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自动控制原理 第十四讲 可控性和可观测性

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可控性与可观性

可控性与可观性

现
代
控
制 理 论
【例】
2
x
0
1 1
x
1 0
u,
试判别状态可控性
解：
Qc [b
1 Ab] 0
2
0
，
rankQc 1 n
∴系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 5
连续时间系统状态完全可控的条件
现
代 控
定理2：
定理2
制 理
设连续时间系统 x Ax Bu, 系统状态完全可控的充要条件为：
理 论
y 1 0 x
解：上述动态方程可写成：
x1 x 2
x1 2x2
2u
y x1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x1是不可控的；
从输出方程看，输出y不能反映状态变量 x2 ，所以状态变量 x2 不能观测。
Modern Control Theory
Page: 3
状态完全可控的条件
在S平面上状态完全可控的条件
现
代
完全可观测性条件也可用传递函数或者传递矩阵阐述。完全
x
5 u
0 0 1 7
（3）
（4）
7 0 0 0 1
7 0 0 0 1
x
0
5
0
x
4
0 u
x
0
5
0
x
0
0 u
0 0 1 7 5
0 0 1 7 5
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
C

实验三 系统的可控性与可观测性分析

实验三 系统的可控性与可观测性分析

实验三系统的可控性与可观测性分析一、实验目的1．巩固控制系统能控、能观等知识；控制系统的最小实现和控制系统的能控、能观测标准型等基础知识；2．掌握使用MATLAB 判定系统可控性与可观测性的方法；3．掌握使用MATLAB 控制系统的标准型实现；4．通过Matlab 编程，上机调试，掌握和验证所学控制系统的基本理论。

二、实验原理与步骤(一)、可控性和可观测性的定义1.可控性的定义若对状态空间的任一非零状态x(t0)，都存在一个有限时刻t1>t0和一个容许控制u[t0,t1]，能在t1时刻使状态x(t0)转移到零，则称状态方程XAX BU =+ 在t0时刻是可控的。

反之称为在t0时刻不可控。

2.可观测性的定义定义：若对状态空间中任一非零初态x(t0)，存在一个有限时刻t1>t0，使得由输入u[t0,t1]和输出y[t0,t1]能够唯一确定初始状态x(t0)，则称动态方程XAX BU Y CX DU=+=+在t0时刻是可观测的。

反之称为是不可观测的。

(二)、可控性和可观测性判据1、可控性构造一个相似变换矩阵1(,,,)n c T B AB A B -= 公式中，n 是系统的阶次；矩阵c T 称为系统的可控性变换矩阵。

矩阵c T 可以由控制系统工具箱中提供的()ctrb 函数来产生。

其调用格式为(,)c T ctrb A B =公式中，c T 的秩，即()c rank T 称为系统的可控性指数，它的值表示系统中可控制的状态的数目。

如果()c rank T n =，则系统是完全可控制的。

【例题1】考虑系统的状态方程模型为0100001010001000502x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦分析系统的可控性。

A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0]B=[0;1;0;-2]Tc=ctrb(A,B)rank(Tc)结果如下：>>rank(Tc)ans =4可见，系统完全能控。

自动控制原理(课件)

自动控制原理(课件)

例：下图所示网络，设 x1 u C1 , x 2 u C2 ，输出 y x 2 。
4
二、 线性系统的可控性与可观测性（4）
当 R1 R2 , C1 C 2 且初始状态 x1 (t 0 ) x 2 (t 0 )时，则不论将 输入 u 取为何种形式，对于所有 t t 0 ，只能是 ， x1 (t ) 不可能做到 x 2 (t ) 。也就是说，输入 能够做到使 u x1 x1 (t ) x 2 (t ) 和 同时转移到任意相同的目标值，但不能将 和 分别 x2 x 1 x2 转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路 不可控。由于 ，故系统可观测。
R3 R4 1 R1 R 2 x1 R R R R L 1 2 3 4
1 x1 u L
1 1 1 x2 R R R R x2 C 1 2 3 4
17
二、 线性系统的可控性与可观测性（17）
可控性矩阵为
A 其中， (t ), B(t ), C (t )和D(t ) 分别为 (n n), (n p), ( q n)和( q p) 的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程 的解为 t
x(t ) (t, t 0 ) x 0 (t, ) B( )u( )d

t
t0
ui (t ) dt ,
2
t 0 , t Tt
7
二、 线性系统的可控性与可观测性（7）
此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻 t 0的选取有 关，是相对于 T t 中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定 常系统，其可控性与初始时刻 t 0 的选取无关。 状态与系统可达： 若存在能将状态 x(t 0 ) 0 转移到 x (t f ) x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t 0 时刻可达的。若 x f 对所有时刻都是可达的，则称状态 x f 为完全可达或一 致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是 t 0时刻可 达的，则称该系统是 t 0 时刻状态完全可达的，或简称该系统 是 t 0 时刻可达的。 对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但 对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。

《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性

《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性

将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所

§8.4 线性系统的可控性和可观测性

§8.4 线性系统的可控性和可观测性
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引申出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a）
(b)
(c)
图 8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别
对图 8-20 所示的结构图，其中，由图 8.20（a）显见， x1 受 u 的控制，但 x2 与 u 无关， 故系统不可控。系统输出量 y = x1 ，但 x1 是受 x2 影响的， y 能间接获得 x2 的信息，故系统 是可观测的。图 8.20（b）中所示的 x1 、, x2 均受 u 的控制，故系统可控，但 y 与 x2 无关，故 系统不可观测。图 8.20（c）中所示的 x1 、 x2 均受 u 的控制，且在 y 中均能观测到 x1 、 x2 ，
（8-94）
可控性矩阵为
S2 = ⎡⎣G Φ G L Φ n-1G ⎤⎦
（8-95）
⎡u(n −1)⎤
Δ x = ⎣⎡G
ΦG
L
Φ n−1G ⎤⎦
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣u(0) ⎥⎦
（8-96）
该阵为 n × np 矩阵，由于列向量 u(n −1),L, u(0) 构成的控制列向量是 np 维的，式（8-96） 含有 n 个方程和 np 个待求的控制量。由于 Δx 是任意的，根据解存在定理，矩阵 S2 的秩为 n
⎡ u0 ⎤
n−1
∑ e− Atf Δ x = Ambum = ⎡⎣b m=0
Ab
L
An−1b ⎤⎦
⎢ ⎢ ⎢
u1 M
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣un
−1
⎥ ⎦
(8-103)

《自动控制原理》 线性离散系统的可控性和可观测性

《自动控制原理》 线性离散系统的可控性和可观测性

于n个采样周期。
例9-19 设单输入线性定常离散系统状态方程为
1 0 0
1
x(k
+ 1)
=
0
2 − 2 x(k) + 0u(k)
−1 1 0
1
试判断其可控性；若初始状态 x(0) = 2 1 0T ，确定使 x(3) = 0 的控
制序列 u(0),u(1),u(2); 研究使 x(2) = 0 的可能性。
3）如果离散时间系统（9－135）或（9－136）是相应连续时间
系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的。
上述等价条件的简单证明可参阅有关参考文献，此处不在详述。
(3)线性定常离散系统的可控性判据
设单输入线性定常离散系统的状态方程为
x(k +1) = Gx(k) + hu(k)
（9－137）
系统在时刻 l 是完全可观测的.
(2)线性定常离散系统的可观测性判据
设线性定常离散系统的动态方程为
x(k +1) = Gx(k) + Hu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k) （9－153）
其中 x(k) 为n维状态向量， y(k)为q维输出向量，其解为
k −1
x(k) = G k x(0) + G k−1−i Hu(i) i=0
由 x(1) = Gx(0) + Hu(0) = 0 可得
0 − 2 1 0 0
−1 2
x(0) = −G −1Hu(0) = −0 1
−1 2 3
0 0 − 21
1 0
u1 u2
(0) (0)
=
0 2
1 u1(0) −23u2 (0)

自动控制原理状态观测器知识点总结

自动控制原理状态观测器知识点总结

自动控制原理状态观测器知识点总结自动控制原理状态观测器是自动控制系统中的重要组成部分，用于实时地获取、估计和观测系统的状态信息。

在控制系统中，状态观测器的设计和性能直接影响系统的响应速度、稳定性和精度。

本文将对自动控制原理中的状态观测器进行知识点总结。

一、状态观测器的基本概念在自动控制系统中，状态观测器的主要作用是通过利用系统的输出信号来估计系统的状态变量，从而实现对系统状态的观测和监测。

状态观测器的设计目标是在系统的输出信号和已知的输入信号的基础上，使用数学模型来估计未知的状态变量。

二、状态观测器的数学模型状态观测器的数学模型通常由状态方程和输出方程组成。

状态方程描述了系统状态的动态变化规律，而输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。

通过状态方程和输出方程，可以得到一个关于状态变量的估计值，从而实现对系统状态的观测。

三、状态观测器的设计原则1. 可观测性：系统的状态观测器设计需要满足可观测性的要求，即系统的状态变量可以通过系统的输出信号来观测和估计。

如果系统是可观测的，那么可以设计一个状态观测器来实现对系统状态的观测和估计。

2. 稳定性：状态观测器设计需要保证系统的稳定性，即系统的状态估计值与实际状态之间的差距趋于稳定。

稳定的状态观测器可以确保系统的控制效果和性能。

3. 收敛速度：状态观测器的设计需要考虑观测误差的收敛速度，即状态观测器对系统状态的估计速度。

较快的收敛速度可以更准确地估计系统的状态，提高控制系统的响应速度和精度。

四、常见的状态观测器算法1. 卡尔曼滤波器：卡尔曼滤波器是一种最优的状态观测器算法，适用于线性离散系统和线性连续系统。

卡尔曼滤波器通过递推方式对系统的状态进行估计，具有较好的稳定性和收敛速度。

2. 扩展卡尔曼滤波器：扩展卡尔曼滤波器是对非线性系统进行状态观测的一种方法。

它通过使用线性化的状态方程和输出方程，结合卡尔曼滤波器的思想进行状态估计。

3. 粒子滤波器：粒子滤波器是一种基于蒙特卡罗方法的非线性状态观测器算法。

§9-8 系统的可控制性与可观测性

§9-8 系统的可控制性与可观测性

三．可控、可观性与系统转移函数之关系
由转移函数表达式： 由转移函数表达式： H(s) = C(sI − A)−1 B + D 经非奇异变换而对角化： 经非奇异变换而对角化：
∧ H(s) = C(sI − A) B + D = C sI − A B+ D 则有： 暂且不考虑与输入信号直接相联系的 D ，则有： −1 ∧ ∧ −1 ∧
3.单输入、 3.单输入、单输出系统可控性的 A矩阵约当规范型判据 单输入
B 为约当规范型中， 即：若在 A为约当规范型中，与每个约当块最后一行 相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。 相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。
二．系统的可观性定义、判别法
可观性 当系统用状态方程描述，给定控制后， 当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时 间间隔内 (0 < t < t1 ) 根据系统输出惟一地确定系统的所 有起始状态，则系统是完全可观。 有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分 起始状态，则系统不完全可观。 起始状态，则系统不完全可观。 可观性判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 1.根据状态方程的参数矩阵判别 d 设系统的状态方程 λ (t ) = Aλ (t ) + Be(t )
§ 9.8 系统的可控制性 与可观测性
•系统的可控性定义、判别法 系统的可控性定义、 系统的可控性定义 •系统的可观性定义、判别法 系统的可观性定义、 系统的可观性定义 •可控、可观性与系统转移函数之关系 可控、 可控
一．系统的可控性定义、判别法
可控性：当系统用状态方程描述时， 可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意 初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量）， 初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量）， 在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的 原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。 ）。则系统是完全可控制的 原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只 有对部分状态变量可以做到这一点， 有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可 控制。 控制。 判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 1.根据状态方程的参数矩阵判别 设系统的状态方程

K3.10-线性系统的可控制性和可观测性

K3.10-线性系统的可控制性和可观测性

分类：完全可控制系统；部分可控制系统；完全不可 控制系统。
3
线性系统的可控制性和可观测性
系统的可控制性反映了状态可由输入控制的能力， 在现代控制工程中，以状态方程来描述系统，目的就 是控制系统状态，以达到理想的输出。
系统可控的含义：通过一定的激励，可以使得系统 从任意的初始状态（不一定是零状态）过渡到任意的 另一个状态。
线性系统的可控制性和可观测性
知识点K3.10
Ch.8.5
线性系统的可控制性和可观测性
主要内容：
1.状态的可控制性和可观测性 2.系统的可控制性 3.可控性矩阵和可观测性矩阵
基本要求：
1.掌握可控性和可观性的基本概念 2.掌握判定方法
1
线性系统的可控制性和可观测性
K3.10 线性系统的可控制性和可观测性
) f
f (t (t)
)
A
2

1
1 2
,
B
1 1
,
AB
1 1
MC
[B,
AB]
1 1
1 1
Mc的行列式等于零，不是满秩阵，故系统不可控。
线性系统的可控制性和可观测性
3. 系统的可观测性 定义：系统在给定控制后，对于任意初始时刻t0，在
有限时间T>t0内，根据t0到T的系统输出的测量值，能 唯一确定系统在t0时刻的状态，则称系统完全可观；若 只能确定部分起始状态，则称系统不完全可观。
系统可控的判定：对于比较复杂的系统，需要判断 可控性矩阵来进行判定。
4
线性系统的可控制性和可观测性
定义：可控性矩阵Mc
MC [B, AB, A2B,, An1B]
系统满足可控性的充要条件：可控性矩阵Mc满秩。

机械系统的可控性与可观测性分析

机械系统的可控性与可观测性分析

机械系统的可控性与可观测性分析在机械工程领域，可控性和可观测性是评估系统控制与监测能力的两个重要指标。

这两个概念被广泛运用于机械系统的设计和分析中，以确保系统的稳定性和性能优化。

本文将探讨机械系统的可控性和可观测性在系统分析中的作用，并阐述如何评估和提高这两个指标。

可控性是指系统能否通过给定的控制输入使得状态在有限时间内从初始状态到达目标状态。

在机械系统中，可控性分析能够帮助我们确定系统是否能够被有效地控制。

一个可控的机械系统意味着我们可以设计合适的控制策略来影响系统的状态变化，从而实现我们所期望的结果。

可控性的评估通常使用状态空间方法进行。

通过将系统描述为一组状态变量和状态方程，我们可以计算系统的可控性矩阵。

可控性矩阵反映了系统内部状态之间的关系，通过判断矩阵的秩是否满秩，可以确定系统的可控性。

如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量数目，则系统是可控的；否则，系统是不可控的。

在机械系统的设计中，可控性的分析能够帮助我们选择适当的执行器和控制策略，以实现所需的运动和力学特性。

例如，在一个自动化机器人系统中，评估机械臂的可控性可以确定系统是否能够在规定时间内达到所期望的位置、速度和加速度。

如果机械臂的可控性较差，可能需要调整系统的结构或增加额外的执行器才能满足运动控制的要求。

与可控性相对的是可观测性。

可观测性是指系统的状态是否可以通过给定的输出测量得到。

在机械系统中，通过可观测性分析，我们可以确定需要测量的输出变量以及所需的传感器位置和传感器数量，从而实现对系统状态的监测和反馈控制。

可观测性的评估也可以使用状态空间方法进行，主要通过计算系统的可观测性矩阵来确定。

可观测性矩阵描述了系统输出和状态之间的关系，通过判断矩阵的秩是否满秩，可以确定系统的可观测性。

如果可观测性矩阵的秩等于系统的状态变量数目，则系统是可观测的；否则，系统是不可观测的。

在机械系统的设计和运行中，可观测性的分析能够帮助我们确定合适的传感器位置和输出变量选择，以实现对系统状态的有效监测和控制。

线性系统的可控性和可观测性

线性系统的可控性和可观测性

8.4 线性系统的可控性和可观测性8.4.1 可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。

在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。

现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。

这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。

如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。

相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。

可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。

可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。

下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。

（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。

系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。

图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。

图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。

线性时不变系统可控性和可观测性的几何判别准则

线性时不变系统可控性和可观测性的几何判别准则
X1 X2 X1 X2 X1 I X2 {0} 特别，X1 X1 X1 X1 X 3). A | B 的一个等价定义是：
A | B Im[B ABL An1B]
事实上,任意x Im[B ABL An1B]
M
M x [B ABL An1B]
M M
0
0
M {M
x0是不可观测状态。
反之，若x0是不可观测状态，
y (t ) Ce A(t t0)x 0 0，t t0
对上式求导，再令t t0,有CAkx0 0 x0 证完。
定理2－16 线性时不变系统（2－31）可观测的充分 必要条件是
{0}
它说明系统可观测时，它只有唯一的零状态是不可 观测状态。
当系统不可观测时， 中将包含有非零元。 我们定义 的正交补空间为系统（2－31）的可 观测子空间，记为 。
例2－17 考虑例2－16中的动态方程：
x&
1
0
0 1
x
1 1
u,
y 1
1 x
其可观测性矩阵
V
1 1
1 1
V的秩为1，不可观测子空间 ker C I ker CA
为向量[1 1]T所张成的子空间，可观测子空间
2. 线性时不变系统不可观测子空间的结构
定义子空间
n 1
I ker(CAk )
k 0
（2－34）
不难验证， 也是A的不变子空间。
事实上，任取 x h Cx CAx L CAn 1x 0
同时，为了证明Ax h,只要注意到
CAnx C(0I 1A L An 1)x 0 Ax 即可。
积分，有
t1
(
e
A
(t
0

现代控制技术可控性和可观性PPT课件

现代控制技术可控性和可观性PPT课件

[u(t
)
]
y(t) 1
0
x1 x2
(t) (t)
F＝e 0.1A
I 0.1A
0.0 1A 2 2!
An (0.1)n n!
1 0
0.1
1
>> a=[0 1；0 0]； b=expm(a*0.1) ——matlab语句
G＝
T 0
e At Bdt＝
0.1 0
L1[(sI
A)-1 ]Bdt
lim xˆ (t) lim x(t)
t
t
第20页/共59页
状态观测器
通过输出计算得到的系统状态，显然是一个估计值，如果对状态估 计的很准，通过极点配置法，就可以得到比较理想的控制系统。 预报观测器
xˆ(k 1) Fxˆ(k) Gu(k) K[y(k) Cxˆ(k)]
未来状态的估计值＝
x(0 )
t1 eA B u( )d
0
t1 0
n1
ci ( )AiBu( )d
i0
n1
AiB
i0
t1 0
ci
(
)u(
)d
令
i
(t1
)＝
t1 0
ci
(
)u(
)d
n1
x(0 ) AiBi (t1 )
i0
写成矩阵形式
0 (t)
x(0 )＝ B
AB
A n1B
1
(t
)
n-1 (t)
解：被控对像的微分方程为
d2y(t)/dt2=u(t)
令 x1(t)=y(t)，x2(t)= dx1(t)/dt=dy(t)/t 有 dx2(t)/dt＝d2y(t)/dt2=u(t)

844自动控制原理

844自动控制原理

844自动控制原理844自动控制原理是自动控制原理中的一个重要分支，它主要研究在连续时间下的线性定常系统。

在这个领域中，我们需要了解的一些基本概念包括系统的稳定性、可控性和可观性等。

稳定性是指系统在受到外部扰动时，能够保持原有的状态或者在一定的范围内回到原有状态的能力。

可控性和可观性则是指系统能够通过控制输入和观测输出来实现控制和观测的能力。

这些概念对于844自动控制原理的理解和应用都具有重要的意义。

在了解了基本概念之后，我们需要进一步了解844自动控制原理的基本原理。

在这个领域中，我们常常会接触到状态空间模型、传递函数和根轨迹等概念。

状态空间模型是一种描述系统动态行为的数学模型，它能够全面地反映系统的状态变化和输入输出关系。

传递函数则是描述系统输入输出关系的一种数学表达方式，它能够帮助我们更好地理解系统的动态特性。

而根轨迹则是描述系统特征根随参数变化而变化的轨迹，通过对根轨迹的分析，我们能够更好地了解系统的稳定性和动态特性。

除了基本原理之外，844自动控制原理还有着广泛的应用。

在工业生产中，它常常被应用于控制系统的设计和优化，以实现生产过程的自动化和智能化。

在交通运输领域，它被应用于交通信号控制和车辆驾驶辅助系统的设计，以提高交通运输系统的效率和安全性。

在航空航天领域，它则被应用于飞行器的姿态控制和导航系统的设计，以确保飞行器的稳定性和安全性。

综上所述，844自动控制原理是自动控制原理中的一个重要分支，它涉及到系统的稳定性、可控性和可观性等基本概念，以及状态空间模型、传递函数和根轨迹等基本原理。

在工业生产、交通运输和航空航天等领域都有着广泛的应用。

通过对844自动控制原理的深入理解和应用，我们能够更好地设计和优化控制系统，实现生产过程的自动化和智能化，提高交通运输系统的效率和安全性，确保飞行器的稳定性和安全性。

希望本文能够为相关领域的工程师和研究人员提供一些参考和帮助。

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Controllability to observability through the transformation
A→A
T
Observable canonical form
− a1 1 − a 0 2 dz . . = . dt a − n−1 0 − an 0 y = 1 0 0... ... 0 b1 1 0 b2 . . z + u . 0 1 0 0 bn 0 z + Du
Cancellation of Poles and Zeros
Formal calculations with Laplace transforms sometimes leads to cancellation of poles and zeros. Consider the system
dy du = dt dt
c K. J. Åström August, 2001 3
Disturbance Observer
The following system has been used to model constant load disturbances
dx = Ax + B (u + v) dt dv =0 dt y = Cx
Duality
Controllability of
dx = Ax + Bu dt is the same as observability for
dx = AT x dt y = BTx
Canonical Forms
Controllable canonical form
− a1 − a2 . . . − an 1 1 0 0 0 dz 0 1 0 = z+ u . . . dt . . . 0 0 0 0 y = b1 b2 . . . bn z + Du
dx ˜ + B ( Lxm + lr r) = ( A − B L) x + B x dt ˜ dx ˜ = ( A − K C) x dt
The transfer function is given by the subsystem Sco
Observer error not controllable from r. Makes a lot of sense because we do not want reference signals to generate observer errors!
→ y(t) = u(t) + constant
The system can be written as
d dt x v
Take Laplace transforms (assuming all initial values zero)
A 0 B 0 0) x v x v
=
+
B 0
u
sY (s) = sU (s), → Y (s) = U (s)
Example of Cancellation
Consider the system
Example of Cancellation ...
Introduce the state representation
dx1 = −ax1 + ( b − a)( x2 + u) dt dx2 = −bx2 + ( a − b)u dt y = x1 + v = x1 + x2 + u v = x2 + u
Lecture 14 - Controllability and Observability
K. J. Åström 1. Introduction 2. The Concepts 3. Structure of Linear Systems 4. Cancellation of Poles and Zeros 5. Summary
Prototype of Non-controllable System
Two identical systems driven by the same input. Intuitively: no way to make the systems move in opposite ways. A simple example
xo x0 ¯
y = ( C1
where the state vector has been partitioned as x T
co ¯ x co x=
where the states xo are observable and xo ¯ not observable (quiet)
-Soc u Soc
System with State Feedback and Observers
Σ
Soc
y
dx = Ax + Bu dt y = Cx ˆ ) + lr r u = L( x m − x ˆ dx ˆ + Bu + K ( y − C x ˆ) = Ax dt
Soc
ˆ by x ˜ =x−x ˆ Replace x
Kalmans Decomposition
A linear system can be transformed to the form
A dx 21 = 0 dt
0 y = ( C1 0 A11 0 A22 0 0 C2 A13 A23 A33 A43 0) x 0


=
A11 0
A12 A22
→ y(t) = u(t)
y = (C
Notice that the state v which models the load disturbance is not controllable from u.
There are also design methods where it is deliberately attempted to cancel poles and zeros. It is important to understand what happens when this is done. The decomposition of a linear system gives good insight into what happens when working with transfer functions.
dx1 = − x1 + u dt dx2 = − x2 + u dt
Prototype of Non-observable System
Two identical systems whose outputs are added. Intuitively: no way to find out which system generated the output. A simple example
xc xc ¯
+
B1 0
u
B A24 2 x+ u 0 0
A44 0
B1

where the states xc are controllable and xc ¯ are non-controllable.
d dt xo ¯
u
s+a s+b
υ
s+b s+a
y
The system has the transfer function G (s) = 1. Natural questions: • Is the system equivalent to the system y = u? • What happens with the modes that are cancelled?
0
B → CT Wc → Wo
c
K. J. Åström August, 2001
2
System Structure
The coordinates can be chosen so that a linear system has the following structure
d dt
xc xc ¯
Theme: A closer look at the controllability and observability and the structure of linear systems.
Introduction
• The concepts of controllability and observability introduced as conditions to solve problems of state feedback and observers • More insight • Kalmans decomposition • System structures • Cancellation of poles and zeros
xc ¯o xc ¯o ¯
Kalmans Decomposition
Partitioning of state space • Sco controllable and observable • Sc o ¯ controllable not observable • Sc ¯o not controllable observable • Sc ¯o ¯ not controllable not observable