可控性与可观性2010
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第三章线性系统的可控性与可观性2
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
若满足下列条件，则称 1 与 2 是互为对偶的。
A2 A1T , B2 C1T , C 2 B1T
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性， 能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能 化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数 为
bn 1 s n 1 bn 2 s n 2 b1 s b0 W ( s) n s a n 1 s n 1 a1 s a 0
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) 若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T 则称S1与S2是对偶系统.
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
如果∑1 和 ∑2 互为对偶系统，那么： 1．如果将∑1模拟结构图中将信号线反向；输入 端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信 号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成 的就是∑2的模拟结构图，如下图所示。
9.2 线性系统的可控性和可观测性
k k t1 k 0 0
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
线性系统的可控性与可观测性
12
第3章 线性系统的可控性和可观测性
必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反
设W(0, t1)为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
T x0 W (0, t1 ) x0 0
0 x W (0, t1 ) x0 x e
T 0 0 T 0 t1 T
t1
At
13
第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
0
t1
x0
2
x x0 e 0
T 0 t1
8
第3章 线性系统的可控性和可观测性
三．可观测性定义
1．系统完全可观测
对于线性时变系统
x A(t ) x, y C (t ) x x(t0 ) x0 t0 , t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻t1 Tt , t1 t0 ,
对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量 可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系 的初值x(t0)，则称系统在[t0, t1]内是完全可观测的，简称
2 T B AB A B
, T An1B 0
T An 1 B S 0
由于 α≠0 ，所以上式意味着 S 为行线性相关的，即
rankS<n 。这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反
设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。
必要性：已知系统完全可控，欲证 rankS=n ，采用 反证法。反设rankS<n ，这意味着S为行线性相关， 因 此 必 存 在 一 个 非 零 n 维 常 向 量 α 使 成立。
线性系统的可控性和可观测性
8.4 线性系统的可控性和可观测性8.4.1 可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。
在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。
现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。
这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。
相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。
系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。
图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。
图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
可控制性和可观性
∴系统不可控。
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
2009-08 CAUC--空中交通管理学院 4
§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
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§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
9-8 系统的可控制性与可观测性
λ'1 (t ) −1 ' λ2 (t ) = 0 λ'3 (t ) 0
系统的各参数矩阵为： 系统的各参数矩阵为：
−1 A= 0 0 0 −2 0
0 0 B= 1 0 1 − 3
C =[1 1 0]
(
)
0 ... 0 ... ... ... s − α k ...
−1
ˆ b1 ˆ b2 ... ˆ bk
上式展开为： 上式展开为： k ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ck bk ci bi c1b1 c2b2 H( s ) = + + ...+ =∑ s −αk i =1 s −αi s −α1 s −α2 得出结论： 得出结论： 1.若系统不完全可控或不完全可观,则s域上表现为 1.若系统不完全可控或不完全可观 若系统不完全可控或不完全可观, H(s)必有零极点相消现象。 必有零极点相消现象。 2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观 2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观 部分运动规律， 部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运 动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不 动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不 。（ 可观部分，而留下的是可控或可观部分） 可观部分，而留下的是可控或可观部分） 例 9-8-6
H( s) = C( sI − A)
−1 ∧ B+ D = C sI − A B+ D ∧ ∧ −1 ∧
暂且不考虑与输入信号直接相联系的D 则有： 暂且不考虑与输入信号直接相联系的D，则有：
0 s − α 1 0 −1 s −α2 ˆ sI − A B = [c ,c ,...c ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H (s ) = C 1 2 k ... ... 0 0
第四章线性定常系统的可控性和可测性资料
部分状态与输入（控制）有关的部分，另 一部分状态则在形式上就与输入（控制） 无关的部分。
• 显然那些与输入（控制）无关的状态是不 可控的，这些状态构成了不可控子空间。 而与输入（控制）有关的状态是可控的， 这些状态构成了可控子空间。
• 上述方法称为按能控性分解，显然主要是 对A和B进行变换。
• ⑵. 另一种，则是按能观性分解，其方法是 类似的。即将状态空间表达式中的状态分 解为：一部分状态与输出有关，另一部分 状态则与输出是无关的。显然这主要是通 过对C的变换来达到。
• ⑶. 第三种方法是按能控性和能观性进行分 解
• 显然如果系统不可控也不可观，则需要同 时进行可控和可观性分解。A, B, C
三. 按可控性分解
• 设定常系统
x Ax Bu
y Cx
(3 1)
是状态不完全能控，其能控性判别阵：
M B, AB, , An1B
的秩 rankM n1 n
1 R1 b 1 ,
0
0 R2 Ab 1 ,
1
1 R3 0 任意
0
1 0 1 R c 1 1 0
0 1 0
• 检查 det Rc 1 0 ，故 Rc 满秩。
•则
0 1 1
Rc1 0 0
1
1 1 1
•则
0 1 1
Aˆ
Rc1 ARc
1
2
0
0
0
1
1
Bˆ
Rc1B
0
• 2.性质
(1).对偶系统 S1和 S2 的传函阵互为转置,即
GS 2 (GS1)T
(2).对偶系统的特征值是相同的
• 3.对偶原理
(1)若 S1 可控则有 S2 可观 (2)若 S2可观则有 S1 可控
• 显然那些与输入（控制）无关的状态是不 可控的，这些状态构成了不可控子空间。 而与输入（控制）有关的状态是可控的， 这些状态构成了可控子空间。
• 上述方法称为按能控性分解，显然主要是 对A和B进行变换。
• ⑵. 另一种，则是按能观性分解，其方法是 类似的。即将状态空间表达式中的状态分 解为：一部分状态与输出有关，另一部分 状态则与输出是无关的。显然这主要是通 过对C的变换来达到。
• ⑶. 第三种方法是按能控性和能观性进行分 解
• 显然如果系统不可控也不可观，则需要同 时进行可控和可观性分解。A, B, C
三. 按可控性分解
• 设定常系统
x Ax Bu
y Cx
(3 1)
是状态不完全能控，其能控性判别阵：
M B, AB, , An1B
的秩 rankM n1 n
1 R1 b 1 ,
0
0 R2 Ab 1 ,
1
1 R3 0 任意
0
1 0 1 R c 1 1 0
0 1 0
• 检查 det Rc 1 0 ，故 Rc 满秩。
•则
0 1 1
Rc1 0 0
1
1 1 1
•则
0 1 1
Aˆ
Rc1 ARc
1
2
0
0
0
1
1
Bˆ
Rc1B
0
• 2.性质
(1).对偶系统 S1和 S2 的传函阵互为转置,即
GS 2 (GS1)T
(2).对偶系统的特征值是相同的
• 3.对偶原理
(1)若 S1 可控则有 S2 可观 (2)若 S2可观则有 S1 可控
实验三系统可控性与可观测性分析(word文档)
实验三系统的可控性与可察看性解析一、实验目的1．牢固控制系统能控、能观等知识；控制系统的最小实现和控制系统的能控、能察看标准型等基础知识；2．掌握使用 MATLAB 判断系统可控性与可察看性的方法；3．掌握使用 MATLAB 控制系统的标准型实现；4．经过 Matlab 编程，上机调试，掌握和考据所学控制系统的基本理论。
二、实验原理与步骤( 一) 、可控性和可察看性的定义1.可控性的定义若对状态空间的任一非零状态 x(t0)，都存在一个有限时辰 t1>t0 和一个同意控制 u[t0, t1]，能在 t1 时辰使状态 x(t0) 转移到零，则称状态方程X AX BU在 t0 时辰是可控的。
反之称为在t0 时辰不可以控。
2.可察看性的定义定义：若对状态空间中任一非零初态x(t0) ，存在一个有限时辰t1>t0，使得由输入u[t0,t1] 和输出y[t0,t1] 可以唯一确定初始状态x(t0)，则称动向方程X AX BUY CX DU在 t0 时辰是可察看的。
反之称为是不可以察看的。
( 二) 、可控性和可察看性判据1、可控性构造一个相似变换矩阵T c( B, AB ,, A n 1B)公式中，n是系统的阶次；矩阵Tc 称为系统的可控性变换矩阵。
矩阵Tc 可以由控制系统工具箱中供应的ctrb ()函数来产生。
其调用格式为T c ctrb ( A, B)公式中，Tc的秩，即rank (Tc)称为系统的可控性指数，它的值表示系统中可控制的状态的数目。
若是 rank (T c )n ，则系统是完好可控制的。
【例题 1】考虑系统的状态方程模型为0 1 0 0 00 0 1 0x 1x0 0 1 u0 00 0 5 0 2解析系统的可控性。
A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0] B=[0;1;0;-2]Tc=ctrb(A,B)rank(Tc)结果以下：>> rank(Tc)ans =4可见，系统完好能控。
4.系统的可控可观性
事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。
由于X1(s)和U (s)之间的传递函数为：
X1(s)
1
U(s) (s1)s(2)s(3)
提示：A的最后一行6, 11, 6 确定
又Y (s)和X1(s)之间的传递函数为： Y(s) (s1)(s4) X1(s)
故Y(s)与U(s)之间的传递函数为：
Y(s) (s1)s(4) U(s) (s1)s(2)s(3)
4.1 可控性和可观测性
4.1.1 系统的可控性概念 如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限
点的控制输入来使其由任意的初态达到任意设定的 终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控 的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统 不可控。
说明1： 系统在时刻 t 的运动状态是由n个状态变量综 合描述的。系统可控就意味着这n个状态变量都必须与 系统的控制输入存在确定的联系，如果有一个或部分状 态变量不接受输入控制，就称系统是不可控的，或称系 统是部分可控。这样系统状态空间就分为可控状态空间 和不可控状态空间。
测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，
只考虑式零输入系统就可以了。
4.1.5 系统的可观性判据
判据一：考虑下式所描述的线性定常系统。
x Ax
其输出向量为
y Cx
y(t)CA ext(0)
由于：
n1
eAt k(t)Ak k0
提示：凯莱-哈密顿
将y(t)写为A的有限项的形式，即：
2
0 0
u1 u 2
1
0
2 1
0 x1 4
x
2
2
0
2
5
1
x x
3 4
线性系统的可控性与可观测性
第3章 线性系统的可控性和可观测性
Image No
第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
整理版
3
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
整理版
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
整理版
3
Image No
第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
整理版
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性
4.系统的可控可观性
和不可控状态空间。
因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系 统的具体输入u无关。
说明2： 可控性分为状态可控性和输出可控性，若 不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与 状态方程有关，与输出方程无关。 说明3：等价定义于若给定系统的一个初始状态可为
x(t0 )
t0可以为 0 ，如果在的有限时间区间 t0 , t1内，
若输入矩阵中B3≠0,则 输入u (t)对状态变量x3 有直接的控制作用。此 时，即使中其他行的元 素全为0，即B1=0和B2=0，源自uB1
x1
B2
x2
输入u (t)对状态变量x1和
x2也可以通过状态变量x3 产生间接的控制作用。
B3
x3
因此，只要B3≠0 ，输入
u (t)对各状态变量都有 控制作用。
解：
4.1.4 系统的可观性概念 如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由 有限时间的输出测量完全确定出来，则称系统是可观
测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全
可观测的，简称为系统不可观测。
提示：号脉
在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑零输
入系统。这是因为，状态能否被观测，与有没有输入
At o
由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所 以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量
测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，
只考虑式零输入系统就可以了。
4.1.5 系统的可观性判据 判据一：考虑下式所描述的线性定常系统。
Ax x y Cx
其输出向量为
y(t ) Ce At x(0)
线性系统的可控性与可观测性
线性系统的可控性与可观测性经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出量便可以控制。
且输出量总是可以被测量的，因而不需提出可控性及可观测性概念，现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就纯在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制由任意的初态达到原点，则称系统是完全可控的，或者更确切的说是状态完全可控的额，简称为系统可控；否则就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。
相应的，如果系统所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称西戎是状态完全可观测的，简称为系统可观测；反之系统是不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
可控性与可观测概念是卡尔曼与20世纪60年代首先提出来的是用状态空间描述系统引申出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
它不仅是研究性线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且对于徐福哦最优控制、最优估计和自适应控制问题，也是常用到的概念之一。
下面我们现举例来直观地说明可控性与可观测性的而无力概念，然后给出可控性与可观测性的严格定义。
应当指出，对可控性和可观测性所作的直观说明，只是对这两个概念的直觉的但不严密的描述，而且也只能用来解释和判断非常直观和非常简单系统的可控性和可观测性。
为了揭示可控性和可观测性的本质属性，并用于分析和判断更为一般和较为复杂的系统，需要对这两个概念建立严格的定义，并在此基础上导出相应的判别准则。
尽管本章主要研究线性定常数，但由于线性时变系统的可控性和可观测性定义更具有代表性，而线性定常数系统知识线性时变系统的一种特殊类型，因而我们选用线性时变系统给出可控性和可观测性的严格定义。
线性系统的可控性与可观性
可控性可观测性例题
【例】
y 1 0 x
1 0 0 x x u 0 2 2
解：上述动态方程可写成：
1 x1 x 2 2 x 2 2u x y x 1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x 1 是不可控的； 从输出方程看，输出y不能反映状态变量
n 1
a1 a 0
则A满足特征方程
f (A) A
证明 证明:
n
a n 1 A
n 1
a1 A a 0 I 0
Ax Bu x x (t ) (t to ) x (t0 )
tf t0
x ( t 0 ) ( t 0 )Bu ( )d
x(t) 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出 的变化过程 输出方程描述由状态变化所引起的输出
y(t ) 的变化。
可控性和可观性回答：“输入能否控制系统状态的变化”——可控性 状 变化能否 输 反映 观性 “状态的变化能否由输出反映”——可观性 可控性和可观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出, 是经典控 制进入现代控制理论的标志之 。 制进入现代控制理论的标志之一。
x (t0 )
tf t0
m 0
n 1
A
m
B
t t0
f
m
( t 0 ) u ( ) d
tf t0
[ B 0 ( t 0 ) u ( )d A B 1 ( t 0 ) u ( )d A
u0 u AB An 1 B ) 1 u n 1
线性系统的可控性与可观性
线性系统的可控性和可观性
线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。
本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。
本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。
通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。
关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。
线性系统的可控性与可观测性
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
统在[t0, ∞)内是完全可观测的。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
2．系统不可观测
对于线性时变系统
x A(t ) x, y C (t ) x x(t0 ) x0 t0, t Tt
如果取定初始时刻 t0 Tt ，存在一个有限时刻 t1 Tt , t1 t,0 对于所有 t t0 , t1 ，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状 态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值不 能被y(t)确定，则称系统在[t0, t1]内是不完全可观测的， 简称不可观测。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
0
t1
x0
2
x x0 e 0
T 0 t1
可控的。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
3．系统不完全可控
对于线性时变系统
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
取定初始时刻 t 0 Tt ，如果状态空间中存在一 个或一些非零状态在时刻 t0 是不可控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全可控的，也称为系统是 不可控的。
状态空间系统响应、可控性与可观性
y x3 [0
0
1
]
x
2
x 3
9.2.2 基于系统方块图建立状态空间表达式 基于系统方块图建立状态空间表达式方法的基本思想
是: 首先将系统的各个环节分解为积分、惯性和比例环节的 基本形式，并选取积分环节和惯性环节的输出为系统状态， 然后根据系统各环节的实际连接关系，从输出端开始，写 出各环节的状态关系，最后整理写出系统的状态空间表达 式。
1 LC
u1
y Cx2
这说明同一个系统状态变量的选取是不唯一的，所得 出的状态空间描述也不唯一。但两个状态之间可以通过非 奇异的线性变换实现互相转换。令
z(t)uu22,x(t)iu2
则
z(t)u u2 2uC i21 0 1/0Ciu2T(xt)
其中矩阵
1 T 0
0 1/ C
，为一非奇异矩阵。
2
1
x3
x3
K1 T1s
1
(u
K
4 x1)
x
1
K3 T3
x2
x
2
1 T2
x2
K2 T2
x3
x
3
K1 u T1
K1K 4 T1
x1
1 T1
x3
y=x1
所以，方块图9-5(a)对应的状态空间描述为
x1
0
x
2
0
x3
K1K
4
K3 T3 1 T2
0
0
K2
T2 1
x1
A0m k 1m ,B0m 1,C[10],d0
【例9-6】 已知图9-3所示电路的输入量为电流i， 现指定电容C1和C2上的电压uC1、uC2为输出量， L1、L2、 C1和C2为已知的独立变量。试建立此电路网络的状态空间 表达式。
第十八节 可控、可观性
1 2 N
x(0) [F G F G ... F G]u(0) u(1) ... u( N 1)
T
为使上式有解，应满足： ▲N=n ▲方程的系数矩阵必须满足：
rankWC rank[F 1G F 2G ... F N G] n
二
★定义
可观性
对于以上离散系统，如果能利用系统 输出y(k)，在有限时间内确定系统的初始 状态 x(0)，则称系统是可观的。 ▲系统的可观性只与系统结构及输出信息 的特性有关，与控制矩阵G 无关。
0 0 x( k ) .. r ( k ) .. .. ... 1 0 ... ( a1 k n ) 1 ... ... 0 0
特征方程为
det[zI (F GK )] z n (a1 kn )z n1 ... (an k1 ) 0
0 x ( 3) 0 ........
1 1 x2 ( 2) u( 2) u( 2) x( 2) u( 2) 0 0 0 0
◆由递推解可见，当 u(k) 0 ，在 k > 2 时，有 x(k) 0 ，即系统是可控的；但是，由于x2(k) 0 ，因此不存在一个控制序列u(k) ，能使系 统由任意初态到达任意给定（ x2(N) 0）的终
第十八节 可控可观性与状态反馈设计
一
二
三 四
可控性与可达性 可观性 状态反馈控制 单输入系统的极点配置
一
设离散系统
可控性与可达性
x( k 1) Fx( k ) Gu( k ) y( k ) Cx ( k ) Du( k )
◆可控性
对以上离散系统，如能找到一个控制序 列u(k) ，使得在有限时间内能从任意初始状 态到达原点（零状态），则称系统是状态完 全可控的。
x(0) [F G F G ... F G]u(0) u(1) ... u( N 1)
T
为使上式有解，应满足： ▲N=n ▲方程的系数矩阵必须满足：
rankWC rank[F 1G F 2G ... F N G] n
二
★定义
可观性
对于以上离散系统，如果能利用系统 输出y(k)，在有限时间内确定系统的初始 状态 x(0)，则称系统是可观的。 ▲系统的可观性只与系统结构及输出信息 的特性有关，与控制矩阵G 无关。
0 0 x( k ) .. r ( k ) .. .. ... 1 0 ... ( a1 k n ) 1 ... ... 0 0
特征方程为
det[zI (F GK )] z n (a1 kn )z n1 ... (an k1 ) 0
0 x ( 3) 0 ........
1 1 x2 ( 2) u( 2) u( 2) x( 2) u( 2) 0 0 0 0
◆由递推解可见，当 u(k) 0 ，在 k > 2 时，有 x(k) 0 ，即系统是可控的；但是，由于x2(k) 0 ，因此不存在一个控制序列u(k) ，能使系 统由任意初态到达任意给定（ x2(N) 0）的终
第十八节 可控可观性与状态反馈设计
一
二
三 四
可控性与可达性 可观性 状态反馈控制 单输入系统的极点配置
一
设离散系统
可控性与可达性
x( k 1) Fx( k ) Gu( k ) y( k ) Cx ( k ) Du( k )
◆可控性
对以上离散系统，如能找到一个控制序 列u(k) ，使得在有限时间内能从任意初始状 态到达原点（零状态），则称系统是状态完 全可控的。
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（3）系统可控。 （4）系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 7
定理3 在S平面上状态完全可控的条件
现
代 控
状态完全可控的条件也可用传递函数或传递矩
制 阵描述。
理
论
状态完全可控性的充分必要条件是在传递函数
或传递矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那
么在相约的模态上，系统不可控。
论 当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵Bheory
Page: 6
线性定常连续系统状态完全可控的条件
状 态 可 控 性 例题
现 代
【例】判别下列系统的状态可控性。
控
制 理
（1）
7
x
0
0 5
0 2
0
x
5
u
论
0 0 1 7
（2）
7
x
0
0 5
0 0
0
rank CB CAB ... CAn1B D q
（q-输出变量个数）
一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。 即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。
Modern Control Theory
Page: 10
连的续可系观统测连续时间系统的可观测性 性
现
代 一、定义
在S平面上状态完全可控的条件
现
代
完全可观测性条件也可用传递函数或者传递矩阵阐述。完全
现
代 控
一. 可控性判据
制 理 论
定理1：
若定义连续时间系统A, B的n*(np)可控矩阵
Sc B AB A2B
An1B
则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
该系统的可控性矩阵满秩，即 rankSc n
Modern Control Theory
Page: 4
连续时间系统状态例完全题可控的条件
现
代 【例】判别可观测性
控
制
（1）
1 0 0 0
理 论
x 0 2 0 x 0 u y 5 3 2 x
0 0 3 1
解：系统可观测。
（2） 1 0 0 0
x 0 2 0 x 0 u 0 0 3 1
解：系统不可观测。
Modern Control Theory
y 5 3 0 x
Page: 14
C
状 态 完 全 可 观 测 的 充 要条 件 是nq n维 能 观 测 矩 阵S0
CA :
CA
n1
满 秩 ， 即rankS0 n,或 CT AT C T ... ( AT )n1 C T n
Modern Control Theory
Page: 11
例 连续时间系统的可观测性
题
理 论
y 1 0 x
解：上述动态方程可写成：
x1 x 2
x1 2x2
2u
y x1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x1是不可控的；
从输出方程看，输出y不能反映状态变量 x2 ，所以状态变量 x2 不能观测。
Modern Control Theory
Page: 3
状态完全可控的条件
当 R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
x1，x2所有变量，称系统可控。
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性
输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
Modern Control Theory
Page: 2
可控性可观测性例题
现
代 控 制
【例】 1 0 0 x 0 2 x 2 u
现
代
【例】判别可观测性
控 制 理 论
（1） （2）
4 5 1
x
1
0 x 1 u
2 1 1
x 1
3
x
1
u
y 1 1 x
1 0 y 1 0 x
解：（1）
c 1 1
Qo cA 5
5
（2）
1 0
Qo
c cA
1 2
0
1
2
1
Modern Control Theory
rankQo 1 2 故系统不可观测 rankQo 2 2 系统可观测
Modern Control Theory
Page: 8
例题 在S平面上状态完全可控的条件
现 代
【例】判别下列系统的状态可控性。
控 制 理
传递函数：X (s) s 2.5
U (s) (s 2.5)(s 1)
论
显然，在此传递函数的分子和分母中存在相约的因
子（s+2.5）（因此失去一个自由度）。由于有相约因子
，所以该系统状态不完全可控。
Modern Control Theory
Page: 9
连续时间连系续统系状统态的完输全出可可控控的性条件
现
代 控
三 连续系统的输出可控性
制 定理：
理 论
设系统 x Ax Bu, y Cx Du，则系统输出完全可控的充要条件是
输出可控性矩阵 CSc | D 满秩，即
Page: 12
定理2 连续时间系统的可观测性
现
代
控 制
定理2：线性定常系统 x Ax Bu, y Cx Du，系统状态空间
理 可观测的充要条件为：当A为对角矩阵且特征值互异时，输出矩阵C中
论 不包含全为零的列。
Modern Control Theory
Page: 13
例 题
连续时间系统的可观测性
控 制
定义：若对系统{A，B，C，D}，存在给定输入u(t)，能在[ t0,tf ）
理 论
有限时间内，由输出y(t)能任一确定系统初始状态x(t0)，则系统
则系统各个状态都可观测，则称系统是状态完全可观测的，简
称系统可观测。
二、可观测性定理
x Ax Bu
定理1：线性定常连续系统 y Cx Du
现
代
控
制 理 论
【例】
2
x
0
1 1
x
1 0
u,
试判别状态可控性
解：
Qc [b
1 Ab] 0
2
0
，
rankQc 1 n
∴系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 5
连续时间系统状态完全可控的条件
现
代 控
定理2：
定理2
制 理
设连续时间系统 x Ax Bu, 系统状态完全可控的充要条件为：
x
5 u
0 0 1 7
（3）
（4）
7 0 0 0 1
7 0 0 0 1
x
0
5
0
x
4
0 u
x
0
5
0
x
0
0 u
0 0 1 7 5
0 0 1 7 5
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
可控性和可观测性
现
代 控
1. 可控性与可观测性定义
制 理
2. 连续时间系统的可控性判据
论
3. 输出可控性
4. 连续时间系统的可观测性判据
5. 对偶原理
Modern Control Theory
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可控性可观测性定义
现
代 【例】RLC网络
控
制 理 论
取x1 iL , x2 uc , y uc