第2章 质点运动学

2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。

•能否看成质点依研究问题而定。

例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。

二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。

三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。

[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。

质点运动学1.描述质点的运动的物理量：位矢、位移、速度和加速度。

（1）位矢：从坐标原点引向质点所在位置的有向线段，记为r。

在直角坐标系中r=x i+y j+z k。

（2）运动方程：质点的位置随时间变化的关系：r=r(t)称为运动方程。

在直角坐标系中的矢量表示式：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k。

在自然坐标中：s=s(t)（3）位移：由质点初始位置指向末位置的矢量，△r=r(t+△t)-r(t).在直角坐标系中：△r=△x i+△y j+△z k。

（4）路程：物体运动时沿轨迹实际通过的路径长度称为路程，用s 表示。

一般情况下，|△r|≠△s。

（5）速度：质点位置对时间的一阶倒数称为速度v=d r/d t.在直角坐标系中：v=v x i+v y j+v z k=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k在自然坐标系中：v=(ds/dt)e t速度大小称为速率，速率是标量。

v=|v|=|d r/dt|=ds/dt（6）加速度：质点速度对时间的一阶求导a=d v/dt=d2r/dt2 在直角坐标系中：a=a x i+a y j+a z k=(dv x/dt)i+(dv y/dt)j+(dv z/dt)k=(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k 在自然坐标系中：a=a t e t+a n e n=(dv/dt)e t+(v2/ρ)e n2.常见的几种运动形式（1）匀速直线运动：v=v0+atx=x0v0t+1/2*at2v2-v20=2a(x-x0)（2）抛体运动：a x=0,a y=-gv x=v0cosθ,v0=v0sinθ-1/2*gt2x=(v0cosθ)t,y=(v0sinθ)t-1/2*gt2 （3）圆周运动：角位置：θ=θ(t)角位移：△θ=θ(t+△t)-θ(t)角速度：ω=dθ/dt=v/R角加速度：β=dω/dt=d2θ/dt2法向加速度：a n=v2/R=Rω2切向加速度：aτ=dv/dt=Rβ3.伽利略变换伽利略速度变换式：v=v0+u。

教学时数:10教学目的与要求:（1）使学生牢固掌握即时速度和即时加速度的概念。

（2）要区分时刻与时间间隔以及位置坐标、位置矢量、位移和路等概念。

（3）要求掌握位移图线与速度图线，并能应用它们来计算位移及速度、加速度。

（4）要熟练掌握匀加速直线运动规律并能灵活运用，重点研究自由落体及竖直上抛运动。

（5）掌握好位移、速度及加速度的矢量性，能正确进行速度的合成分解。

仅讲授动坐标系作平移的情况下的相对运动。

（6）要熟练掌握圆周运动及切向加速度、法向加速度的意义。

（7）通过抛体运动的学习，使学生对运动的独立性及运动的合成有明确的认识。

（8）在圆周运动基础上介绍一般曲线运动，但不作深入研究。

（9）熟练掌握在不同坐标系下，速度、加速度的表达形式。

教学重点:参照系和坐标系；质点；时间和时刻,位置矢量，位移、速度、加速度；运动方程，运动迭加原理，切向加速度和法向加速度。

角位移、角速度、角加速度；角量与线量的关系,相对运动.教学难点:运动方程, 相对运动本章主要阅读文献资料:顾建中编《力学教程》人民教育出版社赵景员、王淑贤编《力学》人民教育出版社漆安慎杜婵英《〈力学基础〉学习指导》高等教育出版社质点运动学方程一、质点的位置矢量与运动学方程位置矢量的引入，例：研究某时刻直升飞机在空中的位置。

首先选择参考系如图：设地面上的某一点为参考点，飞机视为质点。

仅由飞机和参考点的距离并不能确定飞机的方位（飞机可以位于以参考点为球心的球面上的任何位置），只有确定飞机的方位，才能完全唯一的确定飞机的位置。

1．位置矢量的定义：由参考点指向质点所在位置的矢量为质点的位置矢量，简称“位矢”。

如图中的，即是P点的位矢：通常用表示。

若建立如图所示的直角坐标系，令坐标原点和参考点重合，则有位矢的正交分量形式：（1）上式中的称为位置坐标，即：位矢在坐标轴上的投影。

有上述定义可知：“位矢”可以描述质点的位置。

同样：建立坐标系后的“位置坐标”也可以描述质点位置。

1. 如图Z1-1所示，细绳通过两轻质定滑轮在两端各挂一个物体A 和B ，设mA=mB ，初始A 、B 处于同一高度且静止，若使B 偏离平衡位置θ角而来回摆动，则物块A 将（D ）（A ）保持不动 （B ）向上运动 （C ）向下运动 （D ）上下运动2. 有一物体在0xy 平面上运动，受力作用后其动量沿两轴方向变化分别为Δp x i 和-Δp y j 。

则该力施于此物体的冲量的大小为（C ）（A ）I=Δp x +Δp y （B ）I=Δp x -Δp y （C ）22y x p p I ∆+∆= （D ）22-y x p p I ∆∆=3. 如图Z1-2图所示，有一物体置于小车的左端，小车放在光滑的水平面上，用力F 拉物体使它从车的左端运动到右端，保持F 的大小和方向不变，以地面为参考系，在车固定和不固定的两种情况下，下列结论正确的是：（D ）（A ）两种情况下力F 做的功相等（B ）两种情况下物体与车间的摩擦力对物体做的功相等（C ）两种情况下物体获得的动能相等（D ）两种情况下由于摩擦而长生的热相等4. 如图Z1-3所示，质点沿直线沿AB作直线运动，A、B为轨道上的任意两点，O为线外任一定点，（可视为垂直纸面的轴与纸面的交点）。

L A和L B代表质点在A、B处对定点O（轴）的角动量，则（D ）（A）L A和L B方向不同，但L A=L B（B）L A和L B方向相同，但L A≠L B（C）L A和L B方向和大小都不同（D）L A和L B方向和大小都相同5. 对于质点组，内力可以改变的物理量是（C ）（A）总动量（B）总角动量（C）总动能（D）总质量6. 如图Z1-4图，一绳穿过水平光滑桌面中心的小孔连接桌面上的小物块，令物块先在桌面上作以小孔为圆心的圆周运动，然后将绳的下端缓慢向下拉，则小物块的（D ）（A）动量、动能、角动量都改变（B）动量不变，动能、角动量都改变（C）动能不变，动量、角动量都改变（D）角动量不变，动量、动能都改变7. 在升降机天花板栓有轻绳，其下端系一重物，如图综合1-1所示，升降机以加速度a 1上升时，绳中的张力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，则升降机以多大加速度上升时，绳子刚好被拉断？（ C ）（A ）2a 1 （B ）2（a 1+g ） （C ）2a 1+g （D ）a 1+g8. 质量分别为m 和m ′的滑块A 和B ，叠放在光滑水平桌面上，如图综合1-2所示，A ，B 间静摩擦因数为s μ，动摩擦因数为k μ，系统原处静止，今有一水平力作用于A 上，要使A,B 间不发生相对华东，则应有（ B ）（A ）F ≦s μmg （B ）F ≦s μ(1+m/m ′)mg（C ）F ≦s μ(m+m ′)g （D ）F ≦k μ(1+m/m ′)mg9. 一质点在外力作用下运动时，下述那种说法正确（ C ）（A ）质点的动量改变时，质点的动能也一定改变（B ）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变（C ）外力的冲量是零，外力的功也一定是零（D ）外力的功为零，外力的冲量也一定是零10. 质量相等的两个物体A和B，并排静止在光滑水平面上，如图综合1-3所示，现用一水平恒力F作用在物体A上，同时给物体B一个与F同方向的瞬时冲量I，使两物体沿同一方向运动，则两物体再次达到并排的位置所经过的时间为（ B ）（A）I/F （B）2I/F （C）2F/I （D）F/I11. 如图综合1-4所示，劲度系数为k的弹簧在木块和外力作用下，处于被压缩状态，其压缩量为x0，当撤去外力弹簧被释放后，质量为m的木块沿光滑斜面弹出，木块最后落到地上，应有（ C ）A.在此过程中，木块的动能和弹性势能之和守恒B.木块到达最高点是，高度h满足1/2kx2=mghC.木块落地时的速度v满足1/2kx2+mgH=1/2mv2D.木块落地点的水平距离随θ不同而异，θ越大，落地点越远12. 如图综合1-5所示，在光滑平面上有一运动物体P，在P的正前方有一个连有弹簧和挡板M的静止物体Q，弹簧和挡板M的质量均不计，P与Q的质量相同物体P 与Q 碰撞后P 停止，Q 以碰撞前P 的速度前进，在此碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是（ B ）（A ）P 的速度正好变为零时 （B ）P 与Q 速度相等时（C ）Q 正好开始运动时 （D ）Q 正好达到原来P 的速度时13. 一个质量为m 的小球系在长为l 的绳上，绳与竖直线间的夹角用θ表示，当小球从θ=0运动到θ=θ0时，重力所做的功为（D ）（A ）00A cos mg ld θθθ=⋅⎰； （B ）00A sin mg ld θθθ=⋅⎰； （C ）00A cos mg ld θθθ=-⋅⎰； （D ）00A sin mg ld θθθ=-⋅⎰。

第2章 《质点运动学》习题解答2.1.1 质点的运动学方程为ˆˆˆˆ(1).(32)5,(2).(23)(41)r t i j r t i t j =++=-+-求质点轨迹并用图表示。

【解】①.32,5,x t y =+=轨迹方程为y=5②2341x t y t =-⎧⎨=-⎩消去时间参量t 得：3450y x +-=2.1.2 质点运动学方程为22ˆˆˆ2t t r e i e j k-=++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。

【解】①222tt x e y e z -⎧=⎪=⎨⎪=⎩消去t 得轨迹：xy=1,z=2②221ˆˆˆ2r e i e j k --=++,221ˆˆˆ2r e i e j k -+=++, 222211ˆˆ()()r r r e e i e e j --+-∆=-=-+-2.1.3 质点运动学方程为2ˆˆ4(23)r t i t j =++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=0至t=1质点的位移。

【解】①.24,23,x t y t ==+消去t 得轨迹方程2(3)x y =-②0110ˆˆˆˆˆ3,45,42r j r i j r r r i j ==+∆=-=+2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为0114100,33.7R m θ==，0.75s 后测得022124240,29.3,,R m R R θ==均在铅直平面内。

求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。

【解】 221212122cos()R R R R R θθ∆=+--代入数值得：22041004240-241004240cos 4.4349.385()R m ∆=+⨯⨯≈349.385465.8(/)0.75Rv m s t ∆≈==∆ 利用正弦定理可解出034.89α=-2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为2/200y x =（长度mm ）。

第二章质点运动学思考题2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。

质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。

如图所示。

2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。

2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。

因为瞬时速度与一定的时刻相对应。

瞬时速度的定义是质点在t时刻的瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度t/r∆∆，当△t→0时的极限，即dtr dtrlimvt=∆∆=→∆。

很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。

2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。

是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？答：,dtdvtvlima xxtx=∆∆=→∆加速度与速度同号时，就是说,0a,0va,0vxxxx<<>>或以a,0vxx>>为例，速度为正表示速度的方向与x轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，t t ∆+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。

同理可说明,0a ,0v x x <<质点作加速运动。

质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。

例如初速度为x 0v ，加速度为t 6a x -=，速度为20t0x 0x t21t 6v dt )t 6(v v -+=-+=⎰，,0v ,0a 6t x x >><时，速度逐渐增加。