第9讲 全等三角形的性质和判定
【知识要点】
1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。
2.全等三角形性质：(1)两全等三角形的对应边相等，对应角相等．
(2)全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等.
(3)全等三角形的面积相等．
3．全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA”
(3) “边边边”或“SSS” (4) “角角边”或“AAS” (5) “斜边、直角边”或“HL”
【典型例题】
例1. 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在 要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法 是 _________。
A.带①去
B. 带②去
C. 带③去
D. 带①和②去
【变式】判断题
1．两边和一角对应相等的两个三角形全等。 （ ） 2．两角和一边对应相等的两个三角形全等。 （ ） 3．两条直角边对应相等的两个三角形全等。 （ ） 4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等。 （ ） 5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等。 （ ） 6．两个等边三角形全等。 （ ） 7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） 8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等; （ ） 9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等; （ ） 10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． （ ）
例2. （长沙·中考题）已知: AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ， 求证：∠B=∠E
【变式】（红河·中考题）已知：OA=OB ，AC=BD ，∠A=∠B ，M 为CD 中点， 求证：OM 平分∠AOB
A B
C
D E
F A
B
C O D
②
① ③
例3. （上海·中考题）已知：E 是正方形ABCD 边AD 上任意一点，FG⊥BE。
求证：FG=BE 。
【变式】（湖北·中考题）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．
求证：① AE ＝CD ； ② 若AC ＝12 cm ，求BD 的长．
例4. （四川·中考题）已知：如图，AC∥BD，EA 、EB 分别平分∠CAB、∠DBA，CD 过
点E 。 求证：AB=AC+BD
【变式】（云南·中考题）已知△ABC 是等腰直角三角形,∠A=90º，BE 平分∠ABC，CE⊥EB 垂足为E 。求证：BD=2CE
C A
E B D A
B
C E D
A
B
C
D
E F
G
B A D
E F O C A D C B 例5. （江苏·中考题） 如图，已知在△ABC 中，∠A= 90，∠C 的平分线交对边AB 于点E ，交斜边上的高AD 于O ，过点O 作OF∥CB 交AB 于F ，求证：AE=BF ．
【变式】（兰州·中考题）已知：如图，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN，连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q ．求证：PQ∥AB．
【名书·名校·竞赛·中考在线】
1．（山东·中考题）如图，已知△ABC 中，∠B 是锐角，且∠B=2∠C，AD 是BC 边上的高． 求证：AB+BD=DC
2. （扬州·中考题）已知：四边形ABCD 是正方形,M 为BC 上任意一点，MN ⊥AM ，且MN 交∠ECD 的平分线于N 。求证：AM=MN
A B C D M N
E
3．(湖州·中考题)如图，已知AB=AC ，DE=DF ，求证：BE=CF ．
4. 已知: 正方形ABCG 和正方形CDEF 有公共顶点C 。 试证：BF=DG
5.已知：如图,D 是△ABC 的边BC 上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE 是△ABD 中线, 求证: AC=2AE.
6. 如图，有四个奶酪将A 、B 、C 、D 它们分布情况是:AB∥DC,AD∥BC, 聪明的小老鼠哼哼和唧唧分别从B 站,D 站出发沿垂直于AC 的路径BE 、DF 去寻找奶酪。 假设AC 上堆满了奶酪,哼哼和唧唧的速度相同,问它俩谁最先寻找到奶酪? 为什么?
B
D
F
E
A
C
A
B C
D
E
F G
A B
D
E C
A
B
C D F E O
B
A
D E C 家庭作业
学号： 姓名：______ 作业等级：______
第一部分：
1.如图，AB=DC ，AD=BC ，且BE=DF ，若∠AEB=100º，
∠ADB=30º，则∠BCF=________。
2. 如图，AB=CD ，AD=BC ，O 为BD 中点过O 点作直线与DA 、BC 延长线交于E 、F ， 若∠ADB=60º，EO=10，则∠DBC= ，FO= 。
3. 如果⊿ABC≌⊿ADC，AB=AD ，∠B=70º，BC=3cm,那么∠D= 度，DC= cm 。
4. 已知⊿ABC≌⊿EFG，有∠B =68º，∠G -∠E=56º，则∠C= 度。
5. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑
梯水平方向的长度DF 相等。若∠CBA=320
，则∠FED= ，∠EFD= 。
第二部分：
6. 如图,已知∠DCE=90°,∠DAC=90°,BE⊥AC 于B,且DC=EC, 能否找出与AB+AD 相等
的
线段,并说明理由.
A
B
C
D
E F
