七年级数学全等三角形(培优)

北师大七下全等三角形的判定综合培优（解答题）1．如图，已知AB AC ⊥，AB AC =，AD AE =，BD CE =，试猜想AD 与AE 的位置关系并说明理由．2．已知:如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，ME∠AD ．求证:(1)AB=AE ；(2)AM 平分∠DAB ．3．如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：∠ABE∠∠CBD ；（2）证明：∠1=∠3．4．如图，∠ACB 和∠DCE 均为等腰三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE .若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．5．如图，已知∠ABC 中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D 为AB的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以1cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，∠BPD 与∠CQP 是否全等，请说明理由；∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使∠BPD 与∠CQP 全等？（2）若点Q 以∠中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿∠ABC 三边运动，则经过后，点P 与点Q 第一次在∠ABC 的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）6．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA∠AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：∠ABC∠∠ADE；（2）求证：CA平分∠BCD；（3）如图（2），设AF是∠ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．7．已知：如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一射线CM，交AB于M，分别过A，B作AE∠CM，BF∠CM，垂足分别为E，F.(1)求证：∠ACE=∠CBF；(2)求证：AE=CF；(3)直接写出AE，BF，EF的关系式.8．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC =AE ，求∠DEC 的度数．9．如图，在四边形中ABCD 中，//,12,AB CD DB DC ∠=∠=，且DBC DCB ∠=∠.(1)求证: ABD EDC ∆≅∆;(2)若125,30A BDC ∠=︒∠=︒，求BCE ∠的度数.10．已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ∠CE ，BE ∠CE ，垂足分别是点D ，E ．（1）求证：∠BEC ∠∠CDA ；（2）当AD ＝3，BE ＝1时，求DE 的长．11．如图，在四边形ABCD 中，AD∠BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）∠DAE 和∠CFE 全等吗？说明理由；（2）若AB ＝BC+AD ，说明BE∠AF ；（3）在（2）的条件下，若EF ＝6，CE ＝5，∠D ＝90°，你能否求出E 到AB 的距离？如果能请直接写出结果．12．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ． ()1求证：BE AD =；()2求AMB ∠的度数（用含α的式子表示）； ()3如图2，当90α=o 时，点P 、Q 分别为AD 、BE 的中点，分别连接CP 、CQ 、PQ ，判断CPQ V 的形状，并加以证明．13．以点A 为顶点作等腰Rt∠ABC ，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD 、CE,延长BD 交CE 于点F.（1）试判断BD、CE的关系，并说明理由；（2）把两个等腰直角三角形按如图2所示放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.14．如图：在∠ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在∠ABC外作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN 于N．(1)MN=AM+BN成立吗？为什么？(2)若过点C在∠ABC内作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．15．如图，已知∠ABC是等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，AF=BD,以AD为边作等边ΔADE.(1)求证:AE=CF;(2)求∠BEF的度数.16．如图所示，在∠ABC中，AD∠BC于D，CE∠AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，(1)求证:∠ABD∠∠CFD；(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长。

A B C D E F O 《全等三角形》培优练习题一、在较复杂图形中寻找所需全等三角形解决问题例1、已知：如图，△ABD 和△BEC 均为等边三角形，M 、N 分别为AE 和DC 的中点，那么 △BMN 是等边三角形吗？说明理由．【对应练习】1、已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，∠BAC=∠DAE ，，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）当点B A D ，，在一条直线上，试说明：AM=AN ；（2）将A D E △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请 判断AM=AN 是否成立？并说明你的理由； (3)在旋转的过程中，设直线BE 与CD 相交于点P ，当90°<∠BAC<180°时，请直接 写出∠CPB 与∠MAN 之间的数量关系. 二、通过证两次三角形全等解决问题例2、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，且OA=OB ，OC=OD ，过O 作直线，交AC 于E ，交BD 于F 。

求证：OE=OF 。

【对应练习】2、如图，在Rt △AEB 和Rt △AFC 中，∠E ＝∠F ＝90°，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC ＝∠FAB ，AE ＝AF ．求证：MB=NCABC EM F DN C E N D A B M 图①C A EM B D N 图②O B A C DE 三、通过转化命题或添作辅助线减少证明三角形全等的次数，简化解题过程例3、已知AB=AC, ∠ABE=∠ACD, 求证: BD=CE.【对应练习】3、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。

四、动点问题例4、如图，△ABC 是边长为5cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，沿线段AB ，BC 运动，且它们的速度都为1cm/s ．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（2）连接AQ 、CP ，相交于点M ，则点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ 会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．例5、如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点P的运动速度与点Q的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由？②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，直接写出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【对应练习】4、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q和点P都以3cm/s的速度运动，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P的运动速度为2cm/s，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度和运动时间t．5、如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起.现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动，且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点.请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．。

2、如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于 。

3、如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若158∠=，则∠BGE= ． 4、将矩形ABCD 沿折线EF 折叠后点B 恰好落在CD 边上的点H 处，且∠CHE ＝40 º，则∠EFB ＝_____.5、如图（1）△ABC 是一个三角形的纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上的两点，研究（1）：如果沿直线DE 折叠，如图1，则∠BDA ′与∠A 的关系是_____ __。

研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA ′、∠CEA ′和∠A 的关系，并说明理由。

研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA ′、∠CEA ′和∠A 的关系，并说明理由。

6、.如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系.7、求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 六个角的和。

7.1如图所示，DE ∥AB ，FG ∥BC，HM ∥CA ，求∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M 的度数．H FE D C B A8、如图所示．（1）图甲是一个五角形ABCDE ，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小吗？（2）如图乙，如果点B 向右移动到AC 上时，还能算出∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E •的大小吗？（3）如图丙，点B 向右移动到AC 的另一侧时，（1）的结论成立吗？为什么？（4）如图丁，点B ，E 移动到∠CAD 的内部时，结论又如何？9、．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A D F C G EB 图1 A D FC G E B 图2 AD F GE B 图310、已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB 于E，交AC于F。

北师大七下全等三角形的判定小题精炼培优版一、单选题1．如图，AD =BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是（ ）A ．AB //CD B ．△ABC =△CDA C ．△A =△CD ．AD //BC2．如图，PD △AB ，PE △AC ，垂足分别为D 、E ，且P A 平分△BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA3．如图1，D ､E ､F 分别为△ABC 边AC ､AB ､BC 上的点，△A=△1=△C ，DE=DF ，下面的结论一定成立的是（ ）A ．AE=FCB ．AE=DEC ．AE+FC=ACD ．AD+FC=AB 4．如图，AB CD ，//AB CD ，判定ABC △CDA 的依据是( )A．SSS B．SAS C．ASA D．HL5．如图，AD△CD，AE△BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE,则下列结论△△ABE△△ACD△AM=AN：△△ABN△△ACM；△BO=EO;其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是（）A．AB=DE B．AC=DF C．△A=△D D．BF=EC7．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F，则△BFD的度数为（）A．45°B．90°C．60°D．30°8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△1＝25°，△2＝30°，则△3＝()A．60°B．55°C．50°D．无法计算9．如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC△△DEF的是A．AB＝DE B．△B＝△E C．EF＝BC D．EF//BC10．如图所示，Rt△ABE△Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：△AE=ED；△AE△DE；△BC=AB+CD；△AB△DC中成立的是（）A．仅△B．仅△△C．仅△△△D．仅△△△△11．如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（）A．AB△CD B．OA=OB C．△ACD=△BDC D．△ABC=△CAB12．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE△△BCD B．△BGC△△AFC C．△DCG△△ECF D．△ADB△△CEA13．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙14．正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，△APE的度数为（）.A．45B．55C．60D．7515．如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则△1+△2的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°16．如图，在下列条件中，不能证明△ABD△△ACD的是（）.A ．BD =DC ，AB =ACB ．△ADB =△ADC ，BD =DC C ．△B =△C ，△BAD =△CAD D ．△B =△C ，BD =DC17．如图，已知12AC AD ∠=∠=，，从下列条件：△AB AE =；△BC ED =；△C D ∠=∠；△B E ∠=∠中添加一个条件，能使ABC △△AED 的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．如图，在Rt△AEB 和Rt△AFC 中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于N ，△E ＝△F ＝90°，△EAC ＝△FAB ，AE ＝AF,给出下列结论：△△B ＝△C ；△CD ＝DN ；△BE ＝CF ；△△ACN△△ABM;其中正确的结论是( )A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△19．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中△1+△2等于（ ）A．150°B．180°C．210°D．225°20．如图，已知△DCE=90°，△DAC=90°，BE△AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD的长为（）A．3B．5C．4D．不确定21．如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：△△APE△△CPF；△AE=CF；△△EAF是等腰直角三角形；△S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．如图，△ABC中，AB△BC，BE△AC，△1=△2，AD=AB，则下列结论不正确的是A．BF=DF B．△1=△EFD C．BF>EF D．FD△BC23．如图，已知AB ＝AC ，AF ＝AE ，△EAF ＝△BAC ，点C 、D 、E 、F 共线．则下列结论，其中正确的是（ ）△△AFB△△AEC ；△BF ＝CE ；△△BFC ＝△EAF ；△AB ＝BC ．A ．△△△B ．△△△C ．△△D ．△△△△二、填空题 24．如图，某同学把三角形玻璃打碎三块，现在他要去配一块完全一样的，你帮他想一想，带________片去，应用的原理是________（用字母表示）．25．如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF EC ⊥，EF EC =，2DE =，矩形的周长为16，则AE 的长是______ ．26．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B ，D 作BF△a 于点F ，DE△a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为____．27．如图，△ACB=90°，AC=BC，AD△CE于D，BE△CD于E，AD=2.5cm，DE=1.6cm，则BE的长度为________．28．如图,已知△ABC中,AB=AC=20 cm,BC=16 cm,△B=△C,点D是AB的中点,点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由A点向C点运动,当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度为______.29．如图所示，AB=AC，AD=AE，△BAC=△DAE，△1=25°，△2=30°，则△3=__________．30．在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=2cm，CD△AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF△AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．31．如图，CA=CB，CD=CE，△ACB=△DCE=40°，AD、BE交于点H，连接CH，则△CHE=__________．32．如图，△ACB＝90°，AC＝BC，BE△CE，AD△CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝______．33．如图，在△ABC中，AD△BC于D，BE△AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则△ABC ＝_____度．34．如图，AC△BC，AD△DB，要使△ABC△△BAD，还需添加条件_____．（只需写出符合条件一种情况）35．如图AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△BAD＝25°，△ACE＝30°，则△ADE＝_____．36．如图，等边△ABC 边长为10，P 在AB 上，Q 在BC 延长线，CQ ＝P A ，过点P 作PE △AC 点E ，过点P 作PF △BQ ，交AC 边于点F ，连接PQ 交AC 于点D ，则DE 的长为_____．37．如图，△ABC 是等边三角形，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ△DA 于Q ，PQ ＝3，EP ＝1，则DA 的长是________.38．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．39．如图，AB ＝BC 且AB △BC ，点P 为线段BC 上一点，P A △PD 且P A ＝PD ，若△A ＝22°，则△D 的度数为_________．40．如图，在△ABC中，△A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则△EDF=____________度。

全等三角形问题培优在初中数学学习中，全等三角形是一个很重要的概念。

全等三角形指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形。

在解决问题时，我们常常要运用全等三角形的性质。

本文将从这一角度出发，介绍全等三角形问题的培优方法。

一、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。

在解决问题时，我们可以利用全等三角形的性质来简化计算过程和证明过程。

1. 边边边（SSS）全等条件：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

2. 边角边（SAS）全等条件：如果两个三角形的一个边和其夹角分别相等，并且另一边也相等，则这两个三角形全等。

3. 角边角（ASA）全等条件：如果两个三角形的两个角和夹在两个角之间的边分别相等，则这两个三角形全等。

利用这些全等条件，我们可以在解决问题过程中找到相应的全等三角形，从而得出答案。

二、全等三角形的应用1. 边长和角度比较在问题中，经常会出现两个或多个三角形的边长或内角需要进行比较的情况。

利用全等三角形的性质，我们不需要逐一计算每个边长或者每个内角的数值，只需要通过观察边长和角度的关系，找到全等三角形，就可以简化计算过程。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF的三个内角分别相等，我们可以得出这两个三角形全等。

如果已知三角形ABC的一条边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为b，那么我们就可以直接得出三角形DEF的边长与a的比较结果。

2. 证明问题在几何证明中，全等三角形是常常被用到的工具。

通过找到一个或多个全等三角形，我们可以得到所求证的结论。

例如，我们需要证明两条线段相等，可以通过构造两个全等三角形，使得所求线段等于全等三角形中的某条边。

然后，利用全等三角形的性质，我们可以得到所求线段等于另一条边，从而得到所需要证明的结论。

3. 问题求解在解决具体问题时，全等三角形也是一个很有用的工具。

通过观察问题中的几何关系，我们可以找到并利用全等三角形来简化问题的求解过程。

全等三角形培优关键信息项1、培优课程的目标和预期成果明确学生在全等三角形知识方面的掌握程度提升目标预期学生在相关考试和竞赛中的表现提升2、教学内容和方法涵盖全等三角形的定义、性质、判定定理等核心知识点采用讲解、练习、讨论、案例分析等多种教学方法3、教学时间和进度安排总课时数每周的上课时间和时长每个阶段的教学重点和进度计划4、学生的学习要求和责任按时参加课程，完成作业和练习积极参与课堂讨论和互动主动提出问题和寻求帮助5、教师的职责和教学质量保障具备专业知识和教学经验及时批改作业和答疑解惑定期进行教学评估和改进6、费用和退费政策课程费用的具体金额和支付方式退费的条件和流程7、保密和知识产权对教学资料和学生学习成果的保密规定知识产权的归属11 课程目标和预期成果111 本全等三角形培优课程旨在帮助学生深入理解全等三角形的概念、性质和判定方法，提高学生运用全等三角形知识解决复杂几何问题的能力。

通过本次培优课程，学生应能够熟练掌握全等三角形的各种证明技巧，能够准确快速地识别全等三角形，并能够运用全等三角形的知识解决综合性的几何难题。

112 预期成果方面，学生在完成本课程后，在学校的数学考试中有关全等三角形的题目得分率应显著提高，能够在数学竞赛中灵活运用所学知识取得较好的成绩。

同时，学生应具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续学习更高级的几何知识打下坚实的基础。

12 教学内容和方法121 教学内容将全面涵盖全等三角形的各个方面，包括但不限于：全等三角形的定义、性质和判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的详细讲解和应用举例。

全等三角形与其他几何图形（如等腰三角形、直角三角形）的综合应用。

全等三角形在证明线段相等、角相等以及求解图形面积等问题中的应用。

复杂图形中全等三角形的识别和构造。

122 教学方法将多样化，以满足不同学生的学习需求：课堂讲解：由教师系统地讲解全等三角形的知识点，确保学生理解基本概念和原理。

全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。

全等三⾓形证明培优题【精】整理版模块⼀：基本辅助线1.如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC.2.如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点，（1）求证：AF⊥CD.（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）3.如图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD.4.如图，平⾯上有⼀边长为2的正⽅形ABCD，O为对⾓线的交点，正⽅形OEFG的顶点与O 重合，OE、OG分别与正⽅形ABCD的边交于M、N两点．①如图（1），当OE⊥AB时，四边形OMBN的⾯积为___；②如图（2），当正⽅形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的⾯积会发⽣变化吗？试证明你的结论．5.如图所⽰，在△ABC中，AB=AC，在AB上取⼀点E，在AC延长线上取⼀点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。

6.如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG =BF+CG．模块⼆：母⼦型1已知：如图，点C为线段AB上⼀点，△ACM, △CBN都是等边三⾓形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：△CEF为等边三⾓形2.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。

求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。

3.如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正⽅形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE；（1）当正⽅形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成⽴？若成⽴，请给出证明；若不成⽴，请说明理由；（2）当正⽅形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．①求证：AG⊥CH；4.如图，已知△ABD、△AEC都是等边三⾓形，AF⊥CD于点F，AH⊥BE于点H,问：（1）BE 与CD有何数量关系？为什么？（2）AF、AH有何数量关系？为什么？5.已知：如图①所⽰，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在⼀条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三⾓形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针⽅向旋转180°，其他条件不变，得到图②所⽰的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成⽴；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6.（2009?丰台区⼀模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐⾓，点D为射线BC上⼀点，连接AD，以AD为⼀边且在AD的右侧作正⽅形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成⽴，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐⾓，点D在线段BC上，当∠ACB满⾜什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．模块三倍长中线（1）倍长中线（2）倍长类中线1.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，求证：AB=AC．2.已知，如图△ABC 中，AC>AB,AM 是BC 边上的中线，求证：21（AC-AB ）＜AM ＜21(AB+AC)．3. 如图所⽰，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC,E,F 分别在BD,AD 上，DE=CD,EF=AC,求证:EF//AB.4.如图，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF 求证：BE+CF ＞EF ．5. 证明：直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边上的⼀半。

三角形全等：旋转复习：已知∠ BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥ AC，垂足分别为E、F，（1）连接CD、BD，求证：△ CDF≌△BDE；2．（4分）如图，在锐角△ABC 中，AC=7cm，S△ABC=14cm2，AD 平分∠BAC ，M 、N分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________ cm．例 1．如图 1，C 是线段 BE 上一点，以 BC 、CE 为边分别在 BE 的同侧作等边△ ABC 和等边△ DCE ， 连结 AE 、BD ．（ 1）求证： BD=AE ；（2）如图 2，若 M 、N 分别是线段 AE 、BD 上的点，且 AM=BN ，请判断△ CMN 的形状，并说 明理由．例 2（1）在图 1中，AC 与 BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。

COD 均是等腰直角三角形，∠ AOB ＝∠ COD ＝ 90o ， （2）若△ COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗，还具有那种位置 关系吗？为什么？（ 3）若△ COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后， 到达图 3的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？还具有上问中的 位置关系吗？为什么？．如图 1、图 2、图 3，△ AOB ，△3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且MDN 60 ,BDC 120 ,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN 的周长Q 与等边ABC 的周长L的关系．图 1 图 2 图3I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；L （II）如图2，点M、N 边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N 分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x ，则Q=（用x 、L 表示）．4 如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB 为一边向外作等边三角形△ ABE，将BM绕点 B 逆时针旋转60 °得到BN，连接EN．（1）求证：△ AMB≌△ ENB；（2）若AM+BM+C的M值最小，则称点M为△ ABC的费尔马点．若点M为△ ABC的费尔马点，试求此时∠ AMB、∠BMC、∠ CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ ABE和等边△ ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．5．（1）如图（1），已知：在△ ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠ BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠ BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△ DEF的形状．6．如图①，已知，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=BC ，点 D 是AB 边上的中点，点 M 和点 N 是 动点，分别从 A ，C 出发，以相同的速度沿 AC ，CB 边上运动．（1）判断 DM 与 DN 的关系，并说明理由；（ 2）若 AC=BC=2，请直接写出四边形 MCND 的面积；（3）如图②，当点 M 运动到 C 点后，将改变方向沿着 CB 运动，此时，点N 在 CB 延长线上，过M 作 ME ⊥CD 于点 E ，过点 N 作NF ⊥DB 交DB 延长线于 F ，求证：7．（ 12分）已知两个全等的等腰直角 △ABC 、 △DEF ，其中∠ACB= ∠ DFE=90 °，E 为 AB 中点，△DEF 可 绕顶点 E 旋转，线段 DE ，EF 分别交线段 CA ，CB （或它们所在直线）于 M 、N ．（1）如图 l ，当线段 EF 经过△ABC 的顶点 C 时，点N 与点 C 重合，线段 DE 交 AC 于M ，求证：AM=MC ； （2）如图 2，当线段 EF 与线段 BC 边交于 N 点，线段 DE 与线段 AC 交于 M 点，连 MN ，EC ，请探究 AM ， MN ， CN 之间的等量关系，并说明理由；（3）如图 3，当线段 EF 与 BC 延长线交于 N 点，线段 DE 与线段 AC 交于 M 点，连 MN ，EC ，请猜想 AM ， MN ， CN 之间的等量关系，不必说明理由．ME=NF ．8．【感知】如图①，△ ABC是等边三角形，CM 是外角∠ ACD的平分线，E是边BC中点，在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．易证：△ AEF是等边三角形（不需要证明）．【探究】如图②，△ ABC是等边三角形，CM是外角∠ ACD的平分线，E是边BC上一点（不与点B、C重合），在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．求证：△ AEF是等边三角形．【应用】将图②中的“E是边BC上一点”改为“E是边BC延长线上一点”，其他条件不变．当四边形ACEF是轴对称图形，且AB=2时，请借助备用图，直接写出四边形ACEF的周长．21、 若m 2 m 1 0, 则m 3 2m 2 322、如图， AE ⊥AB 且 AE=AB ，BC ⊥ CD 且 BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是．27、在△ ABC 中，点 D 、E 分别为 BC 、AD 的中点， F 为 CE 的三等分点，则 S BFE 。

三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F点在AM 上，BE∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

全等三角形经典培优题型(含答案)1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。

解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3.2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2.解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2.3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。

解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。

4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，证明∠B=2∠C。

解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。

5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。

解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而△ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即AE=AD·(BE/AB)，又由于CE⊥AB，所以△CEB为直角三角形，从而BE/AB=CE/AC，代入得AE=AD·(CE/AC)，又由于AC平分∠BAD，所以△ACD∼△ABC，从而CE/AC=CD/AB，代入得AE=AD·(CD/AB)，又由于CD=AB-BD，所以AE=AD·((AB-BD)/AB)，即AE=AD+BE·(AB/AD-1)，又由于AB>AD，所以AB/AD-1<AB/AD，从而AE<AD+BE·(AB/AD)，即AE<AD+BE。

全等三角形的性质及判定一： 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 全等三角形除了具有上述性质外，还具有以下性质：全等三角形的面积相等；全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应边上的角平分线相等．灵活运用这些性质，可以简捷地证明一些命题，下面以例说明．例1 已知：如图1，ABC A B C '''△≌△，AD A D ''，分别是ABC △和A B C '''△的高. 求证：AD A D ''=．例2 已知：如图3，AB AC AD AE ==，，AB DC ，相交于点M ，AC BE ，相交于点N ，AP DC ⊥于P ，AQ BE ⊥于Q ，且DAB EAC =∠∠．求证：AP AQ =．练一练第1题. 如图，ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=，25B D ∠=∠=，120EAB ∠=，求DFB ∠和DGB ∠的度数．图1 A D C B A 'D ' C ' B 'A E BQPD MN 图2第2题. 如图，已知点C 是线段AB 上的任一点（C 点与A ，B 点不重合）分别以AC ，BC 为边在线段AB 的同侧作等边ACD △和等边BCE △,AE 与CD 相交于M ，BD 与CE 相交于N ．求证：①ACE DCB △≌△，②//MN AB ．第3题. 已知：ABC A B C ''△≌△，ABC △的三边为3m n ，，，A B C ''△的三边为5p q ，，，若ABC △的各边都是整数，则m n p q +++的最大值为多少？第4题. 长为l 的两根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为（ ） Ａ．64l l x <≤ Ｂ．84ll x <≤ Ｃ．64l l x << Ｄ．84l lx <<二： 在说明线段相等以及角相等的一类问题时，所要说明的两条线段或两个角若不在同一个三角形中一般是考虑添加辅助线来构造全等三角形，如何添加辅助线？方法很多，下面介绍三种主要方法：(一)、平移法例1 如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，以AB 、AC 为边在△ABC 外作等边△ABD 、△ACE ，连接DE 交AB 于F ，试说明：DF ＝FE ．B E DA NM(二)、旋转法例2 如图2，在△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，∠BPC ＝120°，试说明：AP ＝BP ＋PC ．(三)、翻折法例3 如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 点作CE ⊥AB ，垂足为E ，并且1()2AE AB AD =+．试说明：∠ABC ＋∠ADC ＝180°练一练第1题.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE CF =．①求证：BCE DCF △≌△．②若60BEC ∠= ，求EFD ∠的度数．BFECDA第2题 如图1，已知在ABC △中，AD BC ⊥于D ，AD BD =，DC DE =， 求证：1C ∠=∠．第3题 如图2，ABC △中，45ABC ∠=，H 是高AD 和BE 的交点， 求证：BH AC =．三、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．由以上题可知，虽题目纷杂繁多，形式千差万别，但稍加留意，就会发现证明题是定有规律可循的，所以做题时不要陷进题海难以自拔，要多研究一下其中的奥妙．BCE图1D A 1BCH图2D AE。

北师大七下利用全等三角形测距离培优专题一、单选题1．如图，童威书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，他的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上(如图所示)，可以说明△EDC△△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC△△ABC最恰当的理由是()A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角3．如图，大树AB与大树CD相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，小华行走到点E的时间是（）A．13s B．8s C．6s D．5s4．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO△△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A ．POB ．PQC ．MOD ．MQ5．如图，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知B E ∠=∠，AB DE =，BF EC =，其中ABC V 的周长为24cm ，3CF cm =，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为( )A ．45cmB ．48cmC ．51cmD ．54cm6．如图所示，将两根钢条,AA BB ''的中点O 连在一起，使,AA BB ''可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB OA B ≅''V V 的理由是：（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS7．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与△PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是△PRQ 的平分线。

全等三角形的性质及判定（培优）1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的面积相等,全等三角形的周长相等．3、全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS”(4) “角角边”或“AAS”一：判断题1．两边和一角对应相等的两个三角形全等.（）2．两角和一边对应相等的两个三角形全等.（）3．两条直角边对应相等的两个三角形全等.（）4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等.（）5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等. （）6．两个等边三角形全等. （）7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （）8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.（）9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.（）10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．（）二、证明题1、已知：AB=DE，AC=DF，BF=EC，求证：∠B=∠E （长沙·中考题）2、已知：OA=OB，AC=BD，∠A=∠B，M为CD中点.求证：OM平分∠AOB （红河·中考题）3、已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE=CF吗？说明理由。

4.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.5. 如图在ABC∆则DEB∆6、已知∠BAC=∠7、已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC=AD吗？说明理由。

ABCDEFAB CDFEACDB12348、在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？9、已知AD =AE ，BD =CE ，∠1=∠2，问⊿ABD ≌⊿ACE 吗？10、已知∠1=∠2，AC =BD ，E ，F ，A ，B 在同一直线上，问∠3=∠4吗？11．已知如图(1)，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：(1)BD ＝DE ＋CE ；(2)若直线AE 绕A 点旋转到(2)位置时(BD ＜CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予证明．(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时，(BD ＞CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD 、DE 、CE 的关系．12、已知，AC ⊥CE ，AC =CE ， ∠ABC =∠DEC =900，问BD =AB +ED 吗？13.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

第十二讲全等三角形趣题引路】如图12-1所示，BD＝CE，只添加一个条件，就可证得∠ABE＝∠ACD，有哪几种方法？这是一道由果索因的开放性问题，从图中看出∠ABE既是△ABE的内角又是△ODB的内角，同时∠ACD也是△ACD、△OEC的内角，而△ACD与△ABE，△ODB与△OEC分别有一对角相等，故可以考虑它们分别全等.方法1：添加AD＝AE（或AB＝AC），可得△ABE≌△ACD方法2：可添加∠BDO＝∠CEO，可得△BDO≌△CEO方法3：可添加BE＝CD，再连结BC，可得△BDC≌△CEB∴∠DBC＝∠ECB，∠EBC＝∠DCB∴∠ABE＝∠ACD本讲研究全等三角形在竞赛解题中的一些应用.知识拓展】证明三角形全等是研究平面图形性质的重要工具之一.利用它可以证明线段相等、角相等及研究两条直线的垂直和平行关系.三角形全等问题可分为三个层次：1.直接利用全等三角形的判定定理和性质定理，需要我们敏捷、快速地发现两条线段或两个角所分布的两个三角形及全等的条件；2.当证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，需根据图形的其他性质，先证明别的两个三角形全等以补足条件；3.当现有图形的任何两个三角形之间不存在全等关系，需要添置辅助线，构造全等三角形来研究平面图形的性质.我们实际遇到的图形中，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的，了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素.善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关公共边、公共角的以下两类基本图形：例1（2003年河北竞赛题）如图12-3，AC＝BC，AC⊥BC于点C，AB＝AD＝BD，CD＝CE＝DE，若AB＝2，BE＝ .解析在△ADC与△BDC中，由AD＝DB，DC＝DC，AC＝BC，可知△ADC≌△BDC，∠ADC＝∠BDC.又因为∠ADB＝60°，所以，∠ADC＝∠BDC＝∠EDB＝30°.故DB⊥CE，BC＝BE.而△ACB为等腰直角三角形，且AB＝2，所以，BC＝BE＝1点评:充分利用△DAB、△DCE是等边三角形这个条件是解题关键例2如图12-4，设△ABC是等腰三角形，D、E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连DE交BC于G点.求证：DG＝EG.解析思路一：构造一个与△CEG全等的三角形；思路二：构造一个与△DBG全等的三角形.证明: 作DF∥AC交BC于F，则∠ACB＝∠DFB，又因AB＝AC，故∠B＝∠ACB，因此∠B＝∠DFB，故DB＝DF＝CE,而又有∠FDG＝∠CEG，∠DGF＝∠EGC，故△DFG≌△ECG故DG＝EG.点评: 构造全等三角形时须根据图形的特征，通常有“截长法”、“补短法”、“中线加倍法”等.例3（2000年江苏省竞赛题）如图12-5，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上且DE⊥DF，则（）A.BE＋CF＞EFB.BE＋CF＝EFC.BE＋CF＜EFD.EF与BE＋CF大小关系无法确定解析此题让人联想到三角形三边关系，设法把BE、CF、EF放到一个三角形中去考虑，可将△EFD 沿直线DF“翻折”到△GFD,连结CG，易证△EFD≌△GFD，△BED≌CGD，EF＝FG，BE＝GC，故BE＋CF＞EF.选A.点评:本题也可把△GCD看作由△EBD绕D点旋转180°而得到,同时还可以将△EFD沿直线ED “翻折”求解.例4（2003年全国竞赛题）如图12-6，在△ABC中，D为AB的中点.分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF；过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P.设线段PA、PB的中点分别为M、N.求证：（1）△DEM≌△DFN；（2）∠PAE＝∠PBF.解析题中有多个“中点”，联想到中位线定理和直角三角形斜边上中线的性质，便可找到证题思路.证明（1）如图，据题设可知，DM平行且等于BN，DN平行且等于AM，∴∠AMD＝∠BND.∵M、N分别是Rt△AEP和△BFP斜边的中点，∴EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM.又已知DE＝DF,∴△DEM≌△DFN.（2）由上述全等三角形可知∠EMD＝∠FND，∴∠AME＝∠BNF.而△AME，△BNF均为等腰三角形，∴∠PAE＝∠PBF.点评: 学会转化是增强解题能力的一个重要途径，同时在较复杂的图形中发现线段、角之间的内在联系也很关键.好题妙解】佳题新题品味例1（2003年天津中考题）如图12-7，O为□ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，若BF＝DE，则图中的全等三角形最多有( )A.2对B.3对C.5对D.6对解析 图中若无EF ，则有4对，增加EF 后，增加了△AOE ≌△COF ，△DOE ≌△BOF . 选D .例2 如图12-8，P 是等边三角形ABC 中的一个点，PA ＝2，PB ＝23PC ＝4，则BC 的长是 .图12-8PMCBA解析 注意到PC 2＝PA 2＋PB 2，考虑将PA 、PB 、PC 转移至一个三角形中，将△BPA 绕B 点逆时针旋转60°，至△BMC ，连接PM ，则△CMB ≌△APB ，MB ＝BP ，∠MBP ＝60°,故△BMP 为正三角形，从而MP ＝BP ，这样PA 、PB 、PC 被移至△MPC 中，由PC 2＝MC 2＋MP 2，得∠CMP ＝90°，又MC ＝PA ＝2，PC ＝4，故∠MPC ＝30°，∠BPC ＝∠BPM ＋∠MPC ＝90°，由勾股定理可得，BC ＝27点评:将三条分散的线段化归为三角形的三边.例3如图12-9，△BDA 、△HDC 都是等腰直角三角形，且D 在BC 上，BH 的延长线与AC 交于点E ，请你在图中找出一对全等三角形并写出证明过程.解析 探索性问题已是当今中考的一大热点。

《全等三角形》培优题型全集题型一：倍长中线（线段）造全等1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BFC2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______.DCBA3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1<AB<29 B 、4<AB<24C 、5<AB<19D 、9<AB<194、已知：AD 、AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA=BD ， 求证：AE=21AC CE5、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ABFDEC题型二：截长补短1、已知，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝∠4。

求证：BC ＝AB ＋CD 。

2、已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB=AC+CD.3、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°， AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD ，求∠ABC 的度数DCBA4、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB ADCB A 12题型三：角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，求证：∠BAD+∠C=180°DCBA2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E ，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补，为什么？3、如图，△ABD和△ACD，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.4、已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。

2024-2025学年鲁教版七年级数学上册《第1章三角形》单元培优提升测评一．选择题1．如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB ＝∠E，AC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（）A．∠A＝∠DCE B．AB∥DE C．BC＝DE D．AB＝CD 2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BE∥AC，连接ED．若∠A＝56°，∠E＝48°，则∠ADE的大小为（）A．94°B．98°C．102°D．104°3．如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AD⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．124．下列图形不具有稳定性的是（）A ．正方形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形5．能确定ABC 与DEF 全等的条件是（ ）．A ．AB DE =，BC EF =，A E ∠=∠ B ．AB DE =，BC EF =，C B ∠=∠C ．A E ∠=∠，AB EF =，BD ∠=∠ D ．A D ∠=∠，AB DE =，B E ∠=∠6．如图，在△ABC 中，∠B=∠C=50º，BF=CD ，BD=CE ，若∠FDE=α，则α的度数为( )A ．50ºB ．80ºC ．60ºD ．45º7．（3分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝68．下列说法正确的是（ ）A ．三角形的三个外角的和是180°B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等D ．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等9．下列各组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠DB ．∠A ＝∠D ，∠C ＝∠F ，AC ＝EFC．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长＝△DEF的周长D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F10．如图，AD和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE＝CE②O是△ABC的重心③△ABD与△ACD面积相等④过CO的直线平分线段AB⑤∠ABE＝∠CBE⑥AD＝BE，其中正确的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数是 ______ °．12．如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A=36°，∠C'=24°，则∠B= ______ ．13．已知△ABC的三边长a、b、c,化简|a+b-c|-|b-a-c|的结果是 ______ ．14．如图，将一个三角形纸片ABC沿着DF折叠，点A与点E为对应点，若∠1＝74°，∠2＝144°，则∠A的度数为．15．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为．16．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为．三．解答题17．（1）如图1，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；①其中以AB为一边可以画出个三角形；②其中以C为顶点可以画出个三角形．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）①AC边上的中线BE；②AC边上的高BF；③作出与∠BAC相邻的外角．18．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝°；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）19.(2024·高邮市期中)如图,△ABO≌△CDO,点E,F在线段AC上,且AF=CE.试说明FD与BE的关系,并说明理由。