2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞02．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0} 3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}二、选择题（共4小题）.9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b210．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2 12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为．（参考数据：log52≈0.43）四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞0解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x2+2x+1＞0，故选：D．2．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0}解：∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，∴M∩N＝{x|0≤x＜1}．故选：B．3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．解：cos（﹣）＝cos＝cos（2）＝cos＝．故选：D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人解：设同时爱好这两项的人最少有a人，作出韦恩图：∵某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，∴22﹣a+a+28﹣a＝45，解得a＝5．故选：B．5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解：∵30.2＞30＝1，log30.3＜log31＝0，0＜0.30.2＜0.30＝1，∴b＜c＜a．故选：D．6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+解：由表格中数据作出散点图：由图可知，y是关于x的增函数，且递增的比较缓慢，故选：C．7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，由f（x）＝0得x＝0或sin x＝0，即x＝π是右侧第一个零点，当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除B，故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}解：由已知得f（0）＝﹣1，f（3）＝1，则不等式|f（2sin x+1）|≤1，即﹣1≤f（2sin x+1）≤1，即f（0）≤f（2sin x+1）≤f（3），又因为函数f（x）是定义在R上的增函数，所以0≤2sin x+1≤3，即﹣≤sin x≤1，结合正弦函数的图象，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，即不等式的解集为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}．故选：D．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b2解：对于A：若c＞0时，不等式成立，当c＜0时，不等式不成立，故A错误；对于B：由于a＞|b|，则a2＞b2，故B正确；对于C：由于a＞b＞0，则＞，故C正确；对于D：当a＝﹣5，b＝1时，不等式不成立，故D错误；故选：BC．10．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝解：由x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，得：对于A，lgx+lgy＝lg（xy）≠lg（x+y），故A错误；对于B，lg＝lgx﹣lgy，故B正确；对于C，log xn y m＝＝＝log x y，故C正确；对于D，lgx＝lgx＝，故D正确．故选：BCD．11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝A sin（ωt+φ）+B（A ＞0，ω＞0，|φ|＜），由题意，h max＝6，h min＝﹣2，∴，解得，∵T＝＝60，∴ω＝，则h＝4sin（+φ）+2．当t＝0时，h＝0，∴4sinφ+2＝0，则sinφ＝﹣，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣．h＝，故D错误；令h＝＝6，∴sin（）＝1，得t＝20秒，故A正确；当t＝155秒时，h＝4sin（）+2＝4sin5π+2＝2米，故B正确；当t＝50秒时，h＝4sin（）+2＝4sin+2＝﹣2，故C正确．故选：ABC．12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）解：对于A，对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），解得f（1）＝0，再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，所以f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0），故A正确；对于B，令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x），又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，故B错误；对于C，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，若当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，所以当﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（﹣1）＝0，故C正确；对于D，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＜＜1，当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（）＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，因为当0＜x＜1时，f（x）＜0，可得当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，当x＜﹣1时，f（x）＞f（﹣1）＝0，当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，故D错误．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝﹣2．解：f（1）＝21+2＝4，所以．故答案为：﹣2．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．．解：由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，可得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），故答案为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，）．解：若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝﹣；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为8．（参考数据：log52≈0.43）解：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，∵P＝P0•e kt，∴（1﹣80%）P0＝P0•e4k，得0.2＝e4k，即k＝﹣，由0.25%P0＝P0•e kt，得0.0025＝﹣，∴t＝＝4log5100＝8（1+log52）＝11.44．故整数n的最小值为12﹣4＝8．故答案为：；8．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．解：sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α＝＝，若选①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；可得tan＝﹣，原式＝＝﹣．若选②tan（﹣α）＝，可得tanα＝，原式＝＝﹣．若选③3sinα+4cosα＝0，tanα＝﹣，原式＝＝．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．解：A＝{x|log2（x﹣1）≤2}＝{x|log2（x﹣1）≤log24}＝{x|1＜x≤5}，B＝＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，（1）若a＝1时，B＝[0，2]，A∪B＝[0，5]；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件，即B⊆A，即，解得：2＜a≤4，综上所述：a的取值范围（2，4]．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意得，y＝（6+）p﹣x﹣（10+2p），把p＝3﹣代入得，y＝22﹣（0≤x≤10）；（2）y＝24﹣（）≤24﹣2＝16，当且仅当，即x＝2时取等号，所以促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为16万元．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．解：（1）根据题意：函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R），令t＝sin x，（﹣1≤t≤1），则g（t）＝2t2﹣at﹣a﹣1（﹣1≤t≤1），①当时，即a≤﹣4，f（a）＝，所以无解．②当时，即﹣4＜a≤4，f（a）＝，即a2+8a+12＝0，所以a＝﹣2或a＝﹣6（舍去），③当时，即a＞4时，，所以a＝，（舍去），综上所述：a＝﹣2．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝，当sin x＝1时，即x＝2k（k∈Z）时，函数的最大值为5．即当{x|x＝2k（k∈Z）}时，函数的最大值为5．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）根据题中函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得＝5﹣1，∴ω＝，根据五点法作图，可得×1+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2cos（x+）．（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2cos（x+）的图象；再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x）＝2cos（x﹣）的图象，若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，即x∈[0，6]时，g（x）的最大值小于或等于m．当x∈[0，6]时，x﹣∈[﹣，]，故当x﹣＝0时，g（x）取得最大值为2，∴m≥2．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．解：（1）因为在x∈[t，t+1]上为减函数，所以，又因为y＝log2x在上为增函数，所以，所以在恒成立，即对恒成立，即3at2+3（a+1）t﹣1≥0对恒成立，等价于y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，因为y＝3at2+3（a+1）t﹣1在为增函数，所以，故，解得，所以a的最小值为；（2）方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0，即，可转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且，①当a﹣2＝0，即a＝2时，x＝﹣2，符合题意；②当a﹣2≠0，即a≠2时，，1°当，即时，符合题意；2°当，即a≠﹣2且时，要满足题意，则有或，解得；综上可得，a的取值范围为．。

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{0，1，2}，，若A∩B＝B，则实数x的值为（）A．B．0C．1D．22．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米3．已知tanα＝2，则sinαcosα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知m是函数f（x）＝+2的零点，则实数m∈（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知角α的终边经过点，则sinα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总任储费用和最小为（）A．60万元B．160万元C．200万元D．240万元7．在平面直角坐标系中，是单位圆上的一段弧（如图），点P是圆弧上的动点，角α以Ox为始边，OP为终边．以下结论正确的是（）A．tanα＜cosα＜sinαB．cosα＜tanα＜sinαC．sinα＜cosα＜tanαD．以上答案都不对8．已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x2.若函数g（x）＝f（x）﹣a|x|有5个不同零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．[，1]D．（，1）二、多项选择题（共4小题）.9．下列命题中的真命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0C．∃x∈R，lgx＜2D．∃x∈R，tan x＝210．已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（）A．y＝g（x）是偶函数B．函数g（x）的单调递减区间为C．直线是函数g（x）的图象的对称轴D．函数g（x）在上的最小值为11．设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝2，那么（）A．a+b有最小值B．a+b有最小值C．ab有最小值D．ab有最大值12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”．下列对应法则f满足函数定义的有（）A．f（|x﹣2|）＝x B．f（sin x）＝2cos2x﹣1C．f（sin x）＝x D．f（x2+2x）＝|x+1|三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝log2（2x+1）的定义域为．14．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N＝N0•表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的.；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）16．如图，直线l是函数y＝x的图象，曲线C是函数x图象，P1为曲线C上纵坐标为1的点．过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；…，设点P1，P2，P3，…，P n的横坐标分别为x1，x2，x3，…，x n.若a，则x2020＝（用a表示）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知，求a+a﹣1的值；（2）计算：．18．已知集合A＝{x|1≤2x≤16}，B＝{x|m≤x≤m+2}．（1）若m＝3，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求m的取值范围．19．已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象可由的图象平移得到；③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）请写出满足f（x）的这两个条件序号，并说明理由；（2）求出f（x）的解析式；（3）求方程f（x）+1＝0在区间[﹣π，π]上所有解的和．20．已知函数为奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于m的不等式f（2m2）+f（m﹣3）≥0．21．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：sin20°＝0.3420，cos20°＝0.9397，tan20°＝0.3640）（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．①若小汽车卡在直角车道内（即点A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）∠PAB＝θ（rad），求水平截面的长（即AB的长，用θ表示）②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．结论1 ；结论2 若函数f（x）和函数g（x）都在区间I上单调递增，则函数f（x）+g（x）在区间I上单调递增．22．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．函数．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在x∈[e，e2]使得不等式f（lnx）﹣klnx≤0成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{0，1，2}，，若A∩B＝B，则实数x的值为（）A．B．0C．1D．2解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∵A＝{0，1，2}，∴，解得．故选：A．2．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝lr＝×45×＝270（平方米）．故选：B．3．已知tanα＝2，则sinαcosα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．解：∵tanα＝2，则sinαcosα＝＝＝，故选：B．4．已知m是函数f（x）＝+2的零点，则实数m∈（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：由f（x）＝可得，，结合幂函数及指数函数的性质可知，当x无限增加时，指数函数爆炸式增加，当0＜x＜1时，f（x）＞0恒成立，没有零点，因为f（1）＝1＞0，f（2）＝＜0，故在（1，2）上有零点，结合图象可知，当x＞2时，即y＝恒在y＝2x的下方．故m∈（1，2）．故选：B．5．已知角α的终边经过点，则sinα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．解：，∴P（﹣3，4），根据三角函数定义可知，＝，故选：D．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总任储费用和最小为（）A．60万元B．160万元C．200万元D．240万元解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：×6+4x≥2×＝240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．故选：D．7．在平面直角坐标系中，是单位圆上的一段弧（如图），点P是圆弧上的动点，角α以Ox为始边，OP为终边．以下结论正确的是（）A．tanα＜cosα＜sinαB．cosα＜tanα＜sinαC．sinα＜cosα＜tanαD．以上答案都不对解：由题设可得上的动点P的坐标为（cosα，sinα），A（cosθ1，sinθ1），B（cosθ2，sinθ2），其中＜θ1＜α＜θ2＜π，＜θ1＜＜θ2＜π，注意到当α∈（θ1，]，tanα≤﹣1，故按如下分类讨论：若＜θ1＜α≤，则sinα＞0，cosα＞﹣1，tanα≤﹣1，故sinα＞cosα＞tanα，若＜α≤θ2，则sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，且0＜sinθ2≤sinα＜，所以sin2θ2+sinθ2﹣1≤sin2α+sinα﹣1＜，因为＜θ2＜π，故0＜sinθ2＜，故﹣1＜sin2θ2+sinθ2﹣1＜，所以sin2θ2+sinθ2﹣1有正有负，所以sin2α+sinα﹣1有正有负，而tanα﹣cosα＝，cosα＜0，故tanα﹣cosα有正有负，故tanα，cosα大小关系不确定．故选：D．8．已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x2.若函数g（x）＝f（x）﹣a|x|有5个不同零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．[，1]D．（，1）解：原问题等价于函数f（x）与函数y＝a|x|有5个不同的交点，很明显，坐标原点为两函数的交点，且函数f（x）与函数y＝a|x|均为偶函数，则原问题转化为当x≥0时，函数f（x）与函数y＝ax有两个交点，绘制函数图象如图所示，由临界条件可得关于实数a的不等式组：，解得：，即实数a的取值范围是．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9．下列命题中的真命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0C．∃x∈R，lgx＜2D．∃x∈R，tan x＝2解：对于A，y＝2x﹣1的定义域为R，值域为（0，+∞），∀x∈R，2x﹣1＞0为真命题，则A 对；对于B，当x＝1∈N*时，（x﹣1）2＝0 不大于0，∀x∈N*，（x﹣1）2＞0为假命题，则B 错；对于C，当x＝1∈R时，lgx＝0＜2，∃x∈R，lgx＜2为真命题，则C对；对于D，当x＝arctan2∈R时，tan x＝a tan（rc tan2）＝2，∃x∈R，tan x＝2为真命题，则D 对；故选：ACD．10．已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（）A．y＝g（x）是偶函数B．函数g（x）的单调递减区间为C．直线是函数g（x）的图象的对称轴D．函数g（x）在上的最小值为解：将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin[4（x﹣）+]＝2sin（4x），再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，即g（x）＝2sin（4x）＝2sin（2x），则函数g（x）是奇函数，故A错误，由2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为，故B正确，由2x＝kπ+，得x＝+，即函数的对称轴为x＝+，则x＝kπ+也是对称轴，故C正确，当0≤x≤时，0≤2x≤，则当2x＝时，函数g（x）取得最小值，最小值2sin ＝﹣2×＝﹣，故D正确，故选：BCD．11．设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝2，那么（）A．a+b有最小值B．a+b有最小值C．ab有最小值D．ab有最大值解：因为a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝2，所以ab＝2+（a+b），当且仅当a＝b时取等号，解得，a+b，或a+b（舍），故a+b有最小值2+2，A正确，B错误；由ab﹣2＝a+b，当且仅当a＝b时取等号，解得，ab，即ab有最小值4+2，C正确，D错误．故选：AC．12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”．下列对应法则f满足函数定义的有（）A．f（|x﹣2|）＝x B．f（sin x）＝2cos2x﹣1C．f（sin x）＝x D．f（x2+2x）＝|x+1|解：根据函数的定义，对于定义域内的任意自变量，函数的值唯一确定的．对于一个自变量|x﹣2|，x的值不一定唯一，如|x﹣2|＝1时，x＝1或3，故f（|x﹣2|）＝x不满足函数的定义，故排除A；对于一个任意一个sin x，存在唯一确定的1﹣2sin2x＝2cos2x﹣1，故f（sin x）＝2cos2x﹣1满足函数的定义，故B可以．对于一个任意一个sin x，存在多个x的值，故（sin x）＝x不满足函数的定义，故排除C；对于一个x2+2x＝（x+1）2﹣1，则|x+1|的值唯一，故f（x2+2x）＝|x+1|满足函数的定义，故D可以，故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡指定位置上. 13．函数f（x）＝log2（2x+1）的定义域为（﹣，+∞）．解：由函数f（x）＝log2（2x+1），得2x+1＞0，解得x＞﹣，所以f（x）的定义域为（﹣，+∞）．故答案为：（﹣，+∞）．14．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是4．解：正数x，y满足x+y＝1，则＝（x+y）（+）≥2•2＝4，当且仅当x＝y＝，取得最小值4，故答案为：4．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N＝N0•表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的.；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）解：∵N＝N0•，∴当t＝5730时，N＝N0•2﹣1＝，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的．由题意可知：，两边同时取以2为底的对数得：，∴＝≈﹣1.2，∴t＜6876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：，6876．16．如图，直线l是函数y＝x的图象，曲线C是函数x图象，P1为曲线C上纵坐标为1的点．过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；…，设点P1，P2，P3，…，P n的横坐标分别为x1，x2，x3，…，x n.若a，则x2020＝（log a））（用a表示）解：由题意可求出P1，P2，P3，Q1，Q2，Q3点的坐标．P1（，1），Q2（，），P2（，），Q3（，），P3（（（）），（）），故P1的横坐标为x1＝，由log x2＝，可得x2＝（），由log x3＝（），可得x3＝（（）），所以若a，则x2019＝（log a），x2020＝（log a））．故答案为：（log a））．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知，求a+a﹣1的值；（2）计算：．解：（1）由题意知，平方可得，所以a+a﹣1＝7；（2）原式＝＝＝＝1+2＝3．18．已知集合A＝{x|1≤2x≤16}，B＝{x|m≤x≤m+2}．（1）若m＝3，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求m的取值范围．解：（1）A＝{x|1≤2x≤16}＝{x|20≤2x≤24}＝{x|0≤x≤4}，当m＝3时，B＝{x|3≤x≤5}，所以A∪B＝{x|0≤x≤5}；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，由题意知B≠∅，则，解得：0≤x≤2，所以m的取值范围为[0，2]．19．已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象可由的图象平移得到；③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）请写出满足f（x）的这两个条件序号，并说明理由；（2）求出f（x）的解析式；（3）求方程f（x）+1＝0在区间[﹣π，π]上所有解的和．解：（1）若①成立，则A＝2．若②成立，则A＝，ω＝1，若③成立，则＝，即T＝π，即＝π，则ω＝2．则满足条件的只能是①③，（2）由（1）知A＝2，ω＝2，则f（x）＝2sin（2x+）．（3）由f（x）+1＝0得f（x）＝﹣1，即2sin（2x+）＝﹣1，得sin（2x+）＝﹣，则2x+＝2kπ+或2x+＝2kπ+，得x＝kπ+或x＝kπ+，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴当k＝﹣1时，x＝﹣或x＝﹣，当k＝0时，x＝或x＝，则所有零点之和为﹣﹣++＝．20．已知函数为奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于m的不等式f（2m2）+f（m﹣3）≥0．解：（1）∵函数的定义域为R，且为奇函数，．∴f（0）＝0，即f（0）＝＝0，解得a＝﹣1，经检验，此时对任意的x都有f（﹣x）＝﹣f（﹣x），故a＝1．（2）由（1）可知f（x）＝＝1﹣，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣+＝，∵x1＜x2，∴＜，即﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＝＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．（3）∵f（x）是奇函数，∴f（2m2）+f（m﹣3）≥0等价为f（2m2）≥﹣f（m﹣3）＝f（3﹣m），∵f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．∴2m2≥3﹣m，即2m2+m﹣3≥0，解得m≤﹣或m≥1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．21．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：sin20°＝0.3420，cos20°＝0.9397，tan20°＝0.3640）（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．①若小汽车卡在直角车道内（即点A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）∠PAB＝θ（rad），求水平截面的长（即AB的长，用θ表示）②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．结论1 ；结论2 若函数f（x）和函数g（x）都在区间I上单调递增，则函数f（x）+g（x）在区间I上单调递增．解：（1）在△ABE中，∠ABE＝90°，∠BAE＝20°，则tan，又AB＝10，∴BE＝AB•tan∠BAE＝10tan20°≈3.6m，∵BC＝0.6m，∴CE＝BE﹣BC＝3m，在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD＝∠BAE＝20°，∴cos，∴CD＝CE•cos∠ECD＝3cos20°≈3×0.94≈2.8m；（2）①延长CD与直角走廊的边相交于E，F，则EF＝OE+OF＝，其中0＜θ＜，∴DE＝，CF＝BC•tanθ＝1.8tanθ，又∵AB＝DC＝EF﹣（DE+CF），∴AB的长f（θ）＝＝，其中0＜θ＜；②由①知f（θ）＝，其中0＜θ＜，令sinθ+cosθ＝t，则t＝，∴1＜t≤，则sinθcosθ＝．故f（θ）＝g（t）＝，1＜t≤，g′（t）＝﹣，当t∈（1，]时，g′（t）＜0恒成立，则g（t）在（1，]上为减函数，∴＞4.4．∴此车能顺利通过此直角拐弯车道．22．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．函数．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在x∈[e，e2]使得不等式f（lnx）﹣klnx≤0成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的范围．解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）对称轴为x＝1，所以函数g（x）在[2，3]上单调递增，所以g（x）max＝g（3）＝3a+b＝4，g（x）min＝g（2）＝b＝1，解得a＝1，所以g（x）＝x2﹣2x+1＝（m﹣1）2．（2）f（x）＝x﹣﹣2，x∈[e，e2]所以不等式f（lnx）﹣klnx≤0，变为≤k，令t＝lnx，t∈[1，2]所以不等式化为≤k，即1﹣+≤k，所以（﹣1）2≤k，所以0≤k≤，所以实数k的取值范围[0，]．（3）＝+﹣2k有三个零点，则g（|3x﹣1|）+3k﹣2k•|3x﹣1|＝0有三个根，令m＝|3x﹣1|，作出函数图象：则（m﹣1）2+3k﹣2km＝0，即m2﹣（2k+2）m+3k+1＝0有两个根m1，m2，其中0＜m1＜1，m2＞1或0＜m1＜1，m2＝0，记h（m）＝m2﹣（2k+2）m+3k+1，所以或解得﹣＜k＜0，所以实数k的取值范围为（﹣，0）．。

常州市教育学会期末学业水平测试高一数学 2021 年 1月 注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题 卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将答题卡交回.一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 命题“112>>∀x x ，”的否定是 A. 112≤>∀x x ， B. 112≤≤∃x x ， C. 112≤≤∀x x ， D. 112≤>∃x x ， 2. 已知集合()(){}02|=--=a x x x M ，{}31，=N ，若∅=N M ，{}321，，=N M ，则实数a 的值为A. 1B. 2C. 3D.43. 学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度 为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为A. rad 6.0B. rad 6C. rad 06D. rad 0064. 若函数()3lg -+=x x x f 的零点所在的区间为()1+a a ，，则整数a 的值为A. 0B. 1C. 2D. 3 5. 函数()541x x x f -=的图象大致为6. 已知a ，b 都是正数，则“4≥ab ”是“ab b a =+”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7. 17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了叉数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”. 已知3010.02lg ≈，4771.03lg ≈，设105274⨯=N ，则N 所在的区间为 A. ()16151010， B. ()17161010， C. ()18171010， D. ()19181010， 8.已知()x f 是定义在[]11，-上的奇函数，且()11-=-f ，当[]11，，-∈b a 且0≠+b a 时，()()0>++b a b f a f .已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππθ，，若()θθ2cos 2sin 34-+<x f 对[]11，-∈∀x 恒成立，则θ的取值范围是 A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-26ππ， B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--32ππ， C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23ππ， D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62ππ， 二、选择题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 下列命题中，正确的有A. 若0>>b a ，则22bc ac > B. 若0<<b a ，则22b ab a >>C. 若0>>b a 且0>c ，则ab c a c b >++D. 若0<<b a 且0<c ，则22b c a c < 10. 某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行价就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为A. 2.5元B. 3元C. 3.2元D. 3.5元11. 对于函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos πωx x f (其中0>ω)，下列结论正确的有 A. 若()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤12πf x f 恒成立，则ω的最小值为2 B. 当21=ω时，()x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛034，π中心对称 C. 当2=ω时，()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π，上是单调函数D. 当1=ω时，()x f 的图象可由()x x g sin =的图象向左平移3π个单位长度得到 12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 狄利克雷函数就以其名命名，其解析 式为()⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 01关于函数()x D 有以下四个命题，其中真命题有 A.()x D 既不是奇函数也不是偶函数B. ()()x D r x D Q r =+∈∀，C. ()()1=∈∀x D D R x ，D. ()()()y D x D y x D R y x +=+∈∃，，三、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若角α的终边经过点()43，-P ，则()=+πα2021sin 14. 计算:()=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--326log 125.0212 15. 已知函数()()m m x m m x f 42222---=是幂函数，且()∞+∈，0x 时，()x f 单调递减，则 m 27log 的值为16. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=11102x xx x x f ，，若关于x 的方程()()02=--m f x f 在[0，4]上有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范固是 .四、解答题: 本大题共 6 小题，共 70 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤。

2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p42．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3} 4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]二、多项选择题（共4小题）.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为．14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年．（参考数据：lg2≈0.3）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p4解：设有下面四个命题：对于p1：∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C．2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离是，＝故cosα＝＝﹣故选：B．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}解：集合A＝{x|lnx≤2ln}＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥1}，A﹣B＝{x|0＜x＜1}．故选：B．4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos解：函数y＝sin2x的周期为，又x∈（，π），则2x∈（π，2π），所以y＝sin2x在区间（，π）上不是单调递增，故选项A错误；函数y＝cos x的周期为2π，故选项B错误；函数y＝tan x的周期为π，且在区间（，π）上单调递增，故选项C正确；函数的周期为，故选项D错误．故选：C．5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定解：由题意可知，甲平台的降价力度为：1﹣（1﹣a%）（1﹣b%），乙平台的降价力度为：1﹣（1﹣%）2，作差得：[1﹣（1﹣a%）（1﹣b%）]﹣[1﹣（1﹣%）2]＝（%）2﹣a%•b%＝﹣2＜0，所以乙平台的降价力度大，故选：B．6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由图象可知，函数f（x）是偶函数，则y＝xf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C，D，在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B，故选：A．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣．故选：D．8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]解：函数f（x）＝，当x时，f（f（x））＝（x2﹣3）2﹣3，当时，f（f（x））＝﹣（x2﹣3）+1，当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+1）2﹣3，作出函数f（f（x））的图象可知，当1＜k≤4时，函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点．∴k∈（1，4]．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（3，），∴3a＝，a＝，∴f（x）＝，故函数的定义域是[0，+∞），A正确，C错误，值域是[0，+∞），B正确，D正确，故选：ABD．10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度解：把函数y＝cos x图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝cos（x+）的图象；再将横坐标变为原来的倍，可得y＝cos（2x+）的图象．或把函数y＝cos x图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝cos2x的图象；再向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+）的图象．故选：BC．11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c解：因为实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则函数y＝x a为单调递增函数，所以b a＜c a，故选项A正确；不妨取，则log b a＝，log c a＝，所以log b a＜log c a，故选项B错误；不妨取，则，，所以，故选项C正确；因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定，故sin b和sin c无法比较大小，故选项D 错误．故选：AC．12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sin x|为周期函数，对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sin x，当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．故选：AD．三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为[1，2）．解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：解得：1≤x＜2．故函数的定义域为[1，2）故答案为[1，2）14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为2．解：设f（x）＝sin x+x﹣3，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＜0，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＝sin﹣sin ＞0，（，所以sin＞sin）．由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以k＝2．故答案为：2．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为6．解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，所以a+3b＝9﹣ab＝9﹣，当且仅当a＝3b时取等号，解得，a+3b≥6或a+3b≤﹣18（舍），则a+3b的最小值为6．故答案为：6．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是y＝A•，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．（参考数据：lg2≈0.3）解：由题意知，y＝A•，当y＝62.5%A时，有62.5%A＝A•，即＝，∴＝＝＝log28﹣log25＝3﹣＝3﹣≈，∴x＝3820，∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．故答案为：y＝A•；3820．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．解：若选择条件①，（1）由于＝，可得14sin A﹣7cos A＝3sin A+4cos A，可得sin A＝cos A，即tan A＝1，因为A为锐角，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择②，（1）由于4sin2A＝4cos A+1，4（1﹣cos2A）＝4cos A+1，可得4cos2A+4cos x﹣3＝0，解得cos A＝，或﹣（舍去），因为A为锐角，可得A＝．（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择③，（1）因为sin A cos A tan A＝sin2A＝，可得sin A＝，或﹣，因为A为锐角，sin A＞0，可得sin A＝，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．（1）a＝3时，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4）．（2）因为p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，则A⫋B，所以（等号不能同时成立），经验证a≠2，解之得0≤a＜2，所以实数a的取值范围是[0，2）．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．解：（1）由题意可得A＝2，T＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），又图象经过点（，），所以f（）＝2sin（2×+φ）＝，即sin（+φ）＝，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，再根据x∈[0，π]，可得函数的单调增区间为[0，]，[，π]．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？解：（1）填表如下：v406090100120Q 5.268.3251015.6W13109.251013由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），得，解得，则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），则，解得，∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．（2）∵W＝＝0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，∴当v＝80时，W取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．解：（1）因为g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]），f（x）＝x+2（x∈[0，1]），则对∀x0∈[0，1]，∃n个不同的实数x1，x2…，x n∈[0，4），使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2，…，n），即|x i﹣1|＝x0+2∈[2，3]，则x i∈[3，4]，所以对于∀x0∈[0，1]，都能找到一个x1，使|x1﹣1|＝x0+2，所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，故n＝1；（2）因为f（x）＝，其定义域为（0，+∞），即对∀x0∈（0，+∞），存在2个不同的实数x1，x2∈R，使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2），即∈（0，+∞），即对任意k＞0，g（x）＝k要有两个实根，当x＞1时，g（x）＝log2x＝k已有一个根，故只需x＜1时，g（x）＝k仅有一个根，①当a＝0时，g（x）＝1，不符合题意；②当a＞0时，则必须满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得；③当a＜0时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；综上可得，实数a的取值范围为．；（3）正实数ω的取值范围为．。

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设x∈R，则“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{a n}公差为（）A．2B．C．3D．43．若对于任意的x∈[0，2]，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）4．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足．若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为（）频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音C C#D D#E F F#G G#A A#B C（八度）A．F#B．G C．G#D．A5．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D＝3MD，AN＝2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点F1.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为r，近地点B与地球表面的距离为r，则地球同步转移轨道的离心率为（）A．B．C．D．7．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则的最小值为（）A．B．C．D．8．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P是底面A1B1C1内一动点，直线PA和底面ABC 所成角是定值，则满足条件的点P的轨迹是（）A．直线的一部分B．圆的一部分C．抛物线的一部分D．椭圆的一部分二、选择题（共4小题）.9．下列结论正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b＞0，4b+a＝ab，则a+b的最小值为10C．函数的最小值是3D．若a＞b＞c，a+b+c＝0，则10．如图，正方体ADCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B．点C到面ABC1D1的距离为C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为D．二面角C﹣BC1﹣D的平面角的余弦值为11．已知曲线，（）A．若m＞n＞0，则C是焦点在x轴上的椭圆B．若m＝2n（n＞0），则C是椭圆，且其离心率为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m＝﹣2n，则C是双曲线，其离心率为或12．已知等比数列{a n}的公比，等差数列{b n}的首项b1＝18，若a8＞b8且a9＞b9，则以下结论正确的有（）A．a8＞a9B．a8•a9＜0C．b9＞b8D．b10＜0三、填空题（共4小题）.13．已知点A（1，2，3），B（0，1，2），，则＝．14．已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的标准方程为15．某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米．现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为米．16．如图，已知直线l：y＝x与曲线，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，P n的横坐标分别为a1，a2，a3，…a n.若a2019＝t．则a2020＝用t表示）．四、解答题（共6小题）.17．在①a n+1﹣a n＝﹣，②a n+1＝a n+n﹣8，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设S n是数列{αn}的前n项和，且a1＝4，_______，补充完后．（1）求{a n}的通项公式；（2）判断S n是否存在最大值（说明理由）．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明：EF⊥CD．（2）若SD＝8，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足，且a1＝4．（1）求数列{a n}的前n项和S n及通项公式a n（2）记b n＝，T n为{b n}的前n项和，求T n．20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为线段BS 上一点，BE＝λES．（1）若λ＝2，证明：SD∥平面ACE；（2）若二面角S﹣AC﹣E的余弦值为，求λ的值．21．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的左上方）．如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8．由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住．（1）求抛物线C1的方程；（2）若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长；（3）在（2）的条件下，求线段PQ的长．22．已知椭圆的右焦点F的坐标为（1，0），左焦点为F′，且椭圆C上的点与两个焦点F，F'所构成的三角形的面积的最大值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，已知P，Q两点是位于x轴同侧的椭圆上的两点，且直线PF，QF的斜率之和为0，试问△PFQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设x∈R，则“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＞4⇒x＞2，由x2+2x﹣3＞0⇒（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，由x＞2，能够推出x2+2x﹣3＞0，故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的充分条件，由x＜﹣3或x＞1，不能够推出2x＞4，故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的不必要条件．故选：A．2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{a n}公差为（）A．2B．C．3D．4解：∵a1＝12，S5＝90，∴5×12+d＝90，解得d＝3．故选：C．3．若对于任意的x∈[0，2]，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）解：不等式x2﹣2x+a＞0，转化为a＞﹣x2+2x，设f（x）＝﹣x2+2x，x∈[0，2]，则f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，当x＝1时，f（x）取得最大值为f（x）max＝f（1）＝1，所以实数a的取值范围是（1，+∞）．故选：B．4．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足．若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为（）频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音C C#D D#E F F#G G#A A#B C（八度）A．F#B．G C．G#D．A解：∵，∴，∴，∴数列{a n}是公比q＝的等比数列，∵a4＝D#，＝，∴，故选：B．5．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D＝3MD，AN＝2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：取线段AD上一点E，使AE＝2ED，连接ME、NE，如图所示：因为A1D＝3MD，AN＝2NC，所以，所以NE∥CD，ME∥AA1，又CD∥C1D1，所以∠MNE为异面直线MN与C1D1所成角，设正方体的棱长为3a，则EN＝，，所以在Rt△MNE中，，所以cos∠MNE＝．故选：A．6．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点F1.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为r，近地点B与地球表面的距离为r，则地球同步转移轨道的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可得：|AF，|BF，联立解得：a＝，所以椭圆的离心率为e＝，故选：D．7．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则的最小值为（）A．B．C．D．解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，∴D（a，b），E（a，﹣b），∵△ODE的面积为8，∴•a•2b＝8，即ab＝8，∴＝≥＝＝，当且仅当＝，即a＝，b＝4时，等号成立，∴的最小值为．故选：B．8．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P是底面A1B1C1内一动点，直线PA和底面ABC 所成角是定值，则满足条件的点P的轨迹是（）A．直线的一部分B．圆的一部分C．抛物线的一部分D．椭圆的一部分解：设点P在平面ABC上的投影为P'，因为直线PA和底面ABC所成角是定值，所以∠PAP'为定值，即tan∠PAP'为定值，因为PP'为定值，所以AP'也为定值，设AP'＝a，所以点P'到点A的距离恒为定值a，又因为P'为点P在平面ABC的投影，所以点P到点A1的距离恒为a，由圆的定义可知，点P的轨迹为圆的一部分．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列结论正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b＞0，4b+a＝ab，则a+b的最小值为10C．函数的最小值是3D．若a＞b＞c，a+b+c＝0，则解：对于A，由a＞b＞0，则0＜，故正确，故A正确，对于B，由a，b＞0，4b+a＝ab⇒+＝1，a+b＝（a+b）（+）＝5++≥5+4＝9，故B错误，对于C，当x＜0时，f（x）＜0，故C错误，对于D，由a＞b＞c⇒a﹣c＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞b﹣c，所以＜，由a＞b＞c，a+b+c＝0⇒c＜0，所以＞，故D正确．故选：AD．10．如图，正方体ADCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B．点C到面ABC1D1的距离为C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为D．二面角C﹣BC1﹣D的平面角的余弦值为解：如图，取BC1的中点H，连接CH，易证CH⊥平面ABC1D1，所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为，故A正确；点C到平面ABC1D1的距离为CH的长度，为，故B正确；易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，因为△ACD1为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为，故C错误；连接DH，由BD＝DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，所以∠CHD为二面角C﹣BC1﹣D的平面角，易求得DH＝，又CD＝1，CH＝，由余弦定理可得cos∠CHD＝＝，故D错误．故选：AB．11．已知曲线，（）A．若m＞n＞0，则C是焦点在x轴上的椭圆B．若m＝2n（n＞0），则C是椭圆，且其离心率为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m＝﹣2n，则C是双曲线，其离心率为或解：曲线，若m＞n＞0，则C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；若m＝2n（n＞0），则C是椭圆，且e＝＝＝，故B错误；若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为+＝0，故C正确；若m＝﹣2n，则C是双曲线，当n＞0，可得双曲线的焦点在y轴上，可得e＝＝，当n＜0，可得双曲线的焦点在x轴上，可得e＝＝，故D正确．故选：ACD．12．已知等比数列{a n}的公比，等差数列{b n}的首项b1＝18，若a8＞b8且a9＞b9，则以下结论正确的有（）A．a8＞a9B．a8•a9＜0C．b9＞b8D．b10＜0解：因为等比数列{a n}的公比，所以a8•a9＜0，B正确；设等差数列{b n}的公差为d，所以，，显然a1≠0，若a1＞0，则18+7d＜0，即d＜0，所以b9﹣b8＝d＜0，b10＝18+9d＝18+7d+2d ＜0，a8＜a9，若a1＜0，则18+8d＜0，即d＜0，所以b9﹣b8＝d＜0，b10＝18+9d＝18+8d+d＜0，a8＞a9，所以A无法确定，C错误，D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A（1，2，3），B（0，1，2），，则＝．解：设P（x，y，z），，且，∴（x﹣1，y﹣2，z﹣3）＝（﹣x，1﹣y，2﹣z），∴，解得，∴，∴．故答案为：．14．已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的标准方程为解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为为，设双曲线方程为＝λ（λ≠0），∵双曲线C过点，∴，即λ＝．∴所求双曲线方程为．故答案为：．15．某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米．现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为320米．解：由题意可知，2a＝200，2b＝120，即a＝100，b＝60，所以椭圆方程为：，即椭圆的参数方程为：，所以矩形在第一象限的顶点坐标可设为：，，根据对称性可知矩形的长为2x，宽为2y，所以矩形的面积S＝4xy＝12000sin2θ，当且仅当，时，面积S取到最大值，此时，矩形的周长为4（x+y）＝4×（100cosθ+60sinθ）＝4×（100×）＝320，故答案为：320．16．如图，已知直线l：y＝x与曲线，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，P n的横坐标分别为a1，a2，a3，…a n.若a2019＝t．则a2020＝2﹣t用t表示）．解：因为P1为曲线C：y＝x上纵坐标为1的点，所以点P1的横坐标a1＝，由题意可得点Q n+1与点P n的横坐标相等，点Q n+1与点P n+1的纵坐标相等，因为点Q n+1在直线y＝x上，所以它的横纵坐标相等，都是a n，从而得到点P n+1的纵坐标是a n，点P n+1在曲线C：y＝x上，由纵坐标得到它的横坐标为，即a n+1＝，若a2019＝t．则a2020＝＝2﹣t．故答案为：2﹣t．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①a n+1﹣a n＝﹣，②a n+1＝a n+n﹣8，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设S n是数列{αn}的前n项和，且a1＝4，_______，补充完后．（1）求{a n}的通项公式；（2）判断S n是否存在最大值（说明理由）．解：选①时，（1）由于a n+1﹣a n＝﹣，所以数列{αn}是以4为首项，为公差的等差数列，所以，（2）由，解得n≤13．所以S13或S12最大，由于，故最大值为26．选②时，（1）a n+1＝a n+n﹣8，所以a n+1﹣a n＝n﹣8，a n﹣a n﹣1＝n﹣9，…，a2﹣a1＝﹣7，所有的式子相加得：，整理得，（2）当n≥16时，数列的前n项和不存在最大值．选③时，（1），数列{αn}的首项为4，公比为﹣的等比数列．所以．（2）当n为奇数时，．由于随着n的增大而减小，所以S n的最大值为S1＝4，当n为偶数时，．所以S n存在最大值，且最大值为4．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明：EF⊥CD．（2）若SD＝8，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为SD⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD，所以SD⊥CD，取CD中点O，连结EO，FO，因为点E，F分别为AB，SC的中点，底面ABCD是正方形，所以EO∥AD，FO∥SD，所以EO⊥CD，FO⊥CD，又EO∩FO＝O，且EO，FO⊂平面OEF，所以CD⊥平面OEF，又EF⊂平面OEF，所以EF⊥CD；（2）解：因为SD⊥平面ABCD，且AD，CD⊂平面ABCDA，所以SD⊥AD，SD⊥CD，由（1）可知，FO∥SD，所以FO⊥AD，FO⊥CD，AD，CD是平面ABCD中的相交线，所以FO⊥平面ABCD，所以∠FEO即为直线EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FEO中，∠FOE＝90°，EO＝FO，所以∠FEO＝45°，所以直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足，且a1＝4．（1）求数列{a n}的前n项和S n及通项公式a n（2）记b n＝，T n为{b n}的前n项和，求T n．解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足，整理得（常数），所以数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列；所以，所以，所以a n＝S n﹣S n﹣1＝8n﹣4．当n＝1时，a1＝4，所以a n＝8n﹣4．（2），所以T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为线段BS 上一点，BE＝λES．（1）若λ＝2，证明：SD∥平面ACE；（2）若二面角S﹣AC﹣E的余弦值为，求λ的值．【解答】（1）证明：∵BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面SCD，以C为原点，CD，CB所在直线分别为y，z轴，作Cx⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，2，2），B（0，0，4），D（0，2，0），S（1，1，0），∴＝（0，2，2），＝（﹣1，1，0），当λ＝2时，E（，，），∴＝（，，），设平面ACE的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝﹣1，则x＝y＝1，∴＝（1，1，﹣1），∵•＝﹣1×1+1×1＝0，∴⊥，又SD⊄平面ACE，∴SD∥平面ACE．（2）解：由B（0，0，4），S（1，1，0），及＝λ知，E（，，），∴＝（，，），设平面ACE的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝1，则x＝1﹣，y＝﹣1，∴＝（1﹣，﹣1，1），同理可得，平面SAC的一个法向量为＝（1，﹣1，1），设二面角S﹣AC﹣E的平面角大小为θ，则cosθ＝，∴|cos＜，＞|＝||＝||＝cosθ＝，化简得8（﹣+3）＝0，解得λ＝2或，当λ＝2时，＝（﹣1，﹣1，1），＝（1，﹣1，1），此时指向二面角S﹣AC﹣E的内部，指向二面角S﹣AC﹣E的外部，∴θ与＜，＞相等，cosθ＝cos＜，＞＝＝＝，当λ＝时，＝（﹣5，﹣1，1），＝（1，﹣1，1），此时指向二面角S﹣AC﹣E的内部，指向二面角S﹣AC﹣E的外部，∴θ与＜，＞相等，cosθ＝cos＜，＞＝＝＝﹣，不合题意，综上所述，λ＝2．21．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成（小孔在椭圆的左上方）．如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8．由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住．（1）求抛物线C1的方程；（2）若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长；（3）在（2）的条件下，求线段PQ的长．解：（1）设椭圆C2的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题可知：2b＝2，4a＝8，则b＝，a＝2，所以c＝1，故抛物线C1的焦点F1（1，0），所以抛物线C1的方程为y2＝4x；（2）由题可设Q（m，），代入抛物线的方程可得：m＝，即Q（），所以|QF1|＝；（3）由（2）可知k，即tan，又∠QF1F2+∠PF1F2＝π，得tan，又∠PF1F2∈（0，π），故cos，设PF1＝m，PF2＝4﹣m，而|F1F2|＝2，所以由余弦定理可得：PF cos∠PF1F2，即（4﹣m），解得m＝，故线段PQ的长为．22．已知椭圆的右焦点F的坐标为（1，0），左焦点为F′，且椭圆C上的点与两个焦点F，F'所构成的三角形的面积的最大值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，已知P，Q两点是位于x轴同侧的椭圆上的两点，且直线PF，QF的斜率之和为0，试问△PFQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．解：（1）设M（x，y）为椭圆C上的点，得到S△MFF′＝FF′•|y M|＝|y M|，又y M∈[﹣b，b]，则（S△MFF′）max＝b＝，所以a＝＝2，所以椭圆C的方程为+＝1．（2）设Q′是Q关于x轴的对称点，直线PF，QF的斜率之和为0知：直线PF，QF关于x轴对称，由椭圆的对称性可知，P，F，Q′三点共线，直线PF的斜率存在且不为0，设其方程为x＝my+1，由，消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，所以y P•y Q＝﹣，所以S△PQF＝S△PQQ′﹣S△PQF＝|2y Q||x P﹣x Q|﹣|2y Q||x P﹣x Q|＝|y Q||x P﹣1|＝|y Q||my P|＝|my P y Q|＝，又＝≤＝，当且仅当|m|＝时，取等号，故△PFQ的面积存在最大值．。

2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁U B= ．2．cos300°的值是．3．函数的最小正周期为．4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为．5．已知向量=（1，2），=（﹣2，2），则|﹣|的值为．6．已知函数f（x）=a x+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为．7．已知tan（α+）=2，则tanα=．8．若cos2α=，则sin4α﹣cos4α=．9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为cm2．10．已知sinα﹣cosα=m﹣1，则实数m的取值范围是．11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为．13．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是．14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．二、解答题（共6小题，满分64分）15．已知，，α，β均为锐角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．16．已知||=3，||=5，|+|=7．（1）求向量与的夹角θ；（2）当向量k+与﹣2垂直时，求实数k的值．17．已知向量，，θ为第二象限角．（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；（2）若∥，求的值．18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．（1）求该食品在30℃的保鲜时间；（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．（1）当时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．20．已知函数．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁U B= {1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．【分析】直接利用交、并、补集的混合运算求得答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4}，B={2，4}，∴∁U B={1，3}，又A={1，4}，∴A∩∁U B={1}．故答案为：{1}．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．cos300°的值是．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】根据诱导公式，可先借助300°=360°﹣60°，再利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出．【解答】解：cos300°=cos（360°﹣60°）=cos60°=故答案为【点评】考查学生灵活运用诱导公式进行化简的能力．3．函数的最小正周期为．【考点】正切函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可．【解答】解：的周期为T=．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为{﹣2，0} ．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接把x的取值代入函数解析式求解．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，得f（1）=﹣2，f（2）=﹣2，f（3）=0．∴f（x）的值域为{﹣2，0}．故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．5．已知向量=（1，2），=（﹣2，2），则|﹣|的值为 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；平面向量及应用．【分析】首先求出﹣的坐标，然后求模．【解答】解：因为向量=（1，2），=（﹣2，2），所以﹣=（3，0），所以|﹣|=3；故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及求向量的模；属于基础题．6．已知函数f（x）=a x+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（﹣1，0）．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令x+1=0，得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．于是f（x）恒过点（﹣1，0）．【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．∴f（x）恒过点（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）．【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．7．已知tan（α+）=2，则tanα=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=2，解方程求得 tanα 的值．【解答】解：∵已知tan（α+）=2，∴ =2，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．8．若cos2α=，则sin4α﹣cos4α=﹣．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】把所求的式子利用平方差公式化简，利用同角三角函数间的平方关系sin2α+cos2α=1进行化简，提取﹣1后再根据二倍角的余弦函数公式变形，将coc2α的值代入即可求出值．【解答】解：∵cos2α=，∴sin4α﹣cos4α=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）=﹣（cos2α﹣sin2α）=﹣cos2α=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦函数公式，以及平方差公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 1 cm2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．【分析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．【解答】解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为： =1．故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．10．已知sinα﹣cosα=m﹣1，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤3．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式可将sinα﹣cosα化简为2sin（α﹣），利用正弦函数的有界性即可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵m﹣1=sinα﹣cosα=2sin（α﹣），∴由正弦函数的有界性知，﹣2≤m﹣1≤2，解得﹣1≤m≤3．∴实数m的取值范围﹣1≤m≤3．故答案为：﹣1≤m≤3．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查正弦函数的有界性，属于中档题．11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象，可得=3+1，求得ω=．再根据五点法作图可得•（﹣1）+φ=0，求得φ=，故f（x）=，故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】设=， =，则=， =+，从而=，由此能求出λ+μ．【解答】解：设=， =，∵在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF，∴=， =+，∵，λ，μ均为实数，，∴=，∴，解得，∴λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．13．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，所以f（﹣3）=f（3），且f（﹣3）=﹣f（3），则f（﹣3）=f（3）=0，即±3也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．所以当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，即或，解得．故答案为：．【点评】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】新定义；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】令==， ==．则cos2θ=，根据θ的范围和||＞||得出k1，k2的值，计算出和sinθ．【解答】解： ====， ====．∴（）•（）=cos2θ=，∵，∴＜cos2θ＜，即＜＜．∵k1，k2∈Z，∴k1k2=2．∵，∴k1=2，k1=1，∴cos2θ=，sinθ=．： =．∴=×=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和对新定义的应用，根据所给条件找出k1，k2的值是解题关键．二、解答题（共6小题，满分64分）15．已知，，α，β均为锐角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．【解答】解：（1）∵，α为锐角，∴，∴．（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），∴，∴．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．16．已知||=3，||=5，|+|=7．（1）求向量与的夹角θ；（2）当向量k+与﹣2垂直时，求实数k的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）对模两边平方，利用两个向量的数量积的定义解得cosθ=，即可求出θ的度数；（2）根据向量垂直，其数量积为0，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵||=3，||=5，|+|=7，∴|+|2=（）2+（）2+2=||2+||2+2||||cosθ=9+25+30cosθ=47，∴cosθ=∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°；（2）∵向量k+与﹣2垂直，∴（k+）（﹣2）=0，∴k||2﹣2||2+（1﹣2k）||||cosθ=0，即9k﹣50+（1﹣2k）×3×5×=0，解得k=﹣．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积的运算，向量的垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于中档题17．已知向量，，θ为第二象限角．（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；（2）若∥，求的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）由得，对sinθ﹣cosθ取平方得（sinθ﹣cosθ）2=，根据θ的范围开方得出sinθ﹣cosθ的值；（2）由∥得，对进行化简得出答案．【解答】解：（1）∵，∴，∴．∴．∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴．（2）∵∥，∴﹣2sinθ﹣cosθ=0，∴．∴，．∴．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换与化简求值，是中档题．18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．（1）求该食品在30℃的保鲜时间；（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e30k+b即可．（2）由题意y=e kx+b≥80，结合指数幂的运算法则进行求解即可．【解答】解：（1）由题意，，∴…∴当x=30时，．…答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．…（2）由题意y=e kx+b≥80，∴，…∴kx≥10k．由可知k＜0，故x≤10．…答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．…【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．（1）当时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）h（x）=（4﹣log2x）•log2x，利用换元法，配方法，即可求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）令t=log2x，则t∈[0，3]﹒（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，h（x）=（4﹣log2x）•log2x，令t=log2x，则y=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，…∵，∴t∈（﹣1，3），y∈（﹣5，4]即函数h（x）的值域为（﹣5，4]．…（2）∵f（x3）•f（x2）＞kg（x），令t=log2x，则t∈[0，3]﹒∴（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．…令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立．…∵φ（t）的图象抛物线开口向上，对称轴，∴①当，即k≤﹣20时，∵φ（0）＞0恒成立，∴k≤﹣20；…②当，即k≥16时，由φ（3）＞0，得，不成立；…③当，即﹣20＜k＜16时，由，得，∴．…综上，．…【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．已知函数．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．【考点】函数单调性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）①f（x）在上为减函数，在上为增函数，当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，，且，即可求的值；②由①知，代入，利用配方法求的取值范围；（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0.，可得．利用分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，∴f（x）在上为减函数，在上为增函数．…①∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴，且，∴．…②由①知，∴，∵，∴．…（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0．∵，∴．…①若，∵f（x）在上为减函数，∴解得或，不合题意．…②若，∵f（x）在上为增函数，∴解得不合题意．…综上可知，不存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数”．…【点评】本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．。

江苏省常州市溧阳市光华高级中学2021年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个退休职工每年获得一份退休金，金额与他服务的年数的平方根成正比，如果多服务年，他的退休金会比原来多元，如果他多服务年，他的退休金会比原来多元，那么他每年的退休金是A. B. C. D .参考答案：D2. 函数在上恒为正数，则的取值范围是A． B．C． D．参考答案：D3. 下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体是参考答案：D4. 若直线经过两点，则直线的倾斜角是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用斜率公式求出直线，根据斜率值求出直线倾斜角.【详解】直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为，故选：C.【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。

5. 若方程有两个实数解，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A略6. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据函数奇偶性排除；根据和时，函数值的正负可排除，从而得到正确结果. 【详解】奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；当时，，可排除选项；当时，，可排除选项.本题正确选项：【点睛】本题考查函数图象的识别，解决此类问题常用的方法是根据函数的奇偶性、特殊位置的符号、单调性来进行排除.7. 若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，判断函数f（x）在R上的符号，根据奇函数把＜0转化为＜0，根据积商符号法则及函数的单调性即可求得＜0的解集．【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f（2）=0，所以x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0；x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0；＜0，即＜0，可知﹣2＜x＜0或0＜x＜2．故选A．【点评】考查函数的单调性和奇偶性，以及根据积商符号法则转化不等式，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了数形结合和转化的思想，属中档题．8. f（x）是定义在区间[﹣c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A．若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称．B．若a=1，0＜b＜2，则方程g（x=0）有大于2的实根．C．若a=﹣2，b=0，则函数g（x）的图象关于y轴对称D．若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有三个实根参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】当a＜0，b≠0时，由g（0）=af（0）+b=b≠0可排除A；方程g（x）=0，其实根即y=f （x）的图象与直线y=﹣b的交点的横坐标．由图象可判断B正确．【解答】解：当a＜0，b≠0时，g（0）=af（0）+b=b≠0，∴g（x）不是奇函数，此时函数g（x）的图象不关于原点对称，故A不正确．方程g（x）=0，即af（x）+b=0，当a≠0时，其实根即y=f（x）的图象与直线y=﹣b的交点的横坐标．当a=1，0＜b＜2时，﹣b∈（﹣2，0），由图所知，y=f（x）的图象与直线y=﹣b有一交点的横坐标大于2，故B正确．故选B．9. 偶函数满足，且在时，，则函数在上的零点的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：D略10. △ABC所在平面内的点O，满足·=·=·，则点O是△ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则参考答案：3略12. 用，，三个不同的字母组成一个含有（）个字母的字符串，要求如下：由字母开始，相邻两个字母不能相同。

2018-2019 学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14 小题，每小题 4 分，共 56 分．把答案填在答题卡指定位置上．1．（ 4 分）已知集合A＝ {1 ， 2， 3} ， B＝ {1 ，X} ，若 A∪ B＝ A，则实数 x 的值为2．（ 4 分）＝．3．（ 4 分）已知 | |＝ 3， | |＝ 6，，的夹角为60°，则 ?（ + ）＝4．（ 4分）已知 tan（α+β）＝， tan（β﹣）＝，那么 tan（α+）的值是．5．（ 42分）函数 y＝ cos x﹣ cosx 的值域是6．（ 4分）已知函数f（x）＝ Asin（ωx+φ）（ x∈R）（其中 A＞ 0，）的图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为（， 3），则该函数的解析式为f（ x）＝7．（ 4分）把函数f（x）＝ sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y＝ g（ x）的图象，则函数 y＝ g（ x）的单调递减区间是8．（ 4 分）《九章算术）是我国古代数学成就的出代表作，其中（方田）章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢 +矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于 4 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是2，则实数 a 的取值范围为9．（ 4 分）函数 f（ x）＝ x ﹣ 4x（﹣ 1≤ x≤ a）的值域为 [﹣ 4，5]10．（ 4 分） a＝．则 a，b，c 的大小关系用“＜”连接是11．（4 分）已知函数 y＝ f（ x）为偶函数，且y＝ f（x）在（ 0， +∞）上单调递增， f（﹣ 1）＝ 0， f（ 0）＝﹣ 1，则 f（ x﹣ 1）＞ 0 的解集为12．（ 4 分）已知下列命题，写出所有正确的命题的题号：．：①函数 y＝ tanx 在第一象限是增函数；2②函数 y＝ cos （﹣x）是偶函数；③函数 y＝ 4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数 y＝ sin （x+）在闭区间 [﹣，] 上是增函数．13．（ 4 分）如图，扇形AOB 的圆心角为，半径为1． M， N 分别是半径 OB， OA 的中点，点 P 是弧 AB 上任意一点，则的取值范围是．﹣ x 14．（ 4 分）偶函数 y＝ f（ x）满足 f（ x+3 ）＝ f（ 3﹣ x），在 x∈[﹣ 3， 0]时， f （x）＝ 2 ．若存在 x1， x2， x n满足 0≤ x1＜ x2＜＜ x n，且 |f（ x1）﹣ f（ x2）|+|f（ x2）﹣ f（ x3） |+ +|f （ x n﹣1）﹣ f （ x n）|＝ 2019 ，则 x n最小值为．二、解答题：本大题共 6 小题，共64 分．解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤．15．（10 分）函数 f（ x）＝ ln（x﹣ 3）的定义域为A，集合 B＝{ x|a﹣ 1≤x≤ a+3} ，其中 a∈R．（1）若 a＝ 2，求 A∩B；（2）若 A∪ B＝ A，求实数 a 的取值范围．16．（ 10 分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（﹣1，2）（ 1）若∥，求的值；（ 2）若 |﹣|＝，α∈，求tanα的值．17．（ 10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．（ 1）A、 B、C 三点满足＝+，求证：A、B、C三点共线；（ 2）已知 A（ sinx，cosx）， B（ cosx，cosx），函数 f（ x）＝（?+），求使不等式f （ x）≥成立的x的取值范围．18．（ 10 分）（ 1）求 cos15°的值并写出“两角差的余弦公式”（角用α，β，α﹣β表示）（ 2）证明“两角差的余弦公式”（备用图是单位圆，如果用到备用图请在答卷上作图）．19．（ 12 分）如图，学校图书馆前有一块矩形草坪，草坪长AB＝ 80 米，宽 BC＝ 40米，为了便于师生体闲散步，打算在这块草坪内铺设三条小路，要求三条小路连成直角三角形，其中两条路的一端在草坪长的中点处（此处为所成直角三角形的直角顶点），另一端分别在草坪两条宽上，三条路铺设费用均为每米500 元，铺设这三条小路至少需要经费多少元？x﹣x（ a＞ 0 且 a≠ 1）是定义域为R 的奇函数．20．（ 12 分）设函数 f（ x）＝ a ﹣（ k+1） a（ 1）若 f（ 1）＞ 0，求 k 的值并判断函数f（x）的单调性（要说明理由）；（ 2）在（ 1）的条件下若不等式f（ sin2θ+cos2θ） +f（ 1﹣ mcosθ）＜ 0对所有的θ∈（ 0，）恒成立，求m 的取值范围；（ 3）若 f（ 1）＝2x﹣ 2x﹣2tf （ x），且 g（ x）在 [1， 2]上的最小值为﹣2，，g（ x）＝ a+a求 t 的值．2018-2019 学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14 小题，每小题 4 分，共 56 分．把答案填在答题卡指定位置上．1．（ 4 分）已知集合A＝ {1 ， 2， 3} ， B＝ {1 ，X} ，若 A∪ B＝ A，则实数 x 的值为 2 或 3 【分析】根据 A∪ B＝A 即可得出 B? A，从而得出 x＝2 或 3．【解答】解：∵ A∪ B＝ A；∴B? A；∴x＝ 2 或 3．故答案为： 2 或 3．【点评】考查并集、子集的定义，列举法的定义，元素与集合的关系．2．（ 4 分）＝．【分析】将所求式子中的角变形为π+，然后利用诱导公式sin（π+α）＝﹣ sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解： sin＝ sin（π+）＝﹣ sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．（ 4 分）已知 | |＝ 3， | |＝ 6，，的夹角为60°，则（?+）＝18【分析】利用已知条件结合向量的夹角以及向量的数量积运算法则求解即可．【解答】解： | |＝ 3， | |＝ 6，，的夹角为60°，则（?+）＝＝9+＝18．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，考查计算能力．4．（ 4 分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，那么tan（α+）的值是．【分析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可．【解答】解：因为tan（α+β）＝，，所以 tan（α+）＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，基本知识的考查．25．（ 4 分）函数y＝ cos x﹣ cosx 的值域是[，2]【分析】直接利用三角函数的有界性，结合二次函数的性质求解即可．2【解答】解：∵ y＝ cos x﹣ cosx，令cosx＝ t （﹣ 1≤ t≤ 1），则y＝ t 2﹣ t＝（ t﹣）2﹣，∵﹣ 1≤ t≤1，∴当 x＝时， y min＝；当 x＝﹣ 1 时， y max＝2．2， 2]．∴函数 y＝ cos x﹣ cosx 的值域为 [故答案为： [， 2]．【点评】本题考查了二次函数值域的求法，考查了换元法和配方法，是中档题．6．（ 4 分）已知函数f（x）＝ Asin（ωx+φ）（ x∈R）（其中 A＞ 0，）的图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为（， 3），则该函数的解析式为f（ x）＝3sin（ 2x+）【分析】根据条件先求出函数的周期和ω，利用最值点代入求出 A 和φ即可．【解答】解：图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为，即，则 T＝π＝，即ω＝2，图象上一个最高点为（， 3），∴A＝ 3，则 f（ x）＝ 3sin（ 2x+φ），为 f（）＝ 3sin（ 2×+φ）＝ 3，即 sin（+φ）＝ 1，∵ 0＜φ＜，∴+φ＝，即φ＝，则 f（ x）＝ 3sin（ 2x+），即函数的解析式为 f （x）＝ 3sin（ 2x+），故答案为： 3sin（ 2x+）．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数的性质求出周期和ω 和φ 的值是解决本题的关键．7．（ 4 分）把函数f（x）＝ sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y＝ g（ x）的图象，则函数 y＝ g（ x）的单调递减区间是[] （ k∈Z）【分析】首先利用函数关系式的平移变换求出正弦型函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间．【解答】解：函数 f （x）＝ sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数 y＝ g（x）＝ sin（ 2x﹣）的图象．令：（ k∈Z），解得：（ k∈Z），所以函数的单调递减区间为： [] （ k∈Z）故答案为： []（ k∈Z）【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8．（ 4 分）《九章算术）是我国古代数学成就的出代表作，其中（方田）章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢 +矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于 4 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是4 2 平方米【分析】根据在直角三角形的边角关系求出弦AB，以及弦长“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可．【解答】解：如图，由题意可得∠AOB＝，OA ＝4，在 Rt△AOD 中，∠ AOD＝，∠ DAO ＝， OD ＝AO＝× 4＝ 2，可得矢＝ 4﹣ 2＝2，由 AD ＝ AOsin＝ 4×＝ 2，可得弦 AB ＝2AD＝ 4，所以弧田面积＝（弦×矢 +矢2）＝（4× 2+22）＝ 4 2 平方米，故答案为： 4 2 平方米．【点评】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，结合弧田面积公式分别求出对应的弦和矢是解决本题的关键．2，则实数 a 的取值范围为[2，9．（4 分）函数 f（ x）＝ x ﹣ 4x（﹣ 1≤ x≤ a）的值域为 [ ﹣4，5]5]【分析】根据二次函数的解析式，求出函数的对称轴，结合函数值域确定定义域的范围即可．【解答】解： f（ x）＝（ x﹣ 2）2﹣ 4，对称轴为x＝ 2，由（ x﹣2）2﹣ 4＝5，得（ x﹣ 2）2＝ 9，即x﹣ 2＝ 3 或 x﹣ 2＝﹣ 3，即x＝ 5 或 x＝﹣ 1，∵f（﹣ 1）＝ 5， f（ 2）＝﹣4，∴ 2≤ a≤ 5，即实数 a 的取值范围是 [2， 5]，故答案为： [2， 5]【点评】本题主要考查一元二次函数值域的应用，利用二次函数的对称性是解决本题的关键．10．（ 4 分） a＝．则a，b，c的大小关系用“＜”连接是b＜ a＜c【分析】容易看出，，，从而可用“＜”连接a，b， c．【解答】解：∵，；∴b＜ a＜ c．故答案为： b＜ a＜ c．【点评】考查分数指数幂的运算，指数函数的单调性，以及增函数的定义．11．（4 分）已知函数y＝ f（ x）为偶函数，且y＝ f（x）在（ 0， +∞）上单调递增，f（﹣ 1）＝ 0， f（ 0）＝﹣ 1，则 f（ x﹣ 1）＞ 0 的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出f（ x）的草图，结合图象先求出（x）＞ 0的解，然后进行求解即可．【解答】解∵ y＝ f（ x）为偶函数，且 y＝ f（ x）在（ 0，+∞）上单调递增， f（﹣ 1）＝ 0，f （ 0）＝﹣ 1，∴作出函数f（ x）的图象如图：则 f（ x）＞ 0 的解为 x＞ 1 或 x＜﹣ 1，由 x﹣ 1＞ 1 或 x﹣ 1＜﹣ 1，得 x＞ 2 或 x＜ 0，即不等式， f（ x﹣ 1）＞ 0 的解集（﹣∞，0）∪（ 2， +∞），【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质作出函数f（ x）的图象是解决本题的关键．12．（ 4 分）已知下列命题，写出所有正确的命题的题号：③．：①函数 y＝ tanx 在第一象限是增函数；2﹣x）是偶函数；②函数 y＝ cos （③函数 y＝ 4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数 y＝ sin （x+）在闭区间 [﹣，] 上是增函数．【分析】直接举反例说明命题①④ 错误；化简函数y＝ cos 2（﹣ x），然后代值验证说明②错误；由 x＝时 y＝ 4sin（2x﹣）＝ 0 说明命题③正确．【解答】解：对于① ，取，，但．∴函数 y＝ tanx 在第一象限不是增函数．命题①错误；对于②，∵函数 y＝ cos 2（﹣x）＝＝．当 x＝时， y＝ 1．当 x＝﹣时， y＝ 0．∴函数 y＝ cos 2（﹣x）是非奇非偶函数．命题② 错误；对于③，当 x＝时， y＝ 4sin（ 2x﹣）＝ 0．∴函数 y＝ 4sin（ 2x﹣）的一个对称中心是（， 0）．命题③ 正确；对于④， x＝时，y＝1．x＝时，y＝．∴函数 y＝ sin（ x+）在闭区间[﹣，] 上是增函数错误．故正确命题的题号是③ ．故答案为：③【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象与性质，属中档题．13．（ 4 分）如图，扇形AOB 的圆心角为，半径为1． M， N 分别是半径OB， OA 的中点，点 P 是弧 AB 上任意一点，则的取值范围是[，]．【分析】可设∠ POM ＝θ，将所求用向量、和表示，利用向量的数量积公式表示为θ的代数式，再利用三角函数求范围．【解答】解：由题意，设∠POM ＝θ，则 ?＝（ +）（?+）＝ ? + ? + ? +＝（﹣）（?﹣）+（﹣）?+（﹣）? +1＝× 1× 1× cos﹣× 1× 1×cosθ﹣× 1× 1× cos（﹣θ）+1＝﹣﹣cosθ﹣（﹣cosθ+sinθ） +1＝﹣（cosθ+sinθ）＝﹣sin（θ+），因为θ∈[0，] ，所以θ+∈[，]，所以 sin（θ+）∈[ ， 1]，所以?的取值范围是 [ ，] ．故答案为： [，] ．【点评】本题考查了向量的数量积运算以及三角函数的恒等变形求范围问题，关键是将所求用向量的夹角表示，利用三角函数的有界性求范围．﹣ x 14．（ 4 分）偶函数 y＝ f（ x）满足 f（ x+3 ）＝ f（ 3﹣ x），在 x∈[﹣ 3， 0]时， f （x）＝2 ．若存在 x1， x2， x n满足 0≤ x1＜ x2＜＜ x n，且 |f（ x1）﹣ f（ x2）|+|f（ x2）﹣ f（ x3） |++|f （ x n﹣1）﹣ f （ x n）|＝ 2019 ，则 x n最小值为1012．【分析】由函数 y＝ f（ x）是最小正周期为 6 的偶函数可知函数的值域为[1， 8]，对任意x i， x j（ i ， j＝ 1， 2， 3，， m），都有 |f（ x i）﹣ f（ x j） |≤ f（ x）max﹣ f（ x）min＝ 7，要使m 取得最小值，尽可能多让x i（i ＝ 1，2，3，，m）取得最高点，然后可得x n的最小值．【解答】解：∵偶函数y＝f （x）满足 f（ x+3）＝ f（ 3﹣ x）＝ f （x﹣ 3），∴f（ x+6）＝ f （x），﹣x∴函数 y＝ f （x）是最小正周期为 6 的偶函数，且在 x∈[﹣ 3， 0]时， f （x）＝ 2 ∴函数的值域为 [1，8]，对任意 x i，x j（ i ，j＝ 1，2，3，， m），都有 |f（ x i）﹣ f（ x j）|≤ f（x）max﹣ f（ x）min＝ 7，若 0≤x1＜ x2＜＜ x n≤ 3，∵ x∈[ ﹣ 3，0] 时， f（x）＝ 2﹣x单调递减，根据偶函数的对称性可知x∈[0， 3]时， f（ x）＝ 2x单调递增，∵ f（ 0）＝ 1， f（ 3）＝ f（﹣ 3）＝ 8，要使 x n取最小值，尽可能多让x i（ i＝ 1， 2，3 n）取最高点与最低点，满足0≤ x1＜ x2＜＜ x n，且 |f（ x1）﹣ f（ x2） |+|f（ x2）﹣ f （ x3）|++|f（ x n﹣1）﹣ f（ x n）|＝ 2019，∵2019＝ 7× 288+3，∴|f（ 0）﹣ f（ 3） |+|f（ 3）﹣ f（ 6） |+ +|f （ 864）﹣ f（867） |+|f（ 1008）﹣ f（ 1009） |+|f （1009）﹣ f（ 1012）|第 11 页（共 18 页）＝4× 504+|0﹣ 1|+|0+1|＝ 2018，则x n最小值为 1012，故答案为： 1012．【点评】本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题二、解答题：本大题共 6 小题，共64 分．解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤．15．（10 分）函数 f（ x）＝ ln（x﹣ 3）的定义域为A，集合 B＝{ x|a﹣ 1≤x≤ a+3} ，其中 a∈R．（1）若 a＝ 2，求 A∩B；（2）若 A∪ B＝ A，求实数 a 的取值范围．【分析】（ 1）可求出 A＝ { x|x＞3} ，a＝2 时，得出集合 B＝ { x|1≤ x≤5} ，然后进行交集的运算即可；（2）根据 A∪B＝ A 可得出 B? A，从而得出 a﹣ 1＞3，解出 a 的范围即可．【解答】解：（ 1） A＝ { x|x＞ 3} ， a＝ 2 时， B＝ { x|1≤ x≤ 5} ；∴ A∩ B＝ { x|3＜ x≤ 5} ；（2）∵ A∪ B＝ A；∴B? A；∴a﹣ 1＞ 3；∴a＞ 4；∴实数 a 的取值范围为（4， +∞）．【点评】考查函数定义域的概念及求法，描述法的定义，以及交集的运算，并集和子集的定义．16．（ 10 分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（﹣1，2）（ 1）若∥，求的值；（ 2）若 |﹣|＝，α∈，求tanα的值．【分析】（ 1 ）由已知结合向量共线的坐标运算求得tanα，然后化弦为切求解的值；（ 2）由 |﹣|＝，得2sinα﹣cosα＝2，联立平方关系可得sinα， cosα的值，则答案可求．【解答】解：（ 1）＝（ cosα， sinα），＝（﹣ 1， 2），由∥，得 2cosα＝﹣ sin α，∴ tanα＝﹣ 2．∴＝；（ 2）由 |﹣ |＝22，得（ cosα+1） +（ sinα﹣ 2）＝ 2，∴ 2sinα﹣ cosα＝ 2，联立，又α∈，解得．∴ tanα＝．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查平面向量共线的坐标运算，是基础的计算题．17．（ 10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．（ 1）A、 B、C 三点满足＝+，求证： A、 B、 C 三点共线；（ 2）已知 A（ sinx，cosx）， B（ cosx，cosx），函数 f（ x）＝?（+ ），求使不等式 f （ x）≥成立的 x 的取值范围．【分析】（ 1）两边同时减去，易得为共线向量，得证；（ 2）利用数量积把f（ x）转化为三角函数，从而解三角不等式，得解．【解答】解：（ 1）证明：由，得，得，∴为共线向量，∴A， B， C 三点共线；（ 2） f（ x）＝＝（ sinx， cosx）（?sinx+cosx，2cosx）22＝ sin x+sin xcosx+2cos x＝1+ sin2x+＝+sin（2x+），由 f（ x），得 sin（ 2x+）≥ 0，∴2kπ≤ 2x≤ 2kπ+π，k∈Z，∴ kπ，k∈Z，故 x 的取值范围为 [kπ，kπ]， k∈Z．【点评】此题考查了数量积，三角公式，三角不等式等，难度不大．18．（ 10 分）（ 1）求 cos15°的值并写出“两角差的余弦公式”（角用α，β，α﹣β表示）（ 2）证明“两角差的余弦公式”（备用图是单位圆，如果用到备用图请在答卷上作图）．【分析】（ 1）利用两角和差的余弦公式进行求解即可（ 2）在单位圆中，作出两个向量，利用向量数量积的定义和坐标公式进行求解即可【解答】解：（ 1） cos15°＝ cos（ 45 °﹣ 30°）＝ cos45° αcos30° +sin45 ° sin30°＝＝，两角差的余弦公式为cos（α﹣β）＝ cosαcosβ+sinαsinβ．（2）：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x 轴非负半轴为始边分别作角α，β．设它们的终边分别交单位圆于点P1（ cosα， sinα）， P2（cosβ， sinβ），即有两单位向量，它们的所成角是|α﹣β|，根据向量数量积的性质得：，＝cos（α﹣β）＝cos|α﹣β|①又根据向量数量积的坐标运算得：，＝cosαcosβ+sinαsinβ②由①②得 cos（α﹣β）＝ cosαcosβ+sinαsinβ【点评】本题主要考查两角和差的应用和推导，利用向量数量积的定义以及坐标公式是解决本题的关键．19．（ 12 分）如图，学校图书馆前有一块矩形草坪，草坪长AB＝ 80 米，宽 BC＝ 40米，为了便于师生体闲散步，打算在这块草坪内铺设三条小路，要求三条小路连成直角三角形，其中两条路的一端在草坪长的中点处（此处为所成直角三角形的直角顶点），另一端分别在草坪两条宽上，三条路铺设费用均为每米500 元，铺设这三条小路至少需要经费多少元？【分析】设∠ BOE＝α，用α表示出三条小路的长度，根据三角变换和α 的范围得出经费的最小值．【解答】解：由题意可知 OA＝ OB＝ 40，设∠ BOE＝α，则∠ AOF ＝﹣α，∠ AFO＝α．∴ OE＝， OF ＝， EF＝＝．∴三条小路的总长为++＝．∵ BE＝ 40tanα≤ 40， AF＝≤ 40，∴≤ tanα≤．∴≤ α≤．令 sinα+cosα＝ t，则 sinαcosα＝，∴＝＝．又 t＝ sinα+cosα＝sin （α+），∴≤t．∴当 t＝时，取的最小值＝ 80（+1 ）．∴铺设这三条小路至少需要经费500× 80（）＝ 40000（+1 ）元．【点评】本题考查了三角恒等变换，解三角形的应用，求出α的范围是解题关键所在．20．（ 12 分）设函数x﹣x（ a＞ 0且 a≠ 1）是定义域为R 的奇函数．f（ x）＝ a ﹣（ k+1） a（ 1）若 f（ 1）＞ 0，求 k 的值并判断函数f（x）的单调性（要说明理由）；（ 2）在（ 1）的条件下若不等式f（ sin2θ+cos2θ） +f（ 1﹣ mcosθ）＜ 0对所有的θ∈（ 0，）恒成立，求m 的取值范围；（ 3）若 f（ 1）＝，g（ x）＝ a 2x ﹣ 2x﹣2tf （ x），且 g（ x）在 [1， 2]上的最小值为﹣2，+a求 t 的值．【分析】（ 1）根据函数的奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可（2）利用函数奇偶性和单调性的性质，进行转化，利用参数分离法转化为求出最值问题即可（3）根据 f（ 1）＝，求出 a 的值，利用换元法转化为一元二次函数，讨论对称轴与区间的关系进行求解【解答】解：（ 1）∵ f（ x）是定义域为R 的奇函数，∴ f（ 0）＝ 0，即 f（ 0）＝ 1﹣（ k+1）＝﹣ k＝0，得 k＝ 0，x﹣x，则 f（ x）＝ a﹣ a∵ f（ 1）＞ 0，∴ f（ 1）＝ a﹣ a﹣1＞ 0，即 a＞，得a 2＞ 1，得 a＞ 1 或 a＜﹣ 1∵ y ＝ a x 是增函数 y ＝ a ﹣x是减函数，x﹣ x∴ f （ x ）＝ a ﹣ a ，是增函数．（ 2）不等式 f （ sin2θ+cos2θ） +f （ 1﹣mcos θ）＜ 0 得不等式 f （ sin2θ+cos2θ）＜﹣ f （ 1﹣ mcos θ）＝ f （mcos θ﹣ 1），∵ f （ x ）＝ a x﹣ a ﹣ x ，是增函数，∴ sin2θ+cos2θ＜ mcos θ﹣ 1，所有的θ∈（ 0， ）恒成立，即 2sin θcos θ+2cos 2θ﹣ 1＜ mcos θ﹣ 1，2得 2sin θcos θ+2cos θ＜mcos θ，∵ θ∈（ 0， ）， cos θ＞0，∴等价为 2sin θ+2cos θ＜ m 在 θ∈（0， ）恒成立，∵ 2sin θ+2cos θ＝ 2 sin （θ+ ），当 θ∈（ 0， ）时， θ+ ∈（，），∴当 θ+ ＝ 时， 2sin θ+2cos θ取得最大值为 2 sin＝ 2，则 m ＞ 2．（ 3）若 f （ 1）＝ ，则 f （ 1）＝ a ﹣ a ﹣1 ＝ ，即 2a 2﹣3a ﹣ 2＝ 0，得 a ＝﹣ ，（舍）或 a ＝ 2，则 g （ x ）＝ a2x +a ﹣2x ﹣ 2tf （ x ）＝ a 2x +a ﹣2x ﹣ 2t （ a x ﹣a ﹣ x ）＝（ 2x ﹣ 2﹣x ） 2﹣ 2t （ 2x﹣ 2﹣ x ）+2，x ﹣ x ，则函数 x ﹣x 为增函数， f （ 2）＝ 4﹣ ＝，设 m ＝ f （ x ）＝ 2 ﹣ 2 m ＝ 2 ﹣ 2且 ≤ m ≤，222则 y ＝ h （ m ）＝ m ﹣ 2tm+2 ＝（ m ﹣t ） +2﹣ t ，若 t ≥，函数的最小值为h （）＝（） 2﹣ 2t ×+2＝﹣ 2，得 t ＝＜，此时 t 无解，若 t ＜ ，函数的最小值为h （）＝（ ）2﹣ 2t × +2＝﹣ 2，得 t ＝＞，此时 t 无解，若 ≤ t ≤，函数的最小值为 h （ t ）＝ 2﹣ t 2＝﹣ 2，得 t 2＝4，即 t ＝ 2．【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，以及不等式恒成立问题，利用换元法转化是为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．。

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={0,1,2}，B ={x|x ≤1}，则A ∩B 的子集个数为( )A. 2B. 4C. 8D. 162. 函数f(x)=2x +3x −4的零点所在的区间为( )A. (−1,0)B. (0,12)C. (12,1)D. (1,43)3. 已知角α的终边过点P(4,m)(m ≠0)，且sinα=m5，则cosα的值为( )A. ±35B. −35C. ±45D. 454. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x −2 −1 1 2 3 y0.240.512.023.988.02在以下四个函数模型(a,b 为待定系数)中，最能反映x ，y 函数关系的是( )A. y =a +bxB. y =a +bxC. y =a +log b xD. y =a +b x5. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为α，则sinαcosα的值为( )A. 15B. 25C. √55 D. 2√556. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制(Dense positionsystem)，密位制的单位是密位．1密位等于圆周角的16000，即2π=360°=6000密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0−03，123密位写成1−23，设圆的半径为1，那么5−00密位的圆心角所对的弧长为( )A. π6B. π4C. π3D. π27. 设a =2√3，b =log 23，c =√3，则( )A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>c>a8.已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；乙：f(x)的图象关于直线x=1对称；丙：f(x)在区间[−1,1]上单调递减；丁：函数f(x)的周期为2．如果只有一个假命题，则该命题是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是()A. y=−1xB. y=x3C. y=tanxD. y={x 2+3x,x≥0−x2+3x,x<010.关于函数f(x)=sin(2x−π3)，下列说法正确的是()A. 将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位，可以得到函数f(x)的图象B. 函数f(x)在区间(−π12,π12)上是单调增函数C. 函数f(x)的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=5π12D. 若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x1−x2|的最小值为π211.已知函数f(x)=ax2+bx−3，下列结论中正确的是()A. 不等式f(x)<0的解集可以是{x|x>3}B. 不等式f(x)>0的解集可以是⌀C. 函数f(x)在(0,+∞)上可以有两个零点D. “方程f(x)=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a>0”12.在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2(cos(α+π3),sin(α+π3))，P3(cos(α−π6),sin(α−π6))，则下列说法正确的是()A. 线段OP2与OP3的长均为1B. 线段P2P3的长为1C. 若点P 1，P 2关于y 轴对称，则α=π3+kπ(k ∈Z) D. 当α=13π12时，点P 1，P 3关于x 轴对称三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−cosα=______． 14. 设alog 34=2，则4−a 的值为______．15. 定义在区间[0,2π]上的函数y =cosx 的图象与y =sin2x 的图象的交点个数为______． 16. 已知函数f(x)=(23)|x+3|−(x +3)23，该函数f(x)在R 上的所有零点之和为______；使得不等式f(2m −1)>f(m +3)成立的实数m 的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|log 3x >12}，B ={x|(12)x−a >18}，C ={x|y =√3x 2−7x +2}．(1)当a =−2时，求A ∪B ；(2)已知“x ∈B ”是“x ∈C ”的充分条件，求实数a 的取值范围．18. 已知f(α)=cos(2π−α)sin(π+α)sin(π2+α)tan(3π−α)．(1)求f(4π3)的值；(2)若f(α+π6)=14，求cos(5π6−α)及cos 2(π3−α)的值．19.为进一步推进“快递进村”工程，加大农村综合物流服务供给力度，使得快递服务“三农”成果更加丰硕，让广大农民可以享受到更加便捷高效的快递服务，我市某乡镇农业产业园联合多家快递企业计划在该镇建一矩形物流中转站ABCD．按照规划要求，需要将中转站设计为内部物流工作区A1B1C1D1(图中阴影部分)和四周物流车辆通行区，已知内部物流工作区A1B1C1D1的面积需要4000平方米，四周车道的宽分别需要4米和10米，如图所示．(1)设工作区的长A1B1=x(单位：米，且A1B1>A1D1)，求中转站ABCD的占地面积S关于x的函数S(x)；(2)为了使中转站占地面积最小，问：工作区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？20.已知函数f(x)=log a(3+bx)，且f(1)=−1，f(2)=0．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)=f(x)−f(−x)，判断函数g(x)的单调性并用定义证明．21.某同学用“五点法”画函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请根据上表数据，求函数f(x)的解析式；(2)关于x的方程f(x)=t区间[0,π2]上有解，求t的取值范围；(3)求满足不等式[f(x)−f(54π)]⋅[f(x)−f(−23π)]>0的最小正整数解．22.在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为f(x)，双曲余弦函数为g(x)，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为R，且f(x)在R上是增函数；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=e x(常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题：(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；(2)求函数y=g(2x)−2f(x)，x∈[0,ln2]的值域；(3)设ℎ(x)=[f(x)+g(x)−1]+m[g(x)−f(x)−1]，若对任意的正数x1，x2，都有ℎ(x1)>0，ℎ(x2)>0，且ℎ(x1+x2)>ℎ(x1)+ℎ(x2)，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={0,1,2}，B ={x|x ≤1}， ∴A ∩B ={0,1}，∴A ∩B 的子集个数为：22=4． 故选：B ．进行交集的运算求出A ∩B ，然后即可得出A ∩B 的子集个数．本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：f(x)=2x +3x −4，显然f(x)在R 上单调递增， 而f(12)=√2+32−4<0，f(1)=2+3−4>0， 函数f(x)的零点所在的区间是(12,1)， 故选：C ．根据函数的单调性以及零点存在性定理求出答案即可． 本题考查了函数的零点存在性定理，考查转化思想，是基础题．3.【答案】D【解析】 【分析】本题考查正弦函数的定义，解题的关键是正确运用定义，属于基础题． 根据三角函数的定义，先计算r ，再利用正弦函数的定义求出m ，即可求解． 【解答】解：因为角α的终边过点P(4,m)，所以OP =√42+m 2， 因为sinα=m 5=√42+m 2，所以m =±3．所以cosα=4√42+32=45．故选：D．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了根据实际问题选择函数模型，属于中档题．由表格数据作出散点图，结合图象的特点选择对应的函数即可．【解答】解：由表格数据作出散点图如下：数据散点图和指数函数图象类似，故选项D最能反映x、y的函数关系，故选：D．5.【答案】B【解析】解：设直角三角形的短直角边为x，则长直角边为x+2√5，因为大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，所以100=x2+(x+2√5)2，解得x=2√5，所以tanα=x+2√5=12，所以sinαcosα=sinα⋅cosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=25．故选：B．先利用勾股定理求得直角三角形两条直角边的长度，然后求得tanα的值，进而求解结论．本题考查两角差的正切公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为1密位等于圆周角的16000，所以5−00密位的圆心角为5006000×2π=π6，又圆的半径为1，所以弧长l=π6×1=π6．故选：A．由密位制与弧度的换算公式可得，5−00密位相当于π6，再由弧长l=αR，得解．本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵2√3>21=2，∴a>2，∵35=243<28=256，∴3<285，∴log23<log2285=85=1.6<√3<2，∴b<c<a，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．8.【答案】D【解析】解：由函数f(x)的特征可知：函数在区间[−1,1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)在区间[−1,1]上单调递减与函数f(x)的周期为2互相矛盾．即：丙和丁中有一个为假命题．若甲乙成立，故f(−x)=−f(x)，f(x+1)=f(1−x)故f(x+2)=f[1−(1+x)]=f(−x)=−f(x)，故f(x+4)=f(x)，所以函数的周期为4，即丁为假命题，由于只有一个假命题，故选：D．直接利用函数的性质，单调性，周期性，对称性的应用判断甲乙丙丁的真假，本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性，对称性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】BD【解析】解：A.函数在定义域上不是单调函数，不满足条件．B.f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，f(x)是奇函数，且是增函数，满足条件．C.y=tanx是奇函数，但在定义域上不是单调函数，不满足条件．D.当x<0，则−x>0，则f(−x)=x2−3x=−(−x2+3x)=−f(x)，当x>0，则−x<0，则f(−x)=−x2−3x=−(x2+3x)=−f(x)，f(0)=0，综上f(−x)=f(x)，即f(x)是奇函数，作出f(x)的图象如图：由图象知函数为增函数，满足条件，故选：BD．分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断是解决本题的关键，是基础题．10.【答案】ABD)，【解析】解：关于函数f(x)=sin(2x−π3个单位，可以得到函数f(x)的图象，故A正确；将函数y=sin2x的图象向右平移π6在区间(−π12,π12)，2x−π3∈(−π2,−π6)，函数f(x)单调递增，故B正确；令2x−π3=kπ+π2，求得x=kπ2+5π12，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2+5π12，k∈Z，令k=−1，可得与y轴最近的对称轴的方程是x=−π12，故C错误；若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x1−x2|的最小值为12T=12⋅2π2=π2，故D正确，故选：ABD．由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：A：若不等式f(x)<0的解集是{x|x>3}，∴a=0且f(3)=3b−3=0，则b=1，由f(x)=x−3<0，解得x<3，与题意不符，A错误，B：令a=−1，b=0，则f(x)=−x2−3<0，∴f(x)>0的解集为⌀，∴B正确，C：令a=−1，b=4，则f(x)=−x2+4x−3，由f(x)=0，则x=1或x=3，∴C正确，D：方程f(x)=0有一个正根和一个负根⇔{a≠0−3a<0⇔a>0，∴D正确，故选：BCD．利用不等式的性质判断A，利用举实例判断BC，利用方程根的分布判断D．本题考查一元二次不等式的性质，函数的零点，方程根的分布，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：|OP2|=√cos2(α+π3)+sin2(α+π3)=1，|OP3|=√cos2(α−π6)+sin2(α−π6)=1，故|OP2|=|OP3|，故A正确；|P2P3|=√[cos(α+π3)−cos(α−π6)]2+[sin(α+π3)−sin(α−π6)]2=√2−2[cos(α+π3)cos(α−π6)+sin(α+π3)sin(α−π6)=√2−2cos[(α+π3)−(α−π6)]=√2．若点P1，P2关于y轴对称，∴cosα=−cos(α+π3)且sinα=sin(α+π3)，∴tanα=√3，∴α=π3+kπ(k∈Z)，故C正确；当α=13π12时，P1(cosα,sinα)即P1(−√6+√24,−√6−√24)，P3(cos(α−π6),sin(α−π6))即P3(−√6+√24,√6−√24)，所以点P1，P3关于x轴对称，故D正确．故选：ACD．依据条件逐项计算可判断选项的正确性．本题考查两点间的距离，以及三角恒等变换，属基础题．13.【答案】3【解析】解：sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=2+12−1=3，故答案为3．把tanα=2，代入sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1，运算求得结果．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题．14.【答案】19【解析】解：∵alog34=2，∴a=2log34=2log43=log49，∴4−a=14a =14log49=19，故答案为：19．利用对数的运算性质求解．本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：由于函数y =sin2x 与y =cosx 有交点， 则：sin2x =cosx ，整理得：sinx =12或cosx =0，所以：在[0,2π]范围内，x =π6，5π6，π2，3π2， 故答案为：4．直接利用三角方程求出结果．本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用，属于基础题．16.【答案】−6 (−83,4)【解析】解：设函数g(x)=(23)|x|−x 23，则g(x)为偶函数，则有：g(x)在(0,+∞)上单调递减；在(−∞,0)上单调递增；g(0)=1，g(1)=−13，故g(0)g(1)<0，可得g(x)在(0,+∞)上有一个零点；在(−∞,0)上有一个零点，且两个零点关于原点对称， 故f(x)有两个零点，而且关于x =−3对称，则两个零点之和为：−6， 不等式f(2m −1)>f(m +3)等价为：|2m −1+3|<|m +3+3|， 即有：3m 2−4m −32<0， 解得：−83<m <4， 故答案为：−6；(−83,4)．先设g(x)=(23)|x|−x 23，则f(x)=g(x +3)，根据f(x)关于x =−3对称，且只有两个零点，则零点之和为−6；根据f(x)的单调性和对称性化简，然后解出不等式即可 本题考查了函数的奇偶性及利用性质解不等式和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，对于A ，集合A ={x|log 3x >12}，解log 3x >12，可得x >√3，所以A =(√3,+∞)；当a =−2时，由(12)x+2>18解得x <1，所以B =(−∞,1)， 因此，A ∪B =(−∞,1)∪(√3,+∞)，(2)根据题意，B ={x|(12)x−a >18}，解可得x <a +3，则B =(−∞,a +3)；集合C ={x|3x 2−7x +2≥0}=(−∞,13]∪[2,+∞)， 若“x ∈B ”是“x ∈C ”的充分条件，则B ⊆C ； 必有a +3≤13，解得a ≤−83，即a 的取值范围为(−∞,−83].【解析】(1)根据题意，求出集合A 、B ，进而由并集的定义计算可得答案； (2)根据题意，求出集合B 、C ，分析可得B ⊆C ，进而分析可得答案． 本题考查充分必要条件的判断，涉及集合之间的关系，属于基础题．18.【答案】解：(1)f(α)=cos(2π−α)sin(π+α)sin(π2+α)tan(3π−α)=cosα(−sinα)cosα(−tanα)=sinα⋅cosαsinα=cosα，所以f(4π3)=cos(π+π3)=−cos π3=−12， (2)因为f(α+π6)=cos(α+π6)=14，所以cos(5π6−α)=cos[π−(α+π6)]=−cos(α+π6)=−14；cos 2(π3−α)=cos 2[π2−(α+π6)]=sin 2(α+π6)=1−cos 2(α+π6)=1−(14)2=1516．【解析】(1)先化简f(α)=cosα，再令α=4π3即可求解；(2)利用正余弦的诱导公式化简即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数求值问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)因为A 1B 1=x ，且A 1B 1C 1D 1的面积4000平方米，所以A 1D 1=4000x，因为A 1B 1>A 1D 1，所以x >4000x，解得x >20√10，面积S(x)=(x +20)(4000x+8)=4160+8x +80000x,x ∈(20√10,+∞)， (6))(2)S(x)=4160+8(x +10000x)≥4160+8×2√x ⋅10000x=5760，当且仅当x =10000x,x =100等号成立，此时A 1B 1=100，A 1D 1=40．答：设计工作区的长为100米，宽为40米，占地面积最小．...........(12分)【解析】(1)A 1B 1=x ，求出A 1D 1=4000x，推出x >20√10，然后求解面积的表达式即可．(2)利用基本不等式，转化求解占地面积最小即可．本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由{f(1)=log a (3+b)=−1f(2)=log a (3+2b)=0得，{a −1=b +33+2b =1，解得a =12,b =−1， 所以f(x)=log 12(3−x)， (2)g(x)=log 12(3−x)−log 12(3+x)=log 123−x3+x ,x ∈(−3,3)，g(x)在定义域(−3,3)上为增函数，证明如下： 设任意x 1，x 2∈(−3,3)，且x 1<x 2，则g(x 1)−g(x 2)=log 123−x 13+x 1−log 123−x 23+x 2=log 12(3−x 1)(3+x 2)(3+x 1)(3−x 2)，因为(3−x 1)(3+x 2)(3+x1)(3−x 2)−1=6(x 2−x 1)(3+x 1)(3−x 2)，且−3<x 1<x 2<3，所以由x 2−x 1>0，3+x 1>0，3−x 2>0知6(x 1−x 1)(3+x1)(3−x 2)>0，即(3−x 1)(3+x 2)(3+x 1)(3−x 2)>1， 所以log 12(3−x 1)(3+x 2)(3+x 1)(3−x 2)<0，因此g(x 1)<g(x 2)，所以函数g(x)在定义域上是增函数．【解析】(1)由已知直接代入函数解析式，建立关于a ，b 的方程，求出a ，b ，即可求解函数解析式；(2)先求出g(x)，然后设任意x 1，x 2∈(−3,3)，且x 1<x 2，利用作差法比较g(x 1)与g(x 2)的大小即可判断．本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了函数单调性定义在单调性判断中的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)由表格数据知，A =2，由{π3ω+φ=π25π6ω+φ=3π2，解得ω=2,φ=−π6，所以f(x)=2cos(2x −π6)． (2)当x ∈[0,π2]时，2x −π6∈[−π6,5π6],cos(2x −π6)∈[−√32,1]，所以f(x)=2cos(2x−π6)在[0,π2]上的值域为[−√3,2]，因为方程f(x)=t区间[0,π2]上有解，所以t的取值范围为[−√3,2]，(3)因为f(5π4)=2cos(5π2−π6)=1,f(−23π)=2cos(−4π3−π6)=0，所以不等式即：[f(x)−1]⋅f(x)>0，解得f(x)<0或f(x)>1，由f(x)<0，得cos(2x−π6)<0，所以π2+2kπ<2x−π6<3π2+2kπ(k∈Z)，所以x∈(π3+kπ,5π6+kπ)，k∈Z；由f(x)>1得cos(2x−π6)>12，所以−π3+2kπ<2x−π6<π3+2kπ(k∈Z)，所以x∈(−π12+kπ,π4+kπ),k∈Z；令k=0可得不等式解集的一部分为(−π12,π4)∪(π3,5π6)，因此，解集中最小的正整数为2．【解析】(1)由题意补充完整表格，可求A，ω，φ的值，即可写出f(x)的解析式；(2)由题意可求范围2x−π6∈[−π6,5π6],cos(2x−π6)∈[−√32,1]，利用余弦函数的性质即可求解；(3)由题意利用诱导公式，可得[f(x)−1]⋅f(x)>0，解得f(x)<0或f(x)>1，分类讨论利用余弦函数的性质即可求解．本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．22.【答案】(1)由性质③知，f(x)+g(x)=e x，所以f(−x)+g(−x)=e−x，由性质②知，f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，所以−f(x)+g(x)=e−x，解得f(x)=e x−e−x2,g(x)=e x+e−x2．(2)函数y=g(2x)−2f(x)=e2x+e−2x2−(e x−e−x)，设t=e x−e−x，由性质①，f(x)=e x−e−x2在R是增函数知，当x∈[0,ln2]时，t∈[0,32]，因为t2=e2x+e−2x−2，所以原函数即：y=12t2−t+1,t∈[0,32]，,1]．故值域为[12(3)对任意的正数x1，x2，都有ℎ(x1)>0，ℎ(x2)>0，可知ℎ(x)=e x−1+m(e−x−1)>0.即(e x−1)(e x−m)>0对一切正数x恒成立，又e x−1>0，可得e x−m>0，即m<e x对一切正数x恒成立，所以m≤1；由ℎ(x1+x2)>ℎ(x1)+ℎ(x2)，可得e x1+x2−1+m(e−x1−x2−1)>[e x1−1+m(e−x1−1)]+[e x2−1+m(e−x2−1)]整理得，(e x1+x2−e x1−e x2+1)+m(e−x1−x2−e−x1−e−x2+1)>0，两边同乘以e x1+x2得，e x1+x2(e x1+x2−e x1−e x2+1)+m(1−e x1−e x2+e x1+x2)>0，所以(e x2+x2+m)(e x1−1)(e x2−1)>0，因为x1>0，x2>0，所以(e x1−1)(e x2−1)>0，因此只需e x1+x2+m>0对任意x1>0，x2>0恒成立，所以1+m≥0，即m≥−1．综上可知，实数m的取值范围为[−1,1]．【解析】(1)由方程的思想以及奇偶性得出解析式；(2)令t=e x−e−x，由f(x)的单调性得出t的范围，再由一元二次函数的单调性得出值域；(3)由ℎ(x)>0分解因式得出m≤1，由ℎ(x1+x2)>ℎ(x1)+ℎ(x2)化简得出e x1+x2+ m>0，再由指数函数的性质得出实数m的取值范围．本题主要考查函数值域的求解，函数的单调性，函数的奇偶性等知识，属于中等题．。