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高数习题集及答案一、极限1. 求下列极限：- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)- \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x \)2. 利用夹逼定理证明：- \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \)答案：1. 对于第一个极限，我们可以使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]对于第二个极限，我们可以使用重要极限：\[ \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \]2. 利用夹逼定理，我们可以找到两个序列 \( a_n \) 和 \( b_n \) 使得：\[ a_n \leq (1 + \frac{1}{n})^n \leq b_n \]并且 \( \lim_{n \to \infty} a_n = e \) 和 \( \lim_{n \to \infty} b_n = e \)，从而证明 \( \lim_{n \to \infty} (1 +\frac{1}{n})^n = e \)。
二、导数与微分1. 求下列函数的导数：- \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \)- \( g(x) = \ln(x) \)2. 利用导数求函数的单调区间：- 对于函数 \( h(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求其单调增区间。
答案：1. 对于 \( f(x) \) 的导数，我们有：\[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]对于 \( g(x) \) 的导数，我们有：\[ g'(x) = \frac{1}{x} \]2. 对于函数 \( h(x) \)，我们先求导：\[ h'(x) = 2x - 4 \]令 \( h'(x) > 0 \)，解得 \( x > 2 \)，因此 \( h(x) \) 在\( (2, \infty) \) 上单调增。
北方工业大学《高等数学》练习册第一章 练习一：极限概念与运算一．选择与填空题1．设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（ ） （A ）n n a b <，对任意n 成立； （B ）n n b c <，对任意n 成立；（C ）极限∞→n lim n n a c 不存在； （D ）极限∞→n lim n n b c 不存在. 2．从1)(lim 0=→x f x x 不能推出 （ ） （A ）1)0(0=-x f ；（B ）1)0(0=+x f ；（C ）1)(0=x f ； （D ）0]1)([lim 0=-→x f x x . 3．1)(lim 2=-→x f x 是1)(lim 2=→x f x 的 （ ） （Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件； （Ｃ）充要条件； （Ｄ）既非充分也非必要条件. 4．1)(lim 2=-→x f x 是1)(lim 2=+→x f x 的 （ ） （Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件； （Ｃ）充要条件； （Ｄ）既非充分也非必要条件.5．当∞→x 时，x arctan 2-π是 （ ）（A ）趋于0； （B ）趋于∞； （C ）有界变量； （D ）无界变量.6．函数xx x f 1sin )(=在点x ＝0处 （ ） (A) 有定义且有极限； （B ）无定义但有极限(C) 有定义但无极限 ； (D) 无定义且无极限7．当0→x 时，函数1212)(11+-=x x x f 的极限是 （ ）（A ）1 （B ）－1 （C ）0 （D ）不存在且不是无穷大8．若,)(α=-k x f 其中k 是常数，当0x x →时, 0α→，则0lim ()x x f x →= . 9． 函数)(x f 在点0x 处有定义是)(lim 0x f x x →存在的____ _____条件. 10. 函数)(x f 在点0x 处左、右极限存在且相等是)(x f 在点0x 处极限存在的_____________条件.二．计算题1．2243lim .2n n n n →∞++ 2．23532lim .75x x x x x →∞-++-3．).n n →∞ 4．2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭.5．设⎩⎨⎧+=bax e x f x)( 00>≤x x ，求(00)f +，(00)f -; 若1)(lim 0=→x f x , 求b .6．∞→n lim 22212222n n n n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭7． 3423lim 221+-+-→x x x x x . 8．33322lim 2-+-+→x x x .9．)11(lim 22+--+++∞→x x x x x10. 若0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求a 、b 的值.11. 讨论函数1,11)(→--=x x x x f 当时，极限是否存在？三．证明题： 设P (x )是多项式函数，且1)(lim ,2)(lim 023==-→∞→x x P xx x P x x .证明x x x x P ++=232)(.。
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
⾼等数学习题册上海交通⼤学⽹络教育学院医学院分院《⾼等数学》课程练习册专业：公共事业管理、检验技术、药学层次：专升本第⼀章极限与连续⼀、选择题1、112lim 221-+-→x x x x 选 ( ) (A)1 (B)-1 (C)0 (D)∞2、kxx x)11(lim 0+→选 ( ) (A)ke (B)e (C)1 (D)03、1)21(lim -∞→+x x x 选 ( ) (A) e (B) 2e (C) xe (D)14、1)1sin(lim21--→x x x 选 ( )(A) 21 (B) ∞ (C) 41(D)05、xxx 2tan lim0→选 ( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) ∞6、2321lim4--+→x x x 选 ( )(A)lim +∞→++x x x x 选（）(A) 1 (B) e (C) 2e (D) 3 e8、xx xx sin 2cos 1lim0-→选（）(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3⼆、计算题1. xxtg x 23lim 0→2. xx x 10)1(lim -→3．4586lim 224+-+-→x x x x x 4.11lim--→x x x 5. xx x x )11(lim +-∞→6.2lim x e x x +∞→7.11ln(lim x x x +∞→9．1352lim 22+-++∞→x x x x x 10. xxx sin lnlim 0→11．xx x 20)31(lim +→12．230sin lim xm xn →13. )sin(arctan lim x x ∞→第⼆章⼀元函数微分学⼀、选择题求下列函数的导数1、4ln ln 3+=x y选 ( )(A) 0 (B) 3 (C)x 4x 3+ (D) x3 2、xe y arctan = 选 ( ) (A) x 2e 11+ (B) x e (C) x2x e 1e + (D) 1 3、33ln ? (C) x233ln x 3?+ (D)2ln 33ln x 3x2-?+4、． 12+=x e y 选 ( )(A)1e21x2+ (B)1e1x2+ (C)1e 2e x2x 2+ (D)1ee x2x 2+5、x 2sin e y x = 选 ( )(A)x 2sin e x (B)x 2cos e 2x (C)x 2cos e x 2sin e x x + (D)x 2cos e 2x 2sin e x x + 6、x y 2sin ln = 选 ( )(A) x 2cot (B) x 2cot 2 (C)x 2sin 1 (D) x2sin 27、242arcsin(A)2x arcsin(B)2x arcsin x (C)2x 4x 2x arcsin -- (D)2x4x 22x arcsin -+8、函数[]4,1,7186223∈---=x x x xy ，求最⼤值。
第一章函数的极限与连续【基本要求】1、熟练掌握基本初等函数的表达式、图形及主要性质；2、了解初等函数的概念，了解极限的直观概念（一种变化趋势），无穷小量、无穷大量的概念；3、熟练掌握函数极限四则运算法则和无穷小量的性质，掌握求极限的各种方法；4、掌握两个重要极限，会用它求有关极限问题；5、理解函数的连续性和连续函数的概念，会判断一、二类间断点，知道闭区间上连续函数的性质．第一节函数【知识要点】邻域、函数、基本初等函数、初等函数、复合函数、分段函数的概念；求定义域、值域的方法；建立函数关系．【基本训练】x+<的中心是2吗？1、邻域21答案：-22、确定函数的两要素是定义域和值域吗？答案：不是。
确定函数的两要素是定义域和对应法则。
3、函数有哪几种表示方法？答案：解析法、图示法、表格法。
4、我们常用什么方法研究函数？答案：图示法。
f x=?5、函数()答案：是y=是否为初等函数？6、函数x答案：是。
7、你能举出一个既是奇函数又是偶函数的函数吗？ 答案：()0f x =．8、奇函数的图形以（ ）对称；偶函数的图形以（ ）对称． 答案：原点；y 轴． 【能力提高】 一、单项选择题：1、C2、C3、B4、C5、D 二、确定下列函数的定义域：(1)y = (2) lg(1)y x =-+答案：[)(]2112,,- 答案：()11,- (3) x y cos = （4）21arcsin 5x y +=答案：2222k ,k ,k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦答案：[]22,- （5）ln(sin )y x = (6) ⎩⎨⎧<<-<≤--=20301x x x x y ，，答案：()2(21)k ,k ,k Z ππ+∈ 答案：[)()1002,,- 三、下列各题中()f x 和()g x 是否相同？(1) 3223()()()f x x ,g x x == (2) 2()()f x x,g x == 答案：不同 答案：不同(3) 22()1()sin cos f x ,g x x x ==+ (4) ()()f x x ==答案：相同 答案：相同四、已知()210201113x x f x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩，求：(05)(0)(2)f .,f ,f -． 答案：(05)1(0)2(2)1f .,f ,f -=-==五、已知1(1f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x >，求()f x ． 答案：令1u x =，1x u=． ()1111f u u u ⎛⎛=+=+ ⎝⎝= ()f x =六、已知()f x =[]1()f ,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭．答案：11f x ⎛⎫=⎪⎝⎭；[]()f f x ==．七、确定下列函数的奇偶性：(判定奇偶性,先要求定义域) (1) ()4cos f x x x = (2) ()1cos xf x e=答案：偶函数 答案：偶函数 (3) ()1lg1xf x x-=+ (4) ()ln f x x = 答案：奇函数 答案：非奇非偶函数八、下列各题的函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) ()21sin 2xf x =答案：21()2,sin u f u u v ,v w,w x==== (2) ()2sin (cos3)f x x =答案：()2,sin cos ,3f u u u v,v w w x ====(3) ()f x =答案：()21ln(sin 1)2f x x =+，()21ln 1sin 2f u u,u v ,v x ==+=(4) arctan y =答案：22,arctan 1y u u v,v x ===-九、在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解： D A R O h EBC设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE =则上底＝2AE =故((22hS R h R =+=+第二节 数列的极限【知识要点】数列概念、数列极限存在的定义． 【基本训练】 1、数列是函数吗？ 答案：是2、如何在数轴上和平面直角坐标系上表示数列？3、下列做法是否改变数列的敛散性？（1）任意改变数列的有限项； 不会 （2）各项同取绝对值；会 （3）各项乘以同一常数k ； 会 （4）去掉所有偶数项．会 4、如果数列{}n x 极限存在，lim n n x a →∞=，lim n n x b →∞=，则a 与b 相等吗？答案：是5、收敛的数列一定有界吗？ 答案：是6、无界的数列会收敛吗？ 答案：否7、有界的数列一定收敛吗？ 答案：不一定 【能力提高】观察下列数列的变化趋势，对存在极限的数列，写出它的极限：（1）1(1)nn x n+-= 答案：0（2）(1)nn x n =+- 答案：不存在（3）1sinn x n = 答案：0 （4）sin n nx n= 答案：0（5）sin n x n π= 答案：0 （6）sin(2)2n x n ππ=+ 答案：1(7) cos n x n π= 答案：不存在 （8）1n x = 答案：不存在（9）2121n n nx n n-⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩ 答案：2第三节 函数的极限【知识要点】函数极限、左右极限的概念、函数极限存在与左右极限的关系． 【基本训练】1、在讨论函数极限时自变量x 的变化趋势大体分为哪两种情况？ 答案：0x ,x x →∞→2、数列极限和函数极限的区别是什么？3、函数()f x 在点0x 处无定义，则函数()f x 在点0x 处一定无极限吗？ 答案：不一定4、函数()f x 在点0x 处有定义，且函数()f x 在0x 处极限存在，则极限值一定为0()f x 吗？ 答案：不一定5、函数()f x 在点0x 处左右极限一定相等吗？如果函数()f x 在点0x 处极限存在，它在点0x 处左右极限一定相等吗？答案：不一定；是6、如果函数()f x 在点0x 处左右极限存在且相等，函数()f x 在点0x 处极限存在吗？ 答案：存在n 为奇数n 为偶数【能力提高】一、从函数的图形观察极限是否存在，若有极限等于多少？ (1) 0lim cos x x →=（ 1 ）， 2l i m c o s x x π→=（ 0 ）， lim cos x x →+∞=（ 不存在 ）， l i m c o s x x →-∞=（不存在 ）；（2）0lim arctan x x →=（ 0 ）， 1l i m a r c t a n x x →=（4π）， lim arctan x x →+∞=（2π ）， l i m a r c t a n x x →-∞=（2π- ），l i m a r c t a n x x →∞=（不存在 ）；（3）()x f x a = (1)a >当03x ,x ,x ,x →→→+∞→-∞时； 答案：0lim 1xx a →=，33lim xx a a →=，lim xx a →+∞=+∞，lim 0xx a →-∞=．（4）当111x ,x ,x -+→→→时，2211()311x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩ 的极限．答案：21lim (21)1x x -→-=，1lim (31)4x x +→+=，11lim ()14lim ()x x f x f x -+→→=≠=,1lim ()x f x →不存在．二、单项选择题： 1、C 2、D 3、B三、设函数20()0x x a x f x ex ⎧+<=⎨>⎩ 在0x →时极限存在，求常数a 的值．答案：2lim ()lim 1xx x x a a,e -+→→+==，因为函数在0x →极限存在,故左极限和右极限相等,得1a =．四、设函数1121()21xxf x -=+，讨论函数在0x →时极限是否存在．答案：11112121lim 1lim 12121xxx x xx,-+→→--=-=++，0lim ()x f x →不存在．第四节 无穷小量与无穷大量【知识要点】无穷小量、无穷大量的概念与性质、无穷小量与无穷大量的关系． 【基本训练】 1、零是无穷小量吗？ 答案：是2、若lim ()x af x A →=，则在x a →时，()f x A -是无穷小量吗？答案：是3、有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量吗？ 答案：是4、无穷小量的商一定是无穷小量吗？ 答案：不一定5、无穷小量与有界函数之积仍然为无穷小量吗？ 答案：是6、无穷大量乘任意常数一定是无穷大量吗？ 答案：不一定7、无穷大量与无穷大量之差一定是无穷小量吗？ 答案：不一定8、当2x →时，下列函数中不是无穷小量的是（ C ）． A. 38x -B. 2sin(4)x -C. 2x e- D. ln(3)x -【能力提高】一、下列函数在什么情况下是无穷小量？什么情况下是无穷大量？ （1）xe -； （2）ln x ； 答案：x →+∞,xe -为无穷小; 答案：1x →,ln x 为无穷小；x →-∞,xe -是无穷大 0x +→，x →+∞,ln x 为无穷小（3）21x x +-； （4）23x x-； 答案：2x →-，21x x +-为无穷小 答案：3x →,23x x-为无穷小1x →,21x x +-为无穷大 0x →,23x x-为无穷大（5）51x -； （6）115x -． 答案：0x →，51x -为无穷小 答案：0x →，115x -为无穷小 x →+∞,51x -为无穷大x →-∞,115x -为无穷大二、当x →∞时，将()f x 表示为一个常数与无穷小量之和．（1）3321()1x f x x -=+；答案：3321lim 21x x x →∞-=+，33()21f x x =-+,在x →∞,331x -+为无穷小(2) 21()31x f x x -=+． 答案：212lim313x x x →∞-=+，25()33(31)f x x =-+,在x →∞,53(31)x -+为无穷小第五节 函数极限的运算【知识要点】函数极限的四则运算法则、两个重要极限及应用、无穷小量的比较． 【基本训练】1、下面的解法对吗？为什么？0011lim sinlim limsin 0x x x x x x x→→→=⋅= 答案：错2、下面的解法对吗？为什么？221111212lim lim lim 01111x x x ()x x x x→→→-=-=∞-∞=---- 答案：错3、当0x →时，22x x -与23x x -哪一个是更高阶的无穷小量？ 答案：当0x →时，23x x -是比22x x -更高阶的无穷小量4、当1x →时，无穷小量1x -与（1）31x -，（2）21(1)2x -是否同阶？是否等价？ 答案：3111lim13x x x →-=-，当1x →时，无穷小量1x -与31x -是同阶无穷小量。
高等数学练习册及答案一、单项选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x=-2处的导数是（）。
A. -1B. 2C. 5D. 72. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 5在x=1处的切线斜率是（）。
A. -7B. -6C. 0D. 73. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的通解是（）。
A. y = 2x^2 + CB. y = 2x^2 - CC. y = x^2 + CD. y = x^2 - C二、填空题4. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = _______。
5. 函数y = ln(x)的原函数是 _______。
6. 已知∫(2x - 1)dx = 3x^2 - x + C，求∫(4x - 2)dx。
三、解答题7. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。
8. 证明：对于任意正数a和b，不等式a + b ≥ 2√(ab)总是成立。
9. 求解微分方程dy/dx - 3y = 6e^(3x)，且y(0) = 1。
四、应用题10. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 5x + 100，其中x是生产数量。
求生产多少单位产品时，平均成本最低。
答案：一、单项选择题1. B2. D3. A二、填空题4. f'(x) = cos(x) - sin(x)5. 原函数是 xln(x) - x + C6. ∫(4x - 2)dx = 2(3x^2 - x) + C = 2x^2 - 2x + C三、解答题7. 求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 11，令f'(x) = 0得x = (4 ±√7)/3。
检验二阶导数f''(x) = 6x - 12，f''((4 + √7)/3) < 0，所以x = (4 + √7)/3是极大值点；f''((4 - √7)/3) > 0，所以x = (4 - √7)/3是极小值点。
高等数学习题册（上册）目录习题1-1 函数 (1)习题1-2 常用的经济函数 (5)习题2-1 极限 (9)习题2-2 无穷小与无穷大，极限运算法则 (13)习题2-3 极限存在准则，两个重要极限及无穷小的比较 (17)习题2-4 函数的连续性 (21)习题2-5 闭区间上连续函数的性质 (25)第二章综合题 (29)第二章自测题 (36)习题3-1 导数概念 (40)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（一） (44)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（二） (48)习题3-3 高阶导数 (52)习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 (56)习题3-5 函数的微分 (60)习题3-6 边际与弹性 (64)第三章综合题 (68)第三章自测题 (74)习题4-1 中值定理 (78)习题4-2 洛必达法则 (82)习题4-3 导数的应用（一） (86)习题4-3 导数的应用（二） (90)习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用 (94)习题4-5 泰勒公式 (98)第四章综合题 (100)第四章自测题 (104)习题5-1 不定积分的概念、性质 (108)习题5-2 换元积分法（一） (112)习题5-2 换元积分法（二） (116)习题5-3 分部积分法 (120)习题5-4 有理函数的积分 (122)第五章综合题 (124)第五章自测题 (128)微积分（上）模拟试卷一 (134)微积分（上）模拟试卷二 (138)参考答案 (142)习题1-1 函数1. 填空题：（1）()x y 32log log =的定义域 。
（2）523arcsin3xx y -+-=的定义域 。
（3）xxy +-=11的反函数 。
（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ，则=)(x f 。
2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。
武汉理工大学高等数学练习册答案一、选择题1.下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0} ⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)72.集合{1，2，3}的真子集共有( )(A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个3.集合A={x } B={ } C={ }又则有( )(A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个4.设A、B是全集U的两个子集，且A B，则下列式子成立的是( )(A)CUA CUB (B)CUA CUB=U(C)A CUB= (D)CUA B=5.未知子集A={ } B={ }则A =( )(A)R (B){ }(C){ } (D){ }6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1，1，2};(4)集合{ }是有限集，正确的是( )(A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3)(C)只有(2) (D)以上语句都不对7.未知A={1，2，a2-3a-1},B={1,3},A {3,1}则a等同于( )(A)-4或1 (B)-1或4 (C)-1 (D)48.设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则(CUA) (CUB)=( )(A){0} (B){0，1}(C){0，1，4} (D){0，1，2，3，4}9.设S、T是两个非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S X=( )(A)X (B)T (C) (D)S10.设A={x },B={x },若A B={2,3,5},A、B分别为( )(A){3，5}、{2，3} (B){2，3}、{3，5}(C){2，5}、{3，5} (D){3，5}、{2，5}11.设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c 0的边值问题为( )(A)R (B)(C){ } (D){ }(A)P Q(B)Q P(C)P=Q (D)P Q=12.未知P={ }，Q={ ，对于一切 R设立}，则以下关系式中设立的就是( )13.若M={ }，N={ Z}，则M N等于( )(A) (B){ } (C){0} (D)Z14.下列各式中，正确的是( )(A)2(B){ }(C){ }(D){ }={ }15.设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A B={2}，(CUA) B={4}，(CUA) (CUB)={1，5}，则以下结论恰当的就是( )(A)3 (B)3(C)3 (D)316.若U、分别表示全集和空集，且(CUA) A，则集合A与B必须满足( )(A) (B)(C)B= (D)A=U且A B17.未知U=N，A={ }，则CUA等同于( )(A){0，1，2，3，4，5，6} (B){1，2，3，4，5，6}(C){0，1，2，3，4，5} (D){1，2，3，4，5}18.二次函数y=-3x2+mx+m+1的图像与x轴没有交点，则m的取值范围是( )(A){ } (B){ }(C){ } (D){ }19.设全集U={(x,y) },子集M={(x,y) }，N={(x,y) },那么(CUM) (CUN)等同于( )(A){(2，-2)} (B){(-2，2)}(C) (D)(CUN)20.不等式(A){x } (B){x }(C){ x } (D){ x }二、填空题1. 在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为2. 若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，则x=3. 若A={x } B={x },全集U=R，则A =4. 若方程8x2+(k+1)x+k-7=0存有两个负根，则k的值域范围就是5. 集合{a,b,c}的所有子集是真子集是 ;非空真子集是6. 方程x2-5x+6=0的边值问题可以则表示为方程组7.设子集A={ },B={x },且A B，则实数k的值域范围就是。
高等数学（下）练习册专业班级：___________________________________________姓名：___________________________________________学号：___________________________________________西南科技大学城市学院数学教研室编第七、八章 向量、空间解析几何、多元微分法一、填空题1、从点)7,1,2(-A 沿向量k j i a 1298-+=的方向取一段长34||=AB ，则点B （_______）.2、已知两个力)3,2,1(1=F ，)4,3,2(2--=F ，则合力F 的大小||F =________，合力F 的方向为___________________．3、设向量b a A +=2，b a k B +=，其中1||=a ，2||=b ，且b a ⊥，若B A ⊥，则k =_____．4、已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，则ABC ∆得面积是________．5、已知平面π过点)21,3(-且过直线12354zy x =+=-，则平面π的方程为_____________． 二、选择题1、方程0242222=++-++z y x z y x 表示的曲面是（ ）A 、球面B 、椭球面C 、柱面D 、锥面2、若直线l ：37423zy x =-+=-+，平面π：3224=--z y x ，则l 与π（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交而不垂直D 、l 在平面π内3、设直线l 为⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x 平面π为0224=-+-z y x ，则（ ）A 、l ∥πB 、l ⊂πC 、l ⊥πD 、l π但l 与π不垂直4、已知向量)1,1,2(-=a ，)1,3,1(-=b ，求a ，b 所确定的平面方程为（ ）A 、02=+-z y xB 、03=-+z y xC 、01632=---z y xD 、a ，b 不共面无法确定平面5、球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影方程是（ ）A 、082222=--+x y xB 、082222=--+z z yC 、922=+y x D 、⎩⎨⎧==--+0082222z x y x 三、设)4,1,1(=a ，)2,2,1(-=b ，求b 在a 方向上的投影向量．四、当k 为何值时，平面092=--+z ky x（1）过点)6,4,5(--，（2）与平面03342=-++z y x 垂直．五、求过点)1,1,1(且与平面1π：7=+-z y x 和2π：051223=+-+z y x 垂直的平面方程．六、求直线241312-=-=-z y x 与平面62=++z y x 的交点坐标与夹角．七、求下列各极限1、x xy y x )sin(lim 00→→ 2、x y x xy 110)]sin(1[lim +→→ 3、11lim )0,0(),(-+→xy xy y x4、yx y x xy +→→+++100)1(lim 5、)sin()cos(1lim 222200y x y x y x ++-→→ 6、22lim y x yx y x +++∞→+∞→八、求下列偏导数1、22ln y x z +=，求y x z z ,． 2、uvv u s 22+=，求u s∂∂．3、xxy u )1(+=，求,xu∂∂yu ∂∂． 4、yx z 2tan =，求xz∂∂．5、xy y x z arctan )(22+=，求x z ∂∂，y z∂∂． 6、⎰-=xy t dt e z 02，求x z ∂∂．九、求下列高阶偏导数1、)(sin 2by ax z +=，求yx z∂∂∂2． 2、yx xye z +=，求yx z∂∂∂2．3、22244y x y x z -+=，求x z ∂∂，yz∂∂，y x z ∂∂∂2．4、zyx u =，求x u ∂∂，y u ∂∂，z u∂∂．十、设函数yx z u arctan=，求证：22x u ∂∂+22y u ∂∂+022=∂∂z u十一、求下列函数的全微分1、)ln(222z y x u ++=，求du ． 2、)cot(xy z =，求dz ．3、设),(22y x xyf z =，),(v u f 可微，求dz ． 4、22y x y z +=，求dz ． 5、yxxy z +=，求dz ．十二、设)(u xf xy z +=，xyu =，)(u f 可微，求证：xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂．十三、设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z ，求dx dy．十四、已知3=+-xy z e x，求在点)0,1,2(的全微分．第八章 微分法的应用一、填空题 1、曲线2,1,1t z tt y t t x =+=+=在1=t 处的切线方程是___________________，法平面方程是_________________________．2、若曲线32,,t z t y t x ===上一点P ，过该点的切线平行于平面42=++z y x ，则该点的坐标为_______________．3、曲面3a xyz =上任意一点的切平面与3个坐标平面围成的四面体体积是_____________． 4、函数xyz xy x u ++=在点)1,2,1(-处沿从点)1,2,1(-指向点)1,4,2(方向的方向导数是_________．5、设)ln(222z y x u ++=，则在点)2,2,1(-M 处的梯度grad u 是_______．二、选择题1、球面∑：14222=++z y x 上点)3,2,1(M 处的法线方程是（ ）A 、B 、C 、D 、2、若22),(y y x y x f +=，则),(y x f 在点)2,1(P 处的梯度grad f 是（ ）A 、)2,4(B 、)5,4(C 、)5,3(D 、)2,3(3、设直线l ：⎩⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上而平面π与曲面22y x z +=相切与点)5,2,1(-，则b a ,的值是（ ）A 、2,5-=-=b aB 、2,5==b aC 、2,5=-=b aD 、2,5-==b a4、已知22)(4),(y x y x y x f ---=，则),(y x f 在驻点)2,2(-取得（ ）A 、极大值B 、极小值C 、不取得极值D 、是否取得极值无法确定 5、设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,)(),(2222232222y x y x y x y x y x f ，则),(y x f 在点)0,0(A 、可微B 、偏导数存在但不可微C 、偏导数不存在D 、不连续三、求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面与法线方程．四、试证：曲面a z y x =++)0(>a 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a ．五、给定曲线Γ：t z t y t x sin 6,cos 6,===，求证：存在一个定向量a ，使Γ的切向量成定角．六、求函数的极值1、求122+-+++=y x y xy x z 的极值．2、求由方程010422222=--+-++z y x z y x 所确定函数),(y x f z =的极值．七、求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线方程和法平面方程．八、设y x z arctan=，而v u y v u x -=+=,，求证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂九、求下列条件极值1、用拉格朗日法求xyz z y x f =),,(在条件1=++z y x 下的极值．2、在xoy 平面上求一点使它到,0,0==y x 及0162=-+y x 三平面的距离平方和最小．3、求内接于半径为a 的球有最大体积的正方体．十、求曲面2222=++++yz xz z y x 的最高、最低点的坐标．第九章 重积分一、填空题1、若D 是由1||||≤+y x 所确定的区域，则⎰⎰+Dy x d e σ=__________. 2、若D 是由圆周122=+y x 及坐标轴在第一象限围成的闭区域，利用极坐标计算⎰⎰++--Dd yx y x σ222211=_____________． 3、若22224:ππ≤+≤y x D ，则⎰⎰+Ddxdy y x 22sin=_____________．4、若:Ω由1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成，则⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz=___________． 5、利用三重积分计算平面1=++czb y a x )0,0,0(>>>c b a 和坐标面围成的几何体体积是______________．二、选择题1、若1D ：)0,0(122≥≥≤+y x y x ，D ：122≤+y x ，则=1I ⎰⎰--Dd y x σ221，=2I⎰⎰--12214D d y x σ的大小关系是（ ）A 、21I I >B 、21I I <C 、21I I =D 、21,I I 不相等2、设),(y x f 为连续函数，则⎰⎰1020),(xdy y x f dx =（ ）A 、⎰⎰1020),(ydx y x f dy B 、⎰⎰21),(ydx y x f dy C 、⎰⎰2121),(ydx y x f dy D 、⎰⎰2210),(y dx y x f dy3、设D 是平面上以)1,1(A ，)1,1(-B 和)1,1(--C 为顶点的三角形，1D 是它的第一象限部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (=（ ）A 、⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x B 、⎰⎰12D xydxdyC 、⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy D 、04、若Ω是由曲面z y x 222=+，及平面2=z 所围成的闭区域，则⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22=（ ） A 、π4 B 、π2 C 、π D 、π3165、三、画出平面区域，并计算二重积分 1、⎰⎰-Dd y x σ)(22，D ：π≤≤≤≤x x y 0,sin 0． 2、⎰⎰+Dd y x σ)(22，D 由)0(3,,>=+==a a y a x y x y 共同围成．四、先交换积分顺序再计算：⎰⎰+11321xdy yxy dx ．五、求由曲面22y x z +=，及2226y x z --=所围成的立体体积．六、求⎰⎰--Dd y x R σ222，其中D 由Rx y x =+22围成．七、利用极坐标计算下列二重积分 1、⎰⎰Dd xyσarctan，其中D 是由圆周422=+y x ，122=+y x 及直线x y y ==,0围成的第一象限区域． 2、⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及x 轴，y 轴所围成的第一象限闭区域．八、把下列积分化为极坐标系下的形式并计算积分 1、⎰⎰-+ax a dy y x dx 02222 2、⎰⎰-+220222)(x x dy y x dx九、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下的面积．十、求由2x y =及1=y 所围成的均匀薄片(面密度为ρ)对x 轴的转动惯量．十一、化下列三重积分为三次积分 1、⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(，其中Ω是由平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体．2、⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(，其中Ω是由曲面22y xz +=，2x y =及平面0,1==z y 所围成的闭区域．十二、计算下列三重积分 1、⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22，其中Ω是由锥面)(425222y x z +=及平面5=z 所围成． 2、⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由锥面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域．3、设Ω是由H z z y x ≤≤≤+0,222所确定的闭区域，求⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(十三、利用球坐标计算下列三重积分 1、设物体的体密度=ρ222z y x ++，物体Ω由z z y x 2222=++及0≥y 围成，求Ω的质量． 2、⎰⎰⎰Ω++dv z y x)(222，其中Ω是半球1222≤++z y x ，且0≥z ．3、⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由222z y x ≤+及2222)(a a z y x ≤-++所确定．十四、计算三重积分⎰⎰⎰Ωxydv ，其中Ω为柱面122=+y x及平面0,0,0,1====y x z z 所围成的第一卦限的区域．十五、⎰⎰⎰Ω+dv y x)(22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域．十六、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积．第十章 曲线积分和曲面积分一、填空题1、若L 为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段，则⎰+Lds y x )(=________．2、设L 是单位圆122=+y x ，则线积分⎰+Ly x ds e22=________．3、设L 为椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则⎰++Lds y x xy )432(22=______． 4、设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限的部分，则⎰-Lydx xdy 2=_______．5、设S 为半球面)0(1222≥=++x z y x ，则⎰⎰++SdS z y x )(=________．二、选择题1、若L 是从点)1,2,3(A ，到点)0,0,0(B 的直线段AB ，则⎰-+Lydz x dy zy dx x 2233=（ ）A 、487 B 、487- C 、235 D 、235-2、计算椭圆的周长))0(1(2222>>=+b a by a x ，用第一型线积分的式子正确的是（ ）A 、⎰-+aa dsb y a x 22)2()2( B 、⎰-+b b dx dxdy2)(1C 、⎰-+aads dx dy 2)(1 D 、⎰+π202222sin cos dt t b t a3、设L 为122=+y x 的正向，则⎰-Lydx xdy =（ ）A 、0B 、πC 、π2D 、π44、用线积分计算平面图形的面积的公式是(其中L 平面图形的边界)（ ）A 、⎰-L ydx xdy 21 B 、⎰-Lxdy ydx 21 C 、⎰-Lydx xdy D 、⎰-Lxdy ydx5、下列式子是某一二元函数),(y x u 在全平面上的全微分的是（ ）A 、ydy xdx -B 、dy y x xdx y x y )(2)(22222+-+ C 、ydy y ydx x 2cos 3cos 33sin sin 4-D 、dy y xy y x dx y xy x )51215()354(4322433+-+-+三、计算下列线积分1、⎰Lxds ，L 为直线x y =及抛物线2x y =围成的边界．2、⎰+Lds y x 22，其中L 为ax y x =+22．3、⎰Γzds ，其中空间曲线)10(,sin ,cos :≤≤===Γt t z t t y t t x ．4、⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周222a y x =+在直线x y =及x 轴在第一象限内的边界．四、1、计算线积分⎰+-Lydz dy dx ，L 为闭折线ABCA ，这里)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(C B A ．2、求⎰+-Lxdy dx y a )2(，L 是摆线)0)(cos 1(),sin (>-=-=a t a y t t a x 的第一拱，其方向是t 增加的方向．3、计算⎰Ldx y 2，其中错误！不能通过编辑域代码创建对象．是上半圆弧222a y x =+)0(≥y 逆时针方向．五、利用格林公式计算下列积分1、⎰+++-Ldy x y dx x y x x y )sin ()cos (222，其中L 是上半圆域222a y x ≤+)0(≥y 的边界，逆时针方向．2、⎰++-Ly x xdy ydx 221，其中L 为122=+y x 按逆时针方向．六、计算下列各题1、求变力)2,3(x y x y F -+=沿椭圆4422=+y x 正向一周所做的功．2、⎰+-Lyx xdy ydx 22，L ：2)1(22=+-y x 取逆时针方向．七、证明：22yx ydyxdx ++在半平面0>y 内是二元函数的全微分，并求出这个二元函数．八、计算下列曲面积分1、⎰⎰∑++dSyxz)342(，其中)0,,(1432:≥=++∑zyxzyx．2、⎰⎰∑++-dSzyxx)222(2，其中)0,,(622:≥=++∑zyxzyx．九、计算下列各题1、⎰⎰∑dxdyz2，其中∑是上半球面2222azyx=++的上侧．2、⎰⎰∑++dxdyzdzdxydydzx222，其中∑是2222Rzyx=++在第一卦限部分的上侧．十、利用高斯公式计算下列曲面积分 1、⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑是曲面22y x z +=与1=z 所围成立体表面外侧． 2、⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2222，其中∑是上半球面2222a z y x =++且0≥z 表面外侧．十一、计算曲线积分⎰Lyds 和⎰Lydx ，其中L 为上半圆周222a y x =+顺时针方向的半圆弧．十二、计算下列对坐标的曲线积分1、⎰-Ldx y x )(22，其中L 是由抛物线2x y =上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧．2、⎰+Lxdy ydx ，其中L 是圆周t R y t R x sin ,cos ==对应0=t 到2π=t 的一段弧．第十一章 无穷级数一、填空题1、级数∑∞=+-112)1(n p nn其中p 为常数，若级数绝对收敛，则p 的取值范围是_____________．2、级数∑∞=+111n na (0>a 为常数)，则当a 取值范围是_____________时级数收敛． 3、若级数∑∞=1n nu收敛，那么∑∞=100100n nu_____________(收敛或发散)．4、级数∑∞=--113)1(n nn 的收敛性是________________．5、级数∑∞=--115)1(n nn n x n 的收敛区间是__________________． 二、选择题1、下列说法正确的是（ ）A 、若0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=1n n u 收敛B 、k 为任意常数，∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 有相同的收敛性C 、若级数∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=+1)32(n n n v u 发散D 、若级数∑∞=1n n u 收敛，那么∑∞=12n nu 也收敛 2、下列级数中，收敛的是（ ）A 、∑∞=11n nn n B 、∑∞=++1)2(1n n n n C 、∑∞=123n n n n D 、∑∞=+-1)3)(1(4n n n 3、下列级数中条件收敛而非绝对收敛的级数是（ ）A 、∑∞=+-1)1()1(n n n n B 、∑∞=--1)13()1(n n n C 、∑∞=-12)1(n n n D 、∑∞=-1sin)1(n nn n ππ4、幂级数∑∞=-1)1(n nn x n 的收敛域是（ ） A 、)1,1(- B 、]1,1(- C 、)1,1[- D 、]1,1[-5、下列幂级数中，收敛半径21=R 的是（ ） A 、+⋅++⨯+⨯nnn x x x 3323122 B 、 +⋅⋅⋅⋅++⨯+)2(6424222n x x x n C 、 +++++nn x n x x 125222222 D 、 ++++n nx x x 22 三、判断下列级数的敛散性1、∑∞=-22)1(32tan n n 2、∑∞=15!)2(n n n n n3、∑∞=+-1)1413(n nn n 4、∑∞=23)(ln 1n n四、判断下列级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛1、∑∞=+-1)1ln()1(n n n 2、∑∞=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1)12(31)2(42)1(n n n n3、∑∞=15 sin2!nnnnnnπ4、∑∞=-1!2)1(nnnn五、求下列幂级数的收敛区间1、∑∞=+ 03n nnnx2、∑∞=--115)1(nnnnxn3、∑∞=11nnxn4、)0(11>≥+∑∞=baxbannnn七、利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数1、∑∞=-11n n nx2、∑∞=1441n nxn3、∑∞=13!3n nx n n 4、∑∞=--121)1(n n n x n八、将下列函数展开成x 的幂级数，并指出展开式成立的区间1、65522+--x x x 2、x x x -+1)(3823、)1ln()1(x x ++第十二、 微分方程一、填空题1、方程0=-'y y x 满足4|2==x y 的解为y =___________________．2、微分方程21x xydx dy +=的通解y =___________________． 3、方程yx ey -='2满足条件0|0==x y 的特解为y =___________________．4、微分方程2211x y y --='的通解y =___________________．5、微分方程023=+'-''y y y 的通解y =___________________． 二、选择题1、微分方程0ln =-'y y y x 的通解为(其中C 为常数) （ ）A 、x Ce y =B 、Cx e y =C 、21C e C y x +=D 、21C x C e y +=2、微分方程y y x y ln sin ='，在初始条件e y x ==2|π下的特解是（ ）A 、2tanx C e y = B 、2tan x Ce y = C 、2tan x e y = D 、xey tan =3、若微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P 是全微分方程，则必有（ ）A 、y P x Q ∂∂=∂∂ B 、y Q x P ∂∂=∂∂ C 、x Q y P ∂∂-=∂∂ D 、yQx P ∂∂-=∂∂ 4、微分方程02=-'+''y y y 的的通解形式为（ ）A 、x x e C e C y 221+=-B 、x x eC e C y 221-+= C 、x x e C e C y 221+=D 、x x e C e C y 221--+=5、微分方程为xe y y y -=+'+''3的特解形式为（ ）A 、x ae y -*=B 、x e b ax y -*+=)(C 、x e c bx ax y -*++=)(2D 、x e y -*=三、求下列微分方程的通解1、0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x2、0)()(22=-++dy y x y dx x xy 3、)0(22>-+='x y x y y x4、)ln (ln x y y dxdyx-=四、求下列微分方程的通解1、xxe y y x =+' 2、02)(3=--xdy dx x y3、x ey x y dx dy 3+= 4、0sin )1(cos =++-ydy e ydx x五、求下列微分方程的通解1、0)2(=-+dy y xe dx e yy2、dy dx dy dx y x +=-+))((3、03='-''y y4、096=+'-''y y y5、0136=+'+''y y y6、0294=+'+''y y y ，15)0(,0)0(='=y y7、x xe y y y =+'+''28、1252+='+''x y y六、设函数)(x y y =满足微分方程xe y y y 223=+'-''，其图形在点)1,0(处的切线与曲线12+-=x x y 在该点切线重合，求)(x y y =．七、求一曲线方程，设曲线过原点，且其上任一点),(y x 处的切线斜率为y x +2．八、设曲线积分⎰-+L dy x x xf dx x yf ])(2[)(2在右半平面)0(>x 内与积分路径无关，其中)(x f 可导，且1)1(=f ．求)(x f ．模拟测试题（一）一、试解下列各题1、计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域．2、计算曲线积分(2)()L a y dx a y dy ---⎰，其中L 是(sin )cos x a t t y a a t=-⎧⎨=-⎩从0t =至2t π=的弧段．3、设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明：1z z x y∂∂+=∂∂．二、解下列各题1、求曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)的切平面方程．2、设3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y xy x y f x y x y x y ⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩，求(0,0)x f ，(0,0)y f ．3、求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值．三、计算22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是锥面z =在01z ≤≤的那一部分．四、判别级数1n n π∞=的敛散性．五、求微分方程2(1)()0x dy xy x dx ++=的通解．六、计算曲线积分22(23)(2)Lx y x y dx x y xy dy +-+-+⎰，其中L 是圆周222x y x +=的逆时针方向．模拟试题（二）一、试解下列各题1、设2ln z u v =，而x u y =，32v x y =-，求z x ∂∂．2、判别级数1n ∞=3、判别级数1sin()(ln 3)n n na ∞=∑是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、求微分方程3420y y y '''-+=的通解．二、试解下列各题1、函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=所确定，求,x y z z ．2、求曲线21xyz x y =⎧⎨=⎩在点(1,1,1)处的切线和法平面方程．3、计算二重积分22D x d y σ⎰⎰，D 是由直线2,2,1x y xy ===所围成的区域．4、求微分方程1y dy xe dx +=的通解．三、利用高斯公式计算222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是曲面22z x y =+，与1z =所围成的表面外测．四、计算曲线积分222(cos )(sin )L y x x y x dx y x dy -+++⎰，其中L 是上半圆周域222x y a +≤，0y ≥的边界，取逆时针方向．五、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体的体积．。
