北师大版七年级下数学全等三角形的性质和判定

北师大版数学七年级下册知识点总结第一章 整式的乘除1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意：底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+•+5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷8、零指数和负指数；10=a ，（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

9、科学记数法：如：0.00000721=6-1021.7⨯（第一个非零数字前零的个数）10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

专题4.7 图形的全等（知识讲解）【学习目标】1、从图形重合中理解图形全等的对应边、对应角的关系；2．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素；3．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.特别说明：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.特别说明：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.特别说明：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、图形的全等➽➼全等图形的识别1．下列各组图形中不是全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，∴是全等图形，B选项中两个图形不可能完全重合，∴不是全等形．故选：B．【点拨】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．举一反三：【变式1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据全等图形的概念判断即可．解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；B、两个图形能够完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；D、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．【变式2】下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据全等图形的概念分析即可．解：A 、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；B 、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；C 、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；D 、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．类型二、全等三角形概念➽➼全等图形的识别 2．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，=BD CD ．完成下面说明B C ∠=∠的理由的过程．解：AD BC ⊥（已知），ADB ∴∠=___________Rt =∠（垂直的定义）． 当把图形沿AD 对折时，射线DB 与DC ___________．BD CD =（___________）∴点B 与点___________重合，ABD ∴与ACD ___________，ABD ∴___________ACD （全等三角形的定义）， B C ∴∠=∠（___________）． 【答案】ADC ∠；重合；已知；C ；重合；≅；全等三角形的性质【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案．解：AD BC ⊥（已知），ADB ∴∠=ADC ∠Rt =∠（垂直的定义）． 当把图形沿AD 对折时，射线DB 与DC 重合．BD CD =（已知）∴点B 与点C 重合，ABD ∴与ACD 重合，ABD ∴≌ACD （全等三角形的定义）， B C ∴∠=∠（全等三角形的性质）．故答案为：ADC ∠；重合；已知；C ；重合；≅；全等三角形的性质．【点拨】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，是关键．举一反三：【变式1】如下图，AOC 与BOD 全等．用符号“≌”表示这两个三角形全等．已知A ∠与B ∠是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．【答案】AOC BOD △△≌．对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠； 对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案．解： AOC BOD △△≌． 因为A ∠与B ∠是对应角，所以其余的对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠；对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键．【变式2】如图，若ADE BCE ≌△△，1∠与2∠是对应角，AD 与BC 是对应边，写出其他的对应边及对应角．【答案】AE 与BE 是对应边，DE 与CE 是对应边，D ∠与C ∠是对应角，AED ∠与BEC ∠是对应角．【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断．解：因为ADE BCE ≌△△，所以AE 与BE 是对应边，DE 与CE 是对应边，D ∠与C ∠是对应角，AED ∠与BEC ∠是对应角．【点拨】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对应边和对应角的定义是解题关键．类型三、全等三角形的性质➽➼求边✮✮求角✮✮周长✮✮面积3．如图，ABC DEC ≌△△，点A 和点D 是对应点，点B 和点E 是对应点，过点A 作AF CD ⊥，垂足为点F ．(1) BAC ∠=______，B ∠=______，AB =______；(2) 若65BCE ∠=︒，完善求CAF ∠度数的解题过程．∴ABC DEC ≌△△， ∴ACB =∠______，∴BCE ACE ACD ACE ，∴______．∴65BCE ∠=︒，∴65ACF ∠=︒．又∴______，∴90AFC ∠=︒，∴CAF ∠=______︒． 【答案】(1) D ∠，E ∠，DE (2) DCE ∠，BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，25【分析】（1）由ABC DEC ≌△△，即可得到对应角和对应边相等（2）由ABC DEC ≌△△，得到BCE ACD ∠=∠，且AF CD ⊥，即可求得25CAF ∠=︒ （1）解：∴ABC DEC ≌△△，∴BAC D ∠=∠，B E ∠=∠，AB DE =；故答案为：D ∠，E ∠，DE（2）∴ABC DEC ≌△△，∴ACB DCE ∠=∠，∴BCE ACE ACD ACE ，∴BCE ACD ∠=∠．∴65BCE ∠=︒，∴65ACF ∠=︒．又∴AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∴25CAF ∠=︒．故答案为：DCE ∠，BCE ACD ∠=∠，AF CD ⊥，25【点拨】本题考查了全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键举一反三：【变式1】如图，AB 与CD 相交于点E ，连接AD AC BC 、、，若,28ABC ADE BAC ∠=︒△≌△，求B ∠的度数．【答案】48︒ 是ADE 的一个外角，AEC DAE -∠48=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，以上知识是解题的关键．】如图，已知ABC △(1) 若6DE =，4BC =，求线段AE 的长；(2) 已知35D ∠=︒，60C ∠=︒，求AFD ∠的度数．【答案】(1) 2AE = (2) 130AFD ∠=︒【分析】（1）根据全等三角形的性质得到6AB DE ==，4BE BC ==，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到60DBE C ∠=∠=︒，35A D ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理求出ABC ∠，计算即可．（1）解：∴ABC DEB △△≌，6DE =，4BC =， ∴6AB DE ==，4BE BC ==， ∴642AE AB BE =-=-=；（2）∴ABC DEB △△≌，35D ∠=︒，60C ∠=︒， ∴60DBE C ∠=∠=︒，35A D ∠=∠=︒，ABC DEB ∠=∠，∴18085ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒，∴85DEB ∠=︒，∴95AED ∠=︒，∴3595130AFD A AED ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．4．如图，已知ABC DEB ≌，点E 在AB 上，AC 与BD 交于点F ，8AB =，5BC =，65C =︒∠，20D ∠=︒．(1) 求AE 的长度；(2) 求AED ∠的度数.【答案】(1) 3AE = (2) 85AED ∠=︒【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可． 解：（1）∴ABC DEB ≅，∴3BE BC ==，∴633AE AB BE =-=-=，（2）∴ABC DEB ≅，∴25A D ∠=∠=︒，55DBE C ∠=∠=︒，∴255580AED DBE D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点拨】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等即可．举一反三：【变式1】如图，已知△ABC ∴∴DEF ，AF ＝5cm ．（1）求CD 的长．（2）AB 与DE 平行吗？为什么？解：（1）∴∴ABC ∴∴DEF （已知），∴AC ＝DF （ ），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质） 即 ＝∴AF ＝5cm∴ ＝5cm（2）∴∴ABC ∴∴DEF （已知）∴∴A ＝ （ ）∴AB （ ）【答案】（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∴D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据△ABC ∴∴DEF ，AF =5cm,可以得到CD =AF ，从而可以得到CD 的长；（2）根据△ABC ∴∴DEF ，可以得到∴A =∴D ，从而可以得到AB 与DE 平行． 解：（1）∴∴ABC ∴∴DEF （已知），∴AC ＝DF （全等三角形对应边相等），∴AC ﹣FC ＝DF ﹣FC （等式性质）即AF ＝CD ，∴AF ＝5cm∴CD ＝5cm ；（2）∴∴ABC ∴∴DEF （已知）∴∴A ＝∴D （全等三角形对应角相等）∴AB DE （内错角相等，两直线平行）．故答案为：（1）全等三角形对应边相等，AF ，CD ，CD ；（2）∴D ，全等三角形对应角相等，DE ，内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2】如图，B ，C ，D 三点在同一条直线上，90,,5B D ABC CDE AB ︒∠=∠=∆≅∆=，12,13BC CE ==．(1) 求ABC 的周长．(2) 求ACE △的面积．，然后计算ABC 的周长；，再证明ACE ∠=）ABC ∆≅13AC CE ==ABC 的周长）ABC CDE ∆≅∆13,AC CE ∴==90D ∠=︒，CED ∴∠+∠ACB ∴∠+∠ACE ∴∠=ACE ∴的面积【点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．熟练掌握知识点是解题的关键．类型四、全等图形➽➼应用5．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．【分析】根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可．解：如图所示（任意两种方法，正确即可）：【点拨】本题考查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．举一反三：【变式1】试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【答案】见分析（第一个图答案不唯一）【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．解：第一个图形分割有如下几种：第二个图形的分割如下：【点拨】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点．【变式2】沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【答案】见分析【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．解：共有3412⨯=个小正方形，∴被分成四个全等的图形后每个图形有1243÷=，∴如图所示：，【点拨】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．s。

例1、如图（1），已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由.若将过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况时，其他条件不变，那么图（1）中∠1与∠2的关系还成立吗？请说明理由.分析：要寻求∠1与∠2的关系，从直观上先判断出∠1=∠2，然后再说明结论成立的理由.由图形可知它们分别在两个三角形中，所以可以通过全等三角形来说明；另外，∠1，∠2正好是MN 截AD、BC得到的一对内错角，因而可从AD∥BC来说理.比较（2）、（3）与（1）的关系，图形的位置变了，仔细观察，什么发生变化，什么没有发生变化？可知∠1仍然等于∠2，因为AD与BC 的平行关系始终没有改变.解：∠1与∠2具有相等关系，即∠1=∠2，理由如下：在△ACD与△CAB中∴△ACD≌△CAB∴∠DAC=∠BCA在△AOM与△CON中∴△AOM≌△CON，∴∠1=∠2若将过点O的直线旋转至图（2）、（3）的位置时，∠1=∠2仍然成立，理由如下：如图（2），在△ACD与△CAB中∴△ACD≌△CAB∴∠DAC=∠BCA.∴在△AOM与△CON中∴△AOM≌△CON∴∠1=∠2.如图（3）在△ACD与△CAB中∴△ACD≌△CAB，∴∠DAC=∠BCA∴AD∥BC，∴∠1=∠2.例2、如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交CD的延长线于F，BE⊥CD 于E，求证：EF=CF－AF.分析：由图中可以看出EF=CF－CE，而求证结论是EF=CF－AF，因此，只要证出CE=AF即可，而要证明CE=AF，只要证明△BEC和△CFA全等就可得到.证明：∵AC⊥BC，AF⊥FC，∴∠ACB=90°，∠F=90°即∠ACF＋∠BCE=90°∵BE⊥FC，∴∠BEC=90°∴∠ACF=∠CBE在△AFC和△CBE中△AFC≌△CBE，∴BE=DF又EF=CF－CE，∴EF=CF－AF.例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长.证明：（1）∵CF⊥AE，∴∠4=90°∠3＋∠2=90°又∵∠1＋∠3=90°∴∠1=∠2又∵DB⊥BC∴∠DBC=∠ACE=90°在△DBC和△ECA中∴△DBC≌△ECA∴DC=EA 即AE=CD（2）∵△DBC≌△ECA∴DB=EC又∵AE是BC边的中线又∵AC=CB，AC=12cm例4、如图所示，已知在四边形AB CD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线AC相交于点O，请问O点有何特征.解：点O既是AC的中点，又是EF的中点.理由如下：在△ACD和△CAB中∴△ACD≌△CAB∴∠1=∠2在△AOF和△COE中∴△AOF≌△COE∴OA=OC，OF=OE∴O既是AC的中点，又是EF的中点.例5、如图，AD∥BC，AB∥DC，MN=PQ，求证：DE=BE.证明：∵AD∥BC，∴∠M=∠Q又∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠3=∠4又∵MN=PQ，∴MP=QN在△DMP和△BQN中∴△DMP≌△BQN∴DP=BN在△DEP和△BEN中∴△DEP≌△BEN∴DE=BE例6、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.证明：延长BA、CE交于点F.∵∠3=90°，∴∠5＋∠F=90°又∵BE⊥CE，∴∠4=90°，∠7=90°∴∠1＋∠F=90°，∠6=180°－90°=90°∴∠1=∠5在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF∴BD=FC在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC例7、如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解析：(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD．(2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立．如图，在AC上截取AG=AE，连结FG，因为∠1=∠2，AF为公共边，可证△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，可得∠2+∠3=60°．所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．所以∠CFG=60°．由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD．所以FG=FD．所以FE=FD．例8、已知线段AC与BD相交于点O，连结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连结EF(如图所示)．(1)添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE．求证：AB=DC．(2)分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③；添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是____命题，命题2是_____命题(选择“真”或“假”填入空格)．解析：(1)证明：∵∠1=∠2，∴OE=OF．∵OB=2OE，OC=2OF，∴OB=OC．在△AOB和△DOC中，∴AB=DC．(2)命题1真，命题2假．详解：（Ⅰ）在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD(AAS)，∴OB=OC．(Ⅱ)如图，AB=DC，∠OEF=∠OFE，而∠A≠∠D．例9、此题有A、B、C三类题目，其中A类题4分，B类题6分，C类题8分，请你任选一类做，多做的题目不记分.（A类）已知：如图（1）所示，AB=AC，AD=AE，那么∠B=∠C.（B类）已知：如图（2）所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于D，BD、CE交于点O，且AO 平分∠BAC，那么OB=OC.（C类）如图（3）所示，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出推理过程.（A类）证明：在△ABD和△ACE中，所以△ABD≌△ACE（SAS）.所以∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）（B类）证明：因为AO平分∠BAC，∠EAO=∠DAO，又因为CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，所以∠AEO=∠ADO=90°，OA=OA.所以△AEO≌△ADO（AAS）.所以OE=OD.在△BOE和△COD中，所以△BOE≌△COD（ASA）.所以OB=OC（全等三角形的对应边相等）.（C类）解：△BDH≌△ADC.推证如下：因为△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，所以，BD=AD，∠BDH=∠ADC=90°，HD=CD.所以，△BDH≌△ADC（SAS）.达标测试：1、已知：如图AB=DC，AC=DB，求证：OB=OC.证明：连结BC，在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB∴∠A=∠D在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC∴OB=OC2、如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD，AE=BC，DE=DC，求证：DE⊥AB.证明：在△AED和△BCD中∴△AED≌△BCD∴∠1=∠C又∵∠C=90°∴∠1=90°∴DE⊥AB3、如图，A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：（1）DF//CE；（2）DE=CF.证明：（1）∵AD=BC，∴AC=BD在△AEC和△BFD中∴△AEC≌△BFD∴∠1=∠2∴DF//CE（2）在△DEC和△CFD中∴△DEC≌△CFD ∴DE=CF4、如图，AB=AC，BE=CE，求证：（1）AE平分∠BAC；（2）AD垂直平分BC.证明：（1）在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE∴∠1=∠2∴AE平分∠BAC（2）在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD∴BD=CD，∠3=∠4又∵∠3＋∠4=180°∴∠3=90°∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC.5、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：证明：延长AM到D，使MD=AM连结BD，∵AM是BC边上的中线，∴BM=MC在△ACM和△DBM中∴△ACM≌△DBM∴AC=BD又∵△ABD中AB＋BD>AD而AD=2AM，∴【巩固练习】1、如图所示，已知AC=AD，BC=BD，则全等的三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对2、如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于E，给出3个论断：①DE=EF；②AE=CE；③FC∥AB.以其中两个论断为条件，其余一个论断为结论，可以作出3个命题，其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．0个D．3个3、如图所示，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙C．只有乙 D．只有丙4、下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等5、如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（）A．∠M=∠N B．AC=BDC．AM=CN D．AM∥CN6、如图，AB=CD，AD=CB，AC、BD交于O，图中有（）对全等的三角形A．2 B．3C．4 D．57、下列各组条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′全等的是（）A．AC=A′C′，BC= B′C′，∠C=∠C′B．∠A=∠A′，BC= B′C′，AC= A′C′C．∠A=∠A′，∠C=∠C′，BC= B′C′D．AB= A′C′，BC= C′B′，AC= A′B′8、下列命题中正确的个数是（）①有一边相等的两个等边三角形全等②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等③各有两边长分别是5cm，4cm的两个等腰三角形全等④判定三角形全等的条件中，至少要有一对对边对应相等.A．1 B．2C．3 D．49、如图，AB//DE，CD=BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是（）A．AC=EF B．DF=BCC．∠A=∠E D．不用补充10、如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于点E，则下列结论错误的是（）A．∠DAE=∠CBE B．△DAE与△CBE不能全等C．CE=DE D．△AEB为等腰三角形CDBDC CBBCB11、（1）如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE=BD－CE.（2）如将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它不经过△ABC的内部，再作BD⊥AN 于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？如存在，请证明你的结论？（1）证明：∵BD⊥AE，∴∠4=90°，∴∠1＋∠3=90°.又∵∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠2，又∵CE⊥AE，∴∠5=90°.在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD－CE=AE－AD，即DE=BD－CE.（2）存在，即为DE=DB＋CE,证明：∵∠2=90°，∠1+∠2+∠3=180°∴∠1+∠3=90°又∵BD⊥DE，CE⊥DE∴∠5=∠6=90°，∴∠3+∠4=90°∴∠1=∠4在ΔADB和ΔCEA中，∴ΔADB≌ΔCEA（AAS）∴DB=AE，AD=CE又∵DE=AD+AE，∴DE=DB+CE.12、如图所示，已知AD//BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C，求证：AD＋BC=AB.分析：直接证AB=AD＋BC较难，可以采用“截长法”，在AB上截取AF=AD，则只要证BC=BF即可，要证BC=BF，需证△EFB≌△ECB，而在这两个三角形中已有两个条件即∠3=∠4，BE=BE，还缺少一个条件，由作辅助线可知：△ADE≌△AFE.则证∠D=∠AFE.，又∠C与∠D互补，∠BFE与∠AFE互补，则推出∠BFE=∠C.于是可证得△EFB≌△ECB，从而证得原题成立.证明：在AB上截取AF，使AF=AD，连接EF.在△ADE和△AFE中，所以△ADE≌△AFE（SAS），所以∠ADE=∠AFE（全等三角形的对应角相等）.因为AD//BC（已知），所以∠D＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠BFE＋∠AFE=180°（平角的定义），所以∠BFE=∠C（等角的补角相等）.在△EFB和△ECB中，所以△EFB≌△ECB（AAS）.所以BF=BC（全等三角形的对应边相等）.所以AB=AD＋BC.。

AFE全等三角形知识点一：全等形的有关概念1、全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3、对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点；重合的边叫对应边，重合的角叫做对应角.（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 4、“全等”的符号：“≅”，读作“全等于”.知识点二：从运动的角度看全等三角形的生成方法1、翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素；2、旋转法：三角形沿某一点旋转一定的角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素；3、平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素. 知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积相等. 例题一：1、下列命题中，真命题的个数是（ ）． ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2、如图，△ABC ≌△ADE ，其中C 和E ，B 和D 是对应点，写出其他的对应边和对应角．3、已知△ABC ≌△MNP ，∠A=48°，∠N=62°，则∠B=______°，∠C 、∠M 、∠P 的度数分别为__________， __________， __________.4、已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°，求∠ADB 的度数.5、如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．ABDCEDCABE EDCBA6、已知：如图，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE ． 练习一：1、如图，如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____．第1题图 第2题图 第3题图2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°3、如图所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____， ∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边___________________；（3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边___________________，对应角______________________． 4、如图，若ΔABE ≌ΔACD ，AB=8cm ，AD=5cm ，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_______，∠C=_______. 5、如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知∠DAE=43°，∠B=30°，求ADC ∠的大小.6、如图，已知△EAD ≌△ABC ，求证：CD+BC=AC.AB C D EFE DCBA第4题FE DCBA 7、如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠BEA=135°，求∠C 的度数. 例题二：7、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC 的度数.练习二：9、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为________度．10、如图，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于（ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC第9题 第10题 第11题11、如图, 在平行四边形ABCD 中, 将△ABE 沿BE 翻折, 点A 落在CD 边上, 成为点F, 如果△DEF 和△BCF 的周长分别是8cm 和22cm, 那么FC 的长度为_______________.综合：如图，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论．例题三：F EDC BA 8、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ） A 、15° B 、20° C 、25°D 、30°9、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB=( ) A 、40° B 、30° C 、20° D 、10° 练习三：12、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A 、70°B 、65°C 、50°D 、25°13、如图，将直角三角形BCA 沿BC 方向平移得到△FED ， H 是线段AC 和FD 的交点.如果ED=9, BF=4, AH=3, 那么四边形FBAH 的面积是_______________.例8题图 例9题图 练习12题图 练习13题图课 后 作 业1、△ABC 和△DEF 是全等三角形，若AB=DE ，∠B=50°，∠C=70°，∠E=50°，则∠D 的度数是_____．2、△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=________.3、如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，△AOB 绕O 旋转180º，可以与△___________重合，这说明△AOB ≌△___________.这两个三角形的对应边是AO 与__________，OB 与__________，BA 与__________；对应角是∠AOB 与________，∠OBA 与_________, ∠BAO 与___________.4、已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、如图，△ABC ≌△CDA ，AC ＝7cm ，AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，则AD 的长是（ ）A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、6cm6、如图所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.5EDB C′FCD ′AA 'B DAC A CD7、已知△DEF ≌△ABC ，AB=AC ，且△ABC 的周长是23cm ，BC=4cm ，则△DEF 的边长中必有一边等于（ ） A 、9.5cm B 、9.5cm 或4cm C 、9cm D 、4cm 或9cm8、如图，已知△ABC ≌△DBE ，∠BDA=∠A ．若∠A ：∠C=5：3，则∠DBE 的度数是（ ） A ．100° B ．80° C ．60° D ．120°9、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25°10、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11、如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.12、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，求∠DGB 的度数.第6题图FE CBA 第9题图第10题图第8题图DCB AE。

三角形全等的断定〔1〕__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、理解全等三角形的断定方法SSS 、SAS 、ASA 、AAS ；2、能运用断定方法断定两个三角形全等；3、经理探究断定方法断定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.1．SSS____________的两个三角形全等〔简称SSS 〕．这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有__________的原理．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．如以下图，：△ABC 与△DEF 的三条边对应相等，求证：△ABC ≌△DEF ．证明：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SSS 〕．角用直尺和圆规作一个角等于角的示意图如下图，说明'''A O B =AOB ∠∠的根据是_________．4．边角边定理三角形全等断定方法2：______和它们的______分别相等的两个三角形全等．〔简称SAS 〕 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SAS 〕．图示：5．探究边边角两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形________等．6．ASA_______________分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ．▲如以下图，∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．求证：△ABD ≌△ACE ．证明：∵∠1＝∠2〔〕∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD 〔相等的角加同一个角仍相等〕即∠BAD ＝∠CAE在△ABD 和△ACE 中， ∠D=∠E 〔〕AD=AE 〔〕∠BAD ＝∠CAE 〔等量相加〕∴△ABD≌△ACE〔ASA〕．7．AAS______________________分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．▲如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE．证明：在△ACD和△ABE中．∠C=∠B〔〕∠A=∠A〔公共角〕DC=EB〔〕∴△ACD≌△ABE〔AAS〕．参考答案：1.三边分别相等稳定性3.全等三角形的对应角相等4.两边夹角5.不一定全6.两角和它们的夹边7.两个角和其中一个角的对边1.先证明对应边相等，再证全等〔利用中点、等量相加等〕【例1】如下图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，BC＝ED，求证：△ABC≌△FED．【解析】∵AD＝FC，∴AD＋DC＝FC＋DC，即AC＝FD．在△ABC和△FED中，∴△ABC≌△FED〔SSS〕．总结：利用“SSS〞证明两个三角形全等，有如下几种常见类型：〔1〕有公共边的两个三角形．〔2〕有公共线段的两个三角形，我们可以用等量相加或相减，推出两边相等．〔3〕含有中点的两个三角形，如图：AB=AC，D是BC的中点，由中点的定义可得：BD=CD．继而可证△ABD≌△ACD．练1.如图，AC=BD，0是AB、CD的中点，求证△AOC≌△BOD．【解析】要证△AOC≌△BOD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等．证明：∵O是是AB、CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD．2.先利用SSS证明三角形全等，继而证明边〔角〕相等，或求边〔角〕【例2】如下图，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠1＝∠2．【解析】在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB〔SSS〕.∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB.即∠1＝∠2．总结：1.要求证在两个不同三角形内的角相等，往往利用全等三角形的性质.2.当两个角所在的三角形不易证全等时，可以利用等量的和〔差〕相等，将问题转化.3.求证不在同一个三角形内的两边相等，同样可以利用全等三角形的性质.练2.如图是“人〞字形屋梁，AB＝AC．如今要在程度横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直〞的要求吗？为什么？【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕.∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．练3.如下图，：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB∥DE.【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：∠A＝∠D，即可证明AB ∥DE．证明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF．∴AC＝DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SSS〕．∴∠A＝∠D．∴AB∥DE．练4.：如下图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD〔SSS〕．∴∠C＝∠A．练5.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.【解析】证明：连接AC，在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA〔SSS〕，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°．3．利用SAS直接证明三角形全等【例3】如下图，△ABC，△DEF均为锐角三角形，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：△ABC ≌△DEF．【解析】直接根据SAS可证明△ABC≌△DEF．证明：在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．总结：运用“边角边〞断定两个三角形全等时，〔1〕同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边〞的顺序书写；〔2〕注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等；〔3〕条件里的三个元素必须对应，一个三角形中的元素依次是“边—角—边〞，另一个三角形的元素也必须依次是“边—角—边〞，假如是其他“边—边—角〞或“角—边—边〞，那么两个三角形不一定全等；〔4〕在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，假如把夹角改为其中一条边的对角，那么不一定全等．练6．〔2021秋•天元区期末〕如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，根据〔SAS〕断定△ABC ≌△DEF，还需的条件是〔〕A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以【解析】根据三角形全等的断定中的SAS，即两边夹角．做题时根据条件，结合全等的断定方法逐一验证，要由位置选择方法．解：要使两三角形全等，且SASAB=DE，BC=EF，还差夹角，即∠B=∠E；A、C都不满足要求，D也就不能选取．应选B．练7．如以下图所示，∠1＝∠2，AO＝BO，求证：△AOC≌△BOC．【解析】两个三角形包含一个公共边，结合条件，根据SAS可证明△AOC≌△BOC．证明：在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC〔SAS〕．4．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等【例4】〔2021春•启东市校级月考〕如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE．【解析】根据平行线的性质及全等三角形的断定定理“SAS〞证得结论．证明：∵AE=CF，∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE．又∵AD∥BC，∴∠A=∠C．∵在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE〔SAS〕．总结：没有直接给出能证明三角形全等的条件时，〔1〕先根据条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的断定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；假如两边，那么要找第三边或夹角；假如一角和该角的一边，那么需要找夹角的另一条边；〔2〕在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比方公共边、对顶角等，从而为解题所用；〔3〕有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到．练8．〔2021•房山区二模〕如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．【解析】∠1=∠2，∠BAE是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来断定△ABC≌△ADE．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE〔SAS〕．练9．〔2021•永春县质检〕：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE．求证：△AEC≌△BDC．【解析】根据∠ACD=∠BCE，可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD．根据边角边公理可得出△AEC≌△BDC．证明：在△AEC和△BDC中，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，在△AEC和△BDC中，∴△AEC≌△BDC〔SAS〕．点评：此题考察了全等三角形的断定SAS．5.先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等【例5】〔1〕〔2021•十堰〕如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【解析】首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角∠A=∠A可利用“SAS〞定理证明△ABE≌△ACD，进而得到∠B=∠C．证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD〔SAS〕．∴∠B=∠C．〔2〕〔2021春•鼓楼区校级月考〕如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：BF=DE．【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE，根据SAS证明△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE〔SAS〕，∴BF=DE．总结：综合利用三角形全等的断定与性质解题步骤如下：〔1〕由问题中的条件，根据三角形全等的断定方法证明两个三角形全等；〔2〕由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等．练10．〔2021秋•涞水县期末〕如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，那么∠D的度数为〔〕A．50° B.30°C．80°D．100°【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，那么∠D=∠B=30°．解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB〔SAS〕，∴∠D=∠B=30°．应选B．练11．〔2021春•锦州校级期中〕如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，假设∠_____=∠______，那么△ABC≌△DEF，所以BC=_____，因此BE=________．【解析】根据三角形全等的断定方法SAS，假设∠A=∠D时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果．解：假设∠A=∠D时，△ABC≌△DEF；∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕，∴BC=EF，∴BE=CF；故答案为：∠A=∠D，EF，CF．6．先用ASA证全等，再证边角相等【例6】如下图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BO＝DO．【解析】先用“ASA 〞证明△ABC ≌△ADC ，得出AB=AD ，再用“SAS 〞证明△ABO ≌△ADO ，可得出结论．证明：在△ABC 和△ADC 中，∴△ABC ≌△ADC 〔ASA 〕.∴AB ＝AD.在△ABO 与△ADO 中，△ACO ≌△ADO 〔SAS 〕.∴BO ＝DO ．总结：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．练12.如下图，在△ABC 中，点O 为AB 的中点，AD ∥BC ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点D ，E ，求证：OD ＝OE.【解析】∵点O 为AB 的中点，∴AO ＝BO ．∵AD ∥BC ，∴∠ADO ＝∠BEO ，∠DAO ＝∠EBO.在△AOD 与△BOE 中，∴△AOD ≌△BOE 〔AAS 〕.∴OD ＝OE ．7．先用AAS 证全等，再证边角相等【例7】如下图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD ．D C BA O12 3 4【解析】先利用AAS 证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出AC ＝AD ．证明：在△ACB 与△ADB 中，∴△ACB ≌△ADB 〔AAS 〕.∴AC ＝AD ．总结：1. 由“ASA 〞与“AAS 〞可知，两个三角形假如有两个角及任意一边对应相等，那么这两个三角形相等．2. 注意不用混淆“ASA 〞和“AAS 〞，“ASA 〞是两角及夹边对应相等，“AAS 〞是两角及一对边对应相等.练13.如下图，C ，F 在BE 上，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ，BF ＝EC ．求证：AB ＝DE ．【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BC ＝EF ，应用AAS 可得△ABC ≌△DEF ，进而得出结论．证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACE ＝∠DFB.又∵∠ACE ＋∠ACB ＝180°，∠DFB ＋∠DFE ＝180°，∴∠ACB ＝∠DFE.又BF ＝EC ，∴BF －CF ＝EC －CF ，即BC ＝EF.在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔AAS 〕.∴AB ＝DE ．8．灵敏选用证明方法证〔判断〕全等AB C FED【例8】如下图，∠B＝∠DEF，BC＝EF，要证△ABC≌△DEF，假设要以“ASA〞为根据，还缺条件_________；以“SAS〞为根据，还缺条件_________；以“AAS〞为根据，还缺条件_________.【解析】一组角和一组边相等,要根据“ASA〞证全等就要求夹边的另一组角相等，故填∠ACB=∠DFE；要根据“SAS〞证全等就要求夹角的另一组边相等，故填AB=DE；要根据“AAS〞证全等就要求另一组角相等，故填∠A=∠D.答案：∠ACB＝∠DFE；AB＝DE；∠A＝∠D．总结：1.到目前为止，我们学习了4种证明三角形全等的方法，分别是“边边边〞“边角边〞“角边角〞“角角边〞.注意：三角形全等的断定方法中不存在“角边边〞“角角角〞．2.“边边边〞“角边角〞“角角边〞“边角边〞这四种判断方法中，都要求有一组边对应相等．3.在寻求全等条件时，要注意结合图形挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线.4.以及平行线中包含的角的关系，垂直中包含的角的关系，以便顺利求解．练14.如下图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充以下一个条件后，仍无法断定△ABE≌△ACD的是〔〕.＝AE B.∠AEB＝∠ADC＝＝AC【解析】选择A中的AD=AE，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项B中给出∠AEB＝∠ADC，加上条件，可得三对角相等，但三对角相等的三角形不一定全等；选项C中的BE＝CD，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项D中的AB＝AC，加上条件，可根据ASA证明△ABE≌△ACD；应选：B．练15.如下图，BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，垂足分别为点F ，E ，BF ＝DE ，∠B ＝∠D ，求证：AE ＝CF.【解析】∵BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°.在△BFA 与△DEC 中，∴△BFA ≌△DEC 〔ASA 〕.∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF.∴AE ＝CF.练16．如图，将△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，再过点O 任意画一条与AC ，BD 都相交的直线MN ，交点分别为M 和N ．试问：线段OM ＝ON 成立吗？假设成立，请进展证明；假设不成立，请说明理由．【解析】OM ＝ON 成立．理由是：∵△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，∴△BOD ≌△AOC ．∴∠A ＝∠B ，AO ＝BO ．又∵∠AOM ＝∠BON ，∴△AOM ≌△BON (ASA)．∴OM ＝ON ．练17．如下图，直角三角形ABC 的直角顶点C 置于直线l 上，AC ＝BC ，现过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，E.DC E FA B BA C DE【解析】〔1〕△ACD ≌△CBE ，证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°.又∵AD ⊥l ，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°.∴∠BCE ＝∠CAD.∵BE ⊥l ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°.在△ACD 与△CBE 中，∠CAD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE 〔AAS 〕.〔2〕由〔1〕可知△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ＝3＋5＝8.1．如下图，AB ∥CD ，OB ＝OD ，那么由“ASA 〞可以直接断定△______≌△___________.2．如下图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD ，CE 交于点H ，EH ＝EB ＝3，AE ＝4，那么CH 的长是___________．3．如下图，点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ∥DE ，∠ACB ＝∠F ．求证：△ABC ≌△DEF ．AC D F EB l4．如下图，∠B ＝∠E ，∠BAD ＝∠EAC ，AC ＝AD ，求证：AB ＝AE.5.〔2021•厦门校级一模〕如图，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，AB=CD ，EC=DF ，EC ∥DF ．求证：△ACE ≌BDF ．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1.：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC 。

全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一 全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【例2】 如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．【例4】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】 （成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．2、不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（ ）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】 如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】 如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】 以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．【例6】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】 如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题 角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】 如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】 如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】 正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】 如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】 如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。

北师大版七年级数学下册知识点总结一、整式的乘除。

1. 同底数幂的乘法。

- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m· a^n = a^m + n（m、n 为正整数）。

- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。

2. 幂的乘方。

- 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即(a^m)^n=a^mn（m、n为正整数）。

- 例如：(3^2)^3 = 3^2×3=3^6。

3. 积的乘方。

- 法则：积的乘方等于乘方的积。

即(ab)^n=a^n b^n（n为正整数）。

- 例如：(2×3)^2=2^2×3^2 = 4×9 = 36。

4. 同底数幂的除法。

- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m、n为正整数且m>n）。

- 例如：5^5÷5^3 = 5^5 - 3=5^2。

5. 零指数幂。

- 规定：a^0 = 1（a≠0）。

6. 负整数指数幂。

- 规定：a^-p=(1)/(a^p)（a≠0，p为正整数）。

- 例如：2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。

7. 整式的乘法。

- 单项式乘以单项式：系数相乘，同底数幂相乘。

例如：3x^2·2x^3=(3×2)(x^2+3) = 6x^5。

- 单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：2x(x + 3)=2x^2+6x。

- 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：(x + 2)(x+3)=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x+6。

8. 整式的除法。

- 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除。

例如：6x^5÷2x^3=(6÷2)(x^5 - 3)=3x^2。

- 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

第02讲_全等三角形知识图谱全等三角形知识精讲一．全等的概念与性质三点剖析一．考点：全等的概念，全等三角形的性质二．重难点：全等三角形的性质三．易错点：利用全等的性质时容易忽略对应关系，导致找错对应边或对应角．全等图形例题1、 下列图形中，与右图全等的是（ ）全等图形（1）能够完全重合的两个图形就是全等图形（2）平移、旋转、对称前后的图形是一组全等图形四边形四边形全等多边形（1）相互重合的顶点为对应点，相互重合的边为对应边，相互重合的 角为对应角 （2）对应边、对应角分别相等全等三角形的性质 （1）对应边相等 （ 2）对应角相等（3）对应边上的高相等 （4）周长、面积相等易错点：1.利用全等的性质时注意不要找错对应边或对应角A B C DA.A选项B.B选项C.C选项D.D选项【答案】A【解析】观察图形上实心点与空心点的位置得出全等图形即可，原图与选项A全等．例题2、下列说法中，错误的是（）A.全等三角形的周长相等B.全等三角形的对应角相等C.全等三角形的面积相等D.面积相等的两个三角形全等【答案】D【解析】暂无解析随练1、用两个全等的直角三角形（非等腰直角三角形）拼成凸四边形，拼法共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】B【解析】拿两个“90︒，60︒，30︒”的三角板试一试即可得．随练2、如图，ADE BDE≌，若ADC∆∆∆的周长为12，AC的长为5，则CB的长为（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】解：∵ADE BDE∆≅∆，∴DA DB=，AC=，∴7BC=，故选B．=++=++=+=，又5ADC∆的周长12AC CD AD AC CD BD AC BC随练3、下图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=___________．【答案】27cm【解析】因为AB=3cm，所以CD=2AB=6cm，所以AF=3AB+3CD=3×3+3×6=27（cm）．全等三角形的性质例题1、下列命题中正确的是（）A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等C.全等三角形的角平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等【答案】D【解析】全等三角形的对应边相等，对应角相等．同时，全等三角形对应边上的高、对应边上的中线，对应角的角平分线也分别相等，一定要注意“对应”二字．例题2、如图，在△ABC中，AB＝AC，E、D分别为AB、AC边上的中点，连接BD、CE交于O，此图中全等三角形的对数为（）对．A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵AE＝BE，AD＝DC，∴BE＝DC，∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB，∴∠ECB＝∠DBC，∴∠EBO＝∠DCO，∵BE＝CD，∴∠BOE＝∠COD，∴△BOE≌△COD，∵∠A＝∠A，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE，共有3对全等三角形．例题3、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C【答案】A【解析】暂无解析例题4、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB ＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，故①正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF＝BC，故③正确；∠EAB＝∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．例题5、 如图，△ABC 一个等腰三角形，其中AB ＝A C ．分别以AB ，AC 为腰向外作等腰三角形△ADB 和△ACE ，且∠BAD ＝∠CAE ＝84°，连接CD 和BE ，相交于点F ，连接AF ，则∠AFD 的度数为________．【答案】 48°【解析】 暂无解析随练1、 下列四个命题中，真命题的是（ ） A.相等的圆心角所对的弧相等 B.同旁内角互补 C.平行四边形是轴对称图形 D.全等三角形对应边上的高相等 【答案】 D【解析】 A 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等； B 、两直线平行，同旁内角互补； C 、平行四边形是中心对称图形； D 、全等三角形对应边上的高相等 随练2、 已知∆≅∆ABC DEF ，DEF ∆的周长为32cm ，9cm 12cm DE EF ==，，则AB =________，BC =________，AC =________【答案】 9cm ；12cm ；11cm【解析】 由于∆≅∆ABC DEF ，所以AB 与DE 、AC 与DF 、BC 与EF 分别是对应边，即AB DE =，AC DF =，BC EF =．又DEF ∆的周长为32cm ，9cm 12cm DE EF ==，，则()3291211cm DF =--=．因此9cm AB =，12cm BC =，11cm AC =随练3、 如图ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =，求DFE ∠的度数与EC 的长．【答案】 =100DFE ∠︒，2EC =．【解析】 在ABC ∆中，180ACB A B ∠=︒-∠-∠．又∵30A ∠=︒，50B ∠=︒ ∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒∵ABC DEF ∆≅∆，∴ACB DFE ∠=∠，∴=100DFE ∠︒， ∵BC EF =，∴BC CF EF CF -=-， ∴2EC =全等三角形的判定知识精讲一．全等三角形的判定方法：FE DCBA二．思路点拨边边角（SSA ）不能证明两个三角形全等常见全等图形共线三等角模型4.“AAS ”与“ASA ”易混，要注意区分“边”“角”的位置关系5. 错用“AAA ”，“SSA ”证三角形全等.三点剖析一．考点：全等三角形的判定二．重难点：全等三角形的判定三．易错点：1．边边角（SSA ）在一般情况下是不能证明两个三角形全等的； 2．斜边、直角边定理(HL)必须是在直角三角形中才能使用；3．在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样．SSS例题1、 如图，AB AC =，AD AE =，BE CD =，求证：ABD ACE ∆∆≌．【答案】 见解析【解析】 由SSS 可得ABD ACE ∆∆≌．随练1、 已知：如图，AC=EC ，E 、A 、D 在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：△ABC ≌△EDC ．A BCABCDDABCE90°CEDA BD E CBA【答案】 见解析【解析】 证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD ，∴∠ACB=∠ECD ， ∵∠1=∠3，∠4=∠5，∴∠B=∠D ， 在△ABC 和△CDE 中，，∴△ABC ≌△EDC （AAS ）．SAS例题1、 已知：如图，E 为BC 上一点，AC ∥BD ，AC BE =，BC BD =． 求证：AB DE =【答案】 见解析【解析】 证明：∵AC ∥BD ，∴C CBD ∠=∠ 在△ACB 和△EBD 中： AC BE C CBD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBM ≌△DBM （SAS ），∴AB DE =． 例题2、 已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，直线BD 、CE 交于点G ，（1）如图1，点D 在AC 上，求证：∠BGC ＝∠BAC ； （2）如图2，当点D 不在AC 上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。