【精准解析】江苏省常州市溧阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在一次数学测试中，成绩在区间上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为A. ￢￢B. ￢C. ￢￢D.【答案】A【解析】解：由题意值￢是“甲测试成绩不优秀”，￢是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用￢￢表示，故选：A．求出￢，￢，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在抛物线--，即，，，焦点坐标是，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3. 的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的充要条件为对于A是的充要条件对于B，是的充分不必要条件对于C，的不充分不必要条件对于D，是的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4. 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为，由，可得，即，双曲线的渐近线方程为，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点靠近，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得，故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6. 点到直线的距离为d，则d的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】A【解析】解：直线即，令，解得，．可得直线经过定点．则当时，d取得最大值．．故选：A．直线即，令，解得直线经过定点则当时，d取得最大值．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 如图：在直棱柱中，，，P，Q，M分别是，BC，的中点，则直线PQ与AM所成的角是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则0，，2，，0，，1，．，．．直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8. 《九章算术商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为A. 40B.C. 50D.【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取的中点N，连结MN，BN，，，三棱台的表面积为：梯形梯形梯形．故选：B．取的中点N，连结MN，BN，则三棱台的表面积为梯形梯形梯形．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，，．则，则左焦点．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为．设l与椭圆相交于、，联立，得：．则PQ的中点M的横坐标为．是以OF为底边的等腰三角形，，解得：．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则A. B. C. D. P【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，当直线m的斜率不存在时，，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立，得，消去y整理得，，又，，，．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立消去y得的值；利用求出的值，再求的值，从而求得的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11. 已知椭圆C的两个焦点分别是，，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为，，若为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设椭圆方程为．由为等腰直角三角形，且，得，解得，．则椭圆C的方程为．则，．设，则，得，，，，又，，解得：．斜率的取值范围是．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出，的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12. 如图：已知双曲线中，，为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，，，，在线段BF上不含端点有且仅有两个不同的点，使得，可得，，，．故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线离心率e 的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. “”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：，”是真命题，则，解得：故答案为：．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14. 已知，若三向量共面，则实数______．【答案】【解析】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，，解得，，．故答案为：．推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则CD的长为______．【答案】【解析】解：由条件，知，．所以所以．故答案为：．由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16. 椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为______．【答案】或或【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：，则；图2中：，则；图3中，，则．椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：方程表示双曲线；命题q：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：p真：得或，q真：，￢是￢的充分不必要条件，若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，，则有或，或，即实数k的取值范围是或．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18. 在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．【答案】解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．【解析】Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19. 如图：直三棱柱中，，，，D为棱上的一动点，M，N分别是，的重心，求证：；若点C在上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：有题意知，，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，则0，，2，，0，，2，设0，，0，，N分别为和，的重心，，，．解：在上的射影为M，面ABD，，又，，得，解得得，或舍，，，设面ABD的法向量为y，，则，取，得1，，设DN与平面ABD所成角为则，与平面ABD所成角的正弦值为．【解析】由，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明．求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 设抛物线C：，点，过点P作直线l，若l与C只有一个公共点，求l的方程过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长；以A，B为直径的圆的方程．【答案】解：若l的斜率不存在，则l：，符合题意；分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：；分由，消去y得，由，解得或，直线l的方程为：或；分综上所述，直线l的方程为：或或；分抛物线的焦点为，直线l的方程为：；设，，由，消去x得，；又，；分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为，则，，圆心为，所求圆的方程为；综上所述，，所求圆的方程为分．【解析】讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长，再求以AB为直径的圆的方程．本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题．21. 如图，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，，，现将梯形沿CB，DA折起，使且，得一简单组合体ABCDEF如图示，已知M，N分别为AF，BD 的中点．Ⅰ求证：平面BCF；Ⅱ若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【答案】证明：Ⅰ连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，为AC中点．在中，M为AF中点，故．平面BCF，平面BCF，平面BCF．Ⅱ依题意知，且平面ABFE，在面ABFE上的射影是AE．就是DE与平面ABFE所成的角．故在中：．设且，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．【解析】连结AC，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面BCF．先由线面垂直的判定定理可证得平面ABFE，可知就是DE与平面ABFE所成的角，解，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．22. 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ，所求椭圆E的方程为：分Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，把代入整理得：，分假设存在定点，使得为定值当且仅当，即时，为定值这时分再验证当直线l的倾斜角时的情形，此时取，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．【解析】Ⅰ，由此能导出所求椭圆E的方程．Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，由，整理得：，，假设存在定点，使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活。

江苏省常州市教育学会2019—2020学年上学期学生学业水平监测高二数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．如果a ＜b ＜0，c ∈R ，那么A ．a ﹣b ＞0B ．ac ＜bcC ．a 2＜b 2D ．11a b> 2．在等差数列{}n a 中，已知11a =，358a a +=，则7a ＝A ．5B ．6C ．7D ．8 3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为A ．28y x = B ．2x y = C ．28y x =或2x y =D ．无法确定 4．命题“x ∃∈(0，+∞)，ln 1x x =-”的否定是A ．x ∀∈(0，+∞)，ln 1x x ≠-B ．x ∀∉(0，+∞)，ln 1x x =-C ．x ∃∈(0，+∞)，ln 1x x ≠-D ．x ∃∉(0，+∞)，ln 1x x =-5．椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左右焦点分别是F 1，F 2，若AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为A ．14 B C ．12D 26．在下列函数中，最小值为2的是 A ．55x y x=+(x ∈R 且x ≠0) B ．1lg lg y x x =+(1＜x ＜10)C ．33xxy -=+(x ∈R) D ．1sin sin y x x =+(0＜x ＜2π) 7．已知空间向量m u r ＝(1，3，x )，n r ＝(x 2，﹣1，2)，则“x ＝1”是“m u r ⊥n r”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝S ，xy ＝P ，则下列说法中正确的是 A ．当且仅当x ＝y 时S 取得最小值2PB ．当且仅当x ＝y 时P 取得最大值2S 4C ．当且仅当P 为定值时S 取得最小值2PD ．当且仅当S 为定值且x ＝y 时P 取得最大值2S 49．《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为 A ．12.5尺 B ．10.5尺 C ．15.5尺 D ．9.5尺10．已知离心率为2的双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O 、A 两点．若△AOF 的面积为2，则实数a 的值为A ．2B ．22C ．4D ．8 11．如图，在三棱锥C —OAB 中，OA ⊥OB ，OC ⊥平面OAB ，OA ＝6，OB ＝OC ＝8，点D 、E 分别为AC ，AB 的中点，点F 在线段BC 上．若BF ＝34BC ，则异面直线EF 与OD 所成角的余弦值为 A ．37-B ．37C ．47-D ．47第11题 12．已知F 为椭圆M ：2212x y +=的右焦点，点A ，B ，C 为椭圆M 上三点，当FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r0=r时，称△ABC 为 “和谐三角形”，则“和谐三角形”有A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．不等式2131x x -+＞1的解集是 ． 14．己知正数a ，b 满足4a ＋b ＝l ，则1ab ab+的最小值为 ． 15．若数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 满足 2log n n b a =+21221log log n n a a ++⋅(N n *∈)，则数列{}n b 的前10项和为 ．16．点P 为椭圆2212516x y +=上一点，M 、N 分别是圆22(3)4x y ++=和22(3)1x y -+=上的动点，则PM ＋PN 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知p ：x 2﹣7x ＋10＜0，q ：x 2﹣4mx ＋3m 2＜0，其中m ＞0． （1）求使得P 为真命题的实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项．数列{}n b 中，1b ＝2，点P(n b ，1n b +)在直线y ＝x ＋2上．（1）求1a 和2a 的值；（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（3）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，两条公路垂直相交于A站，已知AB＝100千米，甲车从A站出发，沿AC方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙车从B站出发，沿BA方向以v千米/小时的速度行驶．乙车行驶至A站时停止前行并停留在A站，甲车仍继续行驶（两车的车长均忽略不计）．（1）求甲、乙两车的最近距离（用含v的式子表示）；（2）若甲、乙两车开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为t0小时，问v为何值时t0最大?20．（本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1, AC＝AA1＝2，AD＝CD＝5．（1）求二面角D1—AC—B1的正弦值；（2）点N是线段D1D的中点，点E为线段A1B1上点，若直线NE与平面ABCD所成角的正弦值为367，求线段A1E的长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的离心率为32，左右焦点分别为F1，F2，焦距为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为14-的直线分别与椭圆交于M，N点．试问直线MN是否过某定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．22．（本小题满分12分）己知数列{}n a 中，n a ＞0，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=． （1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T，若n k -≥0 对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．。

2019-2020学年江苏省常州市溧阳戴埠高级中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法正确的个数有（）①用刻画回归效果，当越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好②＂已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应＂是演绎推理③一枚硬币掷一次得到正面的概率是，那么掷两次一定会出现一次正面的情况④若，则事件A是必然事件A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个参考答案：A2. 在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．63参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得a4+a5+a6=3a5，代入化简可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a4+a6=2a5，∴a4+a5+a6=3a5=3×21=63故选D【点评】本题考查等差数列的性质，划归为a5是解决问题的关键，属基础题．3. 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20,30）内的概率为 ( )A．0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6参考答案：C4. 设是向量，命题“若，则”的逆命题是( )若，则若，则若，则若，则参考答案：A5. 下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一实数λ使=λB．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”C．已知向量、为非零向量，则“、的夹角为钝角”的充要条件是“＜0”D．若命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据向量共线定理判断A，条件否定，结论否定，可判断B，向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0，且向量，不共线”可判断C；命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1≤0，可判断D．解答：解：若向量∥，≠，则存在唯一的实数λ使=λ，故A不正确；条件否定，结论否定，可知B正确；已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0，且向量，不共线”，故不C正确；若命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1≤0，故D不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．6. 已知奇函数是定义在R上的减函数，且，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.【详解】，即：又是定义在上的减函数又为奇函数，即：本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.7. 执行如右图所示的程序框图，输出的S值为( )A．－3 B．－ C. D．2参考答案：D8. 已知实数a，b∈{1，3，5，7}，那么的不同值有（）A． 12个B．13个C．16个D．17个参考答案：B略9. 圆在点处的切线方程为（▲）A．B．C．D．参考答案：B略10. 已知集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，则M∩N等于（）A．{2} B．{2，3} C．{1，3} D．{1，2，3，4，5}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】由题意和交集的运算直接求出M∩N．【解答】解：因为集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，所以M∩N={1，3}，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若利用计算机在区间上产生两个不等的随机数和，则方程有不等实数根的概率为 .参考答案：12. 已知以坐标轴为对称轴且离心率等于2的双曲线的一个焦点与抛物线x=y2的焦点重合，则该双曲线的方程为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（2，0），从而得出双曲线的右焦点为F（2，0）．再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，得抛物线的焦点为（2，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y2=8x的焦点重合，∴双曲线的右焦点为F（2，0）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=4…①∵双曲线的离心率为2，∴，即…②由①②联解，得a2=1，b2=3，所以该双曲线的方程为，故答案为：．【点评】本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点，求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．13. 抛物线的焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为_______________参考答案：略14. 若复数（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=________。

2019-2020年高二上学期期末考试数学试题 含答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若ab >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．acbc > B ．22a b > C ．a c b c +>+ D ．22ac bc >2.设数列,,,,…，则是这个数列的 （ ）A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项 3.已知△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且a b ==,B ＝60°那么角A 等于( )A.30° B ．45° C ．135° D ．135°或45°4. 在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝ ( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 5.若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是A ． 0B ．21 C ．1 D ． 26.对赋值语句的描述正确的是 （ ）①可以给变量提供初值 ②将表达式的值赋给变量 ③可以给一个变量重复赋值 ④不能给同一变量重复赋值A. ①②③B. ①②C. ②③④D. ①②④7.已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于( )A.13-B.－3C.13D.3 8.设a 、b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是( ) A ．－2 2 B ．－533 C ．－3 D ．－729.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．610.某单位有老年人28人，中年人44人，青年人72人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样 11.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最多一组学生数为a ，视力在4.6到5.0之间的频率为b ，则a , b 的值分别为（ ）A ．0.27, 78B ．54 , 0.78C ．27, 0.78D ．54, 7812.钝角△ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为( ) A ．1,2,3 B ．2,3,4 C ．3,4,5D ．4,5,6 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13. 已知样本9,10,11,x,y 的平均数是10，则xy = 。

江苏省常州市溧阳第三职业高级中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于（）A． B．C．D．参考答案：A2. 设函数的定义域是，其图象如图(其中)，那么不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：C3. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）Ａ．假设都是偶数Ｂ．假设都不是偶数Ｃ．假设至多有一个是偶数Ｄ．假设至多有两个是偶数参考答案：B4. 判断下列命题的真假，其中为真命题的是（）A． B．C． D．参考答案：D5. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A. B. AB与CD相交C. D. AB与CD所成的角为参考答案：D将平面展开图还原成几何体，易知AB与CD所成的角为，选D。

6. 关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件[学*科*网]C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件参考答案：D略7. 椭圆的左顶点与右焦点的距离是（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：C略8. 双曲线的两个焦点为、，双曲线上一点到的距离为12，则到的距离为（）A. 17B.22C. 7或17D. 2或22参考答案：D略9. 满足线性约束条件的目标函数的最大值是( ）A． B.C．D．参考答案：C略10. 在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有( )①A: “所取3件中至多2件次品”， B : “所取3件中至少2件为次品”；②A: “所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③B．②③C．②④D．③④参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合的取值区间是.参考答案：12. 如图，侧棱长为的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=400 ，过A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为参考答案：613. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为。

江苏省常州市溧阳南渡中学2019年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知,若,则下列不等式成立的是（）A． B． C．D．参考答案：D2. 若命题，则是（）A． B．C． D．参考答案：D3. 已知，且，则的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：C4. 若的二项展开式各项系数和为256，i为虚数单位，则复数的运算结果为（）A.－16B. 16C. －4D. 4参考答案：C【详解】分析：利用赋值法求得，再按复数的乘方法则计算．详解：令，得，，∴．故选C．点睛：在二项式的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为，二项式系数和为，两者不能混淆．5. 设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是A．与具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加，则其体重约增加D．若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为参考答案：D略6. 某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.A.36B.37C.41D.42参考答案：B7. 已知P={﹣1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，则P∩Q=( )A．? B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，}参考答案：C考点：交集及其运算；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：由题意P={﹣1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，利用三角函数的值域解出集合Q，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．解答：解：∵Q={y|y=sin θ，θ∈R}，∴Q={y|﹣1≤y≤1}，∵P={﹣1，0，}，∴P∩Q={﹣1，0}故选C．点评：本题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键是明确集合中元素代表的意义．8. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，、，两点，若，则等于（）A．4p B．5p C．6p D．8p参考答案：A略9. 如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数的图象可能是( )参考答案：A略10. 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在区间（0，1）上随机取两个数m, n,则关于x的一元二次方程有实根的概率为参考答案：略12. 对于函数f（x）=xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）=2，则x0=e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）参考答案：②③⑤【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域、导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而判断结论即可．【解答】解：f（x）=xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误；f′（x）=lnx+1，令f′（x0）=2，即lnx0+1=2，解得：x0=e，故②正确；令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得：x＞，∴f（x）的单调递增区间是[，+∞），故③正确；由f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，得：f（x）的最小值是f（）=﹣，故f（x）的值域是[﹣，+∞），故④错误；故该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点，⑤正确；故答案为：②③⑤．13. 根据要求，将算法补充完整.（1）判断任意输入的数是否大于2,若是，输出其平方值；若不是，输出其相反数.输入；If ThenElseEnd If（2）输入两个数，输出其中较大的数.输入；If Then输出ElseEnd If参考答案：，略14. 边长为4的正四面体中，为的中点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为参考答案：略15. 已知=2， =3， =4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= ．参考答案：41【考点】类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2， =3， =4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．16. 抛物线的焦点到直线的距离是．参考答案：117. 右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为______________.参考答案：9略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省常州市溧阳职业高级中学2019-2020学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={x|（x﹣1）（3﹣x）＜0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣2，1） B．（1，2] C．[﹣2，﹣1）D．（﹣1，2]参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（3﹣x）＜0}={x|（x﹣1）（x﹣3）＞0}={x|＜1或x＞3}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={x|﹣2≤x＜1}=[﹣2，1）．故选：A．2. 若正实数a，b，c满足，则2a+b+c的最小值为（）A．2 B．1C．D．2参考答案：D由题得：因为a2+ac+ab+bc=2，故选D.3. 命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则参考答案：A4. 函数y=﹣的最大值是（）A．2B．10 C．D．0参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义；两点间距离公式的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由配方可得函数表示x轴上的一点P（x，0）与点A（2，3）和B（0，1）的距离之差，连接AB延长交x轴于P，由|PA|﹣|PB|≤|AB|，运用两点的距离公式，计算即可得到最大值．【解答】解：函数y=﹣=﹣，表示x轴上的一点P（x，0）与点A（2，3）和B（0，1）的距离之差，如图，连接AB延长交x轴于P，由k AB=k AP=1，可得P（﹣1，0）．|PA|﹣|PB|≤|AB|，由|AB|==2，故最大值为2．故选A．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义，结合三点共线知识，考查运算能力，属于中档题．5. 已知随机变量X服从正态分布且P（X≤4）=0.88，则P（0＜X＜4）=（）A. 0.88B. 0.76C. 0.24D. 0.12参考答案：B【分析】正态曲线关于对称，利用已知条件转化求解概率即可。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等比数列中，，，则该数列的公比q为A. 2B. 1C.D.【答案】D【解析】解：等比数列中，，，该数列的公比．故选：D．根据等比数列的通项公式，利用，即可求出q的值．本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为抛物线的准线方程为，则由题意知，点是双曲线的左焦点，所以，又双曲线的一条渐近线方程是，所以，解得，，所以双曲线的方程为．故选：B．由抛物线标准方程易得其准线方程为，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x 轴上，则双曲线的左焦点为，此时由双曲线的性质可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，可得，则得a、b 的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．3.在三棱柱中，D是的中点，F是的中点，且，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，，，，故选：A．根据向量加法的多边形法则可得，，从而可求，．本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．4.已知点在函数的图象上，则数列的前n项和的最小值为A. 36B.C. 6D.【答案】B【解析】解：点在函数的图象上，则，，当时，取得最小值为．故选：B．点在函数的图象上，的，，由二次函数性质，求得的最小值本题考查了等差数列前n项和的最小值，属于基础题．5.“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得，即“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的性质是解决本题的关键．6.下列结论错误的是A. 命题p：“，使得”，则￢：“，”B. “”是“”的充分不必要条件C. 等比数列2，x，8，中的D. 已知a，，，则的最小值为8．【答案】D【解析】解：对于命题p：，，则￢：，使得，正确；对于B，“”“，或”，故“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于C，等比数列2，x，8，中的，正确；对于D，由于a，，，则，当且仅当时，，取等号，所以D不正确．故选：D．对于A：利用命题的否定定义即可得出；根据充要条件的定义，可判断B；利用等比数列的通项公式求解即可判断C的正误；所求式子乘以1，而1用代换；判断D的正误；本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，难度中档．7.若不等式对于一切恒成立，则a的最小值是A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：不等式对于一切恒成立，即有对于一切恒成立．由于的导数为，当时，，函数y递减．则当时，y取得最小值且为，则有，解得．则a的最小值为．故选：C．由题意可得对于一切恒成立运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令不大于最小值即可．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．8.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】解：由函数的图象可知，，，并且当时，，当，，函数有极大值．又当时，，当时，，故函数有极小值．故选：D．利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9.如图，长方体中，，点E，F，G分别是，AB，的中点，则异面直线与GF所成的角是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意：是长方体，E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，为异面直线与GF所成的角．连接，在三角形中，，，，，．，即异面直线与GF所成的角为．故选：A．异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，那么就是异面直线与GF 所成的角．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.已知a，，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：a，，且，设，，则，即为，由a，b为二次方程的两根，可得，解得，则的取值范围是．故选：A．a，，设，，，由a，b为二次方程的两根，运用判别式法，解二次不等式即可得到所求范围．本题考查了换元法和构造法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数的定义域为R，并且满足，且当时其导函数满足2f{{'}}(x)'/>，若则A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数对定义域R内的任意x都有，关于直线对称；又当时其导函数满足，当时，，在上的单调递增；同理可得，当时，在单调递减；，，，又，，在上的单调递增；故选：C．由，可知函数关于直线对称，由，可知在与上的单调性，从而可得答案．本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断在与上的单调性是关键，属于中档题．12.已知点，分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，，得，则，则，则，，，若，则只要即可，则，即，即，则，即，则，得，，，故选：B．求出交点M，N的坐标，若，则只要即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的关系转化为求是解决本题的关键考查学生的转化能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则k的值为______．【答案】【解析】解：；；；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算．14.若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是______．【答案】或【解析】解：若“”是“”表示，则，，则，即实数a的取值范围是，故答案为：根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键．15.若数列的前n项和为，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】解：当时，，解得当时，，整理可得，即，故数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，故当时，，经验证当时，上式也适合，故答案为：把代入已知式子可得数列的首项，由时，，可得数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式分段可得答案．本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．16.设点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则M，N两点间的距离的最小值为______．【答案】2【解析】解：当时，0'/>，函数在上单调递增．点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则，即，则M，N两点间的距离为．令，，则，，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故的最小值为，即M，N两点间的距离的最小值为2，故答案为2．求出导函数，根据题意可知，令，求出其导函数，进而求得的最小值即为M、N两点间的最短距离．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知是首项为1的等比数列的前n项的和，，，成等差数列，求的值；若，求．【答案】解：由题意，，显然，分，分解得分，分，分两式相减，得分分，分分【解析】利用已知条件，列出方程求解的值；化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.已知函数在点处的切线方程是．求实数a，b的值；求函数在上的最大值和最小值其中e是自然对数的底数．【答案】解：因为，，分则，，函数在点处的切线方程为：，分直线过点，则由题意得，即，分由得，函数的定义域为，分，，0⇒x > 2'/>，在上单调递减，在上单调递增分故在上单调递减，在上单调递增，分在上的最小值为分又，，且．在上的最大值为分综上，在上的最大值为，最小值为分【解析】求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数在上的最大值和最小值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，，点E是PD的中点．求证：平面AEC；求二面角的大小．【答案】解：平面ABCD，AB，平面ABCD，，且．以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；分证明：，0，，，，设平面AEC的法向量为，则，取，得．又2，，所以，，又平面AEC，因此：平面分平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，则，得：所以二面角的大小为分【解析】由已知得，，且以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；设平面AEC的法向量为，由，得平面AEC 求出平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，，可得二面角的大小本题考查了空间线面平行的判定，及向量法求二面角，属于中档题．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知米，米．Ⅰ要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？Ⅱ当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【答案】解：Ⅰ设DN的长为米，则米，由得又得解得：或即DN的长取值范围是Ⅱ矩形花坛的面积为当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】Ⅰ设DN的长为米，则米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．21.已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．求椭圆的标准方程；是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．【答案】解：抛物线的焦点是，，，又椭圆的离心率为，即，，则故椭圆的方程为；分由题意得直线l的方程为，由，消去y得，由，解得．又，．设，，则，．分，，分分若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，即，分解得或又，．即存在使以线段AB为直径的圆经过点分【解析】由抛物线得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离心率可求出c，a 的值，由，求出b，则椭圆的方程可求；由题意得直线l的方程为，联立，消去y得，由，解得m的范围，设，，则，，求出，由，，求出，若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，求出实数m的值即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力和计算能力，是中档题．22.已知函数，其中e为自然对数的底数，Ⅰ判断函数的单调性，并说明理由Ⅱ若，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，得，当时，，为R上的减函数；当时，令，得，若，则，此时为的单调减函数；若，则，此时为的单调增函数．综上所述，当时，为R上的减函数；当时，若，为的单调减函数；若，为的单调增函数．Ⅱ由题意，，不等式恒成立，等价于恒成立，即，恒成立．令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值．由，函数在上单调递减，令，，．在上也是减函数，在上也是减函数，在上的最大值为．故，不等式恒成立的实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，然后对a分类，当时，，为R上的减函数；当时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；Ⅱ，不等式恒成立，等价于恒成立，分离参数a，可得恒成立令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值，然后利用导数求得函数在上的最大值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，训练了利用分离变量法求函数的最值，是中档题．。

江苏省常州市溧阳戴埠高级中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数的最小正周期为，且，则（）A. B.C. D.参考答案：D2. 等差数列的前项和为,且则公差等于（）A.1B.C. 2D. 3参考答案：C3. 若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为( ).A. B. C. D.参考答案：D略4. 如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值是（）A．B．C．D．参考答案：D以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，∴A（1，0，0），E（1，，1），B（1，1，0）D1（0，0，1），∴=（0，，1），=（0，1，0），=（﹣1，0，1），设平面ABC1D1的法向量，则∴∴，设直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角为θ，则sinθ=.故答案为:D.5. 已知函数（为常数），在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为( ) ．A. B. C. D.参考答案：A6. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程=3-5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程=bx+a必过；④匀速直线运动的路程和时间之间具有线性相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中正确的个数是 ( )A．1 B.2 C.3 D.4本题可以参考两个分类变量x和y有关系的可信度表:参考答案：B略7. 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e参考答案：B【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；8. 已知命题P：函数y=sin x在x=a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切；则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的图象和性质，可得命题p：a=1+4k，k∈Z；根据直线与圆的位置关系，可得命题q：a=1，或a=9，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：当x=+2kπ，k∈Z，即x=1+4k，k∈Z时，函数取到最大值；故命题p：a=1+4k，k∈Z；若直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切，则=2，解得：a=1，或a=9，即命题q：a=1，或a=9，故p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，函数的最值及其几何意义，直线与圆的位置关系，难度中档．9. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙参考答案：B【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．【解答】解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．10. 已知直线m，n和平面α，满足m?α，n⊥α，则直线m，n的关系是（）A．平行B．异面C．垂直D．平行或异面参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面垂直的性质可得结论．【解答】解：∵n⊥α，m?α，∴根据线面垂直的性质可得n⊥m．故选C．【点评】本题考查根据线面垂直的性质，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA=2，底面的边AC=2，则由该三棱锥的表面积为．参考答案：6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意：该三棱锥的底面正三角形的边长为2，侧棱长为2，求出各个面的面积，相加即可．【解答】解：正三棱锥V ﹣ABC 中，侧棱长VA=2，底面三角形的边长AC=2，可得底面面积为：×2×2×sin60°=3，侧面的侧高为： =1，故每个侧面的面积为：×2×1=，故该三棱锥的表面积为3+3×=6．故答案为：6．12. 设函数表示除以2的余数，表示除以3的余数，则对任意的，给出以下式子：①②③④，其中正确式子的编号为参考答案：③④略13. 将正奇数按一定规律填在5列的数表中，则第51行，自左向右的第3列的数是40514. 阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为20π，则椭圆C的标准方程为______.参考答案：【分析】设椭圆的标准方程为，利用椭圆的面积为以及离心率的值，求出、的值，从而可得出椭圆的标准方程。

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设x∈R，则“2x>4”是“x2+2x−3>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=12,S5=90，则等差数列{a n}的公差d=A. 2B. 32C. 3D. 43.若对于任意的x∈[0,2]，不等式x2−2x+a>0恒成立，则a的取值范围为()A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. [1,+∞)4.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足(a i+1ai )12=2(i=1,2,…,12).若某一半音与的频率之比为√23，则该半音为()频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音C D E F G A B C(八度)A. B. G C. D. A5.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D=3MD，AN=2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为()A. 2√55B. √55C. −√33D. √246.航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点F1.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为14r，近地点B与地球表面的距离为18r，则地球同步转移轨道的离心率为()A. 13B. 18C. 117D. 1197.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则1a +4b的最小值为()A. √22B. √2 C. 5√24D. 2√28.如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，P是底面A1B1C1内一动点，直线PA和底面ABC所成角是定值，则满足条件的点P的轨迹是()A. 直线的一部分B. 圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 椭圆的一部分二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列结论正确的是()A. 若a>b>0，则1a <2bB. 若a，b>0，4b+a=ab，则a+b的最小值为10C. 函数f(x)=1x−1+x的最小值是3D. 若a>b>c，a+b+c=0，则ca−c >cb−c10.如图，正方体ADCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是()A. 直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于π4B. 点C 到面ABC 1D 1的距离为√22C. 两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为π4D. 二面角C −BC 1−D 的平面角的余弦值为−√3311. 已知曲线C ：x 2m+y 2n=1，( )A. 若m >n >0，则C 是焦点在x 轴上的椭圆B. 若m =2n(n >0)，则C 是椭圆，且其离心率为√32C. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为x 2m +y2n =0 D. 若m =−2n ，则C 是双曲线，其离心率为√3或√6212. 已知等比数列{a n }的公比q =−12，等差数列{b n }的首项b 1=18，若a 8>b 8且a 9>b 9，则以下结论正确的有( )A. a 8>a 9B. a 8⋅a 9<0C. b 9>b 8D. b 10<0三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点A(1,2，3)，B(0,1，2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ． 14. 已知双曲线C 过点(3,√2)且渐近线为y =±√33x ，则双曲线C 的标准方程为______15. 某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米.现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为______ 米.16. 如图，已知直线l ：y =x 与曲线C ：y =log 12x ，设P 1为曲线C 上纵坐标为1的点，过P 1作y 轴的平行线交l 于Q 2，过Q 2作y 轴的垂线交曲线C 于P 2；再过P 2作y 轴的平行线交l 于点Q 3，过Q 3作y 轴的垂线交曲线C 于P 3；……，设点P 1，P 2，P 3，…，P n 的横坐标分别为a 1，a 2，a 3，…a n .若a 2019=t.则a 2020= ______ 用t 表示)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①a n+1−a n=−13，②a n+1=a n+n−8，③a n+1a n=−12这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设S n是数列{αn}的前n项和，且a1=4，_______，补充完后．(1)求{a n}的通项公式；(2)判断S n是否存在最大值(说明理由)．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．(1)证明：EF⊥CD．(2)若SD=8，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足√S n=√S n−1+2(n≥2,n∈N)，且a1=4．(1)求数列{a n}的前n项和S n及通项公式a n(2)记b n=16，T n为{b n}的前n项和，求T n．a n⋅a n+120.如图，在四棱锥S−ABCD中，ABCD为直角梯形，AD//BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4，E为线段BS上一点，BE=λES．(1)若λ=2，证明：SD//平面ACE；(2)若二面角S−AC−E的余弦值为1，求λ的值．321.圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为2√3，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8.由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住．(1)求抛物线C1的方程；(2)若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长；(3)在(2)的条件下，求线段PQ的长．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，左焦点为F′，且椭圆C上的点与两个焦点F，F′所构成的三角形的面积的最大值为√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，已知P，Q两点是位于x轴同侧的椭圆上的两点，且直线PF，QF的斜率之和为0，试问△PFQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由2x>4⇒x>2，由x2+2x−3>0⇒(x−1)(x+3)>0，解得：x<−3或x>1，由x>2，能够推出x2+2x−3>0，故“2x>4”是“x2+2x−3>0”的充分条件，由x<−3或x>1，不能够推出2x>4，故“2x>4”是“x2+2x−3>0”的不必要条件．故选：A．解不等式，根据取值范围即可判断逻辑关系．本题考查了不等式的解法，充分条件和必要条件的判断，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵a1=12，S5=90，d=90，∴5×12+5×42解得d=3．故选：C．利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：不等式x2−2x+a>0，转化为a>−x2+2x，设f(x)=−x2+2x，x∈[0,2]，则f(x)=−(x−1)2+1，当x=1时，f(x)取得最大值为f(x)max=f(1)=1，所以实数a的取值范围是(1,+∞)．故选：B．不等式x2−2x+a>0恒成立转化为a>−x2+2x恒成立，求出f(x)=−x2+2x，x∈[0,2]的最大值，即可得出实数a的取值范围．本题考查了不等式解法与应用问题，考查了转化思想，是中档题．【解析】解：∵(a i+1ai)12=2(i=1,2,…,12)，∴(a i+1a i )12=2，∴a i+1a i=2112，∴数列{a n}是公比q=2112的等比数列，，a8=a4q4=D#×(2112)4=D#×√23=G，∴GD#=√23，故选：B．由题意可知a i+1a i=2112，所以数列{a n}是公比q=2112的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出结果．本题主要考查了简单的合情推理，考查了等比数列的实际应用，是基础题．5.【答案】A【解析】解：取线段AD上一点E，使AE=2ED，连接ME、NE，如图所示：因为A1D=3MD，AN=2NC，所以MDA1D =CNAC=DEAD=13，所以NE//CD，ME//AA1，又CD//C1D1，所以∠MNE为异面直线MN与C1D1所成角，设正方体的棱长为3a，则EN=23CD=2a，ME=13AA1=a，所以在Rt△MNE中，MN=√ME2+EN2=√a2+(2a)2=√5a，所以cos∠MNE=ENMN =2√55．故选：A．根据异面直线所成角的定义先找出所成角，取线段AD上一点E，使AE=2ED，连接ME、NE，∠MNE为异面直线MN与C1D1所成角，然后解三角形即可求出所求．本题主要考查了异面直线所成角的度量，解题的关键是找出异面直线所成角，同时考查了学生的运算求解的能力．【解析】解：由题意可得：|AF1|=a+c=14r+r=54r，|BF1|=a−c=18r+r=98r，联立解得：a=1916 r,c=116r，所以椭圆的离心率为e=ca =119，故选：D．利用椭圆的几何性质即可求出用a，c，r表示的|AF1|，|BF1|，联立即可求解．本题考查了椭圆的几何性质以及学生的运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：双曲线C的渐近线方程为y=±bax，∴D(a,b)，E(a,−b)，∵△ODE的面积为8，∴12⋅a⋅2b=8，即ab=8，∴1a +4b=b+4aab≥2√4abab=2×√4×88=√2，当且仅当1a=4b，即a=√2，b=4√2时，等号成立，∴1a +4b的最小值为√2．故选：B．由双曲线C的渐近线方程可得点D，E的坐标，再由三角形的面积公式推出ab=8，然后利用基本不等式，即可得解．本题考查双曲线的几何性质，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设点P在平面ABC上的投影为P′，因为直线PA和底面ABC所成角是定值，所以∠PAP′为定值，即tan∠PAP′为定值，因为PP′为定值，所以AP′也为定值，设AP′=a，所以点P′到点A的距离恒为定值a，又因为P′为点P在平面ABC的投影，所以点P到点A1的距离恒为a，由圆的定义可知，点P的轨迹为圆的一部分．故选：B．设点P在平面ABC上的投影为P′，将直线PA和底面ABC所成角是定值，转化为点P′到点A的距离恒为定值a，从而得到点P到点A1的距离恒为a，即可判断得到答案．本题考查了动点轨迹的求解，涉及了空间几何体的应用，解题的关键是将直线PA和底面ABC所成角是定值，转化为点P到点A1的距离恒为定值．9.【答案】AD【解析】解：对于A，由a>b>0，则0<1a <1b，故1a<2b正确，故A正确，对于B，由a，b>0，4b+a=ab⇒4a +1b=1，a+b=(a+b)(4a+1b)=5+4ba+ab≥5+4=9，故B错误，对于C，当x<0时，f(x)<0，故C错误，对于D，由a>b>c⇒a−c>0，b−c>0，a−c>b−c，所以1a−c <1b−c，由a>b>c，a+b+c=0⇒c<0，所以ca−c >cb−c，故D正确．故选：AD．A利用不等式的基本性质可判断，B利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出，C利用特殊值可判断，D利用不等式的基本性质可判断．本题考查了基本不等式的性质，不等式的基本性质，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：如图，取BC1的中点H，连接CH，易证CH⊥平面ABC1D1，所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为π4，故A正确；点C到平面ABC1D1的距离为CH的长度，为√22，故B正确；易证BC1//AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，因为△ACD1为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为π3，故C错误；连接DH ，由BD =DC 1，所以DH ⊥BC 1，又CH ⊥BC 1， 所以∠CHD 为二面角C −BC 1−D 的平面角， 易求得DH =√62，又CD =1，CH =√22，由余弦定理可得cos∠CHD =DH 2+CH 2−CD 22DH⋅CH=√33，故D 错误．故选：AB ．根据线面角的定义及求法即可判断A ；由点到平面的距离的求法即可判断B ；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C ；由平面角的定义及余弦定理即可判断D ．本题主要考查命题真假的判断，空间角与空间距离的求法，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：曲线C ：x 2m+y 2n=1，若m >n >0，则C 是焦点在x 轴上的椭圆，故A 正确； 若m =2n(n >0)，则C 是椭圆，且e =ca=√2n−n√2n =√22，故B 错误；若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为x 2m+y 2n=0，故C 正确；若m =−2n ，则C 是双曲线，当n >0，可得双曲线的焦点在y 轴上， 可得e =√n+2n √n=√3，当n <0，可得双曲线的焦点在x 轴上， 可得e =√−2n−n √−2n=√62，故D 正确．故选：ACD ．由m >n >0，可得C 为焦点在x 轴上的椭圆，可判断A ；由m =2n(n >0)，求得离心率，可判断B ；由mn <0，求得双曲线的渐近线方程，可判断C ；由m =−2n ，讨论n >0，n <0，求得离心率，可判断D ． 本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想、分类讨论思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：因为等比数列{a n }的公比q =−12，所以a 8⋅a 9<0，B 正确； 设等差数列{b n }的公差为d ，所以a 1(−12)7>18+7d ，a 1(−12)8>18+8d ，显然a 1≠0，若a 1>0，则18+7d <0，即d <0，所以b 9−b 8=d <0，b 10=18+9d =18+7d +2d <0，a 8<a 9，若a 1<0，则18+8d <0，即d <0，所以b 9−b 8=d <0，b 10=18+9d =18+8d +d <0，a 8>a 9，所以A 无法确定，C 错误，D 正确． 故选：BD ．由等比数列{a n }公比为负数，可知B 正确；设等差数列{b n }的公差为d ，根据题意可得，a 1(−12)7>18+7d ，a 1(−12)8>18+8d ，就a 1的正负分类讨论，即可判断b 10<0，d <0，所以C 错误，D 正确，A 无法确定． 本题主要考查等差数列，等比数列通项公式的应用，属于中档题．13.【答案】√32【解析】解：设P(x,y ，z)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −2,z −3),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,1−y,2−z)，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x −1,y −2,z −3)=(−x,1−y,2−z)， ∴{x −1=−x y −2=1−y z −3=2−z ，解得{ x =12y =32z =52，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12,−12)，∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32． 故答案为：√32．可设P(x,y ，z)，然后根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求出x ，y ，z 的值，进而得出向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，从而可得出|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，相等向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】x 23−y 2=1【解析】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为为y =±√33x ，设双曲线方程为x 29−y 23=λ(λ≠0)，∵双曲线C 过点(3,√2)， ∴99−23=λ，即λ=13．∴所求双曲线方程为x 23−y 2=1．故答案为：x 23−y 2=1．根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y =±√33x ，可设双曲线方程为x 29−y 23=λ(λ≠0)，又由双曲线过点P ，将点P 的坐标代入可得λ的值，进而可得答案．本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题，特别要掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．15.【答案】320√2【解析】解：由题意可知，2a =200，2b =120，即a =100，b =60， 所以椭圆方程为：x 210000+y 23600=1，即椭圆的参数方程为：{x =100cosθy =60sinθ，所以矩形在第一象限的顶点坐标可设为：{x =100cosθy =60sinθ，θ∈(0,π2)，根据对称性可知矩形的长为2x ，宽为2y ，所以矩形的面积S =4xy =12000sin2θ，当且仅当θ=π4，时，面积S 取到最大值，此时，矩形的周长为4(x +y)=4×(100cosθ+60sinθ)=4×(100×√22+60×√22)=320√2，故答案为：320√2．由椭圆的定义，以及椭圆的性质，所以矩形的中心在坐标原点，且关于坐标轴对称，可将椭圆方程设为参数形式，即可解决．本题考查椭圆的性质，属于基础题．16.【答案】2−t【解析】解：因为P 1为曲线C ：y =log 12x 上纵坐标为1的点，所以点P 1的横坐标a 1=12， 由题意可得点Q n+1与点P n 的横坐标相等，点Q n+1与点P n+1的纵坐标相等， 因为点Q n+1在直线y =x 上，所以它的横纵坐标相等，都是a n ， 从而得到点P n+1的纵坐标是a n ，点P n+1在曲线C ：y =log 12x 上，由纵坐标得到它的横坐标为(12)a n ， 即a n+1=(12)a n ，若a 2019=t.则a 2020=(12)t =2−t ． 故答案为：2−t ．由题意分析可得点P n+1的纵坐标是a n ，由点P n+1在曲线C ：y =log 12x 上，由纵坐标得到它的横坐标为(12)a n ，可得递推公式a n+1=(12)a n ，由此可求得结论．本题主要考查函数与数列的综合，由题意求出递推公式是解题的关键，属于中档题．17.【答案】解：选①时，(1)由于a n+1−a n =−13，所以数列{αn }是以4为首项，−13为公差的等差数列， 所以a n =−13n +133，(2)由−13n +133≥0，解得n ≤13．所以S 13或S 12最大， 由于S 13=13×4+13×122×(−13)=26，故最大值为26．选②时，(1)a n+1=a n +n −8，所以a n+1−a n =n −8，a n −a n−1=n −9，…，a 2−a 1=−7， 所有的式子相加得：a n −a 1=(−7+n−9)(n−1)2=n 2−17n+162，整理得a n =n 2−17n+162+4，(2)当n ≥16时，数列的前n 项和不存在最大值． 选③时， (1)a n+1a n=−12，数列{αn }的首项为4，公比为−12的等比数列．所以a n =4×(−12)n−1=(−12)n−2． (2)当n 为奇数时，S n =4[1−(−12)n ]1+12=83×(1+12n )．由于83×(1+12n )随着n 的增大而减小，所以S n 的最大值为S 1=4， 当n 为偶数时，S n =83×(1−12n )<83<4． 所以S n 存在最大值，且最大值为4．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式； (2)利用(1)的结论，进一步求出数列的和，最后确定最大值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 18.【答案】(1)证明：因为SD ⊥平面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥CD ， 取CD 中点O ，连结EO ，FO ，因为点E，F分别为AB，SC的中点，底面ABCD是正方形，所以EO//AD，FO//SD，所以EO⊥CD，FO⊥CD，又EO∩FO=O，且EO，FO⊂平面OEF，所以CD⊥平面OEF，又EF⊂平面OEF，所以EF⊥CD；(2)解：因为SD⊥平面ABCD，且AD，CD⊂平面ABCDA，所以SD⊥AD，SD⊥CD，由(1)可知，FO//SD，所以FO⊥AD，FO⊥CD，AD，CD是平面ABCD中的相交线，所以FO⊥平面ABCD，所以∠FEO即为直线EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FEO中，∠FOE=90°，EO=FO，所以∠FEO=45°，所以直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为√22．【解析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；(2)利用(1)中的结论和线面垂直的判定定理，可得到FO⊥平面ABCD，从而∠FEO即为直线EF与平面ABCD 所成的角，求解即可．本题考查了线面垂直的性质定理和判定定理的应用，在利用几何法求线面角，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．19.【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和S n满足√S n=√S n−1+2(n≥2,n∈N)，整理得√S n−√S n−1=2(常数)，所以数列{√S n}是以2为首项，2为公差的等差数列；所以√n=2+2(n−1)=2n，所以S n=4n2，所以a n=S n−S n−1=8n−4．当n=1时，a1=4，所以a n=8n−4．(2)b n=16a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式； (2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20.【答案】(1)证明：∵BC ⊥CD ，平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD ∩平面ABCD =CD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面SCD ，以C 为原点，CD ，CB 所在直线分别为y ，z 轴，作Cx ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,2，2)，B(0,0，4)，D(0,2，0)，S(1,1，0)， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)， 当λ=2时，E(23,23,43)，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,43)， 设平面ACE 的一个法向量为p ⃗ =(x,y ，z)，则{p ⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0p ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +2z =023x +23y +43z =0， 令z =−1，则x =y =1，∴p ⃗ =(1,1，−1)， ∵SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =−1×1+1×1=0， ∴SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥p ⃗ ，又SD ⊄平面ACE ，∴SD//平面ACE ．(2)解：由B(0,0，4)，S(1,1，0)，及BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λES ⃗⃗⃗⃗⃗ 知，E(λ1+λ,λ1+λ,41+λ)， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1+λ,λ1+λ,41+λ)， 设平面ACE 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +2z =0λ1+λx +λ1+λy +41+λz =0， 令z =1，则x =1−4λ，y =−1，∴m⃗⃗⃗ =(1−4λ,−1,1)，同理可得，平面SAC 的一个法向量为n⃗ =(1,−1,1)， 设二面角S −AC −E 的平面角大小为θ，则cosθ=13， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=1−4λ+1+1√(1−λ)+1+1×√3=cosθ=13，化简得8(4λ2−8λ+3)=0， 解得λ=2或23，当λ=2时，m⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，n ⃗ =(1,−1,1)， 此时m⃗⃗⃗ 指向二面角S −AC −E 的内部，n ⃗ 指向二面角S −AC −E 的外部， ∴θ与<m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >相等，cosθ=cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3×√3=13， 当λ=23时，m⃗⃗⃗ =(−5,−1,1)，n ⃗ =(1,−1,1)， 此时m⃗⃗⃗ 指向二面角S −AC −E 的内部，n ⃗ 指向二面角S −AC −E 的外部， ∴θ与<m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >相等，cosθ=cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√3×√3=−13，不合题意，综上所述，λ=2．【解析】(1)由面面垂直的性质定理可知BC ⊥平面SCD ，于是以C 为原点建立空间直角坐标系，求得平面ACE 的一个法向量p ⃗ ，由SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =0，即可得证； (2)易知E(λ1+λ,λ1+λ,41+λ)，求得平面ACE 和平面SAC 的法向量m⃗⃗⃗ 与n ⃗ ，由|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=13，解出λ=2或23，再检验两个值是否都符合题意即可．本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面平行与二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设椭圆C 2的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，由题可知：2b =2√3，4a =8，则b =√3，a =2，所以c =1， 故抛物线C 1的焦点F 1(1,0)， 所以抛物线C 1的方程为y 2=4x ；(2)由题可设Q(m,√3)，代入抛物线的方程可得：m =34，即Q(34,√3)， 所以|QF 1|=√(34−1)2+(√3−0)2=74；(3)由(2)可知k QF 1=√3−034−1=−4√3，即tan∠QF 1F 2=−4√3，又∠QF 1F 2+∠PF 1F 2=π，得tan∠PF 1F 2=4√3，又∠PF 1F 2∈(0,π)， 故cos∠PF 1F 2=17，设PF 1=m ，PF 2=4−m ，而|F 1F 2|=2，所以由余弦定理可得：PF 22=PF 12+F 1F 22−2PF 1⋅PF 2cos∠PF 1F 2，即(4−m)2=m 2+4−2m ⋅2⋅17，解得m =2113， 故线段PQ 的长为2113+74=17552．【解析】(1)在椭圆中取出椭圆的焦点F 1的坐标，由此即可求解；(2)设出点Q 的坐标，代入抛物线方程即可求出点Q 的坐标，进而可以求解；(3)求出直线QF 1的斜率，进而可以求出tan∠QF 1F 2=−4√3，又∠QF 1F 2+∠PF 1F 2=π，得tan∠PF 1F 2=4√3，由此求出cos∠PF 1F 2=17，然后利用余弦定理即可求解．本题考查了抛物线的方程以及椭圆的性质，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，还考查了学生的运算转化能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)设M(x,y)为椭圆C 上的点，得到S △MFF′=12FF′⋅|y M |=|y M |， 又y M ∈[−b,b]，则(S △MFF′)max =b =√3， 所以a =√b 2+c 2=2， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)设Q′是Q 关于x 轴的对称点，直线PF ，QF 的斜率之和为0知：直线PF ，QF 关于x 轴对称， 由椭圆的对称性可知，P ，F ，Q′三点共线，直线PF 的斜率存在且不为0，设其方程为x =my +1， 由{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， 所以y P ⋅y Q =−93m 2+4，所以S △PQF =S △PQQ′−S △PQF =12|2y Q ||x P −x Q |−12|2y Q ||x P −x Q |=|y Q ||x P −1|=|y Q ||my P |=|my P y Q |=9|m|3m 2+4，又9|m|3m2+4=93|m|+4|m|≤2√3|m|⋅4|m|=3√34，当且仅当|m|=2√33时，取等号，故△PFQ的面积存在最大值3√34．【解析】(1)设M(x,y)为椭圆C上的点，S△MFF′=|y M|，进而(S△MFF′)max=b=√3，解得a，进而可得椭圆C的方程．(2)设Q′是Q关于x轴的对称点，根据题意可得直线PF，QF关于x轴对称，设其方程为x=my+1，联立椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得y P⋅y Q，再分析S△PQF=S△PQQ′−S△PQF，结合基本不等式推出△PFQ的面积最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。