《高等数学》第一章综合练习题（一）参考答案
一、填空题 1．函数()ln =
--1
42
y x x 的定义域为{1,2,3,4}x x R x ∈≠且 。
提示：即解不等式组40ln 2020
x x x ⎧-≠⎪
-≠⎨⎪
-≠⎩，可得1,2,3,4x ≠
2．设函数)(x f 的定义域为]11[，-，则)13(2
++x x f 的定义域为[3,2][1,0]--- 。 提示：即解不等式：2
1311x x -≤++≤。
3．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(sin )f x 的定义域为[2,2]k k πππ+ 。 提示：即解不等式0sin 1x ≤≤。
4．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为3[2,2]2
2
k k π
π
ππ++
。 提示：即解不等式1cos 0x -≤≤
5．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为1
[0,tan1]2
。 提示：即解不等式0arctan 21x ≤≤，可得02tan1x ≤≤ 6
．函数y =
的定义域为(1,1]- 。
提示：即解不等式组11020x x -≤≤⎧⎪
≠⎨⎪+>⎩
，可得11x -<≤
7．若极限223lim
2x x x a
b x
→-+=-，则=a 2 ，b =1-。 提示：要使此极限存在，则2
2
lim(3)0x x x a →-+=，即20a -=，所以2a =；
又222232(2)(1)
lim
lim lim(1)122x x x x x x x x x x
→→→-+--==-=---，所以1b =-。 8．若0x →
cos x 与n
mx 是等价无穷小，则=
m 1
4
，n = 2 。
提示：由于0
cos n x x x mx →→=
20x →=
22200,2
sin 11lim ,2
4,2
n
x n x x n x m
m n -→<⎧⎪⎪=⋅==⎨⎪∞>⎪⎩
所以2n =，1
4
m =
。 9．若0x →时函数tan sin x x -与n
mx 是等价无穷小，则=
m 1
2
，n = 3 。 提示：000sin sin tan sin sin (1cos )cos lim lim lim cos n n n x x x x
x
x x x x x mx mx mx x
→→→---== =33301
)cos 1(cos 1sin lim -→⋅+⋅n x mx x x x
x 30
0,31
1lim ,322,3
n x n x n m m n -→<⎧⎪⎪=
==⎨⎪∞>⎪⎩， 由提示知，0tan sin lim
1n x x x mx →-=，所以1
,32
m n ==。 10．若3
2(1)lim[]0(1)x x ax b x →∞+--=-，则a = 1 ，b = 5 。
提示：因为3
2
(1)lim[
]0(1)x x ax b x →∞+--=-， 即3
2
(1)lim 1(1)x x a x x →∞+==-
则3
2
(1)lim[
]5(1)x x b x x →∞+=-=- 11．若221lim 21
x x ax b
x →++=-，则a = 2 ，b =3-。 提示：要使此极限存在，则2
1
lim()0x x ax b →++=，即10a b ++=，所以1a b =--；
又22111(1)()(1)1lim lim lim 21(1)(1)12
x x x x b x b x b x x b b
x x x x →→→-++----====--++，所以3b =-，2a =。
12. 极限0
2sin 3lim[sin
]x x x x x
→+= 3 。 提示： 第一个极限用的是有界函数与无穷小的乘积还是无穷小;第二个极限用的是第一个重要极限。
13. 极限3sin 2lim[sin
]x x x x x
→∞+= 3 。
提示：3sin
3sin 21lim[sin ]lim3lim sin 23033x x x x x x x x x
x x
→∞→∞→∞+=⋅
+=+= 注意与第六题的不同之处。
14．若1x →时，2(1)1m
x x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是(2,)+∞ 。
提示：222111
,2(1)(1)111lim lim lim(1),211220,2
m
m m x x x m x x x x m x x m --→→→∞<⎧-⎪-⎪-==-==⎨-+⎪>⎪⎩
由题意2(1)1m x x --是比1x -高阶的无穷小知，21(1)1lim 01
m x x x x →--=-，所以2m >。 15．若12
lim(
)0k k
k
n n
n n n →∞
+++
=，则k 的取值范围是(2,)+∞。 提示：22,21
12
1120lim(
)lim lim ,222
0,2
k k
k k k n n n k n n n k n n n n n k →∞
→∞→∞∞<⎧+⎪+⎪=+++====⎨⎪>⎪⎩ 16．函数3arccos
2x y =的反函数是2cos [,]3
x y x ππ=∈- 。
17. 函数221x x y =+的反函数是2
log (0,1)1x
y x x
=∈- 。
18． 如果lim(
)4x
x x a x a
→∞
+=-，则=a ln 2 。 提示：22224lim(
)lim 1x a
a a a
x a x x x a a e x a x a -⋅+→∞
→∞+⎛
⎫==+= ⎪--⎝⎭
所以：ln 4
ln 22
a ==。 19． 如果201cos ()3lim ()x x f x f x x
→-=
+，则0lim ()x f x →=1
4- 。
