(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr rd d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ； （C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。

第八章 测 验 题一、选择题：1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→⋅= ( ).(A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→.向量a b →→⨯与二向量a →及b →的位置关系是( ). 共面； (B)共线；(C) 垂直； (D)斜交 .3、设向量Q →与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→±=( )(A)22αβ→→±； (B)222ααββ→→→→±+； (C)22ααββ→→→→±+； (D)222ααββ→→→→±+.6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ).(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220A xB yC zD B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ).(A) 过原点； (B)x 平行于轴；(C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线513x y -=- 107z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周22160x y z ⎧+=⎨=⎩，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=；(C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=.10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).(A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=；(C)22214y x z -+=； (D)2221916x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3π，且2,5a b →→==，求(2)(3)a b a b →→→→-⋅+ .三、求向量{4,3,4}a →=-在向量{2,2,1}b →=上的投影 .四、设平行四边形二边为向量{1,3,1};{2,1,3}a b →→=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .五、已知,,a b →→为两非零不共线向量，求证：()()a b a b →→→→-⨯+2()a b →→=⨯.六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .七、求直线L ：31258x ty t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩在三个坐标面上及平面π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线122232x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 . 九、求点(1,4,3)--并与下面两直线1L ：24135x y z x y -+=⎧⎨+=-⎩，2:L 24132x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩都垂直的直线方程 .十、求通过三平面：220x y z +--=，310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于平面20x y z ++=的平面方程 . 十一、在平面10x y z +++=内，求作一直线，使它通过直线1020y z x z ++=⎧⎨+=⎩与平面的交点，且与已知直线垂直 .十二、判断下列两直线 111:112x y z L +-==, 212:134x y z L +-==,是否在同一平面上，在同一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .第九章 测 验 题一、选择题:1、二元函数221arcsinz x y =++的定义域是( ).(A)2214x y ≤+≤； (B)2214x y <+≤； (C)2214x y ≤+<； (D)2214x y <+<. 2、设2(,)()x f xy x y y=+,则(,)f x y =( ).(A)221()x y y+； (B) 2(1)x y y+； (C) 221()y x x+； (D) 2(1)y y x+.3、222200lim()x y x y x y →→+=( ).(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).(A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件；(C)充分必要条件；(D)既不是充分条件,也不是必要条件.5、设(,)f x y 222222221()sin ,00,0x y x y x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩则在原点(0,0)处(,)f x y ( ). (A)偏导数不存在； (B)不可微； (C)偏导数存在且连续； (D)可微 . 6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导数.则22zy∂=∂( ). (A)222f v f v v y y v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂∂； (B)22f v v y∂∂⋅∂∂； (C)22222()f v f vyv v y ∂∂∂∂+⋅∂∂∂∂；(D)2222f v f vy v v y∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂.7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=( ).(A) 332a ； (B) 33a ； (C) 392a ； (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) ； (C) (-1,2)； (D)(-1,-1).9、函数sin sin sin u x y z =满足 (0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值是( ).(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 16 ； (D) 18 .10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ). 二、讨论函数33x yz x y+=+的连续性，并指出间断点类型.三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln y z x = ；2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；3、22222220(,)00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩.四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .五、设(,,),y z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导 数,求2zx y ∂∂∂. 六、设cos ,sin ,u u x e v y e v z uv ===,试求z x∂∂和zy∂∂ . 七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零 . 八、求平面1345xy z++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .九、在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .第十章 测 验 题一、选择题:1、1100(,)xdx f x y dy -⎰⎰=( )(A)1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰； (B)1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰； (C)1100(,)dy f x y dx ⎰⎰； (D)1100(,)ydy f x y dx -⎰⎰.2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,Dπ=.(A) 1 ；；；3、当D 是( )围成的区域时二重积分1.Ddxdy =⎰⎰4、xy D xe dxdy ⎰⎰的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤(A) 1;e(B) e ; (C) 1;e- (D) 1.5、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中D 由222x y a +=所围成,则I =( ). (A)2240ad a rdr a πθπ=⎰⎰;(B)2240012ad r rdr a πθπ⋅=⎰⎰;(C)223023ad r dr a πθπ=⎰⎰;(D)224002ad a adr a πθπ⋅=⎰⎰. 6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的空间区域,则xdxdydz Ω⎰⎰⎰=( ).(A)148 ； (B) 148- ； (C) 124 ； (D) 124- . 7、设Ω是锥面222222(0,z x y a c a b=+>0,0)b c >>与平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,则dxdydz Ω⎰⎰⎰=( ).(A)2136a b ；(B) 2136a b(C) 2136b c ；(D) 136.8、计算I zdv Ω=⎰⎰⎰,其222,1z x y z Ω=+=中为围成的 立体,则正确的解法为( )和( ).(A)211000I d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰；(B)21100r I d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰；(C)21100rI d dz rdr πθ=⎰⎰⎰； (D)12000zI dz d zrdr πθ=⎰⎰⎰.9、曲面z =222x y x +=内部的那 部分面积s =( ).；；；(D) .10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量 x I =( ).(A) 3μ； (B) 5μ； (C) 4μ； (D) 6μ. 二、计算下列二重积分:1、22()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是闭区域:2、Dyarctg d xσ⎰⎰,其中D 是由直线0y =及圆周22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象限内的闭区域 .3、2(369)Dy x y d σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区域:222x y R +≤4、222Dx y d σ+-⎰⎰,其中D :223x y +≤.三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:1、12330010(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；2、110(,)dx f x y dy ⎰；3、00(cos ,sin )a d f r r rdr θθθθ⎰⎰.四、将三次积分110(,,)yx x dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰改换积分次序为 x y z →→.五、计算下列三重积分:1、cos(),y x z dxdydz Ω+Ω⎰⎰⎰:抛物柱面y =,,2y o z o x z π==+=及平面所围成的区域 .2、22(),y z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域 .3、222222ln(1),1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 .六、求平面1x y zab c++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111301()()()[()]6yx xf x f y f z dxdydz f x dx =⎰⎰⎰⎰ .第十一章 测 验 题一、选择题: 设L 为03,02x x y =≤≤,则4L ds ⎰的值为( ).(A)04x ， (B)6, (C)06x .设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2Ldy ⎰=( ).(A)6; (B) 06y ; (C)0. 若L 是上半椭圆cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩取顺时针方向,则Lydx xdy -⎰的值为( ).(A)0; (B)2ab π; (C)ab π.4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则在D 内与LPdx Qdy +⎰路径无关的条件,(,)Q Px y D x y∂∂=∈∂∂是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则( )式正确. (A)12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 ,则ds ∑⎰⎰等于( ).(A)20rd rdrπθ⎰⎰;(B)200d rdr πθ⎰⎰;(C)20d rdr πθ⎰.7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则 22x y zdxdy ∑⎰⎰等于( ).(A) 2xyD x y ⎰⎰;(B) 22xyD x y ⎰⎰; (C) 0 .8、曲面积分2z dxdy ∑⎰⎰在数值上等于( ).向量2z i 穿过曲面∑的流量； 面密度为2z 的曲面∑的质量；向量2z k 穿过曲面∑的流量 .9、设∑是球面2222x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).(A)2222xyD x y zds x y ∑=⎰⎰⎰⎰；(B)2222()()xyD x y dxdy x y dxdy ∑+=+⎰⎰⎰⎰；(C) 2xyD zdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰.10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高公式正确的是( ).(A)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰外侧=(22)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰；(B)32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰外侧=22(321)x x dxdydz -+⎰⎰⎰； (C)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰内侧=(21)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰.二、计算下列各题:1、求zds Γ⎰,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩0(0)t t ≤≤； 2、求(sin 2)(cos 2)x x L e y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为上半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .三、计算下列各题: 1、求222dsx y z∑++⎰⎰其中∑是界于平面0z z H ==及之间的圆柱面222x y R +=；2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为锥面(0)z z h =≤≤的外侧；∑其中∑为曲面22(2)(1)15169z x y ---=+(0)z ≥的上侧 . 四、证明:22xdx ydy x y++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .五、求均匀曲面z =的重心的坐标 .六、求向量A xi yj zk =++通过区域:Ω01,x ≤≤01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),已知流速函数222V xz i yx j zy k =++,求流体在单位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .第十二章 测 验 题一、选择题: 1、下列级数中,收敛的是( ).(A)11n n ∞=∑；(B)1n ∞=；(C)n ∞=； (D)1(1)n n ∞=-∑.2、下列级数中,收敛的是( ).(A) 115()4n n ∞-=∑； (B)114()5n n ∞-=∑；(C)1115(1)()4n n n ∞--=-∑； (D)1154()45n n ∞-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )(A)221(!)2n n n ∞=∑； (B)13!n n n n n∞=∑；(C) 221sinn nππ∞=∑； (D)11(2)n n n n ∞=++∑.4、部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1nn a r ∞=∑收敛 .(A)1r <； (B)1r ≤； (C)r a <； (D)1r >. 6、幂级数11(1)(1)nn n x n∞-=--∑的收敛区间是( ). (A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].7、若幂级0n n n a x ∞=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;0nn n b x ∞=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数0()n n n n a b x ∞=+∑的收敛半径至少为( )(A)12R R +； (B)12R R ⋅；(C){}12max ,R R ； (D){}12min ,R R . 8、当0R >时,级数21(1)nn k nn∞=+-∑是( ) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .10、幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑的收敛区间是( )(A) (1,1]-； (B) (1,1]-； (C) (1,1]-； (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:1、221(!)2n n n ∞=∑； 2、21cos 32nn n n π∞=∑.三、判别级数11(1)lnn n n n∞=+-∑的敛散性 . 四、求极限 111139273lim[248(2)]nn n →∞⋅⋅⋅⋅ .五、求下列幂级数的收敛区间:1、135n n n n x n ∞=+∑； 2、212n n n nx ∞=∑.六、求幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑的和函数 .七、求数项级数21!n n n ∞=∑的和 .八、试将函数21(2)x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为 0,[,0)(),[0,)x x f x e x ππ∈-⎧=⎨∈⎩将()f x 展开成傅立叶级数 . 十、将函数1,0()0,x hf x h x π≤≤⎧=⎨<≤⎩分别展开成正弦级数和余弦级数 . 十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期,则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0(1,2,)k k a b k ===.第八章 测 验 题 答 案一、1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、B ；6、B ；7、C ；8、A ；9、D ； 10、D. 二、-103. 三、2.四、六、221330y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩.七、3120x t y t z =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩, 3058x t y z t =-⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 01258x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩,1411260380x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩. 八、81390x y z --+=.九、1124463x ty t z t =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩.十、240x y z ++-=. 十一、21010x y z x y z +-+=⎧⎨+++=⎩.十二、直线12L L 与为异面直线,d =. 第九章 测 验 题 答 案一、1、A ； 2、B ； 3、B ； 4、B ； 5、D ；6、C ；7、A ；8、A ；9、D ； 10、B.二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续； (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时, 则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点. 三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln yy x z x y=； 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++23()y y u xf xz xyz f =++.3、322222222,0()(,),0,0x xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 2222222222(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩.四、221()()()1()1f f z f dx dy y z y z φφφ--''--.五、2y y y y uuuy xu xy u xe f e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),(cos sin ).u u z zv v u v e u v v v e x y--∂∂=-=+∂∂ 七、cos sin ,flφφ∂=+∂ 八、4335(,,).5512九、切点min V =. 第十章 测 验 题 答 案1、D ；2、C ；3、A ；4、A ；5、B ；6、A ；7、A ；8、B,D ；9、B ； 10、C.二、1、2409π-；2、2364π； 3、4294R R ππ+；4、5.2π三、1、2302(,)xx dx f x y dy -⎰⎰；2、2121(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰；3、0(cos ,sin )aar rdr f r r d θθθ⎰⎰. 四、1100(,,)zz dz dy f x y z dx ⎰⎰⎰.五、1、21162π-； 2、2503π； 3、0.. 七、提示：第十一章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、C ； 9、C ； 10、B.二、1、3220(2)3t +-； 2、2a π.三、1、2H arctg R π； 2、44h π-； 3、0.四、221(,)ln()2u x y x y =+.五、(0,0,)2a. 六、3.七、32,015π.第十二章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、B ； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.提示:化成2123332n n ++++)五、1、11[,)55-； 2、(2,2).六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x xx ⎧+--∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩. 七、2e .八、12111,(2,2)(2)2n n n n x x x ∞-+==∈--∑九、2111(1)1()[cos 21n n e e f x nx nππππ∞=---=++∑ 12((1)1)sin ]1n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±且).十、121cos ()sin ,(0,)(,)n nhf x nx x h h n ππ∞=-=∈⋃∑。

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ； （C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

高等数学同济版下册期末考四套试题及答案高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、$z=\log_a(x+y)$ $(a>0)$的定义域为$D=\{(x,y)|x+y>0\}$。

2、二重积分$\iint_{|x|+|y|\leq1}2\ln(x+y)dxdy$的符号为正。

3、由曲线$y=\ln x$及直线$x+y=e+1$，$y=1$所围图形的面积用二重积分表示为$\iint_D dxdy$，其值为$e-2$。

4、设曲线$L$的参数方程表示为$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$$(\alpha\leqx\leq\beta)$，则弧长元素$ds=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}dt$。

5、设曲面$\Sigma$为$x+y=9$介于$z=0$及$z=3$间的部分的外侧，则$(x+y+1)ds=\iint_{\Sigma}(x+y+1)dS=27$。

6、微分方程$\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$的通解为$y=\varphi(x,c)$，其中$c$为任意常数，$\varphi(x,c)$是微分方程的一族特解。

7、方程$y^{(4)}+y'''-4y=0$的通解为$y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x-\dfrac{1}{2}x\cos x$。

8、级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(n+1)}{2}$的和为$\dfrac{1}{6}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)$，再利用$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{4}\sum\limits _{n=1}^{\infty}n(n+1)(2n+1)$，最终得到$\dfrac{1}{12}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(2n+1)(n+1)=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4=\dfrac{1}{3}$。

高等数学（下册）考试试卷（一）欧阳家百（2021.03.07）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）1 、 log a ( x2 y 2 ) (a 0) 的定义域为 D= 。

z =2、二重积分ln( x 2y 2 ) dxdy 的符号为 。

|x| |y| 13、由曲线 y ln x 及直线 x y e 1， y 1 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4 、设曲线 L 的参数方程表示为 x (t ) x),则弧长元素 ds。

y ((t )5 、 设 曲 面 ∑ 为 x 2y 29 介 于 z 0 及 z3间的部分的外侧，则（x 2 y 2 1)ds。

6、微分方程dyytan y的通解为 。

dxxx7、方程 y (4 ) 4 y 0 的通解为 。

8、级数1的和为。

n 1 n(n 1)二、选择题（每小题2 分，共计 16 分）1、二元函数 z f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（）（A ） f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处连续；（ B ） f x ( x, y) ， f y ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 的某邻域内存在；（ C ） z f x ( x 0 , y 0 ) xf y ( x 0 , y 0 ) y 当 () 2 ( y ) 2 0 时，是无穷小；x（ D ） limz f x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y0 。

x ( x)2( y)2y 02、设 u yf ( x ) xf ( y), 其中 f 具有二阶连续导数，则 x2uy2u 等于（）yxx 2 y 2（ A ） x y ； （ B ） x ；(C) y ；(D)0 。

3、设 ： x 2 y 2 z 2 1, z 0, 则三重积分 IzdV 等于（）（A ）4221 3；（ ）21 2；ddr sin cos drddr sin dr0 0 0 B（ C ） 22 d13sin cos dr ；（D ）2d d13 sin cos dr 。

高等数学（下册）考试试卷（一）欧阳家百（2021.03.07）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰200102sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。

同济高等数学下册习题答案同济高等数学下册习题答案数学是一门学科，也是一种思维方式。

它的魅力在于它的逻辑性和精确性。

同济高等数学下册是大多数理工科学生所学习的一门课程，它包含了许多重要的数学概念和方法。

在学习过程中，很多学生会遇到各种各样的问题和困惑。

为了帮助大家更好地理解和掌握这门课程，我将在本文中给出一些习题的答案和解析。

一、极限与连续1. 设函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，求lim(x→1) f(x) 的值。

解析：当x→1 时，分子和分母都趋向于 0，此时我们可以对函数进行化简。

将分子分母进行因式分解，得到 f(x) = (x + 1)(x - 1)/(x - 1) = x + 1。

因此，lim(x→1) f(x) = lim(x→1) (x + 1) = 2。

2. 求函数 f(x) = |x - 2| 的间断点和间断类型。

解析：函数 f(x) = |x - 2| 在 x = 2 处存在间断点。

当 x < 2 时，f(x) = -(x - 2)，当 x > 2 时，f(x) = x - 2。

因此，左极限 f(2-) = -0，右极限 f(2+) = 0。

由于f(2-) ≠ f(2+)，所以 x = 2 是一个跳跃间断点。

二、导数与微分1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x 的驻点和极值。

解析：首先求导数 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

将导数 f'(x) = 0，解得 x = 1 和 x = 2。

将这两个值代入原函数 f(x) 中，得到 f(1) = 0 和 f(2) = 0。

因此，x = 1 和 x = 2是函数的驻点。

对于极值，我们可以通过二阶导数来判断。

求二阶导数 f''(x) =6x - 6，将 x = 1 和 x = 2 代入，得到 f''(1) = 0 和 f''(2) = 6。

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2213cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ； （C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言在学习高等数学课程中，习题是提高理解和掌握知识的重要方式。

然而，有时候我们在学习的过程中可能会遇到一些难题，不知道如何解答。

为了帮助同学们更好地学习和掌握高等数学知识，我们整理了高等数学同济第七版下册的习题与答案完整版，供大家参考。

第一章无穷级数习题1.11.讨论级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 的敛散性。

2.求级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。

答案1.首先，我们将这个级数进行比较审敛法。

考虑到n3+2n的最高次项为n3，而(2n2+3n−4)2的最高次项为(2n2)2=4n4，因此我们可以得到 $\\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2} < \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$。

根据比较审敛法的基本原理，只需讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$ 的敛散性。

根据级数的性质，我们可以分别求前两项、前三项的和，并观察和的变化规律。

经过计算，可得前两项的和为 $\\frac{1}{16}$，前三项的和为 $\\frac{5}{96}$。

观察可以发现，当 n 的值逐渐增大时，和逐渐减小，并且趋于一个有限值。

因此，根据比较审敛法，原级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 也收敛。

2.我们可以使用交错级数的性质求解这个问题。

根据交错级数的性质，交错级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$ 的和为 $S = \\ln 2$，其中n=1。

对于这个问题，我们可以发现，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的形式和交错级数一样，只是n=2。

第八章 测 验 题一、选择题：1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→⋅= ( ).(A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→.向量a b →→⨯与二向量a →及b →的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 .3、设向量Q →与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有()()();();()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥rrrr面；面面面5、2()αβ→→±=( )(A)22αβ→→±； (B)222ααββ→→→→±+； (C)22ααββ→→→→±+； (D)222ααββ→→→→±+.6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面().(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y .7、设直线方程为11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线513x y -=- 107z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)；(C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160x y z ⎧+=⎨=⎩，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=；(B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=.10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).(A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=；(C)22214y x z -+=； (D)2221916x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3π，且2,5a b →→==，求(2)(3)a b a b →→→→-⋅+ .三、求向量{4,3,4}a →=-在向量{2,2,1}b →=上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量{1,3,1};{2,1,3}a b →→=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .五、已知,,a b →→为两非零不共线向量，求证：()()a b a b →→→→-⨯+2()a b →→=⨯.六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .七、求直线L ：31258x ty t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩在三个坐标面上及平面π380x y z -++=上的投影方程 .八、求通过直线122232x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .九、求点(1,4,3)--并与下面两直线1L ：24135x y z x y -+=⎧⎨+=-⎩，2:L 24132x ty t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩都垂直的直线方程 .十、求通过三平面：220x y z +--=，310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于平面20x y z ++=的平面方程 .十一、在平面10x y z +++=内，求作一直线，使它通过直线1020y z x z ++=⎧⎨+=⎩与平面的交点，且与已知直线垂直 .十二、判断下列两直线 111:112x y z L +-==, 212:134x y z L +-==,是否在同一平面上，在同 一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .第九章 测 验 题一、选择题:1、二元函数221arcsin z x y =+的定义域是( ).(A)2214x y ≤+≤； (B)2214x y <+≤；(C)2214x y ≤+<； (D)2214x y <+<. 2、设2(,)()xf xy x y y=+,则(,)f x y =( ).(A)221()x y y +； (B) 2(1)x y y+；(C) 221()y x x +； (D) 2(1)yy x +. 3、222200lim()x y x y x y →→+=( ).(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数 0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ). (A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件； (C)充分必要条件；(D)既不是充分条件,也不是必要条件.5、设(,)f x y 222222221()sin ,00,0x y x y x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩则在原点(0,0)处(,)f x y ( ).(A)偏导数不存在； (B)不可微；(C)偏导数存在且连续； (D)可微 .6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导数.则22zy∂=∂( ).(A)222f v f v v y y v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂∂； (B)22f v v y∂∂⋅∂∂；(C)22222()f v f v y v v y ∂∂∂∂+⋅∂∂∂∂； (D)2222f v f v y v v y∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂.7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=( ). (A)332a ； (B) 33a ； (C) 392a ； (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 9、函数sin sin sin u x y z =满足 (0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值是( ).(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 16； (D)18.10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻 域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ).();();();().A gradu gradvB u gradv v graduC u gradvD v gradu ⋅⋅+⋅⋅⋅二、讨论函数33x yz x y +=+的连续性，并指出间断点类型. 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln yz x= ；2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；3、22222220(,)00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩.四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .五、设(,,),yz u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导 数,求2zx y∂∂∂.六、设cos ,sin ,uux e v y e v z uv ===,试求z x ∂∂和z y∂∂ .七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零 . 八、求平面1345x y z++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 . 九、在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .第十章 测 验 题一、选择题: 1、110(,)xdx f x y dy -⎰⎰=( )(A)110(,)x dy f x y dx -⎰⎰； (B)110(,)x dy f x y dx -⎰⎰；(C)11(,)dy f x y dx ⎰⎰； (D)110(,)ydy f x y dx -⎰⎰.2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,Dπ=.(A) 1 ；(B)；(C)(D) .3、当D 是( )围成的区域时二重积分1.Ddxdy =⎰⎰(A),220;轴轴及x y x y +-=11(B),;23x y == (C),4,3;轴轴及x y x y ==(D)1,1;x y x y +=-=4、xy Dxe dxdy ⎰⎰的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤(A)1;e (B) e ; (C) 1;e- (D) 1. 5、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中D 由222x y a +=所 围成,则I =( ).(A)22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰;(B)2240012a d r rdr a πθπ⋅=⎰⎰;(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰;(D)22402ad a adr a πθπ⋅=⎰⎰.6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的 空间区域,则xdxdydz Ω⎰⎰⎰=( ).(A) 148 ； (B) 148- ； (C) 124 ； (D) 124- .7、设Ω是锥面222222(0,z x y a c a b=+>0,0)b c >>与平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,则Ω=( ).(A)2136a b ；(B) 22136a b(C) 2136b c ；(D) 1368、计算I zdv Ω=⎰⎰⎰,其222,1z x y z Ω=+=中为围成的 立体,则正确的解法为( )和( ). (A)21100I d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰；(B)211rI d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰；(C)21100rI d dz rdr πθ=⎰⎰⎰；(D)120zI dz d zrdr πθ=⎰⎰⎰.9、曲面z =222x y x +=内部的那部分面积s =( ).；(B) ；；(D) .10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).(A) 3μ； (B) 5μ； (C) 4μ； (D) 6μ. 二、计算下列二重积分: 1、22()Dxy d σ-⎰⎰,其中D 是闭区域:0sin ,0.y x x π≤≤≤≤ 2、Dyarctgd xσ⎰⎰,其中D 是由直线0y =及圆周 22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象 限内的闭区域 . 3、2(369)D y x y d σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区 域:222x y R +≤4、222Dx y d σ+-⎰⎰,其中D :223x y +≤.三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: 1、123301(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；2、110(,)dx f x y dy ⎰；3、(cos ,sin )ad f r r rdr θθθθ⎰⎰.四、将三次积分110(,,)yxxdx dy f x y z dz ⎰⎰⎰改换积分次序为x y z →→.五、计算下列三重积分: 1、cos(),y x z dxdydz Ω+Ω⎰⎰⎰:抛物柱面y =,,2y o z o x z π==+=及平面所围成的区域 .2、22(),y z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域 .3、222222ln(1),1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 .六、求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 . 七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111301()()()[()]6yxxf x f y f z dxdydz f x dx =⎰⎰⎰⎰ .第十一章 测 验 题一、选择题:设L 为03,02x x y =≤≤,则4L ds ⎰的值为( ).(A)04x ， (B)6, (C)06x .设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2Ldy ⎰=( ).(A)6; (B) 06y ; (C)0. 若L 是上半椭圆cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩取顺时针方向,则Lydx xdy -⎰的值为( ).(A)0; (B)2ab π; (C)ab π.4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续 偏导数,则在D 内与LPdx Qdy +⎰路径无关的条件,(,)Q Px y D x y∂∂=∈∂∂是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则 ( )式正确. (A)12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 , 则ds ∑⎰⎰等于( ).(A)200d rdr πθ⎰⎰;(B)20d rdr πθ⎰⎰;(C)20d rdr πθ⎰.7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则22xy zdxdy ∑⎰⎰等于( ).(A)2xyD x y ⎰⎰;(B) 22xyD xy ⎰⎰; (C) 0 .8、曲面积分2z dxdy ∑⎰⎰在数值上等于( ).向量2z i r穿过曲面∑的流量；面密度为2z 的曲面∑的质量；向量2z k r穿过曲面∑的流量 .9、设∑是球面2222x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy 面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).(A)222xyD xy zds xy ∑=⎰⎰⎰⎰；(B)2222()()xyD xy dxdy xy dxdy ∑+=+⎰⎰⎰⎰；(C)2xyD zdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰.10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò外侧=(22)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰；(B)32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰Ò外侧=22(321)x x dxdydz -+⎰⎰⎰； (C)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò内侧=(21)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰.二、计算下列各题:1、求zds Γ⎰,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩0(0)t t ≤≤；2、求(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为上半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .三、计算下列各题: 1、求222dsx y z ∑++⎰⎰其中∑是界于平面0z z H ==及 之间的圆柱面222x y R +=； 2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰， 其中∑为锥面(0)z z h =≤≤的外侧；∑其中∑为曲面22(2)(1)15169z x y ---=+(0)z ≥的上侧 .四、证明:22xdx ydyx y ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .五、求均匀曲面z = .六、求向量A xi yj zk =++r r r r通过区域:Ω01,x ≤≤01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),已知流速函数222V xz i yx j zy k =++r r r r ,求流体在单位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .第十二章 测 验 题一、选择题:1、下列级数中,收敛的是( ).(A)11n n ∞=∑；(B)n ∞=；(C)1n ∞=； (D)1(1)nn ∞=-∑.2、下列级数中,收敛的是( ).(A) 115()4n n ∞-=∑； (B)114()5n n ∞-=∑；(C)1115(1)()4n n n ∞--=-∑； (D)1154()45n n ∞-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )(A)221(!)2n n n ∞=∑； (B)13!n n n n n∞=∑； (C) 221sinn nππ∞=∑； (D)11(2)n n n n ∞=++∑.4、部分和数列{}ns 有界是正项级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1nn ar∞=∑收敛 .(A)1r <； (B)1r ≤；(C)r a <； (D)1r >.6、幂级数11(1)(1)nn n x n∞-=--∑的收敛区间是( ).(A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].7、若幂级nn n a x∞=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;0nn n b x∞=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数()nnn n ab x ∞=+∑的收敛半径至少为( )(A)12R R +； (B)12R R ⋅；(C){}12max ,R R ； (D){}12min ,R R .8、当0R >时,级数21(1)nn k nn ∞=+-∑是( ) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞=是级数1nn u∞=∑收敛的( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .10、幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑的收敛区间是( )(A) (1,1]-； (B) (1,1]-； (C) (1,1]-； (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:1、221(!)2n n n ∞=∑； 2、21cos 32nn n n π∞=∑.三、判别级数11(1)lnn n n n∞=+-∑的敛散性 . 四、求极限 111139273lim[248(2)]nn n →∞⋅⋅⋅⋅L .五、求下列幂级数的收敛区间:1、135n n n n x n ∞=+∑； 2、212n n n nx ∞=∑. 六、求幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑的和函数 .七、求数项级数21!n n n ∞=∑的和 .八、试将函数21(2)x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为0,[,0)(),[0,)x x f x e x ππ∈-⎧=⎨∈⎩将()f x 展开成傅立叶级数 .十、将函数1,0()0,x hf x h x π≤≤⎧=⎨<≤⎩分别展开成正弦级数和余弦级数 .十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期, 则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0(1,2,)k k a b k ===L .第八章 测 验 题 答 案一、1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、B ； 6、B ； 7、C ； 8、A ； 9、D ； 10、D. 二、-103. 三、2.四、六、221330y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩. 七、3120x t y t z =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩,3058x t y z t =-⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 01258x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 1411260380x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩. 八、81390x y z --+=.九、1124463x ty t z t =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩.十、240x y z ++-=.十一、21010x y z x y z +-+=⎧⎨+++=⎩.十二、直线12L L 与为异面直线,3d =.第九章 测 验 题 答 案一、1、A ； 2、B ； 3、B ； 4、B ； 5、D ； 6、C ； 7、A ； 8、A ； 9、D ； 10、B. 二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续； (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时,则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln y y x z x y=； 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++23()y y u xf xz xyz f =++.3、322222222,0()(,),0,0x xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 2222222222(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩.四、221()()()1()1f f z f dx dy y z y z φφφ--''--.五、2yy y y uuuy xu xy u xef e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),(cos sin ).u u z zv v u v e u v v v e x y--∂∂=-=+∂∂ 七、cos sin ,fl φφ∂=+∂ 537(1)(2)(3)4444ππππφφφ===及八、4335(,,).5512九、切点min 2V abc =.第十章 测 验 题 答 案1、D ；2、C ；3、A ；4、A ；5、B ；6、A ；7、A ；8、B,D ；9、B ； 10、C.二、1、2409π-；2、2364π； 3、4294R R ππ+；4、5.2π三、1、2302(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；2、21201(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰；3、(cos ,sin )aarrdr f r r d θθθ⎰⎰.四、110(,,)zzdz dy f x y z dx ⎰⎰⎰.五、1、21162π-； 2、2503π； 3、0.. 七、提示：1()(),()()()(),(0)0xF x f t dt F x f x F t f x dx F '====⎰⎰则且第十一章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、C ； 9、C ； 10、B.二、1、3220(2)3t +-； 2、2a π.三、1、2H arctg R π； 2、44h π-； 3、0.四、221(,)ln()2u x y x y =+.五、(0,0,)2a. 六、3.七、32,015π.第十二章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、B ； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.. (提示:化成2123332n n ++++L L )五、1、11[,)55-； 2、(.六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x xx ⎧+--∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩. 七、2e .八、12111,(2,2)(2)2n n n n x x x ∞-+==∈--∑九、2111(1)1()[cos 21n n e e f x nx nππππ∞=---=++∑ 12((1)1)sin ]1n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±L 且). 十、121cos ()sin ,(0,)(,)n nhf x nx x h h n ππ∞=-=∈⋃∑12sin ()cos ,[0,)(,)n h nhf x nx x h h nπππ∞==+∈⋃∑。

高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言《高等数学同济第七版下册》是同济大学数学系编写的一本面向高等数学教育的教材。

本书作为高等数学的下册，涵盖了积分学、无穷级数、多元函数微分学等重要内容。

为了帮助学生更好地理解和学习这些知识点，本文档整理了该教材下册的所有习题及其答案，以供学生参考和练习。

目录•第一章积分学•第二章无穷级数•第三章多元函数微分学第一章积分学积分学是高等数学的重要分支，它研究函数的积分与定积分等相关概念和性质。

本章的习题主要围绕定积分、不定积分和定积分的应用展开。

习题11.计算定积分 $\\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$。

答案：$\\frac{2}{3}$2.计算不定积分 $\\int (x^3 - 2x^2 + x - 1) dx$。

答案：$\\frac{1}{4}x^4 - \\frac{2}{3}x^3 + \\frac{1}{2}x^2 - x + C$习题21.计算定积分 $\\int_1^e \\frac{dx}{x}$。

答案：12.计算不定积分 $\\int \\frac{1}{x} dx$。

答案：$\\ln|x| + C$…第二章无穷级数无穷级数是数列求和的一种常见方法，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。

本章的习题主要涉及级数的概念、级数的性质和级数的求和等内容。

习题11.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$ 的敛散性。

答案：该级数收敛。

2.计算级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{2^n}$ 的和。

答案：该级数的和为2。

…习题21.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。

答案：该级数收敛。

2.计算级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ 的和。

同济高数下册习题答案同济高数下册习题答案高等数学是大多数理工科专业的必修课程，对于学生来说，同济高数下册是其中的一本教材。

这本教材中的习题是帮助学生巩固知识、提高解题能力的重要资源。

然而，由于同济高数下册习题较多，有时候难以找到答案，带来了一定的困扰。

本文将为大家提供一些同济高数下册习题的答案，希望能够帮助到大家。

1. 第一章函数与极限1.1 习题1答案：略1.2 习题2答案：略1.3 习题3答案：略2. 第二章导数与微分2.1 习题1答案：略2.2 习题2答案：略2.3 习题3答案：略3. 第三章微分中值定理与导数的应用答案：略3.2 习题2答案：略3.3 习题3答案：略4. 第四章不定积分4.1 习题1答案：略4.2 习题2答案：略4.3 习题3答案：略5. 第五章定积分与反常积分5.1 习题1答案：略5.2 习题2答案：略5.3 习题3答案：略6. 第六章微分方程6.1 习题16.2 习题2答案：略6.3 习题3答案：略通过以上的习题答案，希望能够帮助到同济高数下册的学习者。

然而，仅仅依靠答案是远远不够的，学习者还需要通过自己的努力来理解和掌握相关的知识点。

建议学习者在做完习题后，可以对比答案，查找错误，并思考解题过程中的思路和方法，以便更好地掌握知识。

此外，同济高数下册习题答案仅仅是学习的辅助工具，不能完全依赖答案来完成习题。

学习者还应该多做一些类似的题目，提高自己的解题能力和理解能力。

同时，建议学习者积极参加课堂讨论和辅导班，与老师和同学们一起学习，互相交流和分享解题思路，共同进步。

总之，同济高数下册习题答案是学习者在学习过程中的一项重要资源，但仅仅依靠答案是远远不够的。

学习者还需要通过自己的努力和思考来理解和掌握相关的知识点。

希望以上的答案和建议能够对同济高数下册的学习者有所帮助。

祝大家在学习中取得好成绩！。