2.5坡度、坡角-

二、课内探究（2）解答过程的思路：实际问题解直角三角形问题1、创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，出示图片，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？思考回答转化问题答案求出有关的边或角AB ECDA CDB四、思维扩展，举一反三五、巩固提高３、根据已知条件和所学知识，这种形状的图形能不能解？仿照例１根据下图和图中的已知，编写一道应用“解直角三角形”知识的题。

（要求叙述完整）例2、如图，河对岸有水塔AB 。

在C 处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进12m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求塔高。

通过编写题目来加深学生对解直角三角形应用的理解与掌握，达到扩散思维的作用1、积极思考，踊跃回答，并计算结果。

2、四人小组讨论，给出结果。

450 3006米（自主探究，合作学习，采用小组合作的方法）教学程序教师活动学生活动一、学前准备二、自学探究1.指南或指北的方向与目标方向线构成小于900的角，叫做__ ____,如图：点A在点O的___________,点B在点O的南偏西45º或方向.2阅读课本80页中有关坡度的内容，说一说什么是坡角，什么是坡度或坡比，坡度与坡角的正切有什么关系? 请把重点知识写在下面.______________________________________________________________________________1、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形（如图），坝顶宽BC=6米，坝高25米，应水坡AB的坡度i=1：3，被水坡CD的坡度i=1：2.5.（1）.求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）.求拦水大坝的底面AD的宽.做一做，看谁做得快组内探索，交流推荐学生回答BC10米A D E5.6米i=1:2.5α β三、练习自测1.一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离为150米，那么他下降的高度是多少（精确到0.1米）？2.如上图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中数据，求：（1）.角α和β的大小（精确到1 ） （2）、坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1米） 3.入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？A 、B 两市相距100公里，在A 市东偏北30º方向，B 市的西北方向是一森林公园C ，方圆30公里.若在思考回答、推举同学讲解先独立解答，不会的相互帮助 所思所想四、拓展延伸五、归纳小结A、B两市间修一条笔直的高速公路.它会不会穿过森林公园.1.这节课我的收获和疑问：___________________________我将____________________________________________________ ______解决我的困惑。

九年级数学学科练习（满分150分，用卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．下列实数中，无理数是（A ）16；（B ）391；（C ）()02+π；（D ）78．2．计算x 3•x 2所得的结果是（A ）x 9；（B ）x 6；（C ）x 5；（D ）x ．3．如果非零向量a 、b 互为相反向量，那么下列结论中错误的是（A ）b a //；（B ）||||b a =；（C ）0=+b a ；（D ）b a -=．4．如图，已知△ABC 与△DEF ，下列条件一定能推得它们相似的是（A ）E B D A ∠=∠∠=∠，；（B ）EF BCDF AB D A =∠=∠且；（C ）E D B A ∠=∠∠=∠，；（D ）DFACDE AB E A =∠=∠且．5．如果︒<∠<︒600A ，那么A sin 与A cos 的差（A ）大于0；（B ）小于0；（C ）等于0；（D ）不能确定．6．如图，在△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，联结DE ．下列结论成立的是（A ）AG DG 31=；（B ）AB DEEG BG =；（C ）41=∆∆AGB DEG S S ；（D ）21=∆∆AGB CDE S S ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．31的倒数是▲．8．计算：=+++2224a a a ▲．9．已知3:2:=b a ，那么ba a+的值是▲．10．抛物线()212-+=x y 与y 轴的交点坐标是▲．11．请写出一个以直线3=x 为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是▲．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）12．有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 距离水面AB 为3米，如图建立直角坐标平面xOy ，那么此抛物线的表达式为▲．13．一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC 、AD ，且迎水坡AB 的坡度为1∶2.5，背水坡CD 的坡度为1∶3，则迎水坡AB 的坡角▲背水坡CD 的坡角．（填“大于”或“小于”）14．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为51，△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为32，那么△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为▲．15．在矩形ABCD 内作正方形AEFD （如图所示），矩形的对角线AC 交正方形的边EF 于点P ．如果点F 恰好是边CD 的黄金分割点（DF >FC ），且PE =2，那么PF =▲．A BCDE G第6题图A BOxy 第12题图16．在△ABC 中，AB =6，AC =5，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，当AD =4，∠ADE =∠C时，=BC DE▲．17．如图，△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得△DEC ，如果点B 、D 、E 在一直线上，且∠BDC =60°，BE =3，那么A 、D 两点间的距离是▲．18．定义：把二次函数()n m x a y ++=2与()n m x a y ---=2（a ≠0，m 、n 是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数2232-+=bx x y 与c cx x y +--=412（b 、c 是常数）互为“旋转函数”，写出点P （b ，c ）的坐标▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：222)45tan 45sin 45cot (30sin 30cos ︒︒-︒+︒-︒．20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD =2AD ，AE =21EC ．（1）求证：DE //BC ；（2）设a BE =，b BC =，试用向量a 、b 表示向量AC ．21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠B 为锐角，AD 是BC 边上的高，135cos =B ，AB =13，BC =21．（1）求AC 的长；（2）求∠BAC 的正弦值第15题图A BCDEF PABCDE第17题图A BCDE第20题图A22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）有一把长为6米的梯子AB ，将它的上端A 靠着墙面，下端B 放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）.一般满足︒≤≤︒7550α时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B 距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A 离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A 沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D 点处停止，梯子底端B 也随之向后平移到地面上的点E 处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DF 分别交对角线AC 、底边BC 于点E 、F ，且BC AE AC AD ⋅=⋅.（1）求证：AB ∥FD ；（2）点G 在底边BC 上，BC =10，CG =3，联结AG ，如果△AGC 与△EFC 的面积相等，求FC 的长.第22题图1AB OαA BED第22题图2O ABCE第23题图DF G24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线62-+=bx ax y （0≠a ）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，联结BC ，∠ABC 的余切值为31，AB ＝8，点P 在抛物线上，且PO=PB .（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O 和点P ，新抛物线的对称轴与x 轴交于点E .①求新抛物线的对称轴；②点F 在新抛物线对称轴上，且∠EOF=∠PCO ，求点F 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）①、②小题各5分，第（2）小题4分）在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=4，点D 为射线CB 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为腰且在AD 的右侧作等腰直角△ADF ，∠ADF=90°，射线AB 与射线FD 交于点E ，联结BF .（1）如图1所示，当点D 在线段CB 上时，①求证：△ACD ∽△ABF ；②设CD =x ，tan ∠BFD =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当AB=2BE 时，求CD 的长.A CO xy第24题图B九年级数学学科练习（解析版）（满分150分，用卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．下列实数中，无理数是（B）（A ）16；（B ）391；（C ）()02+π；（D ）78．【解析】（A ）416=，是有理数，不合题意；（B ）391无法化简，是无理数，符合题意；（C ）()120=+π，是有理数，不合题意；（D ）78为分数，是有理数，不合题意．2．计算x 3•x 2所得的结果是（C）（A ）x 9；（B ）x 6；（C ）x 5；（D ）x ．【解析】x 3•x 2=x（3+2）=x 5，C 符合.3．如果非零向量a 、b 互为相反向量，那么下列结论中错误的是（C ）（A ）b a //；（B ）||||b a =；（C ）0=+b a ；（D ）b a -=．【解析】∵非零向量a 、b 互为相反向量，∴a 、b 长度相同、方向相反，∴（A ）（B ）（D ）正确，∴选择（C ）.4．如图，已知△ABC 与△DEF ，下列条件一定能推得它们相似的是（A ）（A ）E B D A ∠=∠∠=∠，；（B ）EF BCDF AB D A =∠=∠且；（C ）E D B A ∠=∠∠=∠，；（D ）DFACDE AB E A =∠=∠且．【解析】（A ）∵E B D A ∠=∠∠=∠，，∴△ABC ∽△DEF （A.A.）；（B ）EFBCDF AB D A =∠=∠且，不符合S.A.S.，故不可证明△ABC 与△DEF 相似；（C ）E D B A ∠=∠∠=∠，，只能推得△ABC 与△DEF 为等腰三角形,不可证明△ABC 与△DEF 相似；（D ）DFACDE AB E A =∠=∠且，不符合S.A.S.，故不可证明△ABC 与△DEF 相似．5．如果︒<∠<︒600A ，那么A sin 与A cos 的差（D ）（A ）大于0；（B ）小于0；（C ）等于0；（D ）不能确定．【解析】采用赋值法：（1）当∠A=30°时，2130sin sin =︒=A ，2330cos cos =︒=A ，则0cos sin <-A A ．（2）当∠A=45°时，2245sin sin =︒=A ，2245cos cos =︒=A ，则0cos sin =-A A ．由此可得：不能确定A sin 与A cos 的差与0之间的大小关系，∴D 符合.【规律】当︒<∠<︒450A ，A sin <A cos ；当︒<∠≤︒9045A ，≥A sin A cos .6．如图，在△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，联结DE ．下列结论成立的是（C ）（A ）AG DG 31=；（B ）ABDE EG BG =；（C ）41=∆∆AGB DEG S S ；（D ）21=∆∆AGB CDE S S ．【解析】∵中线AD 与中线BE 相交于点G ，∴G 为重心，DE 为中位线.（A ）∵G 为重心，∴AG DG 21=，故（A ）不成立；（B ）2=EG BG ，21=AB DE ，故（B ）不成立；（C ）∵21//=AB DE AB DE ，，∴41(2==∆∆AB DE S S AGB DEG ，故（C ）成立；（D ）在△ABD 与△BCE 中，BC BD 21=，AM EH 21=，∴S △ABD =S △BCE ，CDGE ABD S S 四边形△=⇒，由（C ）可知，41=∆∆AGB DEG S S ．∴可得43=∆∆AGB CDE S S ，故（D ）不成立．A BCD EG第6题图MH二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．31的倒数是▲．【解析】31的倒数是3.8．计算：=+++2224a a a ▲．【解析】22)2(22242224=++=++=+++a a a a a a a .9．已知3:2:=b a ，那么ba a+的值是▲．【解析】∵3:2:=b a ，∴设k b k a 32==，，代入，5252322==+=+k k k k k b a a .10．抛物线()212-+=x y 与y 轴的交点坐标是▲．【解析】()1221221222-+=-++=-+=x x x x x y ，∴抛物线()212-+=x y 与y 轴的交点坐标是（0，-1）11．请写出一个以直线3=x 为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是▲．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）【解析】∵对称轴为直线3=x ，∴可知抛物线表达式：()m x a y +-=23，∵对称轴左侧部分是下降的抛物线，∴0>a ，∴抛物线的表达式可以是：()23-=x y ，()1322+-=x y 等（答案不唯一）.12．有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 距离水面AB 为3米，如图建立直角坐标平面xOy ，那么此抛物线的表达式为▲．【解析】由题：桥下水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 距离水面AB 为3米，∴)3,10()3,10()0,0(---B A O ，，，∴可得21003x y -=.13．一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC 、AD ，且迎水坡AB 的坡度为1∶2.5，背水坡CD 的坡度为1∶3，则迎水坡AB 的坡角▲背水坡CD 的坡角．（填“大于”或“小于”）【解析】设迎水坡AB 的坡角为α，背水坡CD 的坡角为β，由题可得，5.2:1tan =α，3:1tan =β，∵αtan 随α的增大而增大，而βαtan tan >，∴βα>，即迎水坡AB 的坡角大于背水坡CD 的坡角14．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为51，△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为32，那么△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为▲．【解析】由△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为51，可设△ABC 为k ，△A 1B 1C 1为5k ，同理，由△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为32，可设△A 2B 2C 2为1.5k ，∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为5k ：1.5k =310.ABOxy第12题图15．在矩形ABCD 内作正方形AEFD （如图所示），矩形的对角线AC 交正方形的边EF 于点P ．如果点F 恰好是边CD 的黄金分割点（DF >FC ），且PE =2，那么PF =▲．【解析】∵正方形AEFD ，∴DF =AE ，∵点F 恰好是边CD 的黄金分割点，∴215-==CD DF DF CF ，∵AE CF //，∴215-==PE PF AE CF ，∵PE =2，∴215-=PF .16．在△ABC 中，AB =6，AC =5，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，当AD =4，∠ADE =∠C时，=BCDE▲．【解析】由题，可画出图形（如右图），∵∠ADE =∠C ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴54==AC AD BC DE .17．如图，△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得△DEC ，如果点B 、D 、E 在一直线上，且∠BDC =60°，BE =3，那么A 、D 两点间的距离是▲．【解析】作CH ⊥BE ，联结AD ，∵△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得△DEC ，∴可得等腰Rt △ACD ，等腰Rt △BCE ，∵BE =3，∴BH =EH =CH =23，在Rt △CDH 中，∠BDC =60°，∴得CD =3，∴AD =62=CD .第15题图A BCD EF PA BCD E 第16题图αα425A BCD E第17题图H 45°45°45°45°15°18．定义：把二次函数()n m x a y ++=2与()n m x a y ---=2（a ≠0，m 、n 是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数2232-+=bx x y 与c cx x y +--=412（b 、c 是常数）互为“旋转函数”，写出点P （b ，c ）的坐标▲．【解析】()n am axm ax n m x a y +++=++=2222，()n am axm ax n m x a y --+-=---=2222，由此可知，在互为“旋转函数”中：（1）二次项系数互为相反数；（2）一次项系数相同；（3）常数项互为相反数.则在二次函数2232-+=bx x y 与c cx x y +--=412中，⎪⎩⎪⎨⎧-=--=c c b 24123，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=231c b ，∴)2,31(-P .三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：222)45tan 45sin 45cot (30sin 30cos ︒︒-︒+︒-︒．【解析】原式=222)1221(2123-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=424621-+=222322-+=223-.20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD =2AD ，AE =21EC ．（1）求证：DE //BC ；（2）设a BE =，b BC =，试用向量a 、b 表示向量AC ．【解析】（1）∵BD =2AD ，∴21=BD AD ，∵AE =21EC ，∴21=EC AE ，∴ECAEBD AD =，∴DE //BC ．（2）∵21=EC AE ，∴32=AC EC ，∴.2323)(23)(2323b a b a BC EB EC AC +-=+-=+==21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠B 为锐角，AD 是BC 边上的高，135cos =B ，AB =13，BC =21．（1）求AC 的长；（2）求∠BAC 的正弦值．【解析】（1）Rt △ABD ，135cos =B ，AB =13，∴BD =5，AD =12，∵BC =21，∴CD =BC －BD =21－5=16，∴Rt △ABD ，AD =12，CD =16，∴AC =20.A BCDE第20题图ABCD第21题图H 513121620A B ED第22题图2O1.575°62.5第22题图1ABOα（2）作CH ⊥AB ，∴Rt △BCH ，1312sin 135cos =⇒=B B ，∴132521312=⇒=CH BC CH ，∴.65632013252sin ===∠AC CH BAC .22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）有一把长为6米的梯子AB ，将它的上端A 靠着墙面，下端B 放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）.一般满足︒≤≤︒7550α时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B 距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A 离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A 沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D 点处停止，梯子底端B 也随之向后平移到地面上的点E 处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．【解析】（1）65.2cos =α，解得︒=65α，在︒≤≤︒7550α的范围内，∴能.答：︒=65α，此时人能安全地使用这架梯子.（2）由题：人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A 离开地面最高，∴︒=75α，Rt △AOB ，m AB AO 8.575sin =︒⋅=，∵AD =1.5m ，∴OD =5.8-1.5=4.3m ，∴63.4sin ==∠DE OD DEO ，解得︒<︒=∠5046DEO ，答：此时人不能安全使用这架梯子.ABCD第21题图H51312162023．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DF 分别交对角线AC 、底边BC 于点E 、F ，且BC AE AC AD ⋅=⋅.（1）求证：AB ∥FD ；（2）点G 在底边BC 上，BC =10，CG =3，联结AG ，如果△AGC 与△EFC 的面积相等，求FC 的长.【解析】（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACB ，∵BC AE AC AD ⋅=⋅，∴ACAEBC AD =，∴△ADE ∽△CBA ，∴∠ADE =∠ABC ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE =∠EFC ，∴∠ABC =∠EFC ，∴AB ∥FD .（2）∵△AGC 与△ABC 同高，∴103==∆∆BC GC S S ABC AGC ，∵EF ∥FD ，∴10022CF BC CF S S ABC EFC =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆，∵△AGC 与△EFC 的面积相等，∴103=1002CF ，∴解得30=CF .ABCE第23题图DFGαααββA CO xy第24题图B 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线62-+=bx ax y （0≠a ）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，联结BC ，∠ABC 的余切值为31，AB ＝8，点P 在抛物线上，且PO=PB .（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O 和点P ，新抛物线的对称轴与x 轴交于点E .①求新抛物线的对称轴；②点F 在新抛物线对称轴上，且∠EOF=∠PCO ，求点F 的坐标.【解析】（1）Rt △BOC ，31cot =∠ABC ，∵62-+=bx ax y ，∴C （0，－6）∴可求得B （2，0），∵AB ＝8（点A 在点B 的左侧），∴A （－6，0），代入抛物线，62212-+=⇒x x y .（2）①∵PO=PB ，∴P 在OB 的中垂线上，∵新抛物线过点O 和点P ，∴原抛物线向右平移，⇒由点A 平移到点O ，∴原抛物线对称轴向右平移6个单位，即得新抛物线对称轴，原抛物线对称轴：直线x =－2，⇒新抛物线对称轴：直线x =4.②∵P 在OB 的中垂线上，∴x P =1，代入原抛物线⇒P （1，27-）∴PC ：625-=x y ，52tan =∠⇒PCO ∵∠EOF=∠PCO ，∴52tan tan =∠=∠PCO EOF ，由①：E （4，0），∵点F 在新抛物线对称轴上，∴△EOF 为Rt △，x F =4，∴52tan ==∠OE EF EOF 58=⇒EF ，∵点F 可在x 轴的上方或下方，∴58,4(1F ，)58,4(2-F .25．（本题满分14分，第（1）①、②小题各5分，第（2）小题4分）在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=4，点D 为射线CB 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为腰且在AD 的右侧作等腰直角△ADF ，∠ADF=90°，射线AB 与射线FD 交于点E ，联结BF .（1）如图1所示，当点D 在线段CB 上时，①求证：△ACD ∽△ABF ；②设CD =x ，tan ∠BFD =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当AB=2BE 时，求CD 的长.【解析】（1）①∵等腰直角△ABC ，等腰直角△ADF ，∴∠BAC =∠ABC =∠DAF =∠AFD =45°，∴∠CAD =∠BAF ，亦可得22==AF AD AB AC ，∴△ACD ∽△ABF .②作EH ⊥BD，H4x√2x由①得22==AF AD BF CD ，∠EBF =90°，∴x BF 2=，∵tan ∠BFD =y ，∴xy BE 2=，∵∠ABC =45°，∴等腰直角△BEH ，∴xy BH EH ==，由一线三直角，得∠CAD =∠EDH ，∴tan ∠CAD =tan ∠EDH =4x，4xDH EH =⇒，∴y DH 4=，∴BD =DH +BH =xxy y -=+44)40(44<<+-=⇒x xxy ，定义域由题：（点D 不与点B 、C 重合）可知.（2）分类讨论：（a ）当点D 在线段CB 上时，即222==xy BE ，∴2=xy ，)40(44<<+-=x x x y 代入：244=+-⋅xxx ，0<∆⇒，方程无实数根，故此种情况不存在，舍去.（b ）当点D 在CB 的延长线上，可得此时44+-=x x y ，2=xy ，代入：244=+-⋅x x x ，解得，173±=x （负值舍去）综上所述，当AB=2BE 时，CD 的长为173+.x －4EDF。

解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。

2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。

3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。

变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。

3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。