2020届上海市七宝中学高三三模数学试题

2019-2020年高三第三次模拟考试数学试题含答案(I)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。

1、若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = ． 解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a iz i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =． 2、设集合{}{}2120,lg(2)A x x xB x y x =+-<==- ，则=⋂B A ．（2,3） 3、某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率 分布直方图如右下图所示，若(130,140] 分数段的人数为90人，则(90,100]分数 段的人数为 ．解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的 人数为x ，则由0.451800x=，得810x =，即(90,100]分数段的人数 为810．4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3， 现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______．136、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_________．()81,8-7、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S．则“||q =627S S =”的（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件） 充分而不必要条件8、如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P ABD -和Q CBD -是两个高相等的正三棱锥， 四点,,,A B C D 在同一平面内．要使塔尖,P Q 之间的距离为分数PQDN MED CB A50m ，则底边AB 的长为 m ．【解析】由正三棱锥的概念知，顶点,P Q 在底面的射影分别是 正三角形ABD 和正三角形BCD 的中心，因为高相等，所以塔尖,P Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距离， 由平面几何易知，底边AB的长为9、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为 ． 解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得c e a ==． 10、若实数x 、y 满足114422xyx y +++=+，则22x y S =+的最大值是 ▲ ．411. 已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ▲ ．710 12、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，x x f =)(，若对任意的]2,[+∈a a x 不等式)(3)(x f a x f ≥+恒成立，则a 的最大值为 ▲ -413．如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足A D E ∆与ABC ∆的面积之比为3:2，则C D E D ⋅的取值范围为________________．)25,a ⎡+∞⎣14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为 ．5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式． 解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()xf x ag x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-， 又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1()2n n a =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为,,A B C ． ⑴设BC CA CA AB ⋅=⋅，求证ABC ∆是等腰三角形；⑵设向量(2sin ,s C =,2(cos2,2cos 1)2C t C =-，且s ∥t ,若12sin 13A =， 求sin()3B π-的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．16.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分 （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆,而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1 而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面 故AEB F C 面//1 …………………………10分（或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB且12EH AB ==由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴111111111223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅分ABCE F P1A 1B 1C HGB17. （本题满分14分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上)，设,tan PAB t θθ∠==，探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S (平方百米)。

3 3七宝中学高三三模数学试卷一.填空题1.已知集合A {x|x 2k,k Z} , B {x| 2 x 2},则AI B【答案】{ 2,0,2}【解析】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合A {x|x 2k,k Z} , B {x| 2 x 2},则AI B { 2,0,2}.故答案为：{ 2,0,2}【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题.2.若直线方程ax + by+c = 0的一个法向量为（J3, 1）,则此直线的倾斜角为【答案】—3【解析】【分析】根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.r【详解】设直线的一个方向向量为 a x, y由直线方程ax + by + c = 0的一个法向量为（J3, 1）,所以底y 0,令x 1,则y 73所以直线的一个方向向量为（1,我，k —V3,设直线的倾斜角为，1由k tan ,所以直线的倾斜角为：一.故答案【点睛】本题考查了直线的法向量、方向向量、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题^ 3.已知复数z满足i z 1 i （i为虚数单位），则Imz .【答案】 1【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案^【详解】解：由i z 1 i ,得z」（1 i）2 i） 1 i , i i1• Imz 1 .故答案为：1.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题^4.已知a、b、c是任意实数，能够说明“若a b c,则a b c”是假命题的一个有序整数组（a,b,c）可以是 _________【答案】（1, 2, 3）（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，适当的进行赋值验算即可求解【详解】根据题意，要说明其为假命题，可以令 a 1 , b 2, c 3,此时满足a b c,但a b 3 c 3不成立，故原命题为假命题 .故答案为：（1, 2, 3）（答案不唯一）【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题^5.函数y |2 xi | （x R, i是虚数单位）的图象与直线y a有且仅有一个交点，则实数a【答案】2【解析】【分析】先通过复数模的求法得到函数y J4 x2，再利用数形结合法求解.________ 2 x2 4【详解】函数y 2 xi “ x2y x ，，函数图象为双曲线y2 x2 4的一支，y 2如图所示:则a 2. 故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的模的几何意义以及函数图象的交点问题，还考查了数形结合的思想方法，属 于基础题.6 .直角坐标系xOy 内有点A 2,1 ,B 2,2 ,C 0,2 ,D 0,1 ,将四边形ABCD 绕直线y 1旋转一周，所得 到的几何体的体积为 【答案】2 【解析】 【分析】四边形ABCD 是矩形，边 AD 在直线y 1上，旋转一周后得一圆柱， AD 是圆柱的高， AB 是底面半径，由此可计算体积。

2020届上海市七宝中学高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．抛物线22(0)y px p =>上不同三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点（ ） A ．到原点的距离成等差数列 B ．到x 轴的距离成等差数列 C ．到y 轴的距离成等差数列 D ．到焦点的距离的平方成等差数列解：设这三点为1(A x ，12)(y B x ，23)(y C x ，3)y ，因为纵坐标的平方成等差数列，即21y ，22y ，23y 成等差数列，三点纵坐标分别代入抛物线方程得2221122332,2,2y px y px y px ===， 得2122x x x =+，因为三点到y 轴的距离为123,,x x x ， 所以三点到y 轴的距离成等差数列. 故选：C 点评：本题主要考查抛物线的基本性质和等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．记min{,}a b 实数,a b 中较小的数，函数()(),f x g x 的定义域都是R ，则“()(),f x g x 都是偶函数”是“函数()(){}()min ,P x f x g x =为偶函数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件解：()f x Q 和()g x 都是偶函数，()()f x f x ∴-=，()()g x g x -=恒成立，则根据偶函数的对称性可知，函数()min{()P x f x =，()}g x 也关于y 轴对称，即()P x 为偶函数成立，若函数()min{()P x f x =，()}g x 为偶函数，则()f x 和()g x 不一定都是偶函数，例如：()||f x x =为偶函数，0()1,02x x g x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，不是偶函数，，满足()min{()P x f x =，2()}g x x =为偶函数，但0()1,02x x g x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，不是偶函数，∴ “()f x 和()g x 都是偶函数”是“函数()min{()P x f x =，()}g x 为偶函数”的充分不必要条件． 故选：A 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的性质以及函数min{a ，}b 的定义是解决本题的关键．3．已知lim(21n n →∞-=，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：由题得1,1n n =∴=331n n a a --∴== 1,422aa ∴=∴=+. 故选：D 点评：本题主要考查数列的极限运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知22(0)(){(1)(0)a x x x f x f x x --<=-≥且函数()y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．[)1,0-C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】C 解：因为当x ≥0的时候，f （x ）=f （x -1），所以所有大于等于0的x 代入得到的f （x ）相当于在[-1，0）重复的周期函数，x ∈[-1，0）时，2=--2y a x x ，对称轴x =-1，顶点（-1，1+a ），（1）如果a ＜-1，函数y =f （x ）-x 至多有2个不同的零点；（2）如果a =-1，则y 有一个零点在区间（-1，0），有一个零点在（-∞，-1），一个零点是原点；（3）如果a ＞-1，则有一个零点在（-∞，-1），y 右边有两个零点，故实数a 的取值范围是[-1，+∞），故选C ．二、填空题5．集合{|A x y ==，{}2|4B y y x x ==-+，则A B =I ____.【答案】[]2,4；先化简集合A,B,再求A B I 得解. 解：由题得{|{|2}A x y x x ===≥，{}2|4=(,4]B y y x x ==-+-∞， 所以A B =I []2,4. 故答案为：[]2,4 点评：本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．线性方程组35035x y x y +-=⎧⎨-=⎩的增广矩阵是______.【答案】135315⎛⎫⎪-⎝⎭；首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得． 解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为135315⎛⎫ ⎪-⎝⎭．故答案为：135315⎛⎫⎪-⎝⎭．点评：此题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．7．已知函数44()sin cos (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则ω=_____.【答案】1；由题得()cos2f x x ω=-，得2=2ππω得解. 解： 由题得422224()sin cos =(sin cos )(sin cos )cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=-+-=-，所以2=12ππωω∴=，. 故答案为：1 点评：本题主要考查二倍角的公式，考查三角函数的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．一元二次方程2x 2x m 0-+=的一个虚根为12i -，则实数m =______. 【答案】5；由题得方程的另外一个虚根为12i +，由韦达定理得解. 解：由题得方程的另外一个虚根为12i +，所以(12)(12),5i i m m -+=∴=. 故答案为：5 点评：本题主要考查复数范围内方程的根，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．n a 是()*(2)nx n N +∈的展开式各项系数的和，则12im 1l 11n n a a a →∞⎛⎫++⋯+= ⎪⎝⎭______. 【答案】12；先求出11)3(,3n n n na a ==，再利用数列的极限求解即可. 解：因为n a 是()*(2)nx n N +∈的展开式各项系数的和，所以1=(2+1)()331,n nn n n a a ==∴， 所以12111(1()1333lim lim[]1121113131n n n n a a a →∞→∞⎛⎫++⋯+= ⎪=--⎭-=⎝. 故答案为：12点评：本题主要考查二项式的展开式的系数，考查数列的极限的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知f （x +1）=2x -2，那么f -1（2）的值是______． 【答案】3令t =x +1，将已知等式中的x 一律换为t ，求出f （t ）即得到f （x ），然后令f （x ）=2x -1-2=2，求出相应的x ，即为f -1（2）的值． 解：解：令t =x +1则x =t -1 所以f （t ）=2t -1-2 所以f （x ）=2x -1-2令f （x ）=2x -1-2=2，解得x =3 ∴f -1（2）=3 故答案为3． 点评：已知f （ax +b ）的解析式，求f （x ）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11．正方形ABCD 的边长为1，E 是AB 边上的动点，则DE EC ⋅u u u r u u u r 的最大值为_______.【答案】34-； 设,1AE x EB x ==-,求出21DE EC x x ⋅=-+-u u u r u u u r，再利用二次函数的图象分析得解. 解：设,1(01)AE x EB x x ==-≤≤, 由题得2()()1(1)1DE EC DA AE EB BC DA BC AE EB x x x x ⋅=+⋅+=⋅+⋅=-+-=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r当12x =时，取最大值34-.故答案为：34-点评：本题主要考查向量的线性运算和数量积运算，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．如图，在梯形ABCD 中，,AC BD 相交于O ，记BCO V ，CDO V ，DAO V 的面积分别为123,,S S S ，则()132:S S S +的取值范围是______.【答案】()2,+∞根据三角形相似的引理，我们易判断AOD COB ∆∆∽，然后根据三角形相似的性质得到对应边成比例，而根据同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，结合基本不等式即可求出132S S S +的取值范围． 解：//AD BC Q ，AOD COB ∴∆∆∽∴DO AOBO CO=∴13312222S S S S BO AO S S S DO CO +=+=+… 当且仅当BO AODO CO=时，即BO DO =时，即O 为BD 中点时取等； 又Q 四边形ABCD 为梯形，故O 不可能为BD 的中点， 故1322S S S +> 即132S S S +的取值范围(2,)+∞ 故答案为：(2,)+∞ 点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定及基本不等式，其中根据梯形的性质，判断O 不可能为BD 的中点易被忽略而错解为[2，)+∞.13．已知直线()()()11410a x a y a -++-+= （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数1y x x=+的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是___________． 【答案】[3)-+∞，把直线方程整理成a 的多项式，根据恒等式的知识求出定点P 的坐标， 解：由()()()11410a x a y a -++-+=得(4)40x y a x y -+-++-=∴4040x y x y -+-=⎧⎨+-=⎩，解得0,4x y =⎧⎨=⎩，∴(0,4)P 。

2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格:已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，若从上述1000名患者中抽取200人，得到如下联表.则表格中的位置分别应填入数字是（ ） A.①35；②65；③45 B.①45；②45；③45 C.①65；②35；③45D.①70；②30；③452.已知行列式102131x P y z =-，则“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3.已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A.[]0,4B.[]0,2C.[]1,4D.[]1,24.如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N ∈满足点()1,n n n P a a +()*n N∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A.（1）是真命题，（2）是假命题B.两个都是真命题C.（1）是假命题，（2）是真命题D.两个都是假命题第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知集合}41,A x x k k Z ==±∈，{}2,B y y n n Z ==∈，则AB =________.6.已知圆225x y +=和点()2,1A -，则过点A 的圆的切线方程为._________7.满足()12log 24x x -+=的实数x =________.8.已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.9.已知向量()1,2AB =，()4,2AC =-，则ABC 的面积为_____________ .10.为了支持“新冠肺炎”的湖北抗疫工作，上海市某医院某科室拟从2名男性，3名女性医务人员中抽调两人前往湖北支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为________.11.已知函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()1f x -，则()112f f --⎡⎤=⎣⎦________. 12.已知O 是ABC 内部一点，20OA OB OC ++=，4BA BC ⋅=，且6ABC π∠=，则OAC 的面积为________.13.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，设“宫”的频率为1，则“角”的频率为________.14.过双曲线221168x y -=的左焦点1F 作倾斜角为α的直线与y 轴交于点A ，与双曲线的右支位于第四象限的部分交于点B ，若()112OA OB OF =+，则α=________. 15.若0>ω，函数()f x 3sin 4cos 03x x x πωω⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[]4,5，则cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是________.16.已知x R ∈，[]x 表示小于x 的最大整数，{}[]x x x =-，令{}{}M x 0x 100,1x =≤≤=，则M 中元素之和为________.三、解答题（题型注释）17.如图，一智能扫地机器人在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东6π方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少0.4米，于是选择沿A B C →→路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，10秒钟完成了清扫任务（忽略机器人吸入垃圾及在B 处旋转所用时间）（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（2）求智能扫地机器人此次清扫过程中旋转角的最小值？请指出旋转方向. 18.将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把()g x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象.（1）求ϕ的最小值和()h x 的解析式； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()h x 的单调递减区间. 19.如图，四边形11ABB A 是圆柱1OO 的轴载面，4AB =，12OO =，以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥1PO ，C 、1C 分别在AB 、11A B 上，2AOC π∠=，1113AO C π∠=.（1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角111O AC C --的余弦值.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB的面积为4.过点()0,1P 且斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围. 21.对于数列{}n a 、{}n b 、{}()*n d n N∈，若()()2211nn n n n n da b d a d ++-=对任意的*n N ∈恒成立，则称数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P .设121nk n k a a a a ==+++∑；（1）证明：数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）若()*tan3n n d n N π=∈，{}n a 、{}n b 、{}n d 满足（1）的充分条件，求()2020221nn n ab =+∑；（3）若{}n a 、{}n b 、{}3n d 的每一项均为有理数，但{}n d 每一项均为无理数，试给出数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件.若在此条件下令13332n nd =⨯，试探究数列{}n b 的一些性质（如单调性，极限，{}n b 的最大项等）.参考答案1.C【解析】1.计算出200人中潜伏期6≤天的人数，结合表格中的数据可计算出①②③处应填入的数字. 由分层抽样可知，从上述1000名患者中抽取200人，其中潜伏期6≤天的人数为852053102001201000++⨯=，所以，①处应填的数字为1205565-=，②处应填的数字为1006535-=，③处应填的数字为1005545-=. 故选：C. 2.A【解析】2.利用行列式展开法则推导出“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，举反例说明“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，由此能求出结果． 行列式102131x P y z =-，“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”，2355230P x z x y x y z k k k ∴=-+-+=-++=-++=， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，当50P x y z =-++=时，有可能52y z x ==， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分不必要条件．故选：A ．3.B【解析】3.利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选：B . 4.B【解析】4.根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B. 5.Z【解析】5.分析出集合A 为奇数集，集合B 为偶数集，由此可计算得出AB .{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈{}(){}{}221,2211,21,x x k k Z x x k k Z x x m m Z ==⋅+∈⋃=⋅-+∈==+∈，则集合A 为奇数集，{}2,B y y n n Z ==∈为偶数集， 因此，Z AB =.故答案为：Z . 6.250x y --=【解析】6.经分析不存在切线斜率不存在的情况，设出切线方程：()21y k x =--，根据相切时圆心到直线的距离为圆的半径求解出k 的值，即可写出切线方程. 设切线方程为：()21y k x =--，=2k =，所以切线方程为：()221y x =--，即250x y --=. 故答案为：250x y --=. 7.3【解析】7.本题可通过对数与指数的运算得出结果.()12log 24x x -+=，1242x x -+=，1224x x --=，112224x x --⨯-=， 124x -=，解得3x =，故答案为：3. 8.1:2:10【解析】8.利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i ac i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210ba c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10 9.5【解析】9.根据向量的坐标可得向量垂直，从而得到三角形为直角三角形，求出向量的模长，即可得答案；因为AB AC ==0AB AC ⋅=，所以90BAC ∠=︒，所以152ABCS==． 故答案为：5． 10.35【解析】10.本题首先可以令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，然后列出抽调两人的所有可能情况，再然后列出刚好为一男一女的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，从中抽调两人的所有可能情况为：AB 、Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 、ab 、ac 、bc 共十种，满足刚好为一男一女的所有可能情况：Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 共六种， 则抽调的两人刚好为一男一女的概率63105P ==，故答案为：35. 11.1-【解析】11. 先求出()1fx -，再计算1(2)f - ，即可得()112f f --⎡⎤⎣⎦的值.当0x <时()20,1x y =∈，可得2log x y =，即()12log f x x -=，()0,1x ∈，当0x ≥时，[)211,y x =+∈+∞，可得12y x -=，即11()2x f x --=，[)1,x ∈+∞， 所以函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()21log ,011,12x x f x x x -<<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，1211(2)22f --==， ()1112112log 122f f f ---⎛⎫⎛⎫⎡⎤===- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 故答案为：1-【解析】12.由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+，设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+，可得BO OD =，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=可得83BA BC ⋅=12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠△即可求出. 在ABC 中，由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+， 设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+， BO OD ∴=，∴O 为BD 的中点，12AOCABCSS ∴=，4BA BC ⋅=，3cos 42BA BC BA BC ABC BA BC ∴⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=， 83BA BC ∴⋅=111||||sin 22323ABCS BA BC ABC ∠∴=⋅⋅=⨯⨯=12AOCS==.故答案为：3. 13.8164【解析】13.根据已知条件经过一次“损”频率变为原来的32，经过一次“益”，频率变为原来的34，依次损益交替变化求概率即可.由“宫”的频率为1，“宫”经过一次“损”得到“徵”的频率变为32， “徵”经过一次“益”，得到商的频率为339248⨯=， “商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为93278216⨯=， “羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为2738116464⨯=， 所以“角”的频率为8164， 故答案为：816414.απ=-【解析】14.由双曲线方程求得左焦点坐标，由直线的倾斜角可得直线的斜率，写出直线方程，得到直线在y 轴上的截距，由向量等式可知A 为1F B 的中点，由中点坐标公式求得B 点坐标，代入双曲线方程可得tan α，再由反三角函数求得角α值．如图，由双曲线221168x y -=，得1(F -，直线AB 的斜率为tan (αα为钝角），直线方程为tan (y x α=+， 取0x =，得y α=，则)A α， 由11()2OA OB OF =+，可得A 为1F B 的中点，设(,)B x y ，则00x y α⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，B ∴)α． B 在双曲线上，∴224961168tan α-=，即tan 12α=-． α为钝角，απ∴=-．故答案为：απ=- 15.74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】15.首先利用辅助角公式对()f x 化简，可得()()5sin f x x ωϕ=+，再利用()f x 的值域，可求出23ππωϕπϕ≤+≤-的范围，即得0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，再结合余弦函数的单调性，4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，即可求出cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围. ()34f 3sin 4cos =5sin cos 55x x x x x ωωωω⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()5sin x ωϕ=+，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=， 因为03x π≤≤，所以3x πϕωϕωϕ≤+≤+，令x t ωϕ+=，则5sin y t =的值域为[]4,5，可得sin y t =的值域为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为4sin 5ϕ=，所以23ππωϕπϕ≤+≤-， 即0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，且cos y x =单调递减，因为4cos sin 25πϕϕ⎛⎫-==⎪⎝⎭，()221697cos 2cos 2sin cos 252525πϕϕϕϕ-=-=-=-=， 所以cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.5050【解析】16.本题首先可根据题意确定集合{}0,1,2,3,4,,100M =，然后根据等差数列求和公式即可得出结果.因为{}[]x x x =-，0x 100≤≤，{}1x =， 所以集合{}0,1,2,3,4,,100M =，则M 中元素之和为010001210010150502， 故答案为：5050.17.（1）1.4m （2）11cos 14arc π-，方向见解析.【解析】17.（1）利用余弦定理，结合a c +列方程组，解方程组求得BC .（2）利用余弦定理求得cos B 的值，由此求得旋转角的最小值，并判断出旋转方向.（1）依题意可知2263A πππ∠=+=，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则 2222220.21020.40.42cos a c a c b c b c a b c bc A a b c bc +=⨯+=⎧⎧⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪=+-=++⎩⎩， 将2,0.4 2.4c a b c a =-=+=-代入222a b c bc =++化简得2 6.67.280a a -+=，即()()1.4 5.20a a --=，由于0.2102a <⨯=，所以()()1.4 5.20a a --=解得 1.4m a =. 且20.6m, 2.41m c a b a =-==-=.（2）由余弦定理得222 1.960.361 1.3211cos 22 1.40.6 1.6814a cb B ac +-+-====⨯⨯，由于23A π=，所以B 为锐角. 所以旋转角的最小值为11cos 14arc π-，方向沿顺时针方向旋转. 18.（1）ϕ的最小值为6π，()2sin 33h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】18.（1）利用三角函数的图象变换可得出关于ϕ的表达式，进而可求得正数ϕ的最小值，再利用正弦型函数的伸缩变换可求得函数()y h x =的解析式； （2）求得函数()y h x =在R 上的单调递减区间，与区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦取交集可得出结果. （1）将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位， 可得到函数()()()2sin 22sin 22g x x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦的图象，又()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()223k k Z πϕπ∴-=-+∈，可得()6k k Z πϕπ=-∈，0ϕ>，当0k =时，ϕ取最小值6π，将函数()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变）， 可得到函数()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，因此，()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y h x =在R 上的单调递减区间为()52112,183183k k A k Z ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，50,,2182A πππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因此，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y h x =的单调递减区间为5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19.（1）表面积为(12π+，体积为323π；（2.【解析】19.（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角111O AC C --的余弦值. （1）由题意可知，圆柱的底面半径为22ABr ==， 因为1PO 为圆锥的高，且12PO =，所以，圆锥的母线长为1PA==，又12OO =，因此，该几何体的表面积为(22+222212S ππππ=⨯⨯⨯+⨯=+.该几何体的体积为22132222233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=； （2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则点()10,0,2O ，()12,0,2A，()1C ，()0,2,0C ，设平面11A CC 的一个法向量为(),,m x y z =，()11AC =-，()12,2,2AC =--， 由11100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得02220x x y z ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，令x =1y =，1z =，所以，平面11A CC的一个法向量为(3,1,1m =，易知平面111O AC 的一个法向量为()0,0,1n =，(cos ,m n m nm n⋅<>===⋅，由图象可知，二面角111O AC C --20.（Ⅰ）2221x y +=（Ⅱ）2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅲ）)2【解析】20.（Ⅰ）把点A 坐标代入椭圆的方程得1a =.由AOB 12ab =得b ，进而得椭圆C 的方程.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx=+，()11,M x y ，()22,N x y .联立直线l 与椭圆C 的方程可得关于x 的一元二次方程.>0∆，进而解得k 的取值范围.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程，令0x =，解得111y y x -=-.点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.用坐标表示PS ，PT ，PQ ，代入PS PO λ=，PT PO μ=，得111111111y kx x x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+，代入λμ+，化简再求取值范围.（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=经过点1,0A ，所以21a =解得1a =. 由AOB124ab =，解得2b =所以椭圆C 的方程为2221x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立22211x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消y 整理可得：()2221410k x kx +++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210k k ∆=-+>，解得212k >. 因为0k >，所以k的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y . 所以直线AM 的方程是：()1111y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-. 所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，220,11y PT x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，()0,1PO =-. 由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：1111y x λ--=--，2211y x μ--=--， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--. 同理22111kx x μ+=+-. 由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+， 所以()()()1212121212122121122111kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=++=+---++ ()222214212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭()22224422121421k k k k k k -+-+=++++()()2121k k -+=++)12221k k ⎛⎫=-+∈> ⎪ ⎪+⎝⎭ 所以λμ+的范围是)2.21.（1）证明见解析；（2）40394；（3）单调递减，lim 0n n b →∞=，()max637n b =.【解析】21.（1）将1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩代入验证等式()()2211n n n n n n d a b d a d ++-=即可证得结论成立；（2）根据条件1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩求得22n n a b +关于n 的表达式，进而可求得()2020221n n n a b =+∑的值；（3）根据题意求得数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件为636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，由结合13332nn d =⨯可推导出数列{}n b 的单调性、极限以及最大项.（1）1n n n a b d +=，n n n b a d =，所以，()()()()()22222211111n n n n n n n n n n n n n d a b d a d d a d d a d a ++-=+-=--+()()223111n n n n n n n n n d b d a d d b a d =-+=-+=，因此，数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）1n n n n n n a b d b a d +=⎧⎨=⎩，且tan 3n n d π=，可得tan 13tan3n n n n n a b n b a ππ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，222211cos 31tan sin 331cos 3n n a n n n ππππ===++，tansin cos 333n n n n n b a πππ==， 所以，224222222cossin cos cos cos sin cos 3333333n n n n n n n n n a b πππππππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭121cos 23n π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()()()2222122123cos cos cos 2333n k k k nn n n a b πππ+=++⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦∑12222224243cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2333333333n n n n n πππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭1212212233cos cos cos 23232323232n n n n n πππππ⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭， 202036731=⨯+，因此，()2020222211131220191201940396731cos 2232424nn n ab a b π=⎛⎫+=++⨯=++=+= ⎪⎝⎭∑； （3）()()2211nn n n n n da b d a d ++-=，23421n n n n n n n n n n n a d a b d b d a d a d ∴+++--=，()331n n n n n n n a b d d b a d ∴++-=，{}n a 、{}n b 、{}3n d 为有理数列，{}n d 为无理数列，3310n n n n n n a b d b a d ⎧+=⎨-=⎩，所以636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 当13332n nd =⨯时，则332nn d =⨯，则32111943232nn nn nb ⨯==+⨯+⨯⨯，令326n t =⨯≥，由双勾函数的单调性可知，函数1y t t=+在区间[)6,+∞上单调递增，所以，数列{}n b 单调递减，1lim lim13232n n n n nb →∞→∞==+⨯⨯，数列{}n b 的最大项为12661637b ==+.。

上海市七宝中学高三数学5月（三模）试题 文 沪教版一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． １．i 为虚数单位，复数11i-的虚部是＿＿＿＿． 2．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则C 的准线方程为_____．3．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取4.5．若θ67人有 够自理”，-1代表“生活不能自理”.则随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是_____（用分数作答）.8．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是_________.9．已知函数()2xf x =,点P(,a b )在函数1(0)y x x=>图象上，那么()()f a f b ⋅ 的最小值是____________.10．在平面上，12AB AB ⊥，12||1,||2MB MB ==,12AP AB AB =+.若||1MP <，则||MA 的取值范围是_____. 11．函数()(21)(2)xxf x a -=--的图象关于1x =对称，则()f x 的最大值为___.12．对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，开始 结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数是5．正确的命题是________13．已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.当方程有实根时，则点),(y x 的轨迹方程为______. 14. 已知向量序列：12,,,n a a a 满足如下条件：1||4||2a d ==，121a d ⋅=-且1n n a a d --=（2,3,4,n =）.若10k a a ⋅=，则k =___；12||,||,,||n a a a 中第___项最小.二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）（Ａ） （Ａ）2sin()23x y π=+ （Ｂ）2sin(2)6y x π=-（Ｃ）2sin(2)6y x π=+（Ｄ）2sin()23x y π=- 16．若,x y 满足约束条件,1,3 3.x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是 （ ）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）617．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 （ ）（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）318．若直线4ax by +=和圆224x y +=没有公共点，则过点(,)P a b 的直线l 与椭圆22194x y +=的公共点（ ） （A ）至少有一个 （B ）有两个 （C ）只有一个 （D ）不存在三、解答题解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定侧视图俯视图主视图区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为060，求广场的直径（保留两位小数）.20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设底面直径和高都是4的圆柱的内切球为O . （1）求球O 的体积和表面积；（2）AB 是与底面距离为1的平面和球的截面圆M内的一条弦，其长为AB 两点间的球面距离.21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.设椭圆()222210y x a b a b+=>>两顶点(,0),(,0)A b B b -焦距为2，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆交于,C D 两点． （1）求椭圆的方程；（2）求线段,C D 中点Q 的轨迹方程；（3）若直线AC 的斜率为1，在椭圆上求一点M ，使三角形22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，其中11a =，n S 是n a 的前n 和. （1）求23456,,,,a a a a a ； （2）求n a ； （3）求n S .23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4 分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()(1|1|)f x a x =--，a 为常数，且1a >.DCBA（1）求()f x 的最大值；（2）证明函数()f x 的图象关于直线1x =对称； （3）当2a =时，讨论方程(())f f x m =解的个数.文科答案 1、12；2、x=-2；3、(0,1]；4、5；5、12k πθπ=+或5()12k k Z πθπ=+∈； 6、4；7、287/300；8、直线；9、4；10、||MA ∈；11、1/4； 12、．①②③④；13、22(1)(1)2x y -+-=；14、9；3. BDBB 19．设南、北门分别为点A 、B ，东、西建筑物分别为点C 、D.在BCD 中，2220304023040cos601300CD =+-⋅⋅⋅=，CD =分由于AB 为BCD 的外接圆直径，所以sin 60CD AB ===41.63≈. 所以广场直径约为41.63米. 12分DCBA20． （1）3432233V π=⋅π⋅=球，…… 3分 24216S =π⋅=π表面积 …… 6分 （2）23AOB π∠=， …… 12分 所以AB 两点间的球面距离为43π. …… 14分21．（1）椭圆方程为22154y x +=. …… 3分 （2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，(,)Q x y ，则2211154y x +=①，2222154y x +=②①-②得 21212121()()5()()4y y y y x x x x -⋅+=--⋅+， …… 5分因21212121,4y y y y y y x x x x x x-+==--+， 所以544y y x x ⋅=--，即2252040x x y -+= （01x ≤≤）. ……8分 用代入法求解酌情给分。

上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一. 填空题1. (,3][1,0)-∞--2. 79-3. 24. 3log 1x +（1(0,)3x ∈） 5. 312n n a n n =⎧=⎨≥⎩6. 507. 10108.9. 110. 1}-11. (3--- 12.1288二. 选择题13. B 14. C 15. C 16. B 三.解答题17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B B b =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值. 【详解】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==，设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩，设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为122m n m n⋅==⨯⋅，所以二面角1B EC C --=【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.18．在ABC ∆在在在在A在B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ，1）求角B 的大小；，2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3πⅠ(Ⅰ)b =【解析】分析：ⅠⅠⅠ由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB=，则B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理可得b Ⅰ结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()214sin A B -=详解：ⅠⅠ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =Ⅰ 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ⅰ即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2Ⅰc =3ⅠB =π3Ⅰ 有22227b a c accosB =+-=，故b由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c，故cosA =Ⅰ因此22sin A sinAcosA ==Ⅰ212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因； （2）若华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.【答案】（1）不符合，原因见解析（2）a 的取值集合为{}910911912，， 【解析】【分析】（1）根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立；判断单调性及最值，即可求解； （2）由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和()5xf x ≤，即可求解参数范围，由a 为正整数，即可确定取值集合. 【详解】（1）设奖励函数模型为()y f x =，按公司对函数模型的基本要求，函数()y f x =满足:当[10,1000]x ∈时，①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5x f x ≤恒成立.对于函数模型11005x y =-.当[10,1000]x ∈时，11005x y =-是增函数，max1000149()(1000)910055f x f ==-=>所以()9f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，当10100x ≤≤时，()f x 在定义域[10,100]上是增函数，且()9f x ≤恒成立；当1001000x <≤时，10100()101010x a a f x x x ---==+++，只有1000410005110a a --<⎧⎪-⎨≤⎪⎩时，()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；要使()9f x ≤在[10,1000]x ∈恒成立，(1000)9f ≤，即100041000[100,912]5110(1000)9a aa f --<⎧⎪-⎪≤⇒∈⎨⎪≤⎪⎩；要使()5x f x ≤恒成立对[10,1000]x ∈恒成立，即11010010055101001000105x xx x a x x x ⎧-<≤≤⎪⎪⎨-⎪<<≤⎪+⎩，即24050x x a -+≥恒成立，所以910a ≥； 综上所述，910a ≥，所以满足条件的正整数a 的取值集合为{}910911912，，【点睛】本题结合实际问题，考查了（1）函数的单调性，最值和恒成立问题；（2）由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、， （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM BN ⋅的取值范围；（3）设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值.【答案】（1）22163x y+= （2）(2,3] （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率和(2,1)A 代入椭圆方程可求得a 和c ，进而求得b ，方程可得；（2）由题意显然直线l 方程为()3y k x =-，联立直线与椭圆的方程22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222212121860k xk x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴>0∆，可得11k -<<，再用坐标表示出BM BN ⋅，即可求取值范围. （3）由（2）用坐标表示出AM AN k k +化简即可.【详解】（1）由题意得22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a =b =∴椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()3y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=.∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ， ∴()()()42221444121862410k kkk ∆=-+-=->，解得11k -<<.设M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则21221212k x x k+=+，212218612k x x k -=+， 又()113y k x =-，()223y k x =-，()()121233BM BN x x y y =--+⋅()()21212139k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦ ()2223333122212k k k +==+++， ∵11k -<<，∴()233232212k <+≤+， ∴BM BN ⋅的范围为(]2,3. （3）由（2）得121211=22AMAN y y k k x x --++--()()()()()()122112312312=22kx k x kx k x x x ---+-----()()()12121212251124=24kx x k x x k x x x x -++++-++()()()()()2222222186511212412=18624412k k k k k k k k k --+⋅+++--++2244=22k k -+- 2=-所以AM AN k k +为定值，=2AM AN k k +- 【点睛】本题考查主要考查椭圆的标准方程求解，运用韦达定理解决直线与椭圆相交问题，椭圆定点问题，考查逻辑推理能力和计算求解能力，综合性较强，有一定难度.21．已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件:121,a a a a =≠，当n *∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a k 、均为非零常数.（1）数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令1()n n n b a a n N *+=-∈，若11b =，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明:{}n a 数列是等比数列的充要条件是()(1)f x kx k =≠. 【答案】（1）1（2）n b ()1210n ka a -=-≠（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意知1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-()2n ≥，得()()112n n n n a a k a n a --=-≥-，再由等差数列，即可求解k 值；（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，因此()()()1111n n n n n n n n b a a f a f a k a a kb +---=-=-=-=，由此可知，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.（3）先进行充分性证明：若()(1)f x kx k =≠则{}n a 数列是等比数列；再进行必要性证明：若{}n a 数列是等比数列，则()(1)f x kx k =≠.【详解】（1）由已知()1n n a f a -=，()()()()112,3,4,n n n n f a f a k a a n ---=-=⋅⋅⋅， 得()()()()1112,3,4,n n n n n n a a f a f a k a a n +---=-=-=⋅⋅⋅， 由数列{}n a 是等差数列，得()112,3,4,n n n n a a a n a +-=-=-⋅⋅⋅， 所以，()11n n n n a a k a a ---=-，()2,3,4,n =⋅⋅⋅，得1k =.（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，且当2n >时，()()()111n n n n n n n b a a f a f a k a a +--=-=-=-()1210n k a a -==-≠，所以，当2n ≥时，()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n f a f a k a a b a a k b a a a a a a --+-------====---，因此，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. 故通项公式为()1210n n b ka a -=-≠（3）{}n a 是等比数列的充要条件是()()1f x kx k =≠，充分性证明:若()()1f x kx k =≠，则由已知10a a =≠，()()12,3,4,n n a f a n -==⋅⋅⋅ 得()12,3,4,n n n a ka -==⋅⋅⋅，所以，{}n a 是等比数列. 必要性证明:若{}n a 是等比数列，由（2）知，()()1*21n n b ka a n N-=-∈，()()()12121211n n n b b b a a a a a a --++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()12n a a n =-≥，()1121n n a a b b b -=+++⋅⋅⋅+.当1k =时，()()()12112n a a a a n n =+--≥.上式对1n =也成立， 所以，数列{}n a 的通项公式为:()()()()*1n a a f a an n N =+--∈.所以，当1k =时，数列{}n a 是以a 为首项，()f a a -为公差的等差数列. 所以，1k ≠.当1k ≠时，()()1121121n n k a a a a n k--=+-≥-. 上式对1n =也成立，所以，()11()1n n k a a f a a k --=+--1()(())11n f a a f a a k a k k---=+---. 所以，()0()1f a aa f a ka k-+=⇒=-.Ⅰ，等式()(1)f x kx k =≠对于任意实数a 均成立.所以()(1)f x kx k =≠.【点睛】本题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.。

2020届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．设3i1iz +=-，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．3D ．22．设集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =≤，则()A B =R I ð（ ） A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{1,2}D ．{1,2,3}3．已知22log 5log 5x =-，5log 3y =，125z -=，则下列关系正确的是（ ） A ．z y x << B ．z x y << C ．x y z <<D ．y z x <<4．定义：10000100010010abcde a b c d e =++++，当五位数abcde 满足a b c <<，且c d e >>时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ） A ．16B ．110C ．112 D ．1205．函数||2()2x f x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．将参加体检的36名学生，编号为1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为9的样本，已知样本中含有编号为33的学生，则下面十名学生编号中被抽到的是（ ） A ．13B ．14C ．23D ．247．若cos57m ︒=，则cos213︒=（ ） A ．21m m--B ．2211m m--+ C ．21m --D ．m -8．若向量(2,3)=m ，(1,)λ=-n ，且(23)⊥-m m n ，则实数λ的值为（ ） A ．329-B ．329C ．32D ．32-9．执行下面的程序框图，如果输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．5n <B ．5n ≤C ．6n <D ．6n ≤10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点(2,0)F 到渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．2311．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos a B b A c C +=，sin sin sin 0a A c C b A -+=，则ba=（ ） A ．53B ．73 C ．72D ．5212．抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线22221y x -=的一个焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l 交C 于A 、B ，则||AB =（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。

七宝中学高三三模数学试卷一.填空题1.已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|22}B x x =-≤≤，则A B =________【答案】{2,0,2}- 【解析】 【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|22}B x x =-≤≤， 则AB ={2,0,2}-.故答案为：{2,0,2}-【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题. 2.若直线方程0ax by c 的一个法向量为3,1)-，则此直线的倾斜角为________【答案】3π 【解析】 【分析】根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线的一个方向向量为(),a x y = 由直线方程0ax by c的一个法向量为3,1)-，30x y -=，令1x =，则3y =所以直线的一个方向向量为3)，33k ==，设直线的倾斜角为α， 由tan k α=，所以直线的倾斜角为：3πα=.故答案：3π 【点睛】本题考查了直线的法向量、方向向量、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 3.已知复数z 满足1i z i ⋅=+（i 为虚数单位），则Im z =__________． 【答案】1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解：由1i z i ⋅=+，得21(1)()1i i i z i i i ++-===--， ∴Im 1z =-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.4.已知a 、b 、c 是任意实数，能够说明“若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一个有序整数组(,,)a b c 可以是________ 【答案】1,2)3(,---（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，适当的进行赋值验算即可求解【详解】根据题意，要说明其为假命题，可以令1a =-，2b =-，3c =-，此时满足a b c >>，但33a b c +=->=-不成立，故原命题为假命题. 故答案为：1,2)3(,---（答案不唯一）【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题.5.函数|2|=+y xi （x ∈R ，i 是虚数单位）的图象与直线y a =有且仅有一个交点，则实数a =________【答案】2 【解析】 【分析】先通过复数模的求法得到函数24+y x ，再利用数形结合法求解.【详解】函数2224242y x y xi x y ⎧-==+=+⇔⎨≥⎩，∴函数图象为双曲线224y x -=的一支， 如图所示：又因为函数图象与y a =有且仅有一个交点， 则2a =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的模的几何意义以及函数图象的交点问题，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.6.直角坐标系xOy 内有点()()()()2,1,2,2,0,2,0,1A B C D ，将四边形ABCD 绕直线1y =旋转一周，所得到的几何体的体积为____ 【答案】2π 【解析】 【分析】四边形ABCD 是矩形，边AD 在直线1y =上，旋转一周后得一圆柱，AD 是圆柱的高，AB 是底面半径，由此可计算体积。

七宝中学高三三模数学试卷2020.06一. 填空题1. 已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|22}B x x =-≤≤，则A B =I2. 若直线方程0ax by c ++=的一个法向量为1)-，则此直线的倾斜角为 3. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部Im()z = 4. 已知a 、b 、c 是任意实数，能够说明“若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一个有序整数组(,,)a b c 可以是5. 函数|2i |y x =+（x ∈R ，i 是虚数单位）的图像与直线y a =有且仅有一个交点，则实数a =6. 直角坐标系xOy 内有点(2,1)A ，(2,2)B ，(0,2)C ，(0,1)D ，将四边形ABCD 绕直线1y =旋转一周，所得到几何体的体积为7. 在△ABC 中，60ABC ∠=︒，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则AB BE ⋅=uu u r uur8. 通过手机验证码登录哈喽单车App ，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码1234(,,,)a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为 9. 已知函数1()()2xx f x a a -=-（1a >）的反函数为1()y f x -=，当[3,5]x ∈-时，函数 ()F x =1(1)1f x --+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=10. 欧拉公式i cos isin e θθθ=+，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数 和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}n a 的通项公式为cos2020n n a π=+isin2020n π（1,2,3,n =⋅⋅⋅），则数列{}n a 前2020项的乘积为 11. 用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为12. 已知数列{}n a 的首项为4，且满足12(1)0n n n a na ++-=（*n ∈N ），则下列命题： ①{}n a n是等差数列；②{}n a 是递增数列；③设函数211()()2x n n a f x x a -+=--，则存在某个区间(,1)n n +（*n ∈N ），使得()f x 在(,1)n n +上有唯一零点；则其中正确的命题序号为二. 选择题13. 设a r 、b r 分别是直线a 、b 的方向向量，则“a ∥b ”是“a r ∥b r”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为a 、b ，且直线480ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于B 、C 两点，且120BAC ∠=︒，则圆C 的方程为（ ）A. 22(1)(1)1x y -++=B. 22(1)(1)9x y -++=C. 22(1)(1)4x y -++=D. 22(1)(1)3x y -++=15. 函数2cos(2)26y x π=+-的图像按向量a r平移后所得图像的函数解析式为()y f x =，当函数()f x 为奇函数时，向量a r可以等于（ ）A. (,26)π-B. (),26π-C. (212,)π-D. ()212,π-16. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=uu r uu r uu u r r 时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ）A. 0个B. 2个C. 有限个，但多于2个D. 无限多个三. 解答题17. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1AO ⊥平面ABCD ，12AB AA ==. （1）证明：1AC BD ⊥； （2）求直线AC 与平面11BB D D 所成的角θ的大小.18. 设a 、b 、c 分别是△ABC 内角A 、B 、C 所对的边，12sin sin cos()2B C B C --=. （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长.19. 受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为a （人）时，每天线下销售空调可达()10m a a =（百台），当线上销售人数为b （人）（*,a b ∈N ）时，每天线上销量达到2020()40020b b n b b ⎧≤≤=⎨>⎩（百台）.（1）解不等式：()()m a n a <，并解释其实际意义；（2）若该工厂大有销售人员t （*t ∈N ）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1(F ，2F ，且椭圆上一点P ，满足12||||4PF PF +=，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ，且OA OB OM λ+=uu r uu u r uuu r.（1）求椭圆C 的方程；（2）若k =||2AB λ==，求||||HG HM ⋅的值；（3）当△OAB 面积取得最大值，且点M 在椭圆C 上时，求λ的值.21. 已知数列1210,,,a a a ⋅⋅⋅满足：对任意,{1,2,3,,10}i j ∈L ，若i j ≠，则i j a a ≠，且23456789101{2,2,2,2,2,2,2,2,2,2}i a ∈，设12|1,2,3,4,5,6,},78{i i i a a a i A ++++==，集合A中元素的最小值记为()m A ；集合12{|1,2,3,4,5,6,7,8}i i i B a a a i ++=⋅=⋅，集合B 中元素最小值记为()m B .（1）对于数列：106127839542,2,2,2,2,2,2,2,2,2，求()m A ，()m B ；（2）求证：17()2m B ≤； （3）求()m A 的最大值.参考答案一. 填空题1.【答案】{2,0,2}-【解析】由题意得，{2,0,2}A B =-I . 2.【答案】3π【解析】直线的方向向量为，k =3πα=.3.【答案】1- 【解析】111z i i+==-，∴Im()1z =-. 4.【答案】(1,2,3)---（答案不唯一）【解析】由题意得，有序整数组(,,)a b c 可以是(1,2,3)---. 5.【解析】|2|y xi =+=y a =有且仅有一个交点，则0x =，a =6.【答案】2π【解析】四边形ABCD 为矩形，绕直线1y =旋转一周，形成底面半径为1，高为2的圆柱，∴22V r h ππ==. 7.【答案】1-【解析】11()()22AB BE AB BA BC BA BA BC ⋅=⋅+=-⋅+uu u r uur uu u r uu r uu u r uu r uu r uu u r21111cos6012222BA BA BC ︒=--⋅=--=-uu r uu r uu u r .8.【答案】16【解析】∵12a =，2342a a a <<<，∴2a 、3a 、4a 从中3~9选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应234,,a a a 即可，7341016C P C ∴==.9.【答案】2【解析】()f x 在定义域上单调递增，则1()f x -在[4,4]-上单调递增，1(1)f x --在[3,5]-上单调递增，由于()f x 为奇函数，则1()f x -也为奇函数，11(4)(4)22M m f f --∴+=+-+=. 【备注：如果一个函数是奇函数，并且它的反函数存在，那么反函数也是奇函数】 10.【答案】1【解析】cos sin i e i θθθ=+Q 2020cos sin 20202000n i n n n a i e πππ∴=+=，220202202020212020202020202020202020202122020i iiiia a a e e eeeπππππππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴=⋯==L L20212021cossin cos 1010sin 101012222i i ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.【答案】1312π【解析】①当0,2a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2[0,],sin ,1a a a a M a M π∈==，sin 2a ∴≥舍去； ②当,2a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2[,2],1,sin a a a a M M a ππ∈==，12sin a ∴≥，1sin 2a ∴≤，56a π∴≥，56a ππ∴≤≤；③当3,2a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][,2]0,2[2,3],1,sin 2a a a a M M a ππ∈==或1， 12sin2a ∴≥且222a ππ≤+，1sin 22a ∴≤，2226a πππ∴≤≤+，131212a πππ∴≤+=； ④当3,2a π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]2[3,),1a a a a M M π∈+∞==，舍去； 综上所述：max 1312a π=. 12.【答案】②③【解析】1+12(1)021n n n n a an a na n n++-=⇒=⋅+， 又141a =，n a n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为2的等比数列，11422n n n a n -+∴=⋅=，12n n a n +∴=⋅，则①错误，②正确，③21()()222x n f x x n -=--+函数递增， 2111()(),(1)()222222n n n n f n n f n n n n --=--+=+-++，当1n =时，71(1),(2)(1)(2)022f f f f =-=<，，则③正确，∴填②③.二. 选择题 13.【答案】A【解析】若//a b ，则一定有//a b r r ，但//a b r r可能推出a 和b 重合，∴为充分非必要条件.14.【答案】C【解析】∵高一：高二：高三为6:8:11，68100241003268116811a b ∴=⨯=⋅=⨯=++++该直线方程为2432480x y ++=，即3460x y ++=， 圆心(1,1)-到直线的距离1d ==，又12022BAC r d ︒∠=∴==，∴该圆的方程为22(1)(1)4x y -++=，∴选C.15.【答案】B【解析】首先排除A 、C ，:()2cos 22cos 22sin 2662B f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数；:()2cos 22cos 21263D f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦不是奇函数；∴选B.16.【答案】A【解析】与2020静安二模17题解析几何（3）同样的思路. 设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤，由0FA FB FC ++=uu r uu r uu u r r知，F 为△ABC 的重心，又131132(1,0),1,033x x x y y y F ++++∴==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()2221232y y y ∴≤+，2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，()1232x x x ∴≤+ ，()1123x x ∴≤- 12x ∴≤，同理232,2x x ≤≤，∴选A.三. 解答题17.（1）由题意易得：BD AC ⊥,又1AO ABCD ⊥平面， BD ABCD ⊆平面，∴1AO BD ⊥，又{}1=AO AC O ⋂ ∴11BD ACC A ⊥平面，又111AC ACC A ⊥平面，∴1AC BD ⊥ （2）取11B D 中点1O ，联结1OO ，则由四棱柱的性质可知，四边形11A O OA 为平行四边形，又∵11=2A A A C AC =，∴11A A AC ⊥，∴11A A O O ⊥，∴1COO ∠即为所求角， 且大小为4π18.（1）由题意可得：()()()()12sin sin cos cos cos cos cos 2B C B C B C B C B C A --=--+--==∴3A π=（2）由1sin 62S bc A bc ===又()()22222222cos 31818a b c bc A b c bc b c bc b c =+-=+-=+-=+-=∴6b c +=，∴周长为6+19.（1）当020a ≤≤时，不等式为2101020a a a <⇒<≤； 当20a >时，不等式为102040a a <⇒<<400；综上，不等式的解集为()10,40a ∈，实际意义为在相同的销售人数下，当销售人数在10到40之间时，线上销售的会比线下销售效果好（2）设安排线上销售x 人，则线下销售安排t x -人；当20t ≤时，此时020x ≤≤，每天的销售总台数为()210x t x +-， ∴，当10t ≤时，最大值在0x =时取到，为10t （百台） 当1020t ≤≤时，最大值在x t =时取到，为2t （百台）当20t ≥时，若020x ≤≤，则最大值在20x =时取到，为20010t +（百台）若20x ≥，每天的销售总台数为()400+10t x -， 则最大值在20x =时取到，为20010t +（百台）20.（1）由题意可得2,1a c b ==，∴椭圆方程为2214x y +=（2）由题意得，此时直线方程为y m =+，将其代入椭圆方程整理可得229440x m ++-=，其中()22221283644144160m m m m ∆=--=-⇒＞＜9设()()1122,,,A x y B x y ，则21212449m x x x x -+==∴12322AB x m -==⇒=±，由椭圆具有对称性，∴不妨取32m =，则310,,,26H G M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴3HG HM ⋅== （3）将直线方程y kx m =+代入椭圆方程整理可得()222418440k x kmx m +++-=，其中 ()()222222644414464160k m k m k m ∆=-+-=-+16＞，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，∴12AB x =-原点到直线的距离d =，∴1ABC S ∆==≤当且仅当22412k m +=时等号成立，又()()121211,M x x y y λλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得()()2212122214x x y y λλ+++=，其中221114x y +=，222214x y +=，∴整理得212128284x x y y λ++=再将1122,y kx m y kx m =+=+代入，整理得()()2221212828884k x x km x x m λ+++++=，然后用韦达定理进行代入即可解得λ=21.（1）612612()22270()222512m A m B =++===g g ， （2）若18()2m B ≥，记12()i i i i T a a a m B ++=≥()1123355184456123456789101471010107789=222T a a a T a a a a a a a a a a a a a TT T a a a T a a a=⎧⎪=⇒=≥→≤⎨⎪=⎩ 则10=2a ，同样操作258,,T T T 这三组数据得到1=2a ，这与i j ≠，i j a a ≠矛盾，则17()2M B ≤，构造数列：{}161027839542222222222，，，，，，，，，（3）欲使()M A 尽可能大，则任意连续三项和要尽量整体控制大，102如果放在数列中前 后各有2个数，则102⊗⊗⊗⊗这里对应含有102项的3个连续和，这3个和值显然均大于102， 同理也去控制92项有92⊗⊗⊗⊗，这3个和值显然均大于92，如果我们保证这6项不重叠， 则8个和，就先处理了6个，剩下2个要使得最小值最大，就有如图排列这种排列：5876910222222⊗⊗⊗⊗，则587()2+2+2=416m A ≤考虑()2,2,2i j k 其中i j k <<，这一组的和记11()=2+2+22+2+22+2222()(1)i j k j j k j k k k k S k S k S k ++<=≤+=⇒<+可以很快得到876(10)(9)(8),(8)222448S S S S >>≤++=记12()i i i i P a a a m A ++=++≥,若()448m A ≥,则128P P P ，，...,这8个数字都要大于等于448，(10)(9)S S ，至多各对应3个数字，max (8)448S =对应一个数字，那么这样最多只有7个数字大于等于448，矛盾构造数列：5876910222222⊗⊗⊗⊗，则587()=2+2+2=416m A .。

上海市七宝中学2020届高三下学期模拟数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，，则________(★★) 2. 若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为________ (★) 3. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．(★★) 4. 已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________(★★) 5. 函数（，是虚数单位）的图象与直线有且仅有一个交点，则实数________(★★) 6. 直角坐标系内有点，将四边形 ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为____(★★) 7. 在中，，，为的中点，则___________. (★★) 8. 通过手机验证码登录哈喽单车 App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________(★★★) 9. 已知函数（）的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则________(★★) 10. 欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为________(★★★★)11. 用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则 a的最大值为________．(★★★) 12. 已知数列的首项为，且满足，则下列命题：① 是等差数列；② 是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________二、单选题(★★) 13. 设、分别是直线、的方向向量，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件(★★) 14. 某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（）A．B．C．D．(★★) 15. 函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（）A．B．C．D．(★★★) 16. 已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（）A．0个B．2个C．有限个，但多于2个D．无限多个三、解答题(★★★) 17. 如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的大小.(★★) 18. 设、、分别是△ 内角、、所对的边，. （1）求角的大小；（2）若，且△ 的面积为，求△ 的周长.(★★★) 19. 受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为（人）时，每天线下销售空调可达（百台），当线上销售人数为（人）（）时，每天线上销量达到（百台）.（1）解不等式：，并解释其实际意义；（2）若该工厂大有销售人员（）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？(★★★★) 20. 已知椭圆的两焦点为，，且椭圆上一点，满足，直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且.（1）求椭圆的方程；（2）若，且，求的值；（3）当△ 面积取得最大值，且点在椭圆上时，求的值.(★★★★) 21. 已知数列满足：对任意，若，则，且，设，集合中元素的最小值记为；集合，集合中元素最小值记为.（1）对于数列：，求，；（2）求证：；（3）求的最大值.。

上海市七宝中学2024年高三下学期3月模拟测试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．843．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ）A ．20x ±=B 20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=4．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭5．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．326．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞7．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22B ．25C 10D ．208．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．343π+D ．8343π+9．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 10．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．5111．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎤⎦D ．3,6⎤⎦12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学三模试卷文科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）函数y=的定义域是（）A．（3，+∞）B．（0，3]C．[0，3]D．（﹣∞，3]2．（5分）（•石景山区一模）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）3．（5分）（•东城区一模）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i4．（5分）（•石景山区一模）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．25．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2+a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．1B．2C．D．36．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．B．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点．C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高．D．在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好．7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．3+C．3D．8．（5分）已知x、y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．[0，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）9．（5分）（•惠州模拟）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣2，3）10．（5分）（•江西模拟）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，．则称集合A是“好集”．（1）集合B={﹣1，0，1}是好集；（2）有理数集Q是“好集”；（3）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x+y∈A；（4）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；（5）对任意的一个“好集A”，若x，y∈A，且x≠0，则必有．则上述命题正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分15分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．11．（5分）平面向量，满足||=2，||=1，且，的夹角为60°，则•（+）= _________ ．12．（5分）双曲线的中心在坐标原点，离心率e等于2，它的一个顶点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则双曲线的方程为_________ ．13．（5分）已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题有_________ ．（写出所有真命题的序号）【坐标系与参数方程选做题】14．（4分）已知曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为_________ ．【几何证明选讲选做题】15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠APB的值为_________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．17．（12分）（•贵州模拟）浙江电视台举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．18．（14分）（•南昌模拟）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．（Ⅰ）求证：AB⊥平面VCD；（Ⅱ）求点C到平面VAB的距离．19．（14分）已知等比数列{a n}的公比为q，且满足a n+1＜a n，a1+a2+a3=，a1a2a3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n，求T n．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x0，y0）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）围成的三角形的周长恒为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为，求点Q的轨迹E的方程；（3）设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，且4k1=3k2，证明：A，P，Q三点共线．21．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣2x．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1与x=处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ 的中点作x轴的垂线分别交C1、C2、于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）函数y=的定义域是（）A．（3，+∞）B．（0，3]C．[0，3]D．（﹣∞，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据函数的结构，列出条件：被开方式大于等于零，真数大于零，再解不等式组．解答：解：根据题意有，解得：0＜x≤3，所以函数的定义域为（0，3]，故选B．点评：本题考察函数定义域的求法，其中有一个对数不等式，注意其解法为将常数化为同底对数，利用函数的单调性解．2．（5分）（•石景山区一模）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出函数的周期，再根据当x=时，函数是否取得最值，从而判断函数是否满足条件，从而得出结论．解答：解：A．函数y=2sin（+）的周期为=4π，不为π，故A不选；B．函数y=2sin（2x﹣）的周期为=π，且当x=时，函数y取得最大值2，故图象关于直线x=对称，满足条件，故B选；C．函数y=2sin（2x+）的周期为=π，且当x=时，函数y=1，没有取得最值，故函数的图象不关于直线x=对称，故C不选；D．函数y=2sin（﹣）的周期为=4π，不为π，故D不选，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的周期性以及求法，三角函数的图象的对称性，属于中档题．3．（5分）（•东城区一模）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i考复数的基本概念．点：专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．解答：解：∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．4．（5分）（•石景山区一模）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，程序框图运行过程，总结规律，A的数值是2、、﹣1；并且以3为周期的关于i的函数，求出i=时的函数值即可．解答：解：根据题意，程序框图运行的程序为，i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i=2，A=1﹣2=﹣1；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i=4，A=1﹣=，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i=，∴A=﹣1，i=＞，输出A：﹣1；故选：C．点评：本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2+a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．1B．2C．D．3考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的前n项和公式表示出S1，S2，S3，然后根据S1，S2+a2，S3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S1，S2，S3代入得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到公比q的值．解答：解：∵S1，S2+a2，S3成等差数列，∴2（S2+a2）=S1+S3，又数列{a n}为等比数列，∴2（a1+2a1q）=a1+（a1+a1q+a1q2），整理得：a1q2﹣3a1q=0，又a1≠0，∴q2﹣3q=0，∵q≠0，解得：q=3．故选：D．点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式、求和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．B．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点．C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高．D．在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好．考点：命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：A，利用独立性检验的概念可判断A的正误；B，利用通过最小二乘法得到线性回归方程对应的直线=x+可知，直线=x+不一定经过其样本数据中的任何一点，从而可判断B的正误；C，利用残差图的统计意义可判断C的正误；D，利用回归分析中，相关指数R2的意义可知模型拟合的效果的好坏，从而可判断D的正误．解答：解：A，在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；B，线性回归方程对应的直线=x+不一定经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的任何一个点，但一定经过样本中心（，），故B错误；C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，正确；D，在回归分析中，相关指数R2为越大，越接近1，模型拟合的效果越好，故相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好，正确；综上所述，说法错误的是B，故选：B．点评：本题考查概率统计中变量间的相关关系，着重考查线性回归方程的理解与应用，考查残差图与相关指数R2的应用，属于中档题．7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．3+C．3D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可得几何体是直三棱柱，画出几何体的直观图，判断三棱柱的高与底面三角形的各边长，代入直棱柱表面积公式计算．解解：由三视图知几何体是三棱柱，且三棱柱的高为1，答：底面是直角边长为1的等腰直角三角形，其斜边长为=，∴表面积S=2××1×1+（1+1+）×1=3+．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．8．（5分）已知x、y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．[0，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则z的几何意义是动点P（x，y）到定点D（﹣2，1）的斜率，由图象可知，当P位于B时，BD的斜率最大，P位于A时，斜率最小，由，解得，即B（1，3），由，解得，即A（4，1），则BD的斜率为，AD的斜率为0，则z=的取值范围为[0，]，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本思想．9．（5分）（•惠州模拟）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣2，3）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数是奇函数，我们可以根据奇函数的性质可将，不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0化为f（a﹣3）＜f （a2﹣9），再根据函数y=f（x）又是减函数，及其定义域为（﹣1，1），我们易将原不等式转化为一个不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．解答：解：∵函数是定义域为（﹣1，1）的奇函数∴﹣f（x）=f（﹣x）又∵y=f（x）是减函数，∴不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0可化为：f（a﹣3）＜﹣f（9﹣a2）即f（a﹣3）＜f（a2﹣9）即解得a∈故选：A点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的应用、函数单调性的应用，利用函数的奇偶性和单调性，结合函数的定义域，我们将原不等式转化为不等式组是解答本题的关键．10．（5分）（•江西模拟）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，．则称集合A是“好集”．（1）集合B={﹣1，0，1}是好集；（2）有理数集Q是“好集”；（3）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x+y∈A；（4）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；（5）对任意的一个“好集A”，若x，y∈A，且x≠0，则必有．则上述命题正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．专题：探究型．分析：根据“好集”的定义，分别进行判断即可．解答：解：（1）∵1，﹣1∈A，1﹣（﹣1）=2∉A，不满足性质②，∴（1）不正确；（2）∵有理数集Q满足性质①②，∴（2）正确；（3）∵0∈A，x、y∈A，∴0﹣y=﹣y∈A，∴x+y=x﹣（﹣y）∈A，∴（3）正确；（4）若集合A是“好集”，若x，y之一为0，则xy=0∈A，若x≠0，y≠0，则x﹣1，，∈A，则∈A，即x（x﹣1）=x2﹣x∈A，即x2∈A，则y2∈A，（x+y）2∈A，∵2xy=（x+y）2﹣（x2+y2），∴2xy∈A，则xy∈A，故（4）正确．（5）若集合A是“好集”，x≠0时，．，由x、y∈A，由（4）知，即，成立，所以（5）正确．故选C．本题主要考查新定义，利用条件进行推理，考查学生的推理能力．点评：二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分15分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．11．（5分）平面向量，满足||=2，||=1，且，的夹角为60°，则•（+）= 5 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：本题考查数量积的运算，直接用公式与运算规则计算即可．解答：解：∵||=2，||=1，且，的夹角为60°，∴•（+）=2+•=22+2×1×cos60°=4+1=5故答案为：5．点评：本题考查数量积的运算规则以及数量积公式，属于基本计算题，较易．12．（5分）双曲线的中心在坐标原点，离心率e等于2，它的一个顶点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则双曲线的方程为．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．解答：解：抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0），则有：双曲线的方程为故答案为：点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、圆锥曲线的共同特征，解答关键是对于圆锥曲线的共同特征的理解与应用．13．（5分）已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题有②③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间直线与平面、平面与平面的位置关系对①②③④四个选项逐一判断即可．解答：解：①若m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，故①为假命题；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α（两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面），正确；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，这是面面垂直的判定定理，正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β（垂直于同一条直线的两个平面平行），正确；综上所述，真命题有②③④．故答案为：②③④．点评：本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．掌握线面垂直、面面垂直与面面平行的判定与性质是正确判断的关键，属于中档题．【坐标系与参数方程选做题】14．（4分）已知曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为（）．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：将直线的极坐标方程化为普通方程，代入圆的参数方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标．解答：解：直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）可化为直角坐标方程：y=1，将其代入曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），得到sinα=0，cosα=1，即交点的直角坐标为（1，1），由于ρ2=2，tanθ=1，故极坐标为（）．故答案为：（，）点评：本题主要考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，考查基本的运算能力．【几何证明选讲选做题】15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠APB的值为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的直径的性质、相交弦定理、三角形相似的性质、诱导公式等即可得出．解答：解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴．∵△APB∽△DCP，∴．∴cos∠APB=cos（90°+∠DAP）=﹣sin∠DAP=﹣．故答案为．点评：熟练掌握圆的直径的性质、相交弦定理、三角形相似的性质、诱导公式等是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由a，b，cosB的值，利用余弦定理求出c的值，再由a，c，sinB的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）∵a=2bsinA，∴sinA=2sinAsinB，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴sinB=，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B=60°；（Ⅱ）∵a=2，b=，cosB=，∴由余弦定理得：（）2=22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或c=﹣1（舍），∴c=3，则S△ABC=acsinB=×2×3×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）（•贵州模拟）浙江电视台举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（I）将甲乙两班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数与极差的定义和解法分别进行计算，即可求出答案．（II）根据用列举法概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：（I）甲班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，75，75，76，78，82，82，86，87，88，90．82和75出现了2次，出现的次数最多，故众数是82和75，从小到大排列最中间的两个数是76，78，则中位数是77．最大数为90，最小值为65，故极差为25乙班的大众评审的支持票数：67，67，68，69，73，74，76，81，82，84，86，87，88，90，91，95，95．67和95出现了2次，出现的次数最多，故众数是67和95，从小到大排列最中间的数是82，则中位数是82．最大数为95，最小值为67，故极差为28（II）共有5名选手进入决赛，其中有两名拥有“优先挑战权”．所有的基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，符合题意的基本事件有（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5）共6种，故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P==．点评：此题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了茎叶图和众数、中位数、平均数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．18．（14分）（•南昌模拟）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．（Ⅰ）求证：AB⊥平面VCD；（Ⅱ）求点C到平面VAB的距离．考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）要证AB⊥平面VCD，利用线面垂直的判定定理，只需证明AB垂直与平面VCD的两条相交直线即可；（Ⅱ）依据V V﹣ABC=V C﹣V AB，利用等体积法即可得到点C到平面V AB的距离为．解答：解：（Ⅰ）证明：∵AC=BC=a∴△ACB是等腰三角形，又∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB，又∵CD∩VC=C∴AB⊥平面VCD．（Ⅱ）设点C到平面V AB的距离为h，据V V﹣ABC=V C﹣V AB即，得h=，所以点C到平面V AB的距离为．点评：本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想和向量法的合理运用．19．（14分）已知等比数列{a n}的公比为q，且满足a n+1＜a n，a1+a2+a3=，a1a2a3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意联立方程组解得首项和公比即得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可．解答：解：（1）由a1a2a3=，及等比数列性质得=，即a2=①…（2分）由a1+a2+a3=得a1+a2=②，…（3分）由①②得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解的q=3，或q=…（5分）由a n+1＜a n得{a n}是递减函数，故q=3舍去，…（6分）∴q=，又由a2=，得a1=1，故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）…（7分）（2）由（1）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+…（8分）T n=+++…++…（9分）两式作差得T n=1++++…+﹣，…（10分）=1+2•﹣=2﹣﹣…（13分）∴T n=3﹣…（14分）点评：本题主要考查了等比数列的性质及错位相减法求数列的和，考查学生的运算求解能力及方程思想的运用能力，属中档题．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x0，y0）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）围成的三角形的周长恒为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为，求点Q的轨迹E的方程；（3）设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，且4k1=3k2，证明：A，P，Q三点共线．考点：轨迹方程；三点共线；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意结合椭圆定义得到2a+2c=12，从而求出a，再结合c=2求得b，则椭圆方程可求；（2）直接由动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为列式求点Q的轨迹E的方程；（3）设P（x0，y0），写出PA和PB的斜率，结合P在椭圆上及4k1=3k2得到k PA•k2=﹣1，由（2）知点Q在圆x2+y2=16上，由此可得k QA•k2=﹣1，从而得到PA和QA所在直线的斜率相等，再由两直线有公共点A，可得A，P，Q三点共线．解答：（1）解：由椭圆C的焦点为F1（﹣2，0）得c=2，又由椭圆的定义得△PF1F2的周长为2a+2c=12，解得a=4，c=2，∴b2=a2﹣c2=12，即所求椭圆的方程为；（2）解：由题意得，∵，，∴，化简得：x2+y2=16，经检验得轨迹E的方程为x2+y2=16；（3）证明：由（1）知A（﹣4，0），B（4，0），设P（x0，y0），则，∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，即，∴，∴，又∵4k1=3k2，∴k PA•k2=﹣1，由（2）知点Q在圆x2+y2=16上，∴k QA•k2=﹣1，∴k PA=k QA，又直线PA，QA有共同点A，∴A，P，Q三点共线．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查了曲线轨迹方程的求法，训练了平面内三点共线的证明方法，体现了整体运算思想方法，是压轴题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣2x．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1与x=处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ 的中点作x轴的垂线分别交C1、C2、于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）求函数y=f（x）﹣g（x）的导数，根据在x=1与x=处的切线相互平行，得到导数相同，建立方程即可求a的值及切线斜率．（2）要使函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，只要y'≤0恒成立即可求a的取值范围．（3）利用反证法证明结论即可．解答：（1）解：y=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax2+2x，记h（x）=lnx﹣ax2+2x，则h′（x）=﹣ax+2…（2分）∵依题意h（x）在x=1与x=处的切线互相平行，∴h′（1）=h′（），即﹣a+3=﹣+4，解得a=﹣2…（3分）此时切线斜率k=h'（1）=5…（4分）（2）解：∵函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，∴h′（x）≤0在区间（，1）上恒成立；…（5分）即﹣ax+2≤0，即a≥在区间（，1）上恒成立；…（6分）∴a≥（）max，∵x∈（，1），∴∈（1，3），∴=≤15，∴a≥15，即a的取值范围是[15，+∞）．…（8分）（3）证明：f′（x）=，g′（x）=ax﹣2，假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），x1＞x2，＞0，则存在a使得f′（）=g′（），即=（x1+x2）﹣2，…（9分）∴=（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）=y1﹣y2=lnx1﹣lnx2=ln不妨设=t＞1…（12分）则方程=lnt存在大于1的实根，设φ（t）=﹣lnt，则φ′（t）=＜0，∴φ（t）在（1，+∞）单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0这与存在t＞1使得φ（t）=0矛盾．∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．…（14分）点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

七宝中学2019年第二学期高三摸底考试数学试卷2020.4.28一､填空题(本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分)1.设全集U=R,若21{|1}x A x x-=>,则U C A =___. 2. 某校三个年级中,高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为____.3. 过点(-1, 2)且到原点距离最大的直线方程为____.4.设无穷等比数列n a 的公比为q,首项12310,lim()2n n a a a a a →∞>+++>L ，则公比q 的取值范围是___. 5.满足约束条件|x|+2|y|≤2 的目标函数z= y- x 的最大值是____6.若复数z 满足0|||3|4,z z z i -+-=且复数z 对应的点的轨迹是椭圆,则复数0z 满足的条件是___.7.函数11y x =-的图像与函数y= 2sinπx(-2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和为___. 8.函数22(1)22(),[2019,2019]1x xx f x x x ++-=∈-+的最大值为M,最小值为m,则M +m=__. 9.已知402401234(32)x a a x a x a x +=++++L ,若数列12,,,(141,)k a a a k k N ≤≤∈L 是个单调递增数列,则k 的最大值为__.10.设x, y, z ∈R +,满足236,x y z ==则112x z y+-的最小值为___. 11.在正方体1111ABCD A B C D -中,点M 和N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心,若点P 满足DP mDA nDM kDN =++u u u r u u u r u u u u r u u u r ,其中m ､n ､k ∈R,且m+n+k=1,则点P 可以是正方体表面上的点___.12.设f(x)､g(x) 的定义域都为R,且f(x)是周期为4的奇函数,当x ∈(0, 2]时,()()f x g x的周期为2,且(2),01()1, 122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k>0.若关于x 的方程f(x)=g(x)在区间(0, 9]上有8个不同的实数根,则k 的取值范围是__.二､选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13.在△ABC 中,内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c,则“acosA=bcosB ”是“△ABC 是以A ､B 为底角的等腰三角形”的( )A 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.已知函数f(x)为R 上的单调函数,1()f x -是它的反函数,点A(-2, 3)和点B(2, 1)均在函数f(x)的图像上,则不等式1|(3)|2x f -<的解集为( )A.(0, 1)B.(1, 3)C.(-1, 1)D.(0, 3)15.有红色､黄色小球各两个,蓝色小球一个, 所有小球彼此不同,现将五球排成一行,颜色相同者不相邻,不同的排法共有( )A.24种B.48种C.72种D.120种16.如图为正方体1111,ABCD A B C D -动点M 从1B 点出发,在正方体表面沿逆时针方向运动一周后, 再回到1B 运动过程中,点M 与平面11A DC 的距离保持不变,运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系1= f(x),则此函数图像大致是( )三､解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤｡17. (本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题7分)如图,P 是圆锥的顶点, AB 是底面圆O 的直径,OC 是半径,且∠AOC= 60°,已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆面｡(1)求该圆锥的体积;(2)求异面直线PB 与AC 所成角的大小｡18. (本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知函数221()sin sin ()(,1)62f x x x x R πωωω=--∈<<,函数f(x)的图像关于直线x=π对称. (1)求函数f(x )的最小正周期;(2)在△ABC 中,角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c,若a=1，31(),54f A =求△ABC 面积的最大值.19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)某工厂在制造产品时需要用到长度为698cm 的A 型和长度为518cm 的B 型两种钢管.工厂利用长度为4000cm的钢管原材料,裁剪成若干A 型和B 型钢管.假设裁剪时损耗忽略不计,裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.(1)有两种裁剪方案的废料率小于4.5%,请说明这两种方案并计算它们的废料率;(2)工厂现有100根原材料钢管,一根A 型和一根B 型钢管为一套毛胚,按(1)中的方案裁剪,最多可裁剪多少套毛胚?最终的废料率为多少?20. (本题满分16分, 第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F(1, 0),短轴长为2,过定点P(0, 2)的直线l 交椭圆C 于不同的两点A ､B (点B 在点A ､P 之间) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若,PB PA λ=u u u r u u u r 求实数λ的取值范围;(3)若射线BO 交椭圆C 于点M (O 为原点),求△ABM 面积的最大值.21. (本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)对于数列{},n x 若存在m ∈N *,使得2m k k x x -=对任意*121()k m k N ≤≤-∈都成立,则称数列{}n x 为“m-折叠数列”(1)若()1*2*2020(2021,201)91,n n n a C n n N b n n n N -=≤∈=--∈,判断数列{},{}n n a b 是否是“m-折叠数列”,如果是,指出m 的值;如果不是,请说明理由;(2)若*(),n n x q n N =∈求所有的实数q,使得数列{}n x 是3-折叠数列;(3)给定常数*,p N ∈是否存在数列{},n x 使得对所有m ∈N *,{}n x 都是pm-折叠数列,且{}n x 的各项中恰有p+1个不同的值,证明你的结论;。

上海市2020年高三上学期数学第三次调研试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·张家口期末) 已知全集，，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数z=1-i,则对应的点所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2017·赣州模拟) 已知公差不为0的等差数列{an}与等比数列，则{bn}的前5项的和为（）A . 142B . 124C . 128D . 1444. （2分） (2017高二下·合肥期中) 已知和都是无理数，试证： + 也是无理数．某同学运用演绎推理证明如下：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以 + 必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 以上都可能5. （2分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·南宁模拟) 已知半径为2的扇形中，，是的中点，为弧上任意一点，且，则的最大值为（）A . 2B .C .D .7. （2分） (2019高二上·南宁月考) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A . 1B .C .D .8. （2分） (2016高二上·温州期末) 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④9. （2分） (2017高一下·双鸭山期末) 若，成等差数列，成等比数列，则最小值是（）A .B .C .D .10. （2分）原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有（）个．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个11. （2分） (2016高二上·开鲁期中) 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC 的形状是（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形12. （2分）(2019·湖州模拟) 已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（）A . 2018B . 2019D . 2021二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数f（x）=lg（9﹣x2）的定义域为________，单调递增区间为________．14. （1分） (2016高一下·揭西开学考) 已知，且，则与的夹角大小为________．15. （1分） (2015高三上·上海期中) 等比数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn ，若S6=9S3 ，则a6=________．16. （1分）(2017·荆州模拟) 已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高三上·城关期中) 设数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和，求证：．18. （10分） (2017高二下·中原期末) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；（Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．19. （10分） (2016高一下·锦屏期末) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB= ，△ABC的周长为5，求b的长．20. （10分） (2017高二下·鞍山期中) 已知函数f（x）=|x+2|+|ax﹣4|．（Ⅰ）若a=1，存在x∈R使f（x）＜c成立，求c的取值范围；（Ⅱ）若a=2，解不等式f（x）≥5．21. （10分） (2019高三上·西湖期中) 已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC ，， E为CD的中点，（1）证明:平面PBD 平面ABCD；（2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.22. （10分）(2017·宝鸡模拟) 已知函数f（x）= +b（a，b∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a，b的值及函数f（x）的单调区间．（2）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，比较x1+x2与2e（e为自然对数的底数）的大小．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。