§3.2性质定理总结： 一、线性相关的判别： 1、m ααα ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得 1122m m k k k .ααα++= 0 2、1α线性相关? 1α=0. 3、12,αα线性相关? 1α与2α的对应分量成比例. 4、m ααα ,,21线性相关?其中至少有一个向量能用其余向量线性表示. 5、n 个n 维向量线性相关?它们构成的行列式等于零. 6、m ααα ,,21线性相关 ?m ααα ,,21的秩小于m . 7、对调坐标不改变向量组的线性相关性. 8、部分相关?整体相关. 9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关. 二、线性无关的判别： 1、m ααα ,,21线性无关?如果1122,m m k k k ααα++= 0则有 .021====m k k k 2、整体无关?部分无关. 3、无关则加长无关 三、线性相关的性质： m ααα ,,21线性无关，12m ,,,αααβ 线性相关?β可由m ααα ,,21线性表 示，且表示法唯一. 四、线性无关的性质： 1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数. 2、等价线性无关向量组的向量个数相同.
五、向量组的秩的性质： 1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩. A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组； A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式. 2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同. 六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.
第二节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ??? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要 条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .
3、最小实现 定义4.9（最小实现定义）： 传递函数矩阵)(s G 的一个实现（没有相同的零、极点或相同零、极点已经对消） Cx y Bu Ax x =+= 称为最小实现。如果)(s G 中不存在其它实现 x C y u B x A x =+= 使x 的维数小于x 的维数。 定理4.11： 传递函数矩阵)(s G 的一个实现∑),,(C B A Cx y Bu Ax x =+= 为最小实现的充分必要条件是∑),,(C B A 既是可控的又是可观测的。 【例4.9.4】试求如下传递函数矩阵的最小实现。 ?? ???? ++++=)3)(2(1 ) 2)(1(1 )(s s s s s G 解：（1） ?? ? ? ?? ++++++++=?)3)(2)(1(1 ) 3)(2)(1(3 )(21s s s s s s s s s G 说 明： 设传递函数矩阵为r m s G ?)(，在求其最小实现时，先初选一种实现（可控标准型实现或可观测标准型实现）。r 为输入变量的维数，m 为输出变量的维数。 初选规则是： （1）m r >时，先初选可观测标准型实现。 （2）m r <时，先初选可控标准型实现。
[]13) 3)(2)(1(1 +++++= s s s s s [][]{}13116 1161 2 3 ++++=s s s s 即 60=a ，111=a ，62=a []13 0=β，[]111=β，[]00 2=β 由21)()(??=s G s G r m ，2=r ，1=m ，m r >，故先选可观测标准型。 12100000=???????? ??---=m m m m m m m m m m o I a I I a I I a A ???? ? ?? ? ??---=61 01101 600 ??? ? ???? ??=??????????=00 11 13 210βββo B ，[][]10 001===m m m m o I C （2）检验可观测标准型实现∑),,(o o o C B A 是否可控。 [] ???? ? ?????------==53 1 1 11111311660013 2 o o o o o c B A B A B Q n rankQ c ==3，故∑),,(o o o C B A 可控可观测，∑),,(o o o C B A 为最小实现。 四、可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系 定理4.12 ： SISO 系统可控且可观测的充分必要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。 SISO 系统可控的充分必要条件是：b A sI 1 )(--不存在零极点对消。 SISO 系统可观测的充分必要条件是：1 )(--A sI c 不存在零极点对消。 【例4.9.5】试分析下列系统的可控性、可观测性与传递函数的关系。 （1）u x x ?? ????+???? ??-=105.15 .210 ，[]x y 15.2=
第四章 线性系统的可控性和可观性 §4-1 问题的提出 经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。 现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。它们分别回答： “输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性 可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。 状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。 【例如】 （1）u x x ?? ? ???+??????=202001 []x y 01= 分析：上述动态方程写成方程组形式：?? ? ??=+==1221122x y u x x x x 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。 即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
第三章 线性系统的可控性与可观性
§1 可控、可观测性的概念 §2 线性系统的可控性 §3 线性系统的可观测性
c
e a e a
§4 线性系统的可控与可观测标准型
t
y c
第三章 线性系统的可控性与可观性
§1 可控、可观测性的概念 §2 线性系统的可控性 §3 线性系统的可观测性
c
§4 线性系统的可控与可观测标准型
t
y c
1
c
u1 u2 up
e a
M
系 统
M
x1 , x2 ,L, xn
y1 y2 yq
可控 ——系统所有状态变量都可以由
输入来影响和控制？
可观 ——系统所有状态变量都可以由
输出完全反映？
t
y c
1960年，美籍匈牙利人 R.E.Kalman 发表 “On the General Theory of Control Systems”等 论文，引入状态空间法分析系统，提出可控性、 可观测性、最佳调节器和 kalman 滤波等概念， 奠定了现代控制理论的基础。
c
e a
t
y c
2
例：已知系统的动态方程：
& ? x1 ? ? 4 0 ? ? x1 ? ?1 ? ? x ? = ? 0 ? 5? ? x ? + ? 2 ? u ?? 2 ? ? ? ? &2 ? ? ?x ? y = [0 ? 6]? 1 ? ? x2 ?
c
L
& x1 = 4 x1 + u
& x2 = ?5 x2 + 2u
e a e a
iL
R
u 可以控制 x1、x2 ， 系统完全可控！ y 无法反映 x1，
y = ?6 x2
系统不完全可观！
系统可控、不可观测！
t
y c
例：已知桥式电路
选取 x1 = iL , x2 = uC
R R
u
c
C
y = x2 = uC
若 x2 (t0 ) = uC (t0 ) = 0 则 x2 (t ) ≡ 0, t ≥ t0
R
uC
u 只能控制 x1，不能控制 x2
x2 不可控！
y = x2 ≡ 0 不能由 y 反映 x1的变化
系统不可控、不可观测！
t
x1 不可观测！
y c
3
线性相关性 雷国强 天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级四班，甘肃天水，741001 摘要 数域P 上n 维线性空间中向量组的线性相关性及其性质和相关性的应用. 关键字 n 维向量；线性组合；线性无关；线性表出. 引言 向量组的线性相关与线性无关性的判定较难理解和掌握.实际上, 向量组的线性相关与线性无关是相对的, 我们只要掌握了向量组的线性相关的判定, 线性无关的判定也就没有问题了.因此, 下面主要论述向量组的线性相关性的定义及判定方法. 1.线性组合 以下我们总是在一固定的数域P 上的n 维向量空间中进行讨论，不再每次说明. 在这里我们研究向量之间的关系.两个向量之间最简单的关系是成比例。所谓向量α 与β成比例就是说有一个数k 使 α =k β . 在多个向量之间，成比例的关系表现为线性组合. 定义9 向量α称为向量组βββs ,,,2 1 的一个线性组合,如果有数域P 中的数,,,,21 k k s k 使 β β β α s s k k k +++= 2 2 1 1 . 例如，§1的方程组（8）的三个方程可以用向量 ),1,3,1,2(1 -=α ),4,5,2,4(2-=α 1,4,1,2(3 --=α 来代表，且等价于.3213ααα-=这个等式表示α3是αα21,的一个线性组合. 又如，任一个 维向量 都是向量组 ? ???? ? ?===). ,,0,0(),0,,1,0(),0,,0,1(21 εεεn 的一个线性组合.因为
ε εεα. 2211n n a a a +++= 向量εεεn ,,,21 称为n 维单位向量. 由定义可以立即看出，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就行了）. 2.线性表出 当向量α是向量组βββs ,,,2 1 的一个线性组合时，我们也说α可以经向量组 β β βs ,,,2 1 线性. 定义10 如果向量组αααt 21,中每一个向量αi ),,2,1(t i =都可以经过向量组 ββ βs ,,,2 1 线性表出，那么向量组 αα αt 2 1 ,就称为可以经向量组β ββs ,,,2 1 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价. 3.向量组等价的性质 1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性；如果向量组αααs ,,,21 与 β β βt ,,,2 1 等价，那么向量组 ββ βt ,,,2 1 也与 αα αs ,,,2 1 等价. 3）传递性：如果向量组αααs ,,,21 与βββt ,,,2 1 等价，βββt ,,,2 1 与 γ γ γp ,,,2 1 等价，那么向量组αααs ,,,21 与γγγp ,,,21 等价. 4.线性相关与无关 定义11 如果向量组αααs ,,,21 (2≥s )中有一个向量可以由其余的向量线性表 出，那么向量组αααs ,,,21 称为线形相关的. 定义12 一向量组αααs ,,,21 (1≥s )不线性相关，即没有不全为零的数,,,21 k k s k 使 02211= +++αααs s k k k . 就称为线性无关；或者说，一向量组αααs ,,,21 称为线性无关，如果由 02211= +++αααs s k k k .
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：
向量组线性相关性的判定方法 （安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
§4-5 线性定常连续系统的可观测性 一、可观测性的定义 定义4.4（可观测性定义）： 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x += ，cx y =，如果对于任 一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。 二、线性定常连续系统可观测性的判别准则 定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ） 线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是： 由A 、C 构成的可观测性判别矩阵 ????? ? ??? ???=-1n o cA cA c Q 满秩，即 n r a n k Q o = 【例4.5.1】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ???+??????-=110154 ，[]x y 11-= （2）u x x ??????-+??????--=1131 12 ，x y ?? ? ???-=0101 （3）u x x ?? ????+???? ??=1110 01 ，[]x y 11= 说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ? -+-=t t d Bu t t x t t t x 0 )()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。
解：（1）?? ? ???--=???? ??=5511 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 （2）????? ???? ???---=??? ???=1212 101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。 （3）?? ? ???=??????=1111 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ） 设线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型 u B x x n +??? ? ? ?? ???=λλ0 01 ， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。 【例4.5.2】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 23 5= 解：系统可观测。 （2）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 03 5= 解：系统不可观测。 定理4.8：（可观测性判别准则 Ⅲ） 设线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，A 阵具有重特征值，且每一个特征值只对
向量组线性相关性判定 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：
日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的
重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性
课本中相关章节的证明过程 第2章有关的证明过程 2.1 一元线性回归模型 有一元线性回归模型为：y t = β0 + β1 x t + u t 上式表示变量y t 和x t之间的真实关系。其中y t 称被解释变量（因变量），x t称解释变量（自变量），u t称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。上模型可以分为两部分。（1）回归函数部分，E(y t) = β0 + β1 x t, （2）随机部分，u t。 图2.8 真实的回归直线 这种模型可以赋予各种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供给量的关系；文件容量与保存时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。 以收入与支出的关系为例。 假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。但实际上数据来自各个家庭，来自各个不同收入水平，使其他条件不变成为不可能，所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。随机误差项u t中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。所以，在经济问题上“控制其他因素不变”实际是不可能的。 回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。 回归模型存在两个特点。（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。 通常，线性回归函数E(y t) = β0 + β1 x t是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t) = β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。 在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t做出如下假定。 (1) u t 是一个随机变量，u t 的取值服从概率分布。 (2) E(u t) = 0。 (3) D(u t) = E[u t - E(u t) ]2 = E(u t)2 = σ2。称u i 具有同方差性。 (4) u t 为正态分布（根据中心极限定理）。以上四个假定可作如下表达：u t~ N (0,σ2)。 (5) Cov(u i, u j) = E[(u i - E(u i) ) ( u j - E(u j) )] = E(u i, u j) = 0, (i≠j )。含义是不同观测值所对应
3.抽象向量组线性相关性的判定与证明 对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法. 方法1 定义法：先设，然后对其作恒等变形，如用某个矩阵同乘该式两边，或对该式拆项重新组合等. 究竟用什么方法应当从已知条件去寻找信息，通过一次或多次恒等变形来分析能够不全为零还是必须全为零，从而得知 是线性相关还是线性无关. 方法2 求秩法：要论证线性相关或线性无关，可将其构成矩阵，利用 或来说明. 方法3 利用有关结论，如“等价的向量组有相同的秩”等. 方法4 反证法. 例1 已知向量组线性无关. 设 ，， 讨论的线性相关性 . 解法1 利用定义. 设，代入的表达式，有 整理得 由于线性无关，所以有
其系数行列式 从而方程组有非零解，即不全为零(或求得方程组的通解 任意；取 得 )，故 线性相关. 法2 利用矩阵的秩. 将看做行向量，令 ，其中 因为线性无关，所以，又可求得，从而. 又知 因此，故线性相关. 注 上题中，如将看做列向量，则有 其余证明同法2. 例2 已知向量组 ，令， ，证明： (1) 当为偶数时，向量组线性相关；
(2) 当为奇数时，向量组与同时线性相关或线性无关. 证(1) 法1 当为偶数时，由于 所以线性相关. 法2 设数组，使得 (*) 代入的表达式并整理得 令，则上式成立. 该齐次方程组的系数行列式 (两条线行列式) 故有非零解，即存在不全为零的数使(*)式成立，从而线性相关. (2) 当为奇数时，将看做列向量，则有 其中
由于，所以可逆，从而 这表明向量组与可以互相线性表出，即它们等价，从而有相同的秩. 故当向量线性无关，即秩为时，向量组的秩也是，即线性无关；而当线性相关时，也线性相关. 注上题中，如将看做行向量，则有 例3 向量组线性无关，则下列线性无关的向量组是． (A) ，，，； (B) ，，，； (C) ，，，； (D) ，，， 应填:(B)． 分析法1．观察可知 (A)线性相关；
§4-5 线性定常连续系统的可观测性 一、可观测性的定义 定义4.4（可观测性定义）： 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x += ，cx y =，如果对于任 一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。 二、线性定常连续系统可观测性的判别准则 定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ） 线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是： 由A 、C 构成的可观测性判别矩阵 ????? ? ??? ???=-1n o cA cA c Q 满秩，即 n r a n k Q o = 【例4.5.1】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ???+??????-=1101 54 ，[]x y 11-= （2）u x x ??????-+???? ??--=113112 ，x y ?? ? ???-=0101 说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ? -+-=t t d Bu t t x t t t x 0 )()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。
（3）u x x ?? ? ???+??????=1110 01 ，[]x y 11= 解：（1）?? ? ? ??--=??????=55 11 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 （2）????? ???? ???---=??? ???=12 12 101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。 （3）?? ? ? ??=??????=11 11 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ） 设线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型 u B x x n +??? ? ? ?? ???=λλ0 01 ， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。 【例4.5.2】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 23 5= 解：系统可观测。 （2）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 03 5= 解：系统不可观测。
8.4线性系统的可控性和可观测性 8.4.1可控性和可观测性的概念 第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。现 代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系 统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而 外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是 状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。 可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。 下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。 (a) (b) (c) 图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a）显见洛受U的控制，但X2与U无关，故系统不可控。系统输出量丫=捲，但X!是受X2影响的，y能间接获得X2的信息，故系统是可观测的。图（b）中的，X2均受u的控制，故系统可控，但y与X2无关，故系统不可观测。图 （c）中的X i、X2均受u的控制，且在y中均能观测到X i、X2，故系统是可控可观测的。 只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。
向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???。因此，b 可 由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。 向量组等价的性质：
向量组的线性相关性的判定 摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件. 关键词：向量组；线性相关；行列式 引言 向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据. 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子. 本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的. 1.向量组线性相关性的相关定义及性质 定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,,,n x x x L ,如果存在n 个不全为0的数12,,,n λλλL ，使得 11220n n x x x λλλ+++=L . 那么称12,,,n x x x L 是线性相关的.否则称12,,,n x x x L 是线性无关的.
师学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得师学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解师学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法
（师学院 数学与统计学院 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a , ,a n a 所组成的数组12(a ,a , )n a 或12(a ,a , )T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
线性系统的可控性和可观测性 可控性和可观测性的概念 第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。 可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。 下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。 （a ） (b) (c) 图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。 只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。
线性代数复习总结大全 向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T T r r βαααααα=判断是否为线性相关的方法： 1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的） 2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关 3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）n r T n T T