4.1比例的等比性质

（1）在比或a∶b中，a是，b是。

求⑴AB4．1成比例线段4．1．1线段的比，成比例的线段学习目的：1、知道线段的比的概念。

理解成比例线段的概念2、会计算两条线段的比。

3、掌握成比例线段的判定方法。

重点：线段的比与成比例线段的概念。

教学过程：一、自主预习（一）阅读课本，思考并回答下列问题：1、一般地，如果选用量得两条线段AB，CD的长度分别为m,n，那么这两条线段的比就是他们长度的比，即AB∶CD=m:n,或写成ABmCDn,其中，线段AB，CD分别叫做这个线m AB段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么n CDk,或AB k CD。

ab⑵两条线段的要统一。

⑶在同一单位下线段长度的比与选用的无关。

⑷线段的比是一个没有的数。

（二）比例尺1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。

2、比例尺为1：50000，意思为：。

（三）成比例线段的概念1、一般地，在四条线段中，如果等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

（举例说明）如：2、四条线段成比例，记作：其中a,d叫比例外项，b,c叫比例内项。

3、四条线段a,b,c,d成比例，有顺序关系。

即a,b,c,d成比例线段，则比例式为：a:b=c:d；a,b,d,c成比例线段，则比例式为：a:b=d:c4、思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？三、例题解析：例1、A、B两地的实际距离AB=250m，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求该地图的比例尺。

例2：已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A＝30°,斜边AB＝2。

AC，⑵BC AB四、巩固练习1、已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：7，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？2、某地图上的比例尺为1：1000，甲，乙两地的实际距离为300米，则在地图上甲、乙两地的距离为多少？3、已知线段a,d,b,c是成比例线段，其中a=4,b=5,c=10，求线段d的长。

六年级下4.1比例的意义六年级下 41 比例的意义在六年级的数学学习中，比例这个概念可是相当重要的一部分。

今天咱们就来好好聊聊“比例的意义”，相信通过这次的探讨，大家能对比例有更清晰、更深入的理解。

那什么是比例呢？简单来说，比例就是表示两个比相等的式子。

比如说，2:3 和 4:6 这两个比，如果它们的值相等，那我们就说 2:3 ＝4:6 ，这就是一个比例。

为了更好地理解比例，咱们先得弄清楚什么是比。

比呢，就是两个数相除。

比如 3÷2 可以写成 3:2 。

在比中，前项除以后项所得的商，叫做比值。

就拿 3:2 来说，比值就是 3÷2 ＝ 15 。

那怎么判断两个比能不能组成比例呢？这就要看它们的比值是否相等啦。

比如说，6:8 和3:4 ，咱们先分别求出它们的比值。

6÷8 ＝ 075 ，3÷4 ＝ 075 ，因为它们的比值相等，所以 6:8 ＝ 3:4 ，这两个比就能组成比例。

比例在我们的生活中可是有着广泛的应用呢！比如说，在地图上，我们会看到比例尺。

比例尺就是图上距离与实际距离的比。

比如一张地图的比例尺是 1:10000 ，这就表示地图上 1 厘米的距离，在实际中代表 10000 厘米，也就是 100 米。

通过比例尺，我们可以很方便地计算出地图上两点之间的实际距离，或者知道实际距离在地图上应该画多长。

再比如说，我们在调配溶液的时候，也会用到比例。

比如要配制一种糖水，糖和水的比例是 1:5 。

如果我们有 2 克糖，那么根据这个比例，就需要加入 10 克水。

还有在建筑设计、工程施工中，比例也起着重要的作用。

设计师们会根据实际需要，按照一定的比例来绘制图纸，施工人员再按照图纸进行施工，这样才能保证建筑物的准确建造。

在数学中，我们经常会用比例来解决一些实际问题。

比如这样一道题：小明用 20 元买了 5 个笔记本，那么 40 元可以买几个同样的笔记本？我们可以先算出每个笔记本的价格，20÷5 ＝ 4 （元）。

4．1 成比例线段第1课时 线段的比和比例的基本性质1．了解线段的比和比例线段的概念．2．掌握比例的基本性质，会求两条线段的比，并应用线段的比解决实际问题．(重点)阅读教材P76～79，完成下列内容：(一)知识探究1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比(ratio)就是它们________的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n.其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的________和________．如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD＝k 或AB ＝k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．2．四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称________．3．比例的基本性质如果a b ＝c d，那么ad ＝________. 如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b＝________. (二)自学反馈1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，32．把mn ＝pq 写成比例式，错误的是( )A.m p ＝q nB.p m ＝n qC.q m ＝n pD.m n ＝p q活动1 小组讨论例 如图，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD ＝AD AB，那么a 的值应当是多少？解：根据题意可知，AB ＝a m ，AE ＝13a m ，AD ＝1 m. 由AE AD ＝AD AB，得 13a 1＝1a， 即13a 2＝1. ∴a 2＝3.开平方，得a ＝3(a ＝－3舍去)．本例提供了应用比例基本性质的一个具体情境，应注意阅读和理解题意，然后由比例式得到等积式，再通过计算求得结果．易错提示：开平方后求得的结果，需要检验是否符合题意．活动2 跟踪训练1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 32．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( )A ．2B ．4C ．4.5D ．83．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( )A ．2 250厘米B ．3.6千米C ．2.25千米D ．36千米4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.5．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长． 活动3 课堂小结1．线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k.2．两条线段的比是有序的；与采用的单位无关，但要选用同一长度单位．3．两条线段的比在实际生活中的应用．【预习导学】(一)知识探究1．长度 前项 后项 2.a b ＝c d 比例线段 3.bc c d(二)自学反馈1．B 2.D【合作探究】活动2 跟踪训练1．C 2.D 3.D 4.905．∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2.解得AE ＝5.6.∴AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．第2课时 等比性质1．理解并掌握等比性质．(重点)2．运用等比性质解决有关问题．(难点)阅读教材P79～80，自学“例2”，完成下列内容：(一)知识探究等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝________. 注意在运用等比性质时，前提条件是：分母b ＋d ＋…＋n ≠0.(二)自学反馈如果a b ＝c d ＝52(b ＋d ≠0)，那么a ＋c b ＋d＝________.活动1 小组讨论例 在△ABC 与△DEF 中，若AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长． 解：∵AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34， ∴AB ＋BC ＋CA DE ＋EF ＋FD ＝AB DE ＝34. ∴4(AB ＋BC ＋CA)＝3(DE ＋EF ＋FD)，即DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)． 又∵△ABC 的周长为18 cm ，即AB ＋BC ＋CA ＝18 cm ，∴DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)＝43×18＝24(cm)， 即△DEF 的周长为24 cm.在应用等比性质时，要抓住题目已知条件：三角形ABC 的周长，即三边之和为18 cm.活动2 跟踪训练1．已知a b ＝c d ＝e f＝4，且a ＋c ＋e ＝8，则b ＋d ＋f 等于( ) A ．4 B ．8C ．32D ．22．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝k ，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为( ) A ．2 B ．－1C ．2或－1D ．不存在3．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，则a ＋e b ＋f＝________. 4．如果a b ＝c d ＝e f＝k(b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________.5．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，求a ＋2c －3e b ＋2d －3f的值． 活动3 课堂小结等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.【预习导学】(一)知识探究 a b(二)自学反馈52【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.234.3 5．∵a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，∴a b ＝2c 2d ＝－3e －3f ＝23.∵b ＋2d －3f ≠0，∴a ＋2c －3e b ＋2d －3f ＝23.。

第2课时 比例的性质
学习目标：
1、掌握比例的基本性质、合比性质及等比性质.
2、会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题.
重点：比例的基本性质、合比性质及等比性质.
难点：运用比例基本性质解决各类问题.
【预习案】
一、链接
1、什么叫做两条线段的比？
2、若四条线段a 、b 、c 、d 成比例线段，写出它们的比例式，并指出比例内项、比例外项和第四比例项.
3、等式有哪些性质？
二、导读
阅读课本回答下列问题：
1、比例的基本性质
（1）、比例的基本性质：如果d
c b a =，那么 （2）、请写出上述变形的过程：
（3）请用简短的语言总结下列变形的方法：
如果 d
c b a =，那么ad=bc （ ） 如果
d c b a ::=,那么bc ad =（ ）
2、等积式转化为比例式
（1）、如果bc ad =，那么 （答案不唯一）
（2）、请写出上述变形的过程，并用简短的语言总结变形的方法：
【探究案】
1、合比性质：已知：d c b a =，求证：d
d c b b a ±=±
2、等比性质：已知
a c m
b d n ==…=(b ＋d ＋…＋n ≠0)，求证：a
c a b
d b
++=++…+m …+n
【训练案】
1、如果3x-2y=0,那么
y x = .
2、若7
4=-b b a ，则b a = . 3、若2 x = 3 y = 4 z ，求
y x z y x --+2 的值.
4、已知：已知753c b a ==，求c
c b a 234+-的值.。

第四章图形的相似1成比例线段第2课时比例的性质素材一新课导入设计情景导入类比导入悬念激趣如图4－1－15①所示，这两个正六边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？如图②，这两个正八边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？图4－1－15[说明与建议] 说明：思维往往从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现．在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验做好铺垫．你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘(或除以)同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？图4－1－16①中的鱼是将坐标为(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，－1)，(3，0)，(4，－2)，(0，0)的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；图②中的鱼是将图①中鱼上每个点的横坐标、纵坐标都乘2得到的．图4－1－16(1)线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？(2)线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？(3)你还能找到其他比相等的线段吗？[说明与建议] 说明：利用前面学习过的知识——“变化的鱼”来引导学生找到两个图形间的共同之处．借助图形的直观性来调动学生的学习兴趣，并通过三个问题引出新课．建议：可以让学生认真观察，先独立思考，后小组交流，为本节课的学习做好铺垫．素材二 教材母题挖掘80页例2在△ABC 与△DEF 中，已知AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长．【模型建立】根据比例中的等比性质，知各个比例式的分子之和与分母之和的比等于其中任意一个比例式．一定要注意它的前提条件：各分母之和不等于0.【变式变形】1．已知x a ＝y b ＝z c ＝2(2a －3b ＋c≠0)，求2x －3y ＋z2a －3b ＋c的值．[答案：2]2．如图4－1－17，已知每个小方格的边长均为1，求线段AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC的周长比．图4－1－17[答案：AB ＝25，DE ＝5，BC ＝210，DC ＝10，AC ＝213，EC ＝13，△ABC 与△EDC 的周长比为2∶1]素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用比例的性质求代数式的值比例的性质包含基本性质、等比性质和合比性质．在遇到相关问题时，要注意考虑选择适当的方法． 例 [凉山中考] 已知b a ＝513，则a －ba ＋b的值是(D )A .23B .32C .94D .49[命题角度2] 比例中的双解问题比例线段是相似三角形的基础，是沟通代数与几何计算的桥梁，但在具体处理有关比例线段的问题时，因缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，特别是在运用等比性质时忽略分母之和不等于0的前提条件．例 若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b ＝k ，求k 的值．[答案：12或－1]素材四 教材习题答案 P80随堂练习已知a b ＝c d ＝23(b ＋d ≠0)，求a ＋c b ＋d的值．解：a ＋cb ＋d ＝23. P81习题4.21．已知a b ＝c d ＝e f ＝23(b ＋d ＋f ≠0)，求a ＋c ＋eb ＋d ＋f的值．解：a ＋c ＋eb ＋d ＋f ＝23.2．如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比．解：AB ＝25，DE ＝5，BC ＝210，DC ＝10，AC ＝213，EC ＝13，l △ABC ∶l △EDC ＝2∶1.3．如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋d d ，a －b b ＝c －dd.你认为这个结论正确吗？为什么？解：正确．理由：∵a b ＝c d ，∴a b ＋1＝c d ＋1，a b －1＝c d －1，即a ＋b b ＝c ＋d d ，a －b b ＝c －dd.素材五 图书增值练习专题 综合运用比例性质 1. 若32a +＝4b ＝65c +，且2a －b ＋3c ＝21，求4a －3b ＋c 的值．2．如图，已知BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，求证：BCCA BC AB ++＝ME AE ．【知识要点】1．成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，我们就把这四条线段叫做成比例线段．2．比例的基本性质(1)如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ， (2)如果a b ＝b c ，那么b 2＝ac ， (3)如果a b ＝c d，那么a ±b b ＝c ±dd.【温馨提示】四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算判断是否成比例，防止出错． 【方法技巧】1．比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形． 2．遇到比例式时，可设辅助未知数k ，即设这些比的比值为k ，这种借助另一个未知数的解题方法叫辅助未知数法． 3．利用比例的基本性质可求长度，通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求解． 参考答案： 1．解：设32a +＝4b ＝65c +＝k ，则a ＋2＝3k ，b ＝4k ，c ＋5＝6k ，即a ＝3k －2，b ＝4k ，c ＝6k －5．∵2a －b ＋3c ＝21，∴2（3k －2）－4k ＋3（6k －5）＝21， ∴k ＝2．∴a ＝4，b ＝8，c ＝7． ∴4a－3b ＋c ＝4×4－3×8＋7＝－1．2．证明：∵BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，∴ CEBE AC AB ++＝EM AM ， 即BC AC AB +＝ME AM ，∴BC CA BC AB ++＝MEME AM +， 即BCCA BC AB ++＝ME AE ．素材六 数学素养提升比例线段错解诊所在学习比例线段时，时常出现各种各样的错误，为了方便同学们学习，现就常见的错解问题举例说明. 一、对比的概念认识模糊 例1 因为a b ＝43，所以a ＝4，b ＝3，你认为这种说法正确吗？为什么？ 错解 正确.因为a ＝4，b ＝3，所以a b ＝43，反过来则有a b ＝43，即a ＝4，b ＝3.剖析 a b ＝43仅表示a 、b 在同一长度单位下的比值，并不表示a ＝4，b ＝3.正解 这种说法是错误的.因为a b ＝43仅表示a 、b 在同一长度单位下的比值，它表示a ＝4k ，b ＝3k (k ＞0)，所以这种说法是错误的.二、对线段比的单位认识不足例2 有两条线段，它们的长度之比为a ∶b ＝5∶3，则a ＝5cm ，b ＝3cm ，你认为这种说法正确吗？为什么？错解 正确.因为a ＝5cm ，b ＝3cm ，所以它们的长度之比为a ∶b ＝5∶3，即这种说法是正确的. 剖析 比值是没有单位的，它与采用共同单位无关.正解 这种说法是错误的.因为a ∶b ＝5∶3仅表示a 、b 的比值，它表示a ＝5k ，b ＝4k (k ＞0)，所以这种说法是错误的.三、忽视单位的统一例3 A 、B 两地的实际距离AB ＝250m ，画在纸上的距离A ′B ′＝5cm ，求纸上距离与实际距离的比. 错解 纸上距离与实际距离的比是A ′B ′∶AB ＝5∶250＝1∶50.剖析 求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要注意有三点：①两条线段的比与采用的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；②如果给出的线段长度单位不同，则必须化为同一长度单位后再求线段的比；③两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发现本题的错解是没有将单位化同一.正解 因为AB ＝250m ＝25000 cm ，所以纸上距离与实际距离的比是A ′B ′∶AB ＝5∶25000＝1∶5000. 四、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等例4 若y y x -＝mn ，求x y的值. 错解 因为y y x -＝mn ，所以,.y m y x n =⎧⎨-=⎩解得,.x m n y m =-⎧⎨=⎩所以x y ＝m n m -. 剖析 这里错把两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如24＝12，分子上的2与1、分母上的4与2都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.正解 设y y x -＝mn ＝k (k ≠0)，所以y ＝(y －x )k ，即xk ＝yk －y ＝y (k －1)，所以x y ＝1k k -＝1m n m n-＝m n m -.五、忽视使用性质的条件 例5 若a b c +＝b c a +＝c a b+＝k .求k 的值. 错解 因为a b c +＝b c a +＝c a b +＝k ，所以由等比性质，得()2a b c a b c ++++＝k ，即k ＝12.剖析 运用等比性质的条件是分母之和不等于0，而这里并没有说明a +b +c ≠0，所以应分情况讨论. 正解 当a +b +c ≠0时，由等比性质，得()2a b c a b c ++++＝k ，即k ＝12；当a +b +c ＝0时，则有a +b ＝－c ，或a +c＝－b ，或b +c ＝－a ，无论哪一种情况都有k ＝－1，所以k 的值为12或－1. 六、错误地运用设k 法解题例6 已知x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，且2x －y +3z ＝38，求3x +y －2z 的值.错解 设x ∶y ∶z ＝3∶5∶6＝k ，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，又2x －y +3z ＝38，所以6k －5k +18k ＝38，即k ＝2，所以3x +y －2z ＝9k +5k －12k ＝2k ＝4.剖析 本题不能用“设x ∶y ∶z ＝3∶5∶6＝k ”的方法求解，因为“3∶5∶6＝k ”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但开始的设法就是错误的.正解 因为x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，所以可设3x ＝5y ＝6z＝k ，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，又2x －y +3z ＝38，所以6k －5k +18k ＝38，即k ＝2，所以3x +y －2z ＝9k +5k －12k ＝2k ＝4.七、忽视成线段成比例的顺序性例7 已知线段a ＝3 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm.试求a 、b 、c 的第四比例项x .错解 因为a 、b 、c 的第四比例项是x ，所以有x ∶a ＝b ∶c ，即x ＝abc，又a ＝3 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm ，所以x ＝357⨯＝157.剖析要求a、b、c的第四比例项x，就表示四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝bca，就是说线段成比例得讲究一个顺序性，错解正是忽略了这一点.正解因为四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝bca，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝573＝353.。

4.1 比例线段一、填空题1．（2019春•邗江区校级期末）若a：b：c＝1：2：3，则＝2．（2019•金牛区模拟）若，则＝．3．（2018秋•武陵区校级期末）若，那么＝．4．（2018秋•双峰县期末）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿cm的鞋子才能好看？（精确到1cm）．5．（2018秋•江干区期末）已知b是a、c的比例中项，若a＝4，c＝9，那么b＝．6．（2018秋•宜兴市期末）如果═3且b+d+f＝3，则a+c+e＝．二、选择题7．（2019•杨浦区模拟）在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（）千米．A．3 B．30 C．3000 D．0.38．（2019•郫都区模拟）如果x：y＝3：5，那么x：（x+y）＝（）A．B．C．D．9．（2019春•工业园区期末）若＝，则下列变形错误的是（）A．＝B．＝C．3a＝2b D．2a＝3b10．（2019春•乳山市期末）如图①，AB＝2，点C在线段AB上，且满足＝如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为（）A．14﹣6B．4﹣8 C．10﹣22 D．10﹣2011．（2018秋•皇姑区期末）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）12．（2018秋•包河区期末）若＝＝，则的值是（）A．B．C．D．413．（2019春•张店区期末）据有关实验测定，当室温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约（精确到1℃）（）A．21℃B．22℃C．23℃D．24℃14．（2019•顺庆区校级自主招生）已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．D．4x＝3y15．（2019•庆云县一模）在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系式为（）A．（2﹣x）：x＝x：2 B．x：（2﹣x）＝（2﹣x）：2C．（1﹣x）：x＝x：1 D．（1﹣x）：x＝1：x三、解答题16．（2018秋•赣榆区期末）已知a、b、c满足2a＝3b＝4c，且6a+9b﹣4c＝20，分别求出a、b、c的值．17．（2018秋•永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．18．（2018春•南票区期末）若k＝＝＝，且a+b+c≠0，求k的值．19．已知：＝＝＝，求值：（1）；（2）．20．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．参考答案一、填空题1．（2019春•邗江区校级期末）若a：b：c＝1：2：3，则＝﹣2【思路点拨】设a＝k，b＝2k，c＝3k把a、b、c的值代入，求出即可．【答案】解：由a：b：c＝1：2：3，可设a＝k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝．故答案为：﹣2【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．2．（2019•金牛区模拟）若，则＝．【思路点拨】直接利用已知变形进而得出a，b之间的关系．【答案】解：∵，∴3（a+2b）＝7（b﹣a），故3a+6b＝7b﹣7a，∴10a＝b，则＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．3．（2018秋•武陵区校级期末）若，那么＝．【思路点拨】依据，即可得到x＝2y，再代入代数式化简即可．【答案】解：∵，∴2x+2y＝3x，∴x＝2y，∴＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．4．（2018秋•双峰县期末）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿10cm的鞋子才能好看？（精确到1cm）．【思路点拨】设应穿xcm高的鞋子，根据黄金比为0.618列式计算即可．【答案】解：设她应穿xcm高的鞋子，根据题意，得＝0.618．解得，x≈10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是黄金分割，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值0.618叫做黄金比．5．（2018秋•江干区期末）已知b是a、c的比例中项，若a＝4，c＝9，那么b＝6．【思路点拨】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．【答案】解：若b是a、c的比例中项，即b2＝ac．则b＝±（负值舍去）．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了比例线段，关键是根据比例中项的定义解答．6．（2018秋•宜兴市期末）如果═3且b+d+f＝3，则a+c+e＝9．【思路点拨】根据比例的性质解答即可．【答案】解：由果═3可得：，因为b+d+f＝3，所以a+c+e＝9，故答案为：9【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．二、选择题7．（2019•杨浦区模拟）在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（）千米．A．3 B．30 C．3000 D．0.3【思路点拨】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【答案】解：设这条道路的实际长度为x，则＝，解得x＝300000cm＝3km．∴这条道路的实际长度为3km．故选：A．【点睛】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．8．（2019•郫都区模拟）如果x：y＝3：5，那么x：（x+y）＝（）A．B．C．D．【思路点拨】可设x＝3k，根据已知条件得到y＝5k，再代入计算可求x：（x+y）的值．【答案】解：∵x：y＝3：5，∴可设x＝3k，则y＝5k，则x：（x+y）＝3k：（3k+5k）＝3：8；故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．9．（2019春•工业园区期末）若＝，则下列变形错误的是（）A．＝B．＝C．3a＝2b D．2a＝3b【思路点拨】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【答案】解：由＝得3a＝2b，A、由等式性质可得：3a＝2b，变形正确；B、由等式性质可得：3a＝2b，变形正确；C、变形正确；D、2a＝3b与3a＝2b不一致，变形错误．故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．10．（2019春•乳山市期末）如图①，AB＝2，点C在线段AB上，且满足＝如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为（）A．14﹣6B．4﹣8 C．10﹣22 D．10﹣20【思路点拨】利用黄金比进行计算即可．【答案】解：由＝得，AC＝＝＝﹣1，BC＝＝＝3﹣，因为CBDE为正方形，所以EC＝BC，AE＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，矩形AEDF的面积：AE•DE＝（2﹣4）×（3﹣）＝10﹣22．故选：C．【点睛】本题考查了黄金分割的意义，熟练利用黄金比计算是解题的关键．11．（2018秋•皇姑区期末）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）【思路点拨】根据黄金比值是计算即可．【答案】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴BC＝AB＝2（﹣1）cm，则AC＝4﹣2（﹣1）＝6﹣2，故选：A．【点睛】本题考查的是黄金分割，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．（2018秋•包河区期末）若＝＝，则的值是（）A．B．C．D．4【思路点拨】设＝＝＝k，则x＝2k，y＝7k，z＝5k，代入进行计算即可．【答案】解：设＝＝＝k（K≠0），则x＝2k，y＝7k，z＝5k，∴＝＝，故选：C．【点睛】本题主要考查了比例的性质，利用设k法进行计算是解决问题的关键．13．（2019春•张店区期末）据有关实验测定，当室温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约（精确到1℃）（）A．21℃B．22℃C．23℃D．24℃【思路点拨】根据黄金比的值可知，人体感到最舒适的温度应为37℃的0.618倍．【答案】解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃．故选：C．【点睛】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是要熟记黄金比的值为≈0.618．14．（2019•顺庆区校级自主招生）已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．D．4x＝3y【思路点拨】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．【答案】解：A、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；B、∵，∴＝﹣，此选项错误，符合题意；C、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；D、∵，∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．15．（2019•庆云县一模）在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系式为（）A．（2﹣x）：x＝x：2 B．x：（2﹣x）＝（2﹣x）：2C．（1﹣x）：x＝x：1 D．（1﹣x）：x＝1：x【思路点拨】设它的下部的高度应设计为xm，则设它的上部的高度应设计为（2﹣x）m，于是利用雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比可列方程．【答案】解：根据题意得（2﹣x）：x＝x：2．故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．三、解答题16．（2018秋•赣榆区期末）已知a、b、c满足2a＝3b＝4c，且6a+9b﹣4c＝20，分别求出a、b、c的值．【思路点拨】根据题意，设2a＝3b＝4c＝k．又因为6a+9b﹣4c＝20，则可得k的值，从而求得a、b、c的值．【答案】解；设2a＝3b＝4c＝k．可得：，把a、b、c代入6a+9b﹣4c＝20，得：k＝4，所以a＝2，b＝，c＝1．【点睛】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．17．（2018秋•永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．【思路点拨】令第一个等式等于k，表示出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断．【答案】解：设＝＝＝k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，则△ABC为直角三角形．【点睛】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．18．（2018春•南票区期末）若k＝＝＝，且a+b+c≠0，求k的值．【思路点拨】根据比例的性质，即可解答．【答案】解：∵k＝＝＝，且a+b+c≠0，∴k＝＝＝﹣1．【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟记比例的性质．19．已知：＝＝＝，求值：（1）；（2）．【思路点拨】根据已知比例式，利用比例的等比性质直接求解即可．【答案】解：（1）∵＝＝＝，∴原式＝；（2）∵＝＝＝，∴＝＝，∴原式＝．【点睛】考查了等比的性质．如果（b+d+…n≠0），＝．20．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．【思路点拨】只需求得其宽与长的比是否符合黄金比即可．【答案】解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD＝BC，DE＝AB，∴＝＝﹣1＝＝．∴矩形ABFE是黄金矩形．【点睛】根据已知条件和正方形的性质进行分析求解．。