第二章质点运动学(3)

第二章 质点运动学一、基本知识小结⒈基本概念 22)(dt r d dt v d a dt rd v t r r====)()()(t a t v t r⇔⇔（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：000,,v v r r t t===）⒉直角坐标系 ,,ˆˆˆ222z y x r kz j y i x r ++=++= r 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/,/.v v v v v k v j v i v v zy x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/.a a a a a k a j a i a a zy x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x222222,,,,dtz d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dtdzv dt dy v dt dx v z z yy x x z y x =========),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⇔⇔⒊自然坐标系 ||,,ˆ);(ττττv v dtdsv v v s r r ====ρτττττ22222,,,ˆˆv a dts d dt dv a a a a n a a a n n n ===+=+= )()()(t a t v t s ττ⇔⇔⒋极坐标系 22,ˆˆ,ˆθθθv v v v r v v rr r r r +=+==dtd rv dt dr v r θθ==, ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系',0't t r r r =+=（时空变换）0'v v v+= （速度变换） 0'a a a+= （加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：zz y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v tt z z y y Vt x x =====-====-=',','',','',',','y y'Vo x o' x' z z'二、思考题解答2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？解答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。

质点运动学1.描述质点的运动的物理量：位矢、位移、速度和加速度。

（1）位矢：从坐标原点引向质点所在位置的有向线段，记为r。

在直角坐标系中r=x i+y j+z k。

（2）运动方程：质点的位置随时间变化的关系：r=r(t)称为运动方程。

在直角坐标系中的矢量表示式：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k。

在自然坐标中：s=s(t)（3）位移：由质点初始位置指向末位置的矢量，△r=r(t+△t)-r(t).在直角坐标系中：△r=△x i+△y j+△z k。

（4）路程：物体运动时沿轨迹实际通过的路径长度称为路程，用s 表示。

一般情况下，|△r|≠△s。

（5）速度：质点位置对时间的一阶倒数称为速度v=d r/d t.在直角坐标系中：v=v x i+v y j+v z k=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k在自然坐标系中：v=(ds/dt)e t速度大小称为速率，速率是标量。

v=|v|=|d r/dt|=ds/dt（6）加速度：质点速度对时间的一阶求导a=d v/dt=d2r/dt2 在直角坐标系中：a=a x i+a y j+a z k=(dv x/dt)i+(dv y/dt)j+(dv z/dt)k=(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k 在自然坐标系中：a=a t e t+a n e n=(dv/dt)e t+(v2/ρ)e n2.常见的几种运动形式（1）匀速直线运动：v=v0+atx=x0v0t+1/2*at2v2-v20=2a(x-x0)（2）抛体运动：a x=0,a y=-gv x=v0cosθ,v0=v0sinθ-1/2*gt2x=(v0cosθ)t,y=(v0sinθ)t-1/2*gt2 （3）圆周运动：角位置：θ=θ(t)角位移：△θ=θ(t+△t)-θ(t)角速度：ω=dθ/dt=v/R角加速度：β=dω/dt=d2θ/dt2法向加速度：a n=v2/R=Rω2切向加速度：aτ=dv/dt=Rβ3.伽利略变换伽利略速度变换式：v=v0+u。

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第一章：基本概念1.1 力学的研究对象力学是研究物体运动规律的科学，它将物体分为质点和刚体两个研究对象。

质点被简化为没有具体形状和大小的点，刚体则具有固有形状和大小。

1.2 运动的描述运动可以通过位置、速度和加速度等量来描述。

位置是描述物体在空间中的位置关系，速度是位置随时间的变化率，加速度是速度随时间的变化率。

1.3 牛顿力学的三大定律牛顿力学的三大基本定律为惯性定律、动量定律和作用反作用定律。

惯性定律描述了物体在无外力作用下保持匀速直线运动的性质，动量定律描述了物体受力作用下速度发生变化的规律，作用反作用定律描述了力的相互作用导致的物体运动规律。

第二章：质点运动学2.1 一维直线运动一维直线运动是质点只沿一条直线方向运动的情况。

可以通过物体的位移、速度和加速度来描述其一维直线运动规律。

2.2 二维平面运动二维平面运动是质点在平面内任意方向上运动的情况。

可以通过物体的平面位置、速度和加速度来描述其二维平面运动规律。

2.3 相对运动相对运动是指两个运动物体相对于彼此的运动情况。

可以通过相对速度来描述两个物体之间的相对运动规律。

第三章：质点动力学3.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了质点受力作用下速度的变化规律，即力等于质量乘以加速度。

3.2 动量定理动量定理描述了质点受力作用下动量的变化规律，即力是动量随时间的变化率。

3.3 机械能守恒定律机械能守恒定律适用于只受重力和弹性力作用的质点，描述了质点机械能（动能和势能之和）在运动过程中的守恒性质。

第四章：刚体静力学4.1 刚体的概念刚体是指形状和大小在运动过程中保持不变的物体。

刚体静力学研究的是刚体受力平衡时的性质和规律。

?第一部分 力学 第一章 质点运动学共2讲北京邮电大学理学院物理部1§3 质点运动学的基本问题1. 第一类问题 已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速 度和加速度。

——微分法r = r (t )dr v= dtdv d 2 r a= = 2 dt dt只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、 速度和加速度。

从运动方程中消去时间参数t，还可得质点运动的轨迹方程。

北京邮电大学理学院物理部2例：已知: 求: 解一：ˆ r = 2t i + (2 − t 2 ) ˆ (SI) j2秒末速度的大小x = 2t r=2y = 2−t2(2 t ) + (2 − t )2t 3 4 +t42 2=4+ t4dr v= = dt t=28 5 v2 = = 3 . 58 5北京邮电大学理学院物理部m ⋅ s -13解二：ˆ + (2 − t2 ) ˆ r = 2t i j dr ˆ = 2 i − 2t ˆ v= j dt vx = 2 vy = −2t v = v + v = 2 1+ t2 x 2 y 2 -1t = 2 v2 = 2 5 = 4.47 m ⋅ s请判断正误并说明理由 解一错误，解二正确！北京邮电大学理学院物理部4例 已知: 求: 解：ˆ r = 2t i + (2 − t 2 ) ˆ (SI) j2秒末加速度的大小y2 Pˆ r = 2t i + ( 2 − t 2 ) ˆ jθ′r θo-24 Qxr′dr ˆ = 2 i − 2t ˆ v= j dt dv a= = −2 ˆ j dta =2m.s-2 , 沿 -y 方向，与时间无关。

北京邮电大学理学院物理部5例已知：ˆ r = 5ti + (15t − 5t 2 ) ˆ (SI) j1.质点做什么运动？ 2.找一个实例 3.求抛射角、轨道方程、射程、射高 4.求 t = 1s 时 : a n = ?aτ = ?ρ =?北京邮电大学理学院物理部6已知：ˆ r = 5ti + (15t − 5t 2 ) ˆ (SI) j1.质点做什么运动？ 平面曲线运动 2.找一个实例ˆ j v = 5i + (15 − 10t ) ˆa = −10 ˆ jˆ t = 0 : r0 = 0, v0 = 5i + 15 ˆ j质点从原点出发，初速度为 v 0x : v x = 5, a x = 0y : v y = 15 − 10 t匀速直线运动a y = − 10 ≈ − g 为竖直上抛运动合运动：斜抛运动北京邮电大学理学院物理部73.求抛射角、轨道方程、射程、射高 抛射角：ˆ v0 = 5i + 15 ˆ jα = arctg轨道方程： x = 5tv0 y v0 x= arctg3 = 72x2 y = 3x − 5y = 15t − 5t 2yY射程：y = 0 X = 15mv0αoxX/2X射高：x = 7 .5 m Y = 11.25 m8北京邮电大学理学院物理部4.求 t = 1s 时 : a n = ?aτ = ?y (m )ρ =?v1ˆ r = 5ti + (15t − 5t 2 ) ˆ j ˆ t = 1: r = 5i + 10 ˆ jˆ v = 5i + (15 − 10t ) ˆ j a = −10 ˆ jv =aτ =2 vx + v2 = y10aτ 1a n15oa1x (m )155 2 + (15 − 10 t )2dv = dt10 ( 2 t − 3 ) 4 t 2 − 12 t + 10t = 1 : aτ 1 = − 5 2 ≈ − 7 .1 m ⋅ s -2 , v 1 = 5 2 m ⋅ s -1北京邮电大学理学院物理部9y (m )v110aτ 1a n15oa1x (m )15t = 1 : aτ 1 = − 5 2 ≈ − 7.1 m ⋅ s -2 a1 = − 10 m ⋅ s - 2v 1 = 5 2 m ⋅ s -1a n1 =a12 − aτ21 = 5 2 ≈ 7.1 m ⋅ s -2v12 ρ1 = = 5 2 ≈ 7 .1 m a n1注意：结果保留2－3位有效数字北京邮电大学理学院物理部10例 离水平面高为 h 的绞车以恒定的速率 v0收绳，使船靠 岸。

1.质点运动学单元练习（一）答案1．B 2．D 3．D 4．B5．3.0m ；5.0m （提示：首先分析质点的运动规律，在t <2.0s 时质点沿x 轴正方向运动；在t =2.0s 时质点的速率为零；，在t >2.0s 时质点沿x 轴反方向运动；由位移和路程的定义可以求得答案。

）6．135m （提示：质点作变加速运动，可由加速度对时间t 的两次积分求得质点运动方程。

）7．解：（1）)()2(22SI jt i t r -+=)(21m ji r+= )(242m ji r-=)(3212m ji r r r-=-=∆)/(32s m ji t r v -=∆∆=（2）)(22SI j t i dtrd v -== )(2SI jdt vd a -==)/(422s m ji v-=)/(222--=s m ja8．解：t A tdt A adt v totoωω-=ωω-==⎰⎰sin cos 2t A tdt A A vdt A x totoω=ωω-=+=⎰⎰cos sin9．解：（1）设太阳光线对地转动的角速度为ωs rad /1027.73600*62/5-⨯=π=ωs m th dt ds v /1094.1cos 32-⨯=ωω==（2）当旗杆与投影等长时，4/π=ωth s t 0.31008.144=⨯=ωπ=10．解： ky yv v t y y v t dv a -====d d d d d d d -k =y v d v / d y⎰⎰+=-=-C v ky v v y ky 222121,d d 已知y =y o ，v =v o 则20202121ky v C --= )(2222y y k v v o o -+=2.质点运动学单元练习（二）答案1．D 2．A 3．B 4．C5．14-⋅==s m t dt ds v ；24-⋅==s m dtdva t ；2228-⋅==s m t Rv a n ；2284-⋅+=s m e t e a nt6．s rad o /0.2=ω；s rad /0.4=α；2/8.0s rad r a t =α=；22/20s m r a n =ω=7．解：（1）由速度和加速度的定义)(22SI ji t dt rd v +==；)(2SI idtvd a ==（2）由切向加速度和法向加速度的定义)(124422SI t t t dt d a t +=+=)(12222SI t a a a t n +=-=（3）())(122/322SI t a v n+==ρ8．解：火箭竖直向上的速度为gt v v o y -︒=45sin 火箭达到最高点时垂直方向速度为零，解得s m gtv o /8345sin =︒=3.牛顿定律单元练习答案1．C 2．C 3．A 4．kg Mg T 5.36721==；2/98.02.0s m MT a == 5．x k v x 22=；x x xv k dtdxk dt dv v 222== 221mk dt dv mf x x == 6．解：（1）ma F F N T =θ-θsin cosmg F F N T =θ+θcos sinθ-θ=θ+θ=sin cos ;cos sin ma mg F ma mg F N T（2）F N =0时；a =g cot θ7．解：mg R m o ≥ωμ2Rg o μ≥ω 8．解：由牛顿运动定律可得dtdv t 1040120=+ 分离变量积分()⎰⎰+=tovdt t dv 4120.6 )/(6462s m t t v ++=()⎰⎰++=t oxdt t tdx 6462.5 )(562223m t t t x +++=9．解：由牛顿运动定律可得dtdv mmg kv =+- 分离变量积分⎰⎰-=+t o vv o dt m k mg kv kdv ot m kmg kv mg o -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=mg kv k m mg kv mg k m t o o 1ln ln10．解：设f 沿半径指向外为正，则对小珠可列方程 a v m f mg 2cos =-θ，tvm mg d d sin =θ，以及 ta v d d θ=，θd d v at =，积分并代入初条件得 )cos 1(22θ-=ag v ，)2cos 3(cos 2-=-=θθmg av m mg f ．4.动量守恒和能量守恒定律单元练习（一）答案1．A ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．相同 6．2111m m t F v +∆=；2212m t F v v ∆+=7．解：（1）t dt dxv x 10==；10==dtdv a x x N ma F 20==；m x x x 4013=-=∆J x F W 800=∆=（2）s N Fdt I ⋅==⎰40318．解：()1'v m m mv +=()221221'2121o kx v m m mv ++= ()''m m k mm vx +=9．解： 物体m 落下h 后的速度为 gh v 2=当绳子完全拉直时，有 ()'2v M m gh m +=gh mM m v 2'+=gh mM mMMv I I T 22'22+===10．解：设船移动距离x ，人、船系统总动量不变为零0=+mv Mu等式乘以d t 后积分，得0=+⎰⎰totomvdt Mudt0)(=-+l x m Mx m mM mlx 47.0=+=5.动量守恒和能量守恒定律单元练习（二）答案1．C 2．D 3．D 4．C 5．18J ；6m/s 6．5/37．解：摩擦力mg f μ=由功能原理 2121210)(kx x x f -=+- 解得 )(22121x x mg kx +=μ.8．解：根据牛顿运动定律 Rv m F mg N 2cos =-θ由能量守恒定律mgh mv =221质点脱离球面时 RhR F N -=θ=cos ;0 解得：3R h =9．解：(1)在碰撞过程中，两球速度相等时两小球间距离最小 v v v )(212211m m m m +=+ ①212211m m v m v m v ++=(2) 两球速度相等时两小球间距离最小，形变最大，最大形变势能等于总动能之差22122221)(212121v v v m m m m E p +-+=② 联立①、②得 )/()(212122121m m m m E p +-=v v10．解：(1)由题给条件m 、M 系统水平方向动量守恒，m 、M 、地系统机械能守恒．0)(=--MV V u m ① mgR MV V u m =+-2221)(21 ② 解得： )(2m M M gRmV +=；MgRm M u )(2+=(2) 当m 到达B 点时，M 以V 运动，且对地加速度为零，可看成惯性系，以M 为参考系 R mu mg N /2=-M mg m M mg R mu mg N /)(2/2++=+= mg MmM M mg m M Mmg N 23)(2+=++=6.刚体转动单元练习（一）答案1．B 2．C 3．C 4．C5．v = 1.23 m/s ；a n = 9.6 m/s 2；α = –0.545 rad/ s 2；N = 9.73转。

第2章 《质点运动学》习题解答2.1.1 质点的运动学方程为ˆˆˆˆ(1).(32)5,(2).(23)(41)r t i j r t i t j =++=-+-求质点轨迹并用图表示。

【解】①.32,5,x t y =+=轨迹方程为y=5②2341x t y t =-⎧⎨=-⎩消去时间参量t 得：3450y x +-=2.1.2 质点运动学方程为22ˆˆˆ2t t r e i e j k-=++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。

【解】①222tt x e y e z -⎧=⎪=⎨⎪=⎩消去t 得轨迹：xy=1,z=2②221ˆˆˆ2r e i e j k --=++,221ˆˆˆ2r e i e j k -+=++, 222211ˆˆ()()r r r e e i e e j --+-∆=-=-+-2.1.3 质点运动学方程为2ˆˆ4(23)r t i t j =++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=0至t=1质点的位移。

【解】①.24,23,x t y t ==+消去t 得轨迹方程2(3)x y =-②0110ˆˆˆˆˆ3,45,42r j r i j r r r i j ==+∆=-=+2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为0114100,33.7R m θ==，0.75s 后测得022124240,29.3,,R m R R θ==均在铅直平面内。

求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。

【解】 221212122cos()R R R R R θθ∆=+--代入数值得：22041004240-241004240cos 4.4349.385()R m ∆=+⨯⨯≈349.385465.8(/)0.75Rv m s t ∆≈==∆ 利用正弦定理可解出034.89α=-2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为2/200y x =（长度mm ）。

第二章质点运动学思考题2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。

质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。

如图所示。

2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。

2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。

因为瞬时速度与一定的时刻相对应。

瞬时速度的定义是质点在t时刻的瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度t/r∆∆，当△t→0时的极限，即dtr dtrlimvt=∆∆=→∆。

很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。

2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。

是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？答：,dtdvtvlima xxtx=∆∆=→∆加速度与速度同号时，就是说,0a,0va,0vxxxx<<>>或以a,0vxx>>为例，速度为正表示速度的方向与x轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，t t ∆+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。

同理可说明,0a ,0v x x <<质点作加速运动。

质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。

例如初速度为x 0v ，加速度为t 6a x -=，速度为20t0x 0x t21t 6v dt )t 6(v v -+=-+=⎰，,0v ,0a 6t x x >><时，速度逐渐增加。

2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。

•能否看成质点依研究问题而定。

例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。

二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。

三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。

[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。

第一章 质点运动学1、已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置。

解：∵ t tva 34d d +==分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 12234c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c故 2234t t v += 又因为 2234d d t t t x v +==分离变量， t t t x d )234(d 2+=积分得 232212c t t x ++=由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 521232++=t t x 所以s 10=t 时m70551021102s m 190102310432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+⨯=-x v2、质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -⋅，x 的单位为 m 。

质点在x ＝0处，速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值。

解： ∵ xv v t x x v t v a d d d d d d d d ===分离变量： 2d (26)d v v adx x x ==+ 两边积分得c x x v ++=322221 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c∴ 13s m 252-⋅++=x x v第二章 质点动力学1、质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如图所示。

质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度。

解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有222121MV mv mgR +=又下滑过程，动量守恒，以m 、M 为系统，则在m 脱离M 瞬间，水平方向有0=-MV mv联立以上两式，得2MgR v m M =+2、 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。