实验三 系统的可控性与可观测性分析

实验三系统的可控性与可观测性分析一、实验目的1．巩固控制系统能控、能观等知识；控制系统的最小实现和控制系统的能控、能观测标准型等基础知识；2．掌握使用MATLAB 判定系统可控性与可观测性的方法；3．掌握使用MATLAB 控制系统的标准型实现；4．通过Matlab 编程，上机调试，掌握和验证所学控制系统的基本理论。

二、实验原理与步骤(一)、可控性和可观测性的定义1.可控性的定义若对状态空间的任一非零状态x(t0)，都存在一个有限时刻t1>t0和一个容许控制u[t0,t1]，能在t1时刻使状态x(t0)转移到零，则称状态方程XAX BU =+ 在t0时刻是可控的。

反之称为在t0时刻不可控。

2.可观测性的定义定义：若对状态空间中任一非零初态x(t0)，存在一个有限时刻t1>t0，使得由输入u[t0,t1]和输出y[t0,t1]能够唯一确定初始状态x(t0)，则称动态方程XAX BU Y CX DU=+=+在t0时刻是可观测的。

反之称为是不可观测的。

(二)、可控性和可观测性判据1、可控性构造一个相似变换矩阵1(,,,)n c T B AB A B -= 公式中，n 是系统的阶次；矩阵c T 称为系统的可控性变换矩阵。

矩阵c T 可以由控制系统工具箱中提供的()ctrb 函数来产生。

其调用格式为(,)c T ctrb A B =公式中，c T 的秩，即()c rank T 称为系统的可控性指数，它的值表示系统中可控制的状态的数目。

如果()c rank T n =，则系统是完全可控制的。

【例题1】考虑系统的状态方程模型为0100001010001000502x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦分析系统的可控性。

A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0]B=[0;1;0;-2]Tc=ctrb(A,B)rank(Tc)结果如下：>>rank(Tc)ans =4可见，系统完全能控。

机械系统的可控性与可观测性分析在机械工程领域，可控性和可观测性是评估系统控制与监测能力的两个重要指标。

这两个概念被广泛运用于机械系统的设计和分析中，以确保系统的稳定性和性能优化。

本文将探讨机械系统的可控性和可观测性在系统分析中的作用，并阐述如何评估和提高这两个指标。

可控性是指系统能否通过给定的控制输入使得状态在有限时间内从初始状态到达目标状态。

在机械系统中，可控性分析能够帮助我们确定系统是否能够被有效地控制。

一个可控的机械系统意味着我们可以设计合适的控制策略来影响系统的状态变化，从而实现我们所期望的结果。

可控性的评估通常使用状态空间方法进行。

通过将系统描述为一组状态变量和状态方程，我们可以计算系统的可控性矩阵。

可控性矩阵反映了系统内部状态之间的关系，通过判断矩阵的秩是否满秩，可以确定系统的可控性。

如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量数目，则系统是可控的；否则，系统是不可控的。

在机械系统的设计中，可控性的分析能够帮助我们选择适当的执行器和控制策略，以实现所需的运动和力学特性。

例如，在一个自动化机器人系统中，评估机械臂的可控性可以确定系统是否能够在规定时间内达到所期望的位置、速度和加速度。

如果机械臂的可控性较差，可能需要调整系统的结构或增加额外的执行器才能满足运动控制的要求。

与可控性相对的是可观测性。

可观测性是指系统的状态是否可以通过给定的输出测量得到。

在机械系统中，通过可观测性分析，我们可以确定需要测量的输出变量以及所需的传感器位置和传感器数量，从而实现对系统状态的监测和反馈控制。

可观测性的评估也可以使用状态空间方法进行，主要通过计算系统的可观测性矩阵来确定。

可观测性矩阵描述了系统输出和状态之间的关系，通过判断矩阵的秩是否满秩，可以确定系统的可观测性。

如果可观测性矩阵的秩等于系统的状态变量数目，则系统是可观测的；否则，系统是不可观测的。

在机械系统的设计和运行中，可观测性的分析能够帮助我们确定合适的传感器位置和输出变量选择，以实现对系统状态的有效监测和控制。

实验报告课程线性系统理论基础实验日期年月日专业班级姓名学号同组人实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。

掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的稳定性分析；3、系统的最小实现。

二、实验内容（1）能控性、能观测性及系统实现（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf,minreal ；（b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s as s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。

（2）稳定性（a ）代数法稳定性判据已知单位反馈系统的开环传递函数为：)20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为)22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。

（c ）Bode 图法判断系统稳定性已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。

（d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。

三、实验环境1、计算机120台；2、MATLAB6.X 软件1套。

四、实验原理（或程序框图）及步骤1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。

8.4 线性系统的可控性和可观测性8.4.1 可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。

在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。

现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。

这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。

如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。

相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。

可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。

可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。

下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。

（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。

系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。

图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。

图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。

实验三系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置实验指导书一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的最小实现；3、进行状态反馈系统的极点配置；4、研究不同配置对系统动态特性的影响。

二、实验原理、内容及步骤 1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如下：p m n R y R u R x DuCx y Bu Ax x ∈∈∈⎩⎨⎧+=+= （1-1）其中A 为n ×n 维状态矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示：D B A sI C s den s num s G +-==-1)()()(()( (1-2)式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。

系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。

系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t 1-t 0）内，能把任一给定的初态x(t 0)转移至预期的终端x(t 1)，则称此状态是能控的。

若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。

状态能控性判别方法分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能控性判别式为：[]n B A AB B Rank RankQ n c==-1（1-3） 系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（1-1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0<t a <∞，根据[t 0,t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t 0时刻的任意初始状态x 0，则称系统在t 0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t 0,t a ]区间上能观测。