用完全平方公式分解因式同步练习

3公式法第1课时运用平方差公式因式分解知识点1直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．2a－b2C．a2－b2D．－a2－b22．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于（）A．9 B．4 C．－1 D．－23．把多项式(x－1）2－4因式分解的结果是（）A．(x＋3）(x＋1）B．(x＋1）(x－3）C．(x－1）(x＋3）D．(x－5）(x＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x2＝；(2）(2020·张家界）x2－9＝；(3）(2019·黔东南）9x2－y2＝．5．把下列各式因式分解：(1）9m2－4n2；(2）－16＋a2b2；(3）964m2－n2；(4）(x－2y）2－4y2.知识点2先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a2b－b3因式分解，结果正确的是（）A．b(a＋b）(a－b）B．b(a－b）2C．b(a2－b2）D．b(a＋b）27．因式分解：(1）(2020·济宁）a 3－4a ＝ ；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝ ；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝ ．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝ ．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为 .易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝ ．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．(a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b ）＝a 2－abC ．(a －b ）2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b ）(a －b ）14．对于任意整数n ，多项式(n ＋7）2－(n －3）2的值都能（ ）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝；(2）－9x2＋(x－y）2＝；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；(2）0.36x2－49y2；(3）a3b－16ab；(4）3m4－48；(5）x n－x n＋2；(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是（）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是（）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝；(2）a2－2ab＋b2＝．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋14；(2）4x2＋y2－4xy；(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝．9．把下列各式因式分解：(1）－x2＋6xy－9y2；(2）a3＋9ab2－6a2b.易错点对完全平方式理解不透10．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为（）A．100 B．150C．10 000 D．22 50012．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有．①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.13．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a，b的多项式的因式分解：．15．把下列各式因式分解：(1）(a－b）2＋4ab；(2）－2a3b2＋8a2b2－8ab2；(3）4x2－(x2＋1）2；(4）25－30(x－y）＋9(x－y）2；(5）(x2－2xy＋y2）＋(－2x＋2y）＋1.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果 ；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x ）(x 2－2x ＋2）＋1进行因式分解．18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x 2＋4x ＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2）2＋1.∵(x ＋2）2≥0，∴当x ＝－2时，(x ＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x ＋2）2＋1≥1.∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x ＝ 时，代数式x 2－6x ＋12的最小值是 ；(2）知识运用：若y ＝－x 2＋2x －3，当x ＝1时，y 有最大值(填“大”或“小”），这个值是 ；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝；(2）x2－6x＋8＝；(3）x2＋2x－3＝；(4）x2－6x－27＝．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝；(2）3x2－5x＋2＝．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝；(2）2x2－10x－12＝．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋）－(b3＋）＝a2( ）－(a＋b）＝( ）(a＋b）＝．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；(2）a2＋b2－9＋2ab.4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是．参考答案：第1课时 运用平方差公式因式分解知识点1 直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C ）A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22．已知多项式x 2＋a 能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于(C ）A ．9B ．4C ．－1D ．－23．把多项式(x －1）2－4因式分解的结果是(B ）A ．(x ＋3）(x ＋1）B ．(x ＋1）(x －3）C ．(x －1）(x ＋3）D ．(x －5）(x ＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x 2＝(1－x ）(1＋x ）；(2）(2020·张家界）x 2－9＝(x ＋3）(x －3）；(3）(2019·黔东南）9x 2－y 2＝(3x ＋y ）(3x －y ）．5．把下列各式因式分解：(1）9m 2－4n 2；解：原式＝(3m ＋2n ）(3m －2n ）．(2）－16＋a 2b 2；解：原式＝(ab ＋4）(ab －4）．(3）964m 2－n 2； 解：原式＝(38m ＋n ）(38m －n ）．(4）(x －2y ）2－4y 2.解：原式＝(x －2y ＋2y ）(x －2y －2y ）＝x(x －4y ）．知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a 2b －b 3因式分解，结果正确的是(A ）A ．b(a ＋b ）(a －b ）B ．b(a －b ）2C ．b(a 2－b 2）D ．b(a ＋b ）27．因式分解： (1）(2020·济宁）a 3－4a ＝a(a ＋2）(a －2）；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝3(x ＋3y ）(x －3y ）；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝mn(m ＋n ）(m －n ）．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；解：原式＝m(4m ＋n ）(4m －n ）．(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．解：原式＝(a －b ）(a ＋2）(a －2）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为3a －4.易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －2）．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D ）A．(a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b）＝a2－abC．(a－b）2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b）(a－b）14．对于任意整数n，多项式(n＋7）2－(n－3）2的值都能(A）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝(x＋4）(x－4）；(2）－9x2＋(x－y）2＝－(4x－y）(2x＋y）；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝(a－2）(m＋1）(m－1）．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为12．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3）(x－3）．(2）0.36x2－49y2；解：原式＝(0.6x）2－(7y）2＝(0.6x＋7y）(0.6x－7y）．(3）a3b－16ab；解：原式＝ab(a2－16）＝ab(a＋4）(a－4）．(4）3m4－48；解：原式＝3(m4－16）＝3(m2＋4）(m2－4）＝3(m2＋4）(m＋2）(m－2）．(5）x n－x n＋2；解：原式＝x n(1－x2）＝x n(1＋x）(1－x）．(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；解：原式＝[(y＋2x）＋(x＋2y）][(y＋2x）－(x＋2y）]＝(y＋2x＋x＋2y）(y＋2x－x－2y）＝(3x＋3y）(x－y）＝3(x＋y）(x－y）．(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．解：原式＝a2(a－b）－b2(a－b）＝(a2－b2）(a－b）＝(a－b）2(a＋b）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？解：36和2 020都是和谐数．理由如下：设a＝(n＋2）2－n2＝(n＋2－n）(n＋2＋n）＝2(2n＋2）＝4(n＋1），令36＝4(n＋1），解得n＝8.∴36＝102－82.同理：令2 020＝4(n＋1），解得n＝504.∴2 020＝5062－5042.第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是(D）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝(m＋2）2；(2）a2－2ab＋b2＝(a－b）2．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋1 4；解：原式＝(y＋1 2）2.(2）4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x）2＋y2－2·2x·y＝(2x－y）2.(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.解：原式＝(m－n－3）2.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝12(2x－1）2；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝n(m＋n）2；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝3a(a－1）2．9．把下列各式因式分解：(1）－x 2＋6xy －9y 2；解：原式＝－(x 2－6xy ＋9y 2）＝－(x －3y ）2.(2）a 3＋9ab 2－6a 2b.解：原式＝a(a 2＋9b 2－6ab ）＝a(a －3b ）2.易错点 对完全平方式理解不透10．在多项式4x 2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是±4x 或4x 4.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为(C ）A ．100B ．150C ．10 000D ．22 500 12．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．①－a 2＋b 2；②4x 2＋4x ＋1；③－x 2－y 2；④－x 2＋8x －16；⑤x 4－1；⑥m 2＋4m －4.13．若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2的值是1．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a ，b 的多项式的因式分解：ab ＋12(a 2＋b 2）＝12(a ＋b ）2．15．把下列各式因式分解：(1）(a －b ）2＋4ab ；解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b ）2.(2）－2a 3b 2＋8a 2b 2－8ab 2；解：原式＝－2ab 2(a 2－4a ＋4）＝－2ab 2(a －2）2.(3）4x 2－(x 2＋1）2；解：原式＝(2x ＋x 2＋1）(2x －x 2－1）＝－(x ＋1）2(x －1）2.(4）25－30(x －y ）＋9(x －y ）2；解：原式＝52－2×5×3(x －y ）＋[3(x －y ）]2＝[5－3(x －y ）]2＝(5－3x ＋3y ）2.(5）(x 2－2xy ＋y 2）＋(－2x ＋2y ）＋1.解：原式＝(x －y ）2－2(x －y ）＋1＝(x －y －1）2.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：当a ＋b ＝－3，ab ＝1时，原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2） ＝12ab(a ＋b ）2 ＝12×1×(－3）2 ＝92.17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果(x－2）4；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x）(x2－2x＋2）＋1进行因式分解．解：原式＝(x2－2x）2＋2(x2－2x）＋1＝(x2－2x＋1）2＝(x－1）4.18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.∵(x＋2）2≥0，∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x＋2）2＋1≥1.∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是3；(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝1时，y有最大值(填“大”或“小”），这个值是－2；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝(x＋1）(x＋4）；(2）x2－6x＋8＝(x－2）(x－4）；(3）x2＋2x－3＝(x＋3）(x－1）；(4）x2－6x－27＝(x－9）(x＋3）．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝(2x＋1）(x＋1）；(2）3x2－5x＋2＝(x－1）(3x－2）．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝(x＋2）(x－4）；(2）2x2－10x－12＝2(x＋1）(x－6）．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b）－(b3＋ab2）＝a2(a＋b）－b2(a＋b）＝(a2－b2）(a＋b）＝(a－b）(a＋b）2．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；解：原式＝(4x2－y2）－(2x＋y）＝(2x－y）(2x＋y）－(2x＋y）＝(2x＋y）(2x－y－1）．(2）a2＋b2－9＋2ab.解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝(a＋b）2－32＝(a＋b＋3）(a＋b－3）．4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有(D）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；解：原式＝x(x2－7x－30）＝x(x＋3）(x－10）．(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；解：原式＝(a－1）2＋4(a－1）＝(a－1）(a－1＋4）＝(a－1）(a＋3）．(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；解：原式＝(m2＋2m－8）(m2＋2m＋1）＝(m＋4）(m－2）(m＋1）2.(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.解：原式＝[(a－b）－2(a＋b）][(a－b）＋5(a＋b）]＝(－a－3b）(6a＋4b）＝－2(a＋3b）(3a＋2b）．6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b）2＋(b－c）2＝0.∴(a－b）2＝0，(b－c）2＝0，得a＝b且b＝c，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是直角三角形．。

北师版数学八年级下册第四章因式分解3公式法第2课时用完全平方公式因式分解1．下列各式中不是完全平方式的是(C)A．m2－16m＋64B．4m2＋20mn＋25n2C．m2n2－2mn＋4D．112mn＋49m2＋64n22．如果整式x2＋10x＋m恰好是一个整式的平方，则m的值是__25__．3．下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是(C)A．x2－x＋1B．a2＋a＋1 2C．1－2xy＋x2y2D．a2－b2＋2ab4．多项式1－4t＋4t2可以分解为(C)A．(4t－1)2B．－(2t－1)2C．(2t－1)2D．(1－4t)25．计算：1002－2×100×99＋992＝(B)A．0 B．1C．－1 D．39 6016．若x2－6x＋a＝(bx－3)2，则a，b的值分别为(A)A．9，1B．－9，1C．－9，－1D．9，－17．(2019·浙江温州中考)因式分解：m2＋4m＋4＝__(m＋2)2__．8．(2019·江苏南京中考)因式分解(a－b)2＋4ab的结果是__(a＋b)2__．9．(2019·辽宁沈阳中考)因式分解：－x2－4y2＋4xy＝__－(x－2y)2__．10．把下列各式因式分解：(1)x2－8xy＋16y2；(2)x3－6x2＋9x；(3)－8ax2＋16axy－8ay2；(4)(x＋y)2－10(x＋y)＋25.解：(1)原式＝(x－4y)2.(2)原式＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2.(3)原式＝－8a(x2－2xy＋y2)＝－8a(x－y)2.(4)原式＝(x＋y－5)2.11．分解因式：x2－120x＋3 456.分析：由于常数项数值较大，则采用x2－120x变差的完全平方形式进行分解：x2－120x＋3 456＝x2－2×60x＋3 600－3 600＋3 456＝(x－60)2－144＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)．请按照上面的方法分解因式：x2＋86x－651.解：x2＋86x－651＝(x＋43)2－2 500＝(x＋43＋50)(x＋43－50)＝(x＋93)(x－7)．12．如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b＋ab3＋2a2b2的值为(C)A．70 B．140C．490 D．2 56013．(2018·河北唐山五十四中课时作业)如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，长和宽分别为a，b的长方形卡片8张，边长为b的正方形卡片16张，用这25张卡片拼成一个无空隙的大正方形，则这个大正方形的边长是__a＋4b__．14．a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2－2ab＋b2＝0，(a＋b)2＝2ab＋c2，则△ABC的形状为__等腰直角__三角形．15．用简便方法计算：(1)992＋198＋1；(2)2042＋204×192＋962.解：(1)992＋198＋1＝992＋2×99×1＋12＝(99＋1)2＝10 000.(2)2042＋204×192＋962＝2042＋2×204×96＋962＝(204＋96)2＝90 000.易错点对完全平方式的可能性考虑不全而出错16．已知x2＋kx＋16可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为(D)A．－8B．±4C．8D．±817．(2019·湖南株洲中考)下列各选项中因式分解正确的是(D)A．x2－1＝(x－1)2B．a3－2a2＋a＝a2(a－2)C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)218．若4x2＋(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为(C)A．±6 B．±12C．13或－11 D．－13或1119．把(a2＋1)2－4a2因式分解得(B)A．(a2＋1－4a)2B．(a＋1)2(a－1)2C．(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)D．(a2－1)220．(2019·黑龙江哈尔滨中考)把多项式a3－6a2b＋9ab2因式分解的结果是__a(a－3b)2__．21．多项式x2＋1加上一个单项式后，可以因式分解，那么加上的单项式可以是__±2x(答案不唯一)__．22．若y－x＝－1，xy＝2，则代数式－12x3y＋x2y2－12xy3的值是__－1__．23．已知|xy－4|＋(x－2y－2)2＝0，求x2＋4xy＋4y2的值．解：∵|xy－4|＋(x－2y－2)2＝0，∴xy＝4，x－2y＝2，∴x2＋4xy＋4y2＝x2－4xy＋4y2＋8xy＝(x－2y)2＋8xy＝4＋4×8＝36.24．已知：△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b(a＋c)．求证：(1)(a－b)2＋(b－c)2＝0；(2)△ABC为等边三角形．证明：(1)∵a2＋2b2＋c2＝2b(a＋c)，∴a2＋2b2＋c2－2ba－2bc＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0.(2)由(1)知，(a－b)2＋(b－c)2＝0，则a－b＝0且b－c＝0，解得a＝b且b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．25．(2018·浙江衢州中考)有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，对于方案一，小明是这样验证的：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：a2＋ab＋(a＋b)b＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.方案三：a2＋[a＋（a＋b）]b2＋[a＋（a＋b）]b2＝a2＋ab＋12b2＋ab＋12b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.26．阅读下面文字内容：对于形如x2＋2ax＋a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x＋a)2的形式．但对于二次三项式x2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x2＋4x构成个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2＋4x－5＝(x2＋4x＋4)－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．请用配方法解下列问题：(1)请用上述方法把x2－6x－7因式分解；(2)已知x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，求y的值．解：(1)x2－6x－7＝x2－6x＋9－9－7＝(x－3)2－16＝(x－3－4)(x－3＋4)＝(x－7)(x＋1)．(2)∵x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，∴x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝0，即(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴x＋2＝0，y－3＝0，解得x＝－2，y＝3，即y的值为3.。

运用公式法因式分解一、选择题（本大题共7小题）1.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（）A、4B、﹣4C、±2D、±42.若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（）A、8B、16C、2D、43.已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（）A、﹣12B、﹣32C、38D、724.将x m+3﹣x m+1分解因式，结果是（）A、x m（x3﹣x）B、x m（x3﹣1）C、x m+1（x2﹣1）D、x m+1（x﹣1）（x+1）5.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A、﹣a2+b2B、﹣x2﹣y2C、49x2y2﹣z2D、16m4﹣25n2p26.若x2﹣y2=30，且x﹣y=﹣5，则x+y的值是（）A、5B、6C、﹣6D、﹣57.直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为（）A、182B、180C、32D、30二、填空题（本大题共17小题）8.分解因式：⑴222x y x y++-+-4()520(1)+-++；⑵2x x x x()4()49.x2﹣y2=48，x+y=6，则x= ，y= ．10.如果x+y=﹣1，x﹣y=﹣2022，那么x2﹣y2= ．11.记248n=(12)(12)(12)(12)(12)nx=++++⋅⋅⋅+，且128x+=，则______1212.分解因式x（x+4）+4的结果．13.如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式___________.14.化简：（a+1）2﹣（a﹣1）2= ．15.化简求值，其中12a =，2b =-，则22()()________a b a b +--=16.224488()()()()()________x y x y x y x y x y -++++=17.填空：⑴222_____4(2)x y x y ++=+；⑵2229_____121(3___)a b a -+=-；⑶2244____(2___)m mn m ++=+；⑷2_____6______(3)xy x y ++=+.18.若214x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是19.利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ．20.已知y=2x ，则4x 2﹣y 2的值是 ．21.已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 、 ． 22.2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 23.设a ，b 为有理数，且20a b +=，设22a b +的最小值为m ，ab 的最大值为n ，则m n += ．24.分解因式：24()520(1)x y x y ++-+-=三 、解答题（本大题共10小题）25.计算：⑴7373()()2424x y x y -+⑵(35)(35)x y x y ---+26.分解因式：（1）44a b - （2）2249()16()m n m n +--（3）22()()a b c d a b c d +++--+- （4）34xy xy -；（5）22()()a x y b y x -+- 27.利用平方差公式简化计算：⑴59.860.2⨯⑵10298⨯⑶2123461234512347-⨯ ⑷11411515⨯28.计算：⑴2()a b c ++ ⑵2()a b c -- ⑶2(23)a b c -+29.⑴先化简后求值：2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.⑵计算：(22)(22)x y y x -+-+.30.计算（1）2(23)x y -+ （2）(2)(2)a b b a --（3）2222()()a ab b a ab b ++-+ （4）(22)(22)x y y x -+-+31.计算：⑴2(811)a b -+⑵2(23)x y --32.计算：⑴2(3)(3)(9)x x x +-+；⑵(23)(45)(23)(54)a b a b a b b a ++--；33.已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．34.分解因式：()()22114m n mn --+答案解析一 、选择题1.D ；∵x 2+mx+4=（x ±2）2，即x 2+mx+4=x 2±4x+2，∴m=±4．故选D ．2.B3.A ；原式=（13x ﹣17）（19x ﹣31﹣11x+23）=（13x ﹣17）（8x ﹣8），∵可以分解成（ax+b ）（8x+c ）∴a=13，b=﹣17，c=﹣8∴a+b+c=﹣12．4.D ；x m+3﹣x m+1=x m+1•x 2﹣x m+1=x m+1（x 2﹣1）=x m+1（x+1）（x ﹣1）．5.B6.C ；∵x 2﹣y 2=（x+y ）（x ﹣y ）=30，x ﹣y=﹣5∴x+y=﹣6．故选C ．7.A ；设另一条直角边的长度为x ，斜边的长度z ，则z 2﹣x 2=132，且z ＞x ，∴（z+x ）（z ﹣x ）=169×1，∴{z +x =169z ﹣x =1，∴三角形的周长=z+x+13=169+13=182．故选A ． 二 、填空题8.⑴2222222()4()4(2)(1)(2)x x x x x x x x +-++=+-=-+；⑵2224()520(1)4()20()25(225)x y x y x y x y x y ++-+-=+-++=+-9.∵x 2﹣y 2=（x+y ）（x ﹣y ）=48，x+y=6∴x ﹣y=8联立{x +y =6x ﹣y =8，解得{x =7y =﹣1． 10.2022；x 2﹣y 2=（x+y ）（x ﹣y ）∵x+y=﹣1，x ﹣y=﹣2022∴x 2﹣y 2=1×2022=2022．故填空2022．11.248(12)(12)(12)(12)(12)n x =++++⋅⋅⋅+248(21)(12)(12)(12)(12)(12)n =-++++⋅⋅⋅+2(21)(21)21n n n =-+=-∴2212112n n x +=-+=∴2128n =，∴64n =12.x （x+4）+4=x 2+4x+4=（x+2）213.22()()4a b a b ab -=+-或224()()ab a b a b =+--14.（a+1）2﹣（a ﹣1）2=（a+1+a ﹣1）（a+1﹣a+1）=4a ．15.-4；原式=2222224a ab b a ab b ab ++-+-=；当12a =，2b =-时，原式14(2)42=⨯⨯-=- 16.1616x y -17.⑴4xy ；⑵66ab ，11b ；⑶2n ，n ；⑷29x ，2y .18.1±19.a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．20.∵y=2x ，∴2x ﹣y=0，∴4x 2﹣y 2=4x 2﹣y 2=（2x+y ）（2x ﹣y ）=（2x+y ）×0，=0． 21.248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．22.原式211111************n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4411121222n n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 23.222222()()120()22a b a b a b a b ++-⎡⎤+==+-⎣⎦， 因为2()0a b -≥，所以22a b +最小值200m =；222()()1400()44a b a b ab a b +--⎡⎤==--⎣⎦，所以ab 的最大值100n =，故300m n +=． 24.2224()520(1)4()20()25(225)x y x y x y x y x y ++-+-=+-++=+- 三 、解答题25.⑴原式222273499()()24416x y x y =-=-；⑵原式2222(3)(5)925x y x y =--=-； 26.（1）44222222()()()()()a b a b a b a b a b a b -=-+=-++（2）原式[][]7()4()7()4()m n m n m n m n =++-+--(113)(311)m n m n =++（3）22()()(22)(22)4()()a b c d a b c d a c b d a c b d +++--+-=++=++（4）324(4)(2)(2)xy xy xy y xy y y -=-=-+（5）2222()()()()()()()a x y b x y x y a b x y a b a b ---=--=--+ 27.⑴2259.860.2(600.2)(600.2)600.23599.96⨯=-+=-=⑵2210298(1002)(1002)10029996⨯=+-=-=⑶2222212346123451234712346(123461)(123461)12346(123461)1-⨯=--+=--= ⑷1141111241(1)(1)115151515125125⨯=+-=-= 28.⑴原式222222a b c ab ac bc =+++++⑵原式222222a b c ab ac bc =++--+⑶原式232234618a b c ab ac bc =++-+-29.⑴222222()()()2(2)2(22)2x y x y x y x x xy y x y x x xy x x y ⎡⎤-++-÷=-++-÷=-÷=-⎣⎦又3x =， 1.5y =，故原式3 1.5 1.5x y =-=-=.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y x x y x x x y ⎡⎤-++-÷=-⋅÷=-=⎣⎦⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-30.（1）原式222(23)4129x y x xy y =-=-+（2）原式22222(2)(44)44a b a ab b a ab b =--=--+=-+-（3）原始22224224()()a b ab a b ab a a b b ⎡⎤⎡⎤=+++-=++⎣⎦⎣⎦（4）原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-31.⑴原式222(118)12117664b a b ab a =-=-+；⑵原式222(23)4129x y x xy y =+=++.32.⑴2224(3)(3)(9)(9)(9)81x x x x x x +-+=-+=-；⑵原式2222(49)(2516)a b b a =--22442242241006422514464244225a b a b a b a a b b =--+=-+-； 33.2222()()132a b a b a b ++-+==，22()()64a b a b ab +--==-，227a b ab ++=． 34.()()22114m n mn --+ 222214m n m n mn =--++222221(2)m n mn m n mn =++-+-22(1)()mn m n =+--(1)(1)mn m n mn m n =+-+++-。

专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________. 2．因式分解：1-2a +a 2=________．3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．4．因式分解：222x xy y -+=______． 5．因式分解：222x xy y ++=________． 6．因式分解：222m mn n ++=__________． 7．分解因式：221x x ++= ___________ ． 8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．9．因式分解：244b b -+=____． 10．因式分解221x x -+=______．类型二 完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______． 12．分解因式：214m m -+=__________． 13．分解因式：x 2+x+14＝_____． 14．因式分解：2441a a ++=______________ 15．分解因式：2244a ab b -+=______． 16．分解因式221236x xy y -+=______． 17．分解因式：224129x xy y -+=________．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______． 19．分解因式：224129m mn n -+= __________.20．因式分解24129m m -+=______． 21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____． 23．24129a a -+分解因式得__________． 24．因式分解：2296x xy y ++=______. 25．因式分解229124x xy y -+=______ 26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )； （2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____． 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝___________．33．因式分解：22bx bx b -+=______. 34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___． 35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝________． 类型四 展开后再用完全平方公式因式分解38．分解因式：2(1)4a a +-=_________．39．因式分解：()241x x --=__________．40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________． 42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______． 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____． 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是________．47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____． 48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______． 类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．50．因式分解2221b bc c -+-=______． 51．分解因式：2221y x x ---=_____．52．分解因式：2242x y xy --+=___________．专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________.解：原式=a 2-2×a ×2b +（2b ）2=（a -2b ）2， 2．因式分解：1-2a +a 2=________．解：由题意可知：1-2a +a 2=(1-a )2，3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．【解答】a 2－10a ＋25=（a －5）24．因式分解：222x xy y -+=______．解：原式()2x y =-，5．因式分解：222x xy y ++=________．解：222x xy y ++=()2x y +．6．因式分解：222m mn n ++=__________．【解答】222m mn n ++=2()m n +，7．分解因式：221x x ++= ___________ ．解：221x x ++=2(1)x +8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．【解答】x 2-8x +16，=x 2-2×4×x +42，=（x -4）2． 9．因式分解：244b b -+=____．解：原式＝()22b -，10．因式分解221x x -+=______．解：221x x -+=（x ﹣1）2． 类型二 完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______． 解：214a a -+＝212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12．分解因式：214m m -+=__________．解：221142m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭， 13．分解因式：x 2+x+14＝_____． 原式＝（x +12）2．14．因式分解：2441a a ++=______________根据完全平方公式可得，原式=()()2224121a a a ++=+，15．分解因式：2244a ab b -+=______．16．分解因式221236x xy y -+=______．17．分解因式：224129x xy y -+=________．原式22(2)2(2)(3)(3)x x y y =-⨯⨯+ 2(23)x y =-．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______．【解答】：x 2y 2－2xy ＋1＝(xy －1)². 19．分解因式：224129m mn n -+= ___________________.直接运用完全平方公式分解因式即可，即原式=(2m －3n )2.20．因式分解24129m m -+=______．解：24129m m -+=22(2)2233m m -⨯⨯+=2(23)m -21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；【解答】222441(2)41(21)x x x x x -+=-+=-，2222216249(4)24(3)(43)a ab b a ab b a b ++=++=+，22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____．解：4x 2+12xy +9y 2＝（2x +3y ）2．23．24129a a -+分解因式得__________．解：224129(23)a a a -+=-，24．因式分解：2296x xy y ++=______.解：()222963x xy y x y ++=+25．因式分解229124x xy y -+=______解：229124x xy y -+=()232x y -.26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．解：原式＝(3﹣2t)2．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )； （2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 试题解析：（1）25x 2+10x+1=（5x+1）2；（2）1-2b+b 2=（b-1）2（3）x 2+4x+4=（x+2）2；（4）4m 2+（±12mn ）+9n 2=（2m±3n ）2． 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____．解：am 2﹣2amn +an 2＝()()2222a m mn n a m n -+=-， 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____．解：2mx 2﹣4mxy +2my 2，＝2m （x 2﹣2xy +y 2），＝2m （x ﹣y ）2． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．解：原式＝2x （m 2﹣6m+9）＝2x （m ﹣3）2．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．解：ma 2﹣2ma +m = m （a 2﹣2a +1）=m （a －1）2，32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝_______________________． 解：原式=xy （x 2-6x+9）=xy （x-3）2，33．因式分解：22bx bx b -+=______.由完全平方公式：22bx bx b -+=()221b x x -+ =()21b x -34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___．解：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y()()22=693y x x y x --+=--35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．解：原式=-（m 2-4m +4）=-（m -2）2.36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．解：原式＝﹣2ab （4a 2﹣4ab +b 2）＝﹣2ab （2a ﹣b ）2，37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝__________________________． 原式=-2x （x 2-2xy+ y 2）=－2x （x －y ）2，38．分解因式：2(1)4a a +-=___________________________________． 2222(1)412421(1)a a a a a a a a +-=++-=-+=-．类型四 展开后再用完全平方公式因式分解39．因式分解：()241x x --=________________．解：()241x x --244x x =-+()22x =-． 40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________．原式=x 2-2x+1=（x-1）2.42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．()()()222811681281.a aa a a +-=+-=-43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______．解：()228a b ab +-22448a ab b ab =++-2244a ab b =-+()22a b =- 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．解：（a-b ）（a-9b ）+4ab=a 2-10ab+9b 2+4ab= a 2-6ab+9b 2=（a-3b ）2． 45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____．首先去括号，进而利用乘法公式分解因式，（a+1）（a+3）+1=244a a ++=2(2)a +. 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是___________．()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -． 47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____．解：x （x-1）-3x+4，=x 2-x-3x+4，=x 2-4x+4，=（x-2）2．48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______．x 2-4（x-1）=x 2-4x+4=（x-2）2．类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--． 50．因式分解2221b bc c -+-=______．解：原式=2()1b c --=[][]()1()1b c b c ---+=()()11b c b c ---+， 51．分解因式：2221y x x ---=_____．解：2221y x x ---=()22+2+1y x x -()22+1y x =-()()=11y x y x ++-- 52．分解因式：2242x y xy --+=__________________．原式=()()()()22242422x y xy x y x y x y -=--=+--++-.。

4.3用乘法公式分解因式第2课时用完全平方公式分解因式基础过关全练知识点1完全平方式1.若关于x的多项式x2-4x+a(其中a是常数)是完全平方式,则a的值是()A.2B.-2C.4D.-42.【新独家原创】若关于x的多项式x2+mx+n是完全平方式,则m,n 的值可能是()A.-1,14B.12,14C.14,-14D.-14,143.下列各式中,与2x2-6x的和是完全平方式的是()A.x+9B.3C.9D.9-x2知识点2用完全平方公式分解因式4.下列可以用完全平方公式因式分解的是()A.4a2-4a-1B.4a2+2a+1C.1-4a+4a2D.2a2+4a+15.(2022浙江杭州余杭期末)下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)2B.x2+2xy+y2=(x-y)2C.x2+x=x(x-1)D.x2-y2=(x+y)(x-y)6.(2022贵州黔东南中考)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022=.7.【一题多变】(2022黑龙江绥化中考)分解因式: (m+n)2-6(m+n)+9=.[变式] 分解因式:19-13(a+b)+14(a+b)2= . 8.【教材变式·P108T5变式】因式分解:(1)m 2-4mn+4n 2; (2)-a+2a 2-a 3;(3)4+12(a-b)+9(a-b)2; (4)(x 2+4)2-16x 2.9.(2021浙江杭州余杭模拟)给出三个多项式:①a 2+3ab-2b 2;②b 2-3ab;③ab+6b 2.请任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.知识点3 简便运算10.用简便方法计算: 1012+198×101+992.能力提升全练11.下列因式分解正确的是( ) A.ab+ac+a=a(b+c)B.a 2-4b 2=(a+4b)(a-4b)C.9a 2+6a+1=3a(3a+2)D.a 2-4ab+4b 2=(a-2b)212.(2022浙江绍兴柯桥期中,7,)若x 2+2(k+1)x+4是完全平方式,则k 的值为( ) A.1 B.-3 C.-1或3 D.1或-313.把(a+b)2-4(a 2-b 2)+4(a-b)2因式分解为( )A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)214.若ab=2,b-a=3,则-a 3b+2a 2b 2-ab 3的值为 .15.因式分解:a 2-b 2-x 2+y 2-2ay+2bx= .16.【新独家原创】下列单项式:①3x;②-5x;③-154;④-1516x 2;⑤-3x 中,加上x 2-x+4后成为一个完全平方式的有 .(填序号)17.【作差法比大小】已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,试比较P,Q的大小.18.【学科素养·运算能力】(2022浙江杭州外国语学校期中,22,)配方法是一种重要的解决问题的数学方法,它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或代数式最大值、最小值的问题.请用配方法解决以下问题.(1)试说明:无论x,y取何值,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数;(2)分解因式:a4+a2+1;(3)已知实数a,b满足-a2+5a+b-3=0,求a+b的最小值.素养探究全练19.【运算能力】我们知道(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,若将该式从右到左使用,就可得到用“十字相乘法”因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.答案全解全析基础过关全练1.C ∵关于x 的多项式x 2-4x+a(其中a 是常数)是完全平方式,∴a=4,故选C.2.A 当m=-1,n=14时,x 2+mx+n=x 2-x+14=(x −12)2,故选A. 3.D (2x 2-6x)+(9-x 2)=2x 2-6x+9-x 2=x 2-6x+9.故选D.4.C 1-4a+4a 2=(1-2a)2,故选C.5.D x 2+y 2不能分解,故A 错误;x 2+2xy+y 2=(x+y)2,故B 错误; x 2+x=x(x+1),故C 错误;x 2-y 2=(x+y)(x-y),故D 正确.故选D.6.答案 2 022(x-1)2解析 原式=2 022(x 2-2x+1)=2 022(x-1)2.7.答案 (m+n-3)2解析 原式=(m+n)2-2·(m+n)·3+32=(m+n-3)2.[变式] 答案 (13−12a −12b)2解析 原式=[13−12(a +b)]2=(13−12a −12b)2. 8.解析 (1)原式=m 2-2·m·2n+(2n)2=(m-2n)2.(2)原式=-a(a 2-2a+1)=-a(a 2-2·a·1+12)=-a(a-1)2.(3)原式=22+2·2·3(a-b)+[3(a-b)]2=[2+3(a-b)]2=(2+3a-3b)2.(4)原式=(x 2+4)2-(4x)2=(x 2+4+4x)(x 2+4-4x)=(x 2+4x+4)(x 2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2.9.解析答案不唯一,写出以下任意一个即可.①+②得a2+3ab-2b2+b2-3ab=a2-b2=(a+b)(a-b).①+③得a2+3ab-2b2+ab+6b2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2.②+③得b2-3ab+ab+6b2=7b2-2ab=b(7b-2a).10.解析1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40 000.能力提升全练11.D ab+ac+a=a(b+c+1),故A错误;a2-4b2=(a+2b)(a-2b),故B错误; 9a2+6a+1=(3a+1)2,故C错误;a2-4ab+4b2=(a-2b)2,故D正确.故选D.12.D∵x2±2·x·2+22=(x±2)2,∴k+1=±2,∴k=1或-3,故选D.13.C(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2=(a+b)2-2×2(a+b)(a-b)+[2(a-b)]2=(a+b-2a+2b)2=(3b-a)2.14.答案-18解析当ab=2,b-a=3时,-a3b+2a2b2-ab3=-ab(a2-2ab+b2)=-ab(b-a)2= -2×32=-18.15.答案(a-y+b-x)(a-y-b+x)解析a2-b2-x2+y2-2ay+2bx=(a2-2ay+y2)-(b2-2bx+x2)=(a-y)2-(b-x)2=(a-y+b-x)(a-y-b+x).16.答案③④⑤解析 ①3x+x 2-x+4=x 2+2x+4,不是完全平方式;②-5x+x 2-x+4=x 2-6x+4,不是完全平方式;③-154+x 2-x+4=x 2-x+14=(x −12)2,是完全平方式; ④-1516x 2+x 2-x+4=116x 2-x+4=(14x −2)2,是完全平方式; ⑤-3x+x 2-x+4=x 2-4x+4=(x-2)2,是完全平方式.综上,满足条件的有③④⑤.故答案为③④⑤.17.解析 ∵P=2x 2+4y+13,Q=x 2-y 2+6x-1,∴P-Q=(2x 2+4y+13)-(x 2-y 2+6x-1)=2x 2+4y+13-x 2+y 2-6x+1=x 2-6x+9+y 2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.18.解析 (1)x 2+y 2-4x+2y+6=x 2-4x+4+y 2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1>0,∴无论x,y 取何值,多项式x 2+y 2-4x+2y+6的值总为正数.(2)a 4+a 2+1=a 4+2a 2+1-a 2=(a 2+1)2-a 2=(a 2+a+1)(a 2-a+1).(3)∵-a 2+5a+b-3=0,∴b=a 2-5a+3,∴a+b=a 2-4a+3=(a-2)2-1,∴当a=2时,a+b 有最小值,为-1,∴a+b的最小值为-1.素养探究全练19.解析(1)2;4或4;2.(2)因为x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x-4)·(x+1)=0,所以x-4=0或x+1=0, 所以x=4或x=-1.。

完全平方公式一、单选题(共12小题）1．已知x+=6,则x2+=（）A.38B.36 C。

34 D。

32【答案】C【详解】把x+=6两边平方得:（x+）2=x2++2=36，则x2+=34，故选：C．【名师点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．2．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（) A．2005B．2006C．2007D．2008【答案】A【解析】p=a2+2b2+2a+4b+2008，=(a2+2a+1)+（2b2+4b+2）+2005,=（a+1）2+2（b+1）2+2005，当(a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，最小值最小为2005．故选A．3．已知(m－n)2＝36,（m＋n）2＝4000，则m2＋n2的值为( ）A.2016 B.2017 C.2018 D。

4036【答案】C【解析】∵,∴，∴，∴。

故选C.4．若有理数a，b满足a2+b2=5，(a+b)2=9，则－4ab的值为（）A．2B．－2C．8D．－8【答案】D【解析】（a+b）²=9，即a²+b²+2ab=9，又a²+b²=5，则2ab=9—5=4，所以—4ab=4×（—2)=-8.故选：D。

5．将9.52变形正确的是（）A．9.52=92+0.52B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）C．9.52=102﹣2×10×0。

5+0。

52D．9.52=92+9×0.5+0.52【答案】C【详解】9。

52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，或9.52=（9+0。

5）2=92+2×9×0.5+0.52，观察可知只有C选项符合，故选C．【名师点睛】本题考查的是完全平方公式,完全平方公式:（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为:“首平方，末平方，首末两倍中间放”．6．已知实数a、b满足a+b=2,ab=，则a﹣b=（）A．1 B．﹣C．±1 D．±【答案】C【解析】∵a+b=2，ab=，∴（a+b)2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2=，∴（a—b）2=a2-2ab+b2=1，∴a—b=±1，故选:C．7．(2019·耒阳市冠湘中学初二月考)已知，则的值是（）．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】∵a+b=2，∴a2—b2+4b=(a—b)(a+b）+4b，=2(a-b）+4b，=2a—2b+4b,=2（a+b），=2×2,=4．故选C．本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．8．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则a+b的值为（)A．16B．﹣16C．4D．﹣4【答案】D【解析】已知等式整理得:x2+ax+19=（x-5)2—b=x2—10x+25-b,可得a=—10，b=6,则a+b=—10+6=-4，故选：D．9．若x+y+3=0，则x（x+4y）-y（2x—y）的值为A．3B．9C．6D．—9【答案】B【详解】∵x+y+3=0，∴x+y=﹣3,∴x(x+4y)﹣y(2x﹣y）=x2+4xy﹣2xy+y2=(x+y)2=9．故选B.【名师点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．10．如图,边长为a，b的长方形的周长为13，面积为10，则a3b+ab3的值为（)A。

13.3.2 公式法(二)基础训练1.下列式子中是完全平方式的是( )A.a2-a+B.a2+a+C.a2-a+D.a2+a+2.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A.x2+x+1B.x2+2x-1C.x2-1D.x2-6x+93.下列多项式中,不能用公式法分解因式的是( )A.m+1+B.-x2+9y2C.-a2+14ab+49b2D.-n+14.若4a2+18ab+m是一个完全平方式,则 m等于( )A.9b2B.18b2C.81b2D.b25.(1)x2+10x+ =(x+ )2.(2)把多项式6xy2-9x2y-y3因式分解,最后结果为__________.6.分解因式:(1)x2-ax+a2;(2)-25a2+20ab-4b2;(3)2x3y-12x2y+18xy;(4)9(a+b)2+12(a+b)+4;(5)4x2-12xy+9y2;培优提升1.多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是( )A.x-1B.x+1C.x2-1D.(x-1)22.把多项式a2-2ab+b2-1分解因式,结果是( )A.(a-b+1)(a-b-1)B.(a-b+1)(a+b-1)C.(a+b+1)(a+b-1)D.(a+b+1)(a-b-1)3.将多项式16x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个完全平方式.则添加的单项式为.4.分解因式:x(x-1)-3x+4= .5.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是.6.若a+b=3,ab=2,则a3b+a2b2+ab3的值是.7.x2-4x+3=(x- )2-1.8.分解因式:(x-1)(x-3)+1.9.计算:(1)17.82-2×17.8×7.8+7.82;(2)982+4×98+4.10.已知a2+b2-6a-8b+25=0,求3a+4b的值.11.给出三个多项式X =2a2+3ab+b2,Y =3a2+3ab,Z = a2+ab,请你任选两个进行加(或减)法运算,再将结果分解因式.12.(1)已知x-2y=-2, b=-4 098,求2bx2-8bxy+8by2-8b的值;(2)已知x+y+z=0,求(x2-y2-z2)2-4y2z2的值.13.已知a,b,c是一个三角形的三条边长,且a,b,c满足关系式a2+b2+c2=ab+bc+ac,试判断这个三角形是什么三角形.参考答案【基础训练】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：因为4a2+18ab+b2是完全平方式,所以m=b2.5.【答案】(1)25;5 (2)-y(3x-y)26.解:(1)原式=-ax+=x-a2;(2)原式=-(25a2-20ab+4b2)=-[(5a)2-2×5a·2b+(2b)2]=-(5a-2b)2;(3)原式=2xy(x2-6x+9)=2xy(x-3)2;(4)原式=[3(a+b)]2+2×3(a+b)×2+22=[3(a+b)+2]2=(3a+3b+2)2;(5)原式=(2x)2-2×2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.【培优提升】1.【答案】A2.【答案】A解：从整体看,各项没有公因式,也不能运用公式,但把前三项作为一组,它是一个完全平方式,可以分解成(a-b)2;把第四项-1作为另一组,与(a-b)2构成(a-b)2-1,可继续分解因式.答案为A.3.【答案】8x,-8x,64x4解：若把4x2和1看为平方项,则需添加8x或-8x;若把16x2看成两项乘积的2倍,则需添加(8x2)2,即64x4.本题易错之处是只考虑±8x;方法规律:当已知完全平方式的一个平方项和乘积的2倍,确定另一平方项时,只有一种情况;当已知完全平方式的两个平方项,确定乘积的2倍时,有两种情况.4.【答案】(x-2)25.【答案】1解：∵m=2n+1,∴m-2n=1,∴m2-4mn+4n2=(m-2n)2 =12=1.6.【答案】9解：a3b+a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,因为a+b=3,ab=2,所以原式=×2×32=9.7.【答案】28.解:原式=x2-4x+3+1=x2-4x+4=(x-2)2.解：先把(x-1)(x-3)展开,再因式分解.9.解:(1)原式=(17.8-7.8)2=102=100.(2)原式=982+2×98×2+22=(98+2)2=1002=10 000.10.解:∵a2+b2-6a-8b+25=0,∴(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0,∴(a-3)2+(b-4)2=0,∴a-3=0,b-4=0,∴a=3,b=4,∴3a+4b=25.分析：一个等式若涉及求多个字母的值,一般用完全平方公式因式分解变成几个式子的平方和等于0的形式.11.解: X-Z=(2a2+3ab+b2)-(a2+ab)=a2+2ab+b2=(a+b)2.解：答案不唯一.12.解:(1)2bx2-8bxy+8by2-8b=2b[(x2-4xy+4y2)-4]=2b(x-2y+2)(x-2y-2),当x-2y=-2,b=-4 098时,原式=0.(2)(x2-y2-z2)2-4y2z2=(x2-y2-z2+2yz)(x2-y2-z2-2yz) =[x2-(y-z)2][x2-(y+z)2]=(x+y-z)(x-y+z)·(x+y+z)(x-y-z),当x+y+z=0时,(x2-y2-z2)2-4y2z2=0.分析：先将(x2-y2-z2)2-4y2z2因式分解,再求值即可.13.解:∵a2+b2+c2=ab+bc+ac,∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,∴a=b,b=c,a=c,∴a=b=c,∴这个三角形是等边三角形.。

因式分解完全平方公式例题因式分解是数学中一个重要的概念，完全平方公式是因式分解中的一个常用方法。

在这篇文章中，我们将介绍完全平方公式的基本原理，并用例题加以说明。

完全平方公式是指一个二次三项式的平方能够被因式分解为两个平方的和或差。

这个公式的应用范围广泛，不仅在代数中有用，还在实际问题中有很多应用。

完全平方公式的一般形式是(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，其中a 和b是任意实数。

这个公式可以简单地证明，我们可以用分配律展开(a + b)^2，得到a^2 + ab + ab + b^2，然后合并相同项，即得到a^2 + 2ab + b^2。

使用完全平方公式的基本步骤是，首先将待因式分解的二次三项式写成完全平方的形式，然后根据公式进行因式分解。

下面我们通过一些例题来说明完全平方公式的应用。

例题1：将x^2 + 6x + 9进行因式分解。

解：我们看到这个三项式的第一项是x的平方，第二项是2倍x的系数，第三项是3的平方，符合完全平方公式的形式。

所以我们可以将这个三项式写成(x + 3)^2的形式。

因此，x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。

例题2：将4x^2 - 12x + 9进行因式分解。

解：我们可以先将这个三项式除以4，得到x^2 - 3x + 9/4。

然后我们观察x^2和9/4，可以发现这两个项的平方能够得到x^2和9/4，而-3x这个项正好是2倍x乘以-3/2的结果。

所以我们可以将这个三项式写成(x - 3/2)^2的形式。

因此，4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2。

例题3：将x^2 - 4x + 4进行因式分解。

解：我们可以将这个三项式写成(x - 2)^2的形式。

因此，x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2。

通过以上例题，我们可以看到完全平方公式在因式分解中的应用。

当我们遇到二次三项式时，如果我们能够将其写成完全平方的形式，就可以直接使用完全平方公式进行因式分解。