江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

（参考答案）2024届高一期中数学复习题选（一）★集合与逻辑用语（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：2x =是该方程的根；乙：1x =是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B 【解析】【分析】利用假设法，逐一验证不同命题为假的情况下，是否符合题意，结合一元二次方程的性质，可得答案.【详解】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意；假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程20x ax b ++=的两个根分别为1和0，此时命题丁为假命题；综上，只有命题乙为假命题，符合题意.故选：B.（常州市十校2022-2023学年高一上学期期中联合调研数学试题）现有两个条件：①方程()410f x +=的解集为32⎧⎫⎨⎩⎭；②不等式()0f x <的解集为{}12xx <<∣；请你在上述两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并求解(请答题时首先说明所选条件的序号)已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点()3,2，且满足________(填所选条件的序号)．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知实数1m <，()()2g x mf x x =-+，解关于x 的不等式()0g x <．解：（1）若选①，因为方程()410f x +=的解集为32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，所以231()()24f x a x =--，……2分将()3,2代入，2312(3)24a =--，解得：1a =，……4分所以2231()()3224f x x x x =--=-+．……6分若选②，因为不等式()0f x <的解集为{}12xx <<∣，所以()(1)(2)f x a x x =--，其中0a >，……2分将()3,2代入，22a =，解得：1a =，……4分所以2()(1)(2)32f x x x x x =--=-+．……6分（2）()()(1)(2)2(1)(2)0g x mf x m x x x mx m x ==---+=---<当0m =时，(2)0x --<，解集为(2,)+∞……8分当0m <时，112m +<，解集为1(,1)(2,)m -∞++∞ ……10分当01m <<时，112m +>，解集为1(2,1)m+……12分（常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知集合{}22430D x x x t =++=，{}22320B x x x =∈+-≤Z ，{}3,2,1C =---，且集合D 满足D B =∞ ，D C ≠∞ ．（1）求实数t 的值：（2）对集合{}12,,,(2)n A a a a k =≥ ，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z ，定义由A 中的元素构成两个相应的集合中：{}(,),,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -→，则称集合A 具有性质P ．①请检验集合B C 与C D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．（1）由题：{}{}1(21)(2)022,1,02B x N x x x Z x ⎧⎫=∈-+≤=∈-≤≤=--⎨⎬⎩⎭·····························1分{}{}()(3)03D x x t x t x x t x t =++===-=-或，又{}3,2,1C =---，D B =∅ ，D C ≠∅则3D -∈，即3t -=-或333t t -=-⇒=或1t =······································································3分当3t =时，{}3,9D =--满足题意．当1t =时，{}1,3D =--不满足D B =∅综上可知，3t =···················································································································4分（2）①由（1）知{}3,2,1,0B C =--- 由0B C ∈ ，0B C -∈ 知，B C 不具有性质P ····································································5分{}9,3,2,1C D =---- 满足任意的a C D ∈ ，总有a C D-∉ 所以，C D 具有性质P ········································································································6分其中{}(1,2),(2,1),(1,1)S =------，{}(2,1),(3,2),(3,1)T =------·········································8分②m n =·····························································································································9分证明如下：若(,)a b S ∈，则有a A ∈，b A ∈，且a b A +∈从而有(,)a b b T+∈若(,)a b ，(,)c d 为S 中的不同元素，则a c =，b d =中至少有一个不成立即a b c d +=+，b d =中至少有一个不成立即(,)a b b +，(,)c d d +也是T 中不同的元素故m n ≤····························································································································11分若(,)a b T ∈，则有a A ∈，b A ∈，且a b A -∈从而有(,)a b b S-∈若(,)a b ，(,)c d 为T 中的不同元素，则a c =，b d =中至少有一个不成立即a b c d -=-，b d =中至少有一个不成立即(,)a b b -，(,)c d d -也是S 中不同的元素故m n≥综上可知，m n =················································································································12分★指数与对数、基本不等式（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m/s ）可以表示为31log 2100Ov =，其中O 表示鱼的耗氧量的单位数若一条鱼的游速是1.5m/s ，则这条鱼的耗氧量是（）个单位.A.2400B.2700C.6400D.8100【答案】B 【解析】【分析】将 1.5m/s v =代入函数解析式，利用指数式与对数式的互化即可求解.【详解】由31log 2100Q v =，当 1.5v =时，则311.5log 2100Q =，即3log 3100Q =，解得3327100Q ==，所以2700Q =.故选：B.（江苏省镇江中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有6133种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列最接近36152310000的是（注：lg 30.477≈）（）A.2510- B.2610- C.3510- D.3610-【答案】D（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知0a >，0b >，若42log (4)log a b +=a b +的最小值为（）A.5+ B.9C.7D.5+【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质可得411b a+=，然后利用基本不等式即得.【详解】因为()424log (4)log log a b ab +==，所以4a b ab +=，即411b a+=，所以()414559a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a=，即3,6a b ==时取等号，所以a b +的最小值为9.故选：B.★基本初等函数（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）定义在R 上的奇函数()f x ，对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()30f =，则不等式()0xf x ≤的解集是（）A.(][),33,∞∞--⋃+B.[]3,3-C.(]{}[),303,-∞-+∞ D.(][],30,3-∞-⋃【答案】C 【解析】【分析】判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断函数的函数值的正负情况，即可得答案.【详解】由题意定义在R 上的奇函数()f x ，()30f =，则(0)0,(3)(3)0f f f =-=-=，对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则()f x 在(),0x ∈-∞时单调递减，则当3x <-时，()0f x >，此时()0xf x <；当30x -<<时，()0f x <，此时()0xf x >；根据奇函数的对称性可知，当3x >时，()0f x <，此时()0xf x <；当03x <<时，()0f x >，此时()0xf x >；故不等式()0xf x ≤的解集是(]{}[),303,-∞-+∞ ，故选：C.（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.(2,- B.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C.(),-∞+∞D.(,-∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分析可得函数()f x 为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为42m t t<-+对任意实数2t ≥恒成立，由对勾函数的性质分析，可得m 的取值范围．【详解】解：函数3()5f x x x =+的定义域为R ，且()()()()()3355f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，又3y x =与y x =在定义域R 上单调递增，所以()f x 在定义域R 上单调递增，若不等式()22(4)0f m mtf t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则()()()2244f m mt f t f t +<-=-，即224m mt t +<-对任意实数2t ≥恒成立，所以242tm t <-+对于任意实数2t ≥恒成立，即42m t t<-+任意实数2t ≥恒成立，因为函数()2g t t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 23g t g ==，则42t t-+有最小值43-，若42m t t<-+对任意实数2t ≥恒成立，所以43m <-．即m 的取值范围为4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故选：B ．（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）（多选题）已知函数2(1)4f x x +=-，则（）A.()f x 是R 上的偶函数B.()2y f x x =+是R 上的偶函数C.()f x 在区间(,1]-∞上单调递减D.当[]1,2x ∈-时，|()|y f x =的最大值是4【答案】BCD 【解析】【分析】由条件求出函数()f x 的解析式，根据偶函数的定义判断A ，根据二次函数的性质判断函数()f x 的单调性，判断C ，求函数()f x 在[]1,2x ∈-上的值域，判断D ，根据偶函数的定义判断函数()2y f x x =+的奇偶性.【详解】因为2(1)4f x x +=-，将x 变换为1x -可得()2()14f x x =--，因为()1044f =-=-，()1440f -=-=，()()11f f ≠-，所以函数()f x 不是R 上的偶函数，A 错误；因为()2()14f x x =--，由二次函数性质可得函数()f x 在区间(,1]-∞上单调递减，C 正确；由12x -≤≤，可得211x -≤-≤，所以()2014x ≤-≤，所以当[]1,2x ∈-时，()40f x -≤≤，所以函数|()|y f x =在[]1,2-上的最大值是4，D 正确，设()()2g x f x x =+，则()23g x x =-，所以()()()2233g x x x g x -=--=-=，所以函数()2y f x x =+是R 上的偶函数，B 正确；故选：BCD.（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若()y f x a x =-恰有3个零点，则a 的可能值为（）A.0B.12C.1D.2【答案】AD 【解析】【分析】画出函数的图象，通过a 的取值，结合x 的范围，判断函数的零点个数，然后推出实数a 的取值范围．【详解】分别作出函数()y f x =与||y a x =的图象，由图知，a<0时，函数()y f x =与||y a x =无交点，0a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，故0a >．当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点，当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <时，若y ax =-与254y x x =---，(41)x -<<-相切，则由Δ0=得：1a =或9a =（舍，切点在x 轴下方)，因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，当0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点，所以当2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =恰有3个交点．综上，()y f x a x =-恰有3个零点，a 的取值范围是0a =或2a ≥．故选：AD ．（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数9()f x x a a x=+-+在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(],8-∞【解析】【分析】先求出x 9x+∈[6，10]，再分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值，即可求出a 的范围．【详解】当x ∈[1，9]，x 9x+∈[6，10]，①当a ≥10时，f （x ）＝2a ﹣x 4x -，f （x ）max ＝2a ﹣6＝10，∴a ＝8，舍去②当a ≤1时，f （x ）＝x 9x+≤10，此时命题成立；③当1＜a ＜10时，f （x ）max ＝max {|6﹣a |+a ，|10﹣a |+a }，则610610a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或6101010a a a a a a ⎧-+-+⎪⎨-+=⎪⎩＜，解得a ＝8或a ＜8，综上可得，实数a 的取值范围是（﹣∞，8]．【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够利用最值构造出与函数值域有关的不等式，通过求解函数的值域求得结果.（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数()2,02,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，若关于x 的不等式[]2()(1)()0f x m f x m -++<恰有两个整数解，则实数m 的取值范围是_________.【答案】20[)(4,6]⋃-，.【解析】【分析】根据函数解析式，作出其图象，解不等式[]2()(1)()0f x m f x m -++<可得()[()]10f x m f x ⎤⎦-⎡⎣-<，讨论m 和1的大小关系，确定不等式解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定m 的取值范围.【详解】由于函数()2,02,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩,作出其图象如图：由[]2()(1)()0f x m f x m -++<得：()[()]10f x m f x ⎤⎦-⎡⎣-<，当1m =时，2[()0]1x f -<，不等式无解；当1m <时，由()[()]10f x m f x ⎤⎦-⎡⎣-<得∶()1m f x <<，若不等式恰有两个整数解，由于1()12f -=,(0)0,(1)21f f =-=>，则整数解为0和1，又()()1022f f ==-，，∴20m -≤<；当1m >时，由()[()]10f x m f x ⎤⎦-⎡⎣-<得：()1f x m <<，若不等式恰有两个整数解，由于1()12f -=，则整数解为1-和2-，又()()2436f f -=-=，，∴46m <≤，综上所述：实数m 的取值范围为20[)(4,6]⋃-，,故答案为∶20[)(4,6]⋃-，.（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数2()x bg x x a+=+，()1,1x ∈-.从下面三个条件中任选一个条件，求出a ，b 的值，并在此基础上．．．．．解答后面的问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①已知函数2()(1)4f x x a x =--+，()f x 在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②()()=0f x ax b a +>在[]1,2上的值域为[]1,2；③已知函数3()f x b x a=+-，满足()()110f x f x -++=.（1）选择_________，求a ，b 的值；（2）判断并用定义证明()g x 在()1,1-上的单调性；（3）解不等式()()120g t g t -+<.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】选①利用二次函数的性质及偶函数的定义即得，选②利用函数的单调性即求；选③知()f x 关于()10，对称，即可求出a ，b 的值；（2）利用单调性的定义即证；（3）利用奇函数的定义可得()g x 为奇函数，进而利用函数的单调性及奇偶性解不等式.【小问1详解】选①：因为()f x 在[1,1]b b -+上是偶函数，则10a -=，且(1)(1)0b b -++=，所以1a =，0b =；选②：当0a >时，()f x 在[]1,2上单调递增，则有122a b a b +=⎧⎨+=⎩，得1a =，0b =；选③：函数3()f x b x a=+-，满足()()110f x f x -++=，所以()f x 关于()10，对称，所以函数0,1b a ==.【小问2详解】由（1）得2()1xg x x =+，(1,1)x ∈-，任取12,(1,1)x x ∈-，且1211x x -<<<，则()()()()()()211212122222121211111x x x x x x g x g x x x x x ---=-=++++∵1211x x -<<<，则210x x ->，1210x x -<，∴()()120g x g x -<，即()()12g x g x <则()g x 在(1,1)-上单调递增.【小问3详解】∵2()1xg x x =+，(1,1)x ∈-，又()()21xg x g x x --==-+，∴()g x 为奇函数，由()()120g t g t -+<，得()()21g t g t <-，又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则12111121t t t t-<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得103t <<，所以10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题）我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为如下结论：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．已知该结论是真命题．(1)求函数h (x )＝x 3－6x 2图象的对称中心；(2)还有同学提出了如下两个命题：命题①已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，如果函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，那么函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图形；命题②已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，如果函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图形，那么函数y＝f(x＋1)为偶函数；请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由．(若两个都选，则只对你选的第一个评分)（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数ty x x=+有如下性质：若常数0t >，则该函数在(t 上是单调减函数，在)t +∞上是单调增函数.（1）已知()2214123x f x x x +=--，[]0,1x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x 和函数()222g x x ax a =+-，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()211g x f x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为11,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）3,162,15⎡⎡⎤--+⎣⎣⎦【解析】【分析】（1）设[]211,3x m +=∈，则21x m =-，可得出148y m m=+-，利用对勾函数的单调性结合复合函数的单调性可得出函数()f x 的增区间和减区间，再结合函数()f x 的单调性可求出函数()f x 的值域；（2）求出当[]0,1x ∈时，()[]14,3f x ∈--，分析可知[]4,3--是函数()g x 在[]0,1上值域的子集，然后对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()g x 在区间[]0,1上的单调性，结合题意可得出关于实数a 的不等式组，综合可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：设[]211,3x m +=∈，则21x m =-，且()22844120m m m -+=--<，所以()()221044816138mm y m m m m m m===<+-----+-，其中13m ≤≤，由已知得48u m m=+-在[]1,2上单调递减，在[]2,3上单调递增，又因为21m x =+在[]0,1上单调递增，函数1y u=在(),0∞-上为减函数，由1212x ≤+≤可得102x ≤≤，由2213x ≤+≤可得112x ≤≤，所以，由复合函数的单调性可知，函数()f x 的单调增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以，()max 12121634f x f ⎛⎫===- ⎪--⎝⎭，又因为()103f =-，()3111f =-，故()min 13f x =-，所以，函数()f x 的单调增区间为10,2⎡⎤⎢⎣⎦，减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为11,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】解：因为()()121f x g x ⋅=，当[]0,1x ∈时，()0f x ≠，所以()()211g x f x =，由（1）知()[]114,3f x ∈--由题意，得[]4,3--是()g x 的值域的子集，因为函数()222g x x ax a =+-的图象开口向上，对称轴为x a =-.①当0a ≥时，则0a -≤，函数()g x 在[]0,1上单调递增，则当[]0,1x ∈时，()()2min 0g x g a ==-，()()2max 112g x g a a ==+-，故224123a a a ⎧-≤-⎨+-≥-⎩，解得21a ≤≤+；②当10a -<<时，则01a <-<，函数()g x 在[]0,a -上单调递减，在[],1a -上单调递增，所以，当[]0,1x ∈时，()()()2min 22,0g x g a a =-=-∈-，不满足()min 4g x ≤-，舍去；③当1a ≤-时，则1a -≥，函数()g x 在[]0,1上单调递减，故当[]0,1x ∈时，()()2min 112g x g a a ==+-，()()2max 0g x g a ==-，故223124a a a ⎧-≥-⎨+-≤-⎩，解得1a ≤≤-综上所述，实数a 的取值范围是2,1⎡⎡-+⎣⎣ .（常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）记函数21()()n n nax f x n N x +=∈．（1）判断并证明1()f x 的奇偶性；（2）证明：当0a >时，2()f x 在14,a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增；（3）当2a =时，关于x 的方程3()f x b =有解，求b 的取值范围．（1）211()ax f x x+=为奇函数，证明如下：1()f x 的定义域为{}0A x x =≠······························································································1分对x A ∀∈，都有：2211()11()()a x ax f x f x x x-++-==-=--故1()f x 为奇函数··················································································································4分（2）证明：4222211()ax f x ax x x +==+任取1412,,x x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭且12x x <()()221212221211f x f x ax ax x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2212121222121ax x x x x x x x -=+-·································································································6分由1421x x a->≥知：120x x +>，120x x -<，221210ax x ->即有()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<故2()f x 在14,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增······························································································8分（3）当2a =时，由3()f x b =得：663321210x b x bx x+=⇒-+=令3(0)x t t =≠，则：关于t 的方程2210(0)t bt t -+=≠有解···················································································10分280b ∆=-≥b ⇒≤-b ≥······································································································12分（常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数2()1f x x a x =+-．（1）当2a =时，求()f x 的值域；（2）若存在x ∈R ，使得不等式()22f x x ≤-成立，求a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 在[)0,+∞上的最小值．（1）当2a =时，22222,1()2122,1x x x f x x x x x x ⎧+-≥=+-=⎨-+<⎩··························································1分1x ≥时，[)2()(1)31,f x x =+-∈+∞1x <时，[)2()(1)11,f x x =-+∈+∞故()f x 的值域为[)1,+∞········································································································3分（2）由()22f x x ≤-得：2(1)110x a x -+-+≤（*）当1x =时，（*）显然不成立···································································································4分当1x ≠时，max111a x x ⎡⎤⎛⎫≤--+⎢⎥ ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦又1121x x -+≥-当且仅当111x x -=-即0x =或2x =时等号成立则max 11121211x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+≤-⇒--+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦···························································6分综上，a 的取值范围为(],2-∞-·······························································································7分（3）由题知22,1(),01x ax a x y f x x ax a x ⎧+-≥==⎨-+≤<⎩···········································································8分当2a <-时，12a ->，12a<-当1x ≥时，()f x 的最小值为224a a f a⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭当01x ≤<时，(0)f a=22a a a --≤即8a ≤-时，2min ()24a a f x f a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭22a a a -->即82a -<<-时，min ()(0)f x f a ==当2a ≥-时，12a-≤，2()f x x ax a =+-在[)1,+∞上的最小值为(1)1f =当20a -≤≤时，102a-≤≤，min ()(0)f x f a==当02a <<时，012a <<，2min ()24a a f x f a⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭当2a ≥时，12a≥，min ()(1)1f x f ==综上可知：当8a ≤-时，2min()24a a f x f a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭·············································································9分当80a -<≤时，2min()24a a f x f a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭·········································································10分当02a <<时，2min()24a a f x f a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭···········································································11分当2a ≥时，min ()(1)1f x f ==12分。

江苏省常州市溧阳市南渡高级中学2020-2021学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知sinα?cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调性可知当＜α＜，时，则cosα﹣sinα＜0，于是可对所求关系式平方后再开方即可．【解答】解：∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，设cosα﹣sinα=t（t＜0），则t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，∴t=﹣，即cosα﹣sinα=﹣．故选：D．2. 任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形.依此类推，这样一共画了3个正方形.如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形的概率是(A) (B) (C) (D)参考答案：B3. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是() ．A. B. C. D. 1参考答案：C解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率。

4. 若不等式对实数恒成立，则实数m的取值范围（）A. 或B.C. D.参考答案：C【分析】对m分m≠0和m=0两种情况讨论分析得解.【详解】由题得时，x＜0，与已知不符，所以m≠0.当m≠0时，，所以.综合得m的取值范围为.故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 在中，a=15， b=10，∠A=60°，则此三角形解的个数为A.0B.1C.2D.不确定参考答案：B6. 函数是（）A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数参考答案：A7. 由表格中的数据可以判定方程的一个零点所在的区间则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B略8. 已知、，、、、成等差数列，、、、成等比数列，则的最小值是( )A．B． C． D．参考答案：D略9. 已知，则的值是 ( )A． B． C．D．参考答案：B【知识点】恒等变换综合解：故答案为：B10. 若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－2)＜f(lg x)的解集是()A．(0,100) B．C．D．∪(100，＋∞)参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将cos150°,sin470°,cos760°按从小到大排列为______________.参考答案：cos150°<cos760°<sin470°略12. 已知，则= .参考答案：-113. 已知，且，则. 参考答案：414. 以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是 ．参考答案：.略15. 某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （度）与气温x （°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程，当气温为﹣5°C 时，预测用电量的度数约为 _________度．参考答案：7016. 函数y ＝x ＋2在区间[0,4]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N ＝________.参考答案：8 略17. 在等差数列{a n }中，已知前20项之和S-20＝170，则a 6+a 9+a 11+a 16＝ ．参考答案：34三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某种彩票中奖的概率为，这是指（）A．买10000张彩票一定能中奖B．买10000张彩票只能中奖1次C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖D．买一张彩票中奖的可能性是2．（5分）已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．（5分）甲、乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲、乙下成和棋的概率为（）A．0.5B．0.7C．0.9D．0.44．（5分）在△ABC中，若a cos B+b cos A＝a，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形5．（5分）已知数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，那么数据2x1+1，2x2+1，…，2x10+1的平均数和方差分别为（）A．2，3B．5，6C．5，12D．4，126．（5分）已知，则sin2θ的值是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为135°．若，则m﹣n＝（）A．3B．C．﹣3D．8．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若P A1∥平面AMN，则P A1的最小值是（）A．2B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如右图．根据该图数据，这7次人口普查中（）A．乡村人口数均高于城镇人口数B．乡村人口数达到最高峰是第3次C．城镇人口总数逐次增加D．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次10．（5分）下列结论正确的是（）A．若复数z满足z+＝0，则z为纯虚数B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0C．若复数z满足，则z∈RD．若复数z满足|z﹣3i|＝1，则|z|∈[2，4]11．（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．BF∥CDB．DG⊥BHC．CH与BG成60°角D．BE与平面ABCD所成角为45°12．（5分）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的log o很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S A，S B，S C，则．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足．则（）A．O为△ABC的外心B．∠BOC+A＝πC．D．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

江苏省常州市武进高级中学2020-2021学年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】3O：函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A 和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．2. 已知，则的值等于_____ 。

参考答案：略3. 某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（）．A．B．C． D．参考答案：D解：设该企业生产总值的年增长率为，则，解得：．故选：．4. 抽查10 件产品，设事件A 为至少有2 件次品，则A 的对立事件为A. 至多有2 件次品B. 至多有1 件次品C. 至多有2 件正品D. 至少有2 件正品参考答案：B∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个又∵事件A：“至少有两件次品”，∴事件A的对立事件为：至多有一件次品．故选B5. 在△ABC中，是它的三条边，若，则△ABC是直角三角形，然而，若，则△ABC是锐角三角形，若，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由的值确定参考答案：A略6. 已知=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据二倍角公式和根据同角三角函数关系式即可求解．【解答】解：由=，可得：2cos2α=cos（）得：4cos22α=cos2（）∵cos2（）=2cos2（）﹣1，即1﹣sin2α=2cos2（）∴8cos22α=1﹣sin2α由cos22α+sin22α=1．∴8（1﹣sin22α）=1﹣sin2α解得：sin2α=．故选：B．7. 已知中，，则等于（）A． B． C．D．参考答案：由正弦定理,选C.8. 如果集合A=中只有一个元素，则的值是（）A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定参考答案：B解：若集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解则△=4-4a=0，解得a=1故满足条件的a的值为0或1故选B．9. 已知函数的最大值为2，则a的值为（）A．±1 B．－1 C．1 D．不存在参考答案：A10. 如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（A）AC⊥SB（B）AB∥平面SCD（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角参考答案： D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知{a n }是等差数列，d 为其公差，S n 是其前n 项和，若只有S 4是{S n }中的最小项，则可得出的结论中正确的是 ．1 d ＞0 ②a 4＜0 ③a 5＞0 ④S 7＜0 ⑤S 8＞0．参考答案：①②③④【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】由已知条件得到a 5＞0，a 4＜0．进一步得到d ＞0，然后逐一判断结论得答案． 【解答】解答：解：由已知条件得到a 5＞0，a 4＜0 ∴d＞0故①②③正确∵=7a 4＜0④正确，=4（a 4+a 5）无法判断其正负，故⑤错误∴正确的结论是①②． 故答案为：①②③④．【点评】点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了等差数列的性质及求和公式的灵活应用，关键在于得到公差d 的符号，是中低档题．12. 已知集合A=[1，4），B=（﹣∞，a ），若A ?B ，则实数a 的取值范围为 ．参考答案：a≥4【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A=[1，4），B=（﹣∞，a ），A ?B ，根据子集的定义可求．【解答】解：由题意，集合A=[1，4）表示大于等于1而小于4的数，B=（﹣∞，a ）表示小于a 的数，∵A ?B ， ∴a≥4 故答案为a≥413. 已知函数图象关于直线对称，若当时恒成立，则的取值范围_________参考答案：14. 若集合 M=，则M的子集个数为个参考答案：略15. 已知θ∈R ，则直线的倾斜角的取值范围是___________.参考答案：略16. 函数的图象为，则①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个长度单位可以得到图象．以上结论中正确的序号是__ __参考答案：①②③略17. 正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是___________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：把答案填在答题卡指定位置上.1. 已知集合A ＝{−1, 0, 1}，B ＝{x|x 2−10}，则A ∩B ＝（ ）A.{1}B.{1, 0}C.{−1, 1}D.{−1, 0, 1}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】∵ 集合A ＝{−1, 0, 1}，B ＝{x|x 2−10}＝{−1, 1}，∴ A ∩B ＝{1, 1}．2. 函数y =√x+1x 的定义域是( )A.[−1, +∞)B.(0, +∞)C.(−1, +∞)D.[−1, 0)∪(0, +∞)【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数成立的条件，求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则{x +1≥0,x ≠0.即{x ≥−1,x ≠0.解得x ≥−1且x ≠0，∴ 函数的定义域为{x|x ≥−1且x ≠0}．故选D .3. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0−2x +1,x >0 ，则f （f(−1)）＝（ ）A.−1B.0C.1D.12 【答案】B【考点】函数的求值求函数的值【解析】根据分段函数的解析式，先求出f(−1)的值，再求f （f(−1)）的值【解答】因为f(−1)＝2−1=12，所以f （f(−1)）＝f(12)＝−2×12+1＝0．4. 已知f(x)＝a x (a >0, a ≠1)，且f(1)<f(3)，则实数a 的取值范围是（ ）A.(1, +∞)B.(0, 1)C.(2, +∞)D.(0, 1)∪(1, +∞)【答案】A【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】由题意利用函数的单调性，求得实数a 的取值范围．【解答】∵ f(x)＝a x (a >0, a ≠1)，且f(1)<f(3)，∴ a >1，故选：A ．5. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递增的是（ ）A.y ＝x 12B.y =1xC.y ＝2−xD.y =log 12x 【答案】A【考点】函数单调性的性质与判断【解析】根据幂函数、反比例函数、指数函数和对数函数判断每个选项函数的单调性即可．【解答】y =x 12在(0, +∞)上单调递增，y =1x ，y ＝2−x 和y =log 12x 在(0, +∞)上都是减函数．6. 设a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.32，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数对数函数的单调性即可得出．【解答】∵ a <0，b >1，c ∈(0, 1)，∴ a <c <b ．7. 求值：2723+log 1327−log 139=( ) A.4B.8C.9D.10【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用指数对数运算性质即可得出．【解答】原式＝32+log13279=9−1＝8．8. 幂函数f(x)的图象经过点A(4, 2)，B(8, m)，则m＝（）A.2B.√2C.4D.2√2【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设出幂函数f(x)＝x a，图象经过点A(4, 2)，B(8, m)，代入求出即可．【解答】设幂函数f(x)＝x a，图象经过点A(4, 2)，B(8, m)，则4a＝2，8a＝m，所以22a＝2，2a=√2，故m＝8a＝23a＝(2a)3=√23=2√29. 在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x>0)，g(x)=log a x的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【考点】对数函数的图象与性质幂函数的图像【解析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0<a<1时和当a>1时两种情况，讨论函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0<a<1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a>1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：无满足要求的答案.故选D.10. 如果x0是函数f(x)＝4x+x−3的零点，且x0∈(k, k+1)，k∈Z，那么k的值是（）A.−1B.0C.1D.2【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】判断函数f(x)的单调性，利用函数零点判断条件进行判断即可得到结论．【解答】∵f(x)＝4x+x−3，∴函数f(x)为增函数，f(0)＝1+0−3＝−2<0，f(1)＝4+1−3＝2>0，满足f(0)f(1)<0，则在(0, 1)内函数f(x)存在一个零点，即x 0∈(0, 1)，∵ x 0∈(k, k +1)，∴ k ＝0，故选：B ．11. 已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)＝2x +3，则g(1)＝（ ）A.3B.4C.5D.6【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数的奇偶性，建立方程进行求解即可．【解答】∵ f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)＝2x +3，∴ f(1)+g(1)＝2+3＝5，①f(−1)+g(−1)＝−2+3＝1，即−f(1)+g(1)＝1，②，由①②得g(1)＝3，故选：A ．12. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +∞)上单调递增．若实数m 满足f(3|m+1|)>f(−√3)，则m 的取值范围是（ ）A.(−∞,−32)∪(−12,+∞)B.(−∞,12)∪(32,+∞)C.(−32,−12)D.(12,32)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】∵ f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +∞)上单调递增．∴ f(3|m+1|)>f(−√3)，等价为f(3|m+1|)>f(√3)，则3|m+1|>√3=312， 即|m +1|>12，得m +1>12或m +1<−12，得m >−12或m <−32，二、填空题：把答案填在答题卡指定位置上.设M＝{m, 2}，N＝{m+2, 2m}，且M＝N，则实数m的值是________．【答案】【考点】集合的相等【解析】利用集合与集合相等的定义直接求解．【解答】∵M＝{m, 2}，N＝{m+2, 2m}，且M＝N，∴{m=2m，解得m＝0，2=m+2∴实数m的值为0．设f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝x−1，则当x>0时，f(x)＝________．【答案】x+1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，设x>0，则−x<0，由函数的解析式可得f(−x)的解析式，结合奇偶性分析可得答案．【解答】根据题意，设x>0，则−x<0，则f(−x)＝(−x)−1＝−x−1，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝x+1，甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为10，B点坐标为(15, 0)，C点横坐标为105．则甲每分钟加工的数量是________，点D的坐标是________．【答案】6,(150, 0)【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【解析】根据题意，计算甲加工的总时间，又由加工的零件数目，据此计算可得答案；设D的坐标为(t, 0)，分析可得∠ABO ＝∠CDB 和∠AOB ＝∠CBD ，进而可得△AOB ∽△CBD ，则有1015=105−15t−15，解可得t 的值，即可得答案．【解答】根据题意，甲一共加工的时间为(10−0)+(105−15)＝100分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600100=6；设D 的坐标为(t, 0)，在区间(105, t)和(10, 15 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等，则有∠ABO ＝∠CDB ，在区间(15, 105)和(0, 10)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB ＝∠CBD ，则△AOB ∽△CBD ，则有1015=105−15t−15，解可得t ＝150；即点D 的坐标是(150, 0)；已知函数f(x)={1−|x|,x ≤1(x −1)2,x >1，函数g(x)＝f(1−x)−m ，其中m ∈R ，若函数y ＝f(x)+g(x)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．【答案】34<m <1 【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】求出f(x)+f(1−x)的解析式，做出y ＝f(x)+f(1−x)的函数图象，根据函数图象得出答案．【解答】y ＝f(x)+g(x)＝0即有f(x)+f(1−x)＝m ，则条件转化为y ＝f(x)+f(1−x)图象与直线y ＝m 有4个零点，因为f(x)={1−|x|,x ≤1(x −1)2,x >1， 即f(x)={1−x,0≤x ≤11+x,x <0(x −1)2,x >1， 所以f(1−x)={x,0≤x ≤12−x,x >1x 2,x <0，所以y ＝f(x)+f(1−x)={1,0≤x ≤1x 2+x +1,x <0x 2−3x +3,x >1，作出其图象如图：由图可知，34<m <1，三、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数f(x)＝log a x(a >0, a ≠1)，且f(4)−f(2)＝1．（1）求函数f(x)的表达式；（2）判断函数g(x)＝f(2+x)+f(2−x)的奇偶性，并说明理由．【答案】根据题意，因为f(x)＝log a x(a >0, a ≠1)，且f(4)−f(2)＝1，所以f(4)−f(2)＝log a 4−log a 2＝1，即log a 2＝1．，解得a ＝2，所以f(x)＝log 2x ；因为f(x)＝log a x ，所以g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)由{2+x >02−x >0得−2<x <2， 得g(x)的定义域为(−2, 2)，又因为g(−x)＝log 2(2−x)+log 2(2+x)＝g(x)，所以g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)为偶函数．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据题意，由函数的解析式可得f(4)−f(2)＝log a 4−log a 2＝1，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，求出g(x)的解析式为g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)，由奇偶性的定义分析可得答案．【解答】根据题意，因为f(x)＝log a x(a >0, a ≠1)，且f(4)−f(2)＝1，所以f(4)−f(2)＝log a 4−log a 2＝1，即log a 2＝1．，解得a ＝2，所以f(x)＝log 2x ；因为f(x)＝log a x ，所以g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)由{2+x >02−x >0得−2<x <2， 得g(x)的定义域为(−2, 2)，又因为g(−x)＝log 2(2−x)+log 2(2+x)＝g(x)，所以g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)为偶函数．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|log 2x ≥1}，函数g(x)=(12)x (−2<x <0)的值域为集合B ，（1）求A ∩B ；（2）已知C ＝[a −1, 7−2a]，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．【答案】A ＝[2, +∞)，B ＝(1, 4)，所以A ∩B ＝[2, 4)；∵ C ⊆B ，可得a −1<7−2a ，a −1≥1，7−2a ≤4，解得2≤a <83，∴ a 的取值范围为[2,83)．【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）求出集合A ，B ，再求交集；（2）根据集合C 与B 的关系，求出参数的范围．【解答】A ＝[2, +∞)，B ＝(1, 4)，所以A ∩B ＝[2, 4)；∵ C ⊆B ，可得a −1<7−2a ，a −1≥1，7−2a ≤4，解得2≤a <83，∴ a 的取值范围为[2,83)．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +c(a >0)，对称轴为直线x ＝2，且f(0)＝1． （1）若函数f(x)的最小值为−1，求f(x)的解析式；（2）函数f(x)的最小值记为g(a)，求函数H(a)＝a ⋅g(a)的最大值．【答案】因为f(x)对称轴为直线x ＝2，所以−b 2a =2，则b ＝−4a ．又f(0)＝1，所以c ＝1．∴ f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a因为a >0，所以当x ＝2时f(x)有最小值1−4a ＝−1，所以a =12，∴ f(x)=12x 2−2x +1．由（1）知f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a ．∴ g(a)＝f(2)＝1−4a ．∴ H(a)=a(1−4a)=−4(a −18)2+116，a ∈(0, +∞)∴ H(a)的最大值为116．【考点】函数的最值及其几何意义函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）有条件知f(x)对称轴为直线x ＝2，所以−b 2a =2，则b ＝−4a ，由f(0)＝1，得c ＝1，用待定系数法设f(x)＝ax 2−4ax +1，再由函数f(x)的最小值为−1，解得a 的值即可．（2）由（1）可得f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a ．故g(a)＝1−4a ，故配方法可求H(a)的最大值．【解答】因为f(x)对称轴为直线x ＝2，所以−b 2a =2，则b ＝−4a ．又f(0)＝1，所以c ＝1．∴ f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a因为a >0，所以当x ＝2时f(x)有最小值1−4a ＝−1，所以a =12，∴ f(x)=12x 2−2x +1．由（1）知f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a ．∴ g(a)＝f(2)＝1−4a ．∴ H(a)=a(1−4a)=−4(a −18)2+116，a ∈(0, +∞)∴ H(a)的最大值为116．某村充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入．计划共投入80万元，全部用于甲、乙两个项目，要求每个项目至少要投入20万元在对市场进行调研时发现甲项目的收益y 1与投入x （单位：万元）满足y 1={5√x +20,20≤x <3650,36≤x ≤60，乙项目的收益y 2与投入x （单位：万元）满足y 2=12x +20．（1）当甲项日的投入为25万元时，求甲、乙两个项目的总收益；（2）问甲、乙两个项目各投入多少万元时，总收益最大？【答案】甲、乙两个项日的总收益为92.5万元；甲、乙两个项日分别投入25万元、55万元时，总收益最大【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）直接由已知把x ＝25与x ＝55分别代入两函数解析式求解；（2）设甲投入x 万元，则乙投入80−x 万元，由已知求得x 的范围，然后分类写出甲与乙项目的收益，作和后利用配方法及函数的单调性求最值．【解答】当甲投入25万元，则乙投入55万元，甲、乙两个项目的总收益为(5√25+20)+(12×55+20)=92.5，答：甲、乙两个项日的总收益为92.5万元；设甲投入x 万元，则乙投入80−x 万元，由{x ≥2080−x ≥20，解得20≤x ≤60． 甲项目的收益为{5√x +20,20≤x <3650,36≤x ≤60 ，乙项目的收益为12(80−x)+20=60−12x ， ∴ 甲乙两个项目的总收益为f(x)={5√x −12x +80,20≤x ≤36110−12x,36≤x ≤60 ． 当20≤x <36，f(x)=−12(√x −5)2+92.5，∴ 当√x =5，即x ＝25，f(x)的最大值为92.5．当36≤x ≤60，f(x)=110−12x 递减，∴ 当x ＝36，f(x)的最大值为92， 综上，当x ＝25，f(x)的最大值为92.5，答：甲、乙两个项日分别投入25万元、55万元时，总收益最大．设函数f(x)＝a x +(k −1)a −x (a >0, a ≠1)是定义域为R 的奇函数． （1）求实数k 的值；（2）若f(1)>0，试判断函数f(x)的单调性，并求不等式f(x 2−x)+f(−2x −4)>0的解集；（3）若f(1)=32，设g(x)＝a 2x +a −2x −2mf(x)，g(x)在[0, 1]上的最小值为−1，求实数m 的值． 【答案】因为函数f(x)＝a x +(k −1)a −x (a >0, a ≠1)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，即1+(k −1)＝0，得k ＝0．当k ＝0时，f(x)＝a x −a −x ，f(−x)＝a −x −a x ＝−f(x)，符合题意． 所以k ＝0．由（1）知f(x)＝a x −a −x ，f(1)＝a −a −1>0，解得a >1 设x 1，x 2是任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(a x 1−a −x 1)−(a x 2−a −x 2)=(a x 1−a x 2)+(a −x 2−a −x 1) 因为a >1，x 1<x 2，−x 2<−x 1，所以a x 1<a x 2，a −x 2<a −x 1 所以f(x 1)−f(x 2)=(a x 1−a x 2)+(a −x 2−a −x 1)<0， 即f(x 1)<f(x 2)所以f(x)为R 上的增函数．因为f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(−2x −4)＝−f(2x +4)， 不等式f(x 2−x)+f(−2x −4)>0同解于f(x 2−x)>f(2x +4)． 因为f(x)为R 上的增函数，所以x 2−x >2x +4， 解得x <−1或x >4所以不等式f(x 2−x)+f(−2x −4)>0的解集为{x|x <−1或x >4}． 由f(1)=32得a −a −1=32，解得a ＝2．所以f(x)＝2x −2−x ，g(x)＝a 2x +a −2x −2mf(x)＝(a x −a −x )2+2−2mf(x)＝f 2(x)−2mf(x)+2由（2）知f(x)＝2x −2−x 是单调递增函数，因为x ∈[0.1]，所以f(x)∈[0,32]． 令t ＝f(x)，则y ＝t 2−2mt +2＝(t −m)2+2−m 2，t ∈[0,32]． 当m ≤0时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0,32]单调递增，y min ＝2不合题意； 当m ≥32时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0,32]单调递减，y min =174−3m ＝−1，解得m =74；当0<m <32时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0, m]上单调递减，在[m,32]上单调递增，y min ＝2−m 2＝−1，得m =±√3（舍去） 综上所述，实数m 的值为74． 【考点】函数的最值及其几何意义 函数单调性的性质与判断 【解析】（1）根据奇函数的性质可得f(0)＝0，由此求得k 值；（2）由f(x)＝a x −a −x (a >0且a ≠1)，f(1)>0，求得a >1，f(x)在R 上单调递增，不等式化为f(x 2−x)>f(2x +4)，x 2−x >2x +4，解不等式即 可．（3）由f(1)=32，求得a 的值，可得 g(x)的解析式，令t ＝f(x)，2x −2−x ，可知f(x)＝2x −2−x 为增函数，t ≥f(1)，令ℎ(t)＝t 2−2mt +2，（t ∈[0, 32]），分类讨论求出ℎ(t)的最小值，再由最小值等于−1，求得m 的值． 【解答】因为函数f(x)＝a x +(k −1)a −x (a >0, a ≠1)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，即1+(k −1)＝0，得k ＝0．当k ＝0时，f(x)＝a x −a −x ，f(−x)＝a −x −a x ＝−f(x)，符合题意． 所以k ＝0．由（1）知f(x)＝a x −a −x ，f(1)＝a −a −1>0，解得a >1 设x 1，x 2是任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(a x 1−a −x 1)−(a x 2−a −x 2)=(a x 1−a x 2)+(a −x 2−a −x 1) 因为a >1，x 1<x 2，−x 2<−x 1，所以a x 1<a x 2，a −x 2<a −x 1 所以f(x 1)−f(x 2)=(a x 1−a x 2)+(a −x 2−a −x 1)<0， 即f(x 1)<f(x 2)所以f(x)为R 上的增函数．因为f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(−2x −4)＝−f(2x +4)， 不等式f(x 2−x)+f(−2x −4)>0同解于f(x 2−x)>f(2x +4)． 因为f(x)为R 上的增函数，所以x 2−x >2x +4， 解得x <−1或x >4所以不等式f(x 2−x)+f(−2x −4)>0的解集为{x|x <−1或x >4}． 由f(1)=32得a −a −1=32，解得a ＝2．所以f(x)＝2x −2−x ，g(x)＝a 2x +a −2x −2mf(x)＝(a x −a −x )2+2−2mf(x)＝f 2(x)−2mf(x)+2由（2）知f(x)＝2x −2−x 是单调递增函数，因为x ∈[0.1]，所以f(x)∈[0,32]． 令t ＝f(x)，则y ＝t 2−2mt +2＝(t −m)2+2−m 2，t ∈[0,32]． 当m ≤0时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0,32]单调递增，y min ＝2不合题意； 当m ≥32时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0,32]单调递减，y min =174−3m ＝−1，解得m =74；当0<m <32时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0, m]上单调递减，在[m,32]上单调递增，y min ＝2−m 2＝−1，得m =±√3（舍去） 综上所述，实数m 的值为74．已知集合A={f(x)|12[f(x1)+f(x2)]<f(x1+x22)}，其中x1，x2是函数f(x)定义城内任意不相等的两个实数．（1）若f(x)∈A，同时g(x)∈A，求证：f(x)+g(x)∈A；（2）判断f(x)＝2x是否在集合A中，并说明理由；（3）设函数f(x)的定义域为B，函数f(x)的值域为C．函数f(x)满足以下3个条件：①f(x)∈A，②B＝C，③f(2)<1．试确定一个满足以上3个条件的函数f(x)要对满足的条件进行说明．【答案】证明：设ℎ(x)＝f(x)+g(x)，x1，x2是函数ℎ(x)定义域内任意不相等的两个实数．因为f(x)∈A，所以12[f(x1)+f(x2)]<f(x1+x22)①，同理12[g(x1)+f(x2)]<g(x1+x22)②，①+②，得12[f(x1)+f(x2)]+12[g(x1)+g(x2)]<f(x1+x22)+g(x1+x22)，即12[(f(x1)+g(x1))+(f(x2)+g(x2))]<f(x1+x22)+g(x1+x22)，即12[ℎ(x1)+ℎ(x2)]<ℎ(x1+x22)，所以ℎ(x)∈A，即f(x)+g(x)∈A；f(x)＝2x的定义域为R．取x1＝0，x2＝1，则12[f(x1)+f(x2)]=12(1+2)=32，f(x1+x22)=f(0+12)=f(12)=√2，因为32>√2，所以12[f(x1)+f(x2)]>f(x1+x22)，所以f(x)＝2x不在集合A中；f(x)＝1−x2，B＝(0, 1)；①设x1，x2是(0, 1)内任意不相等的两个实数，1 2[f(x1)+f(x2)]=−12(x12+x22)+1，f(x1+x22)=−x12+2x1x2+x224+1，12[f(x1)+f(x2)]−f(x1+x22)=−(x1−x2)24<0，所以12[f(x1)+f(x2)]<f(x1+x22)，所以f(x)∈A，②B＝C＝(0, 1)，③f(2)＝−3<1．【考点】命题的真假判断与应用【解析】（1）设ℎ(x)＝f(x)+g(x)，由新定义，集合不等式的性质即可得证；（2）求得定义域R，取x1＝0，x2＝1，计算检验可得结论；（3）取f(x)＝1−x2，B＝(0, 1)；集合二次函数的性质计算可得结论．【解答】证明：设ℎ(x)＝f(x)+g(x)，x1，x2是函数ℎ(x)定义域内任意不相等的两个实数．因为f(x)∈A，所以12[f(x1)+f(x2)]<f(x1+x22)①，同理12[g(x1)+f(x2)]<g(x1+x22)②，①+②，得12[f(x1)+f(x2)]+12[g(x1)+g(x2)]<f(x1+x22)+g(x1+x22)，即12[(f(x1)+g(x1))+(f(x2)+g(x2))]<f(x1+x22)+g(x1+x22)，即12[ℎ(x1)+ℎ(x2)]<ℎ(x1+x22)，所以ℎ(x)∈A，即f(x)+g(x)∈A；f(x)＝2x的定义域为R．取x1＝0，x2＝1，则12[f(x1)+f(x2)]=12(1+2)=32，f(x1+x22)=f(0+12)=f(12)=√2，因为32>√2，所以12[f(x1)+f(x2)]>f(x1+x22)，所以f(x)＝2x不在集合A中；f(x)＝1−x2，B＝(0, 1)；①设x1，x2是(0, 1)内任意不相等的两个实数，1 2[f(x1)+f(x2)]=−12(x12+x22)+1，f(x1+x22)=−x12+2x1x2+x224+1，12[f(x1)+f(x2)]−f(x1+x22)=−(x1−x2)24<0，所以12[f(x1)+f(x2)]<f(x1+x22)，所以f(x)∈A，②B＝C＝(0, 1)，③f(2)＝−3<1．。

常州市溧阳市2021~2022学年度第二学期期末教学质量调研高一数学试题2022.06一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()1i 2z -=，则z 的虚部为（）A.-1B.i- C.1D.i2.采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（）A.12B.13C.15D.163.在ABC 中，若sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则C =（）A.30°B.60︒C.120︒D.150︒4.阿基米德（Archimedes ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为（）A.36πB.45πC.54πD.63π5.甲､乙､丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为14，则密码被破译的概率为（）A.164B.964C.2764D.37646.下列命题中正确的是（）A.过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行B.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直C .过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面垂直D.过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面7.已知非零向量a ，b满足2b a = ，且()a b a +⊥r r r ，则a b + 与b 的夹角为（）A.6π B.3π C.23π D.56π8.已知090α<< ，且()2sin181sin 22cos 9cos 2αα+=，则α=（）A.9 B.18 C.27oD.36o二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.某同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数的（）A.众数为2和3B.平均数为3C.标准差为85D.第85百分位数为4.510.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A ，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B ，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件C .下列说法正确的是（）A.事件A 与事件C 互斥B.事件B 与事件C 对立C.事件A 与事件B 相互独立D.()()()P A B P A P B +=+11.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）A.3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B.i e 10π+=C .31i 122⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭D.i i e e cos 2-+=θθθ12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点，则以下叙述中正确的是（）A.直线1B F 平面1A BDB.直线EF 不可能与平面1ACD 垂直C.直线1AC 与1B F 所成角为定值D.三棱锥1-B A EF 的体积为定值三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（第16题第一空2分，第二空3分）13.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人.14.某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5，则该圆锥的体积为___________.15.在ABC 中，22AB =，3BC =，45B =︒，点D 在边BC 上，且17cos 17ADC ∠=，则tan DAC ∠的值为___________.16.已知点A ，B ，C 均位于单位圆（圆心为O ，半径为1）上，且3AB =OA AB ⋅=___________；AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数112z i =+，234z i =-.（1）在复平面内，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，求点1Z ，2Z 之间的距离；（2）若复数z 满足12111z z z =+，求z .18.如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .求证：（1）BC ∥平面AMN ；（2）平面AMN ⊥平面PBC .19.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[)40,50､[)50,60､……､[)80,90､[]90,100.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；（2）从评分在[)40,60的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)50,60的概率；（3）估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）20.已知向量3(sin ,(cos ,1)4a xb x ==-.(1)当时，求tan()4x π-的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅ ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.21.刍（ch u ）甍（m e ng ）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶L ”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为长方形，//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是全等的等边三角形.（1）求证：EF DC ；（2）若已知224AB BC EF ===，①求二面角A EF C --的余弦值；②求该五面体ABCDEF 的体积.22.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2c b =，3a =，D 是边BC 上一点.（1）求cos 2cos b C b B +的值；（2）若1233AD AB AC =+.①求证：AD 平分BAC ∠；②求ABC 面积的最大值及此时AD 的长.2021~2022学年度第二学期期末教学质量调研高一数学试题2022.06一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()1i 2z -=，则z 的虚部为（）A.-1B.i- C.1 D.i【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算求解复数z ，根据复数的概念判断复数的虚部即可.【详解】解：由题可得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+--+，故复数z 的虚部为1.故选：C .2.采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（）A.12B.13C.15D.16【答案】B 【解析】【分析】根据每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是样本容量和总体数量的比值.【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是21=63.故选：B【点睛】本题考查了简单随机抽样每个个体被抽到的概率相等，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.在ABC 中，若sin :sin :sin 3:5:7A B C ，则C =（）A.30°B.60︒C.120︒D.150︒【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理计算cos C 即可得C 角．【详解】∵sin :sin :sin 3:5:7A B C =，由正弦定理得::3:5:7a b c =，设3,5,7(0)a k b k c k k ===>，则222222925491cos 22352a b c k k k C ab k k +-+-===-⨯⨯，又C 是三角形内角，∴120C =︒．故选：C ．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题是用正弦定理化角为边．属于基础题．4.阿基米德（Archimedes ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为（）A.36πB.45πC.54πD.63π【答案】C 【解析】【分析】首先理解题意，直接求解圆柱的体积，即可得圆柱底面的半径，再求圆柱的表面积.【详解】由题意可知，2=3V V 内切球圆柱，=54V π∴圆柱，设圆柱底面半径为r ，则2254r r ππ⨯=，得3r =，则圆柱的表面积222254S r r r πππ=⨯+=.故选：C5.甲､乙､丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为14，则密码被破译的概率为（）A.164B.964C.2764D.3764【答案】D 【解析】【分析】根据相互独立事件、对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：依题意密码被破译的对立事件为甲､乙､丙3人均没有破译密码，所以密码被破译的概率313711464P ⎛⎫=--=⎪⎝⎭；故选：D6.下列命题中正确的是（）A.过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行B.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直C.过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面垂直D.过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面【答案】B 【解析】【分析】借助正方体模型，线面的位置关系及线面垂直的性质逐项分析即得.【详解】对于A ，如图在正方体中，过直线AB 外一点1D 有两个平面，平面1111D C B A ，平面11DCC D 都与直线AB 平行，故A 错误；对于B ，由于垂直同一条直线的两个平面平行，故过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故B 正确；对于C ，如图在正方体中，过平面ABCD 外一点1D 有两个平面，平面11DCC D ，平面11A ADD 都与平面ABCD 垂直，故C 错误；对于D ，当直线与平面相交时，过该直线，不能作出与已知平面平行的平面，故D 错误.故选：B.7.已知非零向量a ，b满足2b a = ，且()a b a +⊥r r r ，则a b + 与b的夹角为（）A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A 【解析】【分析】由题可得向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量模长公式及夹角公式即得．【详解】由于()a b a +⊥r r r，所以()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=r r r，∴2a ba⋅=-r rr ，又2b a = ，∴a b +==，()223b a ab b a b +⋅⋅+== ，∴()223cos ,2a b a a b a b b b b +=⋅+=+=⋅ ，由于0,a b b π≤+≤ ，∴,6b a b π+= .故选：A.8.已知090α<< ，且()2sin181sin 22cos 9cos 2αα+=，则α=（）A.9B.18C.27oD.36o【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+= ，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos91sin 2αα+=+，所以()22cos9cos 22sin 9cos91sin 2αα=+ ，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.某同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数的（）A.众数为2和3B.平均数为3C.标准差为85D.第85百分位数为4.5【答案】AB 【解析】【分析】利用众数的定义判断A ，求出平均数判断B ，求出标准差判断C ，求出百分位数判断D 【详解】对于A ，因为2和3出现的次数最多，均为3次，所以众数为2和3，所以A 正确，对于B ，平均数为1(13233455)310⨯+⨯+⨯++⨯=，所以B 正确，对于C ，标准差为5s==，所以C 错误，对于D ，因为这组数从小到大排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，且1085%8.5⨯=，所以第85百分位数为第9个数5，所以D 错误，故选：AB10.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A ，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B ，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件C .下列说法正确的是（）A.事件A 与事件C 互斥B.事件B 与事件C 对立C.事件A 与事件B 相互独立D.()()()P A B P A P B +=+【答案】AC 【解析】【分析】由互斥，对立以及独立的定义判断即可.【详解】样本空间为{}1,2,3,4,5,6,7,8,9Ω=，{}{}{}1,4,7,1,2,3,4,5,6,8,9A B C ===因为A C ⋂=∅，所以事件A 与事件C 互斥，故A 正确；因为{}1,2,3,4,5,6,8,9B C ⋃=，{}71,2,3,4,5,6,8,9∉，所以事件B 与事件C 不对立，故B 错误；2()9P AB =，3162(),()9393P A P B ====，()()()P AB P A P B =，即事件A 与事件B 相互独立，故C 正确；因为{}1,4A B ⋂=，所以事件A 与事件B 不互斥，故D 错误；故选：AC11.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）A.3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B.i e 10π+=C.31i 122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭D.i i e e cos 2-+=θθθ【答案】BCD 【解析】【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【详解】解：对于A ：3ie cos3isin 3=+，因为32ππ<<，所以sin 30>，cos30<，所以3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A 错误；对于B ：i e 1cos isin 1110πππ+=++=-+=，故B 正确；对于C ：333i i 31i cos isin e e cos isin 12233ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+===+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：由i cos isin e θθθ=+，i n ecos()isi ()cos isin θθθθθ-=-+-=-，所以i i 2co es e θθθ-=+，所以i i e e cos 2-+=θθθ，选项D 正确；故选：BCD12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点，则以下叙述中正确的是（）A.直线1B F平面1A BDB.直线EF不可能与平面1ACD 垂直C.直线1AC 与1B F 所成角为定值D.三棱锥1-B A EF的体积为定值【答案】ACD 【解析】【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直的判定定理一一判断即可；【详解】解：如图由正方体的性质可知11//B C A D ，1B C ⊄平面1A DB ，1A D ⊂平面1A DB ，所以1//B C 平面1A DB ，同理可证1//D C 平面1A DB ，11B C D C C = ，11,B C D C ⊂平面11B D C ，所以平面11//B D C 平面1A DB ，因为1B F ⊂平面11B D C ，所以1B F //平面1A BD ，故A 正确；因为AC BD ⊥，1AC BB ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，1B D ⊂平面11BDD B ，所以1B D AC ^，同理可证11B D AD ^，1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面1AD C ，所以1B D ⊥平面1AD C ，同理可证1AC ⊥平面11B D C ，因为1B F ⊂平面11B D C ，所以11AC B F ⊥，故C 正确；当F 点为1CD 的中点时，//EF 1B D ，所以EF ⊥平面1AD C ，故B 错误；又11//A B CD ，1A B ⊂平面1A BE ，1CD ⊄平面1A BE ，所以1//CD 平面1A BE ，所以F 到平面1A BE 的距离不变，设为d，又1A BE S 的面积不变，所以11113B A EFF A EB A BE V V S d --==⋅ 为定值，故D 正确；故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（第16题第一空2分，第二空3分）13.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人.【答案】900【解析】【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数.【详解】由题意可知，高二年级抽取：45201015--=人∴抽样比为：151453=∴该校学生总数为：13009003÷=人本题正确结果：900【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.14.某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5，则该圆锥的体积为___________.【答案】3##3【解析】【分析】利用周长的比值可求得圆锥的母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥的体积公式即可求解.【详解】解：设圆锥的母线长为l ，则圆锥绕顶点S 滚动所形成的圆的半径为l ，周长为2l π，又圆锥底面半径为5，则底面周长为25π⨯，故2325l ππ=⨯⨯，解得15l =，所以圆锥的高为h ==，所以圆锥的体积为21533Vππ=⨯⨯⨯=.故答案为：315.在ABC中，AB =，3BC =，45B =︒，点D 在边BC上，且cos 17ADC ∠=，则tan DAC ∠的值为___________.【答案】67【解析】【分析】首先由余弦定理求出b ，再求出sin ADC ∠，由正弦定理求出AD ，再由余弦定理求出BD ，最后在ADC 中由正弦定理求出sin DAC ∠，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为AB =，3BC =，45B =︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2982352b =+-⨯⨯=，所以b =因为cos 17ADC ∠=，所以sin 17ADC ∠==，所以()sin sin sin 17ADBADC ADC π∠=-∠=∠=由正弦定理sin sin AB ADADB B=∠，所以2AD =，再由余弦定理2222cos AD BD AB AB BD B =+-⋅，即2416150BD BD -+=，解得32BD =或52BD =，又3BC =，0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以32BD =，则32DC =，在ADC 中由正弦定理sin sin AC DCADC DAC=∠∠32sin 17DAC =∠，所以sin 85DAC ∠=，又AD DC >，所以cos 85DAC ∠==，所以sin 6tan cos 7DAC DACDAC ∠∠==∠；故答案为：6716.已知点A ，B ，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且AB =，则OA AB ⋅= ___________；AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为___________.【答案】①.32-②.3232+【解析】【分析】根据弦长公式可求得120AOB ∠=︒，利用平面向量的线性运算及数量积的定义可求解OA AB ⋅u u u r u u u r的值；建立直角坐标系，设A ，B ，C三点的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值.【详解】解：因为AB =1，所以120AOB ∠=︒，又AB OB OA=- ，所以223cos 2OA AB OA OB OA OA OB AOB OA ⋅=⋅-=⋅∠-=- ；以圆心O为原点，建立直角坐标系，设[]2211,,,(,)(1,1,1)2222A B C x y x x y ⎛⎫⎛⎫-∈-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则)1,,22AB AC x y ⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭，则32AB AC ⋅=+ ，因为[]1,1x ∈-，所以AB AC ⋅uu u r uuu r32+.故答案为：32-32+.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数112z i =+，234z i =-.（1）在复平面内，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，求点1Z ，2Z 之间的距离；（2）若复数z 满足12111z z z =+，求z .【答案】（1）；（2）32i 2z =+.【解析】【分析】（1）利用复数的几何意义即得；（2）利用复数的四则运算即得.【小问1详解】解法1：在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为()11,2Z ，()23,4Z -，所以12Z Z ==.解法2：因为()()1212i 34i 26i z z -=+--=-+，所以121226i Z Z z z =-=-+=【小问2详解】因为11112i 12i 55z ==-+，21134i 34i 2525z ==+-，所以1211186i 2525z z z =+=-，所以32i 2z =+.18.如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .求证：（1）BC ∥平面AMN ；（2）平面AMN ⊥平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证得MN ∥BC ，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得AM ⊥平面PBC .由面面垂直的判定定理证明即可【详解】（1）∵,M N 别为棱,PB PC 的中点，∴MN ∥BC 又BC ⊄平面AMN ，∴BC ∥平面AMN .（2）∵PA AB =，点M 为棱PB 的中点，∴AM PB ⊥，又平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，∴AM ⊥平面PBC .∵AM ⊂平面AMN ，∴平面AMN ⊥平面PBC .【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查推理能力，属于基础题19.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[)40,50､[)50,60､……､[)80,90､[]90,100.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；（2）从评分在[)40,60的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)50,60的概率；（3）估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）【答案】（1）0.006a =，概率为0.68.（2）310（3）76.2【解析】【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.006a=，并计算出不低于70分的频率作为概率的估计值；（2）利用列举法求解古典概型的概率；（3）同一组中的数据以这组数据的中间值作代表计算出平均数.【小问1详解】由题意得：()100.0040.0220.0280.0220.0181a +++++=，解得：0.006a=，由频率分布直方图知，不低于70分的三组频率之和为0.280.220.180.68++=，因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率为0.68.【小问2详解】评分在[)40,50的人数为2人，设为,A B ，在[)50,60的人数为3人，设为,,a b c ，从这5人中随机抽取2人，共10个等可能的基本事件，分别为()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c ，记事件A 为“2人评分都在[)50,60”，A 包含3个基本事件，分别为()()(),,,,,a b a c b c ，所以()310P A =，因此2人评分都在[)50,60的概率为310.【小问3详解】这50名学生对个性化作业评分的平均数为：450.04550.06650.22750.28850.22950.1876.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.已知向量3(sin ,(cos ,1)4a x b x ==-.(1)当时，求tan()4x π-的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅ ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.【答案】(1)-7，(2)13[,22+【解析】【详解】试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，33//cos sin 0,tan 44ab x x x ∴+==-再利用两角差正切公式求解：tan 1tan()741tan x x xπ--==-+ (2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公式得到三角函数关系式3()2())42f x a b b x π=+⋅=++，再从角0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦出发研究基本三角函数范围：5[0,],2sin(2)1244424x x x πππππ∈≤+≤∴-≤+≤ 13()22f x ∴≤≤+试题解析：(1)33//cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+==- ,3分tan 1tan()741tan x x xπ--==-+ 6分(2)3()2())42f x a b b x π=+⋅=++8分5[0,],2sin(2)1244424x x x πππππ∈≤+≤∴-≤+≤ 11分13()22f x ∴≤≤+，()f x 的值域为13[,2214分考点：向量平行坐标表示，三角函数性质21.刍（ch u ）甍（m e ng ）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶L ”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为长方形，//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是全等的等边三角形.（1）求证：EF DC ；（2）若已知224AB BC EF ===，①求二面角A EF C --的余弦值；②求该五面体ABCDEF的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）①13.【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质定理即得；（2）过点E 作EG DC ⊥，作EH AB ⊥，过点F 作FM DC ⊥，作FN AB ⊥，由题可得HEG ∠即为二面角A EF C --的平面角，结合条件利用余弦定理可得；利用割补法可把该五面体分为两个四棱锥和一个三棱柱，然后利用锥体及柱体的体积公式即得.【小问1详解】五面体ABCDEF中，因为//EF 平面ABCD ，EF ⊂平面CDEF，平面CDEF平面ABCD CD =，所以//EF CD.【小问2详解】过点E 作EG DC ⊥，作EH AB ⊥，垂足分别为G ，H ，过点F 作FM DC ⊥，作FN AB ⊥，垂足分别为M，N ，连结GH ，MN ，如图，①由（1）及四边形ABCD 为长方形知，AB CD EF ，所以EG EF ⊥，EH EF ⊥，所以HEG ∠即为二面角A EF C--的平面角，因为224AB BC EF ===，且ADE 和BCF △是全等的等边三角形，所以222GM DG MC ===，2ED EA FC FB ====，因此，在EGH 中，EG EH ==，2GH =，由余弦定理，得2221cos23EH EG GH HEG EG EH +-∠==⋅，故二面角A EF C --的余弦值为13.②取GH 中点O ，连结EO ，由EG EH =知，EO GH ⊥，因为DC EG ⊥，DC GH ⊥，且EG ，GH 是平面EGH 内两相交直线，所以DC ⊥平面EGH ，因为EO ⊂平面EGH ，所以EO DC ⊥，又GH ，DC 是平面ABCD 内两相交直线，所以EO ⊥平面ABCD ，在EGH 中，EG EH ==，2GH =，可得EO =，所以，四棱锥E ADGH -和F BCMN -的体积均为111(12)33ADGH V S EO =⋅=⨯⨯=三棱柱EGH FMN -的体积21222FGH V S EF ⎛=⋅=⨯⨯⨯= ⎝△所以，该五面体ABCDEF的体积为122VV +=.22.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2c b =，3a =，D 是边BC 上一点.（1）求cos 2cos b C b B +的值；（2）若1233AD AB AC =+ .①求证：AD 平分BAC ∠；②求ABC 面积的最大值及此时AD 的长.【答案】（1）3；（2）①证明见解析；②最大值为3，AD =.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得cos 2cos cos cos b C b B b C c B a +=+=，即得；（2）①设BAD∠=α，DAC β∠=，ADB θ∠=，由题可得2B D D C =，利用正弦定理可得sin sinbθα=，sin sin bθβ=进而即得；②利用余弦定理及面积公式可表示出三角形的面积，然后利用二次函数的性质或基本不等式可得ABC 面积的最大值，再利用余弦定理可求AD 的长.【小问1详解】因为2c b =，3a =，所以cos 2cos cos cos b C b B b C c B+=+222222322a b c a c b b c a ab ac+-+-=⋅+⋅==.【小问2详解】①因为1233AD AB AC =+，所以()()1233AD AB AC AD -=-，即2B D D C=，由3a=知，2BD =，1DC =，设BAD ∠=α，DAC β∠=，ADB θ∠=，在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，即22sin sin b αθ=，所以sin sin bθα=，在ACD △中，由正弦定理得，sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，即1sin sin()b βπθ=-，所以sin sin bθβ=，所以sin sin αβ=，即BAD DAC ∠=∠，所以AD 平分BAC ∠；②在ABC 中，因为2c b =，3a =，代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得，29(54cos )b A =-，而ABC 的面积21sin sin 2S bc A b A ==，解法1：因为2A α=，且α为锐角，所以2954cos 2bα=-，所以()()222229sin 218sin cos sin 54cos 25sin cos 4cos sin S b A αααααααα===-+--22218sin cos 18tan 181cos 9sin 19tan 9tan tan αααααααα===+++3≤=，当且仅当19tantanαα=，1tan3α=取等号，此时，10sinα=，4cos25α=，29554cos2bα==-即b=，c=，由ABC ABD ADCS S S=+得113sin sin22c AD b ADαα=⋅+⋅，解得AD=解法2：由29(54cos)b A=-得2259cos4bAb-=，所以22sinS b A b b==，所以当25b=即b=时，面积S最大为3，此时在ABC中，3a=，b=c=所以由余弦定理求得222cos25b a cCab+-==-，在ADC中，由余弦定理得2222cos8AD AC DC AC DC C=+-⋅=，所以此时AD=.。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

江苏省常州市溧阳六中学2020-2021学年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，函数在区间上的最大值是最小值的2倍，则( )A．2 B．3 C．D．4参考答案：A2. 已知函数. 则函数在区间上的最大值和最小值分别是 ( )A. 最大值为, 最小值为B. 最大值为, 最小值为C. 最大值为, 最小值为D. 最大值为, 最小值为参考答案：A3. 给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A．①② B．②③ C. ③④ D．①④参考答案：B4. 设Z，，则图中阴影部分表示的集合是A． B． C． D．参考答案：A略5. 根据人民网报道，2015年11月10日早上6时，绍兴的AQI（空气质量指数）达到290，属于重度污染，成为，成为74个公布PM2.5（细颗粒物）数据城市中空气质量最差的城市，保护环境，刻不容缓．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，可以把细颗粒物进行处理．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为y=x2﹣200x+80000．则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（）A．100元B．200元C．300元D．400元参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】通过记每吨细颗粒物的平均处理成本t（x）=化简可知t（x）=x+﹣200，利用基本不等式计算即得结论．【解答】解：依题意，300≤x≤600，记每吨细颗粒物的平均处理成本为t（x），则t（x）===x+﹣200，∵x+≥2=400，当且仅当x=即x=400时取等号，∴当x=400时t（x）取最小值400﹣200=200（元），故选：B．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．6. 设是上的奇函数，且，当时，，则等于（）A. B. C.D.参考答案：B略7. 对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( )A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)C.f(x)f(-x)D.f(x)f(-x)>0参考答案：C因为对于定义域是R的任意奇函数f(x)，f(x)=-f(-x)，故 f(x)f(-x)，成立，选C8. 函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合.则的解析式是( )A. B.C. D.参考答案：C9. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（）A．1 B．C． D．参考答案：B10. 若函数在区间上递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. a≥-3 D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于函数＝，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当 (k∈Z)时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于 (k∈Z)对称；④当且仅当 (k∈Z)时，0＜≤.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)参考答案：③、④略12. 定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．参考答案：[2，+∞）【考点】抽象函数及其应用．【分析】①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，可得f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；根据函数f（x）是R上的单调函数，asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．x∈（0，π），sinx≠0；a==sinx+﹣1，令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠0；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥2．故答案为：[2，+∞）．13. 采用简单随机抽样从含个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体前两次未被抽到，第三次被抽到的机会为______________整个过程中个体被抽中的机会是_________参考答案：（不论先后，被抽取的概率都是），0.414. 有一批产品共50个，将它们依次编号为01，02，…，50，现利用下面的随机数表选取10个样本进行产品质量抽查，选取方法是从随机数表第1行第3列的5和第4列的4组成数字54开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第8个样本的编号为______.参考答案：24【分析】自开始位置由左至右依次选取两个数字，选择小于51且不重复的数字，从而可确定第8个样本的编号.【详解】从随机数表第行的第列和第列的数字开始由左到右依次选取两个数字选择小于且不重复的数字，依次为，，，，，，，，，则第个样本编号为：本题正确结果：【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，属于基础题.15. 设函数，若，则实数a =参考答案：-4或2 当时，方程可化为；解得：当时，方程可化为；解得：（舍去），或综上可知，实数或.所以答案应填：-4,2..16. 函数的最小正周期为________．参考答案：略17. 若点在函数的图象上，则的值为 ．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{0，1，2}，，若A∩B＝B，则实数x的值为（）A．B．0C．1D．22．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米3．已知tanα＝2，则sinαcosα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知m是函数f（x）＝+2的零点，则实数m∈（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知角α的终边经过点，则sinα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总任储费用和最小为（）A．60万元B．160万元C．200万元D．240万元7．在平面直角坐标系中，是单位圆上的一段弧（如图），点P是圆弧上的动点，角α以Ox为始边，OP为终边．以下结论正确的是（）A．tanα＜cosα＜sinαB．cosα＜tanα＜sinαC．sinα＜cosα＜tanαD．以上答案都不对8．已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x2.若函数g（x）＝f（x）﹣a|x|有5个不同零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．[，1]D．（，1）二、多项选择题（共4小题）.9．下列命题中的真命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0C．∃x∈R，lgx＜2D．∃x∈R，tan x＝210．已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（）A．y＝g（x）是偶函数B．函数g（x）的单调递减区间为C．直线是函数g（x）的图象的对称轴D．函数g（x）在上的最小值为11．设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝2，那么（）A．a+b有最小值B．a+b有最小值C．ab有最小值D．ab有最大值12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”．下列对应法则f满足函数定义的有（）A．f（|x﹣2|）＝x B．f（sin x）＝2cos2x﹣1C．f（sin x）＝x D．f（x2+2x）＝|x+1|三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝log2（2x+1）的定义域为．14．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N＝N0•表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的.；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）16．如图，直线l是函数y＝x的图象，曲线C是函数x图象，P1为曲线C上纵坐标为1的点．过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；…，设点P1，P2，P3，…，P n的横坐标分别为x1，x2，x3，…，x n.若a，则x2020＝（用a表示）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知，求a+a﹣1的值；（2）计算：．18．已知集合A＝{x|1≤2x≤16}，B＝{x|m≤x≤m+2}．（1）若m＝3，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求m的取值范围．19．已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象可由的图象平移得到；③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）请写出满足f（x）的这两个条件序号，并说明理由；（2）求出f（x）的解析式；（3）求方程f（x）+1＝0在区间[﹣π，π]上所有解的和．20．已知函数为奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于m的不等式f（2m2）+f（m﹣3）≥0．21．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：sin20°＝0.3420，cos20°＝0.9397，tan20°＝0.3640）（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．①若小汽车卡在直角车道内（即点A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）∠PAB＝θ（rad），求水平截面的长（即AB的长，用θ表示）②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．结论1 ；结论2 若函数f（x）和函数g（x）都在区间I上单调递增，则函数f（x）+g（x）在区间I上单调递增．22．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．函数．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在x∈[e，e2]使得不等式f（lnx）﹣klnx≤0成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{0，1，2}，，若A∩B＝B，则实数x的值为（）A．B．0C．1D．2解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∵A＝{0，1，2}，∴，解得．故选：A．2．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝lr＝×45×＝270（平方米）．故选：B．3．已知tanα＝2，则sinαcosα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．解：∵tanα＝2，则sinαcosα＝＝＝，故选：B．4．已知m是函数f（x）＝+2的零点，则实数m∈（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：由f（x）＝可得，，结合幂函数及指数函数的性质可知，当x无限增加时，指数函数爆炸式增加，当0＜x＜1时，f（x）＞0恒成立，没有零点，因为f（1）＝1＞0，f（2）＝＜0，故在（1，2）上有零点，结合图象可知，当x＞2时，即y＝恒在y＝2x的下方．故m∈（1，2）．故选：B．5．已知角α的终边经过点，则sinα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．解：，∴P（﹣3，4），根据三角函数定义可知，＝，故选：D．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总任储费用和最小为（）A．60万元B．160万元C．200万元D．240万元解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：×6+4x≥2×＝240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．故选：D．7．在平面直角坐标系中，是单位圆上的一段弧（如图），点P是圆弧上的动点，角α以Ox为始边，OP为终边．以下结论正确的是（）A．tanα＜cosα＜sinαB．cosα＜tanα＜sinαC．sinα＜cosα＜tanαD．以上答案都不对解：由题设可得上的动点P的坐标为（cosα，sinα），A（cosθ1，sinθ1），B（cosθ2，sinθ2），其中＜θ1＜α＜θ2＜π，＜θ1＜＜θ2＜π，注意到当α∈（θ1，]，tanα≤﹣1，故按如下分类讨论：若＜θ1＜α≤，则sinα＞0，cosα＞﹣1，tanα≤﹣1，故sinα＞cosα＞tanα，若＜α≤θ2，则sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，且0＜sinθ2≤sinα＜，所以sin2θ2+sinθ2﹣1≤sin2α+sinα﹣1＜，因为＜θ2＜π，故0＜sinθ2＜，故﹣1＜sin2θ2+sinθ2﹣1＜，所以sin2θ2+sinθ2﹣1有正有负，所以sin2α+sinα﹣1有正有负，而tanα﹣cosα＝，cosα＜0，故tanα﹣cosα有正有负，故tanα，cosα大小关系不确定．故选：D．8．已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x2.若函数g（x）＝f（x）﹣a|x|有5个不同零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．[，1]D．（，1）解：原问题等价于函数f（x）与函数y＝a|x|有5个不同的交点，很明显，坐标原点为两函数的交点，且函数f（x）与函数y＝a|x|均为偶函数，则原问题转化为当x≥0时，函数f（x）与函数y＝ax有两个交点，绘制函数图象如图所示，由临界条件可得关于实数a的不等式组：，解得：，即实数a的取值范围是．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9．下列命题中的真命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0C．∃x∈R，lgx＜2D．∃x∈R，tan x＝2解：对于A，y＝2x﹣1的定义域为R，值域为（0，+∞），∀x∈R，2x﹣1＞0为真命题，则A 对；对于B，当x＝1∈N*时，（x﹣1）2＝0 不大于0，∀x∈N*，（x﹣1）2＞0为假命题，则B 错；对于C，当x＝1∈R时，lgx＝0＜2，∃x∈R，lgx＜2为真命题，则C对；对于D，当x＝arctan2∈R时，tan x＝a tan（rc tan2）＝2，∃x∈R，tan x＝2为真命题，则D 对；故选：ACD．10．已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（）A．y＝g（x）是偶函数B．函数g（x）的单调递减区间为C．直线是函数g（x）的图象的对称轴D．函数g（x）在上的最小值为解：将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin[4（x﹣）+]＝2sin（4x），再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，即g（x）＝2sin（4x）＝2sin（2x），则函数g（x）是奇函数，故A错误，由2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为，故B正确，由2x＝kπ+，得x＝+，即函数的对称轴为x＝+，则x＝kπ+也是对称轴，故C正确，当0≤x≤时，0≤2x≤，则当2x＝时，函数g（x）取得最小值，最小值2sin ＝﹣2×＝﹣，故D正确，故选：BCD．11．设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝2，那么（）A．a+b有最小值B．a+b有最小值C．ab有最小值D．ab有最大值解：因为a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝2，所以ab＝2+（a+b），当且仅当a＝b时取等号，解得，a+b，或a+b（舍），故a+b有最小值2+2，A正确，B错误；由ab﹣2＝a+b，当且仅当a＝b时取等号，解得，ab，即ab有最小值4+2，C正确，D错误．故选：AC．12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”．下列对应法则f满足函数定义的有（）A．f（|x﹣2|）＝x B．f（sin x）＝2cos2x﹣1C．f（sin x）＝x D．f（x2+2x）＝|x+1|解：根据函数的定义，对于定义域内的任意自变量，函数的值唯一确定的．对于一个自变量|x﹣2|，x的值不一定唯一，如|x﹣2|＝1时，x＝1或3，故f（|x﹣2|）＝x不满足函数的定义，故排除A；对于一个任意一个sin x，存在唯一确定的1﹣2sin2x＝2cos2x﹣1，故f（sin x）＝2cos2x﹣1满足函数的定义，故B可以．对于一个任意一个sin x，存在多个x的值，故（sin x）＝x不满足函数的定义，故排除C；对于一个x2+2x＝（x+1）2﹣1，则|x+1|的值唯一，故f（x2+2x）＝|x+1|满足函数的定义，故D可以，故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡指定位置上. 13．函数f（x）＝log2（2x+1）的定义域为（﹣，+∞）．解：由函数f（x）＝log2（2x+1），得2x+1＞0，解得x＞﹣，所以f（x）的定义域为（﹣，+∞）．故答案为：（﹣，+∞）．14．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是4．解：正数x，y满足x+y＝1，则＝（x+y）（+）≥2•2＝4，当且仅当x＝y＝，取得最小值4，故答案为：4．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N＝N0•表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的.；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）解：∵N＝N0•，∴当t＝5730时，N＝N0•2﹣1＝，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的．由题意可知：，两边同时取以2为底的对数得：，∴＝≈﹣1.2，∴t＜6876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：，6876．16．如图，直线l是函数y＝x的图象，曲线C是函数x图象，P1为曲线C上纵坐标为1的点．过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；…，设点P1，P2，P3，…，P n的横坐标分别为x1，x2，x3，…，x n.若a，则x2020＝（log a））（用a表示）解：由题意可求出P1，P2，P3，Q1，Q2，Q3点的坐标．P1（，1），Q2（，），P2（，），Q3（，），P3（（（）），（）），故P1的横坐标为x1＝，由log x2＝，可得x2＝（），由log x3＝（），可得x3＝（（）），所以若a，则x2019＝（log a），x2020＝（log a））．故答案为：（log a））．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知，求a+a﹣1的值；（2）计算：．解：（1）由题意知，平方可得，所以a+a﹣1＝7；（2）原式＝＝＝＝1+2＝3．18．已知集合A＝{x|1≤2x≤16}，B＝{x|m≤x≤m+2}．（1）若m＝3，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求m的取值范围．解：（1）A＝{x|1≤2x≤16}＝{x|20≤2x≤24}＝{x|0≤x≤4}，当m＝3时，B＝{x|3≤x≤5}，所以A∪B＝{x|0≤x≤5}；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，由题意知B≠∅，则，解得：0≤x≤2，所以m的取值范围为[0，2]．19．已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象可由的图象平移得到；③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）请写出满足f（x）的这两个条件序号，并说明理由；（2）求出f（x）的解析式；（3）求方程f（x）+1＝0在区间[﹣π，π]上所有解的和．解：（1）若①成立，则A＝2．若②成立，则A＝，ω＝1，若③成立，则＝，即T＝π，即＝π，则ω＝2．则满足条件的只能是①③，（2）由（1）知A＝2，ω＝2，则f（x）＝2sin（2x+）．（3）由f（x）+1＝0得f（x）＝﹣1，即2sin（2x+）＝﹣1，得sin（2x+）＝﹣，则2x+＝2kπ+或2x+＝2kπ+，得x＝kπ+或x＝kπ+，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴当k＝﹣1时，x＝﹣或x＝﹣，当k＝0时，x＝或x＝，则所有零点之和为﹣﹣++＝．20．已知函数为奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于m的不等式f（2m2）+f（m﹣3）≥0．解：（1）∵函数的定义域为R，且为奇函数，．∴f（0）＝0，即f（0）＝＝0，解得a＝﹣1，经检验，此时对任意的x都有f（﹣x）＝﹣f（﹣x），故a＝1．（2）由（1）可知f（x）＝＝1﹣，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣+＝，∵x1＜x2，∴＜，即﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＝＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．（3）∵f（x）是奇函数，∴f（2m2）+f（m﹣3）≥0等价为f（2m2）≥﹣f（m﹣3）＝f（3﹣m），∵f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．∴2m2≥3﹣m，即2m2+m﹣3≥0，解得m≤﹣或m≥1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．21．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：sin20°＝0.3420，cos20°＝0.9397，tan20°＝0.3640）（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．①若小汽车卡在直角车道内（即点A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）∠PAB＝θ（rad），求水平截面的长（即AB的长，用θ表示）②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．结论1 ；结论2 若函数f（x）和函数g（x）都在区间I上单调递增，则函数f（x）+g（x）在区间I上单调递增．解：（1）在△ABE中，∠ABE＝90°，∠BAE＝20°，则tan，又AB＝10，∴BE＝AB•tan∠BAE＝10tan20°≈3.6m，∵BC＝0.6m，∴CE＝BE﹣BC＝3m，在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD＝∠BAE＝20°，∴cos，∴CD＝CE•cos∠ECD＝3cos20°≈3×0.94≈2.8m；（2）①延长CD与直角走廊的边相交于E，F，则EF＝OE+OF＝，其中0＜θ＜，∴DE＝，CF＝BC•tanθ＝1.8tanθ，又∵AB＝DC＝EF﹣（DE+CF），∴AB的长f（θ）＝＝，其中0＜θ＜；②由①知f（θ）＝，其中0＜θ＜，令sinθ+cosθ＝t，则t＝，∴1＜t≤，则sinθcosθ＝．故f（θ）＝g（t）＝，1＜t≤，g′（t）＝﹣，当t∈（1，]时，g′（t）＜0恒成立，则g（t）在（1，]上为减函数，∴＞4.4．∴此车能顺利通过此直角拐弯车道．22．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．函数．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在x∈[e，e2]使得不等式f（lnx）﹣klnx≤0成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的范围．解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）对称轴为x＝1，所以函数g（x）在[2，3]上单调递增，所以g（x）max＝g（3）＝3a+b＝4，g（x）min＝g（2）＝b＝1，解得a＝1，所以g（x）＝x2﹣2x+1＝（m﹣1）2．（2）f（x）＝x﹣﹣2，x∈[e，e2]所以不等式f（lnx）﹣klnx≤0，变为≤k，令t＝lnx，t∈[1，2]所以不等式化为≤k，即1﹣+≤k，所以（﹣1）2≤k，所以0≤k≤，所以实数k的取值范围[0，]．（3）＝+﹣2k有三个零点，则g（|3x﹣1|）+3k﹣2k•|3x﹣1|＝0有三个根，令m＝|3x﹣1|，作出函数图象：则（m﹣1）2+3k﹣2km＝0，即m2﹣（2k+2）m+3k+1＝0有两个根m1，m2，其中0＜m1＜1，m2＞1或0＜m1＜1，m2＝0，记h（m）＝m2﹣（2k+2）m+3k+1，所以或解得﹣＜k＜0，所以实数k的取值范围为（﹣，0）．。