高等数学练习题库及答案

高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/27．设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/68.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （ ）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A 、-1B 、0C 、л/2D 、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=（）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（）A 、原点（0，0，0）B 、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面，但不可能为平面54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面 56下列命题正确的是（ ）A 、发散数列必无界B 、两无界数列之和必无界C 、两发散数列之和必发散D 、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）A 、.必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件58函数f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）A 、[0,л]B 、（0,л）C 、[-л/4,л/4]D 、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）A 、f(x)=x+1B 、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、 不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ） 2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ） 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ） 4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（ ） 5、求极限0lim →x (1-x)1/x= （ ） 6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ）8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ）11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ）12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ）13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ）18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续，则a=（ ）21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ）22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ）24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ）25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=（ ）26、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）28、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）30、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46求极限lim [x/(x+1)]x=（）x→∞47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9 x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。

一、单项选择题1.0lim()x x f x A →=，则必有（ ）.（A ）()f x 在0x 点的某个去心邻域内有界. (B) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内有界.(C)()f x 在0x 点的某个去心邻域内无界. (D) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内无界.2.函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，要使()f x 在0x =处连续,则a =( ).(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) -1.3.若()()F x f x '=,则()dF x =⎰（ ）.（A ）()f x . (B) ()F x . (C) ()f x C +. (D) ()F x C +4.方程 410xx --=至少有一根的区间是（ ）.（A ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （B ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）(2,3). （D ）(1,2).二、填空题1. 设()f x 在0x x =处可导,则0lim x x y →∆= ．2． 某需求曲线为1002000Q P =-+，则当10P =时的弹性为 ．3． 曲线3267yx x =+-在0x =处的法线方程为 ．4．2sin 2x t d e dt dx⎰＝ . 三、求下列极限（1）2211lim 21x x x x →---.（2）1lim(1)2x x x→∞-.(3) 0sin 2lim ln(1)x xx →+. 四、求下列导数和微分（1）已知3cos x y x=， 求dy . (2)求由方程l n2xyy e =+所确定的函数()y f x =的导数dy dx .五、求下列积分（1）221(sec )1x dx x++⎰.（2）20⎰ . （3）sin ⎰. 六、求函数()x f x xe -=的单调区间和极值.七、求由直线2yx =和抛物线2y x =所围成的平面图形的面积．八、证明：当0x >时，(1)l n (1)x x x++>.九、某种商品的成本函数23()200030.010.0002c x x x x =+++（单位：元），求生产100件产品时的平均成本和边际成本.一、 A ． B ． D ． D ． 二、（1）0． （2）-1． （3）0x=． （4）] 2sin cos x e x ⋅．三、求极限（1）解：原式=11(1)(1)12limlim (21)(1)213x x x x x x x x →→-++==+-+ （2）解：原式= 111222220011lim[(1)][lim(1)]22x xx x e x x -----→→-=-= （3）解：这是未定型，由洛必达法则原式=00cos 22limlim2(1)cos 2211x x x x x x →→⋅=+=+四、求导数和微分（1）解：23l n3c os 3sin(c os )x xx xy x +'=,23ln3cos 3sin (cos )x x x x dy dx x += （2）解：方程两边对x 求导,()xyy e y xy ''=+, 1xyxyye y xe '=-五、积分1．原式=221sec xdx dx +⎰⎰=tan arctan x x c ++ 2.原式=220118(4)x --=-=⎰3．t =,2,2x t dx tdt ==原式=sin 22(cos )2cos 2cos t tdt td t t t tdt⋅=-=-+⎰⎰⎰2c o s 2s in 2int t t C C=-++=-六、解： 函数定义域为(),-∞+∞,()(1)x x x f x e xe e x ---'=-=- 1x =是驻点 可列表讨论：单调增区间(,1)-∞单调减区间(1,)+∞极大值1(1)f e=. 七、解：解方程组22y x y x =⎧⎨=⎩得交点坐标（0，0） （2，4） 23222004(2)33x A x x dx x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 八、 证明：设 ()(1)ln(1)f x x x x =++- 当0>x 时，()l n (1)11l n (1)0f x x x '=++-=+>故原函数是增函数，0>x ,即()(0)0f x f >= 即(1)ln(1)0x x x ++-> 故 当0x >时，(1)l n (1)x x x++>.九、解：23200030.010.0002()x x x c x x+++=， 23200031000.011000.0002100(100)100c +⨯+⨯+⨯==262'()30.020.0006c x x x =++ 2'(100)30.021000.000610011c =+⨯+⨯=一、单项选择题1. 无穷小量是（ ）． （A ）比零稍大一点的一个数． （B ）一个很小很小的数．（C ）以零为极限的一个变量． （D ）数零．2.下列函数中当0x +→时为无穷大的函数是（ ）. (A) 21x--. (B) sin 1sec x x+. (C) xe -. (D) 1x e .3.()f x x =在点0x =处的导数（ ）． (A)1 ． (B) 0． (C) －1．. (D) 不存在．4. x 0为驻点是可导函数f x ()在x 0处取得极值的（ ）. (A) 充要条件. (B) 充分条件. (C) 必要条件. (D) 即非充分又非必要.二、填空题1.0x =是函数1,10(),01x x f x x ⎧--≤<⎪=≤<的第 类间断点．2．设某种商品的需求函数为220Q P =-，则5P =时的边际需求为 ． 3．已知曲线3223x y x =-+,则其上切线平行于x 轴的点的坐标为 .4．1-=⎰ ． 三、求下列极限1．1lim x →23321x x x +++． 2．23lim(1)x x x →∞-.3．00lim sin xtx e dt x -→⎰. 四、求下列导数和微分1．已知ta n c o s2y x x =⋅， 求dy .2．求由参数方程233cos 2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y f x =的导数 dy dx .五、求下列积分1．32x x e dx ⎰. 2．3(dxx +⎰. 3．21ln x xdx ⎰． 六、求函数arctan yx =的凹凸区间和拐点.七、求由抛物线 2x y=与直线22y x =-所围成平面图形的面积.八、证明：当0x >时，2ln(1)2x x x -<+.九、某商品每月销售x 件的收入函数为100()1000,xR x xe-=问每月销售多少件商品时，可使收入最大？一、Ｃ． D ． D ． C ． 二、（1）一． （2）—10 ． （3）()0,2、22,3⎛⎫⎪⎝⎭．（4）0． 三、求极限 （1）解：因为函数()f x =23321x x x +++在点1x =处连续，故1lim x →2332132(1)3111x x f x ++++===++（2） 原式=(3)2663333lim[1()][lim(1)]xxx x e xx --⋅---→∞→∞+-=-= （3）解： 这是一个未定型，由洛必达法则原式=000lim lim 1cos limcos xxx x x e ex x--→→→== 四、求导数和微分（1）解：22seccos2tan (sin 2)2sec cos22tan sin 2y x x x x x x x x '=+-⋅=-2sec cos 22tan sin 2dy x x x x dx ⎡⎤=-⎣⎦（2）解：2236sin ,6cos dx dy t t t t dt dt=-=,233226cos cos 6sin sin dy t t t t dx t t t ==--五、积分1．原式=33311()33x x e d x e C =+⎰ 2.原式=1323ln 2arcsin dx x x C x +=++⎰3．原式=222222211111ln ln ()ln 222x x x x xdx xd x dx x ⎡⎤==-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰=22132ln 22ln 244x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦六、解：函数定义域为(,)-∞+∞,211y x '=+,222(1)xy x -''=+,令0y ''=得0x =,0x =把定义区间分成两部分(,0)(0,)-∞⋃+∞.可表示为：凹区间(,0)-∞，凸区间(0,)+∞,拐点(0,0).七、解：222y x y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩交点()1,1-，()1,1 由定积分的几何意义可得1122210(2))4(1)A x x dx x dx -⎡⎤=--=-⎣⎦⎰⎰1308433x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦八、证：设2()ln(1)2x f x x x =+-+当0x > 21()1011x f x x x x'=-+=>++ 故)(x f 在定义域内单增，即()(0)0f x f >=2ln(1)02x x x +-+>，即当0x >时,2ln(1)2x x x -<+ 九、解：1001001'()1000()100x xR x e xe --⎡⎤=+⋅-⎢⎥⎣⎦=1001000(1)100x x e --令'()0R x =，得驻点x=100 由于收入的最大值存在，而收入函数的驻点仅有一个，故函数在驻点x=100处取得最大值，最大值为：R(100)=1005100101000100e e-⨯⨯=36862≈ 即每月销售100件商品时，可使收入最大为36862．一、单项选择题 1.任意给定0M>,总存在着0X >,当x X<-时,()f x M<-,则（ ）.（A ）lim ()x f x →-∞=-∞ . （B ）lim ()x f x →∞=-∞.（C ）lim ()x f x →-∞=∞.（D ）lim ()x f x →+∞=∞.2.点1x =是函数31,1()1,13,1x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩ 的（ ）. (A) 连续点. (B) 第一类非可去间断点. (C) 可去间断点. (D) 第二类间断点. 3.设0()2f x '=,则000()()limh f x h f x h →--= （ ）.（A ）-2. （B ）4. （C ）2. （D ）12.4.罗尔定理中的条件:()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()f a f b =,是()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=成立的( ).(A)必要条件. (B) 充分条件. (C)充要条件. (D)无关条件.二、填空题1.0x →时，2352x x -是x 的 阶无穷小． 2.设某种商品的成本函数C(x)= 210004x ++x=100件产品的边际成本是 ． 3.()f x dx '=⎰=． 4.2cos x d tdt dx =⎰.三、求下列极限1.sin lim n xx →∞. 2．[]lim ln(2)ln x x x x →∞+-. 3．201lim cos31x x e x →--. 四、求下列导数和微分（1）已知ln(y x =， 求dy .（2）求由方程cos sin y y x =+所确定的函数()y f x =的导数dydx. 五、求下列积分（1）()xxeex dx --⎰.（2）2. （3）1ln 1e x dx x +⎰. 六、求函数32231214y x x x =+-+的单调区间和极值.七、求由直线x y =和曲线y =所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.八、证明:当1x>时，2(1)2x e e x >+.（7分）九、设某商品的需求函数为402Q p =-，其中p 为价格，试求：（1）需求量对价格的弹性；（2）价格p=15元时需求量对价格的弹性，此时是提价还是降价会使收入增加。

高等数学练习题(附答案)高等数学一、判断题（每题2分，共20分）1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√ 10.√二、填空题（每题2分，共20分）1.f(x+2)=x+12.03.g'(3)=1/64.du=ydx+xdy5.-1/26.5/47.9/48.69.-2 10.π/2三、计算题（每题5分，共40分）1.1/42.y'=(∑(i=1 to 10) i/(x+i))^23.ln|x-1|+ln|x|+C4.2π5.(2,2)6.1-cos(1)7.ln3/28.y=e^x-x-1/2x^2+C一、判断题1.√2.×3.×4.×5.×二、填空题1.22.13.14.15.1三、改写后的文章2.根据函数的定义，f(x)在点x处有定义是指该点的函数值存在，而f(x)在点x处连续是指当x在该点附近时，函数值的变化趋势与x的变化趋势一致。

因此，f(x)在点x处有定义是f(x)在点x处连续的充分条件，但不是必要条件。

3.若y=f(x)在点x不可导，则曲线y=f(x)在(x,f(x))处可能有切线，也可能没有切线。

因此，该说法是错误的。

4.若f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上可能可积，也可能不可积。

因此，该说法是错误的。

=0和x+y+z=0在空间直角坐标系中分别表示一个坐标轴和一个平面，而不是三个坐标轴和一个点。

因此，该说法是错误的。

四、证明题1.设f(x)=arctanx-arcsin(x/(1+x^2)^(1/2))，则f'(x)=1/(1+x^2)-x/(1+x^2)(1-x^2/(1+x^2))=0.化简可得x^2=1，即x=±1.因此，f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减，故在(-∞,+∞)上存在唯一实根。

高等数学试题库及答案doc一、选择题1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A2. 曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线斜率是多少？A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是 __________。

答案：12. 函数 f(x) = x + 1 在 x = 2 处的导数是 __________。

答案：1三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x 的导数。

解：f'(x) = 3x^2 - 4x + 32. 计算定积分∫(0 到 1) x^2 dx。

解：∫(0 到 1) x^2 dx = [1/3 * x^3] (从0到1) = 1/3四、证明题1. 证明函数 f(x) = e^x 是严格单调递增的。

证明：设任意 x1 < x2，则 f(x1) - f(x2) = e^x1 - e^x2。

由于e^x 是严格单调递增的，所以当 x1 < x2 时，e^x1 < e^x2，从而f(x1) < f(x2)。

因此，函数 f(x) 是严格单调递增的。

五、应用题1. 一个物体从静止开始，以初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为 2 m/s²。

求物体在前 3 秒内的位移。

解：根据匀加速直线运动的位移公式 s = 1/2 * a * t²，代入 a = 2 m/s²和 t = 3 s，得到 s = 1/2 * 2 * 3² = 9 m。

六、论述题1. 论述微积分在物理学中的应用。

答案：微积分在物理学中有广泛的应用，例如在力学中计算物体的运动轨迹、在电磁学中分析电场和磁场的变化、在热力学中研究温度分布等。

微积分的基本原理—极限和导数，为物理学家提供了一种强大的工具，用以描述和预测物理现象的变化趋势。

高等数学考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. x^2+2C. 2xD. 2x+1答案：A2. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. -3答案：C3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. πD. -1答案：B4. 不定积分∫x^2 dx等于：A. (x^3)/3 + CB. x^3 + CC. (x^2)/2 + CD. 2x^3 + C答案：A5. 函数y=e^x的原函数是：A. e^x + CB. e^x - CC. e^(-x) + CD. -e^x + C答案：A6. 函数y=ln(x)的二阶导数是：A. 1/x^2B. 1/xC. -1/x^2D. -1/x答案：A7. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A8. 函数y=x^3-3x的拐点是：A. (0,0)B. (1,-2)C. (-1,2)D. (2,2)答案：C9. 函数y=x^2-4x+4的极值点是：A. (2,0)B. (0,4)C. (4,0)D. (-2,0)答案：A10. 函数y=sin(x)的周期是：A. 2πB. πC. 1D. 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的导数是_________。

答案：3x^212. 曲线y=cos(x)在点(π/2,0)处的切线斜率是_________。

答案：013. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是_________。

答案：014. 不定积分∫1/x dx等于_________。

答案：ln|x| + C15. 函数y=e^(-x)的原函数是_________。

答案：-e^(-x) + C三、解答题（每题10分，共50分）16. 求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[1,3]上的最大值和最小值。

完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。

+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。

2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。

高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。

计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。

接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。

因此，最大值为f(5) = 9。

2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。

因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。

二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。

答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。

将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。

2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。

答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。

三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。

答案：极值点为x = 3。

解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。

计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。

高等数学试题及答案大全一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。

A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是（）。

A. 0B. 3C. 4D. 5二、填空题1. 若函数f(x) = 2x - 3在x = 1处的导数为5，则原函数在x = 1处的值为______。

2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在x = 2处的切线斜率为______。

三、解答题1. 求函数f(x) = ln(x) + 1的导数，并说明其在x = e处的导数值。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。

2. 证明等差数列的前n项和公式S_n = n(a_1 + a_n)/2。

五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x + 200，销售价格为P(x) = 50 - 0.05x，其中x表示产品数量。

求该工厂的盈利函数，并求出其盈利最大时的产品数量。

2. 一个圆的半径为r，求其面积与周长的比值。

答案：一、选择题1. C解析：函数y = e^x不是周期函数，其他选项都是周期函数。

2. D解析：函数f(x) = x^2 + 3x - 2的导数为f'(x) = 2x + 3，令其等于0，解得x = -3/2，但x = -3/2不在区间[-5, 2]内。

检查区间端点，f(-5) = -8，f(2) = 5，因此最大值为5。

二、填空题1. -1解析：由f'(x) = 2，且f'(1) = 5，可得f(1) = f'(1) * (1 - 0) + f(0) = 5 + f(0)，又因为f(0) = -3，所以f(1) = 5 - 3 = 2。

2. -4解析：由y' = 3x^2 - 4x + 1，代入x = 2，得y' = 3 * 2^2 - 4 * 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5。

高等数学考试题和答案大全一、单项选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数是（）A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 2x^2+3x答案：A2. 极限lim(x→0) (x^2+1)/(x^2+x)的值是（）A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A3. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(e^x) + CD. x*e^x + C答案：A4. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率是（）A. 0B. 3C. -3D. 1答案：B5. 函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分是（）A. 4C. 6D. 12答案：C6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点是（）A. x=1B. x=2C. x=0D. x=3答案：A7. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）A. 0B. 4C. -4答案：A8. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是（）A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. ln|x| + C答案：B9. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A10. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-4x+4的对称轴是x=______。

答案：212. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5)的值是______。

答案：013. 函数f(x)=ln(x)的定义域是x>______。

答案：014. 曲线y=x^3-3x^2+2x的拐点是(1,0)，其拐点处的二阶导数为______。

答案：-615. 函数f(x)=e^x的反函数是f^(-1)(x)=______。

《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/27．设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/68.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （ ）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=（）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面，但不可能为平面54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（ ）5、求极限0lim →x (1-x)1/x= （ ）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ）8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ）11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ）12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ）13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ）16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ）18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ）22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ）24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ）25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=（ ）26、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )27、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）30、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）31、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）32、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 33、满足不等式|x-2|＜1的X 所在区间为 ( )34、设f(x) = [x] +1，则f （л+10）=（ ）35、函数Y=|sinx|的周期是 （ ）36、y=sinx,y=cosx 直线x=0,x=л/2所围成的面积是 （ ）37、 y=3-2x-x 2与x 轴所围成图形的面积是 （ ）38、心形线r=a(1+cos θ)的全长为 （ ）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为 （ ）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是 （ ）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（ ）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是 ( )43、求平行于xoz 面且经过（2，-5，3）的平面方程是 （ ）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。

高数试题及详细答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3是一个二次函数，我们可以通过判别式Δ = b^2 - 4ac来判断零点的个数。

这里a = 1, b = -4, c = 3，所以Δ = (-4)^2 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4 > 0，说明函数有两个不同的实数零点。

2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B解析：这是一个著名的极限，lim(x→0) (sin(x)/x) = 1。

可以通过洛必达法则或者夹逼定理来证明。

3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)的性质。

A选项是偶函数，C选项也是偶函数，D选项是奇函数，但B选项f(x) = x^3满足奇函数的性质，因为(-x)^3 = -x^3。

4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 4 + 8 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...答案：D解析：A选项是等比级数，公比为1/2，收敛；B选项是交错级数，但项的绝对值不递减，不满足交错级数的收敛条件；C选项是等比级数，公比为2，发散；D选项是等比级数，公比为1/2，收敛。

二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数f(x) = e^x的导数为_________。

答案：e^x解析：e^x的导数是其本身，这是指数函数的基本性质。

6. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为_________。

高等数学试题题库及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2xD. 2x^2+2x+1答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B3. 若f(x)在x=a处连续，则下列哪个选项一定成立：A. f(a)存在B. f(a)=lim(x→a)f(x)C. f(a)=lim(x→a)f(x)且f(a)存在D. f(a)不存在答案：C4. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^xC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C答案：A5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C6. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x+1D. f(x)=x^2+1答案：B7. 二重积分∬(x^2+y^2)dxdy在区域D上，其中D是由x^2+y^2≤1定义的圆盘，其值是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：A8. 微分方程dy/dx=2x的通解是：A. y=x^2+CB. y=2x+CC. y=x^2D. y=2x^2+C答案：A9. 函数f(x)=x^3在x=0处的泰勒展开式是：A. x^3B. x^3+3x^2+3x+1C. x^3+3x^2+3xD. x^3+3x^2答案：C10. 以下哪个级数是收敛的：A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+1/2+1/3+1/4+...D. 1-1/2+1/3-1/4+1/5-...答案：A二、填空题（每题3分，共5题）11. 函数f(x)=x^2+3x+2的二阶导数是________。

答案：212. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+x)的值是________。

《高等数学》专业 年级 学号 姓名一、判断题 . 将√或 ×填入相应的括号内 .（每题 2 分，共 20 分）（ ） 1. 收敛的数列必有界 .（ ） 2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ） 3. 闭区间上的间断函数必无界 . （ ） 4. 单调函数的导函数也是单调函数.（） 5. 若 f (x) 在 x 0 点可导，则 f (x ) 也在 x 0 点可导 . （ ）6. 若连续函数 yf ( x) 在 x 0 点不可导，则曲线 yf ( x) 在 ( x 0 , f (x 0 )) 点没有切线 .（ ） 7. 若 f (x) 在 [ a, b ] 上可积，则 f (x) 在 [ a,b ] 上连续 .（） 8. 若 zf ( x, y) 在（ x 0 , y 0 ）处的两个一阶偏导数存在，则函数 z f ( x, y) 在（ x 0 , y 0 ）处可微 . （ ） 9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（） 10. 设偶函数 f ( x) 在区间 (1,1 ) 内具有二阶导数，且f (0)f ( 0) 1 , 则f (0) 为 f ( x) 的一个极小值 .（每题 2 分，共 20 分）二、填空题 .1. 设 f (x 1)x 2 ，则 f (x 1) .1若 f (x)2x12. 1 ，则 lim.2 xx 013.设 单 调 可 微 函 数 f ( x) 的 反 函 数 为 g( x) , f (1)3, f(1) 2, f(3)6 则g (3).4. 设 ux , 则 du.xyy5. 曲线 x 26 y y 3 在 ( 2 , 2) 点切线的斜率为.6. 设 f (x) 为可导函数 , f (1)1, F ( x)f ( 1) f ( x 2 ) ,则 F (1).xf (x )x 2(1 x), 则 f (2)7. 若t2dt .8. f ( x) x 2 x 在 [0,4] 上的最大值为.9. 广义积分e 2 x dx.10. 设 D 为圆形区域 x 2y 21, y1 x 5 dxdy.D三、计算题 （每题 5 分，共 40 分）1. 计算 lim ( 121 2 1 2 ) .nn(n 1)(2n)2. 求 y ( x 1)(x2) 2 ( x 3) 3(x 10)10 在（ 0，+）内的导数 .1 3. 求不定积分dx .x(1 x)4. 计算定积分sin 3 x sin 5 xdx .5. 求函数 f ( x, y)x 3 4x 2 2xy y 2 的极值 .6. 设平面区域 D 是由 yx, y x 围成，计算sin ydxdy .Dy7. 计算由曲线8. 求微分方程xy 1, xy 2, y x, y3x 围成的平面图形在第一象限的面积 .y2 x 的通解 .yy四、证明题 （每题 10分，共 20 分）1. 证明： arc tan xx (x) .arcsin1 x 22. 设 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续，且f ( x) 0,xx1F ( x)f (t )dtdtbf (t )证明：方程 F ( x)0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个实根 .《高等数学》参考答案一、判断题 . 将√或×填入相应的括号内（每题2 分，共 20 分）1.√ ；2.× ；3.×；4.× ；5.×；6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ； 10.√.二、 填空题 . （每题 2 分，共 20 分）1. x 24x 4 ； 2. 1；3. 1/2；4. ( y 1/ y) dx ( x x / y 2 )dy ；5. 2/3 ；6. 1 ；7.336 ；8. 8 ；9.1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题 5 分，共 40 分）1.解： 因为n 1 11L1n 1(2n)2n 2(n1)2(2n)2n2且lim n1n 120 ， lim2 =0n(2 n)nn由迫敛性定理知：lim (12(n 121 2 )=0n n1)(2n)2.解： 先求对数 ln yln( x 1) 2 ln( x 2) 10ln( x10)1 y 11210 yx x 2 x 10y ( x1)(x 10)(1 210x1x 2x )103.解： 原式 = 21d x1x= 21d x1 ( x )2=2 arcsin x c4.解：原式 =sin 3 x cos2 xdx33=2 cos x sin 2xdx cosxsin 2xdx233=2 sin 2xd sin x sin 2xd sin x22525x] 02[sin2 x]=[sin 2552=4/55.解： f x3x 28x 2 y 0 f y2x 2 y 0故x0或x2 y0y2当x0时 f xx( 0,0)8 ， f yy (0,0)2， f xy ( 0,0)2 y0( 8) ( 2) 220 且A=8 0（ 0， 0）为极大值点且 f ( 0,0)0当x2时 f xx( 2,2) 4 ， f yy (2,2)2， f xy ( 2,2)2 y24(2)220无法判断6.解： D= (x, y) 0y1, y2x ysin y dxdy dy21yD y0ysin y1 sin y ydydx =[ x]y2y y1= (sin y y sin y)dy= [ cos y]11yd cos y=1cos1[ ycos y]11cos ydy= 1 sin17.解： 令 uxy ， vy；则 1 u2 ， 1 v3xx ux v 1uJ2 uv2v v 1y uy vv u2v2 uvAd2 31 ln31du dvD12v8.解： 令y 2u ，知 (u)2u 4x由微分公式知： uy 22 dx2dxdxc)e ( 4xee 2 x ( 4xe 2 x dx c)e 2 x (2xe 2xe 2xc)四 . 证明题（每题 10 分，共 20 分）1.解： 设f ( x)arctan x x arcsinx 211 1 1 x 2x 2 2f ( x)1 x 1 x2x21x2=011 x2f (x)cx令 x 0f (0) 0 0 0 c0 即：原式成立。

《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=是（）A.偶函数B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin)=cosx+1,则f(x)为（）A 2x－2B 2－2xC 1＋xD 1－x 3．下列数列为单调递增数列的有（）A．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B．，，，C．{f(n)},其中f(n)= D. {} 4.数列有界是数列收敛的（）A．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（）A．发散数列必无界B．两无界数列之和必无界C．两发散数列之和必发散D．两收敛数列之和必收敛6．（）A.1B.0C.2D.1/27．设e则k=( )A.1B.2C.6D.1/68.当x1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）A.x-1B. x-1C.(x-1)D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （）A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=log x相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）A、-1B、0C、1D、 233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A、0B、-dxC、dxD、不存在36、极限的未定式类型是（）A、0/0型B、∞/∞型C、∞ -∞D、∞型37、极限的未定式类型是（）A、00型B、0/0型C、1∞型D、∞0型38、极限=（）A、0B、1C、2D、不存在39、x x0时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x的（）A、（n+1）阶无穷小B、n阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（）A、唯一的零点B、至少存在有一个零点C、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=（）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（）A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面56下列命题正确的是（）A、发散数列必无界B、两无界数列之和必无界C、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x处连续的（）A、.必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л] B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+160设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在二、填空题1、求极限 (x2+2x+5)/(x2+1)=（）2、求极限 [(x3-3x+1)/(x-4)+1]=（）3、求极限x-2/(x+2)1/2=（）4、求极限 [x/(x+1)]x=（）5、求极限 (1-x)1/x= （）6、已知y=sinx-cosx，求y`|x=л/6=（）7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2，求dρ/dψ|ψ=л/6=（）8、已知f(x)=3/5x+x2/5，求f`(0)=（）9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）10、函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）11、函数y=2x3极小值与极大值分别是（）12、函数y=x2-2x-1的最小值为（）13、函数y=2x-5x2的最大值为（）14、函数f(x)=x2e-x在[-1,1]上的最小值为（）15、点（0，1）是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有b=（） c=（）16、∫xx1/2dx= （）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)=（）18、若∫f(x)dx=x2e2x+c，则f(x)= ( )19、d/dx∫a b arctantdt=（）20、已知函数f(x)=在点x=0连续，则a=（）21、∫02(x2+1/x4)dx=（）22、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）23、∫031/2a dx/(a2+x2)=（）24、∫01 dx/(4-x2)1/2=（）25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）26、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=( )27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46求极限 [x/(x+1)]x=（）47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9 x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。

《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（ ）A.偶函数B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x)=cosx+1,则f(x)为（ ）A 2x 2－2B 2－2x 2C 1＋x 2D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ． ，，，B ．23，32，45，54C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n n nn n n1,1 D. {n n 212+}4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim 21x x x （ ）.0 C 27．设=+∞→x x x k)1(lim e 6 则k=( ).2 C 68.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （ ）A 、是连续的B 、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x0必不连续B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续D、在点x0必不连续14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/2x相切，则（）21、若直线y=x与对数曲线y=logaA、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x0)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、x9D、 x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ） A 、0/0型 B 、∞/∞型 C 、∞ -∞ D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（ ）A 、00型B 、0/0型C 、1∞型D 、∞0型38、极限 x x x x sin 1sinlim 20 =（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）A 、2B 、1/2C 、1D 、042、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为（ ）A 、0B 、1/2C 、1D 、243、若函数f(x)在（a,b ）内存在原函数，则原函数有（ ）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx=（）A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（）A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面56下列命题正确的是（）A、发散数列必无界B、两无界数列之和必无界C、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（）A、.必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л] B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、 不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x =（ ）5、求极限0lim →x (1-x)1/x = （ ）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ） 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ） 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ） 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ） 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ）13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ） 18、若∫f(x)dx=x 2e 2x +c ，则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt=（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dte x在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx=（ ） 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ） 24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ） 25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（ ）26、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=( )27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为 ( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、 y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46求极限lim [x/(x+1)]x=（）∞x→47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）48∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）49y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大并求出其最大值。

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

完整版)高等数学测试题及答案高等数学测试试题一、是非题（3’×6=18’）1、$\lim_{x\to 1}(1-x)=e$。

（×）2、函数$f(x)$在点$x=x_0$处连续，则它在该点处必可导。

（×）3、函数的极大值一定是它的最大值。

（×）4、设$G(x)=f(x)$，则$G(x)$为$f(x)$的一个原函数。

（√）5、定积分$\int_{-1}^1 x\cos x dx=0$.（√）6、函数$y=x-2$是微分方程$x\frac{dy}{dx}+2y$的解。

（√）二、选择题（4’×5=20’）7、函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$是定义域内的（）A、单调函数B、有界函数C、无界函数D、周期函数答案：C8、设$y=1+2x$，则$dy$=（）A、$2xdx$B、$2x\ln2$C、$2x\ln2dx$D、$(1+2x\ln2)dx$答案：A9、设在区间$[a,b]$上$f'(x)>0$，$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在该区间上沿着$x$轴正向A、上升且为凹弧B、上升且为凸弧C、下降且为凹弧D、下降且为凸弧答案：B10、下列等式正确的是（）A、$\int f'(x)dx=f(x)$B、$\int f(x)dx=f'(x)$C、$\int f'(x)dx=f(x)+C$D、$\int f(x)dx=f'(x)+C$答案：C11、$P=-\int \cos^2 x dx$，$Q=3\int dx$，$R=\int xdx$，则int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx < \int_0^1 \sin^2 x dx <\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$A、$P<Q<R$B、$Q<P<R$C、$P<R<Q$D、$R<Q<P$答案：D三、选择题（4’×5=20’）12．函数$f(x)=\frac{x^2}{3x-3}$的间断点为（）A、3B、4C、5D、6答案：A13、设函数$f(x)$在点$x=0$处可导，且$\lim_{h\to 0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}=\frac{1}{2}$，则$f'(0)$=（）A、2B、1C、-1D、-2答案：B14、设函数$f(x)=x^2\ln x$，则$f''(1)$=（）A、2B、3C、4D、5答案：B15、$\frac{d}{dx}\int_0^{\ln(1+x)}\ln(1+t)dt=$A、$\ln(1+x)$B、$\ln(1+x^2)$C、$2x\ln(1+x^2)$D、$x^2\ln(1+x^2)$答案：C16、$\int f'(e^x)e^xdx=$A、$f(e^x)$B、$f(e^x)+C$C、$f'(e^x)$D、$f'(e^x)+C$答案：B四、选择题（7’×6=42’）17、$\lim_{x\to 2x-2}\frac{x^2+x-6}{x-2x+2}=$A、5B、6C、7D、8答案：B18、函数$y=x^3-3x$的单调减少区间为（）A、$(-\infty,-1)$B、$(-\infty,1)$C、$(-1,+\infty)$D、$[-1,1]$答案：A19、已知曲线方程$y=\ln(2+x)$，则点$M(0,\ln2)$处的切线方程为（）A、$y=\frac{x}{2}+\ln2$B、$y=\frac{x}{2}-\ln2$C、$y=2x+\ln2$D、$y=2x-\ln2$答案：AB、y=x+1C、y=x^2+ln2D、y=x+ln2x10、函数f(x)=∫lntdt的极值点与极值分别为：A、x=2，极小值f(2)=1B、x=1，极小值f(1)=1/2(ln2-1)C、x=2，极大值f(2)=1D、x=1，极大值f(1)=1/2(ln2-1)21、曲线y=4-x^2，x∈[0,4]与x轴，y轴以及x=4所围的平面图形的面积值S=A、4B、8C、16D、3222、微分方程dy/dx=ex-2y满足初始条件y(0)=1的特解为：A、lny=ex-1B、e2y=2ex-1C、e2y=ex-1D、e2y=e2x-1。

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim sin x -tan x= .3x →0ln (1+2x )3-x -1+x= .2x +x -22.limx →12x 2+ax +b=3，其中为a ,b 常数，则a =，b = .3.已知limx →-1x +1⎧sin 2x +e 2ax -1,x ≠0⎪4.若f (x )=⎨在(-∞,+∞)上连续，则a = .x⎪a ,x =0⎩5.曲线f (x )=x -1的水平渐近线是，铅直渐近线是 .2x -4x +31e x6.曲线y =(2x -1)的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N ，当n ≥N 时，恒有x n-a ≤2ε”是数列{x n}收敛于a 的 .A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件⎧x 2,⎧2-x ,x ≤02.设g (x )=⎨，f (x )=⎨⎩x +2,x >0⎩-x ,x <0则g ⎡f (x )⎤= .⎣⎦x ≥0⎧2+x 2,x <0⎧2-x 2,x <0⎧2-x 2,x <0⎧2+x 2,x <0A.⎨B.⎨C.⎨D.⎨⎩2-x ,x ≥0⎩2+x ,x ≥0⎩2-x ,x ≥0⎩2+x ,x ≥03.下列各式中正确的是 .⎛1⎫⎛1⎫A．lim 1-⎪=e B.lim 1+⎪=e+ x →0x →0x ⎝x ⎭⎝⎭+x x⎛1⎫⎛1⎫ C.lim 1-⎪=-e D.lim 1+⎪x →∞x →∞⎝x ⎭⎝x ⎭4.设x →0时，e tan x x -x=e -1-1与x n 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.曲线y =1+e -x 1-e2-x 2.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是 .A.11sin x ,x ∈(0,1] B.sin x ,x ∈(0,+∞)x x 111C.sin ,x ∈(0,1]D.x sin ,x ∈(0,+∞)x x x三、求下列极限（每小题5分，共35分）x 2-x -21.limx →24x +1-32．lim x +ex →0(12x -x)3.lim 1+2+3n →∞(n1n n)x 2sin4．x →+∞lim 1x 2x 2-15.设函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)，求lim1ln ⎡⎣f (1)f (2)n →∞n 2f (n )⎤⎦.1⎛⎫x 2+e sin x ⎪+6．lim 4x →0x ⎪ 1+e x ⎪⎝⎭7．lim+x →01-cos x1-cos x四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）ax 2-2x +b=-21.lim2x →1x +x -22．lim x +ax 2+bx -2=1x →-∞()⎧a x -b x,x ≠0⎪五、讨论函数f (x )=⎨x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1)在x =0处的连续性，⎪0,x =0⎩若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）⎛sin t ⎫六、设f (x )=lim ⎪t →x sin x ⎝⎭x sin t -sin x，求f (x )的间断点并判定类型.（本题7分）⎡1⎤七、设f (x )在[0,1]上连续，且f (0)=f (1).证明：一定存在一点ξ∈⎢0,⎥，使得⎣2⎦1⎫⎛f (ξ)=f ξ+⎪.（本题6分）2⎭⎝第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设f (x )在x 0可导，且f (x 0)=0,f '(x 0)=1，则lim hf x 0-h →∞⎛⎝1⎫⎪= .h ⎭2.设f x ⎛1⎫2'd x =d .=cos x ，则 . 3.f (x )=⎪2x ⎝⎭1-x sin x 4.设y =f (e )，其中f (x )可导，则d y = .5.设y =arccos x ，则y ' ⎛1⎫⎪= .⎝2⎭⎛1⎫,π⎪的切线方程为 .π⎝⎭6.曲线xy =1+x sin y 在点 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在x =0处可导的是 .A.y =|x |B.y =|sin x |C.y =ln xD.y =|cos x |2.设y =f (x )在x 0处可导，且f '(x 0)=2，则limf (x 0+2x )-f (x 0-x )= .x →0x 11A.6B.-6C.D.-6623.设函数f (x )在区间(-δ,δ)内有定义，若当x ∈(-δ,δ)时恒有|f (x )|≤x ，则x =0是f (x )的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且f '(0)=0D.可导的点，且f '(0)≠0⎧sin x ,x <04.设f (x )=⎨2，则在x =0处f (x )的导数 .x ,x ≥0⎩A.0 B.1 C.2 D.不存在5.设函数f (u )可导，y =f (x )当自变量x 在x =-1处取得增量x =-0.1时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则f '(1)= .A.-1B.0.1C.1D.0.52三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)y =ln e +1+e(2)y =a x a (3)y =x +a +a a a x(x2x)(⎛1⎫x +1 -1⎪⎝x ⎭)(4)y =(sin x )cos x2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1)y =x ln x +sin x (2)y =ecot 21x2(3)y =x 21-x1+x3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）y =cos x ln x（2）y =21-x1+x⎧e x ,x ≤14.设f (x )=⎨在x =1可导，试求a 与b .（本题6分）⎩ax +b ,x >15.设f (x )=⎨⎧sin x ,x <0'，求f (x ).（本题6分）⎩ln(1+x ),x ≥0x 2-xy 2=1所确定，求d y .（本题6分）6.设函数y =y (x )由方程ln y⎧t ⎛⎫x =a ln tan +cos t ⎪d y d 2y ⎪ 7.设y =y (x )由参数方程⎨2⎝⎭，求,2.（本题6分）d x d x ⎪y =a sin t ⎩1+t ⎧x =⎪⎪t 38.求曲线⎨在t =1处的切线方程和法线方程.（本题5分）31⎪y =+⎪2t 22t ⎩第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若a >0,b >0均为常数，则lim ⎛a +b ⎫= .⎪x →0⎝2⎭x x 3x2.lim 1⎫⎛1-⎪= .2x →0x x tan x ⎝⎭3.limx →0arctan x -x= .3ln(1+2x )2-x 4.曲线y =e 的凹区间，凸区间为 .5.若f (x )=x e ，则f x (n )(x )在点x =处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设a ,b 为方程f (x )=0的两根，f (x )在[a ,b ]上连续，(a ,b )内可导，则f '(x )=0在(a ,b )内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设f (x )在x 0处连续，在x 0的某去心邻域内可导，且x ≠x 0时，(x -x 0)f '(x )>0，则f (x 0)是 .A.极小值B.极大值C.x 0为f (x )的驻点 D.x 0不是f (x )的极值点3.设f (x )具有二阶连续导数，且f '(0)=0，lim x →0f ''(x )=1，则 .|x |A.f (0)是f (x )的极大值 B.f (0)是f (x )的极小值C．(0,f (0))是曲线的拐点D．f (0)不是f (x )的极值，(0,f (0))不是曲线的拐点4.设f (x )连续，且f '(0)>0，则∃δ>0，使 .A.f (x )在(0,δ)内单调增加.B.f (x )在(-δ,0)内单调减少.C.∀x ∈(0,δ)，有f (x )>f (0)D.∀x ∈(-δ,0)，有f (x )>f (0).三、解答题(共73分)1.已知函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f (1)=0，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得f '(ξ)=-2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当0<a <b 时，（2）当0<x <f (ξ).（本题6分）tan ξb -a b b -a.<ln <b a aπ2时，2πx <sin x <x .3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）e x -e -x -2x（1）limx →0x -sin x1（2）lim(cos x )x →0sin 2x（3）limx →01x(1+x )-ex 4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）f (x )=x (1-x )1323⎧x 2x ,x >0（2）f (x )=⎨⎩x +1,x <05.求y =2x的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）ln x6.证明方程x ln x +第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1=0只有一个实根.（本题7分）e1. 2. 3.，铅直渐近线是， 4.6.5.水平渐近线是二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C 三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1..2．.3.，又.4．. 5.. 6．，，所以，原式.7．四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）.解：1.据题意设，令得，则，故．，令得2．左边故，则．，右边五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4.5. 6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1)..(2)(3).(4)两边取对数得，两边求导数得.，2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1).(2)..(3)3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故，两边求微分得.6.方程可变形为，故.7.，.8.，故.当时，.故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1． 2． 3． 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B 2．A3．B，提示：由题意得，，当时，，当时，，从而在；即当取得极小值时，4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，三、解答题(共73分)证明：1.令，即，则在，使得上连续，，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当小值点，极小值为时，.；故为极大值点，极大值为；为极⑵，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为得；；列表得：，，令得驻点，令---++极小值点++++-拐点单减凸单减凹单增凹单增凸6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．。