Chp9状态空间系统响应、可控性和可观性

(5) 对于正实数 n， (e At ) n = e nAt , Φ n (t ) = Φ ( nt ) ； ，则 e (6) 若 AB = BA （即矩阵 A、B 乘法可交换）
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( A+ B ) t
= e At e Bt ；
(7) 若 P 为非奇异矩阵，则 e
P −1 APt
= P −1e At P 。
y (t ) = ∑ [ ki1e − λi t + ki 2te − λi t + L +
i =1
p
kini ( ni − 1)!
t ni −1e − λit ]
(9.3)
由式(9.3)可以看出，输出响应 y (t ) 是
t ni −1e−λit (i = 1,2,L, p; ni = 1,2,L)
d − At & (t ) − Ax (t )] = e − At Bu(t ) [e x (t )] = e − At [ x dt
(9.6)
对上式两边进行积分，积分限从 0 到 t，即
∫ { dτ [e
0
t
d
− Aτ
x (τ )]}dτ = ∫ [e − Aτ Bu(τ )]dτ
0
t
可得
e − At x (t ) − x (0) = ∫ e − Aτ Bu(τ )dτ
2
经部分分式展开有
1 1 1 s+2 s +1 = − − Y (s) = − 2 2 s ( s + 1) + 1 s ( s + 1) + 1 ( s + 1) 2 + 1
采用反拉氏变换后则得输出响应为 P275
y (t ) = 1 − e − t cos t − e− t sin t
将一个有理分式进行部分分式展开，MATLAB 提供了一个函数 residue( )。可以通过查询 MATLAB 帮助获取有关函数的使用方法。 另外，由于系统的传递函数是在零初始条件下定义的，因此，根 据它求出的输出响应只是系统的零状态响应。
现代控制理论：9-12 章
产生和发展的动因：它是在航天技术和机器人技术的推动下，于 20 世纪 60 年代开始形成并得到了迅速的发展。 研究内容：用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量之间的因 果关系 优势：不但反映系统的输入与输出的外部特性，而且揭示了系统内部 的结构特性。 适用范围：既适用于单变量控制系统，又适用于多变量控制系统；既 适用于线性定常系统，又可用于线性时变系统，还可以用于复杂的非 线性系统。
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各项的线性组合，各项性质由 G ( s ) R ( s ) 的极点决定，而其大小还与
G ( s ) R( s ) 的零点有关。
例 9-1 已知系统闭环传递函数为
G (s) = 2 s + 2s + 2
2
求其在单位阶跃信号输入下的输出响应。
解:由已知条件得，系统输出响应的拉氏变换为
Y (s) = G ( s) R(s) = 2 s ( s + 2 s + 2)
0
t
所以
5
x (t ) = e At x (0) + ∫ e A (t −τ ) Bu(τ )dτ
0
t
(9.7)
从式(9.7)可以看出，系统的动态响应由两部分组成：一部分由状 态初始值 x (0) 引起，叫做零输入响应；另一部分由输入信号 u(t ) 引起， 叫做零状态响应。
9.2 状态转移矩阵
一般情况下，线性系统（包括定常和时变）的状态响应方程可以 写为
9.2.2 矩阵指数和状态转移矩阵的计算
在求解线性定常系统的状态方程时，首先要计算矩阵指数 e At 或状 态转移矩阵 Φ (t ) 。仅在一些特殊情况下，可以利用定义式(9.5)计算矩 阵指数。下面介绍两种常用的计算矩阵指数的方法。
一、拉氏变换法
设有线性定常齐次状态方程
& (t ) = Ax (t ), x (0) = x0 x
9.1.2 状态方程的解
通过求解系统的状态方程，可以获取系统中状态变量随时间的变 化情况，即系统的状态响应。 已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为
& (t ) = Ax (t ) + Bu(t ), x (0) = x0 x
(9.4)
状态变量的初始值为 x0 ，控制作用为 u(t ) 。
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状态方程是一阶微分方程组，它的求解方法和解的形式都与标量 一阶微分方程相似。标量一阶微分方程的齐次方程为
F ( s) = ∫
∞ −∞
f (t )e − st dt ， s = σ + iω
逆拉氏变换(Reverse Laplace Tarnsfrom)
f (t ) = 1 σ + j∞ F ( s )e st ds , f (t ) = L−1[ F ( s)] ∫ σ − j ∞ 2πj
已知系统的传递函数 G ( s ) , 当给定输入信号 r (t ) 的拉氏变换 R ( s )
x (t ) = e At x (0)
其中，
e At = I + At +
∞ 1 22 1 1 A t + L + Ak t k + L = ∑ Ak t k 2! k! k =0 k !
(9.5)
式(9.5)无穷矩阵级数的收敛式 e At 叫做矩阵指数，I 为单位矩阵。 下面讨论非齐次状态方程(9.4)的求解。用 x (t ) 左乘 e − At 之后求导得
& (t ) = ax (t ), x (0) = x0 x
其解为
x(t ) = eat x(0)
其中，指数函数 e at 可以展成如下无穷级数形式
eat = 1 + at +
∞ 1 22 1 1 a t + L + ak t k + L = ∑ ak t k 2! k! k =0 k !
& = Ax 的解也具有如下形式 与此类似，一阶向量微分方程的齐次方程 x
(9.11)
因此有
Φ(t ) = e At = L−1[( sI − A) −1 ]
(9.12)
这种方法实际上是用拉氏变换在频域中求解状态方程。矩阵 ( sI − A)−1 称为预解矩阵。 例 9-2 已知系统的系数矩阵为
⎡0 1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ −2 −3⎦
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求矩阵指数 e 解
At
。
由矩阵求逆的公式可知
Y ( s) = ∑ [
i =1
p
kini k i1 ki 2 + + L + ] ( s + λi ) ni s + λi ( s + λi ) 2
(9.2)
式中 ki 在复变函数中称为留数，并由下面的表达式确定
k ini = G ( s ) R ( s )( s + λi ) ni
s = − λi
2
是有理函数的情况下，相应输出响应的拉氏变换为
Y (s) = G (s) R( s) =
Q( s)
∏ (s + λi )ni
i =1
p
(9.1)
式中 λi 是 G ( s ) R( s ) 的相异极点，可以为实数和复数，如为复数极点必 然共轭成对； ni 为重极点数。 对 Y ( s ) 用部分分式展开，可得
d [G ( s ) R ( s )( s + λi ) ni ] s =− λi ds
M
ki1 = 1 d ni −1 ⋅ ni −1 [G ( s ) R ( s )( s + λi ) ni ] s =− λi (ni − 1)! ds
注意，与复数共轭极点相对应的系数也互为共轭复数。 对式(9.2)取逆拉氏变换，即可得输出响应 y (t )
响应。
9.1.1 利用传递函数求解输出响应
拉氏变换(Laplace Tarnsfrom)
对于一个函数 f (t ) ，其单边拉氏变换 F ( s ) 为
F ( s) = ∫ f (t )e − st dt ， s = σ + iω 复频率, F ( s ) = L[ f (t )]
0 ∞
对于一个函数 f (t ) ，其双边拉氏变换 F ( s ) 为
⎡ 2 e − t − e −2 t =⎢ −t −2 t ⎣ − 2e + 2 e
e − t − e −2 t ⎤ ⎥ − e − t + 2e −2 t ⎦
求解过程中的 adj ( sI − A) 表示矩阵 ( sI − A) 的伴随矩阵。
二、化矩阵 A 为对角线矩阵和约当矩阵法
如果状态方程的系数矩阵 A 为对角线矩阵，即
(9.9)
对上式进行拉氏变换，则有
sX ( s ) − x (0) = AX ( s )
从而有
X ( s ) = ( sI − A) −1 x (0)
(9.10)
对(9.10)式求拉氏反变换，得
x (t ) = L−1[ X ( s )] = L−1[( sI − A) −1 x (0)]
= L−1[( sI − A) −1 ] x (0) = e At x (0)
也就是说如系数矩阵 A 具有对角线形式， 则其对应的矩阵指数是很 容易计算的，并且也为对角线矩阵。 根据矩阵指数的性质（7）和矩阵相似理论，如果矩阵 A 通过相似
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Chp.9 状态空间系统响应、 可控性与可观性
9.1 线性定常系统的响应
当系统的数学模型建立以后， 在一定的初始条件和某种输入信号 作用下，就可以求解它的状态响应和输出响应。 对于一般的线性定常系统， 可以利用传递函数和状态方程求解系 统的动态响应； 对于复杂系统或非线性系统，难以求得解析解，甚至不存在解析 解，只能借助计算机来求数值解。 本节将介绍 利用传递函数求解输出响应 和 从状态方程求解状态