江苏省常州市溧阳中学2020-2021学年高三上学期期初考试数学试题

2021-2021学年江苏省常州高级中学高三〔上〕期中数学试卷〔理科〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．〔5分〕复数，〔m∈R，i是虚数单位〕是纯虚数，那么m的值是﹣1 ．考点：复数的根本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数z为a+bi〔a、b为实数〕的形式，它是纯虚数，实部=0，虚部≠0求出m 即可．解答：解：复数，它是纯虚数，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：此题考查复数的根本概念，复数代数形式的乘除运算，是根底题．2．〔5分〕〔2021•南京模拟〕设集合，那么A∪B= {x|﹣1＜x＜1} ．考点：并集及其运算．分析：集合A为指数不等式的解集，可利用指数函数的单调性求解；集合B为分式不等式的解集，可用穿根法或转化为二次不等式解决．解答：解：=；，故A∪B={x|﹣1＜x＜1}故答案为：{x|﹣1＜x＜1}点评：此题考查解指数不等式和分式不等式、以及集合的概念、运算等，属基此题．3．〔5分〕函数的单调递增区间是[0，] ．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：依题意，可求得2x+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f〔x〕的单调递增区间．解答：解：∵0≤x≤，∴≤2x+≤，由≤2x+≤得：0≤x≤．故f〔x〕的单调递增区间为[0，]．故答案为：[0，]．点评：此题考查正弦函数的单调性，求得2x+的范围，再利用正弦函数的单调性是关键，属于中档题．4．〔5分〕过点〔1，0〕且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是12x+5y ﹣12=0 ．考点：直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：先求直线2x+3y+3=0的斜率，进而转化为倾斜角，用二倍角公式求过点〔1，0〕的斜率，再求解直线方程．解答：解：直线2x+3y+3=0的斜率为k=，倾斜角为α，所以tanα=，过点〔1，0〕的倾斜角为2α，其斜率为tan2α===，故所求直线方程为：y=〔x﹣1〕，即12x+5y﹣12=0故答案为：12x+5y﹣12=0．点评：此题关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化，考查计算能力．5．〔5分〕右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，假设x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项，那么所得y值中的最小值为 1 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，由x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项，那么我们易求出|x|的最小值，代入即可求出y 的最小值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，又∵x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项∴当n=100时，|x|取最小值0此时y=1+|x|有最小值1故答案为：1点评：根据流程图〔或伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图〔或伪代码〕，从流程图〔或伪代码〕中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据〔如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理〕⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．〔5分〕设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题；数形结合；数形结合法．分析：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值解答：解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z∴ω=n×，n∈z又ω＞0，故其最小值是故答案为点评：此题考查由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，解题的关键是判断出函数图象的特征及此特征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，此题重点是判断出是周期的整数倍，那么问题得解7．〔5分〕设a∈R，那么“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞的充分不必要条件〔填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞〕考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案．解答：解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0”化为l1：x+2y﹣1=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；如果“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞必有a〔a+1〕=2，解得a=1或a=﹣2，所以“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：此题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．8．〔5分〕设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，那么α的取值范围为[0°，90°]∪[120°，180°〕．考点：简单复合函数的导数；直线的倾斜角．分析：先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．解答：解：设点P是曲线上的任意一点，∵∴y'=3x2﹣∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣∴k∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°〕故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°〕点评：此题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．9．〔5分〕假设，那么a的取值范围是＜a＜或a＜﹣1 ．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：考察函数y=的单调性，讨论x的范围，利用单调性建立关于a的不等关系，可求出a的取值范围．解答：解：∵，y=在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递减∴或或解之得＜a＜或a＜﹣1．故答案为：＜a＜或a＜﹣1点此题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性解不等式，同时考查了分类评：讨论的数学思想，属于根底题．10．〔5分〕如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，那么△ABC的边长是．考点：两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答：解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评：此题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于根底题．11．〔5分〕△ABC中，AB边上的中线CM=2，假设动点P满足，那么的最小值是﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量式变形可推得点P在CM上，而而=，故=2，又夹角为π，由数量积的定义结合根本不等式可得答案．解答：解：由题意可得：，∴，又sin2θ+cos2θ=1所以P、M、C三点共线，即点P在CM上，而=，故=2=2cosπ=﹣2，∵，由根本不等式可得：≤=1，故﹣2≥﹣2故答案为：﹣2点评：此题考查向量的数量积的运算和根本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．12．〔5分〕〔2021•扬州模拟〕等差数列{a n}的前n项和为S n，假设〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕=1，〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=﹣1，那么以下四个命题中真命题的序号为②③．①S2021=2021；②S2021=2021；③a2021＜a2；④S2021＜S2．考点：等差数列的性质．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：根据条件可判断a2＞1，0＜a2021＜1，0＜a2021＜1＜a2，从而公差d＜0可判断③，然后两式相加整理可得a2+a2021=2，利用等差数列的性质可知a1+a2021=a2+a2021=2可判断①②，由公差d＜0 可得a2+a2021＞a2+a2021＞a2+a2021，结合等差数列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006，从而可得0＜a1006＜1＜a1005，可判断④的正误．解答：解：由〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕=1，〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=﹣1可得a2﹣1＞0，﹣1＜a2021﹣1＜0即a2＞1，0＜a2021＜1，从而可得等差数列的公差d ＜0③a2021＜a2正确把的两式相加可得〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕+〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=0整理可得〔a2+a2021﹣2〕•[〔a2﹣1〕2+〔a2021﹣1〕2﹣〔a2﹣1〕〔a2021﹣1〕+2021]=0 结合上面的判断可知〔a2﹣1〕2+〔a2021﹣1〕2﹣〔a2﹣1〕〔a2021﹣1〕+2021＞0所以a2+a2021=2，而②正确由于d＜0，a2021＜a2021＜1，那么S2021=S2021﹣a2021=2021﹣a2021＞2021①错误由公差d＜0 可得a2+a2021＞a2+a2021＞a2+a2021，结合等差数列的列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006从而可得0＜a1006＜1＜a1005④s2021﹣s2=a3+a4+…+a2021=2007a1006＞0，故④错误故答案为：②③点评：此题注意考查了等差数列的性质的运用，灵活利用m+n=p+q，那么a m+a n=a p+a q，是解决问题的关键，还要求考生具备一定的推理论证能力．13．〔5分〕关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0〔a＜b〕的解集为R，那么的最小值是8 ．考点：根本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：根据题意，由一元二次不等式的性质，可得△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于M，分子、分母同乘a，进而对其变形可得M=，由换元法，令，结合根本不等式分析可得答案．解答：解：由题意，ax2+bx+c≥0〔a＜b〕的解集为R，那么必有△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于，分子、分母同乘a可得，=，令，那么〔当且仅当t=3，即b=3a时等号成立〕；故答案为8．此题考查根本不等式的应用，关键是对M变形，转化为根本不等式的问题．点评：14．〔5分〕二次函数f〔x〕=x2﹣x+k，k∈Z，假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣2在上有两个不同的零点，那么的最小值为．二次函数的性质；函数的零点；一元二次方程的根的分布与系数的关系．考点：计算题；压轴题．专题：分根据函数g〔x〕=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，且k∈Z，求出k 析：值从而得出二次函数f〔x〕=x2﹣x，值域，再将=结合根本不等式即可求出的最小值．解解：假设函数g〔x〕=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，k∈Z，那么答：k=2．∴二次函数f〔x〕=x2﹣x+2，其值域f〔x〕∈[，+∞〕，=≥2=2，当且仅当f〔x〕=即f〔x〕=时取等号，而∉[，+∞〕，∴当f〔x〕=时，的最小值为．故答案为：点评： 本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、根本不等式等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于根底题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔10分〕函数．〔1〕求f 〔x 〕的最小正周期和值域； 〔2〕假设x=x 0为f 〔x 〕的一个零点，求sin2x 0的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换． 专题： 计算题． 分析：〔1〕利用三角函数的恒等变换化简函数f 〔x 〕的解析式为 ，由此求得最小正周期和〔2〕由求得，根据x 0的范围可得2x，再利用二倍角公式、两角和的正弦公式求出sin2x 0的值．解答：解：〔1〕易得==所以f 〔x 〕周期π，值域为；〔2〕由，得，又由得，所以，故，此时，==点评： 此题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，二倍角公式、两角和的题． 16．〔10分〕〔2021•盐城三模〕设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足．〔Ⅰ〕求角B 的大小； 〔Ⅱ〕假设，试求的最小值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：〔1〕根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角．〔2〕此题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和根本不等式得到ac的范围，得到结果．解答：解：〔Ⅰ〕∵，∴〔2a+c〕accosB+cabcosC=0，即〔2a+c〕cosB+bcosC=0，那么〔2sinA+sinC〕cosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sin〔C+B〕=0，即，B是三角形的一个内角，∴〔Ⅱ〕∵，∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4∴=，即的最小值为﹣2点评：此题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，此题又牵扯到解三角形，是一个综合题．17．〔15分〕〔2021 •上海〕函数f〔x〕=x+的定义域为〔0，+∞〕，且f〔2〕=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．〔1〕求a的值．〔2〕问：|PM|•|PN|是否为定值？假设是，那么求出该定值；假设不是，请说明理由．〔3〕设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．考函数与方程的综合运用．点：综合题；压轴题；数形结合；转化思想．专题：分〔1〕由f〔2〕=2+=2+求解a．析：〔2〕先设点P的坐标为〔x0，y0〕，那么有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．〔3〕由〔2〕可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．解解：〔1〕∵f〔2〕=2+=2+，∴a=．答：〔2〕设点P的坐标为〔x0，y0〕，那么有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．〔3〕由题意可设M〔t，t〕，可知N〔0，y0〕．∵PM与直线y=x垂直，∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=〔x0+y0〕．又y0=x0+，∴t=x0+．∴S△OPM=+，S△O PN=x02+．∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=〔x02+〕+≥1+．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．点评：此题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．18．〔15分〕设函数上两点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕，假设，且P点的横坐标为〔1〕求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；〔2〕假设，n∈N*，求S n；〔3〕记T n为数列的前n项和，假设对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：〔1〕可设，由，可得，代入解析式验证即可．〔2〕由〔1〕知，而由，可变形为两式相加可得到解决．〔3〕由〔2〕知所以可得到可变形为裂项求得T n，再研究恒成立问题．解答：解：〔1〕设，又∵，∴，又，∴〔2〕由x1+x2=1，得∴，又∴，即〔3〕∵，∴，∴，从而，由，∴令，易证g〔n〕在上是增函数，在上是减函数，我且g〔3〕=7，g〔4〕=7，∴g〔n〕的最大值为7，即，∴点评：此题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．19．〔15分〕〔2021•南汇区二模〕某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y〔毫克/升〕满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4〔毫克/升〕时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4〔毫克/升〕且不高于10〔毫克/升〕时称为最正确净化．〔1〕如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水到达有效净化一共可持续几天？〔2〕如果投放的药剂质量为m，为了使在7天〔从投放药剂算起包括7天〕之内的自来水到达最正确净化，试确定该投放的药剂质量m的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：〔1〕由m=4，且y=m•f〔x〕，可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4〔即y≥4〕时，要分区间去求解．〔2〕由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最正确净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．解答：解：〔1〕因为m=4，所以y=m•f〔x〕=；所以，当0＜x≤4时，x+8≥4显然成立，当x＞4时，≥4，得4＜x≤8；综上知，0＜x≤8；所以，自来水到达有效净化一共可持续8天．〔2〕由y=m•f〔x〕=知，在区间〔0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m，在区间〔4，7]上单调递减，即≤y＜3m，综上知，≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要≥4，且3m≤10即可，即m=；所以，为了使在7天之内的自来水到达最正确净化，该投放的药剂量应为．点评：此题考查了分段函数模型的灵活应用；分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．20．〔15分〕〔2021•徐州二模〕函数f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x〔a，b不同时为零的常数〕，导函数为f′〔x〕．〔1〕当时，假设存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′〔x〕＞0成立，求b的取值范围；〔2〕求证：函数y=f′〔x〕在〔﹣1，0〕内至少有一个零点；〔3〕假设函数f〔x〕为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]〔t＞﹣1〕上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．考点：专计算题；证明题；压轴题；转化思想．题：分〔1〕当时，f′〔x〕==，由二次函数的析：性质，分类讨论可得答案；〔2〕因为f′〔x〕=3ax2+2bx+〔b﹣a〕，所以f′〔0〕=b﹣a，f'〔﹣1〕=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；〔3〕将“关于x的方程在[﹣1，t]〔t＞﹣1〕上有且只有一个实数根〞转化为“函数f〔x〕与的交点〞问题解决，先求函数f〔x〕因为f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x为奇函数，可解得b=0，所以f〔x〕=ax3﹣ax，再由“f〔x〕在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f〔x〕，再求导，由，知f〔x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解解：〔1〕当时，f′〔x〕==，答：其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；〔4分〕〔2〕因为f′〔x〕=3ax2+2bx+〔b﹣a〕，∴f′〔0〕=b﹣a，f'〔﹣1〕=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．〔3〕因为f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x为奇函数，所以b=0，所以f〔x〕=ax3﹣ax，又f〔x〕在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f〔x〕=x3﹣x．因为所以f〔x〕在上是増函数，在上是减函数，由f〔x〕=0解得x=±1，x=0，如以下列图，当时，，即，解得；当时，，解得；当t=0时，显然不成立；当时，，即，解得；当时，，故．所以所求t的取值范围是或．点评：此题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。

江苏省常州市2020届高三第一学期期中考试试题数学(文)第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}2x x <，B ＝{﹣2，﹣1，0，2}，则A I B ＝ ． 答案：{﹣1，0}2．函数22log (76)y x x =+-的定义域是 ．答案：(﹣1，7)3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，则S 6＝ ．答案：24．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0，0)处的切线方程为2y x =，则a ＝ ． 答案：3考点：导数的几何意义5．已知点A(1，3)，B(4，﹣1)，则与向量AB uuu r同方向的单位向量的坐标是 ．答案：(35，45-) 6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，()axf x e =-．若(ln 3)9f =，则a ＝ ． 答案：﹣27．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是(-∞，﹣1)U (12-，+∞)，则实数a 的值为．答案：﹣28．已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r ，若2c b =+r r ，则cos<a r ，c r>＝ ．答案：39．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜π)是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()3g π=，则3()8f π= ．答案：210．函数()y f x =定义域为R，(1)f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足2121()()f x f x x x --＜0，若(2)f ＝1，则不等式2(log )1f x <的解集为 ． 答案：(1，4)11．已知正实数x ，y 满足21xy x y --=，则2x y +的最小值为 ． 答案：264+12．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，AD DC =u u u r u u u r ，1AE EB 2=u u u r u u u r ，若BD AC 5⋅=u u u r u u u r ，则CE AB ⋅u u u r u u u r＝ ．答案：613．已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，若3tanA ＋tanB ＝0，则角C 的取值范围为 ． 答案：(0，6π] 14．若对任意的x ∈[1，e 2]，都有3ln (1)a x a x ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[﹣1，3e e-] 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数2()3sin 22sin f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在区间[0，2π]上的最大值．16．（本题满分14分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且a cosB＋12b＝c．（1）求∠A；（2）若a＝4，D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积．17．（本题满分14分）某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克，其中4≤x ≤l5)满足：当4≤x ≤9时，2(9)3by a x x =-+-(a ，b 为常数)；当9≤x ≤15时，y ＝﹣5x ＋85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克．（1）求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该商品所获利润()f x 最大．18．（本题满分16分）已知点A(﹣1，0)，B(0，﹣1)，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ．（1）设PN PA n =u u u r u u u r ，PM PB m =u u u r u u u r，试用θ表示m 与n ；（2）设PO PM PN x y =+u u u r u u u r u u u r(x ，y ∈R)，试用θ表示x ＋y ；（3）求x ＋y 的最小值．19．（本题满分16分）已知：定义在R 上的函数22()2x m f x x -=+的极大值为12．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()(22)()20f x a f x a a --+->有且只有一个整数解，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知函数()ln xf x x xe ax =-+(a ∈R)．（1）若函数()f x 在[1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a ＝l ，求()f x 的最大值．。

江苏省溧阳中学2007-2008学年第一学期阶段测试高三数学（文科）试题一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题后的答题表内）1．函数2()lg(23)f x x x=--的定义域是集合M，函数()g x P，则P M=▲．2．若x是不等式|1|3x+<的解，则x是负数的概率为▲．3．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算得2 3.918χ≈，经查对临界值表知2( 3.841)0.05Pχ≥≈．则下列结论中，正确结论的序号是▲．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%．4．一个正三棱柱的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的表面积是▲．5．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，其余三个面上分别标以数4，5，6．将这个小正方体抛掷2次，则向上的两个数之和等于零的概率是▲．6．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是▲．7．椭圆22221x ya b+=上任意一点到两焦点的距离分别为1d、2d，焦距为2c，若1d、2c、2d成等差数列，则椭圆的离心率为▲．8．过点(1,0)P作曲线3()1f x x=-的切线，切线的方程是▲．9）：由此可以估计，▲种小麦长得比较整齐．10．若方程ln620x x-+=的解为x，则不等式x x≤的最大整数解是▲．11．已知直线2my+与圆222x y n+=相切，其中m，n N*∈，且||5m n-≤．则满足条件的有序实数对(,)m n共有▲个．12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T，经过一0．0．定时间(min)t 后的温度是T ，则01()()2th a a T T T T -=-⋅，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min ，那么此杯咖啡从40℃降温到32℃时，还需 ▲ min ． 13．考察下列一组不等式：3322252525+>⋅+⋅，4433252525+>⋅+⋅，553223252525+>⋅+⋅，…….将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 ▲ ．14．已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．吴老师给出下列四个式子：①1()2nk k n a b x =+=∑；②211n k k x n =>∑；③ab<ab=ab >是 ▲ ；一定不成立的是 ▲ ．（只需填序号）.二、解答题（本大题共6小题，共90分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OC =，点P 是直线OC 上一动点． （O 是坐标原点）（Ⅰ）求PA PB ⋅的最小值，并求此时OP 的坐标；（Ⅱ）设PA 与PB 的夹角为θ，当PA PB ⋅取得最小值时，求cos θ的值．16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角3A π=，边a =角B x =，ABC ∆的周长为y ． （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值． 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，N 是PB 中点，截面DAN 交PC 于M ． （Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面ADMN ；（Ⅲ）求三棱锥P BCD -的体积．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长2AB =，宽1AD =，边AB 、AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点O 重合（如图）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上的E 点．设折痕所在直线l 的斜率为k ． （Ⅰ）求点E 的坐标（用k 表示）；（Ⅱ）求直线l 的方程；（Ⅲ）当直线l 与x 轴、y 轴都相交时，记直线l 在x 轴上的截距为()f k ，在y 轴上的截距为()g k ，求()f k 的最小值和()g k 的最大值．A C BDM NP19．（本小题满分16分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（Ⅰ）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （Ⅱ）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（Ⅲ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 20．（本小题满分18分）设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{}n a 的集合：①对任意n N *∈，212n n n a a a +++≤恒成立；②对任意n N *∈，存在与n 无关的常数M ，使n a M ≤恒成立． (Ⅰ)若{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且34a =，318S =，试探究数列{}n S 与集合W 之间的关系；(Ⅱ)设数列{}n b 的通项公式为52n n b n =-，且{}n b W ∈，求M 的取值范围．江苏省溧阳中学 2007-2008学年第一学期阶段测试 高三数学（文科）试题参考答案与评分标准2007/12/28一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题后的答题表内）1． (,1)[1,)-∞-+∞； 2．23； 3．①； 4．24+ 5．14； 6．48； 7．12； 8．33y x =-或3344y x =-；9．甲； 10．2； 11．4； 12．10； 13．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m ；（或n m b a b a ,,,0,≠>为正整数） .注：填m n n m n m nm 525252+>+++以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分；若填m m m m 52525211⋅+⋅>+++或m m m m b a b a b a ⋅+⋅>+++11可给3分。

2024-2025学年江苏省常州市高三上学期期初调研数学质量检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则下列选项中正确的是（ ）{{}2,P x y Q y y x ====A ．B ．C ．D ．P Q =RQ P⊆P Q =∅P Q⊆2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则αx (4,3)P -（ ）3sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．2425-725-72524253．已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹,a b 4,10a b ==a b 15b -a b 角为（ ）A ．B ．C ．D ．π6π32π35π64．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看1%()36511%+()36511%-作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）lg101 2.0043≈lg 99 1.9956≈A ．100B ．230C ．130D ．3655．已知，则（ ）．sin (α−β)=13,cosαsinβ=16cos (2α+2β)=A ．B ．C ．D ．791919-79-6．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭[]0,1a A ．B ．(],2-∞(],0-∞C ．D ．[)2,+∞[)0,+∞7．已知函数是R 上的偶函数，且，当时，()1f x +()()220f x f x ++-=(]0,1x ∈，函数f （x ）在区间的零点个数为（ ）()25log 22f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]3,3-A ．7B ．8C ．9D ．108．已知函数满足，，则()f x ()112f =()()()()()2,,f x f y f x y f x y x y =++-∈R （ ）()2024f =A ．B ．C ．D ．121414-12-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（ ）X ()2,4X N :A ．若，则B ．若，则2Y X =+()4E Y =24Y X =+()8D Y =C ．D ．()()04P X P X ≤=≥()()14124P X P X ≤≤=-≥10 ）①；tan 25tan 3525tan 35+︒︒︒︒②；()2sin 35cos 25cos35cos 65︒︒+︒︒③；1tan151tan15+︒-︒④．1tan151tan15-︒+︒A ．①B ．②C ．③D ．④11．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个()f x ()f x '0x ()()00f x f x '=0x ()f x “巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．2()f x x=()xf x e-=()ln f x x=()tan f x x=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数.e xy =0x =()ln y x a =+a =13．已知函数的图象与直线在上有个交点，则实()6sin sin 3f x x x =+()y f x =y m =[0,2π]4数的取值范围为．m14．已知函数其中，，的部分图象如下图所示，(()sin()f x A x ωϕ=+0A >0ω>ππ22ϕ-<<若在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为．()f x (,)m m -m四、解答题：本题共5小题，共77分．除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知都是锐角，且，.,αβ3sin 5α=()1tan 3αβ-=-（1）求的值；()sin αβ-（2）求的值.cos β16．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT 所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.17．已知三棱锥平面，为的中点，,P ABC PA -⊥,,2,1ABC AB BC AC PA AB ⊥===E PB 为延长线上一点.Q BA(1)证明：；AE CP ⊥(2)当二面角的长.A PQ C --BQ 18．已知函数.()()()2ln 2,ln 1,f x x a x a x g x x x x a a =+-+=--+∈R(1)讨论的单调性；()f x (2)若有两个零点，求的取值范围；()g x a (3)若对任意恒成立，求的取值范围.()()1ln f x g x a x+≥+1x ≥a 19．设为大于3的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新n {}n a m 数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们{}m b ()1,2,,2i i m =- ()()120ii ii b b b b ++--<称数列为数列的一个数列．{}m b {}ma n -(1)若数列为，写出所有的数列；{}n a 1,2,3,4,4m ={}n a n -(2)如果数列公差为，证明：；{}n a 1,21m k =+1m b b k-≥(3)记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的数列”的概率为，证明：{}n a m {}m b {}n a n -m P ．13m P ≤1．B【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解.【详解】由得，由可得，{P x y =={}1P x x =≥-{}2Q y y x =={}0Q y y =≥故，其它都不正确.Q P ⊆故选：B 2．B【分析】先利用诱导公式和恒等变换进行化简，再利用任意角三角函数求解即可.【详解】由题意得，所以.故4cos 5α=-23167sin 2cos 212cos 1222525πααα⎛⎫+=-=-=-⨯=- ⎪⎝⎭选：B.3．C【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.【详解】依题意，在上的投影向量为，则，a b 215||a b b b b ⋅=-21||205a b b ⋅=-=- 于是，而，则，201cos ,4102||||a b a b a b ⋅-〈〉===-⨯,[0,π]a b 〈〉∈ 2π,3a b 〈〉=所以向量与向量的夹角为.ab 2π3故选：C 4．B【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指n 100 1.011000.99nn=数对数的关系及换底公式计算可得.【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，n 100此时“进步值”为，“退步值”为，即，()11% 1.01nn+=()11%0.99nn-= 1.011000.99nn =所以，则，1.011011000.9999nn⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10199log 100n =所以天．lg100lg1002230101lg101lg99 2.0043 1.9956lg 99n ==≈≈--故选：B 5．B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公sin()αβ+式计算作答.【详解】因为，而，因此，sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=131cos sin 6αβ=sinαcosβ=12则，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23所以.cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1−2sin 2(α+β)=1−2×(23)2=19故选：B方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．6．B【分析】根据函数由复合而成，结合复合函数的单调性判()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭21(),3t y t x ax==-断在区间上是增函数，即可求得答案.2t x ax =-[]0,1【详解】由题意知函数由复合而成，()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭21(,3t y t x ax==-在R 上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，1()3ty =()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭[]0,1可知在区间上是增函数，故，2t x ax =-[]0,10,02aa ≤∴≤即实数的取值范围是，a (],0-∞故选：B 7．C【分析】根据的对称轴和对称中心，结合函数的图象即可判断的零点个数.()f x ()f x 【详解】因为函数是R 上的偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x -+=+所以关于直线对称，()f x 1x =因为，时，()()220f x f x ++-=x =2()()40f f =-由，当时，，故，()()220f x f x ++-=0x =()()220f f +=()20f =又关于直线对称，所以，()f x 1x =()()()()002400f f f f =-==-=，由对称性可得在上的大致图象如下图所示，()f x []3,3-则在区间的零点个数为9.()f x []3,3-故选：C.8．D【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得1,0x y ==()01f =1y =，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周()()()11f x f x f x =++-()()6f x f x +=()f x 期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即()01f =()112f =()2f 可求解.()2024f 【详解】取代入，1,0x y ==()()()()2f x f y f x y f x y =++-得即，由题解得，()()()()()2101121f f f f f =+=()()21010f f ⎡⎤-=⎣⎦()01f =令代入得，1y =()()()()2f x f y f x y f x y =++-()()()11f x f x f x =++-故，()()()()()()()654321f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=-+=-+++=所以是周期为6的周期函数，()f x又，，所以，()01f =()112f =()()()12102f f f =-=-所以，1(2024)(33762)(2)2f f f =⨯+==-故选：D.思路点睛：依次赋值和代入分别得到1,0x y ==1y =()()()()2f x f y f x y f x y =++-和，再依据所得条件推出即函数周期为6()01f =()()()11f x f x f x =++-()()6f x f x +=和，进而根据周期性和即可求解.()122f =-()2f ()2024f 9．AC【分析】利用期望与方差的性质结合正态分布的性质计算一一判定选项即可.【详解】A 选项：，故A 正确；()()()224E Y E X E X =+=+=B 选项：，故B 错误；()()()24416D Y D X D X =+==C 选项：由正态分布密度曲线知其关于对称，2X =利用对称性知，故C 正确；()()04P X P X ≤=≥D 选项：因为，()()()()()()11441,401P X P X P X P X P X P X ≤+≤≤+≥=≥=≤≠≤所以，，故D 错误.()()14241P X P X ≤≤+≥≠故选：AC 10．ABC 【分析】利用即可得①正确；，进而()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-cos 65sin 25=利用正弦和角公式即可得②正确；由与正切的和差角公式即可得③正确④错误.tan 451=【详解】对于①，由于，()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-所以tan 25tan 3525tan 35++()()tan 25351tan 25tan 3525tan 35tan 2535⎡⎤=+-=+=⎣⎦对于②，由于，cos 65sin 25=所以()()2sin 35cos 25cos35cos 652sin 35cos 25cos35sin 252sin 60+=+==对于③，因为， tan 451= 1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===--对于④，因为， tan 451= 1tan15tan 45tan15tan 301tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒-+-===+故选：ABC 11．AC【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可.【详解】对于A ：∵，∴，令，即，解得：x =0或2()f x x =()2f x x '=()()f x f x ='22x x =x =2，故有“巧值点”.对于B ：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”()x f x e -=()x f x e -'=-()()f x f x ='x x e e --=-.对于C ：∵，∴，令，即，由和的图()ln f x x =1()f x x '=()()f x f x ='1ln x x =()ln f x x =1()f x x '=像可知，二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”.()()f x f x ='对于D ：∵，∴，令，即，可得，()tan f x x =21()cos f x x '=()()f x f x ='21tan cos x x =sin 22x =无解，故没有“巧值点”.故选：AC数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.12．2【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得.e xy =0x =()ln y x a =+2a =【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为；e x y =e x y '=0e 1k ==(0,1)则曲线在处的切线为，e xy =0x =1y x =+显然，设切点，()1g x x a '=+()()00,ln x x a +由，解得.()00011ln 1x a x a x ⎧=⎪+⎨⎪+=+⎩012x a =-⎧⎨=⎩故213．(()5-- 【分析】对函数求导，联系余弦函数在上的单调性分析导函数的正负，()f x '()f x [0,2π]'()f x 由此得到函数的单调性，数形结合即可求解.()f x 【详解】函数的导函数为()6sin sin 3f x x x =+，()()32()6cos 3cos36cos 3cos 212cos 3cos 3cos 4cos 1f x x x x x x x x x x =+=++=-=-'当时，，则在上单调递增，π03x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒>⎨>⎩'()f x π03x ≤<当时，，则在上单调递减，ππ32x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒<⎨>⎩'()f x ππ32x ≤<当时，，则在上单调递增，π2π23x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒>⎨<⎩'()f x π2π23x ≤<当时，，则在上单调递减，2ππ3x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒<⎨<⎩'()f x 2ππ3x ≤<当时，，则在上单调递减，4ππ3x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒<⎨<⎩'()f x 4ππ3x ≤<当时，，则在上单调递增，4π3π32x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒>⎨<⎩'()f x 4π3π32x ≤<当时，，则在上单调递减，3π5π23x ≤<()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒<⎨>⎩'()f x 3π5π23x ≤<当时，，则在上单调递增，5π2π3x ≤≤()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒>⎨>⎩'()f x 5π2π3x ≤≤所以，在上，当时，取得极大值为时，极小值为；[]0,ππ2π,33x =()f x π2x =5在上，当时，取得极大值为，当时，极小值为(]π,2π3π2x =()f x 5-4π5π,33x =-所以函数的图象与直线在上有个交点，则实数()6sin sin 3f x x x =+()y f x =y m =[0,2π]4的取值范围为，m (()5⋃--故(()5⋃--14．5π7π,66⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由图像可求出函数，然后根据求解函数的零点存在的值并结合区()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭间上只有两个零点，从而求解.(),m m -【详解】由图象对称性可知，函数的图象与轴正半轴第一个交点的横坐标为，()f x x π6由图可知为其对称轴，则，解出，2π3x =2π12πππ44362T ω=⋅=-=1ω=由于，故，，则，，因为，所以πsin 06A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ6k ϕ+=Z k ∈ππ6k ϕ=-Z k ∈ππ22ϕ-<<，π6ϕ=-于是，由于，故，因此，()πsin 6f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π10sin 62f A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭1A =()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知，115ππ7ππ06666f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为在，上有且仅有两个零点，所以.()f x (,)m m -5π7π66m <≤故答案为.5π7π,66⎛⎤ ⎥⎝⎦15．（1）2【详解】试题分析：（1）因为都是锐角，而，可得 ，由,αβ()1tan 3αβ-=-()sin 0αβ-<同角三角函数基本关系式得2）凑角可得 ，()sin αβ-=()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.试题解析：（1）因为，所以，,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22ππαβ-<-<又因为，所以.()1tan 03αβ-=-<02παβ-<-<利用同角三角函数的基本关系可得，且，()()22sin cos 1αβαβ-+-=()()sin 1cos 3αβαβ-=--解得.()sin αβ-=（2）由（1）可得，.()cos αβ-===因为为锐角，，所以.α3sin 5α=4cos 5α==所以 ()cos cos cos βααβ⎡⎤=--=⎣⎦()()cos sin sinααβααβ-+-4355⎛=⨯= ⎝16．(1)1130(2)该球取自乙箱的可能性更大【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；（2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论.【详解】（1）记事件A 表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，A 则，()()()()1212||2635P A P A P B A P B A =====由全概率公式得： .()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+111211232530=⨯+⨯=（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：该球是取自甲箱的概率()()()()11|523|111130P A P B A P A B P B ⨯===，该球取自乙箱的概率()()()()12|625|111130P A P B A P A B P B ⨯===因为所以该球取自乙箱的可能性更大.()()||P A B P A B <，17．(1)证明见解析(2)或332【分析】（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法建立方程，求解参数即可.【详解】（1）因为平面平面，所以，PA ⊥,ABC BC ⊂ABC PA BC ⊥又，，平面，所以平面，AB BC ⊥PA AB A = ,PA AB ⊂PAB ⊥BC PAB 因为面，所以，又因为为的中点，，AE ⊂PAB BC AE ⊥E PB 1==PA AB 所以，因为，平面，AE PB ⊥BC PB B = ,BC PB ⊂PBC 所以平面，因为平面，所以；AE ⊥PBC PC ⊂PBC AE CP ⊥（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，B 设，()()()),0.0,0,0,,0,0,1,1,BQ t B Q t P C=取平面的法向量，APQ ()1,0,0m =设平面的法向量，CPQ (),,n x y z =因为，)),0,1,1QC t PC =-=--由，则，令，解得，00QC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0ty y z -=--=x t=)1y z t ==-所以，由)()1n t t =-cos ,m n m n m n ⋅〈〉==得，解得或，故或.22990t t -+=3t =32t =3BQ =32BQ =18．(1)答案见解析(2)()0,1(3),0]∞-（【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得；a （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数()g x ()ln h x x x x =-1y a =-研究并作出函数的图象，即得的取值范围；()h x a （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参1ln 0a x x a x ---+≥()1ln ax x x a x ϕ=---+数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围.a ()0x ϕ≥a 【详解】（1）的定义域为，()f x ()0,∞+()()()()()2221222x a x a x x a af x x a x x x-++--=+-+='=．当时，时，时，；0a ≤()0,1x ∈()()01,f x x ∞'<∈+；()0f x '>当时，时，；2a =()0,x ∞∈+()0f x '≥当时，时，；时；02a <<,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭()0f x '>当时，时；时；2a >1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭()0f x '>综上，时，的递减区间是，递增区间是；0a ≤()f x ()0,1()1,∞+时，的递增区间是，无递减区间；2a =()f x ()0,∞+时，的递增区间是和，递减区间是；02a <<()f x 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,∞+,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，的递增区间是和，递减区间是.2a >()f x ()0,1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）令得，()0g x =ln 1x x x a -=-设，则，()ln h x x x x =-()ln h x x'=当时，在上递减；当时，在上递()0,1x ∈()()0,h x h x '<()0,1()1,x ∞∈+()()0,h x h x '>()1,∞+增，则.()()min 11,h x h ==-又因时，时，作出函数的图象，0x +→()0,h x x ∞-→→+(),h x ∞→+()ln h x x x x =-由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使，1y a =-()h x 110a -<-<即，故的取值范围是.01a <<a ()0,1（3）由得，()()1ln f x g x a x+≥+2ln 0x x x x ax a ---+≥因，即得，（*），1x ≥1ln 0a x x a x ---+≥易得时，不等式成立，1x =设，，()1ln ax x x a x ϕ=---+1x >则，22221(1)()1a x x a x x ax x x x x ϕ----'=--==当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立；0a ≤()0x ϕ'>()ϕx (1,)+∞()(1)0x ϕϕ>=当时，设，0a >2()p x x x a =--则方程有两根，，可得20x x a --=12,x x 12121,0x x x x a +==-<120,1,x x <>当时，，则，在上单调递减；21x x <<()0p x <()0x ϕ'<()ϕx 2(1,)x 又，所以当时，，不满足条件，()10ϕ=21x x <<()0x ϕ<综上，的取值范围是.a ,0]∞-（思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题.对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立.19．(1)2，3，1，4；3，2，4，1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据“数列”的定义求解即可；n -（2）由题知，为的最大值或最小值的一个排列，则有为的最大值1,m m b b -{}m b 21,m m bb --{}1m b -或最小值的一个排列，分类讨论即可证明；（3）由（2）知，数列任意元子集必存在2个数列，则任意取项的排列数为，{}n a m n -m A mn 而为数列的数列的个数为，所以．{}m b {}n a n -2C m n 2C 21A !3m nm m n P m ==≤【详解】（1）由数列的定义知，的数列为：2，3，1，4；3，2，4，1．n -{}n a n -（2）对于项的数列一个数列，m {}n a n -{}12321:,,,,,,m m m m b b b b b b b --⋯因为对于，均有，()1,2,,2i i m =- ()()120i i i i b b b b ++--<所以，{}{}1212min ,max ,i i i i i b b b b b ++++<<所以不是所有项中的最大值或最小值，i b {}m b 所以为的最大值或最小值的一个排列，1,m m b b -{}m b 考虑中去掉后的数列，{}m b mb{}112321:,,,,,m m m b b b b b b ---⋯同理若数列为数列的一个数列，{}1m b -{}n a n -则有为的最大值或最小值的一个排列，21,m m b b --{}1m b -以此类推，当时，21m k =+①若为最大值，则为最小值，则，m b 1m b -24312431m m m m m b b b b b b b b b ---->>>>>>>>>> 所以，；()()()122431111m m m m m k b b b b b b b b k ----=-+-++-≥+++=个②若为最大值，则为最小值，则，1m b -m b 24312431m m m m m b b b b b b b b b ----<<<<<<<<<< 所以，，()()()11335211m m m k b b b b b b b b k --=-+-++-≥++= 个综上，．1m b b k-≥（3）由（2）知，数列任意元子集必存在2个数列，{}n a m n -因此任意取项的排列数为，而为数列的数列的个数为，m A m n {}m b {}n a n -2C m n 所以，2C 2A !m nm m n P m ==因为，2,Z m m >∈所以，，3m ≥m ∈Z 所以．221!3!3m P m =≤=关键点睛：解答本题的关键在于理解数列的定义，证明第（2）问中，由定义得出所以n -，且为的最大值或最小值的一个排列是解题关键；{}{}1212min ,max ,i i i i i b b b b b ++++<<1,m m b b -{}m b 证明（3）时，得出数列任意元子集必存在2个数列是解题关键．{}n a m n -。

2020届江苏省常州市高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}{}2,2,1,0,2A x x B =<=--，则A B =___________.2．函数()22log 76y x x =+-的定义域是___________.3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S =________．4．设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________. 5．已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量的坐标为____________. 6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()axf x e =-.若()ln39f =，则a =___________.7．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，则a =_____. 8．已知a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=，若52c a b =+，则cos ,a c <>=___________. 9．已知函数()()()0,0,f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 10．已知函数()y f x =的定义域为R ，()1f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x -<-.若()21f =，则等式()2log 1f x <的解集__________.11．已知正实数x ，y 满足21xy x y --=，则2x y +的最小值为__________. 12．如图，在ABC 中，3,2AB AC ==，AD DC =，12AE EB =，若5BD AC ⋅=，则CE AB ⋅=___________.13．已知A 、B 、C 为ABC 的内角，若30tanA tanB +=，则角C 的取值范围为___________.14．若对任意的21,x e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()3ln 1a x a x ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.二、解答题15．已知函数()22sin .f x x x =+(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；(Ⅱ)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．16．已知a 、b 、c 分别为ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且1cos 2a Bbc +=. （1）求A ∠；（2）若4a =，D 是BC 中点，3AD =，求ABC 的面积.17．某超市销售某种商品，据统计，该该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，其中415x ≤≤）满足：当49x ≤≤时，()293by a x x =-+-（a ，b 为常数）；当915x ≤≤时，585y x =-+，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克.（1）求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该商品所获利润()f x 最大.18．已知点()1,0A -，()0,1B -，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M .（1）设PN nPA =，PM mPB =，试用θ表示m 与n ； （2）设(,)PO xPM yPN x y =+∈R ，试用θ表示x y +； （3）求x y +的最小值.19．已知：定义在R 上的函数()222x mf x x -=+的极大值为12. （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式()()()222220f x a x a a f --+->有且只有一个整数解，求实数a 的取值范围.20．已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值. 21．[选修4-2：矩阵与变换] 已知1是矩阵102a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值，求点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长． 23．选修4—5：不等式选讲对于任意实数a (0)a ≠和b ，不等式(12)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，试求实数x 的取值范围．24．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．25．考察1,2,...n 所有排列，将每种排列视为一个n 元有序实数组()12,,...n A a a a =，设*n N ∈且2n ≥，设k b 为()12,,...k a a a 的最大项，其中1,2,...k n =.记数组()12,,...n b b b 为B .例如，()1,2,3A =时，()1,2,3B =；()2,1,3A =时，()2,2,3B =.若数组B 中的不同元素个数为2.（1）若4n =，求所有n 元有序实数组()12,,...n A a a a =的个数； （2）求所有n 元有序实数组()12,,...n A a a a =的个数.参考答案1．{}1,0- 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】{|22}A x x =-<<，{}2,1,0,2B =--， {1,0}A B ∴=-．故答案为：{}1,0-． 【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法，交集的运算． 2．()1,7- 【分析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出解集即可． 【详解】函数22log (76)y x x =+-中，2760x x +->，即2670x x --<，可化为(1)(7)0x x +-<，解得17x -<<， 所以y 的定义域是(1,7)-． 故答案为：(1,7)-． 【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.3【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则6136(11sin 60)2S =⨯⨯⨯⨯=． 【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解． 4．3 【分析】由题意得知，函数()ln 1y ax x =-+在0x =处的导数值为2，由此可求出实数a 的值. 【详解】()ln 1y ax x =-+，11y a x '∴=-+. 由题意可知，当0x =时，12y a '=-=，解得3a =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用切线方程求参数，一般要结合以下两点来考虑：（1）切点为切线与函数图象的公共点；（2）切线的斜率是函数在切点处的导数值. 考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．(35,−45) 【解析】∵点A(1,3)，B(4,−1)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+(−4)2=5， 因此，与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为：e =AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3,−4)=(35,−45) 故答案为：(35,−45) 6．2- 【分析】根据()f x 是奇函数，且0x <时，()axf x e =-，并且30ln >，从而得出131(3)()93aln f ln f ln e =-==，从而可求出a ．【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()ax f x e =-，30ln >，∴11()3311(3)(3)()()933a aln ln a f ln f ln f ln e e =--=-====，233a -∴=，即2a -=，2a ∴=-．故答案为：2-． 【点睛】本题考查奇函数的定义、已知函数求值的方法、对数的运算性质、对数恒等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 7．2- 【分析】先由题意得到不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<，不等式的解集得到12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根，进而可求出结果. 【详解】 因为不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<， 又其解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 所以12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根， 因此112a =-，解得2a =-，故答案为2- 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.8．3【分析】根据条件求出5a c ⋅=，||3c =，结合数量积公式即可求到结果． 【详解】根据条件，可知22(52)5||25||5a c a a b a a b a ⋅=⋅+=+⋅==，||1a =，2||(52)53c a b =+=+=，则cos a <，5||||a c c a c ⋅>==⋅．故答案为：3． 【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算、向量夹角余弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．9 【分析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值． 【详解】函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<是奇函数，则0ϕ=， 由于()f x 的最小正周期为π，所以2ω=，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()sin g x A x =．若()3g π=，所以sin3A π=2A =．所以33()2sin 84f ππ==【点睛】本题考查三角函数关系式的变换、正弦型函数的图象的应用、三角函数的平移变换和伸缩变换的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力． 10．()1,4 【分析】由(1)f x +为R 上的偶函数，结合函数图象的平移可知()f x 关于直线1x =对称，结合已知可得函数()f x 在1x 时的()f x 单调递减，由(2)(0)1f f ==，即可求解． 【详解】)1(f x +为R 上的偶函数， ∴函数()f x 关于直线1x =对称，对121x x ∀<，满足满足2121()()0f x f x x x -<-，等价于121x x ∀<，21()()f x f x <，即函数()f x 在1x 时，函数()f x 单调递减．(2)1f =，(0)1f ∴=，由2(log )1f x <可得，20log 2x <<，解得：14x <<。

2020-2021学年江苏省常州市溧阳中学高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 设集合＝，＝，则＝（）A. B. C. D.2. 在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.3. 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（）A.种B.种C.种D.种4. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.5. 已知，，且直线＝与直线＝互相平行，则的最小值为（）A. B. C. D.6. 甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件为“四名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选羽毛球”，则＝（）A. B. C. D.7. 设双曲线的方程为，过抛物线＝的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A. B. C.＝ D.＝8. 已知函数若函数＝恰有个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 月日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则（）（附：，＝，＝，＝．）A.该校学生每周平均阅读时间为小时B.该校学生每周阅读时间的标准差为C.该校学生每周阅读时间不超过小时的人数占D.若该校有名学生，则每周阅读时间在小时的人数约为10. 已知函数＝，则（）A.函数＝的图象可以由＝的图象向左平移得到B.函数＝的图象关于点对称C.函数＝的图象关于直线对称D.函数＝在上单调递增11. 如图，设，分别是正方体的棱上两点，且＝，＝，其中正确的命题为（）A.三棱锥的体积为定值B.异面直线与所成的角为C.平面D.直线与平面所成的角为12. 已知函数，以下结论正确的是（）A.＝B.在区间上是增函数C.若方程＝恰有个实根，则D.若函数＝在上有个零点＝，则为三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线＝被圆＝截得的弦长为________14. 等差数列中，＝，＝，若数列的前项和为，则的值为________．15. 已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为的正方形，且平面．若四棱锥的体积为，则球的表面积为________16. 如图，在四边形中，＝，＝，＝，且，，则实数的值为________，若，是线段上的动点，且＝，则的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知是等差数列，且公差，是等比数列，且＝＝，＝，＝．（1）求数列，的通项公式；（2）设＝，求数列的前项和．18. 在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列．（1）若，，求的值；（2）求的取值范围．19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，与交于点，．求证：平面平面；若，，为的中点，求二面角的大小．20. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且＝，其中为原点．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．21. 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务年月日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有人．Ⅰ完成列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；不满意的人数，求的分布列与期望；Ⅲ若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该运营系统中任选名客户，则在业务服务协议终止时至少有名客户流失的概率为多少？附：，＝．22. 已知函数，．若，求证：在恒成立；讨论的单调性；求证：当时，．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省常州市溧阳中学高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可．【解答】∵＝，＝，∴＝．2.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数．【解答】的展开式中，通项公式为，令，求得＝，可得的系数为＝，3.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】让场馆去挑人，甲场馆从人中挑一人有：种结果；乙场馆从余下的人中挑人有：种结果；余下的人去丙场馆；相乘即可求解结论．【解答】解：因为每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，甲场馆从人中挑一人有：种结果；乙场馆从余下的人中挑人有：种结果；余下的人去丙场馆，故共有：种安排方法.故选.4.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断函数的图象【解析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：设，由题知定义域为实数集，∵，∴函数为奇函数，故排除；当时，，故排除.故选.5.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】由两直线平行的条件得到，由＝展开后利用基本不等式求得最值．【解答】∵直线＝与直线＝互相平行，∴＝且，∴＝，即，又，均为正数，则＝＝＝．当且仅当＝＝时上式等号成立．6.【答案】D【考点】条件概率与独立事件【解析】推导出，，再由，能求出结果．【解答】甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件为“四名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选羽毛球”，则，，∴．7.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】先求出直线的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出，的值，可得双曲线的方程．【解答】抛物线＝的焦点坐标为，则直线的方程为＝，∵双曲线的方程为的渐近线方程为＝，∵的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，∴，＝，∴＝，＝，∴双曲线的方程为＝，8.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】问题转化为＝有四个根，＝与＝＝有四个交点，再分三种情况当＝时，当时，当时，讨论两个函数是否能有个交点，进而得出的取值范围．【解答】若函数＝恰有个零点，则＝有四个根，即＝与＝＝有四个交点，当＝时，＝与＝＝图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当时，＝与轴交于两点＝，图象如图所示，两图象有个交点，符合题意，当时，＝与轴交于两点＝，在内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需＝与＝在还有两个交点，即可，即＝在还有两个根，即＝在还有两个根，函数＝，（当且仅当时，取等号），所以，且，所以，综上所述，的取值范围为．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.【答案】A,D【考点】正态分布的密度曲线【解析】由已知求得正态分布曲线的对称轴与标准差，然后结合，原则逐一分析四个选项得答案．【解答】由某高校学生每周阅读时间服从正态分布，可知该校学生每周平均阅读时间为小时，故正确；该校学生每周阅读时间的方差为，故错误；该校学生每周阅读时间不超过小时的概率＝＝＝，故错误；每周阅读时间在小时的概率为＝，若该校有名学生，则每周阅读时间在小时的人数约为，故正确．10.【答案】A,B,D【考点】余弦函数的对称性余弦函数的单调性函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数＝的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】∵函数＝，故把＝的图象向左平移得到＝＝的图象，故正确；令，可得＝，故的图象关于点对称，故正确；令，可得，故的图象不关于直线对称，故不正确；在上，，函数＝在上单调递增，故正确，11.【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥的体积为定值，可判断选项；求得异面直线与所成的角为可判断；判断与平面不垂直可判断；直线与平面所成的角是为可判断．【解答】如图所示，三棱锥的体积为为定值，正确；，是异面直线与所成的角，为，正确；与不垂直，由此知与平面不垂直，错误；在三棱锥中，设到平面的距离为，，即有，解得，直线与平面所成的角的正弦为，即直线与平面所成的角为，正确．综上，正确的命题为．12.【答案】A,B,C,D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】画出函数的图象，利用函数的周期性判断选项，正确，利用数形结合法得到若函数与函数＝有个交点，则，故选项正确，利用函数的图象的对称性可得选项正确．【解答】由函数的图象可知，在区间上是增函数，故选项正确（1）若方程＝恰有个实根，则函数与函数＝有个交点，当＝过点时，，此时函数与函数＝有个交点，当＝过点时，，此时函数与函数＝有个交点，所以若函数与函数＝有个交点，则，故选项正确（2）若函数＝在上有个零点＝，则函数＝与＝在上有个交点，交点横坐标为＝，由函数的图象可知，，且＝，＝，＝，则为，故选项正确，故选：．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据直线被圆截得的弦长的一半，圆心到直线的距离，圆的半径构成直角三角形，利用弦长公式＝求得即可．【解答】由题意知，圆＝的圆心坐标为半径；圆心到直线＝的距离，∴弦长为．14.【答案】【考点】数列的求和【解析】由等差数列通项公式列出方程组，求出＝，＝，从而，进而得到数列的前项和为，由此利用数列的前项和为，能求出的值．【解答】∵等差数列中，＝，＝，∴，解得＝，＝，∴＝＝，∴，∴数列的前项和为：，∵数列的前项和为，∴，解得＝．15.【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由题意，画出示意图，∵四棱锥的体积，∴＝，，，球的半径，进而求解．【解答】由题意，画出示意图如右图：则正方形面积＝，∵四棱锥的体积，∴＝，，，球的半径，球的表面积：＝＝．16.【答案】,【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量数乘的运算及其几何意义【解析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，∵＝，＝，∴，∵＝，∴，∵，∴，设，∴，，∴，解得，∴，∴，，∴，∴，∵＝，设，则，其中，∴，，∴，当＝时取得最小值，最小值为，四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.【答案】是等差数列，且公差，是公比为的等比数列，且＝＝，＝，＝．可得＝，＝，解得＝，＝（＝，＝舍去），则＝＝；＝；＝＝，可得前项和＝．【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】（1）设等比数列的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得＝＝，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】是等差数列，且公差，是公比为的等比数列，且＝＝，＝，＝．可得＝，＝，解得＝，＝（＝，＝舍去），则＝＝；＝；＝＝，可得前项和＝．18.【答案】∵，，成等差数列，∴＝，又＝，∴．∵，∴，化为＝．∵，＝，∴＝，即＝，＝，∴＝．由（1）知：，∵，∴．∴的取值范围是．【考点】余弦定理平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）由，，成等差数列，可得＝，又＝，可得．利用，可得，再利用余弦定理即可得出；（2）由（1）知：，再利用的范围即可得出．【解答】∵，，成等差数列，∴＝，又＝，∴．∵，∴，化为＝．∵，＝，∴＝，即＝，＝，∴＝．由（1）知：，∵，∴．∴的取值范围是．19.【答案】证明：连接，∵底面为菱形，∴为的中点.又，∴ .又，，平面，，∴平面.又平面，∴平面平面．解：连接，∵，且为的中点，∴ .又，，平面，，∴平面.∵平面，∴，∴是二面角的平面角，由题意.在中，，∴ .∵，，∴二面角的大小为．【考点】平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】（1）连结，推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．（2）连结，推导出，，从而平面，进而是二面角的平面角，由此能求出二面角的大小．【解答】证明：连接，∵底面为菱形，∴为的中点.又，∴ .又，，平面，，∴平面. 又平面，∴平面平面．解：连接，∵，且为的中点，∴ .又，，平面，，∴平面.∵平面，∴，∴是二面角的平面角，由题意.在中，，∴ .∵，，∴二面角的大小为．20.【答案】（1）由已知可得＝，记半焦距为，由＝可得＝＝，由＝，可得＝，∴椭圆的方程为，（2）：∵直线与为圆心的圆相切于点，∴，根据题意可得直线和直线的斜率均存在，设直线的方程为＝，由方程组，消去可得＝，解得＝，或，依题意可得点的坐标为，∵为线段的中点，点的坐标为，∴点的坐标为，由，可得点的坐标为，故直线的斜率为，∵，∴，整理可得＝，解得或＝，∴直线的方程为或＝．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】Ⅰ根据可得＝＝，由＝，可得＝，即可求出椭圆方程；Ⅱ根据题意可得直线和直线的斜率均存在，设直线的方程为＝，联立方程组，求出点的坐标，再根据中点坐标公式可得点的坐标，根据向量的知识求出点的坐标，即可求出的斜率，根据直线垂直即可求出的值，可得直线的方程． 【解答】（1）由已知可得＝，记半焦距为，由＝可得＝＝， 由＝，可得＝， ∴ 椭圆的方程为， （2）：∵ 直线与为圆心的圆相切于点， ∴ ，根据题意可得直线和直线的斜率均存在，设直线的方程为＝， 由方程组，消去可得＝，解得＝，或， 依题意可得点的坐标为，∵ 为线段的中点，点的坐标为， ∴ 点的坐标为，由，可得点的坐标为， 故直线的斜率为， ∵ ， ∴ ，整理可得＝， 解得或＝，∴ 直线的方程为或＝． 21.【答案】（1）由题意知，对服务满意的有人，对服务不满意的有人， 根据题意填写列联表如下，计算，所以有的把握认为业务水平与服务水平有关； （2）由题意知，随机变量的可能取值分别为，，； 计算＝，＝，＝； 所以的分布列为：期望为＝；Ⅲ在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为， 只有一项满意的客户流失的概率为， 对两项都不满意的客户流失的概率为，所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为，所以业务服务协议终止时，从该运营系统中任选名客户，至少有名客户流失的概率为 ＝． 【考点】 独立性检验 【解析】Ⅰ根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论；Ⅱ由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出期望值；Ⅲ分别计算协议终止时三类客户流失的概率值，再利用对立事件求对应的概率值． 【解答】（1）由题意知，对服务满意的有人，对服务不满意的有人， 根据题意填写列联表如下，计算，所以有的把握认为业务水平与服务水平有关； （2）由题意知，随机变量的可能取值分别为，，； 计算＝，＝，＝； 所以的分布列为：期望为＝；Ⅲ在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为， 只有一项满意的客户流失的概率为， 对两项都不满意的客户流失的概率为，所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为，所以业务服务协议终止时，从该运营系统中任选名客户，至少有名客户流失的概率为 ＝． 22.【答案】证明：当时，设， ，所以在恒成立，在上单调递增，所以，所以在恒成立.解：，令，即，，解得：或，①若，此时，在恒成立，所以在单调递增；②若，此时，方程的根为，且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；③若，此时，方程的根为，且，所以在上单调递增；综上，若，在单调递增，若，在，上单调递增，在上单调递减；证明：由可知，在上恒成立，所以在上恒成立，证明，即证，设，，，易知在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即当时，．【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）设＝，求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断的单调性即可；（3）问题转化为证明，即证，设＝，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：当时，设，，所以在恒成立，在上单调递增，所以，所以在恒成立.解：，令，即，，解得：或，①若，此时，在恒成立，所以在单调递增；②若，此时，方程的根为，且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；③若，此时，方程的根为，且，所以在上单调递增；综上，若，在单调递增，若，在，上单调递增，在上单调递减；证明：由可知，在上恒成立，所以在上恒成立，证明，即证，设，，，易知在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即当时，．。

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市第二高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a,b均为单位向量，它们的夹角为，则 ( )A.1B.C.D.2参考答案：C2. 复数的共轭复数是A. B. C. D.参考答案：B3. 已知,,满足约束条件，若的最小值为1，则( )A. B. C． D．参考答案：【知识点】简单的线性规划。

E5【答案解析】B 解析：由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数的几何意义为直线l：在轴上的截距，知当直线l过可行域内的点时，目标函数的最小值为1，则。

故选B.【思路点拨】根据线性约束条件画出可行域，再利用目标函数所表示的几何意义求出a的值。

4. 下列命题错误的是( )A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1B．“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件C．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0D．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】对于A，写出逆否命题，比照后可判断真假；对于B，利用必要不充分条件的定义判断即可；对于C，写出原命题的否定形式，判断即可．对于D，根据复合命题真值表判断即可；【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1，故A正确；“am2＜bm2”?”a＜b”为真，但”a＜b”?“am2＜bm2”为假（当m=0时不成立），故“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件，故B正确；命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故C正确；命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题，故D错误，故选：D【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查充分条件、必要条件的判定及复合命题的真假判定．5. 函数的零点个数为（）A. 1B.2C. 3D.4参考答案：B略6. 已知z为复数，若(i是虚数单位)，则A. 1B.C.D.参考答案：D【分析】先根据复数除法求出复数，结合复数模长的求解方法可得模长.【详解】因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查复数的除法及模长，复数模长的求解一般是先化简复数为形式，结合模长公式可求.7. 如图1是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为、，中位数分别为、，则A.，B.，C.，D.，参考答案：A，，，，，故选A.8. 已知双曲线9y2一m2x2=1（m>o）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=A．1 B．2C．3 D．4参考答案：D由9y2一m2x2=1（m>o）得：，所以双曲线的一个顶点为，一条渐近线方程为，因为双曲线9y2一m2x2=1（m>o）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，所以，因此选D。

江苏省溧阳市2020学年度第一学期高三数学期中质量调研测试卷2020年11月一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中．．．．．．．．．．．．．．．．．．）． 1． 设集合{}10M x x =-≥，{}||2N x x =<，若R U =，则()U M N I ð等于 A ． (2,1]- B ． (2,1)- C ． (,1)[2,)-∞-+∞U D ． (,2)-∞ 2．已知等差数列{}n a 的公差为2，且134,,a a a 成等比数列，则2a 等于A ． 4-B ． 8-C ． 10-D ． 6- 3．函数112y x =--的图象沿向量a v 平移可得函数1y x=的图象，则a v 为 A ． (2,1) B ． (2,1)- C ． (2,1)-- D ． (2,1)- 4．不等式(1)(1)0x x -->的解集是A ．{}10x x -<≤B ．{0x x >且1}x ≠C ．{}11x x -<< D ．{1x x >-且1}x ≠ 5．若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是A ．6365B ． 6365-C ． 3365D ． 5665或1365-6．若直线)0,(022>=+-b a by ax 过圆014222=+-++y x y x 的圆心, 则ab 的最大值是 A ．41 B ． 21C ．1D ． 2 7．下列所给的4个图象表示甲同学离开家的距离y 与所用时间t 的函数关系① ② ③ ④给出下列3个事件：（1）甲离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学； （2）甲骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）甲出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速其中事件（1）（2）（3）与所给图象吻合最好是A ． ③①②B ． ③②①C ． ④②①D ． ④①②8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，则满足2(2)(2)f x f x -=的所有x 的值的和为A ． 0B ． 2-C ． 3D ． 89．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是A ． 1(0,)2 B ． C ． D ． 1(0,)2 10．已知函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，则x 的取值范围是 A ． 1(,10)10B ． (0,10)C ．(10,)+∞D ． (1,10) 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）． 11．已知向量(1,2)a =v，(,1)b x =v，c a b =+v v v ，d a b =-u v v v ，若//c d v u v， 则实数x 的值等于 ；12．函数)(x f y =的图象与函数9)1lg(+-=x y 的图象关于直线x y =对称，则=)9(f ； 13．已知22(1)1x y -+=，则函数43z x y =+的取值范围是为 ； 14．在锐角三角形ABC 中，已知||4,||1,AB AC ABC ==∆u u u v u u u v的面积为3，则AB CA ⋅u u u v u u u v的值为 ；15． 一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若依此规律继续打下去，那么在前2006个圆中，有 个空心圆； 6．给出下列四个命题：① 已知函数()f x =()()43f f >；② 函数223sin sin y x x=+的最小值是 ③ 函数()()log 20,1x a y a a a =+>≠在R 上是增函数；④ 函数2sin 226y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象的一个对称点是,012π⎛⎫⎪⎝⎭； 其中不正确命题的序号是 （把你认为不正确的都写上）．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）已知(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα为平面上四点.（Ⅰ）若AC BC ⋅u u u v u u u v=－1，求sin 2α的值；（Ⅱ）若||OA OC +=u u u v u u u v(0,)απ∈，求OB uuu v 与OC u u u v 的夹角．18．（本小题满分14分）已知函数1()2f x ax x=-+的定义域恰为不等式22log (3)log 3x x +-≤的解集，且()f x 在定义域内单调递减，试求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分14分）已知椭圆的焦点是1(4,0)F -，2(4,0)F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1210F B F B +=．椭圆上不同两点11(,)A x y ，22(,)C x y 满足条件：222,,F A F B F C 成等差数列．(Ⅰ)求该椭圆的方程；(Ⅱ)求弦AC 中点的横坐标．20．（本小题满分14分）万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润1, 120,()1, 2160,10x x N f x x x x N ≤≤∈⎧⎪=⎨≤≤∈⎪⎩（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率()x g x x =第个月的利润第个月前的资金总和，例如：(3)(3)81(1)(2)f g f f =++．（Ⅰ）求(10)g 的值；（Ⅱ）求第x 个月的当月利润率()g x 的表达式；（Ⅲ）该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率． 21．（本小题满分16分）若n p p p ,,,21Λ均为正数，则称np p p n+++Λ21为n p p p ,,,21Λ的“均倒数”．已知数列{}n a 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ． （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12+=n a c nn ，试判断并说明()*1n n c c n N +-∈的符号； （Ⅲ）已知(0)n an b t t =>，记数列{}n b 的前项和为n S ，试求1n nS S +的值； （Ⅳ）设函数124)(2+-+-=n a x x x f n，是否存在最大的实数λ，使当λ≤x 时，对于一切正整数n ，都有0)(≤x f 恒成立？[参考答案]题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDDDCADACA11．12； 12．2； 13．19z -≤≤； 14．2-； 15．61； 16．（1）（2）（4）． 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：(Ⅰ)=（cos α－3，sin α），=（cos α，sin α－3），∴ 由AC ·=－1，即 （cos α－3）cos α+sin α（sin α－3）=－1，---------------------- 2分∴ cos α+sin α=32， ----------------------------------- -- ---4分两边平方，得1+sin2α=94，∴sin2α=－95. ---------------------- ----6分 (Ⅱ)∵ OC OA +=（3+cos α，sin α），∴ 2(3cos )x ++sin 2α=13， -------------------------8分解得 cos α=21，又∵α∈（0，π），∴α=3π，sin α=23， --------------------------9分 ∴233),23,21(=⋅C ， 设OB 与OC 的夹角为θ，则cos θ233233||||==OC OB ， ------------------ ----------------11分 ∴θ=6π即为所求. ---------------------- --------12分（注：求出α的值，直接给出θ的值也是一种途径，可以给分．） 18．解： 22log (3)log 3x x +-≤Q ，30038x x x x⎧⎪+>⎪∴>⎨⎪+⎪≤⎩，所以得37x ≥所以函数1()2f x ax x =-+的定义域为37x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ --------------------------------4分 ∵()f x 在定义域内单调递减，∴设1237x x ≤< 则有21()()f x f x -=212111(2)(2)ax ax x x -+--+ ------------------------------6分 212111()()a x x x x =--- = 21121()()x x a x x -+0<-------------8分 ∵120x x ->，∴要使得12()()0f x f x -<则必须1210a x x +<恒成立． 即 121a x x <-恒成立 --------------------------------10分由1237x x >≥知， 12949x x >g ，于是 121499x x ->------------------------------12分所以 499a ≤-即 a 的取值范围为{}49|,9a a a R≤-∈-----------------------14分（注：如果利用1()2f x ax x=-+函数 的单调性来求解，那么必须先证明其单调性， 如果未证明直接使用，并且答案正确，则扣4分） 19、解：(Ⅰ)由题意，椭圆焦点是1(4,0)F -，2(4,0)F ，∴椭圆方程可设为 22221x y a b+=，其中，a ＞b ＞0，4c == ----------------------------2分又∵1210F B F B +=，即210a =， ∴ 5a =，3b =，所以，所求椭圆方程为 221259x y += --------------------------------4分 (Ⅱ)由题意可求得， 295F B =，椭圆右准线方程为254x = -------------------6分又∵222,,F A F B F C 成等差数列，∴22185F A F C +=， --------------------------------7分 由椭圆第二定义可以得到 ，21425()54F A x =-1455x =- ----------------9分同理，可得 22455F C x =- ------------------------------- 11分 ∴ 124418(5)(5)555x x -+-= 整理得，128x x += ------------------------------- 13分 所以，弦AC 中点的横坐标122x x x +=4=． ---------------------------14分20、解：(Ⅰ)由题意得(1)(2)(3)(9)(10)1f f f f f ======L L(10)1(10)81(1)(9)90f g f f ∴==+++L L --------------------------------3分(Ⅱ)①当1x =时，1(1)81g =1＝80+1， --------------------------------4分②当120x <≤时，(1)(2)(1)()1f f f x f x ===-==L L()11()81(1)(1)81180f xg x f f x x x ∴===+++-+-+L L∴当120x ≤≤时，1()80g x x=+． --------------------------------6分③当2160x ≤≤时，2()()81(1)(20)(21)(1)1108120(21)(1)1210(21)(20)160010120f xg x f f f f x x f f x xx x x x x =++++++-=++++-==-+-++L L L L L L ----------------------8分综合①②③得,第x 月利润率函数21, 120,80()2, 2160,1600x x N x g x x x x N x x ⎧≤≤∈⎪⎪+=⎨⎪≤≤∈⎪-+⎩ --------------------------------9分(Ⅲ)当120x ≤≤时，1()80g x x =+是减函数，此时, ()g x 的最大值为1(1)81g =--------------------------------11分当2160x ≤≤时，2222()16001600791x g x x x x x==≤=-++-当且仅当1600x x =时，即40x =时，max 2()79g x =， -------------13分又217981>Q ，∴当40x =时，max 2()79g x = --------------------------------14分 答：该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为27921、解：（Ⅰ） 121(21)n n a a a a n n -++⋅⋅⋅++=+121(21)n a a a n n -++⋅⋅⋅+=+， --------------------------- 2分两式相减，得，41(2)n a n n =-≥ 又 111211a =⨯+，解得 13411a ==⨯- ∴41()n a n n N +=-∈ -------------------------------- 4分（Ⅱ）∵4132212121n n a n c n n n -===-+++ 11322323n n a c n n ++==-++ -------------------------------- 6分∴1332123n n c c n n +-=-++＞0， 即1n n c +＞c ----------------------------8分(或用1434162321(23)(21)n n n n c c n n n n ++--=-=++++＞0,可分步给分) （Ⅲ）∵41()n a n nb t t t -==＞0∴374112n n n S b b b t t t -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ------------------9分当1t =时,n S n = ,11n n S n S n++=; ----------------------------10分 当t ＞0且1t ≠时,441411n n nn S t S t ++-=-. ----------------------------11分综上得，4441,(1)1,(1)1n n n n t nS t t t t ++⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩＞0, ----------------------------12分 （Ⅳ） 由（Ⅱ）知数列 {}n c 是单调递增数列,11c =是其的最小项，即 11n c c ≥=----------------------------13分假设存在最大实数,使当x λ≤时,对于一切正整数n ,都有 2()4021na f x x x n =-+-≤+ 恒成立则 2421nn a x x c n -+≤=+ ()n N +∈ ----------------------------14分只需 2141x x c -+≤=即2410x x -+≥解之得2x ≥+或2x ≤- ----------------------------15分于是,可取2λ=- ----------------16分。

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}2．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∃x0≤1，x02﹣x0＞0B．∃x0＞1，x02﹣x0≤0C．∀x＞1，x2﹣x≤0D．∀x≤1，x2﹣x＞03．已知lg2＝a，lg3＝b，则lg120＝（）A．1+a+b B．1+a+2b C．1+2a+b D．2+2a+b4．函数y=4xx2+1的图象大致为（）A．B．C．D．5．若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是（）A．5√2B．10√2C．10D．206．设x∈R，则“x＞1”是x2﹣7x+9＜0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数y＝f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且f（7）＝3f（3）+3，则f（5）＝（）A．16B．8C．6D．28．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某K地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.24(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.9K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（注：e为自然对数的底数，ln9≈2.2）A．60B．62C．66D．69二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列四个函数中为减函数的是（）A．f（x）＝﹣2x+1B．f（x）=1 xC．f（x）＝x+1D．f（x）＝2x2（x＜0）10．已知a，b，c，d∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，n∈N*，则a n＞b n B．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣dC．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则1a ＜1b11．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥12B．a﹣b＞﹣1C．√a+√b≤√2D．ab≥1412．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（）A．∃x∈R，[3x]＝3[x]+2B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]D．∀x∈R，[x]+[x+12]=[2x]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（第15题第一空2分，第二空3分）。

江苏省常州市溧阳六中学2020-2021学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，（）A.10B.-10C.-4D.4参考答案：B2. 在同一坐标系内，函数的图象关于…………………（）A．原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=x对称参考答案：C3. 已知函数f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，则lg2m+lg2n的最小值为( )A．B．C．D．参考答案：D考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数的极大值或极小值等于0，求得m、n的关系，再取对数得lgn=+lgm，即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论．解答：解：f′（x）=6mx2﹣6nx=6x（mx﹣n），∴由f′（x）=0得x=0或x=，∵f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，∴f（）=0，即2m?﹣3n?+10=0，整理得n3=10m2，两边取对数得3lgn=1+2lgm，∴lgn=+lgm，∴lg2m+lg2n=lg2m+（+lgm）2=（13lg2m+4lgm+1）=（lgm+）2+，∴当lgm=﹣时，lg2m+lg2n有最小值为．故选D．点评：本题考查函数的零点的判断及利用导数研究函数的极值知识，考查学生的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．4. 数列中，已知对任意, ，则___________________.参考答案：试题分析：记数列的前项和为，则，当时，=；当时，，满足上式，故，所以数列是等比数列，且公比为3，数列也是等比数列，且公比为9，首先为4，所以.考点：等比数列的前n项和.5. 设非零向量、、满足，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由+=可得﹣=，两边平方，结合向量的数量积的性质和定义，即可得到所求夹角．【解答】解：设||=||=||=t，由+=可得﹣=，平方可得，（﹣）2=2，即有||2+||2﹣2?=||2，即为2?=||2=t2，即有2t2cos＜，＞=t2，即为cos＜，＞=，则向量与向量的夹角为60°．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．6. 设函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则（）A．B．C． D．参考答案：B略7. 若双曲线的离心率为2，则A．2 B．C．D．1参考答案：C略8. 已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：?x∈R，f（x）＞0，命题q：?x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：?x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：?x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0参考答案：C【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，∴?x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，则：?x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题．则￢p：?x0∈R，f（x0）≤0，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0，综上只有C成立，故选：C9. 若集合A={y∣y=2x}，B={ x∣x2-2x-3＞0,x∈R},那么A∩B=( )（A）(0,3] （B）[-1,3] （C）(3,+∞)（D）(0,-1)∪(3, +∞)参考答案：C,,所以,故选C.10. 函数f（x）=log2|x|，g（x）=﹣x2+2，则f（x）?g（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象与图象变化．【专题】数形结合．【分析】要判断f（x）?g（x），我们可先根据函数奇偶性的性质，结合f（x）与g（x）都是偶函数，则f（x）?g（x）也为偶函数，其函数图象关于Y轴对称，排除A，D；再由函数的值域排除B，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）?g（x）也是偶函数，由此可排除A、D．又由x→+∞时，f（x）?g（x）→﹣∞，可排除B．故选C【点评】要判断复合函数的图象，我们可以利用函数的性质，定义域、值域，及根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若向量,，且，则实数a的值是_____．参考答案：1312. 如图，B，C两点在双曲线的右支上，线段BC的垂直平分线DA交y轴于点，若，则点A到直线BC的距离d=________.参考答案：略13. 已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4= ．参考答案：15【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为：15．14. 直线y=l与曲线有四个交点，则a的取值范围是___________．参考答案：(1,略15. 设满足约束条件.若目标函数的最大值为1，则的最小值为 .参考答案：略16. 已知(1＋)2＝a＋bi(a，b R，i为虚数单位)，则a＋b＝▲．参考答案：17. 已知正三棱锥D﹣ABC侧棱两两垂直，E为棱AD中点，平面α过点A，且α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m，n所成角的余弦值是．参考答案：【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】利用面面平行的性质可得m∥BC，n∥CE，故∠BCE即为所求角，设棱锥侧棱长为1，利用余弦定理计算cos∠BCE．【解答】解：∵α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，平面EBC∩平面ABC=BC，∴m∥BC，同理可得：n∥CE，∴∠BCE为直线m，n所成的角．设正三棱锥的侧棱为1，则BC=，CE=BE=，在△BCE中，由余弦定理得：cos∠BCE==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

常州市教育学会学业水平监测高三数学2022年11月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2－x ≤1}，B ＝{x ||x －2|≤1}，则集合(C U A )∩B ＝A ．B ．{x |2＜x ≤3}C ．{x |2≤x ≤3}D ．{x |1≤x ≤2} 2．记△ABC 的内角为A ，B ，C ，则“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，且a 2＋a 3＝6，a 3a 4＝a 6，则a 4＝A ．8B ．12C ．16D ．20 4．如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是A ．y ＝－x 3＋3x x 2＋1B ．y ＝x 3－x x 2＋1C ．y ＝2x cos x x 2＋1D ．y ＝2sin xx 2＋15．若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝A ．－3B ．－2C ．－1D ．16．设随机变量ξ ~ N (μ，4)，函数f (x )＝x 2＋2x －ξ没有零点的概率是0.5，则P (1＜ξ≤3)＝附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34137．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA ＝OB ＝r ，弧AB 的长为l (l ＜r )．为了方便观光，欲在A ，B 两点之间修建一条笔直的走廊AB ．若当0＜x ＜12时，sin x ≈x －x 36，则ABl 的值约为A ．2－r 212l 2B ．2－l 212r 2C ．1－r 224l 2D ．1－l 224r 28．设a ＝e 0.2，b ＝54，c ＝ln 6e5，则A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 12＝a 112．{a n }的前n 项和记为S n ，若S k 是S n 的最大值，则k 的可能值为A ．5B ．6C ．10D ．11 10．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，则A ．B 的最小值为π3 B ．cos(A －C )＋cos B ＝1－cos2BC ．1tan A ＋1tan B ＝1sin BD ．ba 的取值范围为(0，5＋12)11．已知函数f (x )及其导函数f ′(x )定义域均为R ，若f (－x )＝－f (x )，f (x ＋2)＝f (2－x )对任意实数x 都成立，则A ．函数f (x )是周期函数B ．函数f ′(x )是偶函数C ．函数f ′(x )的图象关于(2，0)中心对称D ．函数f (2－x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称12．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K －三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则A ．一个K －三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为13B ．一个K －三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为14C ．一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为2的概率为13D ．一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝tan(sin x )的最小正周期为．14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为H ，则直线AH 与平面DCC 1D 1所成角的正弦值为．15．在△ABC 中，2sin ∠ACB ＝3sin ∠ABC ，AB ＝23，BC 边上的中线长为13，则△ABC 的面积为．16．将数列{3n }与{2n }的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列{a n }，则a 684＝． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{4a n a n ＋1}的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)已知两个变量y 与x 线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，8)满足∑=81i ix ＝32，∑=81i iy ＝132，根据这8个样本点求得的线性回归方程为ŷ＝3x ＋aˆ(其中a ˆ∈R )．后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到2个偏差较小的样本点(2，11)，(6，22)，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为ŷ＝n ˆx ＋m ˆ(其中n ˆ，mˆ∈R )． (1)求aˆ的值； (2)证明回归直线ŷ＝nˆx ＋m ˆ经过点(4，16.5)，并指出n ˆ与3的大小关系． 参考公式：线性回归方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，其中b ˆ＝()()()∑∑==---ni ini iix x y yx x 121，aˆ＝―y －b ˆ―x ． 19．(本小题满分12分)记函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω＞0)的最小正周期为T ．若π3＜T ＜2π3，且y ＝f (x )的图象关于直线对称． (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，再将得到的图象．上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[π2，0)上的值域．20．(本小题满分12分)甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表(不存在通过3项程序考核放弃签约的情况)．相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为12，通过乙地的各项程序的概率依次为13，35，m ，其中0＜m ＜1．(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E(X)＞E(Y)时，证明：P(A)＞P(B)．参考公式与临界值表：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，n＝a＋b＋c＋d．21．(本小题满分如图，在三棱锥A－BCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，AC⊥BD，CB＝CD＝5，BD ＝2，E为BC的中点．(1)若AD＝2，求直线BD与AE所成角的余弦值；(2)已知点F在线段AC上，且，求二面角F－DE－C的大小．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ax，g(x)＝ax－ln x，a∈R．(1)若f(x)在x＝0处的切线与g(x)在x＝1处的切线相同，求实数a的值；(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)，直线y＝m与函数F(x)的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为x1，x2，证明：x1＋x2＞1．。