ϕπ=++，把12b =，212b =，31b =-代入上式得2sin()2,(1)341sin(),(2)32sin(2)1,(3)A B A B A B ϕϕϕπ⎧++=⎪⎪π⎪++=⎨⎪π++=-⎪⎪⎩由(1)(2)可得cos A ϕ=，再代入(1)的展开式，可得5sin 24A B ϕ-+=，与(3)联立得12B =，3sin 2A ϕ=-，于是t a nϕ=，因为||2ϕπ<，所以3ϕπ=-，于是可求得A ．故213sin()332n n b ππ=-+（*n ∈N ）或写成213sin[(31)]332n n b k ππ+-+（k ∈Z ,*n ∈N ）．19.（4+5+5=14分）设数列{}n a 为递增数列，且01=a ，1()sin()n n f x x a n=-，[]1,n n x a a +∈（n 为正整数）．若对于任意的[)0,1b ∈，()n f x b =总有两个不同的根． （1） 试写出1()y f x =，并求出2a ； （2） 求1n n a a +-，并求出{}n a 的通项公式； （3） 设n n n a a a S 121)1(--++-= ，求n S ．解：（1）[]211,0,sin )sin()(a x x a x x f ∈=-=，又[)1,0,s i n ∈=b b x 总有两个不同的实根，π=∴2a ，且`1()sin f x x =，[0,]x π∈．（2）1当102n n n a a π+<-≤时，)(x f y n =为增函数，不合题意，舍去； 2 当ππn a a n n n <-<+12时，10,sin n n a a b n +⎡-⎫∈⎪⎢⎣⎭时，b x f n =)(有唯一解，不合题意． πn a a n n =-∴+1π2)1(11211-=+-+-+-=∴--n n a a a a a a a n n n n ． （3）当k n 2=时，122122(21)n k k S a a a a k πππ-=-++-=----- =ππ422n k -=-当12+=k n 时，21221221(21)22n k k k k kS a a a a a k ππ-++=-++-+=-+ 2(1)(1)4n k k ππ-=+=224(1)4n n S n ππ⎧-⎪⎪∴=⎨-⎪⎪⎩ 为奇数为偶数n n ．第二卷1、填空题：(6分)在等差数列{}n a 中，当()r s a a r s =≠时，{}n a 必定是常数数列. 然而在等比数列{}n b 中，对某些正整数,()m t m t ≠，m t b b =时，非常数数列{}n b 的一个例子是()1nn b =- .2、选择题：（6分）函数sin cos ,(,y a x b x a b =-是常数，0)a ≠在4x π=处取到最小值，则函数34f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是 （ C ） （A ）偶函数且它的图像关于点(),0π对称 （B ）偶函数且它的图像关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 （C ）奇函数且它的图像关于点(),0π对称 （D ）奇函数且它的图像关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称3，解答题：（8分）对于x R ∈，函数()f x满足：21(1),()()2n f x a f n f n +==-，数列{}n a 的前n 项和为3116-，求(2015)f 的值.解：1(1)2f n +=，221(1)()()2f n f n f n ⎡⎤+-=-⎢⎥⎣⎦，221(1)(1)()()4f n f n f n f n +-++=-，则11,04n n n a a a ++=-≤ 111,044n n n a a a ++=--≤≤设121,,4a a ab a b ==+=-，此数列为,,,,,,a b a b a b31,21,16n S n k k N =-∴=+∈14n S k a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，得37,16k a ==-23(2015)f(2015)16f -=-，1(2015)4f = 或3(2015)4f = 13(2015),(2015)24f f ≥∴=。