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第四章 线性系统得可控性与可观性§4-1 问题得提出经典控制理论中用传递函数描述系统得输入—输出特性,输出量即被控量,只要系统就是因果系统并且就是稳定得,输出量便可以受控,且输出量总就是可以被测量得,因而不需要提出可控性与可观性得概念。
现代控制理论就是建立在用状态空间法描述系统得基础上得。
状态方程描述输入引起状态得变化过程;输出方程描述由状态变化所引起得输出得变化。
可控性与可观性正就是定性地分别描述输入对状态得控制能力,输出对状态得反映能力。
它们分别回答: “输入能否控制状态得变化”——可控性“状态得变化能否由输出反映出来”——可观性可控性与可观性就是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出来得。
可控性与可观性得概念在现代控制理论中无论就是理论上还就是实践上都就是非常重要得。
例如:在最优控制问题中,其任务就是寻找输入,使状态达到预期得轨线。
就定常系统而言,如果系统得状态不受控于输入,当然就无法实现最优控制。
另外,为了改善系统得品质,在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可就是状态得值通常就是难以测取得,往往需要从测量到得中估计出状态;如果输出不能完全反映系统得状态,那么就无法实现对状态得估计。
状态空间表达式就是对系统得一种完全得描述。
判别系统得可控性与可观性得主要依据就就是状态空间表达式。
【例如】 (1)分析:上述动态方程写成方程组形式:从状态方程来瞧,输入u 不能控制状态变量,所以状态变量就是不可控得;从输出方程瞧,输出y 不能反映状态变量,所以状态变量就是不能观测得。
即状态变量不可控、可观测;状态变量可控、不可观测。
(2)分析:上述动态方程写成方程组形式:由于状态变量、都受控于输入u,所以系统就是可控得;输出y 能反映状态变量,又能反映状态变量得变化,所以系统就是可观测得。
即状态变量可控、可观测;状态变量可控、可观测。
(3)分析:,似乎该系统得所有状态变量都就是可控得;,似乎系统就是可观测得。
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C显然有[]n Ab bU C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
2)由于该系统控制矩阵为100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010A则有，010******* 01112431117AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦20100111001 111724317115A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而系统的能控性矩阵为21001110111171117115C U BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦有n U C ==3rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
3)由于该系统控制矩阵为110020B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100030013A则有，3101133030 00000012020AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦23103399030 00000012020A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是，系统的能控性矩阵为2113399000000202020C U BABA B ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知n U C <=2rank不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
名词解释线性系统的可控性在现代控制理论中，线性系统的可控性是一个重要的概念。
可控性指的是对于一个给定的线性系统，是否存在一种控制方法，可以将系统从任意初始状态控制到任意目标状态。
在本文中，我们将对线性系统的可控性进行解释。
1. 线性系统首先，我们需要了解什么是线性系统。
线性系统是指满足线性等式的系统，其输出仅依赖于输入和系统本身的性质。
线性系统具有许多重要的特性，例如可以通过叠加原理来分析系统的行为，使得控制设计变得相对简单。
2. 可控性的定义可控性是指在给定时间范围内，系统的状态可以从任意初始状态控制到任意目标状态的性质。
换句话说，如果一个线性系统是可控的，那么存在一种控制方法，可以使得系统从任何初始状态到达任何目标状态。
这种控制方法可能需要对系统施加一系列的输入信号，以实现对系统状态的精确调节。
3. 可控性矩阵要判断一个线性系统是否是可控的，我们需要引入可控性矩阵的概念。
可控性矩阵是由系统的状态方程和控制输入组成的矩阵，用于描述系统的可控性。
该矩阵的秩可以告诉我们系统的可控性。
4. 可控性判据通过可控性矩阵的秩的计算，我们可以得到一个重要的结论：当且仅当可控性矩阵的秩等于系统状态的维数时，系统才是可控的。
要注意的是，当系统的可控性矩阵的秩小于系统状态的维数时，系统是不可控的。
5. 可控性的意义为什么可控性是一个重要的概念呢？可控性是控制系统设计的基础，它决定了我们是否能够通过适当的输入信号实现对系统状态的控制。
如果一个系统是不可控的，那么无论我们采取怎样的控制策略，都无法将系统从某个初始状态控制到目标状态，这是控制系统设计中的一个致命缺陷。
6. 提高可控性的方法对于一个不可控的系统，我们需要采取措施来提高其可控性。
一种常用的方法是增加系统的输入维度。
通过引入更多的控制输入，我们可以扩展控制空间，从而增加系统可控性矩阵的秩。
另一种方法是通过设计适当的反馈控制策略，利用系统动态特性来增强系统的可控性。
第4章线性系统的能控性与能观测性本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。
1第章线性系统的能控性与能观测性4.1 能控性和能观测性的定义(4.1)线性连续系统的能控性判据44.2 (4.2)4.3 线性连续系统的能观测性判据(4.3)4.5 能控规范型和能观测规范型(4.8,4.9)4.4 对偶性(4.6)24.6 连续时间线性时不变系统的结构分解(4.10)4.1 能控性和能观测性的定义一．能控性与能观测性的物理概念系统的可控性是指系统内的所有状态是否可以由输入影响。
系统可观性，是指系统内的所有状态是否可以由输出反映。
�能控性问题:已知某系统的当前时刻及其状态,是否存在一个容许控制使得系统在该控制的作用下于有,限时间后到达某希望的待定状态?�能观性问题:已知某系统及其在某时间段上的输出,可否依据这一时间段上的输出决定系统这一时间段上的状态?3例4-1：给定系统的状态空间描述为1122401052x x ux x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦̇̇[]1206x y x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦结构图表明：通过控制量u 可以控制状态x 1和x 2，所图4-1 系统结构图4以系统完全能控；但输出y 只能反映状态变量x 2，不能反映状态变量x 1，所以系统不完全能观测。
二．能控性定义1．状态可控考虑n 维线性时变系统的状态方程[]0001()()()=t t x A t x B t u x t x t T T t t =+=∈̇取定初始时刻，一个非零初始状态x (t 0) t T t ∈0=x 0，如果存在一个时刻和一个无约束的容许控制u (t )，，使状态由x (t 0)=x 0转移到x (t 1)=0，则称此x 0是在时刻t 0可011,t t T t t >∈01[,]t t t ∈5控的.x 0t 0x 初始状态31()0t =x 1t 无约束容许控制2x 01(),[,]t t t t ∈u 1x 000⇒在t 时刻可控系统在t 时刻可控x 6⇒所有时刻都可控系统一致可控．系统可控2考虑n 维线性时变系统的状态方程00()()()t x A t x B t u x t x t T =+=∈̇如果状态空间中的所有非零状态都是在t 0（）时刻可控的，则称系统在时刻t 0是t T t ∈0完全可控的，简称系统在时刻t 0可控。
