上海市七宝中学2020届高三下学期摸底考试(4月月考)数学试卷 (含答案)

2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格:已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，若从上述1000名患者中抽取200人，得到如下联表.则表格中的位置分别应填入数字是（ ） A.①35；②65；③45 B.①45；②45；③45 C.①65；②35；③45D.①70；②30；③452.已知行列式102131x P y z =-，则“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3.已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A.[]0,4B.[]0,2C.[]1,4D.[]1,24.如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N ∈满足点()1,n n n P a a +()*n N∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A.（1）是真命题，（2）是假命题B.两个都是真命题C.（1）是假命题，（2）是真命题D.两个都是假命题第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知集合}41,A x x k k Z ==±∈，{}2,B y y n n Z ==∈，则AB =________.6.已知圆225x y +=和点()2,1A -，则过点A 的圆的切线方程为._________7.满足()12log 24x x -+=的实数x =________.8.已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.9.已知向量()1,2AB =，()4,2AC =-，则ABC 的面积为_____________ .10.为了支持“新冠肺炎”的湖北抗疫工作，上海市某医院某科室拟从2名男性，3名女性医务人员中抽调两人前往湖北支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为________.11.已知函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()1f x -，则()112f f --⎡⎤=⎣⎦________. 12.已知O 是ABC 内部一点，20OA OB OC ++=，4BA BC ⋅=，且6ABC π∠=，则OAC 的面积为________.13.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，设“宫”的频率为1，则“角”的频率为________.14.过双曲线221168x y -=的左焦点1F 作倾斜角为α的直线与y 轴交于点A ，与双曲线的右支位于第四象限的部分交于点B ，若()112OA OB OF =+，则α=________. 15.若0>ω，函数()f x 3sin 4cos 03x x x πωω⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[]4,5，则cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是________.16.已知x R ∈，[]x 表示小于x 的最大整数，{}[]x x x =-，令{}{}M x 0x 100,1x =≤≤=，则M 中元素之和为________.三、解答题（题型注释）17.如图，一智能扫地机器人在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东6π方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少0.4米，于是选择沿A B C →→路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，10秒钟完成了清扫任务（忽略机器人吸入垃圾及在B 处旋转所用时间）（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（2）求智能扫地机器人此次清扫过程中旋转角的最小值？请指出旋转方向. 18.将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把()g x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象.（1）求ϕ的最小值和()h x 的解析式； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()h x 的单调递减区间. 19.如图，四边形11ABB A 是圆柱1OO 的轴载面，4AB =，12OO =，以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥1PO ，C 、1C 分别在AB 、11A B 上，2AOC π∠=，1113AO C π∠=.（1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角111O AC C --的余弦值.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB的面积为4.过点()0,1P 且斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围. 21.对于数列{}n a 、{}n b 、{}()*n d n N∈，若()()2211nn n n n n da b d a d ++-=对任意的*n N ∈恒成立，则称数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P .设121nk n k a a a a ==+++∑；（1）证明：数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）若()*tan3n n d n N π=∈，{}n a 、{}n b 、{}n d 满足（1）的充分条件，求()2020221nn n ab =+∑；（3）若{}n a 、{}n b 、{}3n d 的每一项均为有理数，但{}n d 每一项均为无理数，试给出数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件.若在此条件下令13332n nd =⨯，试探究数列{}n b 的一些性质（如单调性，极限，{}n b 的最大项等）.参考答案1.C【解析】1.计算出200人中潜伏期6≤天的人数，结合表格中的数据可计算出①②③处应填入的数字. 由分层抽样可知，从上述1000名患者中抽取200人，其中潜伏期6≤天的人数为852053102001201000++⨯=，所以，①处应填的数字为1205565-=，②处应填的数字为1006535-=，③处应填的数字为1005545-=. 故选：C. 2.A【解析】2.利用行列式展开法则推导出“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，举反例说明“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，由此能求出结果． 行列式102131x P y z =-，“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”，2355230P x z x y x y z k k k ∴=-+-+=-++=-++=， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，当50P x y z =-++=时，有可能52y z x ==， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分不必要条件．故选：A ．3.B【解析】3.利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选：B . 4.B【解析】4.根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B. 5.Z【解析】5.分析出集合A 为奇数集，集合B 为偶数集，由此可计算得出AB .{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈{}(){}{}221,2211,21,x x k k Z x x k k Z x x m m Z ==⋅+∈⋃=⋅-+∈==+∈，则集合A 为奇数集，{}2,B y y n n Z ==∈为偶数集， 因此，Z AB =.故答案为：Z . 6.250x y --=【解析】6.经分析不存在切线斜率不存在的情况，设出切线方程：()21y k x =--，根据相切时圆心到直线的距离为圆的半径求解出k 的值，即可写出切线方程. 设切线方程为：()21y k x =--，=2k =，所以切线方程为：()221y x =--，即250x y --=. 故答案为：250x y --=. 7.3【解析】7.本题可通过对数与指数的运算得出结果.()12log 24x x -+=，1242x x -+=，1224x x --=，112224x x --⨯-=， 124x -=，解得3x =，故答案为：3. 8.1:2:10【解析】8.利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i ac i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210ba c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10 9.5【解析】9.根据向量的坐标可得向量垂直，从而得到三角形为直角三角形，求出向量的模长，即可得答案；因为AB AC ==0AB AC ⋅=，所以90BAC ∠=︒，所以152ABCS==． 故答案为：5． 10.35【解析】10.本题首先可以令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，然后列出抽调两人的所有可能情况，再然后列出刚好为一男一女的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，从中抽调两人的所有可能情况为：AB 、Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 、ab 、ac 、bc 共十种，满足刚好为一男一女的所有可能情况：Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 共六种， 则抽调的两人刚好为一男一女的概率63105P ==，故答案为：35. 11.1-【解析】11. 先求出()1fx -，再计算1(2)f - ，即可得()112f f --⎡⎤⎣⎦的值.当0x <时()20,1x y =∈，可得2log x y =，即()12log f x x -=，()0,1x ∈，当0x ≥时，[)211,y x =+∈+∞，可得12y x -=，即11()2x f x --=，[)1,x ∈+∞， 所以函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()21log ,011,12x x f x x x -<<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，1211(2)22f --==， ()1112112log 122f f f ---⎛⎫⎛⎫⎡⎤===- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 故答案为：1-【解析】12.由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+，设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+，可得BO OD =，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=可得83BA BC ⋅=12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠△即可求出. 在ABC 中，由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+， 设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+， BO OD ∴=，∴O 为BD 的中点，12AOCABCSS ∴=，4BA BC ⋅=，3cos 42BA BC BA BC ABC BA BC ∴⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=， 83BA BC ∴⋅=111||||sin 22323ABCS BA BC ABC ∠∴=⋅⋅=⨯⨯=12AOCS==.故答案为：3. 13.8164【解析】13.根据已知条件经过一次“损”频率变为原来的32，经过一次“益”，频率变为原来的34，依次损益交替变化求概率即可.由“宫”的频率为1，“宫”经过一次“损”得到“徵”的频率变为32， “徵”经过一次“益”，得到商的频率为339248⨯=， “商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为93278216⨯=， “羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为2738116464⨯=， 所以“角”的频率为8164， 故答案为：816414.απ=-【解析】14.由双曲线方程求得左焦点坐标，由直线的倾斜角可得直线的斜率，写出直线方程，得到直线在y 轴上的截距，由向量等式可知A 为1F B 的中点，由中点坐标公式求得B 点坐标，代入双曲线方程可得tan α，再由反三角函数求得角α值．如图，由双曲线221168x y -=，得1(F -，直线AB 的斜率为tan (αα为钝角），直线方程为tan (y x α=+， 取0x =，得y α=，则)A α， 由11()2OA OB OF =+，可得A 为1F B 的中点，设(,)B x y ，则00x y α⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，B ∴)α． B 在双曲线上，∴224961168tan α-=，即tan 12α=-． α为钝角，απ∴=-．故答案为：απ=- 15.74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】15.首先利用辅助角公式对()f x 化简，可得()()5sin f x x ωϕ=+，再利用()f x 的值域，可求出23ππωϕπϕ≤+≤-的范围，即得0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，再结合余弦函数的单调性，4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，即可求出cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围. ()34f 3sin 4cos =5sin cos 55x x x x x ωωωω⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()5sin x ωϕ=+，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=， 因为03x π≤≤，所以3x πϕωϕωϕ≤+≤+，令x t ωϕ+=，则5sin y t =的值域为[]4,5，可得sin y t =的值域为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为4sin 5ϕ=，所以23ππωϕπϕ≤+≤-， 即0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，且cos y x =单调递减，因为4cos sin 25πϕϕ⎛⎫-==⎪⎝⎭，()221697cos 2cos 2sin cos 252525πϕϕϕϕ-=-=-=-=， 所以cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.5050【解析】16.本题首先可根据题意确定集合{}0,1,2,3,4,,100M =，然后根据等差数列求和公式即可得出结果.因为{}[]x x x =-，0x 100≤≤，{}1x =， 所以集合{}0,1,2,3,4,,100M =，则M 中元素之和为010001210010150502， 故答案为：5050.17.（1）1.4m （2）11cos 14arc π-，方向见解析.【解析】17.（1）利用余弦定理，结合a c +列方程组，解方程组求得BC .（2）利用余弦定理求得cos B 的值，由此求得旋转角的最小值，并判断出旋转方向.（1）依题意可知2263A πππ∠=+=，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则 2222220.21020.40.42cos a c a c b c b c a b c bc A a b c bc +=⨯+=⎧⎧⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪=+-=++⎩⎩， 将2,0.4 2.4c a b c a =-=+=-代入222a b c bc =++化简得2 6.67.280a a -+=，即()()1.4 5.20a a --=，由于0.2102a <⨯=，所以()()1.4 5.20a a --=解得 1.4m a =. 且20.6m, 2.41m c a b a =-==-=.（2）由余弦定理得222 1.960.361 1.3211cos 22 1.40.6 1.6814a cb B ac +-+-====⨯⨯，由于23A π=，所以B 为锐角. 所以旋转角的最小值为11cos 14arc π-，方向沿顺时针方向旋转. 18.（1）ϕ的最小值为6π，()2sin 33h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】18.（1）利用三角函数的图象变换可得出关于ϕ的表达式，进而可求得正数ϕ的最小值，再利用正弦型函数的伸缩变换可求得函数()y h x =的解析式； （2）求得函数()y h x =在R 上的单调递减区间，与区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦取交集可得出结果. （1）将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位， 可得到函数()()()2sin 22sin 22g x x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦的图象，又()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()223k k Z πϕπ∴-=-+∈，可得()6k k Z πϕπ=-∈，0ϕ>，当0k =时，ϕ取最小值6π，将函数()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变）， 可得到函数()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，因此，()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y h x =在R 上的单调递减区间为()52112,183183k k A k Z ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，50,,2182A πππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因此，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y h x =的单调递减区间为5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19.（1）表面积为(12π+，体积为323π；（2.【解析】19.（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角111O AC C --的余弦值. （1）由题意可知，圆柱的底面半径为22ABr ==， 因为1PO 为圆锥的高，且12PO =，所以，圆锥的母线长为1PA==，又12OO =，因此，该几何体的表面积为(22+222212S ππππ=⨯⨯⨯+⨯=+.该几何体的体积为22132222233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=； （2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则点()10,0,2O ，()12,0,2A，()1C ，()0,2,0C ，设平面11A CC 的一个法向量为(),,m x y z =，()11AC =-，()12,2,2AC =--， 由11100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得02220x x y z ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，令x =1y =，1z =，所以，平面11A CC的一个法向量为(3,1,1m =，易知平面111O AC 的一个法向量为()0,0,1n =，(cos ,m n m nm n⋅<>===⋅，由图象可知，二面角111O AC C --20.（Ⅰ）2221x y +=（Ⅱ）2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅲ）)2【解析】20.（Ⅰ）把点A 坐标代入椭圆的方程得1a =.由AOB 12ab =得b ，进而得椭圆C 的方程.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx=+，()11,M x y ，()22,N x y .联立直线l 与椭圆C 的方程可得关于x 的一元二次方程.>0∆，进而解得k 的取值范围.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程，令0x =，解得111y y x -=-.点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.用坐标表示PS ，PT ，PQ ，代入PS PO λ=，PT PO μ=，得111111111y kx x x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+，代入λμ+，化简再求取值范围.（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=经过点1,0A ，所以21a =解得1a =. 由AOB124ab =，解得2b =所以椭圆C 的方程为2221x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立22211x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消y 整理可得：()2221410k x kx +++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210k k ∆=-+>，解得212k >. 因为0k >，所以k的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y . 所以直线AM 的方程是：()1111y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-. 所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，220,11y PT x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，()0,1PO =-. 由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：1111y x λ--=--，2211y x μ--=--， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--. 同理22111kx x μ+=+-. 由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+， 所以()()()1212121212122121122111kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=++=+---++ ()222214212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭()22224422121421k k k k k k -+-+=++++()()2121k k -+=++)12221k k ⎛⎫=-+∈> ⎪ ⎪+⎝⎭ 所以λμ+的范围是)2.21.（1）证明见解析；（2）40394；（3）单调递减，lim 0n n b →∞=，()max637n b =.【解析】21.（1）将1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩代入验证等式()()2211n n n n n n d a b d a d ++-=即可证得结论成立；（2）根据条件1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩求得22n n a b +关于n 的表达式，进而可求得()2020221n n n a b =+∑的值；（3）根据题意求得数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件为636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，由结合13332nn d =⨯可推导出数列{}n b 的单调性、极限以及最大项.（1）1n n n a b d +=，n n n b a d =，所以，()()()()()22222211111n n n n n n n n n n n n n d a b d a d d a d d a d a ++-=+-=--+()()223111n n n n n n n n n d b d a d d b a d =-+=-+=，因此，数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）1n n n n n n a b d b a d +=⎧⎨=⎩，且tan 3n n d π=，可得tan 13tan3n n n n n a b n b a ππ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，222211cos 31tan sin 331cos 3n n a n n n ππππ===++，tansin cos 333n n n n n b a πππ==， 所以，224222222cossin cos cos cos sin cos 3333333n n n n n n n n n a b πππππππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭121cos 23n π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()()()2222122123cos cos cos 2333n k k k nn n n a b πππ+=++⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦∑12222224243cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2333333333n n n n n πππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭1212212233cos cos cos 23232323232n n n n n πππππ⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭， 202036731=⨯+，因此，()2020222211131220191201940396731cos 2232424nn n ab a b π=⎛⎫+=++⨯=++=+= ⎪⎝⎭∑； （3）()()2211nn n n n n da b d a d ++-=，23421n n n n n n n n n n n a d a b d b d a d a d ∴+++--=，()331n n n n n n n a b d d b a d ∴++-=，{}n a 、{}n b 、{}3n d 为有理数列，{}n d 为无理数列，3310n n n n n n a b d b a d ⎧+=⎨-=⎩，所以636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 当13332n nd =⨯时，则332nn d =⨯，则32111943232nn nn nb ⨯==+⨯+⨯⨯，令326n t =⨯≥，由双勾函数的单调性可知，函数1y t t=+在区间[)6,+∞上单调递增，所以，数列{}n b 单调递减，1lim lim13232n n n n nb →∞→∞==+⨯⨯，数列{}n b 的最大项为12661637b ==+.。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题五及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-=M C U =}7,5{，则a 的值为（ ） A ．2或8- B ．8-或－2 C ．－2或8 D ．2或8 (2)复数4312i i++的实部是（ ）A ．-2B ．2C ．3D ．4(3) “sin x ＝1”是 “cos x ＝0”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 在等比数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝16，则a 8＋a 9＝(A) 128 (B) －128 (C) 256 (D) －256(5)1-=m 是直线03301)12(=++=+-+my x y m mx 和直线垂直的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (6)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点, 点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为2(7) 函数axxxxf+--=93)(23（）A．0>a B．0<a C．3010<<-a D．275<<-a(8) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S(A) 1 (B)12(C)14(D)18(9) 若实数a，b，c，满足对任意实数x，y有 x＋2y－3≤ax＋by＋c≤x＋2y＋3，则a＋2b－3c的最小值为(A) －6 (B) －4 (C) －2 (D)0(10) 设U为全集，对集合X，Y*”，X*Y＝(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则 ( X*Y)*Z＝(A) (X Y)∩Z X∩Y Z X Y )∩Z(D) ( X∩Y )∪Z二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题四及答案创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确） 1．设集合A=｛直线｝，B={双曲线}，则集合B A 的元素的个数为A ．0B ．0或1或2C ．0或1D ．1或2 2．复数1iz i=+的共轭复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“32b a >是“64b a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．若满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-a y y x y x 020的整点(x ，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为 A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．06．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC 的点P 的个数为为A ．3B ．6C ．9D ．127．在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a,b,c,若C a c b cos 21=-，则A ．c,a,b 成等差数列 B.A,B,C 成等比数列 C ．C,A,B 成等差数列 D.c,a,b 成等比数列8．市内某公共汽车站10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是A ．240B ．480C ．600D ．7209 9． 点P 是双曲线2222221222x y a bC :-=1(a>0,b>0)与圆C :x +y =a +b 的一个交点,且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线C 1的离心率为A1BCD ．110． 如图，点p 是球O 的直径AB 上的动点，PA x =，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则()y f x =的图像是二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 11．数列{}n a 中，6,321==a a ，2+n a 是1+⋅n n a a 的个位数，则=2013a . 12．在△ABC 中，若AC AB BC 2,2==,则BA BC ⋅的取值范围为. 13．如果函数()sin()(0)4f x x πωπω=->在区间（－1，0）上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是. 14．已知是椭圆22+=11612x y 的右焦点，点M 在椭圆上，当||||MF MA +取得最小值时，点M 的坐标为. 15．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=,0),1ln(,0,21)(2x x x x x x f 若函数kx x f y -=)(有三个零点， BOB ．C ．D ．则k 的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16（本小题满分12分）已知函数)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f .(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,3)(==，证明:B C 3=． 17．（本小题共12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率. 18．（本小题共12分） 已知椭圆C 1:22143x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.(1)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(2)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.19．（本小题共12分）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （2）求二面角B AC M --的的余弦值; （3）求三棱锥MAC P -的体积.20．（本小题共13分） 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．21．（本小题共14分）若对于正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设)2()4()3()2()1(n n g g g g g S +++++= .(1)求g(6)，g(20)的值； (2)求S 1，S 2，S 3的值； (3)求数列{S n }的通项公式．参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBACBCBAA11． 812．)8,38(13．4514．)3,2(-15．⎪⎭⎫⎝⎛1,21三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．解：(1))3sin(2sin 2)(π-+=x x x f )cos 23sin 21(sin 2x x x -+=由Z k k x k ∈+≤-≤-,22622πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤-,32232ππππ. 所以f(x)的单调递增区间为)](322,32[Z k k k ∈+-ππππ(2)因为3)(=A f ，所以21)6sin(=-πA ．因为π<<A 0，所以πππ6566<-<-A ．所以3π=A因为Bb A a sin sin =，b a 3=，所以21sin =B . 因为a>b ，3π=A ，6π=B ，2π=C .所以B C 3=．17．解：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-= （2）ξ可能的取值为0,1,2()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ=== 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=所以商家拒收这批产品的概率为2795 18．解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p .此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上.（2）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438kk +.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且1212()()22p pAB x x x x p =+++=++.从而121214()2x x p x x ++=-+.所以12463px x -+=，即22846343k p k -=+. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y .解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y xm y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……① 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k .……②设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）,则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4k k +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k .……③由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438kk +.从而223)2(4k k +＝22438k k +. 解得6,62±==k k 即. 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y .19．（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴PAC ABC ⊥平面平面（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有31,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即2200032z z z π=+，解得01z =∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =，则111101022y z y z +=⎧-=⎩，取11x =，得{1,3,n = 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = 设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7m n m nθ⋅-==⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的余弦值为721 （3）取平面PCM 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面PCM 的距离113CA n h n ⋅== ∵1,1PC PM ==，∴11111326P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯=20．（1）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （2）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（3）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ，．21．解：(1)5)20(,3)6(==g g . …………2分(2)211)2()1(1=+=+=g g S ；61311)4()3()2()1(2=+++=+++=g g g g S ；)8()7()6()5()4()3()2()1(3g g g g g g g g S +++++++=.2217351311=+++++++=…………6分(3)由(1)(2)对*N m ∈，m 与2m 的奇数因数相同，则)()2(m g m g =． ………8分所以当2≥n 时，)4()3()2()1(g g g g S n +++=)2()12(n n g g +-++114--+=n n S ……11分于是114--=-n n n S S ，*,2N n n ∈≥.所以112211)()()(S S S S S S S S n n n n n +-++-+-=---3234241)41(41+=+--=-n n ，*,2N n n ∈≥. (13)分 又21=S ，满足上式，所以对*N n ∈，)24(31+=n n S . …………14分。

上海市七宝中学2022届高三下学期高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设全集{}3,U x x x =<∈Z ，集合{}1,1A =-，则U A =ð__．2．已知a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+的反函数为1()y f x -=，且1(2)1f -=，则(5)f =__．3．若π4sin 16x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__．4．已知公比不为等于1的无穷等比数列{}n a 各项均为整数,且{}n a 有连续四项在集合{}96,24,36,48,192--中,请写出数列{}n a 的一个通项公式:________（写出一个正确的即可）．5．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：2z z +=；乙：z z -=；丙：4z z ⋅=；丁：22z z z =.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =___________.6．若1F ，2F 是双曲线()222210,0y x a b a b -=>>与椭圆2251162x y +=的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且12PF F △为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______．7．已知函数()f x 的定义域为{}4,0,4-，值域为{}2,3，则函数()f x 是偶函数的概率为__．8．已知四面体的棱长为1或2，且该四面体不是正四面体，则这样的不同四面体的个数为__．9．在数列{}n a 中，13a =，11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，记n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则lim n n T →∞=___________.10．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA MB⋅的取值范围是________．11．设函数()y f x =的定义域为R ，给出下列命题：①若对任意x ∈R ，均有()1f x =，则()f x 一定不是奇函数；②若对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，则()f x 为奇函数或偶函数；③若对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，则()f x 必为偶函数；④若对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，且()f x 为R 上增函数，则()f x 必为奇函数；其中为真命题的序号为__（请写出所有真命题的序号）．12．已知各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，对任意的*n ∈N ，都满足14n n S a +≤，若111n nn n S S m S S +++-<对*n ∈N 均成立，则实数m 的取值范围是__．二、单选题13．“6n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知直线的参数方程为3sin 202cos70x t y t ⎧=-⎨=+⎩，则该直线的倾斜角为（）A ．20B ．45C ．110D ．13515．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（）A．BCD．16．已知0ω>，曲线πsin 4y x ω⎛⎫⎪⎝=⎭+在区间()0,1内恰有一条对称轴和一个对称中心，给出下述两个命题，命题p ：对任意ω，存在()00,1x ∈，使得0πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭；命题q ：存在()00,1x ∈，对任意ω，满足0πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭．下列说法正确的是（）A ．命题p 是真命题，命题q 是假命题B ．命题p 是假命题，命题q 是真命题C ．命题p 和命题q 都是真命题D ．命题p 和命题q 都是假命题三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA 垂直于平面ABCD ，4AB =，3AD =，PC =E 、M 分别在线段AB 、PC 上，其中E 是AB 中点，PMMCλ=，连接ME ．(1)当1λ=时，证明：直线ME 平行于平面PAD ；(2)当2λ=时，求三棱锥M BCD -的体积．18．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos cos cos sin cos B A C B C b+=．（1）求角C 的大小；（2）若6c =，且AB 边上的中线4CD =，求ABC 的面积．19．有一正方形景区EFGH ，EH 所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于F 点的垃圾回收站或公路EH 上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，2S 中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内1S 和2S 的分界线为曲线C ，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1,0)．(1)求景区内的分界线C 的方程；(2)为了证明1S 与2S 的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线C 在点G 处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线L ：y x b =+，分界线C 恒在直线L 的下方（可以接触），求b 的最小值，借助于直线L 与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．20．已知函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ．若D A ⊆，则称()f x 为“M 型函数”；若A D ⊆，则称()f x 为“N 型函数”．(1)设258()x x f x x-+=，[1,4]D =，试判断()f x 是“M 型函数”还是“N 型函数”；(2)设12()f x x =，()(2)(2)g x af x bf x =++-，若()g x 既是“M 型函数”又是“N 型函数”，求实数,a b 的值；(3)设2()2f x x ax b =-+，[1,3]D =，若()f x 为“N 型函数”，求(2)f 的取值范围．21．对于无穷数列{}n a ，设集合*{|,N }n A x x a n ==∈，若A 为有限集，则称{}n a 为“—T 数列”．(1)已知数列{}n a 满足12a =，*11(2,N 1n n a n n a -=≥∈-），判断{}n a 是否为“—T 数列”，并说明理由；(2)已知()364f x x x =+-+，数列{}n a 满足*1(),N n n a f a n +=∈，若{}n a 为“—T 数列”，求首项1a 的值；(3)已知()sin πn a t n =，若{}n a 为“—T 数列”，试求实数t 的取值集合．参考答案：1．{}2,0,2-【分析】解绝对值不等式可求得全集U ，根据补集定义可得结果.【详解】{}{}{}3,33,2,1,0,1,2U x x x x x x =<∈=-<<∈=--Z Z ，{}1,1A =-，{}2,0,2U A ∴=-ð.故答案为：{}2,0,2-.2．3【分析】由条件可得(1)2f =，然后求出a 的值，然后可得答案.【详解】因为1(2)1f -=，所以(1)2f =，所以2log (1)2a +=，所以3a =，所以2(5)log (53)3f =+=．故答案为：33．78##0.875【分析】解出πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,将πcos 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭用倍角公式写成2π12sin 6x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,将πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入即可得出结果.【详解】因为π4sin 16x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以π1sin 46x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以2πππ7cos 2co 6s 212sin 368x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为:784．()132n n a -=⋅-（答案不唯一）【分析】求出96,24,36,48,192--五个数的因数,分析得出连续的四项,进而得到公比,写出{}n a 的通项公式,根据{}n a 各项均为整数,判断首项的可能取值即可.【详解】解:由题知{}96,24,36,48,192--,因为()24122,36123,48124,-=⨯-=⨯=⨯()96128,1921216-=⨯-=⨯,要使{}n a 有连续四项在集合{}96,24,36,48,192--中,所以{}n a 中连续四项为()24122,48124,-=⨯-=⨯()96128,1921216-=⨯-=⨯,因为{}n a 各项均为整数,所以公比为-2,即()112n n a a -=⋅-,因为()()32412232-=⨯-=⨯-,所以1a 可为:3,-6,12,-24,故()()1*12N ,n n a n a -=⋅-∈,1a 为3,-6,12,-24,其中一个即可.故答案为:()132n n a -=⋅-（答案不唯一）.5．1i+【分析】设()0,0z a bi a b =+>>，由此可计算出z z +，z z -，z z ⋅和zz，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能甲丁正确，由此可求得z .【详解】设()0,0z a bi a b =+>>，则z a bi =-，2z z a ∴+=，2z z bi -=，22z z a b ⋅=+，222z z z a b =+.4z z ⋅= 与22z z z =不可能同时成立，∴丙丁不能同时正确；z z -= 时，232b =>，22z z z ∴=不成立，∴乙丁不能同时正确；当甲乙正确时：1a =，b =当甲丙正确时：1a =，b =当乙丙正确时：b =1a =，则甲也正确，不合题意；∴甲丁陈述正确，此时1a b ==，1z i ∴=+.故答案为：1i +.6．4y =±【分析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a ，b 即可计算作答.【详解】椭圆2251162x y +=的焦点12(0,3),(0,3)F F -，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P 在第一象限，因12PF F △为等腰三角形，由椭圆的定义知：12||||10PF PF +=，则112||||6PF F F ==，2||4PF =，由双曲线定义知：122||||2a PF PF =-=，即1a =，b ==a b =，所以双曲线的渐近线为：4y x =±.故答案为：4y =±【点睛】易错点睛：双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线22221y x a b -=(a>0,b>0)的渐近线方程为a y x b=±(即bx y a =±)，应注意其区别与联系.7．13【分析】列举出()f x 的所有解析式，再找出其中的偶函数，即可得答案.【详解】解：因为()f x 的定义域为{}4,0,4-，关于原点对称，值域为{}2,3，所以有2,4()3,0x f x x =±⎧=⎨=⎩，或2,0()3,4x f x x =⎧=⎨=±⎩，或2,40()3,4x f x x =⎧=⎨=-⎩或或3,40()2,4x f x x =⎧=⎨=-⎩或，或2,40()3,4x f x x =-⎧=⎨=⎩或，或3,40()2,4x f x x =-⎧=⎨=⎩或，共6种情况；而当2,4()3,0x f x x =±⎧=⎨=⎩和2,0()3,4x f x x =⎧=⎨=±⎩时，满足()()f x f x -=是偶函数，有2种情况，所以()f x 是偶函数的概率13P =．故答案为：138．3【分析】分析出1和2可以构成的三角形有哪些，进而可分性出符合条件的四面体的个数.【详解】四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，可以构成一个底面边长为1的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1，2，2的三角形，除了上述正三棱锥外，还可以是四个1，2，2的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，2，2的三角形拼成的三棱锥，综上，这样的不同四面体的个数为3．故答案为：3.9．23【分析】当2n ≥时，构造12311n n a a a a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，再变形得111n n n a a a +-=-，变形得()11111111n n n n n a a a a a +==----，有111111n n n a a a +=---，2n ≥，再代入求n T ，并利用数列{}n a 的单调性，最后求极限.【详解】解：11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得12311n n a a a a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，(2)n ≥，又112312311,1n n n n a a a a a a a a a a +--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，两式相除可得111n n n a a a +-=-，即11(1)n n n a a a +-=-，则()11111111n n n n na a a a a +==----，即有111111n n n a a a +=---，2n ≥，所以1233411111111111111n n n T a a a a a a a +=+-+-+⋅⋅⋅+-------111112133131n n a a ++=+-=---，由11a >，11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得1n a >，且{}n a 为递增数列，当n →+∞时，n a →+∞，则10n a →，即有1101n a +→-，所以1212lim lim 313n n n n T a →∞→∞+⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭.故答案为：23.【点睛】关键点点睛：本题的关键是递推公式的变形，111111n n n a a a +=---，计算数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，利用裂项相消法求和.10．[]9,0-【解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，设(,)M x y ，表示出MA MB ⋅，求出它的最值即可.【详解】如图所示，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，且圆O 的圆心为坐标原点，设(,)M x y ，则(4,0),(4,0)A B -，(4,)MA x y =--，(4,)MB x y =--- 222(4)(4)()16MA MB x x y x y ⋅=---+-=+-，又M 是弦CD 上的一个动点，且6CD =，所以2216916x y -≤+≤，即22716x y ≤+≤，其中最小值在CD 的中点处取到，所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-.故答案为：[9,0]-【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及坐标表示，运用几何意义是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.11．①③④【分析】根据函数奇偶性的定义一一判断求解.【详解】对于①，对任意x ∈R ，均有()1f x =，则()01f =，但奇函数中(0)0f =，矛盾，所以()f x 一定不是奇函数，①正确；对于②，()()f x f x -=等价于[][]()()()()0f x f x f x f x --+-=，若[]1,1x ∈-时满足()()0f x f x --=，()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时满足()()0f x f x +-=，则函数在x ∈R 上为非奇非偶函数，②错误；对于③，对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，则()()()f x f x f x =-=，所以()()()f x f x f x -==，所以函数必为偶函数，③正确；对于④，当0x >时，()()f x f x -=等价于[][]()()()()0f x f x f x f x --+-=，又因为()f x 为R 上增函数，所以()()f x f x >-，则()()0f x f x --≠，所以()()0f x f x +-=，所以()f x 必为奇函数，④正确，故答案为:①③④.12．77,32⎛⎤ ⎝⎦【分析】已知条件可知，利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求出等比数列的公比，即可得1(21)n n S a =-，最后利用对勾函数的性质可求出实数m 的取值范围.【详解】由题意得公比0q >，又114n n a S a +<≤，所以141n q ->恒成立，所以1q >，此时11111(1)441n n n n a q S a a q q+-+-=≤=-，所以1114(1)n n q q q +--≤-，即12(2)1n q q --≤对任意N n *∈恒成立，若2q ¹，因为1q >，则n 足够大时，12(2)1n q q -->，不合题意，所以2q =，此时11111(12)(21)12n n n a S a +++-==--，1(21)n n S a =-，令112112(2,3]2121n n n n n S t S ++-===+∈--，则原式化为11t m t +-<恒成立，所以1111t m t t t +-<<++恒成立，因为1510,23t t ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以77,32m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故答案为：77,32⎛⎤⎥⎝⎦.13．A【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可.【详解】1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：211C C rr n r rn r r n n T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭；当6n =时，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第4项为常数项，充分性成立；当20n r -=时，1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中存在常数项，如84n r =⎧⎨=⎩，必要性不成立；∴“6n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.14．D【分析】根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】由参数方程可知：直线斜率2cos 7013sin 20y k x -===--- ，∴直线倾斜角为135 .故选：D.15．B【分析】通过对称转换,,PQ QE EP ，由三点共线求得三角形PEQ 周长的最小值.【详解】在平面11B C CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，根据正方形的性质可知1CM =，E 关于B 1C 1的对称点为N ，111C E C N CE ===，连接MN ，当MN 与B 1C 1的交点为P ，MN 与B 1C 的交点为Q 时，则MN 是△PEQ 周长的最小值，1,3CM CN ==，MN ==∴△PEQ 故选：B16．A 【分析】利用整体代换法求得πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+的对称轴和对称中心，根据其在()0,1内的对称轴和对称中心个数可构造不等式组求得ω的范围，进而结合正弦型函数值域的求法依次判断两个命题即可.【详解】由()πππ42x k k ω+=+∈Z 得：()ππ4k x k ωω=+∈Z ，即πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+的对称轴为()ππ4k x k ωω=+∈Z ；由()ππ4x k k ω+=∈Z 得：()ππ4k x k ωω=-+∈Z ，即πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+的对称中心为()ππ,04k k ωω⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；πsin 4y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 在()0,1内恰有一条对称轴和一个对称中心，且0ω>，π14ππ14ππ14π2π14ωωωωωωω⎧<⎪⎪⎪+≥⎪∴⎨⎪-+<⎪⎪⎪-+≥⎩，解得：3π5π44ω<≤；对于命题p ，当()0,1x ∈时，πππ,444x ωω⎛⎫+∈+ ⎝⎭，又π3ππ42ω<+<，∴当πππ,44x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭时，πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即存在()00,1x ∈，使得0πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则命题p 为真命题；对于命题q ，当()0,1x ∈时，πππ,444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，又π3ππ42ω<+<，则对任意ω，πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+总存在大于0的部分，则命题q 为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数性质的综合应用问题，解题关键是能够利用整体代换法求得正弦型函数的对称轴和对称中心，进而根据区间内的对称轴和对称中心个数确定ω的取值范围.17．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取PD 中点N ，联结MN 、AN ，证明四边形AEMN 为平行四边形，然后得到//ME AN 即可；（2）首先求出PA 的长度，然后可得点M 到平面ABCD 的距离，然后可求出答案.【详解】（1）取PD 中点N ，联结MN 、AN ，因为MN 是PCD 的中位线，故//MN CD ，且12MN CD =，又//AE CD ，且12AE CD =，故四边形AEMN 为平行四边形，所以//ME AN ，又ME 不在平面PAD 内，AN 在平面PAD 内，所以ME 平行于平面PAD ；（2）因为4AB =，3AD =，PC =，PA 垂直于平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，3PA =，因为2PM MC=，所以点M 到平面ABCD 的距离为1，所以11431232M BCD V -=⨯⨯⨯⨯=．18．（1）3C π=；（2【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得tan C 的值，进而求得C 的大小.（2）利用cos cos 0BDC ADC ∠+∠=得到2250a b +=，利用余弦定理求得ab ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）因为cos cos cos sin cos B A C B C +=cos cos cos sin cos B A C B C +=所以cos()cos cos sin cos A C A C B C-++sin sin sin cos A C A C =．又因为sin 0A ≠，所以tan C (0,)C π∈，所以3C π=（2）因为cos cos 0BDC ADC ∠+∠=，所以22222234340234234a b +-+-+=⨯⨯⨯⨯，得2250a b +=；又因为22262cos 3a b ab ab π+-==，所以14ab =，所以11sin 1422S ab C ==⨯=19．(1)()2401,02y x x y =≤≤≤≤；(2)证明见解析【分析】（1）根据给定信息，可得分界线上任意点到点F 与直线EH 距离相等，再列出方程化简作答.（2）选①，求出分界线C 在点G 处的切线方程，再求出该切线与y 轴分正方形所成两部分面积差即可；选②，借助恒成立求出b 的最小值得直线L ，再求出直线L 与y 轴分正方形所成两部分面积差即可.【详解】（1）分界线C 上任意点到点F 与直线EH 距离相等，直线EH ：=1x -，点()1,0F ，设分界线C 上任意一点为(,)x y ，于是得|1|x +=()2401,02y x x y =≤≤≤≤，所以景区内的分界线C 的方程：()2401,02y x x y =≤≤≤≤.（2）选①：点G 的坐标为(1,2)，显然切线斜率存在，设切线方程为2(1)y k x -=-，0k ≠，由22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，得24840y y k k -+-=，由21632Δ160k k =-+=，得1k =，因此分界线C 在点G 处的切线方程为1y x =+，设切线交y 轴于点M ，则(0,1)M ，梯形OMGF 面积013(||||)||22S OM FG OF =+⋅=，显然2032S S <=，因此12542S S =->，所以121S S ->．选②：依题意，x b +≥对[0,1]x ∈恒成立，即b x ≥-+而21)11x -+=--+≤，当且仅当1x =时取等号，则1b ≥，即b 的最小值为1，直线L 方程为1y x =+，设直线L 交y 轴于点M ，则(0,1)M ，梯形OMGF 面积013(||||)||22S OM FG OF =+⋅=，显然2032S S <=，因此12542S S =->，所以121S S ->．20．(1)()f x 是“M 型函数”；(2)11a b =-⎧⎨=⎩(3)[1,2]．【分析】(1)利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；(2)分0,0a b ><和0,0a b <>结合函数的单调性分类讨论求解；(3)分a 不同的取值结合“N 型函数”的定义即可求范围.【详解】（1）当[1,4]x ∈时，2588()545x x f x x x x-+==+-≥，当且仅当x =由于(1)4,(4)1f f ==，所以函数()f x 的值域为5,4]A =，因为51<，所以D A ⊆，所以()f x 是“M 型函数”；（2）()g x =，定义域为[2,2]-，由题意得函数()g x 的值域也为[2,2]-，显然0ab <，否则值域不可能由负到正，当0,0a b ><时，()g x 在[2,2]-上单调递增，则(2)22(2)22g a g b ==⎧⎨-==-⎩，得11a b =⎧⎨=-⎩；当0,0a b <>时，()g x 在[2,2]-上单调递减，则(2)22(2)22g a g b ==-⎧⎨-==⎩，得11a b =-⎧⎨=⎩；（3）222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-，[1,3]D =，由题意得函数()f x 的值域[1,3]A ⊆，当1a ≤时，()f x 的最小值(1)121f a b =-+≥，当13a <£时，()f x 的最小值2()1f a b a =-≥，当3a ≥时，()f x 的最小值(3)961f a b =-+≥，当2a ≤时，()f x 的最大值(3)963f a b =-+≤，当2a >时，()f x 的最大值(1)123f a b =-+≤，因为(2)44f a b =-+，由点(,)a b 所在的可行域，得当2,6a b ==时，(2)f 取最大值，最大值为2，当(2)44f a b =-+与21b a =+相切，即2,5a b ==时，(2)f 取最小值，最小值为1，因此(2)f 的取值范围是[1,2]．21．(1){}n a 是“—T 数列”；理由见解析.(2)12a =-；(3)Q t ∈.【分析】（1）由递推公式得到3n n a a +=，判断出12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，结合“—T 数列”的定义即可证明；（2）先利用单调性判断出()min 2f x =-，结合“—T 数列”的定义，分类讨论求出12a =-；（3）分类讨论：当t 为有理数时，设q t p=，结合“—T 数列”的定义，证明出符合题意；当t 为无理数时，利用反证法证明出不符合题意.【详解】（1）由题意得12a =，21a =-，312a =，42a =，51a =-……因此3n n a a +=.所以{}*1|,N 2,1,2n A x x a n ⎧⎫==∈=-⎨⎬⎩⎭为有限集，因此{}n a 是“—T 数列”；（2）()222,36441042,224x x f x x x x x x x +≥-⎧⎪=+-+=---≤<-⎨⎪--<-⎩所以在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，所以()()min 22f x f =-=-.当2x >-时，()22f x x x =+>（*），因此当12a =-时，()212a f a ==-，()322a f a ==-，即*2,N n a n =-∈，此时{}n a 为“—T 数列”，当12a ≠-时，()212a f a =>-，由（*）得()3222a f a a =>>-，()4332a f a a =>>-，因此1n n a a +>，{}n a 显然不是“—T 数列”，综上所述：12a =-；（3）当t 为有理数时，必存在*N ,Z p q ∈∈，使得q t p=，则()2sin π2sin π2πsin πn p n q q q a n p n q n a p p p +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，因此集合*{|,N }n A x x a n ==∈中元素个数不超过2p ，为有限集；当t 为无理数时，对任意*,N ,m n m n ∈≠，下用反证法证明m n a a ≠，若m n a a =，即()()sin πsin πt n t m =，则ππ2πt n t m k =+或πππ2πt n t m k =-+，其中Z k ∈，则2Q k t n m =∈-或22Q k t n m+=∈+，矛盾，所以m n a a ≠，因此集合*{|,N }n A x x a n ==∈必为无限集.综上，t 的取值集合是全体有理数，即Q t ∈．。