可控性与可观性

考察既不完全可控又不完全可观系统的特性自动控制讨论课CONTENTS总结不完全可控又不完全可观系统特性系统的可控性和可观测性壹贰叁录系统的可控性和可观测性壹状态：完全描述系统行为的最小变量组。

需要加以注意的是“完全描述”。

只要确定了这组变量在某一初始时刻的值以及从初始时刻起的输入量函数，则系统在任意时刻的行为均可唯一地确定。

系统状态可控性：如果系统的每一个状态变量都能够受输入u控制，从而可在一定u的控制下，实现将任意初始状态转移到要求的状态上，则称系统的状态是完全可控的，否则就称系统的状态是不完全可控的。

系统状态可观测性：如果状态空间中存在一个非零状态或状态集合在t时刻是不可观测的，则称该系统状态在时刻t为不可观测；如果状态空间中的所有非零状态都不是在t时刻的不可观测状态，则称该系统状态在时刻t完全可观测的。

不完全可控又不完全可观系统特性贰构造一系统的状态空间表达式为：构造不完全可控又不完全可观系统按照对角线规范型判据（可控性：B阵中不含有全为零元素的行；可控性：C阵中不含有全为零元素的列），可判断系统各个状态的可控性和可观性如下：可观不可观可控x4x2不可控x3x1若按照规范分解时状态变量的通常排列顺序（可控可观、可控不可观、不可控可观、不可控不客观）重组状态向量为下列形式：对其进行结构分解对相应系统进行线性变换：其中，对矩阵A和B的行变换，相应于该矩阵左乘以变换矩阵的逆；对矩阵A和C的列变换，相应于该矩阵右乘以变换矩阵Q。

对于我们构造的矩阵，很容易得变换阵Q 及其逆：按照下式进行变换：则可得到系统状态空间表达式同时按照可控性和可观测性进行分解的规范型：对应可控不可观极点：可控可观测状态空间模型对应可控可观测极点：不可控不可观测状态空间模型可控不可观状态空间模型不可控可观测状态空间模型对应不可控可观测极点：对应不可控不可观测极点：系统传递函数根据系统矩阵A、控制矩阵B和输出矩阵C可求得系统传递函数如下：由此可见，传递函数反映的只是系统的可控可观测极点。

线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。

本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。

本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。

通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。

关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。

第6章 习 题A 习 题（具有题解）A 6-1试判断下述系统的可控性及可观性。

0.50.56(1)()()00.254x k x k u k -⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()[24]()y k x k =-解：[]0.50.56600.2544R W FGG ⎧-⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭=6141⎡⎤⎢⎥⎣⎦rank=2，系统可控 2412o C W CF -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦rank=1，系统不可观。

A 6-2下述连续系统被采样，求离散传递函数，并确定T 为何值时系统不可控，试说明之。

22(5)()1029s G s s s +=++解：2()102540s s s ∆=+++=；1,252s j =-±；所以 124s s j -=。

依要求可知，若 122s s jk Tπ-=，采样系统不可控。

故有/2T k π=时系统不可控。

2525102[cos 2]()2cos 2T T Tz ze T G z z ze T e----=-+，如当/2T π=时 2.52.52.52.522.52(1)2()(1)(1)e z e z e zG z e z e z πππππ--+==++，发生零极对消。

A 6-3给定下述系统122012()0(1)003()1()000()0x k x k x k u k x k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）试确定一组控制序列，使系统从(0)[111]Tx =达到原点。

（2）该控制序列最少步数是多少。

（3）能否找到一组控制序列，使系统从原点到达[111]T ，解释为什么。

解：1) 0121030(1)00311(0)31(0)0001000x u u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦如取u(0)=-3，则3(1)00x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；0123000(2)00301(1)01(1)0000000x u u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦如取u(1)=-0，则(2)[0]x =。