第二章 质点运动学

质点运动学的总结和归纳质点运动学是物理学中研究质点在空间中运动规律和性质的学科。

通过对质点在直线运动和曲线运动中的速度、加速度等物理量进行分析，可以揭示质点运动的规律和特性。

本文将对质点运动学的相关概念、公式和应用进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解质点运动学的基本原理。

一、质点运动学的基本概念质点是指物体在运动过程中无视其自身大小和形状，只考虑其位置坐标和质量的理想化模型。

在质点运动学中，我们假设质点可以沿直线或曲线轨迹运动，通过对质点位置、速度和加速度等物理量的描述，来分析质点的运动规律。

二、质点直线运动质点在直线上的运动可以以时间为自变量，通过位移、速度和加速度等物理量来进行描述。

其中，位移表示质点从初始位置到最终位置的位移量，速度是质点在单位时间内位移的变化率，而加速度则是速度在单位时间内的变化率。

质点直线运动的关键公式有以下几个：1. 位移公式：s = s0 + vt，其中s表示位移，s0表示初始位置，v表示速度，t表示时间；2. 平均速度公式：v = Δs/Δt，其中Δs表示位移变化量，Δt表示时间变化量；3. 瞬时速度公式：v = ds/dt，其中ds表示极小位移，dt表示极小时间间隔；4. 加速度公式：a = Δv/Δt = dv/dt，其中Δv表示速度变化量，dv表示极小速度变化量。

三、质点曲线运动质点在曲线上的运动相对复杂，需要通过坐标系和向量运算进行描述。

常见的曲线运动包括匀速圆周运动和抛体运动。

1. 匀速圆周运动：质点在同心圆轨道上以恒定的速度做圆周运动。

此时，我们需要通过极坐标系来描述质点的位置，以及角速度、角加速度等物理量。

2. 抛体运动：质点在重力作用下以抛体轨迹运动，实际上是由于自由落体运动和水平匀速运动的合成。

此时，我们需要通过平面直角坐标系来描述质点的运动，并使用矢量分解和运动学公式进行计算。

四、应用举例质点运动学在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用举例：1. 射击运动：通过研究质点在飞行过程中的速度和角度等参数，可以计算出射击运动的弹道和飞行轨迹，实现精确的打靶。

2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。

•能否看成质点依研究问题而定。

例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。

二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。

三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。

[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。

力学（第二版）漆安慎习题解答第二章质点运动学第二章 质点运动学一、基本知识小结1、基本概念 22)(dtr d dt v d a dtrd v t r r====)()()(t a t v t r ⇔⇔（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：000,,v v r r t t ===）2、直角坐标系 ,,ˆˆˆ222z y x r k z j y i x r ++=++= r 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/,/.v v v v v k v j v i v v z y x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/. a a a a a k a j a i a a z y x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x222222,,,,dt zd dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dtdzv dt dy v dt dx v z z y y x x z y x =========),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⇔⇔3、自然坐标系 ||,,ˆ);(ττττv v dtds v v v s r r ====ρτττττ22222,,,ˆˆv a dts d dt dv a a a a n a a a n n n ===+=+= )()()(t a t v t s ττ⇔⇔4、极坐标系 22,ˆˆ,ˆθθθv v v v r v v r r r r r +=+== dtd rv dt dr v r θθ==,5、相对运动 对于两个相对平动的参考系 ',0't t r r r =+=（时空变换） 0'v v v+= （速度变换） 0'a a a+= （加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： zz y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v t t z z y y Vt x x =====-====-=',','',','',',','y y' Vo x o' x' z z'二、思考题解答2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？解答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。

教学时数:10教学目的与要求:（1）使学生牢固掌握即时速度和即时加速度的概念。

（2）要区分时刻与时间间隔以及位置坐标、位置矢量、位移和路等概念。

（3）要求掌握位移图线与速度图线，并能应用它们来计算位移及速度、加速度。

（4）要熟练掌握匀加速直线运动规律并能灵活运用，重点研究自由落体及竖直上抛运动。

（5）掌握好位移、速度及加速度的矢量性，能正确进行速度的合成分解。

仅讲授动坐标系作平移的情况下的相对运动。

（6）要熟练掌握圆周运动及切向加速度、法向加速度的意义。

（7）通过抛体运动的学习，使学生对运动的独立性及运动的合成有明确的认识。

（8）在圆周运动基础上介绍一般曲线运动，但不作深入研究。

（9）熟练掌握在不同坐标系下，速度、加速度的表达形式。

教学重点:参照系和坐标系；质点；时间和时刻,位置矢量，位移、速度、加速度；运动方程，运动迭加原理，切向加速度和法向加速度。

角位移、角速度、角加速度；角量与线量的关系,相对运动.教学难点:运动方程, 相对运动本章主要阅读文献资料:顾建中编《力学教程》人民教育出版社赵景员、王淑贤编《力学》人民教育出版社漆安慎杜婵英《〈力学基础〉学习指导》高等教育出版社质点运动学方程一、质点的位置矢量与运动学方程位置矢量的引入，例：研究某时刻直升飞机在空中的位置。

首先选择参考系如图：设地面上的某一点为参考点，飞机视为质点。

仅由飞机和参考点的距离并不能确定飞机的方位（飞机可以位于以参考点为球心的球面上的任何位置），只有确定飞机的方位，才能完全唯一的确定飞机的位置。

1．位置矢量的定义：由参考点指向质点所在位置的矢量为质点的位置矢量，简称“位矢”。

如图中的，即是P点的位矢：通常用表示。

若建立如图所示的直角坐标系，令坐标原点和参考点重合，则有位矢的正交分量形式：（1）上式中的称为位置坐标，即：位矢在坐标轴上的投影。

有上述定义可知：“位矢”可以描述质点的位置。

同样：建立坐标系后的“位置坐标”也可以描述质点位置。

1. 如图Z1-1所示，细绳通过两轻质定滑轮在两端各挂一个物体A 和B ，设mA=mB ，初始A 、B 处于同一高度且静止，若使B 偏离平衡位置θ角而来回摆动，则物块A 将（D ）（A ）保持不动 （B ）向上运动 （C ）向下运动 （D ）上下运动2. 有一物体在0xy 平面上运动，受力作用后其动量沿两轴方向变化分别为Δp x i 和-Δp y j 。

则该力施于此物体的冲量的大小为（C ）（A ）I=Δp x +Δp y （B ）I=Δp x -Δp y （C ）22y x p p I ∆+∆= （D ）22-y x p p I ∆∆=3. 如图Z1-2图所示，有一物体置于小车的左端，小车放在光滑的水平面上，用力F 拉物体使它从车的左端运动到右端，保持F 的大小和方向不变，以地面为参考系，在车固定和不固定的两种情况下，下列结论正确的是：（D ）（A ）两种情况下力F 做的功相等（B ）两种情况下物体与车间的摩擦力对物体做的功相等（C ）两种情况下物体获得的动能相等（D ）两种情况下由于摩擦而长生的热相等4. 如图Z1-3所示，质点沿直线沿AB作直线运动，A、B为轨道上的任意两点，O为线外任一定点，（可视为垂直纸面的轴与纸面的交点）。

L A和L B代表质点在A、B处对定点O（轴）的角动量，则（D ）（A）L A和L B方向不同，但L A=L B（B）L A和L B方向相同，但L A≠L B（C）L A和L B方向和大小都不同（D）L A和L B方向和大小都相同5. 对于质点组，内力可以改变的物理量是（C ）（A）总动量（B）总角动量（C）总动能（D）总质量6. 如图Z1-4图，一绳穿过水平光滑桌面中心的小孔连接桌面上的小物块，令物块先在桌面上作以小孔为圆心的圆周运动，然后将绳的下端缓慢向下拉，则小物块的（D ）（A）动量、动能、角动量都改变（B）动量不变，动能、角动量都改变（C）动能不变，动量、角动量都改变（D）角动量不变，动量、动能都改变7. 在升降机天花板栓有轻绳，其下端系一重物，如图综合1-1所示，升降机以加速度a 1上升时，绳中的张力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，则升降机以多大加速度上升时，绳子刚好被拉断？（ C ）（A ）2a 1 （B ）2（a 1+g ） （C ）2a 1+g （D ）a 1+g8. 质量分别为m 和m ′的滑块A 和B ，叠放在光滑水平桌面上，如图综合1-2所示，A ，B 间静摩擦因数为s μ，动摩擦因数为k μ，系统原处静止，今有一水平力作用于A 上，要使A,B 间不发生相对华东，则应有（ B ）（A ）F ≦s μmg （B ）F ≦s μ(1+m/m ′)mg（C ）F ≦s μ(m+m ′)g （D ）F ≦k μ(1+m/m ′)mg9. 一质点在外力作用下运动时，下述那种说法正确（ C ）（A ）质点的动量改变时，质点的动能也一定改变（B ）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变（C ）外力的冲量是零，外力的功也一定是零（D ）外力的功为零，外力的冲量也一定是零10. 质量相等的两个物体A和B，并排静止在光滑水平面上，如图综合1-3所示，现用一水平恒力F作用在物体A上，同时给物体B一个与F同方向的瞬时冲量I，使两物体沿同一方向运动，则两物体再次达到并排的位置所经过的时间为（ B ）（A）I/F （B）2I/F （C）2F/I （D）F/I11. 如图综合1-4所示，劲度系数为k的弹簧在木块和外力作用下，处于被压缩状态，其压缩量为x0，当撤去外力弹簧被释放后，质量为m的木块沿光滑斜面弹出，木块最后落到地上，应有（ C ）A.在此过程中，木块的动能和弹性势能之和守恒B.木块到达最高点是，高度h满足1/2kx2=mghC.木块落地时的速度v满足1/2kx2+mgH=1/2mv2D.木块落地点的水平距离随θ不同而异，θ越大，落地点越远12. 如图综合1-5所示，在光滑平面上有一运动物体P，在P的正前方有一个连有弹簧和挡板M的静止物体Q，弹簧和挡板M的质量均不计，P与Q的质量相同物体P 与Q 碰撞后P 停止，Q 以碰撞前P 的速度前进，在此碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是（ B ）（A ）P 的速度正好变为零时 （B ）P 与Q 速度相等时（C ）Q 正好开始运动时 （D ）Q 正好达到原来P 的速度时13. 一个质量为m 的小球系在长为l 的绳上，绳与竖直线间的夹角用θ表示，当小球从θ=0运动到θ=θ0时，重力所做的功为（D ）（A ）00A cos mg ld θθθ=⋅⎰； （B ）00A sin mg ld θθθ=⋅⎰； （C ）00A cos mg ld θθθ=-⋅⎰； （D ）00A sin mg ld θθθ=-⋅⎰。

第2章 《质点运动学》习题解答2.1.1 质点的运动学方程为ˆˆˆˆ(1).(32)5,(2).(23)(41)r t i j r t i t j =++=-+-求质点轨迹并用图表示。

【解】①.32,5,x t y =+=轨迹方程为y=5②2341x t y t =-⎧⎨=-⎩消去时间参量t 得：3450y x +-=2.1.2 质点运动学方程为22ˆˆˆ2t t r e i e j k-=++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。

【解】①222tt x e y e z -⎧=⎪=⎨⎪=⎩消去t 得轨迹：xy=1,z=2②221ˆˆˆ2r e i e j k --=++,221ˆˆˆ2r e i e j k -+=++, 222211ˆˆ()()r r r e e i e e j --+-∆=-=-+-2.1.3 质点运动学方程为2ˆˆ4(23)r t i t j =++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=0至t=1质点的位移。

【解】①.24,23,x t y t ==+消去t 得轨迹方程2(3)x y =-②0110ˆˆˆˆˆ3,45,42r j r i j r r r i j ==+∆=-=+2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为0114100,33.7R m θ==，0.75s 后测得022124240,29.3,,R m R R θ==均在铅直平面内。

求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。

【解】 221212122cos()R R R R R θθ∆=+--代入数值得：22041004240-241004240cos 4.4349.385()R m ∆=+⨯⨯≈349.385465.8(/)0.75Rv m s t ∆≈==∆ 利用正弦定理可解出034.89α=-2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为2/200y x =（长度mm ）。

第二章质点运动学思考题2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。

质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。

如图所示。

2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。

2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。

因为瞬时速度与一定的时刻相对应。

瞬时速度的定义是质点在t时刻的瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度t/r∆∆，当△t→0时的极限，即dtr dtrlimvt=∆∆=→∆。

很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。

2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。

是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？答：,dtdvtvlima xxtx=∆∆=→∆加速度与速度同号时，就是说,0a,0va,0vxxxx<<>>或以a,0vxx>>为例，速度为正表示速度的方向与x轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，t t ∆+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。

同理可说明,0a ,0v x x <<质点作加速运动。

质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。

例如初速度为x 0v ，加速度为t 6a x -=，速度为20t0x 0x t21t 6v dt )t 6(v v -+=-+=⎰，,0v ,0a 6t x x >><时，速度逐渐增加。

第一章 质点运动学1、已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置。

解：∵ t tva 34d d +==分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 12234c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c故 2234t t v += 又因为 2234d d t t t x v +==分离变量， t t t x d )234(d 2+=积分得 232212c t t x ++=由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 521232++=t t x 所以s 10=t 时m70551021102s m 190102310432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+⨯=-x v2、质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -⋅，x 的单位为 m 。

质点在x ＝0处，速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值。

解： ∵ xv v t x x v t v a d d d d d d d d ===分离变量： 2d (26)d v v adx x x ==+ 两边积分得c x x v ++=322221 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c∴ 13s m 252-⋅++=x x v第二章 质点动力学1、质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如图所示。

质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度。

解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有222121MV mv mgR +=又下滑过程，动量守恒，以m 、M 为系统，则在m 脱离M 瞬间，水平方向有0=-MV mv联立以上两式，得2MgR v m M =+2、 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。