相似三角形的判定2

判定相似三角形的方法
判定相似三角形的方法有以下几种：
1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的长度比例相等，则它们是相似的。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且它们的对应边的长度比例相等，则它们是相似的。

4. 对顶角相等定理：如果两个三角形的一个对顶角相等，则它们是相似的。

5. 直角三角形相似定理：如果两个直角三角形的一个锐角相等，则它们是相似的。

要注意的是，这些定理只是判定相似三角形的方法，而不能确定相似三角形的比例尺。

对于给定的两个相似三角形，我们可以通过这些定理来判断它们是否相似，但要确定它们的比例尺需要知道至少一个对应边的长度。

三角形的相似判定方法
有三种常用的三角形相似判定方法：
1. 角-角-角相似判定法（AAA相似判定法）：
如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则这两个三角形相似。

2. 边-边-边相似判定法（SSS相似判定法）：
如果两个三角形的对应边的长度比例相等，则这两个三角形相似。

3. 边-角-边相似判定法（SAS相似判定法）：
如果两个三角形的两边的长度比例相等，并且夹角相等，则这两个三角形相似。

需要注意的是，以上的相似判定方法只能确定两个三角形是否相似，不能确定它们的大小关系。

若要确定两个相似三角形之间的长宽比等具体数值关系，还需要另外给出一个边的长度或者角的大小。

他有点腼腆地说：衣服很脏，让你不舒服了。 虽说防人之心不可无，但回想一路上对他的不信任，我就感到脸上一阵发烧。人在旅途，很多时候，会看错人、表错情。可能只缘于自己身上带着一些所谓贵重的东西，而无端产生种种猜疑，也因此失去了另外一些更贵重的东西，比如 ，看不见唇间善意的微笑，只盯着人家唇后的牙齿，且自乱心神。而信任，是很多美好心情的最初。 184、人生咸淡两由之 1925年初秋，弘一法师（李叔同）因战事而滞留宁波，在夏沔尊先生住所小住数日。其间，弘一法师用餐时，享用的仅是一碗米饭、一道素菜和一杯白开 水而已。夏先生看在眼里，实在于心不忍，便说：“一碟腌萝卜，你就不觉得太咸吗？” “咸有咸的滋味。” “不添茶叶，白开水就不嫌太淡吗？” “淡有淡的味道。” 夏先生这样问，那是因为作为故交，他非常了解：昔日的李叔同是一个风流倜傥的才子，也曾过 着安逸华贵、锦衣玉食的日子。后来，夏先生在《生活的艺术》一文中写道：在弘一法师的世界里，一切都好。白衲衣、破卷席和旧毛巾一样好，青菜、萝卜和白开水同样好。咸也好，淡也好，样样都好；能在琐碎的日常生活中咀嚼出它的全部滋味，能以欢愉的心观照出人生的本来面目 ，这种自在的心性，宛如一轮皓月，是何等空灵的境界。 人间滋味，原本就是苦辣酸甜的融合；苦中有甜、甜中有苦，咸淡相依、甘苦共存；咸淡相宜时不多，咸淡不匀时不少；况且没有品尝过苦涩的滋味，又如何体味香甜的美妙？宋朝云门慧开禅师曾留下一首传诵千古的诗偈《 日日是好日》：春有百花秋有月，夏有凉风冬有雪；若无闲事挂心头，便是人间好时节。 常言道：景由心生，境由心造。如此，面对并不完美的人生，少一分挂碍，便多一分自在；少一分苛求，便多一分安详；而多一分宽容，自己便也多了一分转圜的余地。 然而，咸淡两由之 ，并不是简单的随遇而安、不图进取。丰子恺先生曾评价弘一法师：当教员，是个好老师；做名士，是个真名士……做一样，像一样，就因为他做一切事都心无旁鹜、认真投入的缘故。试问，一个嫌苦怕咸、心存挂碍的人，能有如此修行吗？ 人生本如此，咸淡两由之。这也实在是 一种生活的艺术。 185、 转身 一个探险家出发去北极，最后却到了南极。当别人问他为什么时，他说：“我带的是指南针，找不到北极。”问者说：“怎么可能呢？南极的对面不就是北极吗？转过身就可以了。” 这个故事常被人用来说明一个道理：在生活中，我们一次 次被撞得晕头转向、头破血流，就像去北极的探险家被指南针的针尖牵住了鼻子。而实际上，我们只要转过身去，便会柳暗花明。 生活中常能看到，一个人成功后就鲜有成功；或一个渴望成功的人克隆别人的成功，往往以失败告终。原因之一，便是曾有的成功不让他们“转身”。 探险家为什么如此迷信指南针，就因为过去太多的人靠指南针获得过成功。过去的成功往往被视为将来成功的方向。殊不知，环境变了、时间变了、挑战变了，等待实现的成功的方向也就变了。惯性使他们坚持与过去的成功相同的方向，并坚信那是正确的方向。哪怕一次次撞得晕头转向 、头破血流也不会有转身的意识，不可避免地要重蹈那位探险家的覆辙。 为什么会失败？就因为人们不转身；为什么不转身？就因为人们坚信自己面对着成功的方向；为什么如此迷信？就因为这个方向曾使人成功。所以，成功也是失败之母。 186、发出你的声音 这是一把 破旧的小提琴，到处都是刮痕，拍卖师认为实在不值得他费神。但出于职业的原因，只好把它抓在手上，高声喊道：“朋友们，这是一把特别的小提琴，现在拍卖开始了，有谁要先开个价？” “十块，十块钱我买下来送给街头乞讨艺人。”一位年轻人充满揶揄地举起手。 “我 出二十，二十块钱我买下来送给我保姆的儿子弹着玩。”一位中年妇女也充满揶揄地举起手。 拍卖师在询问有没有人加价。 “且等一下，”一位白发灰白，胡须很长的老先生走到拍卖台旁，手里拿着琴弓。只见他轻轻地用宽大的衣襟掸了掸旧提琴上的灰，把松掉的弦拉紧，然 后把琴弓熟练地搭到琴弦上，一曲美妙的《二泉映月》在拍卖厅缓缓响起。拍卖师随即浸入音乐的气氛中。音乐一止，他马上把琴和弓高高举过头顶，并严肃地说：“我为这把神奇的小提琴起个价。三千块人民币。” 拍卖师一开价，马上有人出到五千人民币。在几次竞价后，最后 以七千元成交。 前后不到一刻钟，一把破损的小提琴经人一弹拉，价格便由二十块上升到七千块，可见，它的价值并非小提琴本身，而是它发出的美妙声音呀。 187、爱你现在的工作 纽约一家名为“人性之光”的行为研究中心做了一个调查，主题是：成功是需要的一个重 要条件是什么。在调查表上有8个备选答案：积极的精神状态；丰富的常识；信念的容量；人际关系的和谐；一份自己喜欢的职业；经济的保障；理解人的能力；热爱自己的工作。他们同包括美国前总统克林顿在内的125位成功人士进行了交流。在8个备选答案中，“热爱自己的工作”这 一项成为106位成功人士的选择。这106位成功人士选择的理由和解释不尽相同，但大致意思是相同的。比尔?盖茨的解释颇具代表性，他说：“无论你现在的工作你喜不喜欢，但你必须热爱它，投入全身激情去做好它，因为这是一个人最初的起点，最走向未来的跳板。” 188、一事 无成 我们都知道，达?芬奇是文艺复兴时期意大利最著名的艺术家，他同时也是画家、雕刻家、建筑师、工程师、音乐家、哲学家和科学家，他的绘画风格影响了几个世纪。他的代表作品《最后的晚餐》和《蒙娜?丽莎》成为人类历史上最经典的作品。 但是，还有一件事也许就 很少有人知道了。在1519年，当时他正客居法国，他的生命走到了尽头。眼看着自己的时间不多了，自己有很多的理想不能实现了，他很痛苦地对身边的说，我的一生，不过是非功过利用白天来酣睡罢了，我一生一事无成。 同样还有一位我们所熟知的荷兰杰出画家梵高，他给我们 留下的《向日葵》，也是我们人类历史上的经典作品，他的许多作品在今天都是价值连城。但是，他在自己的最后时刻，一直为自己没有什么成就而痛苦。他甚至因为自己一直画不出他心中认为的杰出作品而烧掉了很多画作。他在最后时刻对自己的弟弟说，我很痛苦，我一生一事无成。 就是这样两个为自己没有成就而痛苦，认为自己一事无成的人，几百年来一直影响着整个世界，成为全人类的自豪和骄傲。 189、愿望与成功之间 1865年，美国南北战争结束了。一位名叫马维尔的记者去采访林肯，他们有这么一段对话。 马维尔：据我所知，上两届总统都 曾想过废除黑奴制，《解放黑奴宣言》也早在他们那个时期就已起草，可是他们都没拿起笔签署它。请问总统先生，他们是不是想把这一伟业留下来，给您去成就英名？ 林肯：可能有这个意思吧。不过，如果他们知道拿起笔需要的仅是一点勇气，我想他们一定非常懊丧。 马维 尔还没来得及问下去，林肯的马车就出发了，因此，他一直都没有弄明白林肯的这句话里到底是什么意思。直到1914年，林肯去世50年了，马维尔才在林肯致朋友的一封信中找到了答案。在信里，林肯谈到幼年的一段经历： 我父亲在西雅图有一处农场，上面有许多石头。正因为如 此，父亲才得以较低的价格买下它。有一天，母亲建议把上面的石头搬走。父亲说，如果可以搬走的话，主人就不会卖给我们了，它们是一座座小山头，都与大山连着。 有一年，父亲去城里买马，母亲带我们在农场劳动。母亲说，让我们把这些碍事的东西搬走，好吗？ 于是我 们开始挖一块块石头。不长时间，就把它们弄走了，因为它们并不是父亲想像的山头，而是一块块孤零零的石块，只要往下挖一英尺，就可以把它们晃动。 林肯的信在末尾说，有些事情人们之所以不去做，只是他们认为不可能。而许多不可能，只存在于人的想像之中。 190、 民甘民忧入诗来 “步履匆匆汗满肩，风吹背篓正冬天。高楼白领曾知否？十块砖头一角钱。”这首《背篓工人》，描写的是进城农民工的境况。近读《中华诗词》月刊，看到当今诗坛有一批作者，把笔触伸向弱势群体，写出的诗篇动人心弦。 在诗人的笔下，饱蘸着弱势群体的 辛劳与凄苦。请听《鹧鸪天?打工老者》：“小女辍学卖豆芽，打工老夫走天涯。日背砖块汗如雨，夜宿工棚霜似花。停饮酒，不喝茶，分分积攒寄娇娃。偶闲也作登楼望，万户千灯不是家。”对于这类人群，社会本该投入更多的关注，但有些城里人关注的不是他们，而是身边的宠物。 有位诗作者，从媒体上看到东莞城宠物冬装走俏的消息，发出了这样的慨叹：“冷气深深东莞城，狗猫衣暖两三层。可怜风里打工仔，寒贱输它小畜牲。”大自然的冷气让打工仔身寒，一些人的冷漠更让打工仔心寒。 弱势群体的疾苦，是需要作者用“心”去体察，才能感触到的。 有一首《采桑子?夜市卖饭妇人》是这样写的：“星寒月冷愁心重。衣满冰霜，鬓满冰霜，难卜今宵胜往常。夜深街旷游人断，饭亦冰凉，菜亦冰凉。痴立锅旁好忧伤。”星寒月冷，夜深街旷，衣满冰霜，饭菜冰凉，这些可用肉眼感知，但“难卜今宵胜往常”，“痴立锅旁好忧伤”，却 是作者用“心”体察到的。笔墨触及到人物心灵的深处，作品也就有了深深的感染力。 “衙斋卧听萧萧竹，疑是民间疾苦声。些小吾曹州县吏，一枝一叶总关情。”当今也有一大批公仆，时刻牵挂着弱势群体的寒暖。请听一位七品芝麻官的《静夜思》：“寒气袭人知夜深，长街邻舍寂 无声。八七十万人民在，枕上灯关怎静心？”他走访特困户，又止不住潸然泪下：“一屋两人残，矮房无炊烟。入门徒四壁，怎不泪潸然？” ? 191、上帝的困惑 上帝造就了少数天之骄子，像屈原、林肯等，上帝认为这是自己造就的最满意的人了。可结果呢，他们生前与死后，都 曾受到这样或那样的指责、谩骂和攻击。上帝很不理解，于是便到人间去私访。 来到一所中学，就听一位老师在教导他的学生：“金无足赤，人无完人。” 上帝忽然就想，既然天之骄子在人世间还这么不受欢迎，那么我就干脆造出一个十全十美的人来，再试试看。上帝于是造 就了一个十全十美的人，连半点瑕疵都没有。

初步掌握〃三组对应边的比相等的两个三角形相似〃的判定方法，以及〃两组对 应
边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似〃的判定方法.
掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似.
学科整合 课前自学探路
1. 复习提问:
两个三角形全等有哪些判定方法?
我们学习过哪些判定三角形相似的方法?
全等三角形与相似三角形有怎样的关系?
如图，如果要判定ABC 湘似，是不是一定需要 验证所有的对应角和对应
边的关系?
课题 相似三角形的判定（2）
课型新授 课时 难点
三角形相似的条件归纳、证明
教学目标
2. 探究：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的2倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。

思考:通过上述操作我们发现，只要两个三角形的边具备什么条件时，这两个三角形就相似?
如右图，两个三角形的三组对应边的比相等，你能尝试证明这两个三角形相似吗?
【归纳】三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3. 用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：
（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）尝试画图，猜想并证明
（3）【归纳】三角形相似的判定方法2两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似
课上互学展示
例 1 ：如图，在四边形ABCD 中，ZB=ZACD, AB=6, BC=4, AC=5, CD=7-,求
AD的长.
课终效果检测。

相似三角形的判定方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相近；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。

方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所
截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应成正比的三角形相近，俗语来说先找出这两个三角形的对应边，间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。

两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。

夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗语来说:如上均先找出对应边对应角，将其一一对应。

三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近，俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。

= ∠DAE －∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°.
B D C E
练一练 如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出 图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由. 解：在 △ABC 和 △ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E. ∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ， A ∴∠BAD=∠CAE. 故图中相等的角有∠BAC=∠DAE， E ∠B=∠D，∠C=∠E， D B ∠BAD=∠CAE. C
1 1 1 ∴ DE AC，DF BC，EF = AB， 2 2 2 DE DF EF 1 = = ， ∴ AC BC AB 2
∴ △ABC∽△EFD.
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. 解：公路 AB 与 CD 平行.
A' B' B'C' 又 AB BC DE B' C' ∴ ， BC BC
A E C A′
D
A' C' ，AD=A′B′， AC C′ B′ AE A' C' . ∴△ADE≌△A′B′C′， AC AC △A′B′C′ ∽△ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
归纳： 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：
当堂练习
1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为 A. 20 B. 27 A B C

两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。

1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：全等三角形相似。

)。

从上述例子你能得出什么结论？
AB DE
=
2，DAFC
=
2 ，有两边对应成比例.
图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似.
在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两 边的夹角相等，则这两个三角形不相似.
AB DE
=
2在，两DAFC个=三2，角形中，有
有两图两边中边对∠对应B应成=∠成比E比例，例.而，∠A如≠不∠D是，故
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。

三角形相似的判定方法
判断三角形是否相似的方法有以下几种：
1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形相似。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个对应边的比值相等，则这两个三角形相似。

4. 直角三角形的判定：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，则这两个直角三角形相似。

5. 三角形边长之比的判定：如果一个三角形的边长与另一个三角形的边长之比相等，则这两个三角形相似。

需要注意的是，判断三角形是否相似时，只要满足相似定理中的一个条件即可。

三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

由
������������ ������������ 1 = = 及对顶角相等可得△CDE∽△CAB, ������������ ������������ 2 ������������ ������������ 1 = = . ������������ ������������ 2
关闭
1 2
1 2
)
4
课前预习
课堂合作 课堂合作
当堂检测
针对性训练 见当堂检测· 基础达标栏目第 6 题
5
课前预习
课堂合作 课堂合作
当堂检测
变式训练 如图,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,DC 交 BE 于 F,且 AD= AB,AE= EC.
1 3 1 2
求证:(1)△DEF∽△CBF; (2)DF· BF=EF· CF.
分析:根据已知条件先证明△ADE∽△ABC.
6
课前预习
课堂合作 课堂合作
当堂检测
证明:(1)∵ AE= EC,∴ = . ∵ AD= AB,∴ = , ∴ =
������������ ������������ ������������ . ������������ 1 3 ������������ ������������ 1 3
1 2
������������ ������������
1 3
又∠A=∠A,∴ △ADE∽△ABC. ∴ ∠ADE=∠ABC,∴ DE∥BC. ∴ △DEF∽△CBF. (2)∵ △DEF∽△CBF, ∴ =
������������ ������������ ������������ ,即 ������������
关闭
图(1)根据三角形的内角和定理,即可求得大三角形的第三个角为 70° ,由有两角对应 相等的三角形相似,即可判定(1)中的两个三角形相似;

B
A` C`
E C
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
要证明 △ABC∽△A’B’ C’，可以先作一 个与△ABC全等 的三角形，证明 它△A’B’C’与相 似．这里所作的 三角形是证明的 中介，它把 △ABC与 △A’B’C’联系起 来．
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
A
A’
B
C
AB ' 'BC ' 'AC' ' AB BC AC
B’
C’
△ABC∽△A’B’C’
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么 这两个三角形相似.
A’ A
B’
C’
B
C
AB ' 'BC ' 'AC' ' AB BC AC
三边对应成 比例
是否有△ABC∽△A’B’C’？
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
？ 思考
对于△ABC和△A’B’C’, 如果
,
∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。

相似三角形的判定在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。

判定两个三角形是否相似是几何学中的基本问题之一。

本文将介绍相似三角形的定义以及常用的判定方法。

一、相似三角形的定义两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等且对应边的比例相等。

根据这个定义，我们可以得出相似三角形的三个基本判定定理。

1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。

3. SAS相似定理：如果两个三角形中有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等，则这两个三角形相似。

二、相似三角形的判定方法1. 角角判定法：使用AA相似定理，当我们知道两个三角形的两个角分别相等时，就可以判定它们相似。

具体判定方法是测量三角形的两个角，并将其与另一个三角形对应的两个角进行比较。

如果它们相等，则两个三角形相似。

2. 边边判定法：使用SSS相似定理，当我们知道两个三角形的三条边的比例相等时，可以判定它们相似。

具体判定方法是测量两个三角形的三条边，并将其比较。

如果它们的比例相等，则两个三角形相似。

3. 边角边判定法：使用SAS相似定理，当我们知道两个三角形有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等时，可以判定它们相似。

具体判定方法是测量两个三角形的两个对应边的比例，并测量它们对应的夹角，将其与另一个三角形对应的两个对应边的比例和夹角进行比较。

如果它们相等，则两个三角形相似。

三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用。

一些常见的应用包括：1. 测量高度：通过测量阴影的长度和实物的长度，我们可以利用相似三角形的性质计算出物体的高度。

2. 估算距离：在实际测量中，通过相似三角形的比例关系，我们可以利用已知的距离来估算其他无法直接测量的距离。

3. 图像变换：相似三角形的性质在图像变换中也有应用。

例如，图像的缩放、旋转和翻转等操作都可以通过相似三角形来实现。

一．证明相似的四种判定1、两角对应相等，两三角形相似。

2、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

3、三边对应成比例，两三角形相似。

4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明。

）扩展资料：常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

）（SSS）判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

）判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

）（HL）判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。

相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。

三角形相似的判定方法6种相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：一是考查相似三角形的判定；二是考查利用相似三角形的性质解题；三是考查与相似三角形有关的综合内容。

以上试题的考查既能体现开放探究性，又能注重知识之间的综合性。

首先我们帮助学生突破相似三角形判定这个难点。

三角形相似的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形比值与比的概念比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1判定方法证两个相似三角形应该把表示对应顶点的`字母写在对应的位置上。

如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

知道了定义那么我们接下来就看看，三角形相似的判定的6种方法。

方法一(预备定理)平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)方法二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

方法三如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似方法五(定义)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形三个基本型Z型A型反A型方法六两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。

一定相似的三角形1、两个全等的三角形(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1)2、两个等腰三角形(两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

)3、两个等边三角形(两个等边三角形，三角都是60度，且边边相等，所以相似)4、直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形(母子三角形)。

三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。

判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。

本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。

一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。

原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。

三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。

图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。

例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。

判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。

二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。

这是基于比例关系的相似判定方法。

原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。

比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。

图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。

例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。

AB BC CA △ABC∽△A'B'C' A' B' B' C' C' A'
B
C
直角三角形相似的判定: 直角边和斜边对应成比例， 两直角三角形相似。 ∠C=∠C' =90
AB AC = A' B ' A'C'
o
A'
C'
B'
A
Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
⑵ ∵∠A=∠A，
∴当AC:AP＝AB:AC时， P 1 △ ACP∽△ABC.
A
2
B 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或 AC:AP＝AB:AC,△ ACP∽△ABC.
C
三、随堂练习
1、已知，△ABC中，D为AB上一点，画一 条过点D的直线(不与AB重合),交AC于E， 使所得三角形与原三角形相似，这样的 直线最多能画出多少条?
一、知识回顾
相似三角形的判定定理： 定理1：两角对应相等，两三角形相似。 A'
∠A= ∠A' ∠B= ∠B'
BC AB A' B ' B ' C '
△ABC∽△A'B'C'
B'
C'
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ∠B= ∠B' △ABC∽△A'B'C' A