北师大版数学七年级下全等三角形

例1、如图（1），已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由.若将过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况时，其他条件不变，那么图（1）中∠1与∠2的关系还成立吗？请说明理由.分析：要寻求∠1与∠2的关系，从直观上先判断出∠1=∠2，然后再说明结论成立的理由.由图形可知它们分别在两个三角形中，所以可以通过全等三角形来说明；另外，∠1，∠2正好是MN 截AD、BC得到的一对内错角，因而可从AD∥BC来说理.比较（2）、（3）与（1）的关系，图形的位置变了，仔细观察，什么发生变化，什么没有发生变化？可知∠1仍然等于∠2，因为AD与BC 的平行关系始终没有改变.解：∠1与∠2具有相等关系，即∠1=∠2，理由如下：在△ACD与△CAB中∴△ACD≌△CAB∴∠DAC=∠BCA在△AOM与△CON中∴△AOM≌△CON，∴∠1=∠2若将过点O的直线旋转至图（2）、（3）的位置时，∠1=∠2仍然成立，理由如下：如图（2），在△ACD与△CAB中∴△ACD≌△CAB∴∠DAC=∠BCA.∴在△AOM与△CON中∴△AOM≌△CON∴∠1=∠2.如图（3）在△ACD与△CAB中∴△ACD≌△CAB，∴∠DAC=∠BCA∴AD∥BC，∴∠1=∠2.例2、如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交CD的延长线于F，BE⊥CD 于E，求证：EF=CF－AF.分析：由图中可以看出EF=CF－CE，而求证结论是EF=CF－AF，因此，只要证出CE=AF即可，而要证明CE=AF，只要证明△BEC和△CFA全等就可得到.证明：∵AC⊥BC，AF⊥FC，∴∠ACB=90°，∠F=90°即∠ACF＋∠BCE=90°∵BE⊥FC，∴∠BEC=90°∴∠ACF=∠CBE在△AFC和△CBE中△AFC≌△CBE，∴BE=DF又EF=CF－CE，∴EF=CF－AF.例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长.证明：（1）∵CF⊥AE，∴∠4=90°∠3＋∠2=90°又∵∠1＋∠3=90°∴∠1=∠2又∵DB⊥BC∴∠DBC=∠ACE=90°在△DBC和△ECA中∴△DBC≌△ECA∴DC=EA 即AE=CD（2）∵△DBC≌△ECA∴DB=EC又∵AE是BC边的中线又∵AC=CB，AC=12cm例4、如图所示，已知在四边形AB CD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线AC相交于点O，请问O点有何特征.解：点O既是AC的中点，又是EF的中点.理由如下：在△ACD和△CAB中∴△ACD≌△CAB∴∠1=∠2在△AOF和△COE中∴△AOF≌△COE∴OA=OC，OF=OE∴O既是AC的中点，又是EF的中点.例5、如图，AD∥BC，AB∥DC，MN=PQ，求证：DE=BE.证明：∵AD∥BC，∴∠M=∠Q又∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠3=∠4又∵MN=PQ，∴MP=QN在△DMP和△BQN中∴△DMP≌△BQN∴DP=BN在△DEP和△BEN中∴△DEP≌△BEN∴DE=BE例6、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.证明：延长BA、CE交于点F.∵∠3=90°，∴∠5＋∠F=90°又∵BE⊥CE，∴∠4=90°，∠7=90°∴∠1＋∠F=90°，∠6=180°－90°=90°∴∠1=∠5在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF∴BD=FC在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC例7、如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解析：(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD．(2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立．如图，在AC上截取AG=AE，连结FG，因为∠1=∠2，AF为公共边，可证△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，可得∠2+∠3=60°．所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．所以∠CFG=60°．由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD．所以FG=FD．所以FE=FD．例8、已知线段AC与BD相交于点O，连结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连结EF(如图所示)．(1)添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE．求证：AB=DC．(2)分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③；添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是____命题，命题2是_____命题(选择“真”或“假”填入空格)．解析：(1)证明：∵∠1=∠2，∴OE=OF．∵OB=2OE，OC=2OF，∴OB=OC．在△AOB和△DOC中，∴AB=DC．(2)命题1真，命题2假．详解：（Ⅰ）在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD(AAS)，∴OB=OC．(Ⅱ)如图，AB=DC，∠OEF=∠OFE，而∠A≠∠D．例9、此题有A、B、C三类题目，其中A类题4分，B类题6分，C类题8分，请你任选一类做，多做的题目不记分.（A类）已知：如图（1）所示，AB=AC，AD=AE，那么∠B=∠C.（B类）已知：如图（2）所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于D，BD、CE交于点O，且AO 平分∠BAC，那么OB=OC.（C类）如图（3）所示，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出推理过程.（A类）证明：在△ABD和△ACE中，所以△ABD≌△ACE（SAS）.所以∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）（B类）证明：因为AO平分∠BAC，∠EAO=∠DAO，又因为CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，所以∠AEO=∠ADO=90°，OA=OA.所以△AEO≌△ADO（AAS）.所以OE=OD.在△BOE和△COD中，所以△BOE≌△COD（ASA）.所以OB=OC（全等三角形的对应边相等）.（C类）解：△BDH≌△ADC.推证如下：因为△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，所以，BD=AD，∠BDH=∠ADC=90°，HD=CD.所以，△BDH≌△ADC（SAS）.达标测试：1、已知：如图AB=DC，AC=DB，求证：OB=OC.证明：连结BC，在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB∴∠A=∠D在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC∴OB=OC2、如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD，AE=BC，DE=DC，求证：DE⊥AB.证明：在△AED和△BCD中∴△AED≌△BCD∴∠1=∠C又∵∠C=90°∴∠1=90°∴DE⊥AB3、如图，A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：（1）DF//CE；（2）DE=CF.证明：（1）∵AD=BC，∴AC=BD在△AEC和△BFD中∴△AEC≌△BFD∴∠1=∠2∴DF//CE（2）在△DEC和△CFD中∴△DEC≌△CFD ∴DE=CF4、如图，AB=AC，BE=CE，求证：（1）AE平分∠BAC；（2）AD垂直平分BC.证明：（1）在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE∴∠1=∠2∴AE平分∠BAC（2）在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD∴BD=CD，∠3=∠4又∵∠3＋∠4=180°∴∠3=90°∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC.5、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：证明：延长AM到D，使MD=AM连结BD，∵AM是BC边上的中线，∴BM=MC在△ACM和△DBM中∴△ACM≌△DBM∴AC=BD又∵△ABD中AB＋BD>AD而AD=2AM，∴【巩固练习】1、如图所示，已知AC=AD，BC=BD，则全等的三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对2、如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于E，给出3个论断：①DE=EF；②AE=CE；③FC∥AB.以其中两个论断为条件，其余一个论断为结论，可以作出3个命题，其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．0个D．3个3、如图所示，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙C．只有乙 D．只有丙4、下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等5、如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（）A．∠M=∠N B．AC=BDC．AM=CN D．AM∥CN6、如图，AB=CD，AD=CB，AC、BD交于O，图中有（）对全等的三角形A．2 B．3C．4 D．57、下列各组条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′全等的是（）A．AC=A′C′，BC= B′C′，∠C=∠C′B．∠A=∠A′，BC= B′C′，AC= A′C′C．∠A=∠A′，∠C=∠C′，BC= B′C′D．AB= A′C′，BC= C′B′，AC= A′B′8、下列命题中正确的个数是（）①有一边相等的两个等边三角形全等②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等③各有两边长分别是5cm，4cm的两个等腰三角形全等④判定三角形全等的条件中，至少要有一对对边对应相等.A．1 B．2C．3 D．49、如图，AB//DE，CD=BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是（）A．AC=EF B．DF=BCC．∠A=∠E D．不用补充10、如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于点E，则下列结论错误的是（）A．∠DAE=∠CBE B．△DAE与△CBE不能全等C．CE=DE D．△AEB为等腰三角形CDBDC CBBCB11、（1）如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE=BD－CE.（2）如将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它不经过△ABC的内部，再作BD⊥AN 于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？如存在，请证明你的结论？（1）证明：∵BD⊥AE，∴∠4=90°，∴∠1＋∠3=90°.又∵∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠2，又∵CE⊥AE，∴∠5=90°.在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD－CE=AE－AD，即DE=BD－CE.（2）存在，即为DE=DB＋CE,证明：∵∠2=90°，∠1+∠2+∠3=180°∴∠1+∠3=90°又∵BD⊥DE，CE⊥DE∴∠5=∠6=90°，∴∠3+∠4=90°∴∠1=∠4在ΔADB和ΔCEA中，∴ΔADB≌ΔCEA（AAS）∴DB=AE，AD=CE又∵DE=AD+AE，∴DE=DB+CE.12、如图所示，已知AD//BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C，求证：AD＋BC=AB.分析：直接证AB=AD＋BC较难，可以采用“截长法”，在AB上截取AF=AD，则只要证BC=BF即可，要证BC=BF，需证△EFB≌△ECB，而在这两个三角形中已有两个条件即∠3=∠4，BE=BE，还缺少一个条件，由作辅助线可知：△ADE≌△AFE.则证∠D=∠AFE.，又∠C与∠D互补，∠BFE与∠AFE互补，则推出∠BFE=∠C.于是可证得△EFB≌△ECB，从而证得原题成立.证明：在AB上截取AF，使AF=AD，连接EF.在△ADE和△AFE中，所以△ADE≌△AFE（SAS），所以∠ADE=∠AFE（全等三角形的对应角相等）.因为AD//BC（已知），所以∠D＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠BFE＋∠AFE=180°（平角的定义），所以∠BFE=∠C（等角的补角相等）.在△EFB和△ECB中，所以△EFB≌△ECB（AAS）.所以BF=BC（全等三角形的对应边相等）.所以AB=AD＋BC.。

AFE全等三角形知识点一：全等形的有关概念1、全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3、对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点；重合的边叫对应边，重合的角叫做对应角.（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 4、“全等”的符号：“≅”，读作“全等于”.知识点二：从运动的角度看全等三角形的生成方法1、翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素；2、旋转法：三角形沿某一点旋转一定的角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素；3、平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素. 知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积相等. 例题一：1、下列命题中，真命题的个数是（ ）． ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2、如图，△ABC ≌△ADE ，其中C 和E ，B 和D 是对应点，写出其他的对应边和对应角．3、已知△ABC ≌△MNP ，∠A=48°，∠N=62°，则∠B=______°，∠C 、∠M 、∠P 的度数分别为__________， __________， __________.4、已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°，求∠ADB 的度数.5、如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．ABDCEDCABE EDCBA6、已知：如图，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE ． 练习一：1、如图，如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____．第1题图 第2题图 第3题图2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°3、如图所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____， ∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边___________________；（3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边___________________，对应角______________________． 4、如图，若ΔABE ≌ΔACD ，AB=8cm ，AD=5cm ，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_______，∠C=_______. 5、如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知∠DAE=43°，∠B=30°，求ADC ∠的大小.6、如图，已知△EAD ≌△ABC ，求证：CD+BC=AC.AB C D EFE DCBA第4题FE DCBA 7、如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠BEA=135°，求∠C 的度数. 例题二：7、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC 的度数.练习二：9、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为________度．10、如图，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于（ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC第9题 第10题 第11题11、如图, 在平行四边形ABCD 中, 将△ABE 沿BE 翻折, 点A 落在CD 边上, 成为点F, 如果△DEF 和△BCF 的周长分别是8cm 和22cm, 那么FC 的长度为_______________.综合：如图，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论．例题三：F EDC BA 8、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ） A 、15° B 、20° C 、25°D 、30°9、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB=( ) A 、40° B 、30° C 、20° D 、10° 练习三：12、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A 、70°B 、65°C 、50°D 、25°13、如图，将直角三角形BCA 沿BC 方向平移得到△FED ， H 是线段AC 和FD 的交点.如果ED=9, BF=4, AH=3, 那么四边形FBAH 的面积是_______________.例8题图 例9题图 练习12题图 练习13题图课 后 作 业1、△ABC 和△DEF 是全等三角形，若AB=DE ，∠B=50°，∠C=70°，∠E=50°，则∠D 的度数是_____．2、△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=________.3、如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，△AOB 绕O 旋转180º，可以与△___________重合，这说明△AOB ≌△___________.这两个三角形的对应边是AO 与__________，OB 与__________，BA 与__________；对应角是∠AOB 与________，∠OBA 与_________, ∠BAO 与___________.4、已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、如图，△ABC ≌△CDA ，AC ＝7cm ，AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，则AD 的长是（ ）A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、6cm6、如图所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.5EDB C′FCD ′AA 'B DAC A CD7、已知△DEF ≌△ABC ，AB=AC ，且△ABC 的周长是23cm ，BC=4cm ，则△DEF 的边长中必有一边等于（ ） A 、9.5cm B 、9.5cm 或4cm C 、9cm D 、4cm 或9cm8、如图，已知△ABC ≌△DBE ，∠BDA=∠A ．若∠A ：∠C=5：3，则∠DBE 的度数是（ ） A ．100° B ．80° C ．60° D ．120°9、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25°10、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11、如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.12、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，求∠DGB 的度数.第6题图FE CBA 第9题图第10题图第8题图DCB AE。

全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一 全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【例2】 如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．【例4】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】 （成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．2、不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（ ）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】 如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】 如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】 以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．【例6】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】 如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题 角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】 如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】 如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】 正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】 如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】 如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。

直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离知识点一：直角三角形的判定 1、直角三角形全等的判定条件——HL 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 2、直角三角形全等的判定方法的综合运用. 判定两个直角三角形全等的方法有五种，即 SSS、SAS，ASA、AAS，HL. 3、判定条件的选择技巧 （1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如 SSS，因为有两边对应相 等就能够判定两个直角三角形全等. （2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等. （3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考： ①是有两边相等的，可以先考虑用 HL，再考虑用 SAS； ②是有一锐角和一边的，可考虑用 ASA 或 AAS. 例1、如图所示，有两个长度相等的滑梯（即 BC=EF） ，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯的水平方向的长度 DF 相 等，则∠ABC＋∠DFE=________.分析： 本题解决问题的关键是证明 Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具. 解： 由现实意义及图形提示可知 CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为 BC=EF，AC=DF，可知 Rt△ABC ≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°. 例2、如图所示，△ABC 中，AD 是它的角平分线，BD=CD，DE、DF 分别垂直于 AB、AC，垂足为 E、F.求证 BE=CF.解： （垂直的定义） 在△AED 和△AFD 中， （角平分线的定义） （公共边） 所以△AED≌△AFD（AAS）. 所以 DE=DF（全等三角形的对应边相等）. （已知） 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， （已证） 所以 Rt△BDE≌△Rt△CDF（HL）. 所以 BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3、如图所示，已知 AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F 为垂足，求证：CF=DF.分析：要证 CF=DF，可连接 AC、AD 后，证△ACF≌△ADF 即可. 证明： 连结 AC、AD.在△ABC 和△AED 中，所以 AC＝AD（全等三角形的对应边相等）. 因为 AF⊥CD（已知） ，所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）. （已证） 在 Rt△ACF 和 Rt△ADF 中， （公共边） 所以 Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）. 所以 CF=DF（全等三角形的对应边相等）. 例4、已知在△ABC 与△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，且 AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断 △ABC 与△A′B′C′是否全等，说说你的理由. 分析： 分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论. 解： 情形一，如果△ABC 与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为 CD、C′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高. 所以∠ADC=∠A′D′C′=90°. 在△ADC 和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，则∠A=∠A′. 在△ABC 与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）. 情形二，当△ABC 为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC 与△A′B′C′不全等. 情形三，当△ABC 与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由 CD、C′D′分别为△ABC 和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°， 在 Rt△ADC 和 Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′ ∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′. ∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC 与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′. 例5、阅读下题及证明过程： 如图，已知 D 是△ABC 中 BC 边上的一点，E 是 AD 上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE. 证明：在△ABE 和△ACE 中∴△ABE≌△ACE ∴∠ABE=∠ACE第一步 第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你 认为正确的证明过程. 分析： 用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由 题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重 新构造出全等三角形. 解： 上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下： 过 E 作 EG⊥AB 于 G，EH⊥AC 于 H.如图所示 则∠BGE=∠CHE=90° 在△AGE 与△AHE 中∴△AGE≌△AHE ∴EG=EH 在 Rt△BGE 与 Rt△CHE 中，EG=EH， BE=CE. ∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6、已知：如图所示，AD 为△ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE ⊥AC； （2）若把条件 BF=AC 和结论 BE⊥AC 互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为 AD⊥BC（已知） ，所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义） ，∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互 余）. （已知） 在 Rt△BDF 和 Rt△ADC 中， （已知） 所以 Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）. 所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）. 因为∠1＋∠2=90°（已证） ，所以∠1＋∠C=90°. 因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°） ，所以∠BEC=90°. 所以 BE⊥AC（垂直定义） ； （2）证明：命题成立，因为 BE⊥AC，AD⊥BC， 所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）. 所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°. 所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）. （已证） 在△BFD 与△ACD 中， （已证） （已知） 所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以 BF=AC（全等三角形的对应边相等）. 知识二：利用三角形全等测距离 通过探索三角形全等，得到了“边边边” ， “边角边” ， “角边角” ， “角角边”定理，用这些定理能够判断两个三 角形是否全等，掌握了这些知识，就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．体会数学与生活的密切联系， 能够利用三角形全等解决生活中的实际问题． 在解决实际问题时确定方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离（即把距离的测量转化 为三角形全等的问题） ．例1、如图，有一湖的湖岸在 A、B 之间呈一段圆弧状，A、B 间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或 方法设计测量方案，求出 A、B 间的距离吗？答案： 要测量 A、B 间的距离，可用如下方法： （1）过点 B 作 AB 的垂线 BF，在 BF 上取两点 C、D，使 CD＝BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条 直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE＝BA．•即测出 DE 的长就是 A、B 之间的距离． （如图甲）（2）从点 B 出发沿湖岸画一条射线 BF，在 BF 上截取 BC＝CD，过点 D 作 DE∥AB，使 A、•C、E 在同一直线 上，这时△EDC≌△ABC，则 DE＝BA．即 DE 的长就是 A、B 间的距离． （•如图乙） 例2、如图、小红和小亮两家分别位于 A、B 两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．分析： 本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通 过测量这个三角形中与 AB 相等的线段的长，就可求出两家的距离． 方案： 如图，在点 B 所在的河岸上取点 C，连接 BC 并延长到 D，使 CD＝CB，利用测角仪器使得∠B＝∠D，A、C、 E 三点在同一直线上．测量出 DE 的长，就是 AB 的长．因为∠B＝∠D，CD＝CB，∠ACB＝∠ECD，所以△ACB≌△ECD， 所以 AB＝DE．知识点三：尺规作图 1、用尺规作三角形的根据是三角形全等的条件. 2、尺规作图的几何语言 ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连接两点××；或连接××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； ④在××上截取××＝××； ⑤以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧） ； ⑥以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ⑦分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×． 3、用尺规作图具有以下三个步骤 ①已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； ②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； ③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹. 对于较复 杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 例1、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知： ∠α ，∠β ，线段 c(如图)．求作：△ABC，使∠A＝∠α ，∠B＝∠β ，AB＝c． 请按照给出的作法作出相应的图形．例2、如图，已知线段 a，b，c，满足 a＋b>c，用尺规作图法作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，AB＝c. 错误作法：(1)作线段 AB＝c； （2）作线段 BC＝a； （3）连接 AC，则△ABC 就是所求作的三角形(如图).分析： 本题第2步作线段 BC＝a，在哪个方向作，∠CBA 的度数是多少是不确定，所以这步的作法不正确，不能保 证 AC 的长一定等于 b．错误的原因在于没有真正理解用尺规作三角形的方法． 正确作法：（1）作射线 CE； （2）在射线 CE 上截取 CB＝a； （3）分别以 C，B 为圆心，b，c 长为半径画弧，两弧交于点 A．连接 AC、AB，则△ABC 为所求作的三角形 (如图)．例3、已知两边和其中一边上的中线，求作三角形． 已知线段 a、b 和 m． 求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，BC 边上的中线等于 m.分析： 如果 BC 已作出，则只要确定顶点 A．由于 AD 是中线，则 D 为 BC 的中点，A 在以 D 为圆心，m 为半径的圆 上，又 AC＝b，点 A 也在以 C 为圆心 b 为半径的圆上，因此点 A 是这两个轨迹的交点． 作法： 1、作线段 BC＝a． 2、分别以 B、C 为圆心，大于 长为半径画弧，在 BC 两侧各交于一点 M、N，连接 M、N 交 BC 于点 D． 3、分别以 D 为圆心，m 长为半径作弧，以 C 为圆心，b 长为半径作弧，两弧交于点 A． 4、分别连接 AB、AC． 则△ABC 就是所求作的三角形． 思考： 假定△ABC 已经作出，其中 BC＝a，AC＝b，中线 AD＝m．显然，在△ADC 中，AD＝m，DC＝ ，AC＝b，所 以△ADC 若先作出．然后由 BD＝ 的关系，可求得顶点 B 的位置，同样可以作出△ABC．作法请同学们自己写出．达标测试： 1、如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为 B、C，且 BD=CD，求证：AD 平分∠BAC.证明： ∵DB⊥AB，DC⊥AC ∴∠B=∠C=90° 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） ∴∠1=∠2 ∴AD 平分∠BAC. 2、如图，已知 AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD 和 BC 相交于点 E，求证： （1）CE=BE； （2）CB⊥AD.证明：（1）∵AB⊥BD，AC⊥CD ∴∠ABD=∠ACD=90° 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ∴∠1=∠2 在△ABE 和△ACE 中∴△ABE≌△ACE（SAS） ∴BE=CE 即 CE=BE （2）∵△ABE≌△ACE ∴∠3=∠4 又∵∠3＋∠4=180° ∴∠3=90° ∴CB⊥AD 3、如图，已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板作出它的平分线吗？说明方法与理由.解： 能. 作法： （1）在 OA，OB 上分别截取 OM=ON （2）过 M 作 MC⊥OA，过 N 作 ND⊥OB，MC 交 ND 于 P （3）作射线 OP 则 OP 为∠AOB 的平分线 证明：∵MC⊥OA、ND⊥OB ∴∠1=∠2=90° 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中 ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL） ∴∠3=∠4 ∴OP 平分∠AOB. 4、如图，AB=AD，BC=DE，且 BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明 AM=AN 吗？解：能. 理由如下： ∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）∴∠C=∠E，AC=AE 在△AMC 和△ANE 中∴△AMC≌△ANE（ASA） ，∴AM=AN. 5、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E、F，且 AE=BF，AD=BC，则 （1）△ADF 和△BEC 全等吗？为什么？ （2）CM 与 DN 相等吗？为什么？解： （1）△ADF≌△BCE，理由如下： ∵CE⊥AB，DF⊥AB ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90° 又∵AE=BF，∴AF=BE 在 Rt△ADF 和 Rt△BCE 中∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL） （2）CM=DN，理由如下： ∵△ADF≌△BCE ∴DF=CE，∠A=∠B 在△AME 和△BNF 中∴△AME≌△BNF（ASA） ∴ME=NF，又∵CE=DF ∴MC=ND. 6、如图所示，已知线段 a，b，∠α ，求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α ，•根据作图在下面空格中 填上适当的文字或字母． （1）如图甲所示，作∠MCN＝________； （2）如图乙所示，在射线 CM 上截取 BC＝________，在射线 CN 上截取 AC＝________． （3）如图丙所示，连接 AB，△ABC 就是_________．答案：∠α ，a，b，所求作的三角形. 7、已知线段 a 及锐角α ，求作：三角形 ABC，使∠C＝90°，∠B＝∠α ，BC＝A．作法： （1）作∠MCN＝90°； （2）以 C 为圆心，a 为半径，在 CM 上截取 CB＝a； （3）以 B 为顶点，BC 为一边作∠ABC＝∠α ，交 CN 于点 A．连接 AB，则△ABC 即为所求作的三角形． 8、你一定玩过跷跷板吧！如图是贝贝和晶晶玩跷跷板的示意图，支柱 OC 与地面垂直，点 O 是横板 AB 的中点， AB 可以绕着点 O 上下转动，当 A 端落地时，∠OAC＝20°． （1）横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是多少？ （2）在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度 AA′，BB′有何数量关系？为什么？解： （1）∵OC⊥AB′，∠OAC＝20°， ∴∠AOC＝90°－20°＝70°， 同理可求∠B′OC＝70°， ∴∠AOA′＝180°－2×70°＝40°； （2）AA′＝BB′， 如图所示，连接 AA′、BB′， ∵AB＝A′B′，∠BAB′＝∠A′B′A，AB′＝B′A， ∴△A′AB′≌△BB′A，∴AA′＝BB′． 9、有一池塘，要测池塘两端 A、B 间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长 到 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB，连接 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A、B 之间的距离。

第02讲_全等三角形知识图谱全等三角形知识精讲一．全等的概念与性质三点剖析一．考点：全等的概念，全等三角形的性质二．重难点：全等三角形的性质三．易错点：利用全等的性质时容易忽略对应关系，导致找错对应边或对应角．全等图形例题1、 下列图形中，与右图全等的是（ ）全等图形（1）能够完全重合的两个图形就是全等图形（2）平移、旋转、对称前后的图形是一组全等图形四边形四边形全等多边形（1）相互重合的顶点为对应点，相互重合的边为对应边，相互重合的 角为对应角 （2）对应边、对应角分别相等全等三角形的性质 （1）对应边相等 （ 2）对应角相等（3）对应边上的高相等 （4）周长、面积相等易错点：1.利用全等的性质时注意不要找错对应边或对应角A B C DA.A选项B.B选项C.C选项D.D选项【答案】A【解析】观察图形上实心点与空心点的位置得出全等图形即可，原图与选项A全等．例题2、下列说法中，错误的是（）A.全等三角形的周长相等B.全等三角形的对应角相等C.全等三角形的面积相等D.面积相等的两个三角形全等【答案】D【解析】暂无解析随练1、用两个全等的直角三角形（非等腰直角三角形）拼成凸四边形，拼法共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】B【解析】拿两个“90︒，60︒，30︒”的三角板试一试即可得．随练2、如图，ADE BDE≌，若ADC∆∆∆的周长为12，AC的长为5，则CB的长为（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】解：∵ADE BDE∆≅∆，∴DA DB=，AC=，∴7BC=，故选B．=++=++=+=，又5ADC∆的周长12AC CD AD AC CD BD AC BC随练3、下图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=___________．【答案】27cm【解析】因为AB=3cm，所以CD=2AB=6cm，所以AF=3AB+3CD=3×3+3×6=27（cm）．全等三角形的性质例题1、下列命题中正确的是（）A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等C.全等三角形的角平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等【答案】D【解析】全等三角形的对应边相等，对应角相等．同时，全等三角形对应边上的高、对应边上的中线，对应角的角平分线也分别相等，一定要注意“对应”二字．例题2、如图，在△ABC中，AB＝AC，E、D分别为AB、AC边上的中点，连接BD、CE交于O，此图中全等三角形的对数为（）对．A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵AE＝BE，AD＝DC，∴BE＝DC，∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB，∴∠ECB＝∠DBC，∴∠EBO＝∠DCO，∵BE＝CD，∴∠BOE＝∠COD，∴△BOE≌△COD，∵∠A＝∠A，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE，共有3对全等三角形．例题3、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C【答案】A【解析】暂无解析例题4、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB ＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，故①正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF＝BC，故③正确；∠EAB＝∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．例题5、 如图，△ABC 一个等腰三角形，其中AB ＝A C ．分别以AB ，AC 为腰向外作等腰三角形△ADB 和△ACE ，且∠BAD ＝∠CAE ＝84°，连接CD 和BE ，相交于点F ，连接AF ，则∠AFD 的度数为________．【答案】 48°【解析】 暂无解析随练1、 下列四个命题中，真命题的是（ ） A.相等的圆心角所对的弧相等 B.同旁内角互补 C.平行四边形是轴对称图形 D.全等三角形对应边上的高相等 【答案】 D【解析】 A 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等； B 、两直线平行，同旁内角互补； C 、平行四边形是中心对称图形； D 、全等三角形对应边上的高相等 随练2、 已知∆≅∆ABC DEF ，DEF ∆的周长为32cm ，9cm 12cm DE EF ==，，则AB =________，BC =________，AC =________【答案】 9cm ；12cm ；11cm【解析】 由于∆≅∆ABC DEF ，所以AB 与DE 、AC 与DF 、BC 与EF 分别是对应边，即AB DE =，AC DF =，BC EF =．又DEF ∆的周长为32cm ，9cm 12cm DE EF ==，，则()3291211cm DF =--=．因此9cm AB =，12cm BC =，11cm AC =随练3、 如图ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =，求DFE ∠的度数与EC 的长．【答案】 =100DFE ∠︒，2EC =．【解析】 在ABC ∆中，180ACB A B ∠=︒-∠-∠．又∵30A ∠=︒，50B ∠=︒ ∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒∵ABC DEF ∆≅∆，∴ACB DFE ∠=∠，∴=100DFE ∠︒， ∵BC EF =，∴BC CF EF CF -=-， ∴2EC =全等三角形的判定知识精讲一．全等三角形的判定方法：FE DCBA二．思路点拨边边角（SSA ）不能证明两个三角形全等常见全等图形共线三等角模型4.“AAS ”与“ASA ”易混，要注意区分“边”“角”的位置关系5. 错用“AAA ”，“SSA ”证三角形全等.三点剖析一．考点：全等三角形的判定二．重难点：全等三角形的判定三．易错点：1．边边角（SSA ）在一般情况下是不能证明两个三角形全等的； 2．斜边、直角边定理(HL)必须是在直角三角形中才能使用；3．在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样．SSS例题1、 如图，AB AC =，AD AE =，BE CD =，求证：ABD ACE ∆∆≌．【答案】 见解析【解析】 由SSS 可得ABD ACE ∆∆≌．随练1、 已知：如图，AC=EC ，E 、A 、D 在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：△ABC ≌△EDC ．A BCABCDDABCE90°CEDA BD E CBA【答案】 见解析【解析】 证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD ，∴∠ACB=∠ECD ， ∵∠1=∠3，∠4=∠5，∴∠B=∠D ， 在△ABC 和△CDE 中，，∴△ABC ≌△EDC （AAS ）．SAS例题1、 已知：如图，E 为BC 上一点，AC ∥BD ，AC BE =，BC BD =． 求证：AB DE =【答案】 见解析【解析】 证明：∵AC ∥BD ，∴C CBD ∠=∠ 在△ACB 和△EBD 中： AC BE C CBD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBM ≌△DBM （SAS ），∴AB DE =． 例题2、 已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，直线BD 、CE 交于点G ，（1）如图1，点D 在AC 上，求证：∠BGC ＝∠BAC ； （2）如图2，当点D 不在AC 上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。