4.6 实数(2)
【基础须知】
1.运算法则
(1)·=(a≥0，b≥0)，即各因式的算术平方根的积，等于积的算术平方根.
(2)=(a≥0,b>0)，被除式的算术平方根除以除式的算术平方根等于商的算术平方根.
2.运算法则的反向运用
(1)如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.
反过来=×(a≥0，b≥0)，仍然成立.即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
(2)=(a≥0，b＞0)，仍然成立.即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
【重点梳理】
本节的重点是对实数运算的理解
【难点再现】
本节的难点是实数运算结果的化简.
【例题讲解】
计算(2-7)(+).
解析：利用整式的运算法则进行计算.
答案：(2-7)(+)
=2×+2×-7×-7×
=4-14+12-14
=-10-2.。
人教版高一上学期数学(必修二)《4.6函数的应用》同步测试题及答案1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y=2tB.y=2t2C.y=t3D.y=log2t2.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A.y=a(1+5%x)B.y=a+5%C.y=a(1+5%)x-1D.y=a(1+5%)x3.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A.y=mx2+n(m>0)B.y=mx+n(m>0)C.y=ma x+n(m>0，a>0，a≠1)D.y=m log a x+n(m>0，a>0，a≠1)4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)与鲑鱼的耗氧量的单位数P的关系为v=12log3P100，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为()A.1B.100C.200D.3005.国内首个百万千瓦级海上风电场—三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力.风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型:F(x)=1-e−(x2)k，其中k为形状参数，x为风速.已知风速为1m/s时，F≈0.221，则当风速为4m/s时，F约为(参考数据:ln0.779≈-0.25，e-4≈0.018)() A.0.920B.0.964C.0.975D.0.9826.(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少1，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301，3lg3≈0.477)()A.6B.9C.8D.77.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示:x 10 15 20 25 30Q(x) 50 55 60 55 50给出以下四个函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=a·b x;④Q(x)=a log b x.根据表中的数据，最适合用来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系的函数模型是.8.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为.9.(10分)据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加.(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数;(3分)(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式;(3分)(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上?(结果为整数)(参考数据:lg2≈0.3010，lg 3≈0.4771)(4分)10.(12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位:元/10kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表:t 50 110 250Q 150 108 150(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数:Q =at +b ，Q =at 2+bt +c ，Q =a ·b t ，Q =a log b t ;(6分)(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.(6分)11.白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞计数为(4.0~10.0)×109/L ，可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高，则需进一步探查原因，进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可以用对数模型W (m )=-W 0ln(Km )描述白细胞计数W (m )(单位:109/L)与随用药量m (单位:mg)的变化规律，其中W 0为初始白细胞计数对应值，K 为参数.已知W 0=20，用药量m =50时，在规定时间后测得白细胞计数W =14，要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到(参考数据:e 15≈1.221)( ) A.58B.59 C.60D.6212.某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y =e kx +b (e 为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h ，在22 ℃的保鲜时间是48 h ，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A.16 hB.20 h C.24 hD.26 h13.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p (单位:毫克/升)与过滤时间t (单位:小时)之间的关系为p (t )=p 0e -kt (e 为自然对数的底数，p 0为污染物的初始含量).过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了15，要使污染物的含量不超过初始值的110 000，至少还需过滤 小时(参考数据:lg 2≈0.301 0)( ) A.40B.38 C.44D.4214.光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的12以下，至少需要这样的玻璃板的块数为 .(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y (毫克/立方米)与时间t (分钟)之间的函数关系为y ={0.1t,0≤t ≤10,(12)t10−a ,t >10,函数的图象如图所示.如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是( )A.9:00B.8:40C.8:30D.8:0016.(12分)科学家发现某种特殊物质的温度y (单位:摄氏度)随时间x (单位:分钟)的变化规律满足关系式:y =m ·2x +21-x (0≤x ≤4，m >0).(1)若m =2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度;(5分) (2)如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.(7分)参考答案1．D 2.D 3.C 4.B5．D [因为F (1)≈0.221 所以e−12k≈0.779，12k ≈-ln 0.779，2k ≈4，得k ≈2所以F (4)=1-e −2k≈1-e -4≈0.982.]6．BC [设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则 2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，由n lg 23≤－lg 20即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2) 得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4.]7．② 8.t ＝－1λln NN 09．解 (1)依题意，得一年后这种鸟类的个数为 1 000＋1 000×8%＝1 080(只)两年后这种鸟类的个数为 1 080＋1 080×8%≈1 166(只)．(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加 则所求的函数关系式为 y ＝1 000×1.08x ，x ∈N .(3)令1 000×1.08x ≥3×1 000，得1.08x ≥3，两边取常用对数得 lg 1.08x ≥lg 3，即x lg 1.08≥lg 3 因为lg 1.08>0，所以x ≥lg 3lg 1.08所以x ≥lg 3lg 108100＝lg 3lg 108－2因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2 所以x ≥lg 33lg 3＋2lg 2－2≈0.477 13×0.477 1＋2×0.301 0－2≈14.3故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．10．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常函数，若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c可得⎩⎨⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c .解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.所以刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为 Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)由(1)可得，函数Q 为图象开口向上，对称轴为t ＝－－322×1200＝150的抛物线所以当t ＝150天时，芦荟种植成本最低为Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)． 11．D [由已知W 0=20，m =50，W (50)=14，代入W (m )=-W 0ln(Km ) 则14=-20ln(50K )，解得K =e−71050则W (m )=-20ln (me −71050)因为用药量m =50时，在规定时间后测得白细胞计数W =14，白细胞计数值偏高 所以令W (m )=-20ln (me −71050)≤10 即ln (me−71050)≥-12解得m ≥50e 15≈50×1.221=61.05.所以要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到62.] 12．C [由题意可知，当x ＝0时，y ＝192；当x ＝22时，y ＝48 ∴⎩⎨⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 11k ＝12，则当x ＝33时 y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24.]13．D [根据题设，得45p 0＝p 0e －k ∴e －k ＝45，所以p (t )＝p 0⎝⎛⎭⎫45t ；由p (t )＝p 0⎝⎛⎭⎫45t ≤110 000p 0，得⎝⎛⎭⎫45t ≤10－4，两边分别取以10为底的对数 并整理得t (1－3lg 2)≥4 ∴t ≥41－3lg 2≈41.2因此，至少还需过滤42小时．] 14．7解析 设至少需要x 块玻璃板由题意知⎝⎛⎭⎫1－110x <12即⎝⎛⎭⎫910x <12两边取对数lg ⎝⎛⎭⎫910x <lg 12即x ·(lg 9－lg 10)<－lg 2 即x ·(1－2lg 3)>lg 2 x >lg 21－2lg 3≈6.57 ∴x ＝7.15．A [根据函数的图象，可得函数的图象过点(10，1)代入函数的解析式，可得(12)1−a=1，解得a =1，所以y ={0.1t,0≤t ≤10,(12)t 10−1,t >10,令y ≤0.25，可得0.1t ≤0.25或(12)t10−1≤0.25解得0<t ≤2.5或t ≥30所以如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00.] 16．解 (1)由题意，得m ＝2 令y ＝2·2x ＋21－x ＝2·2x ＋22x ＝5解得x ＝1(负值舍去)因此，经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度． (2)由题意得m ·2x ＋21－x ≥2对一切0≤x ≤4恒成立 则由m ·2x ＋21－x ≥2，得m ≥22x －222x 令t ＝2－x ，则116≤t ≤1且m ≥2t －2t 2构造函数f (t )＝2t －2t 2 ＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋12所以当t ＝12时，函数y ＝f (t )取得最大值12 则m ≥12.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。
